Thiết kế bài giảng phần hệ hạt đồng nhất của các hạt vi môtrong cơ học lượng tử

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Lời cảm ơn
Đề tài “Thiết kế bài giảng phần hệ hạt đồng nhất của các hạt vi mô
trong cơ học lượng tử” là một đề tài mới mẻ và có nhiều ý nghĩa. Sau một
thời gian nghiên cứu tài liệu bằng phương pháp của vật lí lý thuyết, tôi đã
hoàn thành đề tài và thu được một số kết quả quan trọng. Để đạt được điều
này không thể thiếu sự hướng dẫn giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn.
Trước tiên tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo T.s
Trần Thái Hoa người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá
luận tốt nghiệp này.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa, trong trường,
gia đình tôi và các bạn sinh viên cùng nhóm đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ
cho tôi trong thời gian làm khoá luận tốt nghiệp cũng như trong suốt bốn năm
học vừa qua.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa
Lời cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp mang tên “Thiết kế bài giảng phần hệ hạt
đồng nhất của các hạt vi mô trong cơ học lượng tử” là kết quả nghiên cứu
của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo T.s Trần Thái Hoa. Khoá luận

này không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật nếu sai tôi xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà nội, ngày 12 tháng 5 năm 2009
Sinh viên
Trịnh Thị Thu Giang

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

4

Nội dung

5

Chƣơng 1. Các hạt đồng nhất trong cơ học lƣợng tử

5

1.1 Cơ học lượng tử cho một hệ hạt

5

1.2 Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất

7

1.3 Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng

9

1.4 Các toán tử sinh hạt và huỷ hạt Boson

12

1.5 Toán tử sinh và huỷ hạt Fecmion

14

1.6 Nguyên lý loại trừ Pauli

17

1.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree – Fock

19

Chƣơng 2. Các thống kê lƣợng tử

25

2.1 Đặt vấn đề

25

2.2 Sự lượng tử hoá lần thứ hai. Thống kê Bose-Einstein

26

2.3 Sự lượng tử hoá lần thứ hai. Thống kê Fecmi – Dirac

35

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Cơ học lượng tử là một bộ môn chuyên ngành vật lý lý thuyết nghiên
cứu những quy luật tổng quát nhất của các hạt vi mô trong trường lực.
Ngoài những đại lượng vật lý đặc trưng cho trạng thái chuyển động của
các hạt vi mô trong không gian tọa độ, xung lượng, mô men xung lượng, năng
lượng, hình chiếu spin, còn có những đại lượng vật lý gắn liền với bản chất
của hạt vi mô như khối lượng, điện tích, spin gọi là các hạt đồng nhất.
Đối với sinh viên vật lý thì phần hệ hạt đồng nhất là một phần không thể
thiếu để hoàn thiện chương trình học bộ môn cơ học lượng tử trong chương trình
đào tạo.
Do đó chúng tôi chọn đề tài “Lượng tử hóa lần hai. Bài tóan dao
động điều hóa. ứng dụng giải các bài tóan liên quan” làm tài liệu ban đầu
khi giảng dạy phần hệ hạt đồng nhất.
II. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng những quan điểm lý luận hiện đại về dạy học để thiết kế bài
giảng trong phần hệ hạt đồng nhất.
III. Đối tƣợng nghiên cứu
Cơ sở vật lý và toán học về hệ hạt đồng nhất.
IV. Phƣơng pháp nghiên cứu
Các phương pháp vật lý trong vật lý lý thuyết.
V. ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu đề tài
Nghiên cứu đề tài giúp chúng tôi hiểu sâu sắc hơn về hệ hạt đồng nhất
và làm được một số bài tập về chúng.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa
NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: CÁC HẠT ĐỒNG NHẤT TRONG CƠ HỌC
LƢỢNG TỬ
1.1. Cơ học lƣợng tử cho một hệ hạt
1.1.1 Đặt vấn đề
Chuyển từ cơ học lượng tử cho một hạt sang cơ học lượng tử cho một hệ
hạt được tiến hành hoàn toàn tương tự như ta đã làm trong vật lý cổ điển. Hệ
N hạt được coi như một hệ có 3N bậc tự do. Hàm sóng được xác định trong
không gian cấu hình có dạng:

   ( x1 , y1 , z1; x2 , y2 , z2 ; ... xn , yn , zn ; t )

(1.1)

Nếu biết được hàm sóng, ta có thể xác định được chuyển động của một
hệ con bất kỳ bằng cách lấy tích phân theo các toạ độ của tất cả các hạt, mà
chuyển động của chúng trong truờng hợp này ta không xét đến. Điều này có
nghĩa là: nếu lấy tích phân theo các toạ độ của tất cả các hạt, trừ hạt thứ k mà
ta muốn xét, kết quả chúng ta sẽ thu được xác suất để tìm thấy riêng hạt thứ k

trong thể tích đã cho (chú ý dV  d r  dxdydz ):
  
2 

(1.2)
W ( xk , yk , zk )dxk dyk dzk  dxk dyk dzk   d r1...d rk  1d rk  1...d rn
Hamiltonian của hệ hạt có dạng:

 2



N
N

 
p
 =
 r, t 
 r ,r 
 k U
U
H




k
kj
k
j

k  1  2m
k  j 1

k



(1.3)



2

pk
 là toán tử thế năng của
trong đó
là toán tử động năng của hạt thứ k, U
k
2m

hạt ở trường ngoài,

N

 U

k  j 1

kj

là toán tử thế năng gây bởi sự tương tác của hạt

thứ k với tất cả các hạt còn lại của hệ.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

1.1.2. Phƣơng trình Schrodinger
Sự biến thiên trạng thái của hệ được mô tả bởi phương trình có dạng:
i

 
 H
t

(1.4)

Nếu hệ các hạt không tương tác thì phương trình (1.4) có nghiệm đơn

 bằng không. Khi đó
giản. Thật vậy, nếu các hạt không tương tác thì tất cả U
kj
phương trình (1.4) cho trạng thái dừng có thể viết dưới dạng:
N
N
 N  2



  
   E
H     
 k  U k      H
H

k
k
k 1
 k 1 

 k 1  2mk





(1.5)

 chỉ tác dụng lên toạ độ các hạt thứ k, nên hàm sóng  có thể biểu
Vì H
k
diễn dưới dạng tích của các hàm sóng riêng của các hạt:
 




 r1 , r2 , ..., rN   1 r1  2 r2 ... N rN





  

 

(1.6)

Từ 1.5 và 1.6 suy ra:
N

N

k 1

k 1

  H
   ...  E
H
  k   H
k 1 2
N

(1.7)

Chia cả hai vế (1.7) cho  , ta có kết quả:

N

E=


H
k k

 
k 1

k

N

  Ek ;

(1.8)

k 1

   E
H
k k
k k
Như vậy, đối với hệ các hạt không tương tác, hàm sóng của hệ hạt bằng
tích các hàm sóng của từng hạt, còn năng lượng toàn phần của hệ hạt bằng
tổng các năng lượng của từng hạt riêng biệt.
1.2. Nguyên lý không phân biệt các hạt đồng nhất
Trong Cơ học cổ điển dù các hạt có giống nhau thế nào đi nữa vẫn có thể

phân biệt được từng hạt riêng biệt. ở mọi thời điểm, xung lượng và toạ độ của

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

mỗi hạt đều hoàn toàn xác định và do đó mỗi hạt chuyển động theo một quỹ
đạo riêng của mình không lẫn với quỹ đạo của các hạt khác.
Trong Cơ học lượng tử, do có nguyên lý bất định Heisenberg, toạ độ và
xung lượng của một hạt không thể đồng thời xác định chính xác, cũng có
nghĩa là không còn khái niệm quỹ đạo nữa. Ta chỉ có thể biết được xác suất
tìm thấy hạt ở một vị trí nào đó mà thôi. Như vậy, thay cho quỹ đạo xác định,
mỗi hạt có một miền không gian mà trong quá trình chuyển động ta có thể tìm
thấy nó trong miền không gian đó với một xác suất nào đó. Các miền không
gian này của các hạt khác nhau có thể phủ lên nhau. Nếu ta “tóm’’ được một
hạt trong miền không gian có sự phủ lên nhau thì ta không thể biết được chính
xác “nó từ đâu đến’’, “nó là hạt nào’’, cũng có nghĩa là ta mất khả năng phân
biệt các hạt đồng nhất.
Cụ thể hơn, hãy xét một hệ N hạt đồng nhất mỗi hạt đều có khối lượng
m, Hamiltonian của hệ là:
N
  2 l2
 N

H (1, 2, ..., k , ..., j , ..., N , t )    

 U (l , t )    W(l, n)
2m
l 1 
 l n1

(2.1)

trong đó 1 = r1 ,  1 , 2 = r2 ,  2  , ... với rl và  l là biến số toạ độ và chỉ số
spin của hạt thứ l, U(l, t) là thế năng của hạt thứ l trong một trường ngoài nào
đó và W(l, n) là năng lượng tương tác giữa hạt thứ l và hạt thứ n. Hamiltonian
(2.1) cho thấy rằng nếu ta quy ước đánh số các hạt theo một thứ tự nào đó từ 1
đến N. Thì việc đổi chỗ giữa các hạt với nhau chỉ làm thay đổi thứ tự đánh số
đã quy ước và chỉ xáo trộn các số hạng trong các tổng

N


l 1

N

và



chứ không

l  n 1

làm thay đổi giá trị của chính các tổng đó và vì vậy:

 (1, 2, ..., k , ..., j, ..., N , t )  H
 (1, 2, ..., j, ..., k, ..., N , t ) ,
H

(2.2)

với k, j bất kỳ. Tính chất này được phát biểu như sau: Hamiltonian của hệ các
hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép hoán vị hai hạt bất kỳ.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Hàm sóng của hệ nhiều hạt đồng nhất là một hàm đa thành phần
 =  (1, 2, ..., k, j, ..., N, t)

Thoả mãn phương trình Schrodinger:
i

 (1, 2, ..., k , ..., j , ..., N , t )

t

 (1, 2, ..., k , ..., j, ..., N , t) (1, 2, ..., k, j, ..., N, t)

H

(2.3)

Để mô tả sự đổi chỗ giữa các hạt, ta định nghĩa toán tử hoán vị pkj giữa
hạt k và hạt j như sau:

p f (1, 2, ..., k , ..., j, ..., N , t )  f (1, 2, ..., k , ..., j, ..., N , t )
kj
trong đó f là một hàm bất kỳ. Sử dụng toán tử hoán vị pkj , ta có thể viết lại
đẳng thức (2.2) dưới dạng

p H
 (1, 2, ..., k , ..., j, ..., N , t )  H
 (1, 2, ..., j, ..., k , ..., N , t ) p
kj
kj

(2.4)

Ta thấy toán tử pkj giao hoán với Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất.
Bây giờ hãy tác dụng toán tử pkj lên hai vế của phương trình Schrodinger
(2.3)
i

 

( pkj )  pkj H
t

 nên ta cũng có thể viết
Vì pkj giao hoán với H
i

 
 ( p  )
( pkj )  H
kj
t

(2.5)

So sánh hai phương trình (2.5) và (2.3) ta suy ra rằng nếu
 (1, 2, ..., k, ..., j, ..., N, t)

là lời giải của phương trình Schrodinger (2.3) thì

 '  pkj (1, 2, ..., k, ..., j, ..., N, t) =  (1, 2, ..., j, ..., k, ..., N, t)

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

cũng là lời giải của phương trình này. Do đó  ' cũng như  đều diễn tả một
trạng thái khả dĩ của hệ các hạt đồng nhất. Vì trong lập luận trên k và j là bất

kỳ nên có thể kết luận rằng tất cả các hàm sóng thu được từ  (1, 2, ..., k,..., j,
..., N, t) bằng cách hoán vị tuỳ ý giữa các hạt đều là lời giải của phương trình
Schrodinger. Tất cả các hàm sóng được tạo theo kiểu hoán vị nói trên đều
bình đẳng với nhau và vì vậy không thể biết chính xác sự phân bố trong
không gian của từng hạt riêng biệt mà chỉ biết thông tin về toàn bộ hệ. Từ đó
cần phải hiểu là trong thế giới vi mô các hạt đồng nhất là một tổng thể khách
quan mà ta không thể nói gì về trạng thái của từng hạt riêng biệt.
Điều này được phát biểu dưới dạng một nguyên lý chung gọi là nguyên
lý không phân biệt các hạt đồng nhất như sau: Các trạng thái vật lý của hệ
nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán
vị nào giữa các hạt.
1.3. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng
Nguyên lý tính không phân biệt được các hạt đồng nhất giữ một vai trò
cơ bản trong cơ học lượng tử khi ta nghiên cứu các hệ hạt đồng nhất. Để đơn
giản, ta xét hệ gồm hai hạt 1 và 2. Hàm sóng của hệ là  (q1 , q2 , t ) , trong đó
q1 đại diện cho các biến của hạt 1: x1, y1, z1, sz1 và q2 đại diện cho các biến của
hạt 2: x2, y2, z2, sz2. Ta hoán vị hai hạt cho nhau. Theo nguyên lý về tính
không phân biệt được các hạt đồng nhất, trạng thái của hệ khi đó không thay
đổi, do đó hàm sóng  chỉ có thể thay đổi một thừa số pha.
Ta viết được

 (q1 , q2 , t )  ei (q2 , q1 , t )  ei 2 (q1 , q2 , t )
Từ đó suy ra e

2i

1 và ei   1.

Như vậy khi hoán vị hai hạt đồng nhất, hàm sóng

 (q1 , q2 )   (q2 , q1 )

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

(3.1)

9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Ta đi tới kết luận, có hai khả năng xẩy ra - hàm sóng hoặc là đối xứng
(không đổi khi hoán vị hai hạt), hoặc là phản đối xứng (hàm sóng đổi dấu khi
hoán vị hai hạt). Rõ ràng là, hàm sóng của tất cả các trạng thái của cùng một
hệ hạt phải có tính đối xứng duy nhất, hoặc là đối xứng, hoặc là phản đối
xứng. Trong trường hợp ngược lại, theo nguyên lý chồng chất các trạng thái,
hàm sóng của hệ khi đó sẽ là chồng chất các trạng thái có tính đối xứng khác
nhau, sẽ không đối xứng và cũng không phản xứng.
Kết quả này có thể được mở rộng sang cho hệ có N hạt đồng nhất bất kỳ.
Ta dễ dàng thực nghiệm được rằng, nếu hàm  của hệ hạt là đối xứng đối
với cặp hạt k và j, j và i, nhưng lại phản xứng đối với cặp hạt i và k thì hàm 
sẽ bằng không. Thực vậy, ta viết được

 (... qi , ... qk , ... q j ...)   (... qk , ... qi , ... q j ...)
  (... qk , ... q j , ... qi ...)    (... q j , ... qk , ... qi ...)
  (... qi , ... qk , ... q j ...)  0.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng, nếu tại thời điểm nào đó hệ ở trong
trạng thái đối xứng (hay phản xứng) thì hệ sẽ mãi mãi ở trong trạng thái đối

xứng (hay phản xứng) đó. Muốn vậy, ta đưa vào toán tử hoán vị pkj được xác
định bởi hệ thức

p (... q , ... q , ... q , t)   (... q , ... q , ... q , t)
kj
i
k
N
k
i
N
Nhưng  (... qk , ... qi , ... )   (... qi , ... qk , ... )
nên pik   

(3.2)

Từ đó suy ra các trị riêng của toán tử bằng 1. Các hàm đối xứng của hệ
hạt là các hàm riêng của toán tử pik ứng với trị riêng +1, các hàm sóng phản
xứng là các hàm riêng ứng với trị riêng -1.
Hamiltonian của hệ có dạng:

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

N 

2 2

H   
i  U (qi , t )   U (q1 , q2 , ..., qN , t )
i 1
 2m0


(3.3)

Trong đó U(qi, t) là thế năng đặc trưng cho tương tác của hạt với trường,
U(q1, q2, ..., qN) là năng lượng tương tác của các hạt với nhau. Rõ ràng là,
Hamiltonian này không thay đổi khi hoán vị hai hạt cho nhau. Do đó

p ( H
 )  H
 ( p  ) , từ đó suy ra rằng, toán tử hoán vị giao hoán với
ik
ik
Hamiltonian:

 p  p H
 0
H
ik
ik
Toán tử pik không phụ thuộc rõ vào thời gian. Ngoài ra lại giao hoán với
Hamiltonian, nên đại lượng tương ứng với toán tử pik là bảo toàn. Như vậy

các tính chất đối xứng của hàm  của hệ hạt đã cho bảo toàn theo thời gian
(là một tích phân chuyển động). Tính đối xứng của hàm  phụ thuộc vào bản
chất của loại hạt. Cơ học lượng tử tương đối tính chứng tỏ rằng các hạt có
spin nguyên hay bằng không được mô tả bằng các hàm đối xứng; còn các hạt
có spin bán nguyên được mô tả bằng các hàm phản đối xứng. Các hạt có spin
nguyên được gọi là các bôzôn và tuân theo thống kê Bose - Einstein (thí dụ
các hạt  ,  -mêzôn v.v...), còn các hạt có spin bán nguyên được gọi là các
fecmion và tuân theo thống kê Fecmi – Dirac (thí dụ các hạt p, n, e, v ...).
Đặc tính đối xứng của hàm sóng  mô tả tập hợp các hạt phức tạp đồng
nhất (thí dụ hạt nhân hay nguyên tử) tuỳ thuộc vào spin tổng hợp của hạt phức
tạp. Nếu spin tổng hợp của hạt phức tạp là nguyên (hay bằng không), thì hàm

 là đối xứng, nếu spin tổng hợp của hạt phức tạp là bán nguyên, thì hàm 
phản xứng. Hạt phức tạp có spin nguyên hay bán nguyên tuỳ thuộc vào số các
hạt có spin bán nguyên tham gia tạo thành hạt phức tạp là chẵn hay lẻ.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

1.4. Các toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson


Ta đưa vào các toán tử a k và a k tác dụng lên các biến số mới là số lấp

đầy trong trạng thái k. Bài toán đặt ra là xác định những trị riêng của các toán


tử ecmite a k , a k và thiết lập các hệ thức liên hệ giữa chúng. Xét trạng thái

được mô tả bởi hàm sóng:

 (0)  0  (OK , OK , ..., OK )
1

2

(4.1)

S

trong đó tất cả các số lấp đầy đều bằng 0.


Trạng thái 0 thoả mãn phương trình sau của toán tử a k toán tử liên hiệp
với toán tử a k :

a k (0)  k ( x)

(4.2)

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt boson lên trạng thái  (0) ,
ta được:



1
a k a k  (0) 
 pv k ( x1 )k ( x2 ) 
2 v



1
a k a k ...a k  (0) 
 pv k ( x1 )k ( x2 )...k ( xN ) 
N v
1

1

2

1

2

2

n

1

2

(4.3)

N

Giả sử hệ N hạt boson có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái k2, ...,
ns hạt ở trạng thái ks. Ta kí hiệu các toán tử sinh hạt ở trạng thái k1, ..., ks là




a k  a1 , ..., a k  a s tương ứng.
1

s




Tương tự, tác dụng liên tục các toán tử sinh hạt a1 , a 2 , ..., a s lên trạng

thái  (0) , ta được:



(a1 )n (a 2 )n ...(a s )n  (0)  k .k ...k ( x1 , ..., xN )
1

2

s

1

2

s

(4.4)

Sau khi chuẩn hoá, hàm sóng (4.4) trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa




1
(a1 ) n (a 2 ) n ...(a s ) n  (0)
n1 !n2 !...ns !

 (n1 , n2 , ..., ns ) 

1

(4.5)

s

2

Đối với hệ hạt đồng nhất boson, ta không cần biết cụ thể hạt ở trạng thái
nào mà chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn hạt có bao nhiêu hạt. Khi đổi chỗ
hai hạt boson bất kì, hàm sóng không đổi, do đó chúng ta vẫn không có được
trạng thái mới. Tập hợp số (n1, n2, ..., ns) đặc trưng cho trạng thái của hệ N hạt
boson.


Xét toán tử a k tác dụng lên trạng thái của hệ N hạt đồng nhất boson

 (n1, n2, ..., nk, ..., ns).

a k (n1 , n 2 , ..., (n k ), ..., n s ) = n k  1 (n1 , n 2 , ..., (n k +1), ..., n s )

(4.6)



Toán tử a k làm tăng số hạt trong trạng thái k lên một đơn vị. Tương tự,
toán tử huỷ hạt boson a k tác dụng lên trạng thái

 (n1, n2, ..., ns) sẽ làm giảm

số hạt trong trạng thái k đi một đơn vị.
a k (n1 , n 2 , ..., (n k ), ..., n s ) = n k  (n1 , n 2 , ..., (n k -1), ..., n s )

(4.7)



Như vậy, khi tác dụng liên tiếp a k và a k lên hàm sóng của hệ N hạt

boson thì hệ này sẽ không thay đổi số hạt trong trạng thái k, nghĩa là ta có :

a k a k (n1 , n 2 , ..., (n k ), ..., n s ) = n k  (n1 , n 2 , ..., (n k ), ..., n s )

(4.8)

Biểu thức (4.7) có thể viết lại như sau:

 k (a1 ) n (a 2 ) n ...(a k ) n 1...(a s ) n  (0)
a
a k (n1 , n 2 , ..., (n k ), ..., n s ) =
n1 !n2 !...(nk  1)...ns !
1

Vì (nk  1)! 

k

2

s

(4.9)

nk !
nên (4.9) có dạng:
nk









a k (a1 )n (a 2 )n ...(a k ) n ...(a s ) n  (0)  nk (a1 ) n (a 2 ) n ...( a k ) n 1...( a s ) n  (0) (4.10)
1

2

k

s

1

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

2

k

s

13


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa


ta thấy rằng các toán tử a k và a k được xác định từ (4.6) và (4.7) tuân theo

các hệ thức giao hoán sau:

 a k , a1   a k a1  a1 a k  0 




 a k , a1   a k a1  a1 a k  0






 a k , a1   a k a1  a1 a k  0 




(4.11)

Trong các công thức trên, trạng thái  (0) gọi là trạng thái chân không.
Đối với trạng thái chân không, ta có:

a k (0)  0 và

0 | 0  1

(4.12)



 k  a k a k gọi là toán tử số hạt tương ứng với trạng thái k. Tương
Đặt: N

 k là ecmite vì:
tự toán tử số hạt của bài toán dao động tử điều hoà, toán tử N
 k)+ = ( a k a k )+ = a k ( a k )+ = a k a k = N
k
(N
 k bằng số hạt n trong trạng thái k.
Từ (4.8) suy ra trị riêng của toán tử N
Hơn nữa, nếu

 (n1, n2, ..., nk, ..., ns) là hàm riêng đã chuẩn hoá của toán tử

 k = a k a k thì từ (4.6) và (4.7) suy ra:
N


a k  (n1, n2, ..., nk, ..., ns) và a k  (n1, n2, ..., nk, ..., ns) cũng là hàm riêng

 k tương ứng với các trị riêng (nk – 1) và (nk + 1).
của toán tử N
1.5 Toán tử sinh hạt và huỷ hạt fecmion:
Xét trạng thái của hệ hạt fecmion được mô tả bởi hàm sóng  (0) . Các toán

tử sinh hạt và huỷ hạt fecmion được kí hiệu tương ứng là c ki , c ki . Trạng thái

 (0) thoả mãn phương trình sau của toán tử c k


c k (0)   k ( x)

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

(5.1)

14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt fecmion lên trạng thái  (0) , ta
được:
 
1

c k c k  (0) 
v (1)0 P0  k ( x1 ) k ( x2 ) 
2!
1

 k ( x1 ) k ( x2 )   k ( x2 ) k ( x1 )
2!
1

2

1

1

2

2

1

2

 

1
c k c k c k  (0) 
v (1)0 P0  k ( x1 ) k ( x2 ) k ( x3 ) 
3!
1


 k ( x1 ) k ( x2 ) k ( x3 )   k ( x1 ) k ( x3 ) k ( x2 ) 
3!
  k ( x2 ) k ( x1 ) k ( x3 )   k ( x3 ) k ( x2 ) k ( x1 ) 
1

2

3

1

1

2

2

3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

  k ( x2 ) k ( x3 ) k ( x1 )   k ( x3 ) k ( x1 ) k ( x2 )
 

1
c k c k ...c k  (0) 
v (1)0 Po  k ( x1 ) k ( x2 )... k ( xN ) 
N!
1

2

N

1

2

N

(5.2)

khi hoán vị ki và kj, tổng (5.2) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu.
Ta có:
   

   

c k c k ' c k c k ...c k (0)  c k ' c k c k c k ...c k (0)
1

2

N

1

2

N

hay
 
 


(c k c k '  c k ' c k )c k ...c k (0)  0
2

(5.3)

N

Phương trình (5.3) dẫn đến tính chất phản giao hoán của các toán tử sinh
hạt fecmion







 


c k , c k '  c k c k '  c k ' c k  0

(5.4)


Vì các toán tử c k liên hiệp với toán tử c k , nên ta có:

   (c , c )  (c , c )  c c


c k , c k '





k

k'



k'

k





k

k'

 

 


 c k ' c k  c k , c k '  0

do vậy các toán tử huỷ hạt thoả mãn hệ thức phản giao hoán:

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

c , c   c c
k

k'

k

 c k ' c k  0

k'

(5.5)

 
và c k c k  c k c k  0 khi thay k =k’ vào các phương trình (5.4) và (5.5).

Giả sử hệ N hạt fecmion có ni hạt ở trong trạng thái ki,, n2 hạt ở trạng thái
k2, ..., ns hạt ở trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt fecmion
trong biểu diễn số lấp đầy có dạng:



(n1 , n2 ,..., ns )  (c k ) n (c k ) n ...(c k ) n (0)
1

trong đó:

(5.6)

s

2

1

2

s

n1 + n2 + ... + ns = N

Chú ý rằng:

 
c k (c k ) n  c k

0

khi nk  0

k

(5.7)

khi nk  1

và
c k

c k (c l ) n    
c l c k


khi nl  0



l

khi nl  1, l  k

nên có thể viết gộp lại




c k (c k ) n  (1  nk )(c k )1n
k

k

khi l  k





c k (c l ) n  (1) n (c l ) n c k
l

l

(5.8)

l


Sử dụng (5.8), xét tác dụng của toán tử c k lên hàm sóng của hệ N hạt

fecmion (n1 , n2 ,..., ns ) , ta có:






c k  (n1 , n2 ,..., ns )  c k (c k ) n (c k ) n ...(c k ) n  (0)
1

s

2

1

2

s






 (1) n  n ... n (c k ) n (c k ) n ...c k (c k ) n ...(c k ) n  (0)
1

k 1

2

1

1

 (1)

n1  n2 ... nk 1

k

2

s

2

(5.9)

s











(1  nk )(c k ) (c k ) ...c k (c k ) ...(c k )  (0)
n1

1

n2

2

nk

ns

s

  k (1  nk ) (n1 , n2 ,...,(1  nk ),..., ns )
với kí hiệu

 k  (1)n n ...n  (1)u
1

2

k 1

k

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

trong đó uk  n1  n2  ...  nk 1 là tổng các số lấp đầy đứng trước k.
Tương tự, toán tử huỷ hạt fecmion c k tác dụng lên hàm sóng của hệ N
hạt fecmion (n1 , n2 ,..., ns ) được xác định từ định nghĩa sau:

c k (n1 , n2 ,...,0k ,..., ns )  0

(5.10)

c k (n1 , n2 ,...,1k ,..., ns )   (1k )(n1, n2 ,...,0k ,..., ns )

(5.11)

trong đó  là hệ số cần xác định. Các biểu thức (5.10), (5.11) được viết lại:

c k (n1 , n2 ,..., nk ,..., ns )   (nk )(n1 , n2 ,...,(1  nk ),..., ns )
với  (nk ) thoả mãn điều kiện  (nk  0)  0
Đặt 1- nk = nk, sử dụng điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng trong biểu
diễn số lấp đầy, ta có:

 (n1 , n2 ,...,(1  nk ),..., ns ) c k  (n1 , n2 ,..., nk ,..., ns ) 
  (nk )  (n1 , n2 ,...,(1  nk ),..., ns )  (n1 , n2 ,...,(1  nk ),..., ns )

 c k  (n1 , n2 ,..., nk' ,..., ns )  (n1 , n2 ,..., nk' ,..., ns )   (nk )

  k (1  nk' )  (n1 , n2 ,...,1  nk' ,..., ns )  (n1 , n2 ,..., nk' ,..., ns )   k nk
Vậy, tác dụng toán tử huỷ hạt fecmion lên hàm sóng (n1 , n2 ,..., ns ) bằng

c k (n1 , n2 ,..., nk ,..., ns )  k nk (n1, n2 ,...,(1  nk ),..., ns )

(5.12)

Sử dụng các công thức (5.8) và (5.12) dễ dàng thấy rằng các toán tử

c k , c k tuân theo các hệ thức phản giao hoán sau:

c , c   c c
l

k

l

k

 c k c l  0

 
c , c   c c  c c  0



 
 
c l , c k  c l c k  c k c l  0


l

k

l





k

k

(5.13)

l

1.6. Nguyên lý loại trừ Pauli

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Nói chung, không thể giải thích chính xác bài toán hệ nhiều hạt. Trong
đa số trường hợp, cần phải dùng đến các phương pháp tính gần đúng khác
nhau, xem ở mức gần đúng cấp không thì các hạt đồng nhất của hệ là không

tương tác với nhau, nghĩa là chuyển động độc lập với nhau.
Giả sử khi giải gần đúng bài toán, ta được hàm sóng   (i) cho hàm hạt
i

thứ i của hệ, trong đó  i là tập hợp các giá trị đầy đủ hay là tập hợp các số
lượng tử để đánh số trạng thái của hạt đó. Theo ý nghĩa thống kê của hàm
sóng và theo định lý về xác suất của những biến cố độc lập với nhau, hàm
sóng của toàn hệ hạt có thể viết dưới dạng tích sau.

 (1, 2, ..., N )    (1)  (2)...  ( N )
1

2

(6.1)

N

Lấy môdun bình phương hai vế, ta được

 (1, 2, ..., N )    (1)   (2) ...   ( N ) ;
2

2

2

2

1

2

N

từ đó, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng, ta thấy rằng định lý về xác suất
các biến cố độc lập với nhau được thoả mãn.
Tiếp theo, ta lập hàm sóng đối xứng (để đơn giản ta lấy N = 2)

s 

  (1)  (2)   (2)  (1)
1

2

1

(6.2)

2

2

cho hệ bôzôn và hàm sóng phản xứng.

A 

  (1)  (2)    (2)  (1)
1

2

1

(6.3)

2

2

cho hệ fecmion.
Ta hãy chú ý đặc biệt đến hệ fecmion. Hàm sóng phản xứng (6.3) có thể
viết dưới dạng định thức sau:

1   (1)   (2)
 A (1, 2) 
2!   (1)   (2)
1

1

2

2

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

18

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Nói chung, hàm sóng phản xứng cho hệ nhiều hạt (N) fecmion có thể
viết dưới dạng định thức sau:

A 

  (1)   (2) ...   ( N )
1   (1)   (2) ...   ( N )
N!

1

1

1

2

2

2

...
...
...
...

  (1)   (2) ...   ( N )
N

N

(6.4)

N

Theo biểu thức này, ta thấy rằng nếu

 j  k ,

j k

(6.5)

thì định thức (6.4) có hai hàng giống nhau, tức là triệt tiêu và hàm sóng của hệ
fecmion bằng không:

 A  0 khi  j   k ,

jk

(6.6)

Nhưng kết quả này, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng, chứng tỏ rằng
hệ hạt không tồn tại trong điều kiện trên.
Ta có thể phát biểu:
Đối với hệ các fecmion, nhiều hạt của hệ không thể ở cùng một trạng

thái  i nhƣ nhau.
Đó là nội dung của một nguyên lý cơ bản trong cơ học lượng tử, gọi là
nguyên lý loại trừ Pauli, hay vắn tắt hơn, nguyên lý Pauli.
Nguyên lý này đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu những hệ
nhiều hạt fecmion đồng nhất, chẳng hạn là hệ êlectrôn trong nguyên tử, phân
tử hay là hệ nuclôn trong hạt nhân, hay là những hệ gồm những phân tử đồng
nhất.
1.7. Phƣơng pháp trƣờng tự hợp Hartree-Fock
1.7.1. Mở đầu
Phương pháp trường tự hợp hay phương pháp Hartree - Fock là một
phương pháp phổ biến mô tả gần đúng và tính toán hệ của các fecmion trong

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

cơ học lượng tử đã được Hartree (1928) và Fock (1930) đưa ra để giải thích
phổ nguyên tử.
ứng dụng: Phương pháp này được dùng để tính toán các trạng thái dừng
của nguyên tử, phân tử, đồng thời để giải thích các số liệu thực nghiệm của sự
tán xạ electrôn trên nguyên tử, hiệu ứng quang điện, trong vật lý chất rắn, vật
lý hạt nhân v.v.
Phƣơng pháp Hartree - Fock dựa trên giả thiết rằng: với độ chính
xác khá cao, chuyển động mỗi hạt của hệ đƣợc xác định bằng trƣờng tự
hợp, có nghĩa là trƣờng tƣơng tác của hạt này với tất cả các hạt còn lại

của hệ mà chúng đã đƣợc trung bình hoá theo chuyển động.
Phương trình Schrodinger trong trường tự hợp được xác định bằng
nguyên lý biến phân. Hàm sóng của hệ fecmion đồng nhất (ví dụ các electron)
được mô tả bằng định thức được thiết lập từ N hàm sóng của một hạt  i (k ) ;
(i  k = 1, 2, ..., N):
1
 (1... N ) 
N!

 1 (1 ) ...  1 ( N )
...
...
...
 N (1 ) ...  N ( N )

(7.1)

trong đó  k là tập hợp tất cả các toạ độ của hạt thứ k. Các hàm  i (k ) được
xác định nhờ nguyên lý biến phân của cơ học lượng tử. Theo nguyên lý này,
năng lƣợng của hệ đƣợc tính cùng với việc sử dụng tập hợp các hàm sóng
thử tuỳ ý và không thể nhỏ hơn năng lƣợng cực tiểu đích thực của hệ.


Emin =


 d ... d N H 
1



 d1... d N 

(7.2)

Bài toán biến phân (7.2) đưa đến các phương trình vi-tích phân phi
tuyến, mà chúng ta được giải bằng phương pháp gần đúng liên tiếp. Để đơn

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

giản chúng ta tiến hành các tính toán cho nguyên tử Hêli và các electron đều
được coi ở trạng thái cơ bản s.

1.7.2. Phƣơng trình Hartree
ở đây chúng ta tạm bỏ qua đòi hỏi về tính đối xứng hàm sóng của hệ các
electron. Trong gần đúng bậc không cả hai electron được mô tả bằng các hàm
sóng thực  , còn hàm sóng của nguyên tử có dạng:


  1 r1  2 r2  1 2

  

(7.3)

Trong phép gần đúng này biến phân lấy theo các hàm  1; 2 và được lấy
 
một cách độc lập với nhau. Coi  d r1 d r2  1 và từ (7.2) ta có:







 



 

  E  d rd r  0     H
  H
r2
1
2
1
 1 2   E  1 2d rd

(7.4)

Trong công thức (7.4) Hamiltonian của hệ có dạng:

 

2
2
2e2 2e2 e2

H r1 , r2  
1 
2 


2m
2m
r1
r1
r12





(7.5)

Lấy biến phân lần lượt theo  1; 2 , chúng ta có kết quả sau đây:
 


(7.6)
  1   2 H  E  1 2d r2  d r1  0
 
  E   d r d r  0
 H

(7.7)

1 2
1
 2  1
 2







Vì sự tuỳ ý của các biến phân  1 ,  2 suy ra:


 2 H  E  1 2d r2  0

 

  E   dr  0

H

 
2

1

2

1

(7.8)
(7.9)

 ở (7.5) vào (7.8) ta có:
Thay giá trị H

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa


 2

2
2e2 2e2 e2
 2   2m 1  2m  2  r  r  r  E  1 2 d r2  0


1
2
12

(7.10)

Kết quả ta thu được phương trình Hartree:
2
 
 2
2e2
2 e





d
r

1
 2 r 2  1  E1 1
2
m
r


1
12

(7.11)

Tương tự ta có:
2


 2
2e2
2 e





d
r

2
 1 r 1  2  E2 2
2
m
r


2
12

(7.12)

ở đây đã kí hiệu E1 = E – H22, E2 = E – H11 còn


 2
2e2 
i 


d
r
Hii =  i  
 i i;
2
m
r

i 

(i = 1, 2)

(7.13)

Trong (7.10), E là tổng năng lượng của hệ gồm hai electron trong trường
của hạt nhân, E1 và E2 là năng lượng của mỗi electron.
Các phương trình (7.11) và (7.12) chỉ ra rằng: trong thế năng của từng
electron xuất hiện thêm các số hạng bổ xung sau đây:
 
2

r
d r2


2
e
 (r1 )    22 d r2  e 
,

(7.14)
r12
r12
 
2

r
d r1

1
e
 (r2 )    12 d r1  e 
.
(7.15)
r12
r12


Hàm  ri  e i2 là mật độ điện tích do một electron tạo ra tại điểm ri .

 




Tổng năng lượng của hệ bằng:
 
 d rd r
E =  H
1

2

 
 2
2
2e2 2e2 e2 
1 
2 

  1 2 d rd
r2
=  1 2  
1
2
m
2
m
r
r
r

1
2
12 

(7.16)

= E1 + E2 - G .

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Đại lượng G có ý nghĩa như năng lượng trung bình của tương tác tĩnh
điện giữa các electron.

Ge

2



 12 22  
r12

d rd
r2  
1

12  
r12

(7.17)

d rd

r2
1

Vì trong từng đại lượng E1 và E2 đã chứa số hạng G , do đó trong tổng E1
+ E2 số hạng G được tính hai lần. Vậy năng lượng của hệ là: (E1 + E2) - G .
Nếu hệ gồm N electron thì phương trình Schrodinger tương tự đối với
electron trong trạng thái lượng tử thứ n có dạng:
2
 2
N
n 

 n  En n
 i  U (ri )   ei ek 
2
m
r

r
k

1

i
k 
ik


i

i

i

(7.18)

Sự phức tạp của phương trình Schrodinger (7.18) trong phép gần đúng
của trường tự hợp ở chỗ hàm sóng của hệ các hạt  i chứa đựng hàm sóng
của tất cả các electron còn lại. Các phương trình (7.18) chỉ giải bằng phương
pháp số hay một phương pháp gần đúng nào đấy như phương pháp biến phân,
ở đây ta phải chọn tập hợp các hàm sóng thử, rồi phải liên tục làm phép gần
đúng liên tiếp.
1.7.3 Phƣơng trình Hartree - Fock
Phương pháp trường tự hợp với đòi hỏi tính đối xứng của hàm sóng
của hệ hạt được gọi là phƣơng pháp Hartree - Fock. Trong trường hợp này,
hàm sóng của nguyên tử có dạng:
 



1  
 (r , r ) 
 1 r1  2 r2   2 r1  1 r2 

2

  

  

(7.19)

Thay (7.19) vào (7.4) và tiến hành lấy biến phân theo các hàm sóng độc
lập với nhau. Chúng ta nhận được hệ phương trình móc nối vào nhau:

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

23


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa


   2

2e2
 
E
 H 22  G22  1 (r )  ( H12  G12 )  2 (r )  0,
  
r

 2m


2
2
      E  2e  H  G  (r )  ( H  G )  (r)  0

11
11 
2
12
12  1
  2m
r




(7.20)

trong đó r là khoảng cách từ tâm đến điểm tính trường còn



 e2 
Gik r1   i r2  k r2
d r2 ,
r12

(7.21)

2e2 
 2
Hik =  i  

 k dr .
2

m
r



(7.21)



   

Sự khác nhau cơ bản của phương trình Hartree - Fock với phương trình
Hartree là sự xuất hiện tích phân trao đổi, có nghĩa là các số hạng có dạng
G12.
Chu trình của việc tự hợp:
Sơ đồ

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

24


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Ts. Trần Thái Hoa

Đưa vào

Giải phương trình

Nhận được

các hàm

Schrodinger cho

tập hợp

thử

electron trong

 1' ,  2 ,

 1 , 2 ,..., n

trạng thái  1 và

...,  n

ở trong trường
của các electron
trong các trạng
thái
 3 ,...,
n
So sánh
với 2 ,tập
hợp
ban

đầu và lặp lại chu trình
cho đến khi sự khác nhau
là không đáng kể
Lặp lại

Nhận được

Giải

quá

tập

hợp

trình

trình

 1' ,

 2' ,

Schrodinger

để

...,  n

xác

phương

electron

cho
trong

định

trạng thái  2 và

tập hợp

ở

 1' ,  2' ,

của các electron

...,  n'

trong

trong

trường

các

trạng

CHƢƠNG 2: CáC THốNG KÊ LƢợNG
thái Tử  1' ,

3,

2.1. Đặt vấn đề

...,  n

Nêu vài nét cơ bản về các tính chất thống kê của một hệ hạt đồng nhất
theo quan điểm của cơ học lượng tử. Sẽ thấy rằng các tính chất thống kê này
phụ thuộc vào tính chất của từng hạt của hệ hay cụ thể hơn phụ thuộc vào các
nguyên lý đã chứng minh ở trên:
1 - Nguyên lý không phân biệt các hạt (vi mô) đồng nhất.

SVTH: Trịnh Thị Thu Giang – K31D Lý

25