một lớp con các đại số lie quadratic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
----------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT
Đề tài khoa học và công nghệ cấp cơ sở

MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE QUADRATIC

MÃ SỐ: CS.2011.19.52
CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: TS. DƯƠNG MINH THÀNH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2012


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Giáo sư Georges Pinczon và Giáo sư
Rosane Ushirobira, những người thầy đáng kính và nghiêm khắc luôn dành cho tác giả sự
động viên, giúp đỡ và phối hợp trong công việc nghiên cứu khoa học những năm qua và
trong thời gian tới.
Tác giả chân thành cảm ơn Phó Giáo sư Tiến sĩ Lê Anh Vũ và Phó Giáo sư Tiến sĩ
khoa học Lê Văn Hoàng đã nhận lời phản biện đề tài. Những ý kiến xác đáng của họ đã giúp
tác giả hoàn chỉnh báo cáo đề tài.
Tác giả xin chuyển lời cảm ơn tới anh Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công
nghệ và Môi trường - Tạp chí Khoa học, người phối hợp thực hiện trong vai trò thư ký khoa
học. Xin gửi lời cảm ơn anh Hoàng Đức Tâm, người phụ trách mảng nghiên cứu khoa học ở
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
Lời cảm ơn cũng xin được chuyển đến Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm và Tổ Toán lý
Khoa Vật lý, Phòng Khoa học Công nghệ và Môi trường - Tạp chí Khoa học, Phòng Kế
hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều
kiện vật chất và tinh thần cho tác giả hoàn thành đề tài khoa học này.

1


DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

1. Cá nhân cùng tham gia thực hiện đề tài
Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công nghệ và Môi trường - Tạp chí Khoa học,
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học.
2. Đơn vị phối hợp chính
Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện).

2


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
DANH SÁCH NHỮNG NGƯỜI THAM GIA THỰC HIỆN ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN
VỊ PHỐI HỢP CHÍNH ............................................................................................... 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
CẤP CƠ SỞ.................................................................................................................. 4
SUMMARY .................................................................................................................. 6
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 9
Chương 1. CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG ................................................... 13
1.1.

Định nghĩa và một số kết quả cơ bản ....................................................................13

1.2.

Các đại số Lie toàn phương kì dị ...........................................................................17

Chương 2. PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG KÌ DỊ ................ 21
2.1. Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟑 .....................................................................21
2.2. Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟏 .....................................................................21
2.3. Mở rộng kép và các đại số Lie toàn phương kì dị...................................................22
2.4. Phân loại các đại số Lie toàn phương kì dị ..............................................................25

Chương 3. KẾT LUẬN ............................................................................................. 29
3.1.

Một số kết quả khác ................................................................................................29

3.2.

Một số hướng nghiên cứu trong tương lai ............................................................31

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 32

3


TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài: Một lớp con các đại số Lie quadratic.
Mã số:

CS.2011.19.52

Chủ nhiệm đề tài: TS. Dương Minh Thành

Tel: 0908 453 764.

E-mail:
Cơ quan chủ trì đề tài: Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM.
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:
• Nguyễn Vĩnh Khương, Phòng Khoa học Công nghệ và Tạp chí Khoa học, Trường
Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Thư ký khoa học.
• Viện Toán học Bourgogne, Dijon, Pháp (do GS Georges Pinczon đại diện).
Thời gian thực hiện: Từ tháng 04 năm 2011 đến tháng 04 năm 2012.
1. Mục tiêu:
Đề tài nhằm nghiên cứu và liệt kê toàn bộ một lớp con quan trọng các đại số Lie
quadratic dựa trên bất biến của G. Pinczon và R. Ushirobira.
Đề tài là sự khởi đầu cho những đề tài tiếp theo của tác giả trong việc nghiên cứu các
đối tượng đại số quadratic khác. Đề tài phải đạt được các sản phẩm khoa học và sản phẩm
đào tạo.
2. Nội dung chính:
a) Chúng tôi đề xuất nghiên cứu một lớp các đại số Lie quadratic (tạm dịch là lớp các
đại số Lie toàn phương) dựa trên một bất biến của G. Pinczon và R. Ushirobira đưa
ra vào năm 2007. Lớp các đại số này được đặt tên là lớp các đại số Lie toàn phương
kì dị và đây chính là đối tượng nghiên cứu của đề tài.
b) Áp dụng công cụ mở rộng kép để nghiên cứu lớp các đại số Lie toàn phương kì dị.
c) Nghiên cứu cấu trúc của lớp các đại số Lie toàn phương kì dị dựa vào công cụ mở
rộng kép, Phân tích Fitting và khái niệm tích trộn.
4

d) Từ những kết quả trên, lớp các đại số Lie toàn phương kì dị được phân loại hoàn
toàn. Phân loại này tương đương với phân loại các quỹ đạo phụ hợp trong không gian

xạ ảnh của đại số Lie cổ điển o(n).
3. Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội):
a) Chúng tôi đã nghiên cứu và phân loại toàn bộ các đại số Lie toàn phương kì dị. Đồng
thời chúng tôi cũng tính toán được chiều toàn phương của chúng và đưa ra một bất
biến mới của các đại số Lie quadratic. Các kết quả này đã được đăng trong công
trình :
M.T. Duong, G. Pinczon and R. Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie
algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages.
b) Các kết quả trên cũng đã được báo cáo một phần tại Seminar của nhóm học viên cao
học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học và Tôpô, Trường Đại học Sư phạm
Tp. Hồ Chí Minh.
c) Các kết quả của đề tài được chọn báo cáo tại Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình
học – Tôpô được tổ chức tại Đại học Thái nguyên từ ngày 3 đến ngày 5 tháng 11 năm
2011.
d) Đề tài cũng làm nảy sinh nhiều vấn đề cần quan tâm nghiên cứu. Chúng tôi sẽ tiếp
tục nghiên cứu các vấn đề đó trong Đề tài nghiên cứu khoa học cấp bộ năm 2013 dự
kiến sẽ đăng ký trong thời gian sắp tới.

5


SUMMARY

Project Title: A subclass of quadratic Lie algebras.
Code number: CS.2011.19.52
Coordinator: Dr. Duong Minh Thanh
Implementing Institution: Department of Physics, Ho Chi Minh City University of

Pedagogy.
Cooperating Institution(s):
• Nguyen Vinh Khuong, Department of Science, Technology and Journal of Science,
Ho Chi Minh City University of Pedagogy.
• Institute of Bourgogne, Dijon, France (represented by Professor Georges Pinczon).
Duration: from April 2011 to April 2012.
1. Objectives:
Research and list completely an important subclass of quadratic Lie algebras based on
an invariant of G. Pinczon and R. Ushirobira.
The project is a foundation for next works in researching other quadratic algebraic
objects. It must make scientific products and training results.
2. Main contents:
a) We suggest researching a subclass of quadratic Lie algebras based on an invariant
given by G. Pinczon and R. Ushirobira in 2007. Such algebras are called singular
quadratic Lie algebras and they are the main object of our project.
b) We study singular quadratic Lie algebras by applying the method of double extension
given by V. Kac, A. Medina and P. Revoy.
c) The structure of a singular quadratic Lie algebra can be described by double
extensions, the Fitting decomposition and the notion of amalgamated product.

6


d) By the results above, singular quadratic Lie algebras are completely classified. Their

classification is equivalent to the classification of adjoint orbits in the projective

space of o(n).
3. Results obtained:
a) We researched and completely classified singular quadratic Lie algebras. Moreover,

we also calculated their quadratic dimension and gave a new invariant of quadratic
Lie algebras. These results can be found in the article:
M.T. Duong, G. Pinczon and R. Ushirobira, A new invariant of quadratic Lie
algebras, Journal of Algebra and Representation Theory, online first 2011, 41 pages.
b) The above results are talked in seminars of post-graduate students of geometry and
topology at Ho Chi Minh city University of Pedagogy.
c) The project is talked in the national conference of Algebra – Geometry – Topology
organized at Thai Nguyen University from 3rd to 5th November, 2011.
d) There are some new problems from the project that we are going to research in a
ministry project in the future.

7


8


MỞ ĐẦU
Các không gian vectơ trong báo cáo này được xét trên trường số phức ℂ và hữu hạn

chiều.

Như chúng ta đã biết, dạng Killing là một công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các
đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bất biến và không suy biến của nó. Chẳng hạn
Tiêu chuẩn Cartan trong bài toán phân loại các đại số Lie nói rằng g là một đại số Lie nửa
đơn nếu và chỉ nếu dạng Killing không suy biến. Chứng minh của Định lý Kostant-Morosov
trong Lý thuyết Lie cũng sử dụng tính chất bất biến và không suy biến của dạng Killing.
Nhắc lại rằng Định lý Kostant- Morosov là định lý đóng vai trò trung tâm trong bài toán
phân loại các quỹ đạo phụ hợp của các đại số Lie cổ điển o(m) và sp(2n) (xem tài liệu [7] để
biết thêm chi tiết).

Một câu hỏi đặt ra ở đây rằng liệu có tồn tại những đại số Lie mà trên đó có một dạng
song tuyến tính đối xứng bất biến và không suy biến không? Ta gọi các đại số Lie đó là các
đại số Lie toàn phương. Tất nhiên theo Tiêu chuẩn Cartan ta chỉ xét câu hỏi này cho lớp các
đại số Lie giải được và câu trả lời là có, một ví dụ cho chúng là đại số Lie kim cương g =
span{X, P, Q, Z} với tích Lie được xác định: [X, P] = P, [X, Q] = - Q và [P,Q]= Z, dạng
song tuyến tính đối xứng được cho bởi B(X,Z) = B(P,Q) = 1, các trường hợp khác bằng 0.
Đây là một đại số Lie giải được bốn chiều đã được nghiên cứu khá nhiều trong Lý thuyết
Lie. Một ví dụ khác cũng khá quen thuộc trong Lý thuyết các đại số Lie như sau: cho g là
một đại số Lie và g* là không gian đối ngẫu của g. Biểu diễn đối phụ hợp ad*: g → End(g*)
được định nghĩa bởi
ad*(X)(f )(Y) = - f ([X,Y]), với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g và 𝑓 ∈g*.

hoặc tương đương: ad*(X)(f ) = −𝑓 ∘ ad(𝑋) .

Ta xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g* bởi ánh xạ ad* như sau:

hoặc tương đương:

[𝑋, 𝑌]h = [𝑋, 𝑌]g , [𝑋, 𝑓] = ad∗ (𝑋)(𝑓) , [𝑓, 𝑔] = 0
9


[𝑋 + 𝑓, 𝑌 + 𝑔] = �[𝑋, 𝑌]g + 𝑓 ∘ ad(𝑌) − 𝑔 ∘ ad(𝑋).

Khi đó h trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến 𝐵

được định nghĩa bởi

𝐵(𝑋 + 𝑓, 𝑌 + 𝑔) = 𝑓 (𝑌) + 𝑔(𝑋) với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g và 𝑓, 𝑔 ∈g*.

Lưu ý rằng, có những đại số Lie không có tính chất như thế, ví dụ đại số Lie giải được
2 chiều g = span{X, Y} với [X,Y] = Y , đại số Lie Hersenberg 3 chiều hoặc kiểu tổng quát
2n+1 chiều, hoặc đại số Lie filiform.

Những câu hỏi xoay quanh các đại số Lie toàn phương đã được đặt ra từ lâu nhưng gần
đây mới được quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho chúng ([5], [11],
[12] và [13]) cũng như người ta thấy mối liên hệ giữa các đại số Lie toàn phương với một số
bài toán vật lý (xem [10] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Bản thân khái niệm đại số Lie
toàn phương và các công cụ của nó hoàn toàn có thể tổng quát lên cho trường hợp các
super-đại số Lie toàn phương (xem [3]) hoặc áp dụng cho nhiều đại số khác như đại số
Jordan giả Euclide, đại số Novikov đối xứng, đại số Hom-Lie toàn phương, …. (xem [1],
[14] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Chú ý rằng, các đại số Lie toàn phương vẫn được
xem xét trong trường hợp vô hạn chiều [11]. Với các kết quả đó, dần dần hình thành một
mảng nghiên cứu khá lý thú, đó là nghiên cứu các đại số được trang bị một dạng song tuyến
tính bất biến và không suy biến cũng như các ứng dụng của chúng.
Công cụ được sử dụng nhiều để nghiên cứu cấu trúc các đại số Lie toàn phương là
phương pháp mở rộng kép, được đưa ra đầu tiên trong cuốn sách chuyên khảo [11] của V.
Kac. Đây là một sự kết hợp giữa mở rộng tâm và tích nửa trực tiếp của các đại số Lie. Về
mặt hình ảnh, nếu cho trước một đại số Lie toàn phương g ta sẽ gắn thêm hai đầu của g bởi
một đại số Lie h và không gian đổi ngẫu h* của h để được một đại số Lie toàn phương mới.
Chất keo để gắn kết các không gian này chính là mở rộng tâm và tích nửa trực tiếp. Năm
1985, A. Medina và P. Revoy đã chứng minh được rằng mọi đại số Lie toàn phương đều là
một mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương bởi một đại số Lie đơn hoặc bởi đại số Lie
một chiều (xem [12]). Do đó nhiều người xem mở rộng kép như là một kiểu mô tả quy nạp
hoặc một kiểu mở rộng nhiều bước các đại số Lie toàn phương.

10


Một phương pháp khác cũng tỏ ra hiệu quả trong nghiên cứu các đại số Lie toàn

phương giải được là mở rộng T* được giới thiệu bởi M. Bordemann vào năm 1996 (xem
[5]). Khác với phương pháp mở rộng kép, mở rộng T* là kiểu mở rộng một bước của các
đại số Lie toàn phương. Từ một đại số Lie bất kỳ h, ta gắn thêm không gian đối ngẫu của nó
nhờ khái niệm tích nửa trực tiếp bởi biểu diễn đối phụ hợp của h trong h* và bởi một 2-đối
chu trình cyclic. Khi đó ta sẽ thu được 1 đại số Lie toàn phương. Như thế ta có thể xem mở
rộng T* như là một kiểu khái quát của tích nửa trực tiếp của một đại số Lie với không gian
đối ngẫu của nó bởi biểu diễn đối phụ hợp.
Một cách tiếp cận thứ ba xuất hiện vào năm 2007 trong bài báo [13] của G. Pinczon và
R. Ushirobira. Bằng cách sử dụng các tính chất của đại số Lie phân bậc và từ định nghĩa của
tích super-Poisson trên đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng của một đại số Lie toàn
phương g, các tác giả đã định nghĩa một 3-dạng phản xứng I trên g và chứng minh được

rằng tích super-Poisson {𝐼, 𝐼} = 0. Ngược lại, nếu cho trước g là một không gian vectơ toàn

phương, tức là trên đó đã tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến, và giả
sử có một 3-dạng phản xứng 𝐼 trên g sao cho 𝐼 thỏa mãn tích super-Poisson {𝐼, 𝐼} = 0. Khi

đó sẽ tồn tại một cấu trúc đại số Lie toàn phương trên g sao cho I là 3-dạng liên kết với g.
Kết quả này đưa đến một kết luận rằng việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể
được thực hiện thông qua nghiên cứu 3-dạng liên kết với chúng.
Mục đích của đề tài là nghiên cứu các đại số Lie toàn phương kì dị. Các đại số toàn
phương này có thể được xem như một sự kết hợp giữa cách tiếp cận thứ ba và phương pháp
mở rộng kép. Cụ thể hơn, từ việc quan sát 3-dạng I, chúng tôi đưa ra lớp các đại số Lie toàn
phương kì dị tương ứng với 3-dạng liên kết với chúng khả phân (khả phân hoàn toàn hoặc
không hoàn toàn), các tính chất quan trọng của lớp các đại số này thu được từ việc tính toán
trực tiếp tích super-Poisson. Sau đó chúng tôi mô tả các đại số Lie toàn phương kì dị bằng
công cụ mở rộng kép: trường hợp giải được tương đương với mở rộng kép một chiều của
các đại số Lie giao hoán, trường hợp không giải được có thể đồng nhất với đại số sl(2) sai
khác một ideal không suy biến thuộc tâm. Nhờ sự mô tả này chúng tôi chứng minh được
rằng tồn tại một song ánh giữa tập hợp các cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị giải được

và tập hợp các O(n)-quỹ đạo trong không gian xạ ảnh P1(o(n)) của o(n) với tác động cảm
11


sinh từ tác động phụ hợp của nhóm O(n) lên đại số o(n). Phương pháp phân loại này có thể
được tìm thấy trong bài báo [9] của G. Favre và L. J. Santharoubane nhưng trong đề tài nó
được hoàn chỉnh hơn và do đó kết quả thu được chi tiết và triệt để hơn.
Phần trình bày của báo cáo này gồm có 3 chương. Chương 1 dành để nêu những khái
niệm và kết quả cơ bản liên quan đến các đại số Lie toàn phương cũng như sự xuất hiện của
lớp các đại số Lie toàn phương kì dị, đối tượng nghiên cứu chính của đề tài. Chương 2 dành
để trình bày các tính chất quan trọng của lớp các đại số Lie toàn phương kì dị và kết quả
phân loại lớp các đại số Lie này. Phân loại ở đây được xét cả trong hai trường hợp: phân
loại đến đẳng cấu và phân loại đến đẳng cấu đẳng cự. Chúng tôi chỉ trình bày các kết quả
đạt được, phần chứng minh chi tiết độc giả có thể tham khảo trong phần Phụ lục. Chương 3
dành cho việc nêu thêm các kết quả ngoài dự kiến, đề cập những kết quả đang được phát
triển và đề xuất một số hướng nghiên cứu trong tương lai. Phần phụ lục là bài báo đã được
nhận đăng, trong đó các chứng minh được trình bày chi tiết.
Chúng tôi đã báo cáo kết quả nghiên cứu của đề tài tại các buổi seminar dành cho học
viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học và Tôpô, Trường Đại học Sư phạm
Tp. Hồ Chí Minh, tại Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học – Tôpô tại Đại học Thái
Nguyên tháng 11 năm 2011 và viết thành bài báo gửi đăng tại Journal of Algebra and
Representation Theory (SCIE) tại địa chỉ
(nhắc lại ở phần phụ lục).

Đề tài khoa học này vẫn đang được hoàn chỉnh và phát triển. Nhóm thực hiện đề tài rất
mong nhận được sự góp ý của độc giả và của những ai quan tâm liên quan đến các kết quả
của đề tài và hướng nghiên cứu này.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20 tháng 02 năm 2012.
Chủ nhiệm đề tài

12


Chương 1. CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG
Định nghĩa và một số kết quả cơ bản

1.1.

Định nghĩa 1.1. Một đại số Lie toàn phương (g, B ) là một không gian vectơ g được trang bị

một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến B và một cấu trúc đại số Lie trên g sao
cho B bất biến, tức là
𝐵([𝑋, 𝑌], 𝑍) = 𝐵(𝑋, [𝑌, 𝑍]),

∀𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ g.

Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương và V là một tập con của g. Kí hiệu 𝑉 ⊥ là tập

hợp được xác định bởi

𝑉 ⊥ = {𝑋 ∈ g | 𝐵(𝑋, 𝑉 ) = 0}.

Trong trường hợp V là một không gian con của g thì 𝑉 ⊥ được gọi là thành phần trực giao

của V.

Từ tính chất không suy biến và bất biến của dạng song tuyến tính B ta có một số tính
chất đơn giản của g như sau:
Mệnh đề 1.2.
(1)

(2)
(3)

Nếu I là một ideal của g thì 𝐼⊥ cũng là một ideal của g. Hơn nữa, nếu I không suy

biến thì 𝐼 ⊥ cũng không suy biến và g = 𝐼 ⊕ 𝐼⊥ . Trong trường hợp này ta sử dụng

⊥
ký hiệu g = 𝐼 ⊕𝐼⊥ .

Z(g)=[g , g]⊥ với Z(g) là tâm của g và khi đó

dim(Z(g))+dim([g , g]) = dim(g).

Gọi 𝜙 ∶ g ⟶ g∗ là ánh xạ được định nghĩa bởi 𝜙 (𝑋 )(𝑌) = 𝐵(𝑋, 𝑌) với mọi

𝑋, 𝑌 ∈ g. Khi đó 𝜙 là một đẳng cấu. Hơn nữa, biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối
phụ hợp của g tương đương bởi đẳng cấu 𝜙.

Định nghĩa 1.3. Cho (g, B ) và (g’, B’ ) là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói (g, B ) và (g’,
B’ ) đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie 𝐴 từ g vào g’ thỏa mãn
13


𝐵′�𝐴(𝑋 ), 𝐴(𝑌)� = 𝐵(𝑋, 𝑌), ∀𝑋, 𝑌 ∈ g.

Nói một cách khác, 𝐴 là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu 𝐴 vừa là đẳng cấu vừa là

đẳng cự.

Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự có thể không tương
đương, ví dụ có thể tìm thấy trên đại số Lie đơn o(3).
Mệnh đề 1.4. [13]
Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó tồn tại một ideal thuộc

tâm z và một ideal l≠{0} sao cho
(1)
(2)

⊥
g = z⊕l, ở đây (z, 𝐵|z×z ) và (l, 𝐵|l×l ) là các đại số Lie toàn phương. Hơn nữa, l

không giao hoán.

Tâm Z(l) đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z(l)⊂[l , l], và
1

(3)

dim(Z(l)) ≤ dim(l) ≤ dim([l , l]).
2

Cho g’ là một đại số Lie toàn phương và 𝐴: g ⟶ g′ là một đẳng cấu đại số Lie.
Khi đó

⊥
g = z'⊕l'

ở đây z'=𝐴(z) thuộc tâm, l'=𝐴(z)⊥ , Z(l') tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l' đẳng

cấu với nhau. Hơn nữa, nếu 𝐴 là một đẳng cấu đẳng cự thì l và l' đẳng cấu đẳng
cự.

Định nghĩa 1.5. Một đại số Lie toàn phương g được gọi là rút gọn nếu g thỏa mãn 2 tính
chất sau:
(1)
(2)

g ≠ {0}.

Z(g) tự đẳng hướng hoàn toàn.

Từ Mệnh đề 1.4, nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể chuyển về nghiên cứu

các đại số Lie toàn phương rút gọn (sai khác một ideal thuộc tâm không suy biến).

14


Định nghĩa 1.6. Cho (g, 𝐵) là một đại số Lie toàn phương và 𝐶 là một đồng cấu của g. Ta
nói rằng 𝐶 phản xứng nếu

𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌) = −𝐵(𝑋, 𝐶 (𝑌)) với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g.

Kí hiệu End𝑎 (g) và Der𝑎 (g) lần lượt là không gian các đồng cấu phản xứng và các đạo

hàm phản xứng của g.

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại hai phương pháp thường được sử dụng trong việc nghiên

cứu cấu trúc các đại số Lie toàn phương: mở rộng kép và mở rộng T*. Phương pháp thứ
nhất được đưa ra đầu tiên bởi V. Kac cho trường hợp giải được (xem [11]), sau đó được
phát triển một cách tổng quát bởi A. Medina và P. Revoy (xem [12]). Phương pháp thứ hai
được M. Bordemann đưa ra trong bài báo [5].
Định nghĩa 1.7. Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương, h là một đại số Lie khác và

𝜋: h → Der𝑎 (g) là một đồng cấu đại số Lie từ h vào Der𝑎 (g). Định nghĩa ánh xạ

𝜑: g × g → h∗ bởi 𝜑(𝑋, 𝑌)𝑍 = 𝐵(𝜋(𝑍)𝑋, 𝑌), ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ g, 𝑍 ∈ h và kí hiệu ad∗ là biểu diễn

đối phụ hợp của h. Khi đó không gian vectơ g� = h ⨁ g ⊕ h∗ cùng với phép toán được xác

định bởi:

[𝑋 + 𝑌 + 𝑓, 𝑋 ′ + 𝑌 ′ + 𝑓 ′ ]

= [𝑋, 𝑋′]h + [𝑌, 𝑌′]g + 𝜋(𝑋 )𝑌 ′ − 𝜋(𝑋′)𝑌 + ad∗ (𝑋 )𝑓 ′ − ad∗ (𝑋′)𝑓 + 𝜑(𝑌, 𝑌′)

với mọi 𝑋, 𝑋′ ∈ h, 𝑌, 𝑌′ ∈ g, 𝑓, 𝑓′ ∈ h∗ trở thành một đại số Lie và được gọi là mở rộng kép

của g bởi h và 𝜋. Dể dàng kiểm tra được rằng g� còn là một đại số Lie toàn phương với dạng

song tuyến tính 𝐵� được xác đinh bởi

𝐵�(𝑋 + 𝑌 + 𝑓, 𝑋 ′ + 𝑌 ′ + 𝑓 ′ ) = 𝐵(𝑌, 𝑌 ′ ) + 𝑓 (𝑋 ′ ) + 𝑓 ′ (𝑋)

với mọi 𝑋, 𝑋′ ∈ h, 𝑌, 𝑌′ ∈ g, 𝑓, 𝑓′ ∈ h∗ .

Nếu 𝛾 là một dạng song tuyến tính bất biến của h (không nhất thiết không suy biến) thì

g� cũng là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính

𝐵�𝛾 (𝑋 + 𝑌 + 𝑓, 𝑋 ′ + 𝑌 ′ + 𝑓 ′ ) = 𝐵(𝑌, 𝑌 ′ ) + 𝛾 (𝑋, 𝑋 ′ ) + 𝑓 (𝑋 ′ ) + 𝑓 ′ (𝑋)

với mọi 𝑋, 𝑋′ ∈ h, 𝑌, 𝑌′ ∈ g, 𝑓, 𝑓′ ∈ h∗ .

Mệnh đề 1.8. ([11], 2.11, [12], Định lý I)

15


Cho g là một đại số Lie bất khả phân (xem định nghĩa ) không đơn và có số chiều lớn
hơn 1. Khi đó g là mở rộng kép của một đại số toàn phương bởi một đại số đơn hoặc đại số
1 chiều.
Hệ quả 1.9. [9]
Cho g là một đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán n chiều. Khi đó g là
mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương có số chiều n - 2 bởi đại số 1 chiều.
Mở rộng T* được định nghĩa từ những toán tử 2-đối chu trình như sau:
Định nghĩa 1.10. Cho g là một đại số Lie phức, V là một không gian vectơ phức và
𝜌: g → End(V ) là một biểu diễn của g trong V, tức là

𝜌([𝑋, 𝑌]) = 𝜌(𝑋 )𝜌(𝑌) − 𝜌(𝑌)𝜌(𝑋 ),

∀𝑋, 𝑌 ∈ g .

Nói một cách khác, 𝜌 là một đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số End(V ) chứa các đồng cấu
trên V. Trong trường hợp này , V được gọi là một g-module. Với mỗi số nguyên 𝑘 ≥ 0, kí
hiệu 𝐶 𝑘 (g, V ) là không gian các ánh xạ 𝑘-tuyến tính phản xứng từ g × g × … × g vào V nếu

𝑘 ≥ 1 và 𝐶 0 (g, V )=V. Đặt

∞

𝐶 (g, 𝑉 ) = � 𝐶 𝑘 (g, V )
𝑘=0

và định nghĩa toán tử đối bờ 𝛿: 𝐶 (g, 𝑉 ) → 𝐶 (g, 𝑉 ) như sau
𝑘

𝛿𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑘 ) = �(−1)𝑖 𝜌(𝑋𝑖 )(𝑓(𝑋0 , … , 𝑋�𝚤 , … , 𝑋𝑘 ))
𝑖=0

+ �(−1)𝑖+𝑗 𝑓��𝑋𝑖 , 𝑋𝑗 �, 𝑋0 , … , 𝑋�𝚤 , … , 𝑋�𝚥 , … , 𝑋𝑘 �
𝑖<𝑗

với mọi 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘 (g, V ), 𝑋0 , … , 𝑋𝑘 ∈ g.

Ta có thể kiểm tra 𝛿 thỏa mãn tính chất 𝛿 2 = 0. Ta nói rằng 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘 (g, V ) là một 𝑘-đối

chu trình nếu 𝛿𝑓 = 0 và 𝑓 là một 𝑘-đối bờ nếu có 𝑔 ∈ 𝐶 𝑘−1 (g, V ) sao cho 𝑓 = 𝛿𝑔.

Một trường hợp quen thuộc đã biết rằng không gian đối ngẫu là một g-module tương

ứng với biểu diễn đối phụ hợp của g. Xét ánh xạ song tuyến tính 𝜃: g × g →g∗ và định nghĩa
trên không gian vectơ 𝑇𝜃∗ (g) = g ⊕ g∗ phép toán như sau
16


[𝑋 + 𝑓, 𝑌 + 𝑔] = [𝑋, 𝑌] + 𝑓 ∘ adg (𝑌) − 𝑔 ∘ adg (𝑋 ) + 𝜃(𝑋, 𝑌)

với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g, 𝑓, 𝑔 ∈ g∗ . Không khó để chứng minh được rằng 𝑇𝜃∗ (g) là một đại số Lie

nếu và chỉ nếu 𝜃 là một 2-đối chu trình. Trong trường hợp này 𝜃 được gọi là mở rộng T*
của g bởi 𝜃. Hơn nữa nếu 𝜃 thỏa mãn tính chất 𝜃 (𝑋, 𝑌)𝑍 = 𝜃 (𝑌, 𝑍)𝑋, với mọi 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ g

(điều kiện cyclic) thì 𝑇𝜃∗ (g) trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính

𝐵 được xác định như sau:
Mệnh đề 1.11. [5]

𝐵(𝑋 + 𝑓, 𝑌 + 𝑔) = 𝑓(𝑌) + 𝑔(𝑋 ), ∀𝑋, 𝑌 ∈ g, 𝑓, 𝑔 ∈ g∗ .

Cho g là một đại số Lie toàn phương chẳn chiều. Nếu g giải được thì g đẳng cấu đẳng cự
với một mở rộng T* của h với h là đại số thương của g bởi một ideal tự đẳng hướng hoàn
toàn.

1.2.

Các đại số Lie toàn phương kì dị
Cho (V, B ) là một không gian vectơ toàn phương n chiều, trong trường hợp này B là

một dạng song tuyến tính đối xứng và không suy biến trên V. Ký hiệu 𝐴(𝑉 ) là đại số

Grassmann chứa các dạng đa tuyến tính phản xứng trên V với tích ngoài ∧. Với mỗi 𝑋 ∈ 𝑉,
ta nhắc lại khái niệm đạo hàm 𝜄𝑋 của 𝐴(𝑉 ) như sau:
𝜄𝑋 (Ω)(𝑌1 , … , 𝑌𝑘 ) = Ω(𝑋, 𝑌1 , … , 𝑌𝑘 ),

∀Ω ∈ 𝐴𝑘+1 (𝑉 ), 𝑋, 𝑌1 , … , 𝑌𝑘 ∈ 𝑉 (𝑘 ≥ 0).

Khi đó tích super-Poisson trên 𝐴(𝑉 ) được định nghĩa bởi:

n

{Ω, Ω′} = (−1)𝑘+1 � 𝜄𝑣𝑗 (Ω) ∧ 𝜄𝑣𝑗 (Ω′), ∀Ω ∈ 𝐴𝑘 (𝑉 ), Ω′ ∈ 𝐴(𝑉 ),
j=1

ở đây {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 } là một cơ sở trực chuẩn của 𝑉 (xem [13] để biết thêm chi tiết).
Ta có ngay hệ quả : nếu 𝛼 ∈ 𝑉 ∗ thì

{𝛼, Ω} = 𝜄𝜙−1(𝛼) (Ω),

∀Ω ∈ 𝐴(𝑉 )

và nếu 𝛼′ ∈ 𝑉 ∗ thì {𝛼, 𝛼′} = B(𝜙 −1 (𝛼 ), 𝜙 −1 (𝛼′)). Chú ý rằng định nghĩa trên không phụ

thuộc vào việc chọn cơ sở trực chuẩn của 𝑉.

Với Ω ∈ 𝐴𝑘 (𝑉 ), ta định nghĩa ánh xạ adP (Ω): 𝐴(𝑉 ) → 𝐴(𝑉 ) bởi:
adP (Ω)�Ω′ � = {Ω, Ω′},
17

∀Ω′ ∈ 𝐴(𝑉 ) .


Khi đó adP (Ω) là một super-đạo hàm có bậc 𝑘 − 2 của đại số 𝐴(𝑉 ), tức là:
′

adP (Ω)��Ω′ , Ω′′ �� = �adP (Ω)�Ω′ �, Ω′′ � + (−1)𝑘𝑘 �Ω, adP (Ω)�Ω′′ ��
′

với mọi Ω′ ∈ 𝐴𝑘 (𝑉 ), Ω′′ ∈ 𝐴(𝑉 ). Điều này chứng tỏ 𝐴(𝑉 ) là một đại số Lie phân bậc với

tích super-Poisson.

Mệnh đề 1.12. [13]

sau :

Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa 3-dạng tuyến tính 𝐼 trên g như

Khi đó ta có :

𝐼(𝑋, 𝑌, 𝑍) = 𝐵([𝑋, 𝑌], 𝑍),

∀𝑋, 𝑌 ∈ g.

𝐼 là 3-dạng phản xứng trên g.

(1)

Tích super-Poisson {𝐼, 𝐼} = 0.

(2)

Ngược lại, giả sử g là một không gian vectơ toàn phương hữu hạn chiều được trang bị
dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến 𝐵 và 𝐼 là một 3-dạng phản xứng trên g thỏa

mãn {𝐼, 𝐼} = 0. Ta định nghĩa tích trên g như sau:

[𝑋, 𝑌] = 𝜙 −1 (𝜄𝑋∧𝑌 (𝐼)),

∀𝑋, 𝑌 ∈ g.

Khi đó tích này thỏa mãn Đồng nhất thức Jacobi. Trong trường hợp này g trở thành một đại
số Lie toàn phương với 3-dạng liên kết 𝐼.

Định nghĩa 1.12. 3-dạng 𝐼 trong mệnh đề trên được gọi là 3-dạng liên kết với g.

Từ các kết quả trên, để nghiên cứu các cấu trúc đại số Lie toàn phương trên một

không gian vectơ hữu hạn chiều ta có thể tiếp cận theo hướng tìm hiểu các tính chất của 3dạng liên kết với chúng. Chúng ta sẽ thấy sau đây cách tiếp cận 3-dạng 𝐼 dựa trên sự khả

phân.

Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương và 𝐼 là 3-dạng liên kết với g. Đặt
𝑉𝐼 ={α∈g∗ | α ∧ I =0}.

Mệnh đề 1.13. Nếu g không giao hoán thì :
(1)

(2)

dim(𝑉𝐼 ) ∈ {0, 1, 3}.
dim([g, g]) ≥ 3.

18


(3)

I khả phân hoàn toàn nếu và chỉ nếu dim([g, g]) = 3.

Chứng minh. Xem [6] và [13].

Số chiều của không gian 𝑉𝐼 chính là dùng để đo độ khả phân của 3-dạng 𝐼. Điều này

dẫn đến định nghĩa số dup của một đại số Lie toàn phương như sau.

Định nghĩa 1.14. Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán và 𝐼 là 3-dạng liên

kết với g. Định nghĩa 𝑉𝐼 giống như trên. Khi đó số dup của g được cho bởi
dup(g) = dim(𝑉𝐼 ).

Chú ý 1.15.
(1)

Số dup(g) nhận các giá trị 0, 1 hoặc 3 nếu g không giao hoán. Trường hợp

dup(g) = 3 đã được nghiên cứu và các đại số Lie toàn phương tương ứng cũng
đã được phân loại hoàn toàn trong [13]. Do đó rất tự nhiên khi người ta để ý

(2)

trường hợp dup(g) = 1.

⊥
Nếu g bị phân tích thành g = z⊕l như trong Mệnh đề 1.4 thì dup(g) = dup(l).

Dựa vào các giá trị của số dup, ta tách tập hợp các đại số Lie toàn phương thành 2 lớp

như sau:
Định nghĩa 1.16. Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán.

(1)

(2)

g được gọi là một đại số Lie toàn phương thông thường nếu dup(g) = 0.
g được gọi là một đại số Lie toàn phương kì dị nếu dup(g) ≠ 0.
(i)

(ii)

g là một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 nếu dup(g) = 1.

g là một đại số toàn phương kì dị dạng 𝑆3 nếu dup(g) = 3.

⊥
Bổ đề 1.17. Cho g1 và g2 là các đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó, g1 ⊕ g2

là một đại số Lie toàn phương thông thường.

Định nghĩa 1.18. Một đại số Lie toàn phương g được gọi là bất khả phân nếu có
⊥
g = g1 ⊕ g2 với g1 và g2 là các ideal của g thì g1 hoặc g2 = {0}.

19


Nếu cho trước một đại số Lie toàn phương g, theo Mệnh đề 1.2 g sẽ phân tích thành
tổng trực tiếp trực giao của các ideal bất khả phân. Do đó nghiên cứu các đại số Lie toàn
phương có thể chuyển về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân.
Ta có một đặc trưng của các đại số Lie toàn phương kì dị như sau:

Mệnh đề 1.19. Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị. Khi đó g rút gọn nếu và chỉ nếu g
bất khả phân.
Chứng minh. Xem trong phần Phụ lục.

20


Chương 2. PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG KÌ DỊ

2.1. Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟑
sau :

Ta nhắc lại kết quả phân loại các đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 trong [13] như

⊥
Mệnh đề 2.1. Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 . Khi đó g = z⊕l với z là
một ideal thuộc tâm không suy biến và l đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie toàn

phương sau:
(1)
(2)

g3 = sl(2) với dạng song tuyến tính 𝐵 = 𝜆𝜅, ở đây 𝜆 ≠ 0 và 𝜅 là dạng Killing.

g4 = span{𝑋, 𝑃, 𝑄, 𝑍} với tích Lie xác định bởi [𝑋, 𝑃] = 𝑃, [𝑋, 𝑄] = −𝑄 và

[𝑃, 𝑄] = 𝑍, các tích khác bằng 0. Dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵 được định

(3)

nghĩa bởi 𝐵(𝑋, 𝑍) = 𝐵(𝑃, 𝑄) = 1, các trường hợp còn lại bằng 0.

g5 = span{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑇, 𝑍1 , 𝑍2 } với tích Lie xác định bởi [𝑋1 , 𝑇] = −𝑍2 , [𝑋2 , 𝑇] = 𝑍1

và [𝑋1 , 𝑋2 ] = 𝑇, các tích khác bằng 0. Dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵 được

(4)

định nghĩa bởi 𝐵�𝑋𝑖 , 𝑍𝑗 � = 𝛿𝑖𝑗 , 𝐵(𝑇, 𝑇) = 1 và các trường hợp còn lại bằng 0.

g6 = span{𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑍1 , 𝑍2 , 𝑍3 } với tích Lie xác định bởi [𝑋1 , 𝑋2 ] = 𝑍3 ,

[𝑋2 , 𝑋3 ] = 𝑍1 và [𝑋3 , 𝑋1 ] = 𝑍2 , các tích khác bằng 0. Dạng song tuyến tính đối
xứng 𝐵 được định nghĩa bởi 𝐵�𝑋𝑖 , 𝑍𝑗 � = 𝛿𝑖𝑗 , 𝐵(𝑇, 𝑇) = 1 và các trường hợp còn
lại bằng 0.

Nói một cách khác, chỉ có 4 đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 sai khác một ideal

tâm không suy biến, trong đó đại số g4 có tên gọi là đại số Lie kim cương được nghiên cứu

nhiều trong Toán học và Vật lý, các đại số g5 và g6 là lũy linh, xuất hiện nhiều trong phân

loại các đại số Lie thấp chiều.

2.2. Các đại số toàn phương kì dị dạng 𝑺𝟏

Cho (g, B ) là một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 và 𝐼 là 3-dạng liên kết với g.

Cố định 𝛼 ∈ 𝑉𝐼 và chọn Ω ∈ 𝐴2 (g) sao cho 𝐼 = 𝛼 ∧ Ω. Kí hiệu 𝑋0 = 𝜙 −1 (𝛼) và định nghĩa
21

𝐶: g → g bởi 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌) = Ω(𝑋, 𝑌), với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g. Khi đó 𝐶 là một ánh xạ phản xứng
(tương ứng với 𝐵). Hơn nữa ta có kết quả sau:

Bổ đề 2.2. Các khẳng định sau tương đương :
(1)
(2)
(3)

{𝐼, 𝐼} = 0.

{𝛼, 𝛼 } = 0 và {𝛼, Ω} = 0.

𝐵(𝑋0 , 𝑋0 ) = 0 và 𝐶 (𝑋0 ) = 0.

Trong trường hợp này ta có dim([g, g]) ≥ 4, 𝑍(g) ⊂ ker(𝐶), Im(𝐶) ⊂[g, g] và 𝑋0 ∈

𝑍(g) ∩ [g, g].

Chứng minh. Sử dụng tính chất của tích super-Poisson, chi tiết có thể xem Bổ đề 3.1 , phần
Phụ lục.
Bổ đề 2.3. Tồn tại một phần tử 𝑌0 ∈ g tự đẳng hướng, tức là 𝐵(𝑌0 , 𝑌0 ) = 0, sao cho
𝐵(𝑋0 , 𝑌0 ) = 0 và 𝐶 (𝑌0 ) = 0.

Cấu trúc của một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 được mô tả qua mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.4. Giữ các định nghĩa và kí hiệu như trên ta có các khẳng định sau:
(1)

(2)

[𝑋, 𝑌] = 𝐵(𝑋0 , 𝑋 )𝐶 (𝑌) − 𝐵(𝑋0 , 𝑌)𝐶 (𝑋 ) + 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌)𝑋0 đúng cho mọi 𝑋, 𝑌 ∈ g .

𝐶 = ad(𝑌0 ) và rank(𝐶) là một số chẳn.

(3)
(4)

ker(𝐶) = 𝑍(g) ⊕ C𝑌0 và [g, g] = C𝑋0 ⊕Im(𝐶).

(5)

Chiều của [g, g] là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 5.

Đại số g giải được. Hơn nữa, g lũy linh nếu và chỉ nếu 𝐶 lũy linh.

Chứng minh của mệnh đề này sử dụng chủ yếu các tính chất của tích super-Poisson và

tính chất của 3-dạng 𝐼.

2.3. Mở rộng kép và các đại số Lie toàn phương kì dị.
Tiếp theo đây chúng tôi sẽ sử dụng công cụ mở rộng kép để phân loại các đại số Lie
toàn phương kì dị. Tuy nhiên, ở đây chỉ cần sử dụng một trường hợp đặc biệt của Định
nghĩa 1.7, đó là mở rộng kép của một không gian vectơ toàn phương bởi các ánh xạ phản
xứng. Để người đọc tiện theo dõi, chúng tôi sẽ nhắc lại trường hợp đặc biệt này.
Định nghĩa 2.5.

22

(1)

Cho �q, 𝐵q � là một không gian vectơ toàn phương và 𝐶̅ : q → q là một ánh xạ phản

xứng. Gọi (t =span{𝑋1 , 𝑌1 }, 𝐵t ) là không gian vectơ toàn phương 2 chiều với
dạng song tuyến tính đối xứng 𝐵q được cho bởi:
𝐵t (𝑋1 , 𝑋1 ) = 𝐵t (𝑌1 , 𝑌1 ) = 0,

⊥
Xét không gian vectơ g = q ⊕ t

𝐵t (𝑋1 , 𝑌1 ) = 1.

được trang bị một dạng song tuyến tính

𝐵 = 𝐵q + 𝐵t và định nghĩa trên g phép toán như sau :

[𝑋 + 𝜆𝑋1 + 𝜇𝑌1 , 𝑌 + 𝜆′ 𝑋1 + 𝜇′ 𝑌1 ] = 𝜇𝐶̅ (𝑌) − 𝜇′𝐶̅ (𝑋) + 𝐵(𝐶̅ (𝑋), 𝑌)𝑋1

với mọi 𝑋, 𝑌 ∈ q, 𝜆, 𝜇, 𝜆′, 𝜇′ ∈ ℂ. Khi đó (g, 𝐵) là một đại số Lie toàn phương giải
(2)

được. Ta nói rằng g là mở rộng kép của q bởi 𝐶̅ .

Cho g𝑖 tương ứng là các mở rộng kép của các không gian vectơ toàn phương

(q𝑖 , 𝐵𝑖 ) bởi các ánh xạ phản xứng 𝐶𝑖̅ : q𝑖 → q𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘. Khi đó tích trộn
được định nghĩa như sau:

g = g1 × g2 × … × g𝑘
𝑎 𝑎
𝑎

• Xét không gian vectơ toàn phương (q, 𝐵), ở đây q = q1 ⊕ q2 ⊕ … ⊕ q𝑘

và 𝐵 là dạng song tuyến tính được cho bởi 𝐵�∑𝑘𝑖=1 𝑋𝑖 , ∑𝑘𝑖=1 𝑌𝑖 � =

∑𝑘𝑖=1 𝐵(𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ), với 𝑋𝑖 , 𝑌𝑖 ∈ q𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

• Ánh xạ phản xứng 𝐶̅ : q → q được xác định bởi 𝐶̅ �∑𝑘𝑖=1 𝑋𝑖 � với 𝑋𝑖 ∈ q𝑖 ,
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

và g chính là mở rộng kép của q bởi 𝐶̅ .

Mệnh đề 2.6. Cho g là mở rộng kép của q bởi 𝐶̅ theo như định nghĩa trên. Khi đó
(1)
(2)

[𝑋, 𝑌] = 𝐵(𝑋1 , 𝑋 )𝐶 (𝑌) − 𝐵(𝑋1 , 𝑌)𝐶 (𝑋 ) + 𝐵(𝐶 (𝑋 ), 𝑌)𝑋1 ,

𝐶 = ad(𝑌1 ). Hơn nữa, 𝑋1 ∈ 𝑍(g) và 𝐶 |q = 𝐶̅ .

∀𝑋, 𝑌 ∈ g , ở đây

� = 𝜆𝐶̅ , 𝜆 ∈ ℂ, 𝜆 ≠ 0. Khi đó g và g′ đẳng cấu
Giả sử g′ là mở rộng kép của q bởi 𝐶′

đẳng cự.

Từ Mệnh đề 2.4 (1) ta có thể dể dàng chứng minh được kết quả sau:
Mệnh đề 2.7.

23


(1)
(2)

Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆1 . Khi đó g là mở rộng kép của

q = (ℂ𝑋0 ⊕ ℂ𝑌0 )⊥ bởi 𝐶̅ = ad(𝑌0 )|q .

Cho g là mở rộng kép của không gian vectơ toàn phương q bởi ánh xạ 𝐶̅ ≠ 0. Khi
đó g là một đại số Lie toàn phương giải được kì dị. Cụ thể hơn,

(i) g là dạng 𝑆3 nếu và chỉ nếu rank(𝐶̅ ) = 2.
(ii) g là dạng 𝑆1 nếu và chỉ nếu rank(𝐶̅ ) ≥ 4.

(iii) g rút gọn nếu và chỉ nếu ker(𝐶̅ ) ⊂ Im(𝐶̅ ).
(iv) g lũy linh nếu và chỉ nếu 𝐶̅ lũy linh.

Như vậy vấn đề còn lại ở đây chỉ là xét trường hợp các đại số Lie toàn phương kì dị
dạng 𝑆3 . Ở khía cạnh mở rộng kép, ta hoàn toàn có thể mô tả được chúng trong trường hợp

giải được. Tuy nhiên việc chứng minh đòi hỏi phải sử dụng kết quả phân loại các O(𝑛)-quỹ
đạo phụ hợp trong o(𝑛) với 𝑛 nhỏ (xem phần Phụ lục và tài liệu [7] để biết thêm chi tiết).

Mệnh đề 2.8. Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị dạng 𝑆3 . Khi đó g đẳng cấu đẳng

⊥
cự với z⊕l với z là một ideal thuộc tâm của g và l là một trong các đại số Lie toàn phương

sau:

(1)

(2)

g3 (𝜆) = o(3) được trang bị dạng song tuyến tính 𝐵 = 𝜆𝜅, ở đây 𝜆 ∈ ℂ, 𝜆 ≠ 0 và

𝜅 là dạng Killing.

g4 , một đại số Lie 4 chiều: xét không gian q = ℂ2 , {𝐸1 , 𝐸2 } là một cơ sở của q sao

cho dạng song tuyến tính 𝐵 trên q được cho bởi 𝐵(𝐸1 , 𝐸1 ) = 𝐵(𝐸2 , 𝐸2 ) = 0,

𝐵(𝐸1 , 𝐸2 ) = 1 và g4 là mở rộng kép của q bởi ánh xạ phản xứng :
(3)

𝐶̅ = �

1
0

0
�.
−1

g5 , một đại số Lie 5 chiều : xét không gian q = ℂ3 , {𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 } là một cơ sở của q

sao cho dạng song tuyến tính 𝐵 trên q được cho bởi 𝐵(𝐸1 , 𝐸3 ) = 𝐵(𝐸2 , 𝐸2 ) = 1,
các trường hợp khác bằng 0, và g5 là mở rộng kép của q bởi ánh xạ phản xứng :

(4)

0
̅
𝐶 = �0
0

1
0
0

0
−1�.
0

g6 , một đại số Lie 6 chiều: xét không gian q = ℂ4 , {𝐸1 , 𝐸2 , 𝐸3 , 𝐸4 } là một cơ sở

của q sao cho dạng song tuyến tính 𝐵 trên q được cho bởi 𝐵(𝐸1 , 𝐸3 ) =
24