Phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Mục lục
Lời cảm ơn ........................................................................................................ 2
Lời cam đoan ..................................................................................................... 3
Mở đầu .............................................................................................................. 4
1.Lý do chọn đề tài .................................................................................... 4
2.Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 4
3.Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 4
4.Đối tượng nghiên cứu............................................................................. 4
5.Phương pháp nghiên cứu........................................................................ 4
Nội dung ............................................................................................................ 5
Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng ................................................................... 5
1.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................... 5
1.2.Bài tập ................................................................................................. 6
Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử .............................. 11
2.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 11
2.2.Bài tập ............................................................................................... 11
Chương 3: Tìm xác suất .............................................................................. 19
3.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 19
3.2.Bài tập ............................................................................................... 20
Chương 4: Tính giá trị trung bình ............................................................... 26
4.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 26
4.2.Bài tập ............................................................................................... 26
Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyển động ......... 34
5.1.Cơ sở lý thuyết .................................................................................. 34
5.1.1.Phương trình Schrodinger .......................................................... 34
5.1.2.Các bài toán một chiều đơn giản ................................................ 35
5.2.Bài tập ............................................................................................... 36

Kết luận ........................................................................................................... 43
Tài liệu tham khảo ........................................................................................... 44

- 1 -


Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ
Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa đã tận tình hướng
dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố
gắng nhưng vẫn không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý
của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài được đầy đủ và hoàn
thiện hơn.
Một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên thực hiện.

Trương Thu Liên

- 2 -


Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của
TS. Trần Thái Hoa.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương pháp giải một
số dạng bài tập cơ học lượng tử” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác.

Sinh viên thực hiện:

Trương Thu Liên

- 3 -


Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói
chung và lý thuyết Vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá
quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý
thuyết đã học.
Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại
học đó là môn cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào

đầu những năm 30 của thế kỷ XX. Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa
dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về
chúng thì lại khá phức tạp. Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập
cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực.
Từ những đặc điểm nêu trên tôi chọn đề tài “Phương pháp giải một số dạng
bài tập cơ học lượng tử” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số dạng bài tập cơ học lượng tử cơ bản.

3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của cơ
học lượng tử.

4.Đối tượng nghiên cứu
Bài tập cơ học lượng tử.

5.Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp toán học

- 4 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Nội dung
Chương 1: Chuẩn hoá hàm sóng
1.1.Cơ sở lý thuyết

Xét không gian F  q  các hàm số liên tục của các biến q. Các hàm

  q  được chuẩn hoá về đơn vị mà tích phân sau hội tụ:

   q  dq  N (hữu hạn)
2

thì hàm  '  q  

(1)

1
  q  được chuẩn hoá về đơn vị. Việc nhân hàm  với
N

1
được gọi là phép chuẩn hoá hàm  về đơn vị. Hàm đã được chuẩn hoá
N
theo (1) có thể sai khác nhau một thừa số có modul bằng đơn vị.
Trường hợp:

   q  dq   thì các hàm của không gian này không
2

được đánh số bằng các số tự nhiên mà có thể đánh số cho nó bằng chỉ số

f : f  F  q  trong đó f trải từ f0   một cách liên tục. Ta gọi các hàm
f  F  q  là hàm ứng với phổ liên tục. Và khi đó f được chuẩn hoá về hàm
delta:  .
Với hàm delta một biến được định nghĩa như sau:

0
 x   


x  0
x0



và

   x dx  1



Hàm  có nhiều biểu diễn tường minh. Một trong các biểu diễn như thế


1
được viết dưới dạng:   x  
 expiqx dq  điều kiện chuẩn hoá hàm f
2 
về hàm  như sau:  *f '  q  f  q  dq    f  f '

- 5 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

1.2.Bài tập
Bài 1.1: Chuẩn hoá các hàm số sau:
(a) Ae ax  a  0;   x   
2

(b) A n sin

nx
 n  1,2,3,...;0  x  a 
a

i

(c) px  x   Aexp  p x x     p    về  - hàm với p   . Và


 i 
trong trường hợp tổng quát: p  Aexp  pr 
 
Lời giải
(a)Đặt   x   Ae ax  a  0;   x   
2

Hàm   x  ứng với phổ rời rạc cho nên ta chuẩn hoá hàm   x  về đơn vị:
Tức là

   x    x  dx  1 



2 2ax
 A e dx  1

đặt 2a  

2

*







2 x
 A e dx  1
2

(1)





Xét tích phân:

I

e



x 2



dx  2  e
0



I  I.I  2  e
2

0

Đặt

x 2

x 2

dx  2  ey dy
2

0



dx.2  e
0

x  r cos 
  dxdy  rddr
y  r sin  



0   
Vì x, y   0,    x, y  0  
2
0  r  

- 6 -



y 2

 

dy  4 

e

0 0



 x 2  y2

dxdy


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

2



0

0

 I  4 d  e
2



 r 2
e




r 2



rdr  2  e

r 2

0



rdr  2 
0

1 r 2
e d  r 2 
2

 

 2a



0



2



I
  e2ax dx 
2a
2a




Từ điều kiện chuẩn hoá (1) 

2 x
2
 A e dx  A
2




2a
1 A  4
2a


Hàm   x  sau khi chuẩn hoá có dạng:
x 

(b)Đặt   x   A n sin

4

2a  ax 2
e  a  0;   x   


nx
 n  1,2,3,...;0  x  a 
a

Vì ứng với mỗi giá trị của n ta có một hàm  n nên phổ của  n là rời
rạc. Vì vậy ta chuẩn hoá hàm  n về đơn vị dưới dạng:
a

2
2
   x  n  x  dx  1   A n sin
*
n

0

nx
dx  1 (2)
a

nx
2nx 
1 1
dx  A 2n    cos

Ta có:  A sin
 dx
a
2
2
a


0
0
a

a

2
n

2

a
1 2 
a
2nx   1 2
 A n  x 
sin
   Ana
2 
2n
a  0  2

Từ điều kiện chuẩn hoá (2)  An 

2
a

Vậy hàm n  x  sau khi chuẩn hoá là:

n  x  

2
nx
sin
 n  1,2,3,...;0  x  a 
a
a

- 7 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

i

(c) px  x   Aexp  p x x     p    về  - hàm


Do p x là thực và    p    nên p ứng với phổ liên tục cho nên ta

   x    x  dx    p  p'

chuẩn hoá về  - hàm. Tức là:

*
p'

p





   x    x  dx   A
*
p'

Xét tích phân

2

p





(3)

i


exp   p  p'  x dx





x  x 

 A   exp i  p  p'   d    A 2 .2  p  p' 
   


2

Từ điều kiện chuẩn hoá (3) ta có: A2 .2  px  p'x     p x  p'x 
A

1
2

Vậy hàm px  x  sau khi đã chuẩn hoá về  - hàm có dạng.

p x  x  

1
i

exp  p x x     p   
2




(*)Trường hợp tổng quát


 i 
p r  Aexp  pr     p    về  - hàm
 





    
i
 p  Aexp  p x i  p y j  p z k xi  y j  zk 










i

 Aexp   xp x  yp y  zpz  với r  x, y,z



Do p là thực và    p    nên p tương ứng với phổ liên tục, vì
vậy chuẩn hoá về  - hàm có dạng:

 
 
*
 r  r dr   p  p'

 p' p

 



Xét





(*)


   2
 i  


r


r
dr

A
exp
 p  p'


p



*

p'

 



- 8 -





 r  dr

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý






i

i

i

 A  exp   p x  p x ' x  dx  exp   p y  p y '  y  dy  exp   p z  p z '  z  dz

   
   


2

 A2 2  px  px '.2  p y  p y ' .2  pz  pz ' 
 
3
 A2  2   p  p' .





Kết hợp với điều kiện (*)
 
 
3
 A2  2   p  p'   p  p'  A 



 



1

 2 

3

Vậy hàm p sau khi được chuẩn hoá về  - hàm có dạng:


p r 



 i 
exp  pr     p   
3

 
 2 
1

Bài 1.2.Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mô tả


r
a

bằng hàm sóng:   r   Ae . Trong đó a là bán kính quỹ đạo Bo thứ nhất, A:
hệ số chuẩn hoá. Hãy chuẩn hoá hàm sóng trên.
Lời giải

  r  ứng với phổ rời rạc, ta chuẩn hoá   r  về đơn vị dưới dạng:

   r  dV  1
2

Ta có:

 r

2





2

0

0

dV     r  r dr  sin d  d
2

2

0



 4A  e
2



2r
a

.r 2dr

0



Tính tích phân: I   e



2r
a

.r 2dr

0

u  r 2  u '  2r

2r
đặt: 

a  2ra
a
 v'  e  v   e

2

- 9 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

a  2r
 I   r 2e a
2





 ae
0

0



2r
a



.rdr  a  e



2r
a

.rdr

0

u  r  u '  1


2r
đặt 

a  2ra
a
 v'  e  v   e

2

 a  2r
 I  a.   re a
 2



0



a  2ra  a 2  2ra
a 3  2ra
  e dr    e dr   e
20
2
 2 0

3 2
   r  dV  1  a A  1  A 
2

1
a 3

Vậy hàm  sau khi chuẩn hoá có dạng:   r  

- 10 -

1
a 3

e



r
a



0

a3

4


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Chương 2: Tìm hàm riêng và
trị riêng của các toán tử
2.1.Cơ sở lý thuyết
  fx (*) không thoả mãn với x  X và f  T mà
Phương trình Fx
chỉ với f nào đó và một lớp x nào đó. (*) gọi là phương trình cho giá trị

riêng (hoặc trị riêng) và vectơ riêng của toán tử F .
Với: f là giá trị riêng;

x là vectơ riêng.
Phương trình cho trị riêng và vectơ riêng của một ma trận vuông cấp p:

 a11 a12
a
 21 a 22
 ... ...

 a p1 a p2

... a1p  a1   a1 
 a 
... a 2p 
a
2
   f  2 
... ...  ...   ... 
   
... a pp 
 a p   a p 

 A11  f  a1 


 A 21.a1

...

 A p1.a1



A12 .a 2
 A 22  f  a 2
...

 ... 
 ... 
...

A p2 .a 2

 ... 

A1pa p
A 2pa p
...

A

pp

 f ap

 0
 0
...

(1)

 0

Để tìm trị riêng và vectơ riêng của ma trận A ta tiến hành giải phương
trình đặc trưng:

det  A  If   0

(2)

Trong trường  , phương trình (2) có p nghiệm: f1,f 2 ,...,f k ,...,f p , thay

f k vào (1) ta sẽ tìm được vectơ riêng  x f ứng với trị riêng f k .
k

2.2.Bài tập
d
Bài 2.1.Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử p x  i
trong lớp hàm
dx

biến thực x , liên tục, đơn trị và hữu hạn trong toàn không gian.

- 11 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Lời giải
d
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử p x  i
là:
dx
p x   x   p x   x 

 i

(1)

d  x 
d  x  i
 Px   x  
 px dx
dx
x 

(2)

Lấy tích phân hai vế phương trình (2) ta được:

i
i

ln   x   p x x  ln A    x   Aexp  p x .x 



Suy ra tính chất của   x  :
(+)Là hàm liên tục px  hay  vì là hàm sơ cấp.
(+)Là hàm đơn trị vì là hàm mũ với p x
(+)Xét tính hữu hạn:
Đặt: px    i thì ta có:

i

i

  
  x   Aexp  p x x   Aexp  x  exp  x 


 
  
  
Nếu   0  exp  x    khi x   . Nên để   x  hữu hạn thì
  

  0  px   . Tức Px là số thực.
Như vậy phổ của hàm toán tử p x là liên tục và thực vì vậy ta chuẩn hoá

hàm  về  - hàm.
Tức  *p '  x  p  x  dx    p  p'
Kết quả tìm được hệ số như sau: A 

1
(theo kết quả bài 1.1.c).
2

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

x 

1
i

exp  p x x  với    p  
2



- 12 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Bài 2.2.Tìm hàm riêng và trị riêng của các toán tử sau:
  i 
(a) L

x




2
L
2  2
z

 là
(b) T 
trong đó I  const (I: mô men quán tính và T

2I
2I 2
hàm toán tử động năng của Rotato phẳng).
Lời giải
 x  i 
(a) L




 x  i   i d là:
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử: L

d
 x    L   
L

x

 i

(1)

d  
d   iLx
 Lx    

d
d
  


 ln     

iL x
  ln A,A  const


     Ae

iLx



Để hàm    đơn giá nghĩa là         2  , ta có:

e

iLx
 2 


e

iLx



e

iLx
2


 1 hay Lx  m,  m  0; 1; 2;...

 x có dạng:
Vậy hàm riêng và trị riêng của L
     Aeim ,L x  m;m  0, 1, 2...

2  2

(b) T  
2I 2
Phương

trình

cho

hàm

riêng

và

2
2
2
2
2
T  Lz        d là:
2I
2I 2
2I d2

- 13 -

trị

riêng

của

toán

tử

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
      E   
T

(1)

Trong đó    là hàm riêng và E là trị riêng của T .

d 2   
2 d 2
2IE
     E    
  2  
(1)  
2
2
2I d
d

d 2   
2IE
 k 2     0
Đặt k  2 
2

d

2

Nghiệm    có dạng:      Aeik
Từ điều kiện đơn giá:         2  , ta có
ik 2 

A.eik  A.e

 eik2  1 hay k  0; 1; 2;...

 có dạng:
Vậy hàm riêng và trị riêng của T
2k 2
     A.e ;E 
,  k  0; 1; 2;...
2I
ik

Bài 2.3.Tìm hàm riêng trong lớp hàm liên tục, đơn trị và hữu hạn của toán tử:

u  x   0; 0  x  a
2 d 2

H

u
x
với




2m dx 2
u  x   ; x  a; x  0
Lời giải

:
Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của H
   x   E  x 
H

(1)

.
Trong đó:   x  là hàm riêng và E là trị riêng của hàm tử H
2
2 d   x 
(1)  
 u  x    x   E  x 
2m dx 2

(2)

Nếu 0  x  a thì u  x   0 nên phương trình (2) có dạng:

d 2  x  2m
 2 E  x   0
dx 2


(3)

Phương trình đặc trưng của (3) là: y2 

2mE
2mE
 0  y1,2  i
2

2

- 14 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
Đặt: k 

2mE
 y1,2  ik
2

Vậy nghiệm tổng quát của (3) là:

  x   c1 sin  kx   c2 cos  kx 
Do c1 ,c2 là các hằng số tích phân bất kỳ nên ta có thể đặt:

c1  Acos  và c2  Asin     x   Asin  kx  

u  x   0 tức là xác suất tìm thấy hạt bằng không nên   x   0 khi x  0 hay

xa.

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta có:

x  0    0  Asin   0    0
x  a    a   Asin  ka    Asin ka  0  ka  n,  n  0; 1; 2;...
Khi n  0 thì   x   0 trong bảng 0  x  a , tức là xác suất tìm thấy
hạt ở mọi điểm trong giếng thế bằng 0. Điều này mâu thuẫn với đầu bài toán
là hạt ở trong giếng thế. Vậy ứng với n  0 bị loại trừ.
Hai hàm sóng:   x   Asin

nx
nx
và   x   Asin
cùng mô tả
a
a

một trạng thái của hạt.
Vậy chỉ cần lấy một giá trị dương là đủ.
2mE 
 2 n 2 2
2 
 E n với n  1,2,3,...
Vì:
  E 
2
2ma
ka  n 
k

 là: E   n  với n  1,2,3,...
Vậy giá trị riêng của H
2ma 2
2

2

2

 Năng lượng của hạt trong giếng thế bị lượng tử hoá, nó có phổ giá đoạn, tỉ

lệ với bình phương số lượng tử n.
Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:
 n  x   Asin

nx
,  n  1,2,3...;0  x  a 
a

- 15 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Hàm riêng sau khi đã chuẩn hoá có dạng:

n  x  

2
nx
sin
,  n  1,2,3...;0  x  a 
a
a

Bài 2.4.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 2:

 0 i 
A

i 0
Lời giải
Ta có phương trình đặc trưng là:

 f
det  A  If   
 i

i  2
f  1

f

1

0



f 
f  1

 A có hai giá trị riêng f1  1 và f 2  1.
f a  ia 2  a1  ia 2  0
Với f1  1 ta có hệ phương trình:  1 1
 ia1  f1a 2  ia1  a 2  0
 i 
Đặt a 2    a1  i  vectơ riêng ứng với f1 là:  x 1    
1
f a  ia 2  0 a1  ia 2  0

Với f 2  1, tương tự ta có:  2 1
 ia1  f 2a 2  0
ia1  a 2  0
i 
Đặt a 2    a1  i  vectơ riêng ứng với trị riêng f  1 là:  x 1     .
 1
Bài 2.5.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 3:
1 i 0 
A   0 1 1
 i 0 1



Lời giải
Từ phương trình đặc trưng ta có:

- 16 -

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
1 f
i
det  A  If   0  0 1  f
i
0

0
1  0
1  f

  1  f 1  f   1  0
2





 f 3  f 2  f  0  f f 2  f 1  0

(1)

 f  0 (Vì f 2  f  1  0 )
Với f  0 ta có hệ phương trình:
1  f  .a1 



 0.a1
 i.a

1


i.a 2
1  f .a 2
0.a 2





0.a 3
1.a 3
1  f .a 3

 0 a1  ia 2  0

 0  a 2  a 3  0
 0 ia1  a 3  0

Đặt a 2    a1  i; a 3  
Vậy vectơ riêng ứng với trị riêng f  0 là  x 0

 i 
  1 
1 

 

Ta có thể chuẩn hoá vectơ  x  :
Ta có:  x     i 1 1


 i 
 x   x     i 1 1  1    2 1  1  1  3 2
1
 


2

 i 
1
1
1
x
Theo điều kiện chuẩn hoá ta có: 3 2  1    
3
3  
1

2 tương ứng với hàm riêng:
Bài 2.6.Tìm các trị riêng của toán tử L
Y  ,   Acos   2sin  cos , A  const
Lời giải
Trong toạ độ cầu toán tử bình phương momen xung:

- 17 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

 1  

1  2 

2
2
L   
 sin   2

sin


 sin  2  



 2

1 2 
   2  cot g  2

 sin  2 
 

2

2 là:
Ta có phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử L
2 Y ,   L2 Y , 
L
 
 
2
  2 Y  ,  
Y  ,  
1  Y  ,    2
  
 cot g
 2
  L Y  ,   (1)
2
2


sin




2

Với: Y  ,   A  cos   2sin  cos 
Ta có:
Y  ,  

 A   sin   2cos  cos  


(2)

 2Y
 A   cos   2sin  cos  
2

(3)

 2Y 
  2Asin  sin   2Asin  cos 
2 

(4)

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được:
2 2 Y  ,    L2Y  ,    L2  22

2 là L2  22
Giá trị riêng của toán tử L

- 18 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Chương 3: Tìm xác suất
3.1.Cơ sở lý thuyết
Nếu hệ lượng tử nào có thể ở trong các trạng thái được mô tả bởi các
hàm sóng 1, 2 ,..., n thì nó cũng có thể ở trong các trạng thái được mô tả
bởi các tổ hợp tuyến tính bất kỳ:
n

   Ck  k
k 1

 C1,C2 ,...,Ck   

(*)

của các hàm sóng đó.
Hàm  và C (C thuộc tập số phức  0 ) cùng tương ứng với một
trạng thái của hệ.
Trạng thái mới (*) là trạng thái trung gian giữa các trạng thái ban đầu

1, 2 ,..., n . Trạng thái này càng gần với tính chất của một trong các trạng
thái đầu nếu trọng số tỷ đối của các trạng thái đó càng lớn:
Xác suất để khi đo, chúng ta tìm thấy giá trị toạ độ của các hạt của hệ
nằm trong khoảng  q,q  dq  :
dw  q     q  dq
2

Mật độ xác suất tìm thấy toạ độ q của hệ ở thời điểm t:

q    q  
2

dw  q 
dq

Khai triển hàm  theo hệ  n 

   Cn  n (hoặc  Cf f df )
n

nn '
Với   n ,  n '  
 n n '

Nếu
rạc
Nếu

 n
 n

là hệ rời
là hệ liên

tục

Và Cn    dq    n ,  
*
n

- 19 -

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Nếu  được chuẩn hoá   Cn  1  Cn
2

2

là xác suất để hệ lượng

n

tử  chuyển về nằm ở trạng thái  n .

3.2.Bài tập
Bài 3.1.Chuyển động của một hạt có thể được mô tả bởi các hàm sóng:
 n  x   A n sin

nx
 0  x  a; n  1,2,...
a

(a)Tính mật độ xác xuất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm ở trạng
thái được mô tả bởi số lượng tử n  3 ?
(b)Tính xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái mô tả bởi số lượng tử n  1 trong

a a 

đoạn x   ;  ?
4 2
Lời giải
Hàm sóng  n  x   A n sin
chuẩn hoá: An 

n  x  

nx
, đã được chuẩn hoá ở bài 1.1.b có hệ số
a

2
và hàm sóng sau khi đã chuẩn hoá:
a

2
nx
sin
,( 0  x  a,n  1,2,..) .
a
a

(a)ứng với n  3 ta có:  3  x  

2
3x
sin
.
a

a

Mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm trong
trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n  3 là:
2
2
3x
3  x    3  x   sin 2
a
a

(b)Hàm sóng của hạt nằm trong trạng thái mô tả bởi số lượng tử n = 1 là:

- 20 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

1 

2
x
sin . Vì vậy mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của
a
a

hạt nằm trong trạng thái này là:
2

2
x
1  x   1  x   sin 2
a
a

Xác suất tìm thấy hạt trong đoạn  x, x  dx là:

dw  x   1  x  dx
a a 
Còn xác suất tìm thấy toạ độ hạt trong đoạn  ;  là:
4 2
a
2

a
2

a
2

4

4

4

2

1 

2 
w   1  x  dx   sin 2 xdx   1  cos x  dx
a
aa
a 
a
a a
a

a

4

4

1 2 1 a
2 2   2
 x 
sin x 
 0,40915
a a a 2
a a
4
Bài 3.2.Tìm xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng (tương ứng với
d
toán tử px  i ) một hạt lượng tử ở trạng thái:
dx

n  x  

2
nx
sin
,  0  x  a  , cho biết hàm  px  x 
a
a
Lời giải

Phương trình hàm  px  x  

1
i

exp  .p x .x  ,    p x   
2



d
Khai triển hàm n  x  theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng: px  i
dx

là:

n  x    Cpx px dp  Cpx   *px  n dx

- 21 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

i
i
 px x
 px x
1
2
nx
2 1
nx


e
sin
dx 
e
sin
dx

a
a
a 2 0
a
2

a

a

Cp x  
0

 i
  n 
Xét tích phân: I   exp  p x x  sin  x  dx
 
  a 
0
a

i
n
Đặt    p x ;  
ta có:

a

 i
  n 
I   exp  p x x  sin  x  dx   exp xsin x  dx
 
  a 
0
0
a

a

Sử dụng tích phân Poison:

expx
I   exp x sin  x  dx  2
 sin x    cos x  
2 



0
0
a

a

expx
I 2
 sin  x    cos  x  
  2 
0
a

expx
1

sin

a



cos

a







  2  2 
 2  2 
 i

exp  p x a 
 
   i p sin  n a   n cos  n a    1 n



2
2
  x  a  a
 2  2


 a     a




a 22
 n  
 i
 
 2 2 2
  cos  n  exp  p x a   1
2 2 
n    a p  a 
 
 
1
Ta có: cos  n   
1

Nếu n là
chẵn
Nếu n là lẻ

 cos  n    1

n

a2

n
 i

I 2 2 2
n 1   1 exp  p x a 

2 2
n   a p
 



 Cp x 


1
2
a2

n
 i

n

1


1
exp

p
a





x
2 2 2
2 2

2 a n    a p
 



n a


n
 i

1   1 exp   p x a 


 n    ap  
2

2

- 22 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Vậy xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng một hạt lượng tử ở
trạng thái n  x  là w  px  :
2

n 2a3


n
 i 
w  p x   Cpx 
1   1 exp  pa 
2

  
 n 2   ap   



Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá trị p xác định của xung lượng của một

hạt lượng tử ở trạng thái mô tả bởi hàm sóng  r xác định nào đó.
2



Lời giải


Khai triển hàm  r



theo hệ hàm riêng của toán tử xung lượng

p  i cho bởi:

 p r 



1

 2 

3

 i 
exp  p.r 
 

ở bài tập 2.1



  
 r   Cp  p dp từ đây rút ra: CP   *p r  r dr





 

1

 2 

3


 i  

r
exp
 p.r  dr

  





 xác suất đo được giá trị p của xung lượng ở trạng thái  r là:




2
w p  Cp 



1

 2 

3

2

 i  
  r exp   p.r  dr



Bài 3.4.Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mô tả bởi
hàm số: 100  r, ,  

 r
exp   ; trong đó a là bán kính quỹ đạo Bohr
 a
a 3
1

thứ nhất. Tính xác suất đo xung lượng của electron trong nguyên tử Hidro ở

trạng thái cơ bản này được giá trị bằng p .
Lời giải

- 23 -

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý
Trước hết ta tính C p . Ta có




Cp    r *p r dV với  p r 

 
1

C 

p

 2 

3



1

 2 

3

 i 
exp  p.r 
 


 i 
  r exp   p.r  dV




Nếu chọn trục Oz trùng với phương p thì trong toạ độ cầu ta có:

pr  pr cos ; dV  r 2dr sin dd

1

 Cp 
2

 2 

3


 i 

r
exp

 p.r  dV

  







 r
 i

 A  d r exp   exp  pr cos  sin ddr
 a 0
 

0
0
2

1

Với A 

3

a 3  2  2


 r
 i

 Cp  2A  r exp   exp  pzr  dzdr
 a 0
 

0
1

2



2iA 
 r ipr 
 r ipr 

exp     exp  
 rdr

p 0
 a  
 a  


Ta lại có:  r expr dr 
0

1

2





2

i

A
1
1
84a 3


 Cp 


3
p   1 ip 2  1 ip 2 
3
2
2 2 2
2   a p 

a
2





        
 a    a   

 xác suất đo được giá trị p của xung lượng:
w  p   Cp 
2

8a 35

2   2  a 2 p 2 

4

- 24 -


Khoá luận tốt nghiệp đại học

Trương Thu Liên K29B - Vật lý

Trong toạ độ cầu của không gian xung lượng px , p y , pz thì
d px d py d pz  4p 2dp , xác suất tìm thấy giá trị xung lượng của electron nằm

trong khoảng từ p đến p  dp bằng:

dw  p   C

2


p

4p dp 
2

3235

  2  a p



2 2 4

- 25 -

p 2dp