Chuyển pha phản sắt từ trong mô hình hubbard liên kết mạnh bằng phương pháp nghịch đảo

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGÔ THỊ THU HÀ

CHUYỂN PHA PHẢN SẮT TỪ TRONG
MÔ HÌNH HUBBARD LIÊN KẾT
MẠNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP
NGHỊCH ĐẢO
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Người hướng dẫn khoa học
NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI - 2009

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

1


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy
Nguyễn Văn Thụ, đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Vật Lý Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để
em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Bên cạnh đó, em muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các sinh
viên K31B lớp sư phạm Vật lý đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn
thành đề tài khoá luận tốt nghiệp.
Tuy nhiên do thời gian có hạn và đây là lần đầu tiên làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học, bởi vậy có thể có những sai sót vì vậy em rất mong
được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên trong khoa để khoá luận
của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 5 tháng 11năm 2008
Sinh viên

Ngô Thị Thu Hà

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

2


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Thụ, các kết quả nghiên cứu, các số liệu

trình bày trong khoá luận là trung thực và không trùng với kết quả của các tác
giả khác.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2008
Sinh viên
Ngô Thị Thu Hà

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

3


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU …………………………………………………………………… 1
1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu ………………………………………………… 2
3. Đối tượng nghiên cứu ………………………………………………. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………………. 2
5. Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………2
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA
1.1 Pha và sự chuyển pha……………………………………………… 4
1.1.1 Pha ………………………………………………………… 4
1.1.2 Sự chuyển pha……………………………………………… 4
1.2 Các loại chuyển pha………………………………………………… 5

1.2. 1 Chuyển pha loại 1……………………………………………… 5
1.2.2 Chuyển pha loại 2…………………………………………… 6
1.3 Pha phản sắt từ trong vật rắn……………………………………… 7
1.3.1 Sơ lược về tính chất từ của vật rắn …………………………

7

1.3.2 Chất thuận từ ………………………………………………

9

1.3.2.1 Lý thuyết cổ điển Langevin về hiện tượng thuận từ …… 9
1.3.2.2 Lý thuyết lượng tử về hiện tượng thuận từ. ………………11
1.3.3 Chất phản sắt từ . …………………………………………

14

CHƢƠNG 2: CHUYỂN PHA PHẢN SẮT TỪ TRONG MÔ HÌNH
HUBBARD LIÊN KẾT MẠNH
2.1 Phương pháp nghịch đảo. …………………………………………17
2.1.1 Phương pháp nghịch đảo…………………………………… 17
2.1.2 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo………… 17
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

4


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

2.1.3 Công thức nghịch đảo……………………………………… 19
2.2 Mô hình Hubbard liên kết mạnh………………………………… 21
2.3 Chuyển pha trong mô hình Hubbard liên kết mạnh …………

23

2.4 Tính số và thảo luận……………………………………………… 28
KẾT LUẬN………………………………………………………………

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………………………………

32

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

5


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha xuất hiện từ những

năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó tới nay các hiện tượng chuyển pha luôn là vấn
đề có tính thời sự của vật lý cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm, nó bao trùm
toàn bộ các lĩnh vực của vật lý từ hạt nhân hạt cơ bản cho đến vật lý thiên văn.
Trên thế giới lĩnh vực nghiên cứu chuyển pha đã thu được những kết
quả to lớn sau các công trình của Wilson. Hiện nay một số phương pháp chủ
đạo đã được phát triển để giải bài toán chuyển pha như phương pháp tái
chuẩn hoá, phương pháp trường trung bình và phương pháp nghịch đảo. Tuy
nhiên mỗi phương pháp đều có những hạn chế nhất định khi tiếp cận bài toán
cụ thể và chỉ áp dụng cho chuyển pha loại 2. Trong những năm gần đây lý
thuyết các chuyển pha lượng tử đã trở thành một lĩnh vực phát triển rất mạnh.
Nghiên cứu chuyển pha Chiral trong lý thuyết trường và hạt cơ bản là
một trong những vấn đề chưa có lời giải cuối cùng, các công trình về nghiên
cứu chuyển pha confining – deconfinning đã cố gắng tìm lời giải cho việc
hình thành vũ trụ. Chuyển pha lỏng – khí trong hạt nhân đã được nghiên cứu
từ nhiều mô hình khác nhau và gần đây vẫn còn thu hút được sự quan tâm của
nhiều tác giả. Tuy nhiên trong những công trình này vẫn chỉ nghiên cứu các
chuyển pha nhiệt chưa đề cập đến chuyển pha lượng tử của các đối tượng.
Những nghiên cứu chuyển pha trong vật lý các chất đông đặc tỏ ra hết sức
phong phú, ở đây người ta áp dụng khá hiệu quả cả ba phương pháp nêu trên
khi nghiên cứu chuyển pha nhiệt. Đáng quan tâm hơn cả là một số nghiên cứu
về mối tương quan giữa chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong thời
gian gần đây.
Chuyển pha trong các vật liệu từ và đặc biệt là vật liệu phản sắt từ có ý
nghĩa thực tế rất lớn. Do từ tính yếu nên thường được dùng làm các chất bổ
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

6

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

trợ, ví dụ lớp ngăn cách Cr trong các màng đa lớp Fe/Cr có hiệu ứng từ điện
trở khổng lồ. Ứng dụng lớn nhất của phản sắt từ là trong các màng van spin
(valse - spin) từ điện trở khổng lồ trong các đầu đọc ổ đĩa cứng. Khi khối
phản sắt từ bị nung nóng ở nhiệt độ T ≥ TC(AF), khi đó xảy ra hiện tượng
chuyển pha phản sắt từ, TC(AF) được gọi là nhiệt độ chuyển pha phản sắt từ
là nhiệt độ mà tại đó trật tự phản sắt từ bị phá vỡ và vật liệu sẽ chuyển sang
tính chất thuận từ. Biết được TC(AF) ta có thể chọn được khoảng nhiệt độ làm
việc thích hợp đối với các linh kiện điện và điện tử có sử dụng lõi phản sắt từ.
Như trên đã nói để nghiên cứu chuyển pha có nhiều phương pháp và
hiện nay phép biến đổi Legendre được xem là một công cụ hữu hiệu để giải
bài toán này. Nhưng chúng ta có thể gặp những trường hợp mà ở đó các công
thức của biến đổi Legendre không tồn tại, khi đó phương pháp nghịch đảo là
một trong số các phương pháp giải quyết khó khăn này.
Vì lý do trên mà tôi chọn đề tài “Chuyển pha phản sắt từ trong mô hình
Hubbard liên kết mạnh bằng phương pháp nghịch đảo”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết
mạnh bằng phương pháp nghịch đảo.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Chất phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết mạnh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết
mạnh để xác định nhiệt độ chuyển pha TC(AF), xét sự phụ thuộc của nhiệt độ
chuyển pha phản sắt từ vào thừa số hopping t và thế tương tác Coulomb U.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu có liên quan.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

7


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

- Giải bài toán tìm m, ∆m, TC(F), TC(AF) trong mô hình Hubbard liên kết
mạnh bằng phương pháp nghịch đảo.
- Tính số bằng phần mềm Mathematica.
- So sánh và rút ra kết luận.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

8


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA
1.1 PHA VÀ SỰ CHUYỂN PHA
1.1.1 Pha
Trạng thái (cân bằng) của một vật đồng chất được xác định bằng hai đại

lượng nhiệt động cho trước nào đó, chẳng hạn như thể tích V và năng lượng E.
Tuy nhiên, ta không có một cơ sở nào để khẳng định khi cho trước một cặp
bất kỳ những giá trị của V và E thì chính trạng thái đồng chất của vật sẽ tương
ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt. Mà có thể trong trạng thái cân bằng
nhiệt với E và V đã cho một vật không đồng chất mà tách ra thành hai phần
đồng chất tiếp giáp nhau và ở những trạng thái khác nhau.
Những trạng thái của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm cân bằng với
nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất .
1.2.1 Sự chuyển pha
Trước hết ta viết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau
T1 = T2

T1 = T2

P1 = P2

P1 = P2 ,

µ1 = µ2

(1.1)

µ1(P,T) = µ2(P,T)

trong đó Ti, Pi, µi (i =1,2) lần lượt là nhiệt độ, áp suất, thế hoá học của
pha thứ i.
Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục tọa độ thì những điểm ở đó có
sự cân bằng pha sẽ nằm trên một đường cong nào đó (đường cong cân bằng
pha) khi đó những điểm nằm hai bên đường cong sẽ là những trạng thái đồng
chất của vật. Khi trạng thái của vật biến đổi dọc theo một đường cắt đường

cong cân bằng pha ta sẽ gặp sự phân lớp các pha và sau đó vật sẽ chuyển sang

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

9


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

một pha khác. Đó gọi là sự chuyển pha. Trên hình 1 là đồ thị minh họa đường
cong cân bằng pha và sự chuyển giữa hai pha 1, 2.

P

1

2
O
T

Hình 1. Đồ thị pha
1.2 CÁC LOẠI CHUYỂN PHA
Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học nhưng lý thuyết
đầu tiên là của Gibbs. Năm 1933 Erhenfist định nghĩa chuyển pha: Chuyển
pha là bậc n nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha TC và
đạo hàm hạng n của nó theo nhiệt độ liên tục tại điểm này còn đạo hàm n+1
gián đoạn. Thực tế chỉ có chuyển pha bậc 1 và bậc 2.

Năm 1937 Landao đưa ra phân loại khác. Chuyển pha thường gắn với
sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Như vậy chuyển pha gắn với
tính chất đối xứng và Landao đưa ra tham số trật tự. Tham số trật tự phải đặc
trưng cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha
đối xứng khác thì tham số trật tự có giá trị khác.
1.2.1 Chuyển pha loại 1
Sự chuyển pha từ pha này sang pha khác có kèm theo sự giải phóng
hay hấp thụ một lượng nhiệt nào đó gọi là chuyển pha loại 1. Lượng nhiệt đó
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

10


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

được gọi là ẩn nhiệt chuyển pha hay nhiệt chuyển pha. Theo các điều kiện cân
bằng thì chuyển pha loại 1 xảy ra ở nhiệt độ và áp suất không đổi. Do đó ta
tính được nhiệt chuyển pha q ứng với một phần tử là:
q = ω2 _ ω1 hoặc q = T.(S2 _ S1).

(1.2)

Trong đó q là nhiệt chuyển pha.
ω1, ω2 là các hàm nhiệt của 2 pha tính cho một phần tử.
S1, S2 là entrôpi của 2 pha ứng với một phần tử.
q > 0 chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt bị hấp thụ.
q < 0 chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt được giải phóng.

1.2.2 Chuyển pha loại 2
Đây là sự chuyển pha có liên quan đến sự thay đổi đối xứng, sự chuyển
một dạng biến thể kết tinh này sang dạng khác thực hiện một cách liên tục mà
không có sự thay đổi nhảy bậc của các trạng thái vật gọi là sự chuyển pha loại
2. Cùng với những trường hợp mà trong đó sự thay đổi đối xứng của vật thực
hiện bằng cách di chuyển các nguyên tử, sự thay đổi đối xứng khi có chuyển
pha loại hai còn liên quan tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết
luận như sau: Nếu khi nhiệt độ tăng mà tham số Φ dần đến 0 một cách liên
tục không nhảy bậc ta sẽ có chuyển pha loại 2.
Từ những khái niệm về chuyển pha loại 2 ở trên ta thấy rằng:
Với ý nghĩa là trạng thái của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển
pha loại 2 là quá trình chuyển liên tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay
đổi nhảy bậc và tại từng điểm có thể chỉ rõ vật thuộc pha nào nhưng tại điểm
chuyển pha loại 2 thì trạng thái của hai pha trùng nhau.
Do trạng thái của 2 pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trường hợp phải chứa các
yếu tố đối xứng của cả hai pha.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

11


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm pha loại 2 dẫn đến
kết quả: Các hàm trạng thái nhiệt động của vật ( S, E,V…) vẫn giữ liên tục

khi đi qua điểm chuyển pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc toả
nhiệt hay hấp thụ nhiệt. Nhưng đạo hàm của các đại lượng nhiệt động đó (c, α,
β…) sẽ thay đổi nhảy bậc tại điểm chuyển pha loại 2.
1.3 Pha phản sắt từ trong vật rắn
1.3.1 Sơ lƣợc về tính chất từ của vật rắn


Khi đặt vật rắn vào trong một từ trường ngoài có cường độ H (hoặc


cảm ứng từ B  0 H với 0  4  107 H/m), trong vật sẽ xuất hiện một

mômen từ. Ta nói vật bị từ hóa. Mômen từ trung bình M trong một đơn vị
thể tích của vật được gọi là độ từ hóa hoặc từ độ. Tỷ số giữa độ từ hóa và
cường độ từ trường được gọi là độ cảm từ hay hệ số từ hóa


M
M
    0 
H
B
Các chất có độ cảm từ âm (   0 ) được gọi là chất nghịch từ. Thông
thường ở các chất nghịch từ, độ lớn của  chỉ vào cỡ 10-5 hoặc nhỏ hơn và
không phụ thuộc vào cường độ trường ngoài cũng như nhiệt độ.
Các chất có độ cảm từ dương (   0 ) được gọi là chất thuận từ. Ở các
chất thuận từ  cũng rất nhỏ, vào cỡ 10-3  10-5, nhưng khác với các chất
nghịch từ,  của chất thuận từ phụ thuộc vào nhiệt độ, Curie là người đầu
tiên nghiên cứu sự phụ thuộc này đã chỉ ra rằng



C
.
T

Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, C là hằng số phụ thuộc bản chất của
chất thuận từ và được gọi là hằng số Curie.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

12


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Các chất có độ cảm từ dương và có giá trị rất lớn so với độ cảm từ của
các chất thuận từ được gọi là chất sắt từ. Khi đốt nóng chất sắt từ, tính chất từ
của chúng giảm đi. Đối với mỗi chất sắt từ có một nhiệt độ mà tại đó tính sắt
từ của chúng biến mất. Nhiệt độ đó gọi là điểm Curie của chất sắt từ. Ở những
nhiệt độ cao hơn nhiệt độ Curie, chất sắt từ biến thành chất thuận từ.
Ngoài ra còn có chất phản sắt từ, chất feri từ (ferit), đối với các chất
này sự phụ thuộc của 1

 vào nhiệt độ T không phải là tuyến tính, mà có các

điểm đặc biệt.

Các tính chất từ của vật rắn về cơ bản được quyết định bởi mômen spin
của các electron ở các lớp vỏ chưa đầy và mômen từ của các electron ở lớp
ngoài s. Tương tác trao đổi giữa các electron ở các lớp vỏ chưa đầy có thể làm
cho các spin định hướng song song với nhau đó chính là chất thuận từ, nhưng
trong một số chất tương tác trao đổi lại làm cho các spin định hướng đối song
với nhau, các chất đó gọi là các chất phản sắt từ.
Cả chất thuận từ và chất phản sắt từ đều là 2 pha của vật rắn mà nó có
sự chuyển pha lẫn nhau.
I
II

B
A

Hình 1. Cấu trúc từ của vật liệu phản sắt từ, gồm 2 phân mạng spin đối song
và bằng nhau.
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

13


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1.3.2 Chất thuận từ
Các chất thuận từ là các chất có độ cảm từ  dương, nghĩa là hướng
của mômen từ song song với từ trường ngoài. Hiện tượng thuận từ thường tìm
thấy ở những chất sau đây:

Các nguyên tử, phân tử hoặc các sai hỏng mạng có số lẻ electron, do đó
spin tổng cộng của hệ sẽ khác không. Thí dụ: Các nguyên tử của nhóm I, III,
V và VII trong bảng tuần hoàn, oxit nitơ dạng khí (NO), các gốc tự do hữu cơ
như C(C6H5)3, tâm F trong các halogenua kiềm.
Các nguyên tử hoặc ion tự do với lớp vỏ electron bên trong chưa đầy
như các nguyên tố chuyển tiếp, các ion đẳng electron với các nguyên tố
chuyển tiếp, các kim loại đất hiếm. Nhiều ion loại này thể hiện tính thuận từ
ngay cả khi tham gia vào các liên kết trong vật rắn.
Một số hợp chất với số chẵn electron như: Phân tử oxy, các gốc kép
hữu cơ.
Các kim loại: Các electron trong kim loại được coi như các phân tử khí
tự do. Chúng có xu hướng tạo cặp, nhưng luôn luôn tồn tại một số electron
không tạo cặp, do đó có thể gây ra hiện tượng thuận từ.
1.3.2.1 Lý thuyết cổ điển Langevin về hiện tƣợng thuận từ
Langevin (1905) giả thiết rằng ngay cả khi không có từ trường ngoài,

các nguyên tử của chất thuận từ đã có mômen từ khác không  dưới dạng các
lưỡng cực từ không đổi và tương tác giữa chúng không đáng kể. Trong từ

trường ngoài có vectơ cảm ứng từ B được đặt dọc theo trục Oz, năng lượng


tương tác giữa mômen từ  với từ trường B là:
 
U   B   B cos   z B ,
ở đây  z là hình chiếu của mômen từ trên trục Oz.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

14


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Mômen từ tổng cộng của vật là tổng các hình chiếu của các mômen từ
của tất cả các nguyên tử trên phương từ trường.
Nếu gọi giá trị trung bình của hình chiếu của mômen từ nguyên tử trên
phương từ trường là:

 z   cos  .
Và N là số nguyên tử trong một đơn vị thể tích, thì độ từ hoá trung bình M
sẽ là:

M  N  cos  ,
với

e
cos  

U k B T
U
e

cos d
k BT

d

(*)

.

Tích phân được lấy theo toàn bộ góc khối


cos 

 2 sin  cos e
0



 2 sin  e

  cos  kBT

d
.

  cos  kBT

d

0

Sau khi đổi biến số tích phân:

S  cos và x   B kBT , ta tính được:
cos 

e x  e x 1
1


cth
x

 L x .
e x  e x x
x

(**)

Trong đó L x  được gọi là hàm Langevin.
Thay (**) vào (*), ta được độ từ hoá bằng:

M  N  L x .
Trong điều kiện x <<1, nghĩa là khi  B  kBT (từ trường nhỏ, nhiệt độ cao),
ta có gần đúng cthx  1 x  x 3 nên:

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

15


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

L  x 

x B
.

3 3k BT

Khi đó độ từ hoá bằng

N  2B C
M
 B.
3k BT
T
Hằng số C được gọi là hằng số Curie

C

N 2
.
3k B

Độ cảm từ



 0C

T

.

(***)

Biểu thức (***) được gọi là định luật Curie và được áp dụng trong điều kiện

 B  kBT . Theo định luật Curie 1  tỷ lệ thuận với T.
1.3.2.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiện tƣợng thuận từ
Lý thuyết cổ điển Langevin không thể giải thích thỏa đáng hiện tượng
từ gây ra bởi chuyển động của các điện tích. Đó là do lý thuyết cổ điển không
tính đến sự lượng tử hóa. Theo lý thuyết cổ điển, mômen từ có thể định
hướng bất kỳ trong từ trường. Trái lại, lý thuyết lượng tử cho rằng mômen từ
chỉ có thể có một số định hướng nhất định trong từ trường ngoài.

Trong từ trường ngoài có véctơ cảm ứng từ B được đặt dọc theo trục
Oz, thế năng của mômen từ là:
 
U   j B   jz B   g m j B B ,
với

 jz là hình chiếu của mômen từ trên trục Oz, g là thừa số Lande:
g  1

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

j  j  1  s  s  1  l  l  1
2 j  j  1

16


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Vì m j  0,  1,  2,...,  j , do đó có 2j+1 cách định hướng mômen từ
trong từ trường. Xác suất của mỗi cách định hướng nêu trên được xác định
bởi thừa số Boltzmanm exp U k BT  . Giá trị trung bình của hình chiếu của
mômen từ nguyên tử trên phương từ trường được xác định bởi biểu thức sau:
j

 jz 



m j  j

jz

j

e

e

j

 m g e

U kBT



m j  j

j

e

Đặt Z 

m j g  B B kBT

m j  j

.

j
Z
m g B k T
, thì kBT
  m j g Be j B B , do đó:
B m j  j

1 Z

 k BT

 ln Z 
Z B
B

g B B
, ta được:
k BT

j

Z

m j g  B B k BT

m j  j

 jz  k BT
Đặt  

m j g B B kBT

B

e

U kBT

m j  j

j

j



 mj

e

 e j  e



 j 1  e  j  2  ...  e  j 1  e

j

m j  j

e

 j

1  e



e

2

 ...  e

2j

e

 j

 2 j 1 1
 j 1
e 
e    e j
.

e  1
e  1

Chia cả tử và mẫu số cho e 2 , ta được:
Z

2 j 1

e 2

e



e2  e




2 j 1

2





sh

2 j 1

2
.
sh

2



2

Thay vào  jz ta được:

 jz  kBT

  ln Z 
   ln Z 
 kBT
B
B 

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

17


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

 2 j  1  2 j  1  1   
 g B 
cth 
   cth    .
 2
 2  2 
 2
Nhân cả tử số và mẫu số với j và đặt x   j 

g  B jB
, ta nhận được:
k BT

2 j 1

 2 j 1  1
 x 
cth 
x   cth   
 2j  2j
 2 j 
 2j

 jz  g  B j 

Nếu N là số nguyên tử trong một đơn vị thể tích, thì độ từ hóa trung bình M
sẽ là:

M  N  jz  N g B j B j  x  .
B j  x  là hàm Brillouin được định nghĩa như sau:

Bj  x 

 x 
2 j 1  2 j 1  1
cth 
x   cth   .
2j
 2j  2j
2j

Khi x <<1 (từ trường nhỏ, nhiệt độ cao), ta có gần đúng cthx  1 x  x 3 nên:
Bj  x 

j 1
x.
3j

2
N g 2 B2 j  j  1
N hd
C
M
B
B  B.
3kBT
3kBT
T

Trong đó  hd  g  B

j  j  1 được gọi là mômen từ nguyên tử hiệu dụng.

2
N g 2 B2 j  j  1 N hd
là hằng số Curie
C

3kB
3kB

Độ cảm từ



 0C
T

.

Biểu thức này chính là định luật Curie, tương tự như kết quả nhận được
từ lý thuyết cổ điển Langevin.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

18


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.3.3 Chất phản sắt từ
Tương tác trao đổi giữa các electron ở các lớp vỏ chưa đầy của các
nguyên tử có tác dụng làm cho mômen từ spin của các electron định hướng
đối song với nhau, tạo thành độ từ hóa tự phát ngay cả khi không có từ trường
ngoài. Tác dụng của tương tác trao đổi này được coi tương đương như tác
dụng của một từ trường nội tại gọi là trường phân tử Weiss. Trong lý thuyết



của mình, Weiss giả thiết vectơ cảm ứng từ của trường phân tử Weiss BW tỉ


lệ với độ từ hóa M



BW  0  M ,

trong đó  là hằng số trường phân tử.



Như vậy, khi đặt chất phản sắt từ vào trong từ trường ngoài B thì từ
trường tổng cộng tác dụng lên mômen từ spin của nguyên tử phản sắt từ là

 
B  BW . Ta hãy xét lý thuyết lượng tử vì lý thuyết này cho kết quả đúng cả ở

nhiệt độ cao lẫn ở nhiệt độ thấp.
Người ta có thể cho rằng cấu trúc của chất phản sắt từ gồm 2 phân
mạng sắt từ có sự sắp xếp các ion giống nhau, lồng vào nhau một cách đối
xứng gọi là phân mạng I và II (hình 1). Mômen từ của các ion trên hai phân
mạng có độ lớn như nhau, nhưng ngược chiều nhau.

Các mômen từ M II của các ion thuộc phân mạng II ở lân cận nút A gây
ra tại A một trường hiệu dụng



BWI  0  M II .

Tương tự, các mômen từ của các ion thuộc phân mạng I ở lân cận nút B sẽ

gây ra tại B một trường hiệu dụng



BWII  0  M I .

Vậy độ từ hóa của hai phân mạng I và II là:

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

19


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

M   N g B j BJ  x  với x 

g B j
 B  0  M   .
k BT

M   N g B j B j  x  với x 
Trong đó N  N 

g B j
 B  0  M   .
k BT

N
( N là số ion trong một đơn vị thể tích)
2

Khi ở nhiệt độ cao, từ trường yếu ( xI <<1, xII <<1)
2 2
N j  j  1 g B
M 
 B  0  M   .
2
3kBT
2 2
N j  j  1 g B
M 
 B  0  M   .
2
3kBT

N j  j  1 g 2 B2
Gọi C 
, ta có :
6kB
T M   C  B  0 M   .
T M   C  B  0 M   .
Suy ra

M  M  M 

C

B,
T  C 0 

C
B,
T 

hoặc

M

với

  C 0  .

Độ cảm từ  đối với chất phản sắt từ là:



0 C
.
T 

Tuy nhiên, kết quả thực nghiệm cho thấy chỉ ở những nhiệt độ

T  TC ( AF ) với TC ( AF )   1,  mới phụ thuộc vào nhiệt độ như biểu thức
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

20

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

trên, TC  F  được gọi là nhiệt độ chuyển pha của chất phản sắt từ, ở nhiệt
độ T thấp hơn nhiệt độ TC  F  , các spin định hướng đối song. Độ cảm từ

 đạt giá trị cực đại tại T  TC F .




o TN

T

Hình 2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ  .

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

21


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 2: CHUYỂN PHA PHẢN SẮT TỪ TRONG MÔ HÌNH
HUBBARD LIÊN KẾT MẠNH
2.1 Phƣơng pháp nghịch đảo
2.1.1 Phƣơng pháp nghịch đảo
Chúng ta xét những trường hợp mà tính đối xứng của Hamiltonian
không còn tồn tại ở một số vùng của nhiệt độ, áp suất, mật độ hoặc vài thông
số khác như cường độ liên kết chứa trong Hamiltonian.
Nghiên cứu sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau là một trong
những quan tâm chính của bài toán hệ nhiều hạt. Trong đó vai trò của năng
lượng tự do hoặc thế năng hiệu dụng ở nhiệt độ không được xác định qua
phép biến đổi Legrendre được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các
đặc trưng của phá vỡ đối xứng.
Tuy nhiên chúng ta biết rằng các quy tắc giản đồ của phép biến đổi
Legrendre chỉ dùng cho một số dạng toán tử đặc biệt. Tính không cục bộ của
bốn toán tử trường, với trường hợp ở đó trường bổ trợ được đưa vào bởi biến
đổi Hubberd – Stratonovich. Nhưng chúng ta có thể gặp phải những trường
hợp mà ở đó các công thức của biến đổi Legrendre không tồn tại, phương
pháp nghịch đảo là một trong số các phương pháp nhằm giải quyết những khó
khăn đó. Phương pháp nghịch đảo được đưa ra gần đây bởi một số tác giả và
một số hệ điển hình về giải pháp phá vỡ tính đối xứng.
2.1.2 Nguyên tắc cơ bản của phƣơng pháp nghịch đảo
Xét một hệ spin và khảo sát sự chuyển pha phản sắt từ để xem vai trò
của biến đổi Legrendre. Chọn tham số trật tự là m.
Hamiltonian của hệ không có từ trường ngoài là:
H SS   g  S i S j .

(1.3)

i, j

Ở đây S i là toán tử spin của điểm i và g là một hằng số dương.

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

22


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Chúng ta sẽ định nghĩa năng lượng tự do Gibbs G  H , g  là:





G  H , g    1 ln T r exp   H SS  H SH  .

(1.4)

Với T   1 là nhiệt độ của hệ (xét trong hệ đơn vị tự nhiên hằng số
Boltzman k B được chọn bằng 1).

H SH  H

 S được đưa vào thể hiện sự tác động lẫn nhau của Hamiltonian
i

i


với từ trường ngoài H , nó được gắn bằng 0 ở cuối phép tính. Số hạng này
phá vỡ tính đối xứng quay và nó được gọi là số hạng nguồn.
Sự từ hoá ngẫu nhiên được đặc trưng bởi phần còn lại, phần không bị
triệt tiêu của từ trường khi H = 0. Theo cách này H được xem như là một
nguồn bất kì. Từ (1.4) ta thấy độ từ hoá được xác định bởi công thức:
m

G  H , g 
.
H

(1.5)

Tuy nhiên nếu chúng ta tính G  H , g  bằng chuỗi nhiễu loạn của g thì
(1.5) sẽ chọn m triệt tiêu với tất cả các bậc nhiễu loạn. Do đó người ta đưa
vào năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép biến đổi
Legrendre của GH , g 

F  m, g   G  H m, g , g   m H m, g  .

(1.6)

Với H m, g  thu được bằng cách nghịch đảo (1.5)
Từ đó ta tìm được năng lượng tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể tìm
được bằng các lời giải không tầm thường của hệ nghịch đảo.
H 

F  m, g 
.
m

(1.7)

Với H  0 việc triệt tiêu H không có ý nghĩa gì nhưng nó là điều kiện
tự hợp để xác định m . Ở đây ta thấy rất khác với công thức (1.5).

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

23


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử ta có một phép tính nhiễu loạn của F m, g  theo luỹ thừa của g
xem m như là một đơn vị trong g . Khi cho H  0 có thể tim thấy m không
bị triệt tiêu, nếu tồn tại tất cả các bậc hữu hạn trong biểu thức của F  m, g .
Điểm cơ bản ở đây là có sự biến đổi từ H, g  sang m, g  bằng phép biến
đổi ngược (1.5). Bằng quá trình này các số lượng vô hạn của biểu thức chuỗi
của GH , g  đã được bao gồm trong mỗi số hạng của biểu thức hệ số của

F m, g . Thông thường lời giải không tầm thường bậc nhất đối với (1.7) với

H  0 phù hợp với kết quả của phương pháp trường trung bình.
Vậy phương pháp nghịch đảo là sự tổng quát hoá của phép biến đổi

Legrendre theo nghĩa chỉ tính đến những bước cơ bản sau:
Bổ sung số hạng nguồn để phá vỡ tính đối xứng của hàm Hamiltonian
và tính theo thuyết nhiễu loạn ở một số thông số.
Thông số trật tự coi như một hàm số của trường ngoài phá vỡ tính đối
xứng. Nghịch đảo hàm số này ta thu được hệ thức biểu diễn trường phá vỡ đối
xứng như một hàm của thông số trật tự.
Cuối cùng tìm lời giải cho phương trình hệ thức bằng 0.


F m, g 
0
m

(1.8)

2.1.3 Công thức nghịch đảo
Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamiltonian Hˆ của hệ
chứa một vài thông số g . Giả thiết Hˆ được tách ra thành hai phần: Phần tự
do và phần tương tác
Hˆ  Hˆ 0  gHˆ 1 ,

(1.9)

trong đó g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thì các thông số trật
tự phải được xác định. Nếu giá trị trung bình của một vài toán tử kí hiệu là
Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

24

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

ˆ được chọn làm tham số trật tự, nó bị triệt tiêu bởi bậc của nhiễu loạn theo


g . Để phá vỡ tính đối xứng của Hˆ ta bổ sung thêm số hạng nguồn Hˆ j ,với j
là tham số liên kết từ trường ngoài. Số hạng nguồn phải cho ra những giá trị

ˆ và triệt tiêu khi j  0 . Bây giờ
khác 0 trong chuỗi nhiễu loạn của   
tham số trật tự  có thể được tính theo lý thuyết nhiễu loạn và biểu diễn theo
chuỗi sau:


  f  J    g n f n J 

(1.10)

n 0

Biểu thức này gọi là chuỗi cơ sở. Dựa vào (2.8) và coi  như là một
đại lượng độc lập của g bằng phép nghịch đảo của hàm số   f J  ta thu
được chuỗi nghịch đảo:


J  h   g n hn 

(1.11)

n 0

Thế (1.11) vào (1.10) và khai triển vế phải theo chuỗi luỹ thừa của g
sau đó đồng nhất thức ta được :

  f h  



  g n f n  g l hl  
n 0
l  0






 f0 h0    g f0 h0    h1    f1 h0     ... (1.12)
Nếu chúng ta khảo sát  như là một đơn vị thứ tự thì hl    có thể
được biểu diễn dưới dạng những số hạng của hàm f n :
h0    f 01  

Sinh viên: Ngô Thị Thu Hà
Lớp:K31B Lý

(1.13)

25