bóng của một đoạn trong poset các vecto boole

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Huy

BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET
CÁC VECTO BOOLE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Huy

BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET
CÁC VECTO BOOLE
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những lời đầu tiên của bài luận văn này để gửi lời tri ân chân thành
và sâu sắc đến T.S Trần Huyên, người thầy đã hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi về
mặt nghiên cứu trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Tổ Đại Số Khoa Toán, Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu
và giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học đại số khóa 22 đã có những đóng
góp, trao đổi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình của mình, những người đã luôn bên cạnh
động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... 1
MỤC LỤC ......................................................................................................................... 2
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT................................................. 3
MỞ ĐẦU............................................................................................................................ 5
TỔNG QUAN.................................................................................................................... 7
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 10
1.1. Các khái niệm cơ bản ..................................................................................................... 10
1.2. Một số ví dụ về poset có hạng ........................................................................................ 11
1.3. Poset P = B các vectơ Boole .......................................................................................... 13
1.4. Các kết quả của TS. Trần Ngọc Danh và TS. Trần Huyên trong poset B - các vectơ
Boole với thứ tự tuyến tính V................................................................................................ 15
1.4.1. Thứ tự dồn V .............................................................................................................. 15
1.4.2. Kết quả của TS. Trần Ngọc Danh .............................................................................. 16
1.4.3. Kết quả của TS. Trần Huyên ...................................................................................... 17

CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ BOOLE19
2.1. Bóng đầy của một đoạn trong poset các vectơ Boole ................................................... 19
2.2. Bóng khuyết của một đoạn trong poset các vectơ Boole ............................................. 23
2.3. Bóng của một đoạn trong poset các vectơ Boole .......................................................... 32

KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 36
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ ......................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 38

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

x1 x2 ...xk : Vectơr ( x1 , x2 ,..., xk )

A : Số phần tử của tập A

x  y : y là trội của x
r ( x ) : Hạng của vectơ x

ω ( x ) : Trọng lượng của vectơ x
B ( n ) : Tập hợp tất cả các vectơr cùng hạng n
B ( n, k ) : Tập hợp tất cả các vectơr cùng hạng n và cùng trọng lượng k
∆x : Bóng của vectơ x
∆A : Bóng của tập hợp A

δ i x : Bóng thứ i của vectơ x
∆ f x : Bóng đầy của vectơ x

∆ d x : Bóng khuyết của vectơ x

∆ f A : Bóng đầy của tập hợp A
∆ d A : Bóng khuyết của tập hợp A
3


[ x, y ] : Đoạn
=
h1 : max
=
{i : xi 1}
=
h0 : max
=
{i : xi 0}
=
l1 : min
=
{i : xi 1}
=
l0 : min
=
{i : xi 0}

x*:= δ h0 x
*x := δ l0 x

x* := δ h1 x
*

x := δ l1 x

=
A*:

{ x*: x ∈ A}

=
* A:

{ * x : x ∈ A}

=
*A :

{*x : x ∈ A}

4


MỞ ĐẦU
Lý thuyết Combinatorics ngày càng được quan tâm nhiều hơn của các nhà toán
học, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin hiện nay làm cho Combinatorics
được học tập và nghiên cứu dưới hình thức Toán rời rạc và các phân ngành như Lý
thuyết đồ thị, Lý thuyết mã,….
Lý thuyết K-poset là một trong những lý thuyết cơ bản của Combinatorics, trong
đó một trong những điều kiện xác định K-poset là bóng của một đoạn đầu lại là một
đoạn đầu. Các nhà toán học đã đi xây dựng các poset và xem xét chúng có phải là Kposet hay không, vì vậy việc nghiên cứu bóng của đoạn đầu là việc làm quan trọng. Do
đó nghiên cứu cấu trúc bóng của một đoạn trong một poset trở thành một hướng nghiên

cứu khá thú vị.
Luận văn với đề tài “Bóng của một đoạn trong poset các vectơ Boole” đặt mục
tiêu xem xét lại cấu trúc bóng của đoạn trong poset các vectơ Boole. Luận văn gồm 2
chương chính sau:
Chương I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản.
Chương II. Bóng của một đoạn trong poset các vectơ Boole.
Đây là chương chính của luận văn, chương này gồm 3 phần như sau:
Phần 1: Bóng đầy của một đoạn trong poset các vectơ Boole. Phần này nêu lên các kết
quả mà TS.Trần Huyên đã đạt được trong việc nghiên cứu cấu trúc bóng đầy của một
đoạn trong poset các vectơ Boole đồng thời bổ sung thêm một số kết quả cần dùng trong
việc chứng minh điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn là một đoạn.
5


Phần 2: Bóng khuyết của một đoạn trong poset các vectơ Boole. Phần này xem xét
nghiên cứu các kết quả liên quan đến cấu trúc bóng khuyết của một đoạn trong poset các
vectơ Boole.
Phần 3: Bóng của một đoạn trong poset các vectơ Boole. Tổng hợp các kết quả đã đạt
được trong việc nghiên cứu cấu trúc bóng đầy và bóng khuyết của một đoạn trong poset
các vectơ Boole để chứng minh điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong poset
các vectơ Boole lại là một đoạn.
Mặc dù đã có nhiều nỗ lực, cố gắng nhưng khó có thể tránh được sai sót và hạn
chế, kính mong quý thầy cô và các bạn sẵn sàng góp ý.
Xin chân thành cảm ơn.

6


TỔNG QUAN

Vào đầu những năm 1960, Kruskal – Katona đã trang bị thêm cho poset các tập
hợp con hữu hạn S một thứ tự tuyến tính gọi là thứ tự tuyến tính nén, biến poset này
thành K -poset. Với thứ tự nén này, hiển nhiên bóng của một đoạn đầu là một đoạn đầu.
Đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở của TS. Trần Huyên đã đặt vấn đề mở rộng kết
quả này cho một đoạn bất kì trong K -poset các tập con của tập hữu hạn S − n phần tử
và đạt kết quả trọn vẹn. Đề tài nghiên cứu này đã tìm ra được điều kiện cần và đủ để
bóng của một đoạn trong K -poset này là một đoạn.
Vào những năm 1990, nhà toán học Anh Daykin, D.E. cùng học trò là Trần Ngọc
Danh đã xây dựng được một K -poset mới: K -poset các vectơ Boole.

=
x x1 x2 ...xn , n ∈ N , xi ∈ {0,1} với thứ
Poset B các vectơ Boole bao gồm các vectơ
tự bộ phận được xác định một cách tự nhiên như sau:
x =x1 x2 ...xn ≤ y1 y2 ... ym =y

nếu n ≤ m và tồn tại dãy chỉ số i1 < i2 < ... < in sao cho
=
x1 y=
yi2 ,...,
=
xn yin .
i1 , x2
Hạng của vectơ x = x1 x2 ...xn , kí hiệu r ( x ) là số các thành phần của vectơ x , tức

r ( x ) = n . Tập các vectơ cùng hạng n được kí hiệu là B ( n ) . Bóng ∆x của vectơ
x ∈ B ( n ) là tập hợp tất cả các vectơ của B ( n − 1) , có được từ x khi bỏ đi một thành
phần nào đó của x . Nếu x = x1...xi −1 xi xi +1...xn thì=
phần tử x′ x1...xi −1 xi +1...xn ∈ ∆x , có
được từ x khi bỏ đi thành phần thứ i , được gọi là bóng thứ i , kí hiệu là δ i x . Như vậy:

=
∆x  {δ i x :1 ≤ i ≤ n} .

7


Để xây dựng cho poset B các vectơ Boole một thứ tự tuyến tính để biến nó thành
K -poset. Daykin, D.E. và Trần Ngọc Danh đưa thêm vào khái niệm trọng lượng của

vectơ x = x1 x2 ...xn là: ω ( x ) = x1 + x2 + ... + xn .
Thứ tự tuyến tính mà Daykin, D.E. và Trần Ngọc Danh đưa vào poset B gọi là
thứ tự dồn, được xác định như sau:
x=
x1 x2 ...xn < L y1 y2 ... ym =
y nếu n < m
x =x1 x2 ...xm < L y1 y2 ... ym =y nếu ω ( x ) < ω ( y )

hoặc ω ( x ) = ω ( y ) và tồn tại chỉ số t sao cho xi = yi với i < t còn xt =1 > 0 = yt .
Daykin, D.E. và Trần Ngọc Danh đã chứng minh được rằng poset B các vectơ Boole
với thứ tự dồn là K -poset, nói riêng, bóng của một đoạn đầu theo thứ tự dồn lại là một
đoạn đầu.
Đề tài nghiên cứu “Bóng của đoạn trong một số K -poset” của TS. Trần Huyên đã
tìm kiếm các điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong K -poset các vectơ Boole
với thứ tự dồn lại là một đoạn. Trong đề tài này, do sự khác biệt về cấu trúc bóng, tác giả
đã đưa vào các khái niệm bóng đầy, bóng khuyết của một phần tử, của một tập hợp như
sau:

x : ∆ f x  {δ=
• Bóng đầy của phần tử

ω ( x )}
=
i x : ω (δ i x )
• Bóng khuyết của phần =
tử x : ∆ d x  {δ i x : ω (δ i x ) < ω ( x )}
• Bóng đầy của tập hợp A : ∆ f A =  {∆ f x : x ∈ A}
• Bóng khuyết của tập hợp A : ∆ d A =  {∆ d x : x ∈ A}

8


∆ f A  ∆d A .
Hiển nhiên ∆x =∆ f x  ∆ d x và ∆A = ∆x =
x∈A

Nghiên cứu cấu trúc của các loại bóng đầy, bóng khuyết của một phần tử, của các
tập hợp, đề tài đã đạt được kết quả quan trọng nhất, giúp giải quyết khá trọn vẹn mục
tiêu cơ bản nhất: Tìm được điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong K -poset B
các vectơ Boole lại là một đoạn. Kết quả đó là: “Trong tập mức B ( n, k ) các vectơ cùng
hạng n và trọng lượng k ” thì “Bóng của đoạn [ x, y ] lại là đoạn ⇔ x = vz và y = mu ,
trong đó v ∈ B ( k + 1, k ) còn m ∈ B ( n − k + 1, 1) ”.
Đề tài nghiên cứu gần đây của TS. Trần Huyên “Bóng đầy của một đoạn trong
poset các vectơ Boole” đã tiếp tục làm sâu sắc thêm các kết quả này. Trong đề tài này
tác giả đã xem xét các điều kiện để bóng đầy của một đoạn trong B ( n, k ) lại là một
đoạn trong B ( n − 1, k ) .
Luận văn này tiếp tục mở rộng, nghiên cứu điều kiện để bóng khuyết của một
đoạn trong B ( n, k ) lại là một đoạn trong B ( n − 1, k − 1) . Đồng thời thông qua các kết
quả đã có được từ việc nghiên cứu các điều kiện của bóng đầy và bóng khuyết để giúp ta
có được cái nhìn sâu sắc hơn đối với cấu trúc bóng của một đoạn trong K -poset các
vectơ Boole và nhờ đó chứng minh điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn trong K poset B các vectơ Boole lại là đoạn.

9


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1 Poset (partially ordered set) là một tập hợp với quan hệ thứ tự, tức là

P
=

( S,≤)

với ≤ là một quan hệ thứ tự trên S , nghĩa là:

(i ) x ≤ x

∀x ∈ S

( ii ) Nếu

x ≤ y và y ≤ x thì x = y

( iii ) Nếu

x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z .

Một số định nghĩa liên quan.
Với x, y là hai phần tử của poset P ,
Ta nói rằng x và y là so sánh được (comparable) nếu x ≤ y hoặc y ≤ x .

Ta viết x < y nếu x ≤ y và x ≠ y .
Ta nói y là trội của x nếu x ≤ y và không có z ≠ x, y sao cho x ≤ z ≤ y ; khi đó ta
−
viết x  y và
=
x y=
, y x+ .

Nếu có duy nhất phần tử z ∈ S sao cho z ≤ x với mọi x ∈ S , ta nói z là phần tử
không của poset P và kí hiệu là 0 .
Phần tử x ∈ S sao cho không có phần tử y ∈ S thỏa y < x được gọi là phần tử tối
tiểu của P .

10


Phần tử x ∈ S sao cho không có phần tử y ∈ S thỏa y > x được gọi là phần tử tối đại
của P .
Định nghĩa 1.1.2 Poset có hạng (ranked poset), hàm hạng (rank function)
Giả sử có một ánh xạ r từ poset P vào N thỏa r ( q ) = 0 nếu q là phần tử tối tiểu
của P và r =
( p ) r ( q ) + 1 nếu q  p . Khi ấy P gọi là một poset có hạng, r gọi là hàm
hạng.
Với k = 0,1,2,... ta định nghĩa mức thứ k (level k ) của P là:

Pk =
k} .
{ p ∈ P : r ( p) =
Định nghĩa 1.1.3 Bóng (Shadow)
Cho P là một poset có hạng với các mức P0 , P1 , P2 ,... Với k ≥ 1 và p ∈ Pk , bóng

của p được định nghĩa là:

∆p =

{q ∈ Pk −1 : q < p} .

Bóng của A ⊂ Pk là:

∆A =

 ∆p .
p∈A

1.2. Một số ví dụ về poset có hạng
Ta kí hiệu A để chỉ số phần tử của tập hợp A . Và để đơn giản kí hiệu, vectơ

( x1, x2 ,..., xk ) được viết là

x1 x2 ...xk nếu không có gì nhầm lẫn.

11


Ví dụ 1.2.1 Poset P ( S ) các tập con của S = {1,2,..., n} .
Phần tử: Tập con của S .
Thứ tự bộ phận: a ≤ b ⇔ a ⊂ b .
Hàm hạng: r ( a=
) a= số phần tử của a .

k} .

Mức thứ k : Pk ( S ) =
{a ⊂ S : a =
Bóng của a ∈ Pk ( S ) : ∆a = {b ⊂ a : b = k − 1} .

Ví dụ 1.2.2 Poset các đa tập hợp P = S ( k1 , k2 ,..., kn ) trong đó k1 ≤ k2 ≤ ... ≤ kn , ki ∈ N .
Phần tử: x = x1 x2 ...xn với 0 ≤ xi ≤ ki và xi ∈ N .
Thứ tự bộ phận: Với x = x1 x2 ...xn , y = y1 y2 ... yn thì
x ≤ y ⇔ xi ≤ yi , ∀i =1,..., n .

Hàm hạng: r ( x ) = x1 + x2 + ... + xn .
Mức thứ=
k : Pk

x : r ( x ) k} .
{=

Bóng=
của x x1 x2 ...xn ∈ Pk : Đặt θ j x = y1... y j ... yn . Với yi = xi nếu i ≠ j và y=j x j − 1 thì
=
∆x

{θ x :1 ≤ j ≤ n và x
j

12

j

> 0} .

Ví dụ 1.2.3 Poset P = V các vectơ nguyên không âm
Phần tử: x1 x2 ...xn với xi , n ∈ N .
Thứ tự bộ phận: Với x = x1 x2 ...xk ,

y = y1 y2 ... yn

thì x ≤ y nếu k ≤ n và

y=
yik .
∃i1 ,..., ik : i1 < ... < i=
i1 ,..., xk
k và x1
Hàm hạng: Với x = x1 x2 ...xk thì r ( x )= k= số thành phần của x := dim x .

k} và P0 = ∅ .
Mức thứ k : Pk =
{ x ∈V : dim x =

Bóng=
của x x1 x2 ...xk ∈ Pk : Gọi δ j x là vectơ có được từ x bằng cách bỏ x j thì
=
∆x

{δ x :1 ≤ j ≤ n} .
j

1.3. Poset P = B các vectơ Boole
vectơ x x1 x2 ...xk , k ∈ N

Định nghĩa 1.3.1 Poset B các vectơ Boole là tập hợp gồm các=
và xi ∈ {0,1} với thứ tự bộ phận được xác định như sau:
x = x1 x2 ...xk < y1 y2 ... yn = y

nếu k ≤ n , đồng thời tồn tại dãy chỉ số i1 < i2 < ... < ik sao cho

=
x1 y=
yi2 ,...,
=
xk yik .
i1 , x2
Định nghĩa 1.3.2 Hạng (rank) và trọng lượng (weight) của vectơ Boole
13


Với mỗi vectơ Boole x = x1 x2 ...xn .
• Ta gọi hạng của vectơ là r ( x ) = n , tức là số thành phần của vectơ.
• Ta gọi trọng lượng của vectơ x là số được xác định bởi

ω ( x ) = x1 + x2 + ... + xn
Tập tất cả các vectơ cùng hạng n được kí hiệu là B ( n ) - mức thứ n .
Tập tất cả các vectơ cùng hạng n và cùng trọng lượng k kí hiệu là B ( n, k ) .
Mệnh đề 1.3.3 Bóng (shadow) của vectơ Boole

=
x x1 x2 ...xn ∈ B ( n ) là δ i x ∈ B ( n − 1) , có được từ x sau khi bỏ đi
Bóng thứ i của vectơ
tọa độ thứ i . Vậy nếu x = ...xi −1 xi xi +1... thì δ i x = ...xi −1 xi +1... là bóng của vectơ x , kí hiệu
là:

=
∆x  {δ i x :1 ≤ i ≤ n} .
Do việc bỏ đi tọa độ thứ i của x để có được bóng thứ i là δ i x nên trọng lượng của δ i x
có thể giữ nguyên trọng lượng của x hoặc nhỏ hơn trọng lượng của x . Do đó ta đưa ra
khái niệm bóng đầy và bóng khuyết như sau:
• Tập các bóng thành phần còn giữ nguyên trọng lượng của x lập thành bóng đầy
của vectơ x , kí hiệu là:

ω ( x )} .
=
∆ f x  {δ=
i x : ω (δ i x )
• Tập các bóng thành phần có trọng lượng bé hơn trọng lượng của x lập thành bóng
khuyết của vectơ x , kí hiệu là:
=
∆ d x  {δ i x : ω (δ i x ) < ω ( x )} .

Hiển nhiên ∆x =∆ f x  ∆ d x và từ đó ta có:

14


• Bóng đầy của tập hợp A : =
∆ f A  {δ f x : x ∈ A} .

∆ d A  {δ d x : x ∈ A} .
• Bóng khuyết của tập hợp A : =
∆ f A  ∆d A .
và hiển nhiên ∆A = ∆x =

x∈A

Ví dụ 1.3.4 Trong B ( 4 ) . Xét vectơ x = 1010 . Ta có:
Bóng của x : ∆x =
{010,110,100,101} .
Bóng đầy của x : ∆ f x =
{110,101} .
Bóng khuyết của x : ∆ d x =
{010,100} .
Định nghĩa 1.3.5 Đoạn, đoạn đầu, đoạn cuối trong poset B các vectơ Boole
Trong poset B các vectơ Boole với thứ tự tuyến tính cho trước, cho x < y .
Đoạn [ x, y=]

{ z : x ≤ z ≤ y}

Trong B ( n )
A được gọi là đoạn đầu nếu với x ≤ y và y ∈ A thì x ∈ A .
B được gọi là đoạn cuối nếu với x ≤ y và x ∈ A thì y ∈ A .

1.4. Các kết quả của TS. Trần Ngọc Danh và TS. Trần Huyên trong poset B - các
vectơ Boole với thứ tự tuyến tính V
1.4.1. Thứ tự dồn V

Thứ tự tuyến tính V mà Daykin và Trần Ngọc Danh đưa vào poset B gọi là thứ tự
dồn, được xác định như sau:
x=
x1 x2 ...xn < L y1 y2 ... ym =
y nếu n < m
x =x1 x2 ...xm < L y1 y2 ... ym =y nếu ω ( x ) < ω ( y )
15

hoặc ω ( x ) = ω ( y ) và tồn tại chỉ số t sao cho xi = yi với i < t còn xt =1 > 0 = yt .
Trong luận văn này, ta chỉ xem xét các kết quả trên thứ tự tuyến tính V. Do đó, từ
đây trở về sau kí hiệu “ < ” giữa hai vectơ được hiểu là thứ tự dồn.
Trước hết để tiện cho việc phát biểu và chứng minh các kết quả, ta đưa ra một vài
quy ước về mặt kí hiệu. Với mỗi vectơ x = x1 x2 ...xn ta đặt:

=
h1 max
=
{i : xi 1}
=
h0 max
=
{i : xi 0}

=
l1 min
=
{i : xi 1}
=
l0 min
=
{i : xi 0} .

1.4.2. Kết quả của TS. Trần Ngọc Danh

Tác giả Trần Ngọc Danh đã chứng minh được rằng bóng của một đoạn đầu trong
poset B các vectơ Boole theo thứ tự dồn lại là một đoạn đầu.

Mệnh đề 1.4.2.1 Trong poset B ( n ) với thứ tự tuyến tính V

=
Với x ∈ B ( n ) ta có: a∗= δ h0 a= max∆a= max {δ1a,..., δ n a=
} với h0 max
{i : ai 0}
.Định lý 1.4.2.2 Cho A ∈ B ( n ) . Nếu A là một đoạn đầu thì ∆A cũng là một đoạn đầu và
hơn nữa, nếu =
A G 0 + H 1 ( G 0 là tập các vectơ thuộc A có tọa độ cuối bằng 0 và H 1
là tập các vectơ thuộc A có tọa độ cuối bằng 1 ) thì

(i )

G, H là các đoạn đầu trong B ( n − 1)
16


( ii )

∆A = G = A∗ =

{a

∗

: a ∈ A} .

1.4.3. Kết quả của TS. Trần Huyên

Bằng việc đưa thêm khái niệm bóng đầy, bóng khuyết. Trong bài báo [ 2] tác giả

Trần Huyên đã tìm ra điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn lại là một đoạn.
Mệnh đề 1.4.3.1 Với mỗi vectơ Boole x = x1 x2 ...xn , ta có:

(i )

max∆ f x =
δ h0 x

( ii )

min∆ f x =
δ l0 x

( iii )

δ l1 x
max∆ d x =

( iv )

min∆ d x =
δ h1 x

Do đó: max∆x =
δ h0 x , min∆x =δ h1 x .
Mệnh đề 1.4.3.2 Trong poset B , cho x < y . Khi đó:

(i )

min∆x ≤ min∆y

( ii )

max∆x ≤ max∆y .

Hệ quả 1.4.3.3 Trong poset B các vectơ Boole, nếu x < y thì ∆ [ x ; y ] ⊂

[ min∆x ; max∆y ] .
Bằng việc xem xét với những điều kiện nào cho x, y thì sẽ có được bao hàm thức
ngược lại trong hệ quả 1.4.3.3. Trước hết, qua việc xem xét trường hợp lý thú nhất của

17


bài toán trên, khi các vectơ x, y ∈ B ( n, k ) tác giả đã tìm được điều kiện cần và đủ để
bóng của một đoạn lại là một đoạn.
Định lý 1.4.3.4 Trong B ( n, k ) cho x < y . Bóng ∆ [ x ; y ] là đoạn trong B ( n − 1) khi và
chỉ khi
=
x v=
z; y mu , trong đó

v ∈ B ( k + 1, k ) ; m ∈ B ( n − k + 1, 1) .

18


CHƯƠNG 2: BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN TRONG POSET CÁC VECTƠ
BOOLE
2.1. Bóng đầy của một đoạn trong poset các vectơ Boole

Để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả, trước hết chúng ta đưa ra một vài
quy ước về kí hiệu. Nếu vectơ x có tọa độ thứ i là 1 ta viết x = u1i v ; trong đó u , v là
các dãy tọa độ liên tiếp có thể xem như các vectơ hạng bé hơn x . Một dãy tọa độ 1 liên
tiếp nhau ta kí hiệu là g , còn dãy tọa độ 0 liên tiếp nhau ta kí hiệu là z .
Hầu hết các kết quả trong trường hợp bóng đầy đều đã được TS. Trần Huyên trình
bày trong bài báo [3] do đó trong phần này hầu hết các kết quả được trình bày lại mà
không chứng minh chi tiết.
Với một đoạn [ a; b ] ⊂ B ( n, k ) , vectơ mút trái a = a1a2 ...an có hai khả năng xảy ra:
hoặc a1 = 0 hoặc a1 = 1 .
Xét trường hợp a1 = 0 , khi đó a = z1i u và do b > a nên có 3 khả năng xảy ra cho
b sau: hoặc b = z1i v , hoặc b = z1i +1 v , hoặc b = z1t v với t > i + 1 .

Về khả năng đầu tiên cho b ta có:
Mệnh đề 2.1.1 Trong B ( n, k ) cho a = z1i u < z1i v = b . Khi đó ∆ f [ a; b ] là đoạn khi và
chỉ khi u = wz với w ∈ B ( k , k − 1) và v = zg với w ( g )= k − 1 .
Mệnh đề 2.1.2 Trong B ( n, k ) cho a =z1i u < z1i +1 v =b . Khi đó ∆ f [ a; b ] là đoạn nếu
thỏa một trong hai điều kiện sau:

(i )

a = z1i gz
19


( ii )

b = z1i +1 zg

Khi a và b không thỏa các điều kiện của mệnh đề 2.1.2, ta có một vài kết quả
phức tạp hơn sau đây:

Mệnh đề 2.1.3 Trong B ( n, k ) cho a =z1i u < z1i +1 v =b và b* = z1i v0 . Nếu a ≤ b∗ thì

∆ f [ a; b ] là đoạn.
Còn nếu a, b như mệnh đề 2.1.3 mà a > b∗ , thì ắt có chỉ số j mà

a = z1i w0 j h > z1i w1 j m = b∗ . Khi đó ta có các kết quả:
Mệnh đề 2.1.4 Cho a ∈ B ( n, k ) mà a = z1i w0 j h > z1i w1 j m = b∗ . Khi đó ∆ f [ a; b ] là
đoạn nếu ω ( w ) ≥ 1 hoặc ω ( w ) = 0 và a = z1i w0 j nz với ω ( n )= r ( n )= k − 1 .
Mệnh đề 2.1.5 Trong B ( n, k ) nếu a = z1i u < z1t v = b với t > i + 1 thì ∆ f [ a; b ] luôn luôn
là đoạn.
Trường hợp a = a1a2 ...an mà a1 = 1 , có 2 khả năng xảy ra cho b = b1b2 ...bn là b1 = 0
hay b1 = 1.

c 0 gw ∈ [ a; b ] , và vì rằng
Khi b1 = 0 , chú ý rằng có=
∆ f [ c; b ] ⊂ ∆ f [ a; b ] ⊂  gw; max ∆ f b 

nên ∆ f [ a; b ] là đoạn nếu ∆ f [ a; b=
]  gw; max ∆ f b  . Và đẳng thức cuối xảy ra nếu

∆ f [ c; b ] là đoạn; và bởi vì c, b thỏa mãn điều kiện là tọa độ đầu bằng 0 , vậy nên xem
như là hệ quả trực tiếp của các mệnh đề 2.1.1, 2.1.3 và 2.1.5 ta có:

20


Mệnh đề 2.1.6 Trong B ( n, k ) cho a = gu < zv = b . Khi đó ∆ f [ a; b ] là đoạn nếu thỏa
mãn một trong các điều kiện sau:

( i ) Hoặc b = 01zg

( ii ) Hoặc b = z1i v

với i ≥ 3 .

Khi b1 = 1 , khả năng đầu tiên xảy ra là: a = g1i gu < g 0i v = b . Khi đó tồn tại

=
c g1i 0 gz ∈ [ a; b ] với min ∆ f c =
g1i gz . Dễ thấy
∆ f [ c; b ] ⊂ ∆ f [ a; b ] ⊂  min ∆ f c; max ∆ f b  .

Với

bất

kì

d ′ = g1i w ∈  min ∆ f c; max ∆ f b  ,

ta

d g1i 0 w ∈ [ c; b ]
chọn=

thì

d ′ ∈ ∆ f d ⊂ ∆ f [ c; b ] . Vậy ∆ f [ c; b ] là đoạn, do đó ∆ f [ a; b ] là đoạn, tức ta có:
Mệnh đề 2.1.7 Trong B ( n, k ) cho a = g1 j u < g 0i v = b với j > i . Khi đó ∆ f [ a; b ] là
đoạn.
Mệnh đề 2.1.8 Trong B ( n, k ) cho a = g1i zu < g 0i v = b . Khi đó ∆ f [ a; b ] là đoạn nếu

hoặc v = zw hoặc v = 1zg .
Mệnh đề 2.1.9 Trong B ( n, k ) cho a = g1i z1 j u < g1i z1 j v = b với j > i + 1 . Khi đó

∆ f [ a; b ] là đoạn khi và chỉ khi u = wz với r=
( w ) ω ( w ) + 1 và v = zg .
Mệnh đề 2.1.10 Trong B ( n, k ) cho a = g1i z1 j u < g1i z 0 j v = b với j > i + 1 . Khi đó

∆ d [ a; b ] là đoạn nếu u = wz trong đó r=
( w) ω ( w) + 1 .
Chứng minh.
21


Hiển nhiên với a, b như trên thì ∆ f [ a; b ] ⊂  min ∆ f a; max ∆ f b  . Khi đó có ba khả năng
xảy ra cho x′ ∈  min ∆ f a ; max ∆ f b  như sau:

=
x′ g1i z0 j e′ ∈ ∆ f [ a; b ] . Khi đó ta chọn x ∈ [ a ; b ] bằng cách bổ sung vào x′
Hoặc
tọa độ 0 tại vị trí tọa độ 0 của b được bỏ đi để có max ∆ f b .

=
x′ g1i z1 j k ′ ∈ ∆ f [ a; b ] . Khi đó ta chọn x ∈ [ a ; b ] bằng cách bổ sung vào x′
Hoặc
tọa độ 0 tại vị trí toạ độ 0 của w .

=
x′ g1i z1 j −1 f ∈ ∆ f [ a; b ] . Khi đó chọn x = g1i zg j f thì x′ ∈ ∆ f x và
Hoặc
x ∈ [ a ; b] .

Cuối cùng xét một trường hợp đặc biệt khi a là phần tử bé nhất và b là phần tử
lớn nhất trong B ( n, k ) . Ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.11 Trong B ( n, k ) cho a là phần tử bé nhất và b là phần tử lớn nhất. Khi
đó, với bất kì x ∈ B ( n, k ) , ta luôn có:

(i )

∆ f [ a ; x ] là đoạn trong B ( n − 1, k ) .

( ii )

∆ f [ x ; b ] là đoạn trong B ( n − 1, k ) .

Chứng minh.

( i ) Hiển nhiên trong trường hợp này

ta có ∆ f [ a ; x ] ⊂  min ∆ f a ;max ∆ f x  . Với

bất kì y′ ∈  min ∆ f a ; max ∆ f x  . Ta bổ sung vào y′ tọa độ 0 tại vị trí tọa độ 0 của x bị
bỏ đi để có max ∆ f x thì y ∈ [ a ; x ] và y′ ∈ ∆ f y .
22


( ii ) Nếu

x có tọa đầu là 1 thì theo mệnh đề 2.1.6 ta có ngay điều cần chứng

minh. Còn nếu x có tọa độ đầu là 0 thì ∆ f [ x ; b ] ⊂  min ∆ f x ; max ∆ f b  . Khi đó với bất
kì y′ ∈  min ∆ f x ; max ∆ f b  , ta bổ sung vào y′ tọa độ 0 tại vị trí tọa độ 0 của x bị bỏ đi

để có min ∆ f x . Hiển nhiên y ∈ [ x ; b ] và y′ ∈ ∆ f y .

2.2. Bóng khuyết của một đoạn trong poset các vectơ Boole
Với một đoạn [ a; b ] ⊂ B ( n, k ) , vectơ mút phải b = b1b2 ...bn có hai khả năng xảy
ra: hoặc b1 = 0 hoặc b1 = 1.
Xét trường hợp b1 = 1, khi đó b = g 0i v và do b > a nên có 3 khả năng xảy ra cho

a như sau: hoặc a = g 0i u hoặc a = g 0i +1 u hoặc a = g 0t v với t > i + 1 .
Về khả năng đầu tiên cho a ta có:
Mệnh đề 2.2.1 Trong B ( n, k ) cho a = g 0i u < g 0i v = b . Khi đó ∆ d [ a; b ] là đoạn khi và
chỉ khi v = wg với ω ( w ) = 1 và u = gz .
Chứng minh.
Vì b1 = 1 , dễ thấy rằng ∆ d [ a; b ] ⊂ [ min ∆ d a; max ∆ d b ] theo mệnh đề 1.4.3.1 ta có

(

)

a′ = min ∆ d a = g 0i u′ , b′= max∆ d b= g 0i −1 v u ' = δ h1 u .

=
y′ g 0i zg ∈ [ a′; b′] , các vectơ y ≤ b mà y′ ∈ ∆ d y phải có dạng y = g 0i sg
• Chọn
với ω ( s ) = 1, điều đó buộc b = g 0i wg với ω ( w ) = 1 .

23