Kì dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức thực và bất đẳng thức lojasiewicz suy rộng

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội

------------

Nguyễn Thị Thảo

Kì dị tại vô hạn của ánh xạ đa thức thực
và bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
MÃ số:
62.46.10.01

dự thảo luận án tiến sĩ toán học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
1. PGS. TSKH. Hà Huy Vui
2. GS. TSKH. Pierrette Cassou - Nogs

Hµ Néi - 2011


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, d-ới sự đồng

h-ớng dẫn khoa học cđa PGS. TSKH. Hµ Huy Vui vµ GS. TSKH. Pierrette
Cassou - Noguès. Các kết quả đ-ợc phát biểu trong luận án là mới, trung
thực và ch-a từng đ-ợc công bố trong các công trình của tác giả nào khác.
Các kết quả viết chung với các tác giả khác đà đ-ợc sự đồng ý của các tác
giả khi đ-a vào luận án.
Tác giả

Nguyễn Thị Thảo

2


Lời cảm ơn
Luận án này đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn khoa học của PGS.
TSKH. Hà Huy Vui. Thầy là ng-ời tận tâm, tận tình, dành nhiều công sức
dẫn dắt tác giả thực sự b-ớc vào nghiên cứu khoa học, động viên, khích lệ
tác giả v-ợt lên những khó khăn trong học tập và cuộc sống. Tác giả xin
đ-ợc bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến ng-ời thầy
thứ hai GS. TSKH. Pierrette Cassou - Nogs v× sù tËn tình và sự cảm thông
đối với những khó khăn của tác giả.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn
nhận đ-ợc sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn
đồng nghiệp trong bộ môn Hình học, các thầy cô và các bạn đồng nghiệp
trong Khoa Toán - Tin, Tr-ờng Đại học S- phạm Hà Nội, các thành viên
của Phòng Hình học - Tôpô, Viện Toán học. Nhân đây, tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành tr-ớc những quan tâm đó.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu Tr-ờng Đại học
S- phạm Hà Nội, Phòng Khoa học và Công nghệ, Phòng Sau đại học của
Tr-ờng đà tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập,
công tác và hoàn thành luận án này.
Cuối cùng, luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông,
giúp đỡ của những ng-ời thân trong gia đình. Tác giả xin đ-ợc gửi tới
toàn thể ng-ời thân trong gia đình lời cảm ơn chân thành và sâu sắc.
Tác giả

3

Mục lục

Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Một số quy -ớc và kí hiệu

6

Mở đầu

8

I. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . .
II. Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu
III. Ph-ơng pháp nghiên cứu . . . . . . . . .
IV. Những đóng góp mới của luận án . . . . .
V. ý nghÜa khoa häc vµ thùc tiƠn cđa ln ¸n

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.

8
9
11
11
12

VI. Bè cơc cđa ln ¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Ch-ơng 1. Tính riêng của ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn
1.1 Hàm đa thức riêng trªn Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vi phôi đa thức toàn cục trên Rn . . . . . . . . . . . . . . .

15
16
22

Ch-ơng 2. Các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của
các hàm đa thức và các hàm hữu tỉ trên mặt đại số
trong Rn

2.1
2.2

Bài toán đặc tr-ng giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn . . .
Các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của các hàm đa thức
và các hàm hữu tỉ trên mặt đại số trong Rn . . . . . . . . .

2.2.1 Ph¸t biểu các kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

30
30
36
37


5

2.2.2 Chứng minh Định lí 2.2.12 . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Chứng minh Định lí 2.2.13 . . . . . . . . . . . . . . .

45
50

2.2.4 Chó ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
54

Ch-ơng 3. Nguyên lí biến phân Ekeland, bất đẳng thức
Lojasiewicz, và hiện t-ợng kì dị tại vô hạn của các
hàm đa thức

57

3.1

60
60
62
69

3.2

3.3

Nguyên lí biến phân Ekeland cho các hàm đa thức . . . . .
3.1.1 §-êng cong tiÕp xóc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Nguyên lí Ekeland cho các hàm đa thức trên Rn . . .
3.1.3 Nguyên lí Ekeland cho các hàm đa thức trên R2 . . .
Bất đẳng thức Lojasiewicz của hàm đa thức trên các miỊn
kh«ng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 H×nh häc nưa ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Các điều kiện tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh
thớ và bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục . . . . . .
3.2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz suy rộng cạnh thớ và bất
đẳng thức Lojasiewicz suy rộng toàn cục . . . . . . .
Mèi quan hƯ gi÷a sự tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh
thớ với hiện t-ợng kì dị tại vô hạn
3.3.1 Phát biểu các kết quả . . . .
3.3.2 Chứng minh các kết quả . .
3.3.3 C©u hái . . . . . . . . . . .

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

73
73
77
85
92
92
93
107

Kết luận

108

Các công trình liên quan đến luận án

110

Tài liệu tham khảo

111


Mét sè quy -íc vµ kÝ hiƯu

Trong toµn bé ln ¸n, ta thèng nhÊt mét sè kÝ hiÖu nh- sau.
(1) N: tập các số tự nhiên.
(2) R: tập các số thực.
(3) R : tập các thực khác không.
(4) C: tập các số phức.
(5) max: giá trị lớn nhất.
(6) min: giá trị nhỏ nhất.
(7) inf : cận d-ới đúng.
(8) sup: cận trên đúng.
(9) lim: giới hạn.
(10) deg: bậc.
(11) dim: chiều.
(12) rank: hạng.
(13) det: định thức.
(14) grad: gradient.
(15) ]: lực l-ợng tập hợp.
(16) : đặc tr-ng Euler-Poincaré.
(17) |.|: giá trị tuyệt đối cña sè thùc.
6


7

(18) h, i: tích vô h-ớng thông th-ờng trên Rn .
(19) k.k: chuẩn Euclid thông th-ờng trên Rn .
(20) d(, ): khoảng cách Euclid thông th-ờng trên Rn .
(21) . : bao đóng tập hợp với tôpô thông th-ờng trong Rn .
(22) Bnr = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n ≤ r 2 }.

= {(x1, . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = r 2 }.
(23) Sn−1
r
(24) Sn−1 = {(x1, . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n = 1}.


Mở đầu

I. Lý do chọn đề tài
Các tập đại số là một trong những đối t-ợng nghiên cứu cơ bản nhất của
Toán học. Lớp các tập đại số đ-ợc nghiên cứu nhiều nhất là các tập phức
và các tập thực. Chúng đ-ợc chia thành bốn loại:

ã Các tập đại số xạ ảnh phức;
ã Các tập đại số xạ ảnh thực;
ã Các tập đại số affine phức;
ã Các tập đại số affine thực.
Các kết quả mang tính nền tảng của Lefschetz S., Zariski O., Milnor J.,...
và nhiều ng-ời khác đà đem đến những hiểu biết sâu sắc về các tính chất
tôpô, cấu trúc đại số,... của các tập đại số xạ ảnh phức ([46], [43], [13],
[9],...).
So với tập đại số xạ ảnh phức, các tập đại số xạ ảnh thực là đối t-ợng
khó nghiên cứu hơn. Chỉ khoảng 50 năm trở lại đây, với các công trình cơ
bản của Petrowsky, Arnold, Rokhlin,... về sự sắp xếp các oval của những
đ-ờng cong phẳng xạ ảnh thực không kì dị, việc nghiên cứu các tập xạ ảnh
thực bắt đầu hòa vào dòng phát triển chung và đang trở thành một lĩnh
vực sôi động với nhiều kết quả đặc sắc ([15], [33], [16],...).
Các tập đại số affine, cả phức lẫn thực, là đối t-ợng đặc biệt khó nghiên
cứu. Ng-ời ta vẫn hiểu rất ít về các tập affine phức, mặc dù các tập này
thu hút đ-ợc sự chú ý của rất nhiều chuyên gia Hình học đại số và Hình

học tôpô nh- Dimca [10], Fary [44], Némethi [50], Malgrange [49], Phạm F.
[51], Lê Dũng Tr¸ng [54],...
8


9

Những hiểu biết về tập đại số affine thực lại còn ít hơn nữa. ở đây, nhiều
bài toán tự nhiên, ngay cả với các đ-ờng cong affine thực, vẫn ch-a có câu
trả lời.
Trong luận án, chúng tôi muốn tìm hiểu các tính chất tôpô của một số
lớp các tập đại số affine thực.

II. Đối t-ợng, phạm vi, mục đích nghiên cứu
Mỗi tập đại số affine thực (t-ơng ứng, phức) V là tập không điểm của
một hệ các ph-ơng trình đa thức, tức là có dạng V = f 1 (0), trong đó f
là một ánh xạ đa thức từ Rn ®Õn Rk (t-¬ng øng, tõ Cn ®Õn Ck ).
Tõ mét kết quả rất tổng quát của Thom R. [53], mỗi ánh xạ đa thức f từ
tập đại số không kì dị V1 sang tập đại số không kì dị V2 xác định một phân
thớ tầm th-ờng địa ph-ơng lớp C ngoài một tập đại số con B(f ) V2 .
Đó là phân thớ Milnor toàn cục. Tập B(f ) đ-ợc gọi là tập các giá trị rẽ
nhánh của f . Cã thÓ thÊy r»ng tËp B(f ) chøa tập các giá trị tới hạn (f )
của f . Nếu V1 không compact, ở đây xuất hiện một hiện t-ợng mới, mà
ta không gặp khi nghiên cứu tr-ờng hợp xạ ảnh, đó là hiện t-ợng kì dị tại
vô hạn. Nói chung, B(f ) 6= (f ), và các điểm thuộc B (f ) := B(f )\(f )
đ-ợc gọi là các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn. Nói một cách vắn tắt,
có hai nguyên nhân để f không xác định một phân thớ tầm th-ờng quanh
thớ f 1 (t), t B(f ):

ã Hoặc phân thớ này không tầm th-ờng trong lân cận điểm kì dị, tức là

t (f );
ã Hoặc phân thớ này không tầm th-ờng trong lân cận điểm vô hạn, tức
là với mäi l©n cËn D cđa t, mäi r > 0, ánh xạ
f : f 1 (D)\Bnr D
không phải là một phân thớ tầm th-ờng.
Tổng kết lại, để hiểu tôpô của các tập đại số affine f 1 (t), ta cần hiểu
phân thớ Milnor toàn cục

f : V1 \f 1 (B(f )) → V2 \B(f ).


10

Để hiểu phân thớ Milnor toàn cục, ta phải hiểu tập B(f ). Đến đây, xuất
hiện bài toán tự nhiên và quan trọng:
Đặc tr-ng các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của f , tức là bao giờ thì
một giá trị t V2 cho tr-ớc thuéc vµo tËp B∞ (f ) = B(f )\Σ(f )?
Bµi toán này là đối t-ợng khảo sát chính của luận án.
Mặc dù bài toán đặc tr-ng các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn đ-ợc
nghiên cứu rất tích cực trong 20-30 năm nay, nó vẫn còn là một bài toán
mở. Ng-ời ta chỉ biết câu trả lời cho một số tr-ờng hợp riêng:

ã f : C2 C (Suzuki [52], Hà Huy Vui - Lê Dũng Tráng [58], Hà Huy
Vui - Nguyễn Lê Anh [57], Hà Huy Vui [56]).
• f : R2 → R (Coste - de la Puente [8]).
ã f : V R là hạn chế của hàm đa thức trên một mặt đại số trơn không
compact V trong Rn (Tibar - Zaharia [31]).
ã f : Cn → C, víi ®iỊu kiƯn f chØ cã kì dị cô lập tại vô hạn (Parusinski
[23]).
ã f : V C, trong đó V Cn là mặt đại số không kì dị và f là ánh

xạ thỏa mÃn điều kiện tồn tại "phép chiếu tốt" (Hà Huy Vui - Nguyễn
Tất Thắng [39]).
ã f : Cn Cn1 , với điều kiện tồn tại "phép chiếu tốt" đối với f (Hà
Huy Vui - Nguyễn Tất Thắng [40]).
Mục đích nghiên cứu của luận án là đặc tr-ng tập các giá trị tới hạn của
kì dị tại vô hạn, hoặc tìm hiểu sâu hơn về nó cho các tình huống hình học
sau.
1. Các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Chúng tôi tìm điều kiện để tập các
giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của một ánh xạ đa thức F : Rn Rn
là tập trống (cũng có nghĩa là, F là ánh xạ riêng). Chú ý rằng, vấn đề
này liên quan đến bài toán Jacobi nổi tiếng.
2. Hạn chế của một hàm hữu tỉ thực lên một mặt đại số không kì dị trong
Rn : Chúng tôi đ-a ra một bất biến cho phép đặc tr-ng trọn vẹn các


11

giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của lớp hàm này.
3. Các ánh xạ đa thức từ Rn vào R: Chúng tôi khảo sát bất đẳng thức
Lojasiewicz "cạnh thớ", bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục của một ®a
thøc nhiỊu biÕn thùc, vµ chØ ra quan hƯ cđa chúng đối với việc tồn tại
các thành phần liên thông "biến mất tại vô hạn" của phân thớ Milnor
toàn cục xác định bởi một đa thức.

III. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng những ph-ơng pháp của Hình học đại số, Tôpô đại số,
và Hình học vi phân.
Các điểm mới về ph-ơng pháp đ-ợc sử dụng trong luận án là:
- Để nghiên cứu Tr-ờng hợp 2 (các hàm hữu tỉ trên mặt đại số không kì
dị trong Rn ), chúng tôi đà sử dụng đ-ờng cong tiếp xúc, thay cho việc sử

dụng đ-ờng cực của nhiều tác giả đi tr-ớc. Điều này cho phép v-ợt qua
những khó khăn cơ bản xuất hiện khi sử dụng đ-ờng cực để nghiên cứu
tình huống hình học này.
- Một điểm mới đặc sắc khác về ph-ơng pháp đ-ợc chúng tôi đề ra để
nghiên cứu Tr-ờng hợp 3 (bất đẳng thức Lojasiewicz và sự tồn tại các
thành phần biến mất tại vô hạn), đó là việc sử dụng nguyên lí biến phân
Ekeland để nghiên cứu các bất đẳng thức Lojasiewicz cho các miền không
compact. Theo hiểu biết của chúng tôi, có lẽ đây là lần đầu tiên, công cụ
quan trọng này của Giải tích và Tối -u đ-ợc sử dụng để khảo sát một vấn
đề của Hình học đại số.

IV. Những đóng góp mới của luận án
- Đối với các ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn : Trong tr-ờng hợp này, ta
biết rằng, tập các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn chính là tập các giá trị
không riêng (hay còn gọi là tập Jelonek) của nó. Tuy nhiên, việc kiểm tra
một giá trị cho tr-ớc là một giá trị không riêng, hoặc kiểm tra bao giờ thì
tập Jelonek bằng trống là một việc rất khó. Câu hỏi cuối cùng ở trên liên
quan đến bài toán Jacobi nổi tiếng.
Ta biết r»ng, tËp Jelonek b»ng trèng khi vµ chØ khi sè mò Lojasiewicz


12

tại vô hạn của ánh xạ là d-ơng. Chúng tôi đ-a ra một điều kiện thông qua
l-ợc đồ Newton của ánh xạ để số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của ánh xạ đa
thức nhiều biến là d-ơng. Các kết quả cđa Randall (1983) vµ cđa Cima Gasull - Manosas (1996) là các hệ quả trực tiếp của kết quả của chúng tôi.
- Chúng tôi đ-a ra một bất biến, cho phép đặc tr-ng trọn vẹn các giá
trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của hàm hữu tỉ trên một mặt đại số không
kì dị trong Rn . Kết quả này đ-a thêm một tr-ờng hợp mới vào danh sách
(còn rất ít ỏi) các tình huống hình học mà tập các giá trị tới hạn của kì dị

tại vô hạn đ-ợc đặc tr-ng trọn vẹn.
- Đặc biệt hóa nguyên lí biến phân Ekeland cho tr-ờng hợp hàm đa thức
nhiều biến thực, qua đó cụ thể hóa và làm t-ờng minh những điểm then
chốt của nguyên lí này cho tr-ờng hợp đa thức.
- Sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland, thiết lập một dạng suy rộng của
bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục. Đây là một bổ sung cần thiết cho các
kết quả của Hormander (1958), Ji - Kollar - Schiffman (1992), Hà Huy Vui
- Nguyễn Hồng Đức (2010).
- Tìm điều kiện cần và đủ để tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ
và bất đẳng thức Lojasiewicz toàn cục. Từ ®ã chøng minh ®-ỵc r»ng, nÕu
mét ®a thøc hai biÕn f không có bất đẳng thức cạnh thớ f 1 (t0), thì tồn
tại thành phần liên thông của thớ f 1 (t) biến mất tại vô hạn khi t dần đến
t0 ; và nói riêng, t0 là một giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn.

V. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Hiện t-ợng kì dị tại vô hạn đóng vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề
của Toán học lí thuyết thuần túy (Giả thuyết Jacobi, Phân thớ Milnor toàn
cục) và Toán học ứng dơng (HƯ ®éng lùc ®a thøc, LÝ thut Error bound).
Bëi vậy, các kết quả của luận án có ý nghĩa nhất định cả về mặt lí thuyết
lẫn ứng dụng.


13

VI. Bố cục của luận án
Ngoài phần mở đầu, luận án gồm 3 ch-ơng sau.
Ch-ơng 1: Tính riêng của ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn . Ch-ơng này
đ-ợc viết dựa theo [29], và đ-ợc trình bày trong hai mục. Mục 1.1 đ-a ra
một tiêu chuẩn cho tính riêng của hàm đa thức trên Rn (Định lí 1.1.3), và
cho một mô tả về tôpô của các thớ của các đa thức riêng (Định lí 1.1.5). Sử

dụng kết quả nhận đ-ợc về tính riêng của hàm đa thức, mục 1.2 đ-a ra một
tiêu chuẩn cho tính riêng và cho tính vi phôi toàn cục của ánh xạ đa thức
từ Rn vào Rn (Định lí 1.2.3).
Ch-ơng 2: Các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của các hàm đa
thức và các hàm hữu tỉ trên mặt đại số trong Rn . Ch-ơng này đ-ợc
viết dựa theo [41], và đ-ợc chia thành hai mục. Mục 2.1 dành cho việc giới
thiệu bài toán và một số kết quả đà biết. Mục 2.2 đ-a ra một cách đặc
tr-ng các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của các hàm đa thức và các
hàm hữu tỉ trên mặt đại số trong Rn (Định lí 2.2.12); đồng thời, từ cách đặc
tr-ng này, chúng tôi cũng cho một chặn trên của số các giá trị tới hạn của
kì dị tại vô hạn của lớp hàm này (Định lí 2.2.13).
Ch-ơng 3: Nguyên lí biến phân Ekeland, bất đẳng thức Lojasiewicz,
và hiện t-ợng kì dị tại vô hạn của các hàm đa thức. Ch-ơng này
đ-ợc viết dựa theo [30] và [32], bao gồm ba mục. Trong mục 3.1, chúng
tôi cụ thể hóa và làm t-ờng minh những điểm then chốt của nguyên lí biến
phân Ekeland - liên quan đến các dÃy Palais-Smale cực tiểu hóa một hàm
đa thức nhiều biến thực và thỏa mÃn điều kiện bậc hai (Định lí 3.1.7, Định
lí 3.1.10, Định lí 3.1.15, Định lí 3.1.16, Hệ quả 3.1.14 và Hệ quả 3.1.19). Mục
3.2 đ-a ra các điều kiện cần và đủ để tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz
cạnh thớ (Mệnh đề 3.2.18) và để tồn tại bất đẳng thức Lojasiewicz toàn
cục (Mệnh đề 3.2.21); đồng thời đ-a ra một dạng suy rộng của bất đẳng
thức Lojasiewicz cho một số miền không compact, với công cụ chính đ-ợc
sử dụng ở đây là nguyên lí biến phân Ekeland (Định lí 3.2.29 và Định lí
3.2.33). Trong mục 3.3, chúng tôi thiết lập mối quan hệ giữa sự tồn tại bất


14

đẳng thức Lojasiewicz cạnh thớ với hiện t-ợng kì dị tại vô hạn đối với các
hàm đa thức hai biến thực, bằng cách chứng minh rằng, nếu bất đẳng thức

Lojasiewicz cạnh thớ f 1 (t0 ) của một đa thức thực hai biến là không tồn
tại, thì thớ f 1 (t) bắt buộc phải có thành phần liên thông "biến mất tại vô
hạn" khi t dần đến t0 , và nói riêng, t0 là một giá trị tới hạn của kì dị tại vô
hạn. Các kết quả chính của mục 4.2 là Định lí 3.3.3, Hệ quả 3.3.4, Hệ quả
3.3.6, và Hệ quả 3.3.5.


Ch-ơng 1

Tính riêng của ánh xạ đa thức từ Rn vµo Rn

Cho F := (f1 , . . . , fn ) : Rn Rn là một ánh xạ đa thức. Trong tr-ờng
hợp chiều của không gian nguồn bằng chiều của không gian đích nh- ở
đây, mối quan tâm chủ yếu là câu hỏi sau: Nếu F là vi phôi địa ph-ơng
tại mỗi điểm x Rn , thì F có là vi phôi toàn cục của Rn ? Đó chính là giả
thuyết Jacobi thực nổi tiếng.
Năm 1994, Pinchuck đà cho một phản ví dụ cho giả thuyết trên. Tuy
nhiên, câu hỏi "Bao giờ thì một ánh xạ đa thức từ Rn vào Rn là một vi
phôi toàn cục" vẫn còn là một câu hỏi quan trọng.
Một kết quả cổ điển của Hadamard [45] nói rằng, một vi phôi địa ph-ơng
tại mọi điểm sẽ là vi phôi toàn cục khi và chỉ khi F là một ánh xạ riêng.
Bởi vậy, chúng ta đi đến câu hỏi sau: Bao giờ thì ánh xạ F : Rn Rn là
riêng?
Rõ ràng rằng, F là riêng nếu và chỉ nếu tập các giá trị không riêng của
F là tập trống. Hơn nữa, từ định nghĩa, dễ thấy rằng tập các giá trị không
riêng của một ánh xạ đa thức F : Rn Rn chính là tập các giá trị tới
hạn của kì dị tại vô hạn của F . Bởi vậy, câu hỏi trên đ-ợc phát biểu lại
nh- sau: Bao giờ thì tập các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của ánh xạ
F : Rn Rn là một tập trống?
Vấn đề này thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả: Trong [25], Randall

đà chỉ ra rằng, ánh xạ đa thức F là riêng nếu các số hạng thuần nhất bậc
cao nhất của fi không có c¸c nghiƯm chung thùc kh¸c 0. Trong [7], Cima 15


16

Gasull - Manosas đà thay thế khái niệm "thuần nhất" trong điều kiện trên
bởi khái niệm "tựa thuần nhất" và cũng nhận đ-ợc kết quả t-ơng tự. Gần
đây, bằng cách đánh giá chặn d-ới của số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của F ,
Bivia-Ausina [3] cũng đà cho một điều kiện đủ để ánh xạ F là riêng thông
qua các tính chất của l-ợc đồ Newton tại vô hạn của các hàm thành phần
của F .
Dễ thấy rằng, ánh xạ đa thức F là riêng khi và chỉ khi tồn t¹i α > 0 sao
cho

kF (x)k ≥ ckxkα víi mäi x Rn ,
tức là số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của F là d-ơng. Tuy nhiên, tính toán
số mũ Lojasiewicz là một việc khó.
n
X
Trong ch-ơng này, chúng tôi xét hàm đa thức f :=
fi2ki : Rn R,
i=1

ở đây ki , i = 1, . . . , n, là các số nguyên d-ơng. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng, có
thể nhận biết F là riêng (tức số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của F là d-ơng,
cũng có nghĩa tập các giá trị tới hạn của kì dị tại vô hạn của F là tập trống)
thông qua l-ợc đồ Newton tại vô hạn của f . Điều kiện đ-a ra ở đây là
gần nh-ng không đồng nhất với điều kiện của Bivia-Ausina [3]. Hơn nữa,
chứng minh của chúng tôi dựa trên các ý t-ởng hoàn toàn khác.

Một kết quả khác của ch-ơng là chứng minh rằng thớ f 1 (A), với |A|
đủ lớn, của một đa thức riêng f là vi phôi với mặt cầu đơn vị Sn1 , nếu nó
không rỗng.

1.1 Hàm đa thức riêng trên Rn
Với mỗi α = (α1 , . . . , αn ) Nn , kí hiệu x là đơn thức x1 1 . . . xn n . Chúng
ta nhắc lại một vài khái niệm về đa diện Newton.
Định nghĩa 1.1.1. Cho

f (x) =

X
Nn
n

a x

là một đa thức. Đặt supp(f ) = {α ∈ N : aα 6= 0}.


17

(i) Đa diện Newton tại vô hạn của f , kÝ hiƯu bëi Γ∞(f ), lµ bao låi trong
Rn cđa supp(f ) {0}.
(ii) Các mặt của đa diện Newton (f ) là giao của (f ) với các siêu
phẳng tựa của nó. Các đỉnh là các mặt với chiều 0.
(iii) L-ợc đồ Newton tại vô hạn của f , kí hiệu bởi (f ), là hợp của các mặt
không chứa gốc tọa độ của (f ).
(iv) Với mỗi mặt (f ), hàm

f (x) :=

X

a x



đ-ợc gọi là thành phần tựa thuần nhất của f ứng với mặt .
Định nghĩa 1.1.2. Đa thức f R[x] đ-ợc gọi là tiện lợi nếu với mỗi

i = 1, . . . , n, tån t¹i αi ≥ 1 sao cho đơn thức xi i xuất hiện trong f với hệ
số khác không. Chú ý rằng f là tiện lợi nếu và chỉ nếu l-ợc đồ Newton tại
vô hạn (f ) của f giao với mỗi trục tọa độ tại một điểm khác gốc tọa độ.
ánh xạ liên tục F : Rn Rm đ-ợc gọi là riêng nếu ảnh ng-ợc của

một tập compact cũng là tập compact. Một phát biểu t-ơng đ-ơng, ánh
xạ liên tục F : Rn Rm là riêng nếu và chỉ nếu kxk k kéo theo
kf (xk )k .
Định lí 1.1.3. Cho f R[x] là một đa thức tiện lợi. Nếu tất cả các thành
phần tựa thuần nhất của f không triệt tiêu tại mọi điểm trong (R )n, thì f
là ánh xạ riêng.
Ta nhắc lại ở đây một kết quả của Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn. Kết
quả này đóng vai trò một kĩ thuật cơ bản của chứng minh định lí trên.
Định lí 1.1.4 ([36]). Cho f R[x] là một đa thức. Giả sử f là tiện lợi, và tất
cả các thành phần tựa thuần nhất của f là d-ơng tại mọi điểm trong (R )n .
Khi đó, f bị chặn d-ới. Hơn nữa, tồn tại c¸c h»ng c1 , c2 (c2 > 0) sao cho
X
f (x) c1 + c2
x ,

V (f)

ở đây V (f ) là tập các đỉnh của (f ).


18

Chứng minh Định lí 1.1.3. Không mất tính tổng quát, giả sử 0 là một đỉnh
0
của (f ) và hệ số a0 của x trong f là d-ơng. Ta chỉ ra rằng tất cả các
thành phần tựa thuần nhất của f là d-ơng trong (R)n . Khẳng định này
đ-ợc chứng minh bằng qui nạp theo số chiều của các mặt của (f ).

ã Cho là một đỉnh của (f ). Giả sử (f ) là mặt chiều 1 với
biên là hợp của đỉnh và đỉnh nào đó của (f ). Khi đó, tồn tại
i {1, . . . , n} sao cho αi 6= i . Không mất tính tổng quát, giả sử
i > βi . Khi ®ã
fσ (1, . . . , xi , . . . , 1) = (aα xαi i + · · · + aβ xβi i ) = xβi i (aα xαi i−βi + · · · + a ).
Do giả thiết, đa thức

h(xi ) = a xi i−βi + · · · + aβ
kh«ng cã nghiƯm thùc khác 0. Vì thế, a .a > 0 và i i là các số
chẵn. Vậy a .a > 0 và i i là chẵn với mọi i {1, . . . , n}. Điều
này kéo theo rằng hệ số của x trong f là d-ơng, vì hợp của các mặt
1 chiều của (f ) là liên thông và vì a0 > 0. Hơn nữa, vì f là tiƯn lỵi,
víi mäi i ∈ {1, . . . , n}, tồn tại các đỉnh (0, . . . , ei , . . . , 0) ∈ Γ(f ) sao
cho ei > 0. Vì thế, i là chẵn với mäi i ∈ {1, . . . , n}. Do vậy, đơn
thức f{} = a x là d-ơng thực sự trong (R )n.

ã Giả sử (f ) là một mặt chiều 1 với biên là hợp của hai ®Ønh α

vµ β cđa Γ(f ), vµ αi > βi víi i ∈ {1, . . . , n}. Khi đó, với mỗi điểm
x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ (R∗)n , ta cã
fσ (x01 , . . . , xi , . . . , x0n ) =
xβi i [aα(x01 )α1 . . . xαi i−βi . . . (x0n )αn + · · · + aβ (x01 )β1 . . . 1 . . . (x0n )n ].
Bởi giả thiết, đa thức f (x01 , . . . , xi , . . . , x0n ) không có nghiệm thực trong

R . Vì thÕ, fσ (x01 , . . . , xi , . . . , x0n ) > 0 víi mäi xi 6= 0; vµ do vËy
fσ (x0 ) > 0. Vậy, f là d-ơng tại mọi điểm trong (R )n.
ã Giả sử khẳng định đúng đến chiều k , 1 ≤ k < n − 1. Ta sÏ chøng minh
nã ®óng ®Õn chiỊu k + 1.


19

Cho (f ) là mặt chiều k + 1. Khi đó, tồn tại 1 = H1 (f ) và
2 = H2 (f ) chứa trong biên cña σ sao cho

H1 := {α ∈ Rn |αi = ν1 } vµ H2 := {α ∈ Rn |αi = 2 }
là các siêu phẳng tựa của (f ) với 1 6= 2 . Không mất tính tổng
quát, giả sử 1 > 2 . Khi đó, với mỗi điểm x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ (R∗ )n ,
ta cã

fσ (x01 , . . . , xi , . . . , x0n ) =
=fσ1 (x01 , . . . , 1, . . . , x0n )xνi 1 + · · · + fσ2 (x01 , . . . , 1, . . . , x0n )xνi 2
=xνi 2 [fσ1 (x01 , . . . , 1, . . . , x0n )xνi 1−ν2 + · · · + fσ2 (x01 , . . . , 1, . . . , x0n )].
Vì 1 và 2 là các mặt chiều bé hơn hoặc bằng k , nªn

fσ1 (x01, . . . , 1, . . . , x0n ) > 0 vµ fσ2 (x01 , . . . , 1, . . . , x0n ) > 0.
Rõ ràng, 1 và 2 là các số chẵn. Do vậy, vì đa thức f (x01, . . . , xi , . . . , x0n )
kh«ng có nghiệm thực tầm th-ờng, nên f (x01 , . . . , xi , . . . , x0n ) > 0 với

mọi xi 6= 0; và do đó, f (x0 ) > 0. Nh- vậy, f d-ơng tại mọi điểm
trong (R )n.
Bây giờ, ta chứng minh f là ánh xạ riêng. Bằng phản chứng, giả sử f là
không riêng. Khi đó, tồn tại dÃy {xk }
k=1 sao cho

lim kxk k = +∞ vµ

k→∞

lim f (xk ) = t0 .

k

Vì f là tiện lợi và tất cả các thành phần tựa thuần nhất của f là d-ơng
trong (R )n , theo Định lí 1.1.4, f bị chặn d-ới và tồn tại các hằng số c1 , c2
(c2 > 0) sao cho
X
f (x) c1 + c2
x ,
V (f)

ở đây V (f ) là tập các đỉnh của (f ). Do vËy
X
lim f (xk ) ≥ c1 + c2 lim
xαk .
k

k

V (f)

Theo chứng minh trên, với mỗi V (f ), ta cã αi , i = 1, . . . , n, là các
số chẵn. Hơn nữa, vì f là tiện lợi, với bất kì i = 1, . . . , n, tån t¹i αi ≥ 1


20

sao cho đơn thức xi i xuất hiện trong

X

x . Do đó, giới hạn của biểu

V (f)

thức trong vế phải bằng +, và ta nhận đ-ợc điều mâu thuẫn.
D-ới đây, ta cho một mô tả về tôpô của các thớ của một đa thức riêng.
Định lí 1.1.5. Cho f : Rn R là một đa thức riêng, với n 2. Khi đó, f
bị chặn một phía, và thớ f 1 (A) vi phôi với mặt cầu đơn vị Sn1 với |A| đủ
lớn, nếu nó không trống.
Chứng minh. Tr-ớc hết, ta chứng minh hai khẳng định sau.
Khẳng định 1.1.6. Cho f : Rn R là một đa thức riêng, với n 2. Khi
đó, f là bị chặn d-ới hoặc f bị chặn trên.
Chứng minh. Giả sử f không bị chặn trên. Ta chứng minh rằng f phải bị
chặn d-ới.
Lấy t0 R. Vì f là riêng, nên tập f 1 (t0) là compact; và do đó, tập này
đ-ợc chứa trong một hình cầu đủ lớn Bnr . Khi ®ã, tËp

Mt0 := {x ∈ Rn : f (x) t0 }

là đ-ợc chứa trong Bnr . Thật vậy, nếu ng-ợc lại, tồn tại điểm x1 Rn \Bnr
sao cho f (x1 ) < t0 . Theo gi¶ thiÕt, tồn tại một điểm x2 Rn \Bnr sao cho
f (x2 ) > t0 . V× n ≥ 2, ta chọn đ-ợc đ-ờng cong liên tục l trong Rn \Bnr nối
x1 và x2 . Vì f |l liên tục, f (x1 ) < t0 vµ f (x2 ) > t0 , nên tồn tại điểm x0 l
thỏa mÃn f (x0 ) = t0 . Mâu thuẫn này chỉ ra rằng Mt0 là một tập đóng và
bị chặn; và do đó, f là đa thức bị chặn d-ới.
Khẳng định 1.1.7. Cho f : Rn R là một đa thức riêng. Nếu f bị chặn
d-ới và gradf (x) = x, kxk ≥ r  1, th× λ > 0.
Chøng minh. §Ỉt

W = {x ∈ Rn : gradf (x) = λx, λ ≤ 0}.
Chó ý r»ng W lµ mét tËp nưa đại số. Ta chứng minh W bị chặn. Thật
vậy, giả sử điều ng-ợc lại. Theo Bổ đề chọn đ-ờng cong tại vô hạn [22],