bậc topo của ánh xạ đơn điệu suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Đăng Khoa

BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ
ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Đăng Khoa

BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ
ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy
vì sự tận tình hướng dẫn, giúp đỡ của thầy về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để
hoàn thành luận văn.
Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô trong tổ bộ môn
Giải tích đã có những nhận xét và góp ý để tôi có cơ hội hoàn chỉnh và bảo vệ luận
văn tốt nghiệp này.
Tôi cũng xin cảm ơn toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri
thức quý báu trong suốt thời gian tôi học Cao học.

Học viên
Võ Đăng Khoa


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
T
0

0T

Chương 1. BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN
T
0

CHIỀU ........................................................................................................................3
0T

1.1. Định nghĩa bậc topo của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều.......3
T
0

T
0

1.2. Các tính chất .....................................................................................................4
T
0

0T

Chương 2. BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG ..............8
T
0

T
0

2.1. Bậc topo của ánh xạ trong không gian khả ly..................................................8
T
0

T
0

2.2. Bậc topo của ánh xạ trong không gian không khả ly.....................................17
T

0

T
0

Chương 3. TÍNH CHẤT CỦA BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY
T
0

RỘNG .......................................................................................................................27
0T

Chương 4. CÁCH TÍNH BẬC TOPO CHO MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ...........35
T
0

4.1 Chỉ số tại các điểm tới hạn...............................................................................35
T
0

T
0

4.2 Bậc topo của ánh xạ thế năng ..........................................................................49
T
0

T
0

Chương 5. ÁP DỤNG BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ VÀO SỰ CÓ NGHIỆM
T
0

CỦA PHƯƠNG TRÌNH ........................................................................................54
0T

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................68
T
0

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................69
T
0

0T


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

Kí hiệu

Ý nghĩa

n

Không gian các bộ số gồm n số thực

Ω

Bao đóng mạnh của Ω

σ

Ω

Bao đóng yếu của Ω

∂Ω

Biên của Ω

B ( x, R )

Quả cầu mở tâm x bán kính R

S ( x, R )

Mặt cầu mở tâm x bán kính R

X*

Không gian liên hợp của X

x

Chuẩn của x

x⋅ y

Tích vô hướng của x và y

→

Hội tụ mạnh



Hội tụ yếu

lim, lim,lim

Giới hạn, giới hạn trên, giới hạn dưới

min f ( x ) , max f ( x ) ,inf f ( x ) ,sup f ( x )

Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, cận
dưới đúng, cận trên đúng của f trên Ω
Hàm dấu của x . Bằng 1 nếu x > 0 ,
bằng 0 nếu x = 0 , bằng −1 nếu x < 0

x∈Ω

x∈Ω

x∈Ω

x∈Ω

sign ( x )

(

deg f , Ω

)

Bậc topo của f trên Ω tại 0

f ,x

Tác động của f lên x

ind ( A, u )

Chỉ số của ánh xạ A tại điểm tới hạn
cô lập u


1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bậc topo được hình thành và phát triển từ những năm 1910 và có
mục đích ban đầu là để nghiên cứu các đường và mặt trong topo. Chỉ sau khi bậc
topo tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới
được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống.

Ngày nay, bậc topo là công cụ quan trọng bậc nhất trong chứng minh sự tồn tại
nghiệm, xem xét cấu trúc tập nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân, tích
phân phát sinh từ Khoa học tự nhiên cũng như trong nghiên cứu các mô hình
Kinh tế-Xã hội.
Bậc topo ban đầu được định nghĩa cho các ánh xạ liên tục trong không gian
hữu hạn chiều, rồi được mở rộng cho các ánh xạ hoàn toàn liên tục từ một không
gian định chuẩn vào chính nó được khởi xướng bởi J.Leray và J.Schauder. Tiếp
theo, bậc topo được xây dựng cho một số lớp ánh xạ rộng hơn.
Các ánh xạ đơn điệu suy rộng tác động từ không gian Banach X vào không
gian liên hợp của nó X * là sự tổng quát hóa của nhiều ánh xạ vi phân thường
gặp. Đặc biệt, việc xây dựng bậc topo cho lớp ánh xạ này đã mở rộng đáng kể
khả năng ứng dụng chúng vào các lớp phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp
bậc topo cho các ánh xạ loại đơn điệu được bắt đầu từ

công trình của

F.E.Browder và W.V.Petryshyn về bậc của ánh xạ xấp xỉ riêng (A-proper), công
trình của I.V.Skrypnik về bậc của các ánh xạ lớp ( S + ) và đang được các nhà
toán học quan tâm nghiên cứu.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống và tương
đối đầy đủ lý thuyết bậc topo cho các ánh xạ đơn điệu và một số ứng dụng. Các
kết quả được tham khảo trong [4].


2

Luận văn có năm chương.
Chương I trình bày định nghĩa và các kết quả cơ bản về bậc topo trong không
gian hữu hạn chiều được sử dụng ở các chương sau cũng như cho thấy sự tương
đồng về tính chất khi mở rộng khái niệm bậc topo.

Chương II nêu định nghĩa bậc topo của ánh xạ lớp α trong không gian khả ly
và không khả ly và giới thiệu bậc topo của các ánh xạ giả đơn điệu.
Chương III trình bày các tính chất quan trọng của bậc topo của các ánh xạ
đơn điệu suy rộng, nhiều tính chất giống với ánh xạ trong không gian hữu hạn
chiều được trình bày ở chương I.
Chương IV xem xét các cách tính bậc topo cho trường hợp tại các điểm tới
hạn (đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự có nghiệm, ước lượng số
nghiệm và các nhánh nghiệm của bài toán phi tuyến) và của ánh xạ thế năng.
Chương V nghiên cứu các ứng dụng của bậc vào sự tồn tại nghiệm của
phương trình và bài toán các điểm phân nhánh.


3

Chương 1. BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG
KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU
1.1. Định nghĩa bậc topo của ánh xạ liên tục trong không gian
hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.1.
Cho  n là không gian n − chiều và Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ

f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ,..., f n ( x1 , x2 ,..., xn ) ) .
Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω thì ánh xạ f có một số đặc trưng lấy giá trị

(

nguyên được gọi là bậc topo của ánh xạ f trên Ω tại điểm 0, kí hiệu deg f , Ω,0

(

)

)

hoặc deg f , Ω được xác định duy nhất bởi ba tính chất sau :

(

)

(i) Nếu f ( x )= x − x0 với x0 ∈ Ω thì deg f , Ω =1 .
(ii) Nếu Ω1 , Ω 2 là các tập con mở rời nhau của Ω và f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Ω \ ( Ω1 ∪ Ω 2 )

(

)

(

)

(

)

thì deg f=
, Ω deg f , Ω1 + deg f , Ω 2 .
(iii) Nếu ánh xạ h : [ 0,1] × Ω →  n liên tục sao cho h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ ∂Ω

(

)

(

)

và=
f ( x ) h ( 0, x=
, Ω deg g , Ω .
) , g ( x ) h (1, x ) , x ∈ Ω thì deg f=
Các ánh xạ f , g được gọi là đồng luân trên Ω và ánh xạ h biểu diễn một
đồng luân giữa f và g .
Bậc topo của ánh xạ, trong một thuật ngữ khác là sự quay của trường vector,
có thể được định nghĩa bằng những cách khác dựa trên các khái niệm của topo đại
số hoặc bằng các phương pháp giải tích.


4

Ghi chú : Một phương pháp xây dựng bậc topo là dựa trên xấp xỉ ánh xạ f
bởi một ánh xạ khả vi liên tục g : Ω →  n sao cho max f ( x ) − g ( x ) < min f ( x )
x∈∂Ω

x∈∂Ω

và tại những điểm x ∈ Ω sao cho g ( x ) = 0 thì Jacobian

Dg ( x )
≠ 0 . Sự tồn tại của

Dx

một xấp xỉ như thế suy ra từ định lý Sard.
Với { x1 , x2 ,..., xk }=

(

)

(

{ x ∈ Ω : g ( x=) 0} ta định nghĩa bậc topo của

) ∑ sign

deg f=
, Ω deg g=
,Ω

k

i =1

f như sau

Dg ( xi )
. Vế phải của đẳng thức bằng 0 nếu
Dx

g ( x ) ≠ 0 trên Ω .

Định nghĩa 1.2.
Cho  n là không gian n − chiều và Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ

f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) ,..., f n ( x1 , x2 ,..., xn ) ) .
Giả sử f ( x ) ≠ y, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω , ta định nghĩa bậc topo của ánh xạ f trên

Ω tại điểm

(

)

(

)

y ∈  n , kí hiệu là deg f , Ω, y , xác định bởi đẳng thức

(

)

deg f , Ω,=
y deg f − y, Ω .

1.2. Các tính chất
Các kết quả sau đây thường được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của bậc
topo của các ánh xạ trong không gian Banach.
Bổ đề 1.3. (Leray-Schauder)
Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n . Ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn

=
f n ( x ) f=
xn với x
n ( x1 , x2 ,..., xn )=

( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ Ω . Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω


5

và tập Ω='

f , Ω)
{ x ∈ Ω : xn= 0} . Khi đó deg ( =

(

)

deg f ', Ω ' với f ' : Ω ' →  n −1

xác định bởi f ' ( x1 , x2 ,..., xn −1 ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn −1 ,0 ) ,..., f n −1 ( x1 , x2 ,..., xn −1 ,0 ) ) .
Định nghĩa 1.4.
Một miền liên thông, bị chặn Ω trong  n được gọi là miền Jordan nếu

 n \ Ω liên thông.
Định lý 1.5. (Hopf)
Cho Ω là miền Jordan trong  n và f , g : Ω →  n là các ánh xạ liên tục thỏa

(

)

(

)

mãn điều kiện f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω và deg f=
, Ω deg g , Ω . Khi đó ánh
xạ f và g đồng luân với nhau trên Ω .
Bổ đề 1.6.
Cho 0 ∈ Ω và f : Ω →  n liên tục thỏa mãn ∀x ∈ ∂Ω, f ( x ) ≠ 0, f ( x ) ⋅ x ≥ 0

(

)

(tích vô hướng). Khi đó deg f , Ω =1 .
Chứng minh
Xét ánh xạ liên tục h : [ 0,1] × Ω →  n , h ( t , x )= tx + (1 − t ) f ( x ) .

x t x + (1 − t ) f ( x ) ⋅ x > 0 .
Vì 0 ∈ Ω , với mọi x ∈ ∂Ω, t ∈ ( 0,1] ta có h ( t , x ) ⋅=
2

Suy ra h ( t , x ) ≠ 0 .

t 0, x ∈ ∂Ω thì h (=
Với=

0, x ) f ( x ) ≠ 0
Do

(

tính

)

bất

(

biến

)

deg f=
, Ω deg Id,
=
Ω 1■

của

bậc

topo

qua

phép

đồng

luân

nên


6

Bổ đề 1.7.
Với B ( 0, R ) =
{ x ∈  n : x ≤ R} cho ánh xạ liên tục f : B ( 0, R ) →  n thỏa

(

mãn f ( x ) ≠ 0, f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ S ( 0, R ) ={ x ∈  n : x =R} thì deg f , B ( 0, R )

)

là một số lẻ.
Ghi chú : Kết luận của bổ đề 1.7 vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện lẻ trên

− f ( x ) , x ∈ S ( 0, R ) bằng điều kiện
mặt cầu f ( − x ) =

f ( x)
f (−x)
, x =

≠
R.
f ( x)
f (−x)

Khi đó, f đồng luân với ánh xạ g trên S ( 0, R ) , trong đó g ( x =
) f ( x) − f (−x) ,
bởi phép đồng luân h ( t , x )= f ( x ) − tf ( − x ) , h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ S ( 0, R ) .
Ứng dụng của bậc topo trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương
trình trong không gian hữu hạn chiều dựa trên định lý sau đây.
Định lý 1.8.
Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn

(

)

điều kiện f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω và deg f , Ω ≠ 0 . Khi đó phương trình f ( x ) = 0 có
nghiệm trong Ω .
Định lý trên được suy trực tiếp từ bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.9.
Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn

(

)

điều kiện f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Ω . Khi đó deg f , Ω =0 .
Chứng minh
Với Ω ' là miền có bán kính đủ nhỏ sao cho với x1 , x2 ∈ Ω '

7

f ( x1 ) − f ( x2 ) + x1 − x2 <

1
min f ( x )
2 x∈Ω

Trên Ω ' thì f ( x ) đồng luân với f 0 ( x )= x − x0 + f ( x0 ) , x0 ∈ Ω ' bởi ánh xạ

h ( t , x ) = t ( x − x0 + f ( x0 ) ) + (1 − t ) f ( x ) .
Bởi việc chọn Ω ' nên ta có h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ ∂Ω ' và f 0 ( x ) ≠ 0 với

x ∈ Ω ' . Do đó sử dụng các tính chất (i) và (iii) của định nghĩa bậc topo ta được

(

)

(

)

deg f , Ω ',0
= deg f 0 , Ω ',0
= 0.

Trường hợp tổng quát, ta sẽ phủ Ω compact bởi hữu hạn các tập mở có bán

kính đủ nhỏ rồi áp dụng tính chất (ii) của bậc ta sẽ được điều cần chứng minh ■


8

Chương 2. BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN
ĐIỆU SUY RỘNG
2.1. Bậc topo của ánh xạ trong không gian khả ly
Trong phần này, X là không gian Banach thực phản xạ khả ly và X * là
không gian liên hợp của nó. Kí hiệu sự hội tụ mạnh bởi dấu → và sự hội tụ yếu bởi
dấu  . Với x ∈ X , f ∈ X * bất kì, sự tác động của hàm f lên phần tử x được ký
hiệu là f , x .

2.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1.
Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử A : Ω → X * .
A được gọi là ánh xạ đơn điệu trên Ω nếu Au − Av, u − v ≥ 0, ∀u , v ∈ Ω .
A

được gọi là ánh xạ thuộc lớp

{un } ⊂ Ω, un  u0 , lim
n →∞
A

được

+

trên

Ω

nếu với dãy

Aun , un − u0 ≤ 0 thì un → u0 .

gọi

{un } ⊂ Ω, un  u0 , lim
n →∞

(S )

là

ánh

xạ

giả

đơn

điệu

trên

Ω

nếu

0 . Hơn nữa nếu
Aun , un − u0 ≤ 0 thì lim Aun , un − u0 =
n →∞

u0 ∈ Ω thì Aun  Au0 .
Ghi chú: Dưới điều kiện liên tục yếu, các ánh xạ đơn điệu, ánh xạ thuộc lớp

( S ) đều là giả đơn điệu.
+


9

Định nghĩa 2.2.
Cho F ⊂ X và toán tử A : F → X * . Ta nói A thỏa mãn điều kiện α 0 ( F )
nếu với bất kỳ dãy

{un } ⊂ F , un  u0 , Aun  0

và lim Aun , un − u0 ≤ 0 thì
n →∞

u n → u0 .
Định nghĩa 2.3.
Cho D tập con mở bị chặn của X .Toán tử A : D → X * được gọi là thỏa
mãn

điều

α ( F ), F ⊂ D

kiện

nếu

với

dãy

{un } ⊂ F , un  u0

và

lim Aun , un − u0 ≤ 0 thì un → u0 .
n →∞

( )

( )

A thỏa mãn điều kiện α D trùng với A thuộc lớp S + trên D .

Định nghĩa 2.4.
Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử A : Ω → X * .
A được gọi là hemi-liên tục trên Ω nếu với mọi u ∈ Ω, v, w ∈ X và t ∈  sao

0.
cho u + tv ∈ Ω ta có lim A ( u + tv ) − Au , w =

t →0

A được gọi là demi-liên tục trên Ω nếu với dãy bất kỳ {un } ⊂ Ω, un → u0 ∈ Ω

=
thì lim Au
n,v
n →∞

Au0 , v , ∀v ∈ X .

A được gọi là bị chặn trên Ω nếu nó biến tập con bị chặn của Ω thành tập

con bị chặn của X * .


10

Cho D tập con mở bị chặn của X . Với F ⊂ D , ta kí hiệu A0 ( D, F ) (tương
ứng A ( D, F ) ) là tập tất cả các ánh xạ demi-liên tục bị chặn A : D → X * thỏa mãn
điều kiện α 0 ( F ) (tương ứng α ( F ) ).

(

) (

)

Nếu F = D thì viết A0 ( D ) , A ( D ) thay cho A0 D, D , A D, D .

2.1.2. Bậc topo của ánh xạ lớp α
D là tập con mở bị chặn của X . Cho {vi } , i = 1, 2,... là một hệ toàn vẹn bất kì

của không gian X (nghĩa là không gian con sinh bởi các vi là trù mật) và giả sử
rằng với mọi n thì hệ {v1 , v2 ,..., vn } độc lập tuyến tính. Ký hiệu Fn là không gian
con sinh bởi {v1 , v2 ,..., vn } . Với mỗi n , kí hiệu Dn= D ∩ Fn , và gọi xấp xỉ hữu hạn
n

chiều của ánh xạ A là ánh xạ An : Dn → Fn xác định như sau Anu = ∑ Au , vi vi
i =1

với u ∈ Dn .
Định lý 2.5.
Cho A : D → X * thỏa mãn A ∈ A0 ( D, ∂D ) và Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Khi đó tồn
tại số N sao cho với mọi n ≥ N ta có :
i) Anu ≠ 0, ∀u ∈ ∂Dn .

(

)

ii) deg An , Dn xác định và không phụ thuộc vào n .
Chứng minh
i) Giả sử trái lại : ∀k , ∃nk , ∃uk ∈ ∂Dnk sao cho Ank uk = 0 và nk → ∞ khi

k → ∞.


11

Vì {uk } ⊂ ∂D bị chặn trong không gian X Banach phản xạ nên nó có dãy con
hội tụ yếu. Có thể coi uk  u0 .

{

nk

∑

Mặt khác ∀k=
, 0 A=
nk uk

i =1

Auk , vi vi và hệ v1 , v2 ,..., vnk

}

độc lập tuyến

tính nên Auk , vi = 0, ∀i = 1, nk .
Với v ∈ X bất kì thì có nk đủ lớn để v ∈ Fnk nên lim Auk , v = 0 . Suy ra
k →∞

Auk  0 .
Lấy dãy {wk } sao cho wk ∈ Fnk và wk → u0 . Khi đó do Auk là ánh xạ tuyến
tính nên Auk , uk − u=
0

Auk , uk − wk + Auk , wk − u0 .

Vì uk − wk ∈ Fnk nên

Auk , uk − wk =
0 . A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị

0.
0 . Suy ra lim Auk , uk − u0 =
chặn và wk → u0 nên lim Auk , wk − u0 =
k →∞

k →∞

Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 .
Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D .
Mà A demi-liên tục.
Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X .
k →∞

Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ).

(

)

ii) Điều vừa chứng minh ở i) bảo đảm rằng deg An , D xác định với n đủ lớn.

(

)

Ta chứng minh deg An , D không phụ thuộc n với n đủ lớn bằng cách dùng
ánh

xạ

với Anu
An =

n −1

∑
i =1

Au , vi vi + f n , u vn

trong

đó

fn ∈ X *

có

f n , vi = 0, ∀i = 1, n − 1 và f n , vn = 1 .

Ta có An : Dn → Fn liên tục và với n đủ lớn, u ∈ Dn=
,u

n

n −1

u ' ∑c v
∑ c v ,=

i i
=i 1 =i 1

i i

thì


12

n −1

n −1

n

A u =∑ Au , v v + ∑ ci f n , vi vn =∑ Au , vi vi + cn vn và Anu ≠ 0 trên ∂Dn .

n
i
i
=i 1 =i 1

{u ∈ Dn : cn= 0}=

=i 1

Dn −1 ≠ ∅, An −1 : Dn −1 → Fn −1 , An −1u='

(

)

n −1

∑
i =1

Au ', vi vi

(

)

Theo định lý Leray-Schauder thì deg An , Dn = deg An −1 , Dn −1 khi n đủ lớn.

(

)

(

)

Ta chỉ còn phải chứng minh deg An , Dn = deg An , Dn với n đủ lớn.
Xét đồng luân hn : [ 0,1] × Dn → Fn , hn ( t , u )= tAnu + (1 − t ) Anu .
Chứng minh với n đủ lớn thì tAnu + (1 − t ) Anu ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀u ∈ ∂Dn
Giả sử ngược lại ∀k , ∃nk ≥ k , ∃tk ∈ [ 0,1] , ∃uk ∈ ∂Dnk : tk Ank uk + (1 − tk ) Ank uk = 0
Suy ra Auk , vi vi = 0 với 1 ≤ i ≤ nk − 1 và tk Auk , vnk + (1 − tk ) f nk , uk =
0.
Với v ∈ X thì có k đủ lớn để v ∈ Fnk −1 nên Auk , v = 0 . Do đó Auk  0 .
Khi k đủ lớn thì do Ank uk , Ank uk ≠ 0 nên 0 < tk < 1 .

{uk } ⊂ ∂D bị

chặn, X phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu. Có thể coi

u k  u0 .
Lấy dãy

{wk }

sao cho wk ∈ Fnk −1 , ∀k và wk → u0 . Vì

Auk , wk = 0 (do

wk ∈ Fnk ) và
nk
 1 − tk 
1 − tk
−
Auk , uk =
Auk , ∑ ck ,i vi ==

ck ,nk Auk , vnk
f nk , uk  −
f nk , uk
 f nk , uk =
tk
i =1
 tk 

2


13

Ta có

Auk , uk −=
u0

Auk , uk − Auk , wk + Auk , wk − u0

1 − tk
=
−
f nk , uk
tk

2

+ Auk , wk − u0

≤ Auk , wk − u0
A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị chặn và wk → u0 nên lim Auk , uk − u0 ≤ 0 .
k →∞

Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 .
Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D .
Mà A demi-liên tục.
Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X .
k →∞

Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ).

(

)

(

)

(

Do đó deg
=
An , Dn
deg
=
An , Dn deg An −1 , Dn −1

(

)

)

Vậy deg An , Dn không phụ thuộc n khi n đủ lớn ■
Định lý 2.6.
Cho A : D → X * thỏa mãn A ∈ A0 ( D, ∂D ) và Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Khi đó giới

)

(

hạn lim deg An , Dn tồn tại, kí hiệu D {vi } , và không phụ thuộc vào việc chọn {vi } .
n →∞

Chứng minh

(

Do định lý 2.5 deg An , Dn

(

)

không phụ thuộc n khi n đủ lớn nên

)

lim deg An , Dn tồn tại.
n →∞

Với {v 'i } cùng tính chất với {vi } . Ta chứng minh D {vi } = D {v 'i } .


14

Ta có thể giả sử với mỗi n thì hệ {v1 ,..., vn , v '1 ,..., v 'n } độc lập tuyến tính. Nếu

{ } sao cho {v ,..., v , v ,..., v } và {v ' ,..., v ' , v ,..., v } đều độc lập
tuyến tính. Và từ D=
{v } D=
{v } D {v ' } ta có điều phải chứng minh.
không thì có hệ vi

1

i

i

n

1

n

1

n

1

n

i

Gọi L2n là không gian sinh bởi hệ {v1 ,..., vn , v '1 ,..., v 'n } và với mỗi n và với

0, f n ,i=
, v ' j δ=
1, n
u ∈ En =D ∩ L2 n , t ∈ [ 0,1] và f n ,i ∈ X * thỏa mãn f n=
,i , v j
ij , i , j
xác định ánh=
xạ A2 n ,t u

∑(
n

i =1

) )

(

Au , vi vi + t Au , v 'i + (1 − t ) f n ,i , u v 'i

*Với n đủ lớn thì A2 n ,t u ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En , ∀t ∈ [ 0,1]

u 0, nk → ∞ khi
Giả sử trái lại ∀k , ∃nk ≥ k , ∃tk ∈ [ 0,1] , ∃uk ∈ ∂ Enk : A2 nk ,t=
k k
 Auk , vi = 0
k → ∞ . Từ đó ta có với i = 1, nk , 
0
tk Auk , v 'i + (1 − tk ) f nk ,i , uk =
Với v ∈ X thì có k đủ lớn để v ∈ Fnk nên Auk , v = 0 . Do đó Auk  0 .
Khi k đủ lớn ta có 0 < tk < 1

0 vì A2 n ,t u
+Nếu tk = 1 thì A2 nk ,1uk ≠=

n

∑(
i =1

Au , vi vi + Au , v 'i v 'i ) ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En

(chứng minh tương tự như phần (i) của định lý 2.5)

0 vì A2 n ,0u
+Nếu tk = 0 thì A2 nk ,0uk ≠
=

∑(
n

i =1

)

Au , vi vi + f n ,i , u v 'i ≠ 0, ∀u ∈ ∂ En

(do Anu , vi không đồng thời bằng 0 vì Anu ≠ 0 )

{uk } ⊂ ∂D bị chặn,

X phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu. {tk } ⊂ [ 0,1] bị

chặn nên có dãy con hội tụ. Có thể coi uk  u0 , tk → t0 .


15

Lấy wk ∈ Fnk sao cho wk → u0 .
Vì Auk , wk = 0 (do wk ∈ Fnk ) và
nk

nk

Auk , ∑ ( ck ,i vi + c 'k ,i v=
'i )

Auk ,=
uk

∑c'

=i 1 =i 1

k ,i

Auk , v 'i

nk
 1 − tk 
1 − tk
=
−
f nk ,i , uk  −
f nk ,i , uk
 f nk ,i , uk =
∑
∑
tk
=i 1 =
i 1
 tk 
nk

2

Nên ta có

Auk , uk −=
u0

Auk , uk − Auk , wk + Auk , wk − u0

1 − tk
=
−
f nk ,i , uk
∑
tk
i =1
nk

2

+ Auk , wk − u0

≤ Auk , wk − u0
A là ánh xạ bị chặn, {uk } ⊂ D bị chặn và wk → u0 nên lim Auk , uk − u0 ≤ 0 .
k →∞

Do A thỏa điều kiện α 0 ( ∂D ) nên uk → u0 .
Ta có {uk } ⊂ ∂D đóng mạnh. Do đó u0 ∈ ∂D .
Mà A demi-liên tục.
Suy ra Au0 , v = lim Auk , v = 0, ∀v ∈ X .
k →∞

Vậy có u0 ∈ ∂D để Au0 = 0 (mâu thuẫn với giả thiết Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D ).
Từ tính chất bất biến đồng luân của bậc topo của ánh xạ hữu hạn chiều nên ta

(

)

(

)

có deg A2 n ,0 , En = deg A2 n ,1 , En .

(

)

(

* Khi n đủ lớn thì deg A2 n ,0 , En = deg An , Dn

)


16

A2 n ,0 : En → L2 n liên tục và với n đủ lớn, u ∈ En , u=

n

n

∑ ( c v + c ' v ' ), u =' ∑ c v

i i
i
i
=i 1 =i 1

n

n

n

i i

n

thì A2 n ,0u =∑ Au , vi vi + ∑ f n ,i , u v 'i =∑ Au , vi vi + ∑ c 'i v 'i và A2 n ,0u ≠ 0

=i 1 =i 1 =i 1 =i 1

∀u ∈ ∂ En .

{u ∈ E

}

n

∑

i 1, n= Dn ≠ ∅, An : Dn → Fn , Anu='

'i 0,=
n : c=

(

)

i =1

Au ', vi vi

(

)

Theo định lý Leray-Schauder thì deg A2 n ,0 , En = deg An , Dn khi n đủ lớn.

(

)

)

(

thức

của

Suy ra deg An , Dn = deg A2 n ,1 , En .

Trong

(

công

)

(

deg An , Dn = deg A2 n ,1 , En

(

A2 n ,1 vai

trò

như

vi , v 'i

nhau

nên

)

)

(

)

Do đó deg An , Dn = deg A 'n , D 'n khi n đủ lớn.

(

)

(

)

deg An , Dn , D {v 'i } lim deg A 'n , D 'n .
=
=
Mà D {vi } lim
n →∞

n →∞

Vậy D {vi } = D {v 'i } hay D {vi } không phụ thuộc vào việc chọn dãy {vi } ■

Định nghĩa 2.7.
Cho A : D → X * thỏa mãn A ∈ A0 ( D, ∂D ) và Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Bậc topo của

(

)

A trên tập D tương ứng với điểm 0 ∈ X * , kí hiệu là deg A, D , được định nghĩa là

(

)

n

lim deg An , Dn với Anu = ∑ Au , vi vi với u ∈ Dn , Dn =
D ∩ Fn .
n →∞

i =1


17

2.2. Bậc topo của ánh xạ trong không gian không khả ly
Trong phần trước để xây dựng bậc topo của ánh xạ lớp α ta đã sử dụng sự tồn
tại của một dãy toàn vẹn đếm được trong không gian X . Tuy nhiên với toán tử A
thỏa mãn các điều kiện của của phần trên ta có thể xây dựng định nghĩa bậc topo
của nó mà không cần tính khả ly của X .
Trong phần này, X là không gian Banach thực phản xạ, D là tập con mở bị
chặn của X . Ta ký hiệu F ( X ) là tập tất cả các không gian con hữu hạn chiều của
X . Với F ∈ F ( X ) và {v1 , v2 ,..., vr } là cơ sở của F ta xác định ánh xạ hữu hạn
r

chiều AF u = ∑ Au , vi vi với u ∈ DF , DF =
D∩F.

i =1

2.2.1. Bậc topo của ánh xạ lớp α
Định lý 2.8.
Cho toán tử A : D → X * demi-liên tục thỏa mãn điều kiện α ( ∂D ) và
Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D . Khi đó tồn tại một không gian con F0 ∈ F ( X ) sao cho với

F ∈ F ( X ) bất kì, F ⊃ F0 ta có :
i)

AF u ≠ 0, ∀u ∈ ∂DF .

ii)

deg AF , DF ,0 = deg AF0 , DF0 ,0 .

(

)

(

)

Chứng minh
i) *Trước hết ta chứng minh tồn tại F0 ∈ F ( X ) sao cho với F ∈ F ( X ) bất kì,

F ⊃ F0 thì tập Z FF0=

{u ∈ ∂D

F

: Au , u ≤ 0, Au , v = 0, ∀v ∈ F0 } là rỗng.

Giả sử trái lại ∀F0 ∈ F ( X ) , ∃F1 ∈ F ( X ) , F1 ⊃ F0 : Z FF01 ≠ ∅ .


18

Kí hiệu GF0 =

{G

F

σ

Z

F ⊃ F0

F
F0

và GF0

σ

là bao đóng yếu của GF0

thì họ

}

: F ∈ F ( X ) có tính giao hữu hạn.
Thật vậy, F1 , F2 ,..., Fk ∈ F ( X ) thì ∃H ∈ F ( X ) , H ⊃ E
=

( F1 ∪ ... ∪ Fk ) : Z EH ≠ ∅

(do giả thiết phản chứng)
Với mỗi i = 1, k thì G=
Fi

Z

F ⊃ Fi

F
Fi

k
k
σ
H
E
Fi
=i 1 =i 1

⊃ Z ⊃ Z . Nên
H
Fi

Vì X là không gian phản xạ nên tồn tại u0 ∈



F ∈F ( X )

G

⊃  GFi ⊃ Z EH ≠ ∅

σ

GF .

Ta sẽ chứng minh u0 ∈ ∂D và Au0 = 0 và điều này mâu thuẫn với giả thiết
Au ≠ 0, ∀u ∈ ∂D .

Lấy w ∈ X bất kì, F0 ∈ F ( X ) : u0 ∈ F0 , w ∈ F0 .
Vì u0 ∈



F ∈F ( X )

GF

σ

σ

nên u0 ∈ GF0 ⊂

Z

F ⊃ F0

F
F0

do đó ∃un ∈ Z FF0n , Fn ⊃ F0 : un  u0

Khi đó un ∈ ∂DFn , Aun , un ≤ 0,=
Aun , u0 0,=
Aun , w 0 (do u0 , w ∈ F0 ).

− u0
Suy ra Aun , un =

Aun , un − Aun , u0 ≤ 0, ∀n .

{un } ⊂ ∂D, un  u0 , lim
n →∞

Aun , un − u0 ≤ 0 và A thỏa điều kiện α ( ∂D ) nên

un → u0 . Mà ∂D đóng. Do đó u0 ∈ ∂D .

=
Au0 , w lim
=
Aun , w 0 .
Vì A demi-liên tục nên
n →∞

Mà w ∈ X bất kì. Suy ra Au0 = 0 .


19

∅
Vậy ∃F0 ∈ F ( X ) : F ∈ F ( X ) , F ⊃ F0 , Z FF0 =
Khi đó nếu có u ∈ ∂DF để AF u = 0 thì với {v1 , v2 ,..., vr } là cơ sở của F ta có
Au , vi = 0, ∀i = 1, r .

Suy ra Au , v = 0, ∀v ∈ F ⊃ F0 , Au , u =

r

Au , ∑ c v =

r

∑c

i i
=i 1 =i 1

Au , vi = 0 .

i

Hay Z FF0 ≠ ∅ (vô lý). Vậy F0 thỏa kết luận (i) của định lý.
ii)Với F0 ở (i), lấy F ∈ F ( X ) , F ⊃ F0
Gọi {v1 ,..., vr , w1 ,..., ws } là cơ sở của F trong đó {v1 ,..., vr } là cơ sở của F0 .
Trên DF xét hai ánh xạ
=
AF u

r

∑

s

và AF u
Au , vi vi + ∑ Au , w j w j =

r

s

∑

Au , vi vi + ∑ f Fj , u w j

=i 1 =j 1

=i 1 =j 1

trong đó f Fj ∈ X * : f Fj , vi =
δ ij , j =
0, i =
1, r , f Fj , wi =
1, s .
Ta có AF : DF → F liên tục và với u ∈ DF , u =

r

s

∑ ci vi + ∑ d j w j , u ' =

=i 1 =j 1

r

r

∑c v

=i 1

s

r
s

j
F
i
i
F
j
i
i
=i 1 =j 1 =i 1 =j 1

i i

thì

A u = ∑ Au , v v + ∑ f , u w = ∑ Au , v v + ∑ d j w j và AF u ≠ 0, ∀u ∈ ∂DF

vì nếu AF u = 0 thì AF0 u ' = 0 (trái với i)

{u ∈ D

F

}

: d=
0,=
j 1, s ≠ ∅, AF0 : DF0 → FF0 , AF0 =
u'
j

(

)

r

∑
i =1

(

Au ', vi vi

)

Theo định lý Leray-Schauder thì deg AF , DF = deg AF0 , DF0 .


20

(

)

(

Do đó chỉ cần chứng minh deg AF , DF = deg AF , DF

)

bằng đồng luân . Ta

sẽ chứng minh tAF u + (1 − t ) AF u ≠ 0, ∀u ∈ ∂DF , ∀t ∈ [ 0,1] .
Thật vậy, giả sử trái lại có u F ∈ ∂DF , t F ∈ [ 0,1] để t F AF u F + (1 − t F ) AF u F =
0.
 Au F , vi = 0, i = 1, r ⇒ Au F , v = 0, ∀v ∈ F0
Suy ra 
j
t F Au F , w j + (1 − t F ) f F , u F = 0, j = 1, s

Vì AF u ≠ 0, ∀u ∈ ∂DF nên t F ≠ 0 .
r
s
1 − tF s
Ta có Au F , u F =
,
,
c
Au
v
d
Au
w
f Fj , u F
+
=
−
∑
∑
∑

i
F
i
j
F
j
tF j 1
=i 1 =j 1
=

2

≤0

Kết hợp với u F ∈ ∂DF , Au F , v = 0, ∀v ∈ F0 thì u F ∈ Z FF0 (vô lý)

(

)

(

)

(

)

Vậy deg
deg

deg AF0 , DF0 ■
AF , DF
AF , DF
=
=
Định nghĩa 2.9.
Cho toán tử A : D → X * demi-liên tục thỏa mãn điều kiện α ( ∂D ) và Au ≠ 0,

∀u ∈ ∂D . Với F0 xác định như ở định lý 2.8 thì bậc topo của ánh xạ A trên tập hợp

(

)

(

)

D tương ứng với điểm 0 ∈ X * , kí hiệu deg A, D,0 hoặc deg A, D được xác

(

)

(

)

định là deg A, D = deg AF0 , DF0 .

2.2.2. Bậc topo của ánh xạ giả đơn điệu
Bậc topo cũng được định nghĩa dưới điều kiện yếu hơn của ánh xạ A như điều
kiện giả đơn điệu.