Phương pháp giải các bài toán động lực học vật rắn

Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sự chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của
thầy giáo TS. Đào Công Nghinh trong suốt quá trình thực hiện
khoá luận này, đồng thời em xin chân thành cám ơn thầy cô giáo
trong tổ Vật lý đại cương đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành
khoá luận tốt nghiệp của mình.
Tuy nhiên đây là bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu
khoa học nên đề tài của em không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất
mong được sự góp ý của thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn.

Hà nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Phí Thị Trâm

1


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp Phương pháp giải các bài toán động lực học vật
rắn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

TS. Đào Công Nghinh. Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác
giả khác.
Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật, nếu sai tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà nội, tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Phí Thị Trâm

2


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Mục lục
Trang
Phần A: Mở đầu

4

Phần B: Nội dung

6
6

Chương 1: Động lực học vật rắn
1.1.

Chuyển động của vật rắn

1.2.

Động lực học vật rắn

6
9

1.2.1. Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh

9

một trục cố định
1.2.2. Định luật bảo toàn và biến thiên mô men động lượng

11

1.2.3. Mô men quán tính

12

1.2.4. Động năng của vật rắn chuyển động

13

1.2.4.1. Động năng của vật rắn quay

13

1.2.4.2. Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ

13

1.2.5. Ma sát trong chuyển động lăn

15

1.3.

Cân bằng của vật rắn. Hệ lực cân bằng

18

Chương 2: Phương pháp giải một số bài toán động lực học vật rắn

20

2.1.

Phương pháp động lực học

20

2.2.

Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn

21

2.2.1. Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng

21

2.2.2. Bài tập áp dụng định luật bảo toàn hoặc biến thiên

21

mômen xung lượng
Chương 3: Một số bài tập minh hoạ phương pháp giải bài tập động

23

lực học vật rắn.
Phần C: Kết luận

63

Tài liệu tham khảo

64

3


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Phần A: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu quy luật
tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và cấu trúc của
vật chất và những định luật của sự vận động vật chất.
Cơ học nghiên cứu những vất đề đơn giản nhất nhưng lại là cơ bản nhất
trong hệ thống tri thức Vật lý. Cơ học vật rắn là một phần của giáo trình cơ học,
nghiên cứu chuyển động của vật rắn, điều kiện cân bằng của vật rắn và một số
hiệu ứng liên quan. Vậy vật rắn là gì? quy luật chuyển động của nó như thế nào
và bị chi phối bởi những định luật nào?
Vật rắn là vật có hình dạng và kích thước không đổi. Ta có thể xem vật rắn
là hệ chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi, vật được định nghĩa
như vậy sẽ không bị biến dạng nên được gọi là vật tuyệt đối rắn. Về nguyên tắc
có thể áp dụng các phương trình động lực học về chuyển động của hệ chất điểm
song vì khoảng cách giữa các chất điểm của vật rắn là không đổi nên vật rắn có
nhiều tính chất đặc biệt và ta không thể giải quyết bài toán chuyển động của vật
rắn một cách nhanh gọn triệt để bằng phương pháp động lực học hệ chất điểm.
Trong thực tế rất nhiều người sẽ gặp khó khăn khi giải quyết bài toán chuyển
động của vật rắn. Chính vì vậy tôi bước vào nghiên cứu đề tài: Phương pháp giải
các bài toán động lực học vật rắn.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Tìm hiểu chuyển động và cân bằng của vặt rắn.
- Đề ra phương pháp giải các bài tập động lực học vật rắn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay của vật rắn và một
số định luật bảo toàn chi phối chuyển động của vật rắn.
- Đưa ra phương pháp giải bài toán động lực học vật rắn.
- Minh hoạ bằng việc giải một số bài toán động lực học vật rắn.

4

Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

4. Đối tượng nghiên cứu:
Động lực học vật rắn và các bài toán liên quan.
5.Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp đọc sách và tài liệu.
- Phương pháp phân tích- tổng hợp.
- Phương pháp đối chiếu- so sánh.

5


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý
Phần B: Nội dung

Chương 1: Động lực học vật rắn
1.1. Chuyển động của vật rắn.
- Chuyển động bất kỳ của vật rắn có thể quy về hai dạng chuyển động cơ
bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Trong chuyển động tịnh tiến: Tất cả các điểm của vật đều có cùng một
véctơ vận tốc và véctơ gia tốc tại mỗi thời điểm bởi vì các điểm của vật đều có
độ dời như nhau. Do vậy để nghiên cứu chuyển động tịnh tiến của vật thì chỉ cần
khảo sát chuyển động của một điểm bất kỳ của nó; người ta thường chọn điểm
này là khối tâm của vật.

Trong chuyển động quay tất cả các điểm của vật chuyển động theo những
đường tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng gọi là trục quay. Những điểm
nằm trên trục quay có vận tốc bằng không. Mô tả chuyển động quay của vật cần
phải biết vị trí của trục quay trong không gian và vận tốc góc của vật tại mỗi thời
điểm.
- Trong đề tài này ta chỉ xét chuyền động song phẳng. Chuyển động song
phẳng là chuyển động trong đó mọi điểm của vật dịch chuyển trong những mặt
phẳng song song với nhau. Một dịch chuyển nguyên tố d S của một điểm của vật
chuyển động song phẳng có thể chia thành hai dịch chuyển: dịch chuyển tịnh
tiến d S tt và dịch chuyển quay d S q .
d S d S tt d S q

Vận tốc của điểm đó là:
v

d S d S tt d S q


v0 v '
dt
dt
dt

Trong đó v0 là vận tốc của chuyển động tịnh tiến, vận tốc này là như nhau
đối với mọi điểm của vật; v , là vận tốc gây bởi chuyển động quay, các điểm
khác nhau có vận tốc v , khác nhau.
Như vậy có thể biểu diễn chuyển động song phẳng của một vật rắn như là
tổng hợp của hai chuyển động: chuyển động tịnh tiến với v0 và chuyển động

6

Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

quay với vận tốc góc quanh một trục nào đó. Vận tốc v , của điểm có bán kính





vectơ r so với trục quay, do sự quay của vật rắn gây ra là v , r .





Vậy v v0 r .






Thông thường điểm cơ bản được chọn trùng khối tâm thì v vG r
- Vận tốc của chuyển động tịnh tiến của vật rắn phụ thuộc điểm cơ bản ta
chọn còn vận tốc góc lại có giá trị như nhau đối với các trục quay tức thời được
chọn khác nhau.
Chứng minh:

+ Xét chuyển động của vật rắn đối với hệ toạ độ nằm yên ở gốc O.

M
r,

A/

r
R

rM

A
O

r

A

+ Chọn A làm điểm cơ bản. Đặt rA OA; rM OM ; r AM
rM rA r

Đạo hàm 2 vế biểu thức trên ta được:

vM v A

dr
dt

v M ; v A là vận tốc của điểm M, A đối với hệ O.

Vật tuyệt đối rắn quay quanh trục qua A với vận tốc . Nên AM có độ
lớn không đổi mà chỉ thay đổi về phương.



dr
r
dt





Kết quả: vM v A r



(1.1)

+ Chọn điểm A khác A làm điểm cơ bản. Tương tự ta có:
'



v'M vA ' r '


7

(1.2)


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

(1.1) và (1.2) cùng biểu diễn vận tốc của điểm M trong hệ O nên ta có:







v M v M' v A r v 'A ' r '



Thay r ' r R vào đẳng thức trên ta có:







v A r v 'A ' r ' R

(1.3)






Vận tốc của A khi chọn A làm điểm cơ bản: vA vA' ' R


Thay v A vào vế phải của (1.3) ta có:


r r

vA r vA ' r



'

'

(điều phải chứng minh)

- Vận tốc của hình trụ lăn không trượt:
Xét vật rắn là một hình trụ quay quanh một trục không đổi với vận tốc
góc không đổi đối với hệ K gắn với trục quay. Hệ K chuyển động tịnh tiến
đối với hệ đứng yên K với vận tốc v0 theo trục ox.

Hình trụ có bán kính R, nếu lăn không trượt dọc theo ox thì mỗi vòng lăn,
trục hình trụ đã dịch chuyển đối với hệ K một đoạn bằng 2R. Trong khoảng
thời gian dt, đoạn dịch chuyển là:
dstt = Rdt
Vận tốc tịnh tiến v0 của hình trụ đối với hệ K dọc theo ox là:
v0

dS tt
R
dt

Đối với hệ K thì vận tốc v ' của mỗi điểm trên mặt hình trụ đều có cùng
mô đun v = R và có phương tiếp tuyến với quỹ đạo.
Vậy: Vận tốc của mỗi điểm trên mặt hình trụ đối với hệ K là: v v0 v ,

y
y/

z/

z

C
v D,

vD

D

v0

v0

(K)
O

(K/)

O'

O

B

v0

x/x

v A v0
'
A

8

C

v0 vc

v

v0
'
B

vc

O
v0

vB
A


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

v A v 0 v ,A 0
v B v 0 v B,

, v B hướng từ C đến B , vB = R 2

vC v 0 vC,

, vC cùng hướng v0 , vC = 2R

v D v 0 v D,

, v D hướng từ D đến C , vD = R 2

- Nếu chọn trục tức thời qua A thì vận tốc tịnh tiến của A bằng 0 nên vận
tốc của các điểm trên hình trụ chỉ là vận tốc quay quanh trục tức thời với vận tốc
góc cũng là .



AB
AD

vC AC

vB
vD

Tính toán tương tự ta cũng thu được kết quả như trên.
1.2. Động lực học vật rắn.
1.2.1. Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố
định:
Vật rắn chuyển động xung quanh trục cố định oz mỗi điểm của nó chuyển
động trên đường tròn vuông góc trục quay, có tâm nằm trên trục quay.

z
F

F//

r

Ft

A

F

r0

Fn

O
Tác dụng vào vật một lực bất kỳ F đặt tại A. có thể phân tích F ra thành
hai thành phần: F = F// F
F// : là thành phần song song trục oz. Thành phần này làm vật chuyển động

dọc trục. Khi trục quay cố định thì F// cân bằng với phản lực liên kết.
9


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Ft là thành phần vuông góc với trục oz. Ta phân tích:
F Ft Fn

Fn có tác dụng làm lệch phương trục quay. Khi trục quay cố định nó cân

bằng với phản lực liên kết.
Chỉ có thành phần Ft theo phương tiếp tuyến quỹ đạo mới làm biến đổi
chuyển động quay.

Mômen của lực F đối với tâm O là M r0 F , phương của M không
trùng với oz. Mômen của lực F đối với trục quay oz là thành phần M z của M
trên trục oz:

M Z rF sin r , F rFt





- Gọi các chất điểm của vật rắn là mi. Chất điểm chịu tác dụng của nội lực
và ngoại lực nhưng nội lực không làm biến đổi chuyển động của vật rắn nên ta
chỉ quan tâm tới ngoại lực.
Xét chất điểm mi bất kỳ. Nó chịu ngoại lực Fit theo phương tiếp tuyến với
quỹ đạo chuyển động có bán kính ri.
Theo định luật II Niutơn:
Fit mi ai



ri Fit ri mi ai ri Fit mi ri 2

ai ri


Vế trái:

riFit = Miz
M iz mi ri 2

Vậy:

Lấy tổng theo tất cả các chất điểm ta có:

M
i

m r

i i

2

iz



mi ri 2 M z mi ri 2
i
i


I được gọi là mômen quán tính của vật đối với trục quay.

i

Vậy M z I
Do I > 0 nên ta có thể viết M z I (1.4)
Phương trình (1.4) là phương trình định luật II Niutơn cho chuyển động
quay quanh một trục cố định của vật.

10


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Nội dung: Tích mômen quán tính của vật với gia tốc góc của nó quay
quanh một trục bằng tổng mômen ngoại lực tác dụng lên vật đối với trục quay.
M z I

1.2.2. Định luật bảo toàn và biến thiên mômen động lượng.
Ta có

M z I I

d
dt

Khi I = const thì ta viết được M

z

d
I
dt



dL
.
dt

Lại có: M

Như vậy: L I .
Phương trình chuyển động quay của vật có thể viết dưới dạng tổng quát:
MZ



d LZ
d

I
dt
dt

(1.5)

Phương trình (1.5) là phương trình của định luật biến thiên mômen động
lượng của vật.
Định luật này được phát biểu như sau: Tốc độ biến thiên mômen động

lượng của vật đối với trục quay nào đó bằng hình chiếu của mômen các ngoại lực
tác dụng lên vật trên trục ấy.
+ Nếu M Z 0
+ Fit 0 : (hệ kín)
+ M Z MiZ 0 mặc dù Fit 0
i

+ F là lực xuyên tâm, giá của lực đi qua điểm tính mômen
Thì

d LZ
0
dt

Đây là phương trình của định luật bảo toàn mômen động lượng.
Nội dung của định luật bảo toàn mômen động lượng: Khi mômen của các
ngoại lực tác dụng lên vật đối với một trục nào đó bằng không thì mômen động
lượng của vật đối với trục đó không đổi.

11


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

1.2.3. Mômen quán tính.
Mômen quán tính của vật đối với một trục nào đó được xác định bằng
công thức I mi ri2
i

I phụ thuộc vào hình dạng, kích thước, sự phân bố khối lượng của vật và
trục quay, I không phụ thuộc trạng thái chuyển động của vật.
Đối với vật rắn có khối lượng phân bố liên tục thì I r 2 dm r 2 dv .
v

v

Trong đó r là khoảng cách từ nguyên tố khối lượng dm dv đến trục
quay; dv là thể tích nguyên tố.
Mômen quán tính là một đại lượng cộng tính.
Mômen quán tính của mỗi vật chỉ thể hiện khi có mômen ngoại lực tác dụng
lên vật. Với cùng một mômen lực tác dụng , vật có mômen quán tính càng bé thì
thu được gia tốc góc càng lớn và ngược lại.
- Định lý Stenơ- Huyghen:
Mô men quán tính I của vật rắn đối với một trục bất kỳ bằng mômen quán
tính I0 của vật đó đối với trục song song với trục bất kỳ và đi qua khối tâm G của
vật cộng với tích của khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách a giữa
hai trục đó.
I = I0 + ma2

dm

x

z

r
R

0 G

a

P



y

+ Chứng minh: Xét vật rắn bất kỳ.
0 là trục song song oz đi qua khối tâm G vật.
là trục bất kỳ song song với 0 , đi qua điểm P, cách 0 một khoảng a.

Chọn hệ toạ độ có gốc ở khối tâm.
Xét một phần tử khối lượng dm bất kỳ của vật rắn. Vị trí của dm được xác
định bởi bán kính vectơ R đối với G và r đối với P.
I0, I là mômen quán tính đối với trục 0, .
12


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

I r 2 dm .
v

Ta có r R a .

2



Vậy I R a dm R 2 a 2 2 R a dm .
v

v

I R 2 dm a 2 dm 2 R adm .
v

v

v

I I 0 ma 2 2a Rdm .
v

Rdm
Vì gốc toạ độ chọn ở khối tâm nên: RG

v

dm

0 Rdm 0 .
v

v

Vậy I = I0 + ma2

(đpcm)

1.2.4. Động năng của vật rắn chuyển động.
1.2.4.1. Động năng của vật rắn quay:
Vật quay xung quanh trục cố định (giả sử là trục oz). Vân tốc dài của khối
lượng nguyên tố mi là vi = Ri.
Ri là khoảng cách từ mi đến oz.
Động năng của khối lượng nguyên tố thứ i là: Ti =

mi vi2
1
= mi2 Ri2
2
2

Vậy động năng của vật rắn quay quanh trục cố định:
T=

1

Ti = 2 mi2 R

i

T=

i

2
i

=

1 2
mi Ri2
2
i

1
Iz2
2

Trong đó: Iz là mô men quán tính của vật đối với trục oz.
1.2.4.2. Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ:






Vận tốc của khối lượng nguyên tố thứ i là v i = v 0 + [ ri ]
Trong đó: v 0 là vận tốc của điểm cơ bản O ta chọn.

ri là bán kính véc tơ xác định vị trí của khối lượng nguyên tố

thứ i đối với gốc O.
13


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Động năng của khối lượng nguyên tố mi là:

1
1

2
mi vi2 = mi ( v 0 + [ r i ])
2
2

Ti =



1


2
mi { v02 + 2 v 0 [ ri ] + [ ri ] }

2


Gọi Ri là khoảng cách từ mi đến trục quay ta có: [ ri ] = Ri

Ti =

Vậy: Ti =


1

mi { v02 + 2 [ v 0 ] ri +
2

2 Ri2 }

Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ:
T=

1 2
v0
2

Ti =
i



m + [v

i

i

0


1

] mi r i +
2
i

2 mi Ri2
i

Bán kính véc tơ xác định vị trí của khối tâm:



rG =

m r

i i

i

m

=>

m

i



ri = m rG

i

Gọi I là mômen quán tính của vật đối với trục quay O ta có : I =

m

i

Ri2

i


1
1


I 2
m v02 + m [ v 0 ] rG +
2

2

Nếu chọn điểm cơ bản trùng với khối tâm thì rG = 0, I = I0

Vậy: T =

Do đó: T =

1
1
I0 2
m vG2 +
2
2

T = Ttt + Tq
Động năng của vật rắn chuyển động bất kỳ bằng tổng động năng chuyển
động tịnh tiến và động năng quay quanh trục đi qua khối tâm.
* Cơ năng của vật rắn trong trường lực thế:


- Trong trường lực thế F thế năng của vật tại một vị trí có giá trị bằng
công mà lực thế thực hiện khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí tính thế năng đến
vị trí có thế năng bằng không.

r0


U = Fdr =
r

r


F
dr


r0


r0 là bán kính véc tơ xác định vị trí gốc thế năng

- Trong trường hấp dẫn:
Chọn gốc thế năng tại mặt đất. Trục toạ độ oz hướng lên trên:
14


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

h

U = - (mg )dz = mgh
0

Vật chuyển động trong trường hấp dẫn thì cơ năng của vật được bảo toàn:
E = T + U = const

E

1
1
I 0 2 + mgh = const
m v02 +
2
2

1.2.5. Ma sát trong chuyển động lăn.
Xét một hình trụ tròn đồng chất khối lượng m bán kính R lăn trên một mặt
phẳng ngang.
* Hình trụ được truyền trước một chuyển động tịnh tiến thẳng đều (hình


trụ không quay) theo phương ngang với vận tốc v 0 .
Thời điểm t = 0 hình trụ được thả cho chuyển động trên mặt ngang.
- Nếu hoàn toàn không có lực ma sát thì hình trụ tiếp tục chuyển động tịnh tiến


trên mặt ngang với vận tốc v 0 và không quay.
- Khi có lực ma sát F ms (ma sát trượt).
N

Phương trình chuyển động của hình trụ:

v0

dv

m Fms

dt
d
I 0
M ms Fms R
dt

(1.6)
Fms
A

Từ đây ta thấy vận tốc của chuyển
P

động tịnh tiến của hình trụ giảm dần, còn lực

ma sát gây ra mômen quay làm hình trụ quay nhanh dần. Điểm tiếp xúc A của
hình trụ và mặt ngang trượt về phía trước với vận tốc v R .
Gọi t1 là thời điểm hình trụ chỉ lăn mà không trượt. Khi đó vận tốc của
điểm tiếp xúc bằng 0 ta có:
v1 1 R 0

(*)



v1 1 R const

1 const

Biến đổi từ (1.6) ta có:

1
dv Fms dt

m

R
d Fms dt
I0





t

1 1
v1 v0 Fms dt
m0


t1
R F dt
1
ms

I 0 0

15



v1 v0

I 01
mR

(**)


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Từ (*) và (**) ta có: v1

v0
;
I0
1
mR 2

1

v0
R

I0
mR

Thực nghiệm cho thấy sau thời điểm t1 hình trụ lăn không đều và chậm
dần đến một lúc nào đó nó dừng lại không tịnh tiến và cũng không quay nữa.
* Hình trụ được truyền trước một chuyển động quay đều quanh trục với
vận tốc góc 0 (hình trụ không chuyển động tịnh tiến).
Thời điểm t = 0 hình trụ được thả cho tiếp xúc với mặt ngang.
- Nếu hoàn toàn không có ma
sát thì nó tiếp tục quay tại chỗ với vận

N

tốc góc 0 .
- Khi có ma sát trượt. Phương
trình chuyển động của hình trụ là:
dv

m dt Fms
d
I 0
Fms R
dt

Fms

A
(1.7)

P

Từ đó ta thấy hình trụ vừa chuyển động tịnh tiến nhanh dần về phía trước,
vừa chuyển động quay quanh trục chậm dần. Vậy trục hình trụ chuyển động
sang phải với vận tốc v , còn điểm tiếp xúc A giữa hình trụ và mặt ngang trượt về
phía sau với vận tốc R v .
- Đến thời điểm t1 hình trụ chỉ lăn mà không trượt, vận tốc của điểm tiếp
xúc bằng 0.
Ta có : 1 R v1 0



1 const,

Tính toán tương tự cho ta các kết quả:

v1 const

v1

0 R
1

mR
I0

2

;

1

0
1

mR 2
I0

Thực nghiệm cũng cho thấy sau thời điểm t1 hình trụ quay và tịnh tiến
chậm dần cuối cùng dừng lại.

16


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

* Kết luận:
- Muốn duy trì chuyển động lăn đều không trượt phải đặt lên hình trụ 1 lực
F . Trong chuyển động lăn còn xuất hiện thêm lực cản mới Fc không đi qua tâm

O để:
+ Cản lại chuyển động tịnh tiến.
+ Cản lại chuyển động quay.
Fc N Fl

Thành phần pháp tuyến N , N P có
Fc N

điểm đặt ở B lệch về phía trước theo
phương thẳng đứng so với O.

F

O

Thành phần tiếp tuyến Fl gọi là lực
ma sát lăn.

A

Thực nghiệm cho thấy lực cản tạo ra





mômen cản M c OB Fc , M c R.Fl N

P

Fl

trong đó AB có thứ nguyên độ dài và được gọi là hệ số ma sát lăn.
- Hình trụ lăn có trượt thì có cả lực ma sát lăn và lực ma sát trượt tác dụng
nhưng thực tế có thể bỏ qua ma sát lăn vì nó rất nhỏ so với ma sát trượt.
- Hình trụ lăn không trượt và có một lực (hay một ngẫu lực) nội lực hoặc
ngoại lực có xu hướng làm tăng hay giảm tốc độ tịnh tiến hoặc quay của hình
trụ, thì ngoại lực ma sát lăn còn xuất hiện cả lực ma sát nghỉ.

* Để thấy rõ tác dụng của ma sát trong chuyển động lăn ta hãy phân tích
chuyển động của các bánh xe ô tô.
- Bánh xe phát động: Do chuyển vận của động cơ bánh xe có một ngẫu lực
phát động tác dụng. Ngẫu lực này chỉ có thể làm quay bánh xe chứ không gây
chuyển động tịnh tiến của xe. Nhưng do ma sát nghỉ xuất hiện giữ cho điểm tiếp
xúc của bánh xe với mặt đường không trượt về phía sau. Lực ma sát nghỉ này tạo
nên mômen cản chuyển động lăn của bánh xe, mặt khác nó gây ra gia tốc tịnh
tiến cho bánh xe, đẩy bánh xe chuyển động về phía trước.
- Bánh xe thụ động thì tự nó không quay mà tịnh tiến do tác dụng đẩy của
bánh xe phát động. Khi nó lăn không trượt thì chỉ lực ma sát lăn tác dụng mà
thôi. Ma sát tác dụng vào bánh xe thụ động chỉ có vai trò tiêu cực cản trở chuyển
động tịnh tiến.
17


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

1.3. Cân bằng của vật rắn. Hệ lực cân bằng.
Chuyển động bất kỳ của vật rắn được xác định bởi 2 phương trình:
F Fi m a
i





M ri Fi
i

dL
dt

Nếu thay thế hệ lực tác dụng bằng một lực mà trạng thái chuyển động của
vật không thay đổi thì lực đó gọi là hợp lực F , điểm đặt của F có bán kính
vectơ xác định vị trí của nó là r ta có:
F Fi
i







M r F ri Fi



(1.8)

i

- Hợp lực của hệ lực đồng qui:
Dịch chuyển các lực dọc theo giá của chúng thì không làm thay đổi
mômen của lực đó đối với một điểm bất kỳ.
Nếu các lực Fi là các lực đồng qui thì ri r . Hợp lực của hệ là F thì
F Fi , hợp lực này có mômen lực là tổng các mômen lực do các lực Fi gây ra.
i

M ri Fi r Fi r F
i
i





- Hợp lực của hệ lực song song:
Gọi e là vectơ đơn vị trên một trục song song với giá của các lực Fi :
F Fi Fi e e Fi
i

i

i

Điểm đặt của F được xác định từ biểu thức (1.8) :

r F r F
i

i





r e Fi ri Fi e
i

i

Vậy:






r Fi e ri Fi e
i
i


r F
r
F
i

r Fi ri Fi
i

i



i

i

i

i

18

i


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

+ Vận dụng kết quả trên vào trường hợp: Fi là trọng lực tác dụng lên phần
tử mi của vật rắn.
Fi mi g i

m g r

r
m g
i

i i

i

i

i

i

Điểm đặt của trọng lực Ftl Fi là mút của r gọi là trọng tâm của vật rắn.
i

+ Đối với trọng trường đều g = const:

m r m r
r

m
m
i i

i i

i

i

i

i

Vậy trong trọng trường đều thì trọng tâm của vật trùng với khối tâm.
- Hệ lực cân bằng:
Vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều (trạng thái cân bằng) ngoài tổng
các lực tác dụng bằng 0 thì phải có tổng mômen lực đối với một điểm bất kỳ
bằng 0.
F Fi 0
i





M M i ri Fi 0
i

i

Hệ lực mà có tổng các lực bằng 0 và tổng mômen lực bằng 0 gọi là hệ lực
cân bằng.
+ Khi M o (tổng mômen lực đối với điểm O) thoả mãn điều kiện hệ lực cân
bằng thì với O bất kỳ ta cũng có M 0' 0 .
Chứng minh:
F Fi 0
i

r


F r b F ;

M 0 M i 0 ri 0 Fi 0
i

i

M 0 ' M i 0'
i



i 0'

i



i

i0

i

(Với ri 0 ri 0' b )

i





M 0' ri 0 Fi b Fi M 0 b Fi 0
i
i
i



(đpcm)

Vậy vật rắn cân bằng khi F 0 và M (đối với điểm bất kỳ) = 0.
19


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Chương 2 : Phương pháp giải
một số bài toán động học vật rắn
Bài toán động lực học vật rắn cũng có 2 phương pháp khảo sát đó là
phương pháp động lực học và phương pháp các định luật bảo toàn như các bài
toán cơ học khác. Tuy nhiên trong từng phương pháp có sự khác biệt mà ta sẽ
thấy được sau đây.

2.1. Phương pháp động lực học.
Bước 1: + Chọn hệ qui chiếu sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất.
Thông thường hệ qui chiếu được chọn là hệ qui chiếu quán tính.
+ Chọn chiều dương của mômen lực.
Bước 2: + Xác định những lực tác dụng lên hệ.
+ Chọn trục quay và xác định mômen của lực đối với trục quay đó.
Bước 3: Viết 2 phương trình mô tả chuyển động của vật rắn.
F Fi ma

(1)

i





M M i ri Fi I

( 2)

Trong đó: F1 là ngoại lực thứ i tác dụng lên vật.
a là gia tốc khối tâm của vật.

Bước 4: Chiếu (1) lên hệ qui chiếu đã chọn.
Chiếu (2) lên chiều dương của mômen lực đã chọn.
Bước 5: Giải hệ phương trình hình chiếu để tìm ẩn số.
Khi ẩn số ít hơn số phương trình thì phải viết thêm các phương trình liên quan:
Lực: biểu thức định luật III Niutơn, biểu thức độ lớn của các loại lực.
Gia tốc: Các công thức động học tương ứng.

Điều kiện bài toán: Vật lăn không trượt: f ms f mst , a R
Vật lăn có trượt:

f ms f mst , a R

* Nếu hệ qui chiếu ta chọn là hệ qui chiếu không quán tính thì các phương
trình mô tả chuyển động của vật là:

F F
i

qt

ma

(1)'

i

20


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

M M i M qt ri Fi rqt Fqt I
i

M

(2)' hay

i

M qt

i

i

dL
dt

Do lực quán tính đặt tại khối tâm nên nếu xét hệ không quán tính gắn với
khối tâm thì M qt 0 do vậy khi lập phương trình (2) không cần tính tới mômen
của lực quán tính.
2.2. Phương pháp sử dụng các định luật bảo toàn.
Các định luật bảo toàn là công cụ rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu
chuyển động của cơ hệ. Trong trường hợp chưa biết các lực tác dụng (khi va
chạm) thì các định luật bảo toàn là phương tiện duy nhất để chúng ta khảo sát hệ
cơ học. Ngay cả khi biết các lực tác dụng người ta vẫn sử dụng phương pháp này
để tránh các phép tính phức tạp không cần thiết. Trong việc giải các bài toán
động lực học vật rắn chúng ta sử dụng hai định luật chủ yếu: Định luật bảo toàn

cơ năng và định luật bảo toàn mômen xung lượng.
2.2.1. Bài tập giải bằng định luật bảo toàn cơ năng.
Bước 1:

Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu.

Bước 2:

+ Xác định các lực tác dụng lên hệ.
+ Chọn mốc thế năng sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất.

Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên cơ năng.
+ Hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế thì áp dụng định luật bảo
toàn cơ năng : E2 E1
+ Ngoài lực thế, hệ còn chịu tác dụng của lực không thế thì áp
dụng định luật biến thiên cơ năng:

dE dA( kt )



E 2 E1 A( kt )

Bước 4: Giải phương trình trên tìm ẩn số.
2.2.2. Bài tập áp dụng định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen xung lượng.
Bước 1: Chỉ ra hệ vật cần nghiên cứu.
Bước 2: + Chọn hệ trục toạ độ sao cho việc giải bài tập là đơn giản nhất.
+ Xác định mômen động lượng của các vật trước, sau tương tác.
Bước 3: Viết phương trình của định luật bảo toàn hoặc biến thiên mômen
xung lượng:

21


Khoá luận tốt nghiệp
+ M 0

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Hệ kín Fi 0 .
M M i 0 mặc dù Fi 0 .
i

F là lực xuyên tâm, giá của lực đi qua điểm tính mô men.

áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng:

dL
0
dt



L2 L1

+ Nếu một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì áp dụng định luật
biến thiên mômen xung lượng: M Z

dL
dt

Bước 4: Giải phương trình tìm ẩn số.

22



d LZ M Z dt


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Chương III: Một số bài tập minh họa
phương pháp giải bài tập động lực học vật rắn
Bài 0: Bài toán bổ sung.
Dựa vào các kiến thức đã tìm hiểu thì ta có thể làm rõ một số điều kiện
tương đương với các dữ kiện cho trong bài tập. Đó là bỏ qua khối lượng ròng rọc,
bỏ qua khối lượng sợi dây, dây không giãn. ở các bài sau có sợi dây và ròng rọc
khi không nói gì thêm ta hiểu là luôn có 3 điều kiện trên.
* Xét đối với ròng rọc:
R2

R
r2

R1
r1

r2

T2

r1

T2

T1

Ròng rọc 2 nấc

Ròng rọc 1 nấc

T1

Sợi dây vắt qua ròng rọc tác dụng 2 lực T1 ,T2 lên ròng rọc. Mô men lực do







2 lực T1 ,T2 gây nên: M r1 T1 r2 T2 I
Mô men quán tính: I mi ri 2 dvr 2
i

v

Bỏ qua khối lượng ròng rọc nên I 0 . Vậy ta có: r1 T1 r2 T2 0
Chiếu phương trình trên lên phương trục của ròng rọc:
- Đối với ròng rọc 1 nấc: Ta có R(T1 T2 ) 0 .
- Đối với ròng rọc 2 nấc: Phương trình hình chiếu là:
R1T1 R2T2 0

T2



R2
T1
R1

Vậy khi bỏ qua khối lượng ròng rọc thì ròng rọc 1 nấc chỉ có tác dụng

làm thay đổi chiều của lực tác dụng, còn ròng rọc nhiều nấc có tác dụng biến đổi
chiều và độ lớn của lực tác dụng.
* Bỏ qua khối lượng sợi dây:
Giả sử trên sợi dây ta chia ra các đoạn nhỏ khối lượng m có thể coi là 1
chất điểm.
23

Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

Tác dụng lên m có trọng lực P và 2 lực căng T1 ,T2 đặt vào 2 đầu của m .
Theo định luật II Niutơn ta có: T1 T2 P ma
Bỏ qua khối lượng sợi dây nên:

T2

m 0 và P 0 T1 T2 0 T1 T2

Như vậy khi bỏ qua khối lượng sợi dây thì sức căng dây

m

T tại mọi điểm là như nhau.

P

* Khi dây không giãn: 2 vật nối vào 2 đầu dây dịch
chuyển được quãng đường bằng nhau trong cùng khoảng thời

T1

gian 2 vật đó có cùng vận tốc và gia tốc tại mỗi thời điểm.

Bài 1: Cho quả cầu có khối lượng m1 bán kính r , thả từ nghỉ ở độ cao h .
a. Xác định gia tốc, vận tốc khối tâm của quả cầu khi nó ở chân mặt phẳng
nghiêng, cho biết quả cầu lăn không trượt.

b. Giả sử quả cầu lăn không trượt trên toàn bộ quĩ đạo chuyển động. Tính
hmin để quả cầu không rời khỏi chỗ cao nhất của đường vòng, cho R r .

c. Nếu quả cầu được thả từ độ cao h 6 R thì thành phần nằm ngang của
lực tác dụng vào quả cầu tại Q là bao nhiêu?.
Giải:

y

z

C

N

x
h

A

Fms

R
Q

P


a. Tìm gia tốc của khối tâm quả cầu ta có thể sử dụng 2 cách.
Cách 1: Phương pháp động lực học.

- Chọn hệ qui chiếu quán tính oxyz gốc O trùng với khối tâm quả cầu ở
thời điểm ban đầu.
Các trục ox, oy, oz có hướng như hình vẽ.
Chiều oz là chiều dương của mô men lực.
24


Khoá luận tốt nghiệp

Phí Thị Trâm K29 Vật Lý

- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P , phản lực pháp tuyến của mặt
phẳng nghiêng N , lực ma sát Fms . Vì quả cầu lăn không trượt nên ma sát ở điểm
tiếp xúc Fms là lực ma sát nghỉ.
Trục quay là trục qua khối tâm và song song oz .
- Phương trình chuyển động của quả cầu:
P N Fms ma



(1)



M G R Fms I 0

(2)

Chiếu (1) lên ox : P sin Fms ma
Chiếu (2) lên oz :

(3)

RFms I 0

Fms

I0a
R2

Hình trụ lăn không trượt nên: a R
Thay Fms vào (3) ta có: P sin
2
5

Quả cầu đặc: I 0 mR 2



I0a
ma
R2

a



a

mg sin

I
m 02
R

5
g sin
7

+ Hình trụ lăn đến cuối dốc, nó đi được quãng đường l

h
. Trong
sin

chuyển động nhanh dần đều không vận tốc ban đầu vt2 2as .
Vận tốc khối tâm hình trụ ở cuối chân dốc: v 2 2al
Fms

10
gh .
7

I0a 2
2 5
2
ma m g sin mg sin
2
5
5 7
7

R

Điều kiện để quả cầu lăn không trượt: Fms Fms max N


2
mg sin mg sin
7



tg 3,5

Cách 2: Phương pháp năng lượng:
- Tác dụng lên quả cầu có trọng lực P , phản lực pháp tuyến của mặt
phẳng nghiêng N , lực ma sát nghỉ Fms . Như vậy vật chuyển động trong trường
thế và lực ma sát nghỉ, phản lực pháp tuyến không sinh công nên cơ năng của nó
bảo toàn.
E T U const

25