Một số vấn đề cơ bản của thuyết tương đối hẹp

TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Chương I: các phép biến đổi galilée
1.1 các biến cố và các tọa độ
Biến cố là cơ sở trong việc nghiên cứu thuyết tương đối.
Quá trình va chạm giữa hai hạt hay một cú sét đánh vào cây là một biến
cố.
Biến cố nó xảy ra tại một điểm trong không gian và tại một thời điểm đã
cho.
Muốn xác định một biến cố nào đó thì phải gán cho nó 4 tọa độ:
+ Ba toạ độ không gian (x,y,z) xác định khoảng các từ nơi xẩy ra biến
cố tới gốc tọa độ gắn với người quan sát.
+ Một tọa độ thời gian (t) thường được đo bằng đồng hồ.
Giả sử có 2 quan sát viên O và O. O chuyển động với vận tốc không đổi
(v) đối với O dọc theo trục chung x. Hai quan sát viên đều có các dụng cụ đo
như nhau( là dụng cụ đo độ dài và đồng hồ đo thời gian ) để đo được các tọa
độ của biến cố. Giả sử tại điểm x = x = 0 thì các thời gian t = t = 0.
Như vậy bất kể biết cố nào đã cho đều được gắn tọa độ gồm : Bốn tọa độ
x, y ,z ,t gắn với quan sát viên O và bốn tọa độ x, y, z, t gắn với quan sát
viên O
1.2 PHéP BIếN đổi galilée các tọa độ
Hệ thức giữa các số đo (x, y, z, t) của O và (x,,y,,z,,t,) của O có liên quan
tới biến cố nào.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

1

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl

TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Dựa vào hình vẽ ta thấy ngay: x = x- OO
y y,
z z,
OO là quãng đường đi được của O so với O trong khoảng thời gian (t) do
OO = v.t

đó :

x = x v.t

Vậy

Thời gian của cùng một biến cố xẩy ra đối với một vật là như nhau đối
với hai quan sát viên O và O do đó t = t.
Vậy ta có 4 phương trình : x = x v.t

x = x+ v.t

y = y

hay

y = y

z = z

z = z

t = t

t = t

Bốn phương trình biểu diễn phép biến đổi Galilée các tọa độ.
1.3 PHéP BIếN đổi galilée các vận tốc và gia tốc
Khi nghiên cứu chuyển động của một hạt, việc xác định các tọa độ là rất
quan trong thì việc tìm hiểu vận tốc và gia tốc của hạt cũng rất cần thiết.
Để mô tả vận tốc của hạt các quan sát viên đã gán cho nó ba thành phần là
(ux, uy, uz) đo được bởi O và ( ux, uy, uz) đo được bởi O.
Ta có thể có được hệ thức giữa hai nhóm thành phần vận tốc đó bằng cách
lấy đạo hàm theo thời gian hệ thức biến đổi các tọa độ . Từ x = x v.t
Ta có:

dx' d
dx
ux ' (x v.t) v ux v
dt dt
dt
'

uy = uy
uz = uz

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

2

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Vậy các biểu thức của phép biến đổi Galilée các vận tốc là:
ux = ux v
uy = uy
uz = uz
Phép biến đối Galilée các gia tốc bằng cách lấy đạo hàm biểu thức biến đổi
các vận tốc với t = t và v là hằng số.
Ta có :

a 'x

du x ' d ( u x v ) dt
du x

. '
ax
'
dt
dt
dt
dt

ay = ay
az = az
Vậy các biểu thức của phép biến đổi Galilée các gia tốc là:
ax = ax
ay = ay
az = az
1.4 tính bất biến của một phương trình
Trong lý thuyết cổ điển người ta đã phát biểu thành tiên đề là các số đo
không gian và thời gian được liên hệ với nhau bằng các biểu thức Galilée.
Thành thử nếu quan sát viên này thiết lập được một dạng phương trình
nào đó thì áp dụng các phép biến đổi Galilée cho dạng này sẽ cho phép tìm
được dạng mà quan sát viên kia sẽ thu được.Nếu hai dạng đó đều như nhau thì
ta nói rằng phương trình đó là bất biến trong các phép biến đổi Galilée.
1.5 Bài tập áp dụng
Bài số 1: Tại một thời điểm t = t = 0 một hành khách ngồi trên tàu hỏa
đang lăn bánh với vận tốc không đổi 30m/s đi ngang qua trước mặt một người
đứng yên trên sân ga. Hai mươi giây sau, quan sát viên đứng yên nhận thấy
rằng một con chim bay theo cùng phương và cùng chiều với tàu hỏa đã ở cách
nhà ga 800m. Xác định các tọa độ của con chim đối với hành khách trên tàu.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

3

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Giải
Gọi hệ quy chiếu O với các toạ độ (x, y, z, t) gắn với quan sát viên đứng
yên trên sân ga và hệ quy chiếu O với các tọa độ (x, y, z, t) gắn với hành
khách trên tàu.
Các tọa độ của con chim đối với quan sát viên trên sân ga là:
(x, y, z, t) = (800, 0, 0, 20)
Khoảng cách x từ tàu hỏa tới con chim, do hành khách trên tau đo là:
X = x v.t = 800 30.20 = 200(m)
Do đó, các tọa độ của con chim trong hệ quy chiếu gắn với hành khách
trên tàu là: (x, y, z, t) = (200, 0, 0, 20).
Bài số 2: Một quan sát viên đứng yên trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất,
quan sát một va chạm sau đây: một khối lượng m1 = 3kg chuyển động với vận
tốc u1 = 4m/s dọc theo trục x va chạm với một khối lượng m2 = 1kg chuyển
động với vận tốc u2 = -3m/scũng dọc theo trục x. Sau va chạm m2 có vận tốc
u*2 = 3m/s. Tìm vận tốc u*1 của m1 sau va chạm.
Giải
Bài toán này mọi ma sát coi như bỏ qua. Do vậy ta áp dụng định luật bảo
tào động lượng cho hệ.
Ta có : m1u1 + m2u2 = m1 u*1 + m2 u*2
Thay số ta có: 3.4 + 1.(-3) = 3. u*1 + 1.3
9 = 3. u*1 + 3
u*1 = 2(m/s)

Vậy vận tốc của m1 sau va chạm là 2 m/s.
bài số 3 : Chứng tỏ rằng phương trình truyền sóng điện từ :
2 2 2 1 2

0
x 2 y 2 z 2 c 2 t 2

là không bất biến đối với các phép biến đổi Galilée.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

4

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Giải
Để phương trình trên là bất biến thì dạng sẽ không thay đổi khi phương
trình đươc biểu diễn qua các biến số mới x, , y, , z, , t,.
áp dụng các kết quả của các phép biến đổi Galilée
,

x ,
x ,
t , y , z
1 ,
v ,


1

t
t
z
x
t
x , x , y , t ,



... 0
y
z
x
x

Và quy tắc đạo hàm các hàm số kép.
Ta có:
x , z , t ,





x x , x y , z , x t , x x ,

và

2 2

y 2 x , 2

2 2

y 2 y , 2

Tương tự ta tính được:

2 2

z 2 z , 2

Ngoài ra :



v , ,
t
x t
2
2 2
2
2


2
v

v
t 2 t , 2
x , t ,

x , 2

Ta thay các biểu thức :
được :

2 2 2
2
,
,
và
vào phương trình truyền sóng ta
x 2 y 2 z 2
t 2

2
2 2 2 1 2 1
2
2




(
2
v

v
)0
x , 2 y , 2 z , 2 c 2 t , c 2
x , t ,

x , 2

Ta thấy dạng của phương trình đã thay đổi như vậy phương trình truyền
sóng điện từ là không bất biến đối với các phép biến đổi Galilée.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

5

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Chương 2 : các tiên đề của anh xtanh
2.1 không gian tuyệt đối và ête
Từ phép biến đổi Galilée các vận tốc ta thấy rằng: nếu một quan sát viên
O thấy một tín hiệu truyền sáng với vận tốc c = 3.108 m/s thì mọi quan sát
viên khác chuyển động đối với O sẽ thấy tín hiệu truyền sáng đó với vận tốc
khác c.
Như vậy phải có một vật làm mốc để xác định một hệ quy chiếu đặc biệt
mà một quan sát viên đứng yên đối với hệ đó sẽ được ưu đãi là thấy mọi tín
hiệu sáng lan truyền với vận tốc c. Trước Anhxtanh người ta đã thừa nhận rằng
đó chính là quan sát viên đó chính là quan sát viên mà đối với anh ta các
phương trình Maxwell có hiệu lực:


r

o
t
E




r o tH


d iv D


d
i
v
B



B

t


D
J
t

0

Các phương trình Maxwell mô tả thuyết điện từ và tiên đoán các sóng
điện từ lan truyền với vận tốc :

c

1

0 0

3.108 m / s

Không gian đứng yên so với quan sát viên trên gọi là không gian tuyệt
đối. Mọi quan sát viên khác chuyển động đối với không gian tuyệt đối phải
thấy ánh sáng có vận tốc c. Tương tự như âm thanh là chuyển động sóng của
không khí, người ta nghĩ rằng ánh sáng là chuyển động sóng của một môi
trường đàn hồi đặc biệt gọi là ête.
Maxwell đã chứng minh được rằng sóng ánh sáng chỉ là trường hợp rất
riêng biệt của trường điện từ.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

6

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Người ta thấy rõ rằng phải cần thiết tồn tại một môi trường để ánh sáng
truyền qua đó. Vì vậy đã nêu lên thành tiên đề là ête choán đầy không gian
tuyệt đối.
2.2 thí nghiệm michelson và morley
Môi trường ête tồn tại thì lúc đó một quan sát viên trên mặt đất chuyển
động trong ête sẽ phải chịu tác động của một loại gió ête.Năm 1881
Michelson, rồi năm 1887 cùng với Morley đã hiệu chỉnh một thiết bị có độ
nhạy cao cho phép đo được chuyển động của trái đất so với ête đã được giả
thiết ở trên.
Tuy nhiên kết quả của các phép đo đã không phát hiện được bất kỳ một
chuyển động nào đối với môi trường ête.
2.3 các phép đo thời gian và độ dài một số vấn đề
nguyên lí
Điểm chung duy nhất giữa kết quả phủ định của thí nghiệm Michelson và
Morley và việc các phương trình Maxwell chỉ có hiệu lực đối với quan sát viên
được ưu đãi - đó là việc tồn tại của phép biến đổi Galilée. Phép biến đổi hiển
nhiên này đã được Anhxtanh xem xét lại theo một quan điểm được gọi là quan
điểm sử dụng. Xuất phát từ nguyên lí là mọi đại lượng thuộc một lí thuyết vật
lí đều phải đo đạc được (ít ra là trên lí thuyết) theo một phương pháp hoàn
toàn xác định. Nếu một phương pháp như vậy không được thiết lập thì đại
lượng đang xét không thể được sử dụng trong vật lí.
Anhxtanh đã không thể tìm được một chứng minh thoả đáng nào cho
phép biến đổi Galilée là t = t, nghĩa là cho việc khẳng định rằng hai quan sát
viên có thể đảm bảo là một biến cố xảy ra tại cùng một thời điểm. Trong
những điều kiện đó Anhxtanh đã loại bỏ phép biến đổi t = t , và tất cả các
phép biến đổi Galilée nói chung.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

7

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

2.4 các tiên đề anhxtanh
Khác với các nhà khoa học trước, Anhxtanh nhìn thấy trong kết quả phủ
định của thí nghiệm Michelson không phải là một sự khó khăn ngẫu nhiên cần
được giải thích bằng cách này hay cách khác mà là sự thể hiện của một quy
luật thiên nhiên tổng quát nào đó, quy luật đó là : Không thể phát hịên được
chuyển động thẳng đều của phòng thí nghiệm đối với ête( đối với không gian
tuyệt đối ) không những bằng phương pháp cơ học mà cả bằng các phương
pháp quang học.
Bằng cách khái quát hoá kết quả đó, Anhxtanh đề ra một giả thiết là sự
mở rộng nguyên lí tương đối Galilée và mang tên là nguyên lý tương đối
Anhxtanh.Nguyên lí đó được thể hiện bởi hai tiên đề sau:
Tiên đề 1: Các định luật vật lí là bất biến (có cùng dạng) đối với tất cả
các quan sát viên chuyển động theo quán tính.
Tiên đề 2: Đối với mọi quan sát viên chuyển động theo quán tính, vận
tốc trong chân không bằng

c

1

0 0

3.108 m / s

Không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn sáng.
2.5 Bài tập áp dụng
Bài số 1: Một chớp đèn điện tử ở cách quan sát viên 30km. Đèn phát ra
một chớp sáng và được quan sát viên nhìn thấy vào lúc 13h. Xác định thời
điểm thực của biến cố đó.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

8

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Giải
Khi quan sát viên đó nhìn thấy chớp sáng của đèn thì đèn điện tử đã phát ra
chớp sáng đó một khoảng thời gian là t(bởi vì chớp sáng phải mất thời t để
truyền đến mắt người quan sát viên )
Do đó :
t =

s 30.103

1.104 ( s)

c 3.108

Như vậy đèn phát ra chớp sáng lúc 13h kém 1.10-4 s.
Bài số 2: Một thanh nhỏ chuyển động từ trái sang phải. Khi đầu trái của
thanh đi qua trước một máy ảnh, một bức ảnh của thanh được chụp đồng thời
với ảnh của một thước mét mẫu đứng yên. Sau khi rửa ảnh người ta thấy đầu
trái của thanh trùng với vạch 0 của thước mẫu còn đầu phải trùng với vạch
0,9m. Biết rằng thanh chuyển động với vận tốc 0.8c đối với máy ảnh. Tính độ
dài thực của thanh.
Giải
Để tín hiệu sáng phát từ đầu phải của thanh đến được máy ảnh nó cần
phải rời khỏi vạch 0.9m trước đó một khoảng t.
t

s
0, 9

3.109 s
c 3.108

Mặt khác thanh chuyển động với vận tốc 0,8c đối với máy ảnh nên trong
khoảng thời gian t đầu trái của thanh đã dịch chuyển được một đoạn s '
s ' = v. t = 0,8.3.108.3.10-9 = 0,72 (m)

Trong điều kiện đó độ dài thực của thanh là:
L = 0,9 + 0,72 = 1,62 (m)
Kết quả này chứng tỏ rằng việc chụp ảnh một thanh đang chuyển động
không cho chúng ta độ dài thực của thanh.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

9

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Chương 3: phép biến đổi lorentz
Trong tiên đề 2 của Anhxtanh kéo theo đó là việc cần thiết phải thay thế
phép biến đổi Galilée các toạ độ bằng phép biến đổi Lorentz và nó có dạng:
x,

x vt
2

v
1
c
v
t 2 .x
c
t,
2
v
1
c
y, y

z, z

Ta có thể đảo lại các phương trình trên như sau:
x

x , vt
2

v
1
c
v
t , 2 .x
c
t
2
v
1
c
y y,
z z,

Với v là vận tốc của hệ quy chiếu gắn với O so với hệ quy chiếu gắn với
O:

v > 0 nếu O dịch chuyển theo chiều (+) của trục x
v > 0 nếu O dịch chuyển theo chiều (-) của trục x
Giả thiết rằng đối với x = x = 0 thì t = t = 0.
Chú ý rằng các công thức biến đổi không có nghĩa khi v > c. Điều này

chỉ ra rằng vận tốc ánh sáng trong thuyết tương đối là vận tốc giới hạn đối với
mọi hệ quy chiếu.

3.1 tính bất biến của vận tốc ánh sáng

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

10

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Giả sử tại thời điểm khi O và O trùng nhau (tại t = t = 0) một tín hiệu
ánh sáng được phát ra từ vị trí gốc chung theo chiều (+) của trục x, x.
Nếu O thấyrằng các toạ độ không gian và thời gian liên hệ với nhau bởi x = c.t
thì lúc đó theo biểu thức (3-1) đối với O là:
v
v
c.t 1
1
x v.t
c.t v.t
c

'
c .c.t

x



2
2
v
v
v



v
v
1

1

.
1

1
1



c
c c
c
c

v
v
v
v
t 1
t 2 .x
t 2 .c.t
1
c


c
c
c .t
t'



2
2
v
v
v



v
v
1
1

1
1 1
c
c c
c
c

Như vậy đối với O, x = c.t, điều này phù hợp với tiên đề 2 của
Anhxtanh.
3.2 Tính bất biến của phương trình Maxwell
Ta đã biết đối với các phương trình Maxwell là không bất biến đối với
phép biến đổi Galilée tuy nhiên Lorentz đã chứng tỏ chúng đều bất biến đối
với phép biến đổi Lorentz.
Ví dụ chứng minh: hãy chứng tỏ rằng phương trình truyền sóng điện từ
2 2 2 1 2



0
x 2 y 2 z 2 c 2 t 2

Là bất biến đối với phép biến đổi Lorentz và không bất biến đối với phép
biến đổi Galilée.
Giải
áp dụng các kết quả của các phép biến đổi Galilée và các quy tắc đạo
hàm các hàm số kép, ta được rồi thay vào phương trình truyền sóng điện từ ta
được kết quả sau:
2
2 2 2 1 2 1
2

2




2
v

v

0
x '2 y '2 z '2 c 2 t '2 c 2 x 't '
x '2

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

11

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Kết trên cho thấy phương trình truyền sóng không bất biến đối với phép
biến đổi Galilée.
áp dụng các biến đổi Lorentz rồi thay vào phương trình truyền sóng ta
thu được kết quả :
2 2 2 1 2

0
x '2 y '2 z '2 c 2 t '2

Kết quả này hoàn toàn giữ nguyên dạng như phương trình truyền sóng.
Vậy nó bất biến đối với phép biến đổi Lorentz.
3.3 tính đồng thời
Hai biến cố xuất hiện đồng thời đối với một quan sát viên nếu quan sát
viên đó phát hiện thấy chúng xảy ra tại cùng một thời điểm.
Trong vật lí cổ điển nếu một quan sát viên thấy hai biến cố là đông thời
thì lúc đó theo phép biến đổi Galilée t = t chúng cũng đồng thời đối với tất cả
các quan sát viên khác. Ngược lại trong vật lí tương đối tính hai biến cố là
đồng thời đối với quan sát viên này nói chung là không đồng thời đối với quan
sát viên khác.
Giả sử có hai biến cố A và B xảy ra đồng thời đối với quan sát viên O
nghĩa là tA = tB
Sự khác nhau về thời gian đối với O sẽ là :
tB tA

v
. x ' xA'
2 B
c
2
v
1
c

Nếu hai biến cố xảy ra tại cùng một nơi xA = xB thì khi đó đối với O
chúng cũng là đồng thời nhưng nếu xA xB chúng sẽ không đồng thời với O.
3.4 bài toán áp dụng

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

12

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Bài số 1: Tọa độ của một chớp sáng do O đo được là x = 100km,
y = 10km, z =1km ở thời điểm t = 5.10-4s. Hãy xác định các tọa độ không gian
của biến cố đó đối với một quan sát viên O chuyển động so với O với vận tốc
(- 0,8c) dọc theo trục chung x- x.
Giải
Theo phép biến đổi Lorentz ta có:
x'

x v.t
v
1
c

2

100 0,8.3.105 .5.104
1 0,8

2

367 km

v
(0,8) 100
.x
5.104
2
c
3.105
t'

12,8.104 ( s )
2
2
1 (0,8)
v
1
c
t

y = y = 10km
z = z = 1km
Bài số 2: Cho một hạt chuyển động với vận tốc không đổi

c
đối với O
2

trong mặt phẳng x, y sao cho quỹ đạo của nó tạo với trục x một góc 600. nếu
vận tốc của O đối với O dọc theo trục xx là 0,6c. Hãy thiết lập phương trình
chuyển động của hạt xác định bởi O.
Giải
Các phương trình chuyển động xác định bởi O là:
x = ux.t =

c
.(cos600).t
2

y = uy.t =

c
.(sin600).t
2

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

13

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Ta lại có:
v
t 2 .x
c
c
0

0
c
x
. cos60 .t . cos60 .
2
2
2
2
v
v
1
1
c
c
'

x v.t

c
0, 6

x (0, 6.c).t . cos600 t
.x
2
c

x 0, 74.c.t

Ta có:
c
c
y = y = .(sin600).t = .(sin600).
2
2

=

t

v
.x
c2

v
1
c

2

c
t 0, 6.0, 74

.(sin600).
0,30.c.t
2
1 0, 6 2

Vậy phương trình chuyển động của hạt xác định bởi O là:
x = 0,74.c.t
y = 0,30.c.t
bài số 3: Một quan sát viên O phát hiện 2 biến cố riêng rẽ xẩy ra cách
nhau 600 m và 8.10-7 s. Tìm vận tốc chuyển động của một quan sát viên O, đối
với O để O, thấy hai biến cố trên xẩy ra đồng thời.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

14

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN TỐT NGHỆP

Gi¶i
v
x1
c2
t1, 
 v2 
1   2 

c 
t1 

Theo phÐp biÕn ®èi Lorentz:

v
x2
2
,
c
t2 
 v2 
1   2 
c 
t2 

§Ó 2 biÕn cè xÈy ra ®ång thêi khi:

t1,  t 2,
v
( x 2  x1 )
c2
=0
 v2 
1   
c 

(t 2  t1 ) 

ta lÊy t 2,  t1, ta ®­îc :

t 2,  t1, =

8.10 7 

thay sè vµo ta ®­îc :

0=



GVHD : T.S L¦U THÞ KIM THANH

v  600 


c 2  3.10 8 

 v2
1   2
c





v
 o,4  v  0,4c
c

15

SVTH : TRẦN VĂN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

chương 4: tính tương đối của độ dài thời gian, không
thời gian
4.1 tính tương đối của độ dài
Một vật đứng yên đối với một quan sát viên, độ dài của vật được xác định
bằng cách đo hiệu các tọa độ không gian của các đầu mút của nó. Do vật đang
xét không chuyển động nên việc đo đạc có thể tiến hành vào bất kỳ thời điểm
nào.
Độ dài được xác định như thế được gọi là độ dài riêng của vật.
Nếu vật chuyển động, việc đo đạc phức tạp hơn do các tọa độ không gian
của các đầu mút phải được xác định tại cùng một thời điểm.
Giả sử có một thước nằm dọc theo trục xx và đứng yên so với quan sát
viên O. Chúng ta muốn xác định mối quan hệ giữa các số đo độ dài thực hiện
bởi O và O khi O chuyển động với O với vận tốc dọc theo trục chung xx.
Khi đó giả sử A, B là các đầu mút của thước, ta có:
x'B x' A

xB x A v t B t A
v
1
c

2

xB xA = L0 : độ dài riêng của thước đo bởi O
Nếu xB, xA được đo tại cùng một thời điểm thì tB = tA
xB x A L sẽ là độ dài của thước đo bởi O

Khi đó :

v

L = L0. 1
c

2

v

2

, do 1 1 nên L < L0
c

độ dài của thước chuyển động đo bởi O sẽ co nhắn lại. Kết quả này mô
tả hiệu ứng co ngắn Lorentz Fitzgerald.
4.2 tính tương đối của thời gian

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

16

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

4.2.1 thời gian riêng
Nếu hai biến cố A và B diễn ra đối với quan sát viên O tại cùng một nơi
thì khoảng thời gian phân cách chúng sẽ có thể được O đo bằng đồng hồ duy
nhất.
Khoảng thời gian t0 t B t A đo bởi O bằng đồng hồ duy nhất đó gọi là
khoảng thời gian riêng.
4.2.2 sự dãn nở của thời gian
Xét hai biến cố A và B theo quan điểm của một quan sát viên thứ hai O
chuyển động với vận tốc v đối với O
Với quan sát viên O hai biến cố đó tất yếu xảy ra tại các nơi khác nhau:
t ' t ' B t ' A

v
xB x A
c2

t0

v
1
c

2

Đối với quan sát viên O, hai biến cố A, B xảy ra tại cùng một nơi nên
xB xA = 0, từ đó ta có:
t '

t0
v
1
c

v

2

2

Do 1 1 nên t ' t0 : khoảng thời gian đo được bởi O đã bị giãn
c
nở.
Trong ví dụ trên đồng hồ duy nhất là đứng yên đối với O. Chúng ta cũng
nhận được cùng một kết quả nếu đồng hồ duy nhất đứng yên đối với O.
Trong điều kiện đó hãy tưởng tượng một đồng hồ duy nhất đang chuyển
động trong khoảng thời gian t0 .

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

17

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl

TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Nếu đồng hồ đó chuyển động đối với quan sát viên O với vận tốc v thì O
sẽ ghi được một độ dịch chuyển của hai đồng hồ này trong một khoảng thời
gian t .
t 0

t

v
1
c

2

Sự dãn nở của thời gian là hiệu ứng hoàn toàn có thực.
4.3 tính tương đối của không - thời gian
tính tương đối của không gian và thời gian chính là tính tương đối của
không thời gian.
4.4 bài tập áp dụng
Bài số 1: Một vật hình lập phương có thể tích 1000cm3. Xác định thể tích
của vật đối với một quan sát viên O chuyển động so với vật với vận tốc 0,8c
theo hướng song song với một trong các cạnh của vật.
Giải
Giả sử quan sát viên chuyển động theo hướng song song với trục x (trùng
với phương của một cạnh của vật).
Đối với quan sát viên O, độ dài của cạnh hình lập phương song song với

phương chuyển động:
2

2

v
0,8.c
l x lx 1 10. 1
6(cm)
c
c
'

Độ dài của các cạnh khác đều không thay đổi:
l ' y lz ' l y lz 3 1000 10(cm)

Vậy thể tích của hình lập phương đối với quan sát viên ở O là:
V = lx.ly.lz = 6.10.10 = 600(cm3)

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

18

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Bài số 2: Thời gian sống trung bình của một hạt - mezôn là 6.10-6s khi
vận tốc của nó là 0,95c.Tính thời gian sống trung bình của hạt trong một hệ
quy chiếu mà ở đó hạt đứng yên.
Giải
Hạt đứng yên trong một hệ quy chiếu thì thời gian ta đo được là thời gian
riêng..
Do đó từ công thưcs dãn nở về thời gian ta có thời gian sông trung bình
của hạt - mezôn khi đó đứng yên là:
2

v
t0 t 1 6.106 1 (0.95)2 1,87.106 ( s )
c

Bài số 3: Một tên lửa chuyển động với vận tốc 0,6c đối với trái đất. Khi
bay gần trái đất, hoa tiêu điều chỉnh cho đồng hồ của mình trùng với 12 giờ
trưa. Vào lúc 12h30(giờ của hoa tiêu) tên lửa bay ngang qua một trạm vũ trụ
đứng yên đối với trái đất. Hỏi khi tên lửa bay ngang qua trạm vũ trụ thì trạm là
mấy giờ.
Giải
Theo biểu thức về dãn thời gian ta có ngay :
t 0

t =

v
1
c

2

30



1 0, 6

2

37,5 ph

Vậy lúc đó trên trạm là 12h37,5 phút.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

19

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Chương 5 : phép biến đổi tương đối tính các vận tốc
5.1 thiết lập biểu thức biến đổi tương đối tính
để thiết lập biểu thức biến đổi tương đối tính về vận tốc ta lập luận tương
tự như khi tìm các biểu thức biến đổi Lorentz:
Giả sử quan sát viên O chuyển động dọc theo trục chung xx với vận tốc
v đối với quan sát viên O.

Mỗi quan sát viên đo vận tốc của cùng một hạt duy nhất O đo được (ux,
uy, uz) còn O đo được (ux, uy, uz).
Trong đó ux, uy, uz là các thành phần của vận tốc đối với hệ quy chiếu
gắn với O và ux, uy, uz là các thành phần của vận tốc đối với hệ quy chiếu gắn
với O.
Sử dụng công thức biến đổi tọa độ ta có:
ux'

ux v
v
1 2 ux
c
2

v
uy 1
c
u 'y
v
1 2 ux
c

2

v
uz 1
c
u z'
v

1 2 ux
c

(v > 0 nếu như O chuyển động theo chiều (+) của trục x và v < 0 khi O
chuyển động theo chiều (-) của trục x).
Từ các biểu thức trên bằng phép biến đổi ta có:

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

20

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

ux

u'x v
v
1 2 u'x
c
2

v
u y 1
c
ux

v
1 2 u'x
c
'

2

v
u z 1
c
ux
v
1 2 u 'x
c
'

đó chính là biểu thức của phép biến đổi tương đối tính các vận tốc.
5.2 phép biến đổi các vận tốc và vận tốc ánh sáng
Một tín hiệu sáng đựơc phát ra từ vị trí gốc tọa độ chung lúc O và O
trùng nhau, ở thời điểm t = t = 0 theo chiều (+) của trục x và x
Đối với O các thành phần của vận tốc ánh sáng là:
ux = c ; uy = uz = 0
Đối với O các thành phần của vận tốc ánh sáng là:
ux'

ux v
cv

c ; uy = uz = 0
v

v
1 2 u x 1 2 .c
c
c

Như vậy đối với O vận tốc của ánh sáng cũng là c.
5.3 bài tập áp dụng
Bài số 1: Một hạt nhân phóng xạ chuyển động với vận tốc 0,5c trong
phòng thí nghiệm. Hạt nhân bị phân rã phát ra 1 êlectrôn theo hướng vuông
góc với hướng chuyển động của hạt nhân trong hệ quy chiếu phòng thí
nghiệm. Êlêctron này có vận tốc 0,9c trong hệ quy chiếu gắn với hạt nhân.
Tìm vận tốc của hạt electron này trong hệ quy chiếu quán tính trong phòng thí
nghiệm.

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

21

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Giải
Gọi O, O, P lần lượt là hệ quy chiếu gắn với phòng thí nghiệm, với hạt
nhân phóng xạ và với êlectrôn được phát ra.
Ta có:
u'x v

0 0,5c
ux

0,5c
1 0
v
1 2 u'x
c
2

v
u'y 1
0,9.c. 1 (0,5)2
c
uy

0, 779.c
1 0
v '
1 2 u x
c

Do đó vận tốc của hạt electron trong hệ quy chiếu gắn với phòng thí
nghiệm là: u = ux 2 u x 2 = 0,926.c
Bài số 2: Vào thời điểm t = 0 một quan sát viên phát ra một phonton theo
hướng tạo với trục x một góc 600. Một quan sát viên thứ hai chuyển động dọc
theo trục chung xx với vận tốc 0,6c.Tìm góc giữa quỹ đạo của photon với trục
x, của O.
Giải
Đối với quán sát viên thứ nhất ta có: ux= c.cos600 = 0,500c

uy =c.sin600 = 0,866c
Đối với quan sát viên thứ hai ta có:
ux'

ux v
0, 5c 0, 6c

0,143c
0, 6c.0,5c
v

1 2 ux 1
c2
c
2

v
uy 1
0,866c 1 (0, 6) 2
c
u 'y

0, 990c
0, 6c.0,5c
v
1
1 2 ux
c2
c

Gọi góc ' là góc giữa vận tốc đó và trục x ta có:

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

22

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

'

tg =

uy'
u

0,990c
6,92
0,143c



'
x

vận tốc tạo với chiều âm của trục x 1 góc ' = 81,80

Độ lớn của vận tốc photon đối với quan sát viên O là:

u'

' 2
x

' 2
y

u u

2

0,143c 0.990c



2

c

Đúng theo tiên đề 2 của Anhxtanh.
Bài số 3: Thiết lập biểu thức biến đổi Lorentz các vận tốc dọc theo trục
x.
Giải
Ta có:
x,

x vt

v2
1 2
c





v
x
2
,
c
t
v2
1 2
c
t

Lấy vi phân công thức trên về toạ độ ta có:
dx ,

dx vdt
v2
1 2
c

v
dt 2 dx
c
dt ,
v2
1 2
c

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

23

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

chia dx, cho dt, ta được:
dx
v
ux v
dx vdt
dt


v dx
v

v
dt 2 dx 1 2
1 2 u x
c dt
c
c
ux v
u x,
v
1 2 u x
c
dx ,
u ,
dt
,
2

Bài số 4: Một hạt chuyển động với vận tốc 0,8c và tạo với trục x một
góc 300 đối với một quan sát viên O. Xác định vận tốc của hạt đối với một
quan sát viên O, chuyển dọc theo trục chung x - x, với vận tốc - 0,6c.
Giải
Đối với quan sát viên O ta có:
ux = (0,8c) cos300
uy= (0,8c)sin300
Đối với quan sát viên O, theo phép biến đổi Lorentz các vận tốc.
u x,

ux v
(0,8c) cos 30 0 (0,6c ) sin 30 0

0,913c
0,6c .(0,8c) cos 30 0
v
1

1 2 u x
c2
c

v2
u y 1 2
2
(0,8c) sin 30 0 1 0,6
c
u ,y

0,226c
0,6c

v
0
.(0,8c) sin 30
(1 2 u ũ ) 1
c2
c

Vận tốc của hạt đo bởi quan sát viên O, là:
u,

u .u

, 2
x

, 2
y

0,941c .

Gọi , là góc giữa vận tốc đó và trục x, ta có:
,

tg

u ,y
u

,
x



0,226c
0,248
0.913c

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

24

, 13,9 0

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl


TRNG HSP H NI 2

LUN VN TT NGHP

Chương 6 : khối lượng, năng lượng và động lượng tương
đối tính
6.1 sự cần thiết phải định nghĩa lại động lượng
Một trong những hệ quả quan trọng của thuyết tương đối hẹp là khối
lượng của một vật biến đổi theo vận tốc của nó.
Ta sẽ xét thí nghiệm con lắc thử đạn đơn giản sau: Một quan sát viên O
bắn một viên đạn theo hướng y vào một vật đứng yên so với người bắn. Chúng
ta có thể giả thiết một cách hợp lý rằng độ xuyên sâu của viên đạn trong vật
tùy thuộc vào thành phần theo trục y của động lượng của viên đạn
P= m.uy (với m là khối lượng của viên đạn đo bởi O).
Giả sử cùng thí nghiệm trên được quan sát viên O nghiên cứu. Đối với
quan sát viên O, người bắn súng O chuyển động với vận tốc v dọc theo trục
chung x- x.
Vì rằng vết đạn để lại trong vật nằm theo hướng vuông góc với hướng
chuyển động tương đối nên O và O nhìn thấy vết đâm xuyên có cùng chiều
sâu và như vậy họ hy vọng sẽ tìm được cùng một giá trị đối với thành phần
theo phương y của mômen động lượng của viên đạn.
Đối với O thì Py = m.uy ( với m là khối lượng của viên đạn mà O đo
được).
Theo phép biến đổi Lorentz vì ux = 0 nên ta có:
2

v
u'y 1
2
v
c
uy
u'y . 1
v
c
1 2 u'x
c
v
Py m.u y m.u ' y . 1
c

2

Vì Py = m.uy nên nếu hai quan sát viên coi viên đạn có cùng một khối
lượng m = m thì họ sẽ tìm được Py Py,

GVHD : T.S LƯU THị KIM THANH

25

SVTH : TRN VN MINH - k31spvl