con quay hồi chuyển và một vài kết quả khảo sát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


Phạm Lê Giang Dũng

Tên đề tài:

CON QUAY HỒI CHUYỂN
VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ


Phạm Lê Giang Dũng
Tên đề tài:

CON QUAY HỒI CHUYỂN
VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Th.S Dương Đào Tùng

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn chân thành gởi đến Th.S Dương Đào Tùng đã tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Đồng thời cũng xin cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Long và cô Ngô
Thị Phương đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành công việc thực nghiệm
trên thiết bị.
Xin cảm ơn quý thầy cô khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh sau 4 năm đã cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tôi tự tin hoàn
thành luận văn tốt nghiệp ra trường.
Cuối cùng tôi xin gởi lời tri ân đến gia đình và bạn bè, những người luôn quan
tâm, động viên tôi trong suốt chặng đường đã đi qua.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013
Phạm Lê Giang Dũng


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 2
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 3
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................... 6
DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ .................................................................................. 7
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 9
PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................. 12
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN................................................................... 12
1.1. Chuyển động của vật rắn ......................................................................................... 12
1.1.1.

Chuyển động tịnh tiến ................................................................................ 12

1.1.2.

Chuyển động quay ..................................................................................... 13

1.2. Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm ...................................... 13
1.2.1.

Momen động lượng của một hệ ................................................................. 13

1.2.2.

Định lý về momen động lượng của một hệ ............................................... 14

1.3. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định ... 15
1.3.1.

Momen lực đối với trục ............................................................................. 15

1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay...................................... 15
1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay.................................................... 16
1.3.2.

Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn ............ 17

1.3.3.

Tính momen quán tính ............................................................................... 18

1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn.................................. 19
1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn ...................................... 19
CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT VỀ CON QUAY .............................................................. 20
2.1. Nhắc lại về momen động lượng của vật rắn ............................................................ 20


2.2. Chuyển động quay tự do của vật rắn ....................................................................... 21
2.3. Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định. Con quay hồi chuyển .... 23
2.4. Một số ứng dụng thực tế của con quay.................................................................... 27
PHẦN HAI: THÍ NGHIỆM KIỂM CHỨNG ................................................................ 31
CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VỀ BỘ DỤNG CỤ THÍ NGHIỆM .................................... 31
1.1. Giới thiệu chung ...................................................................................................... 31
1.2. Giới thiệu về con quay hồi chuyển U52006 và bộ đo tần số quay .......................... 32
1.2.1.

Con quay hồi chuyển U52006 () ............................................................ 32

1.2.2.

Bộ đo tần số quay của đĩa .......................................................................... 33

1.3. Các thí nghiệm thực hiện ......................................................................................... 34
CHƯƠNG II – KẾT QUẢ KHẢO SÁT ........................................................................ 35
2.1. Xác định momen quán tính của đĩa quay ................................................................ 35
2.1.1.

Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 35

2.1.2.

Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 35

2.1.3.

Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 36

2.1.4.

Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 36

2.1.5.

Số liệu tính toán và đo đạc ......................................................................... 37

2.1.5.1. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚1 = 0.02𝑘𝑔 .............................. 37
1T

2.1.5.2. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚2 = 0.03𝑘𝑔 .............................. 40
1T

2.1.5.3. Đối với vật nặng có khối lượng 𝑚3 = 0.04𝑘𝑔 .............................. 43
1T

2.1.6.

Nhận xét kết quả thực nghiệm ................................................................... 46

2.2. Khảo sát sự tiến động của con quay ........................................................................ 47
2.2.1.

Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 47

2.2.2.

Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 47


2.2.3.

Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 48

2.2.4.

Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 50

2.2.5.

Số liệu tính toán và đo đạc ......................................................................... 51

2.2.5.1. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚1 = 0.03𝑘𝑔 .............................. 52
1T

2.2.5.2. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚2 = 0.04𝑘𝑔 .............................. 54
1T

2.2.5.3. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚3 = 0.05𝑘𝑔 .............................. 55
1T

2.2.5.4. Đối với gia trọng có khối lượng 𝑚4 = 0.06𝑘𝑔 .............................. 57

1T

2.2.6.

Nhận xét kết quả thực nghiệm ................................................................... 59

2.3. Khảo sát sự chương động của con quay: ................................................................. 61
2.3.1.

Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 61

2.3.2.

Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 61

2.3.3.

Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 61

2.3.4.

Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 61

2.3.5.

Kết quả đo đạc ........................................................................................... 62

2.3.6.

Nhận xét kết quả thí nghiệm ...................................................................... 66

2.4. Sự khử momen động lượng của con quay ............................................................... 66
2.4.1.

Mục đích thí nghiệm .................................................................................. 67

2.4.2.

Cơ sở lý thuyết ........................................................................................... 67

2.4.3.

Lắp đặt dụng cụ.......................................................................................... 67

2.4.4.

Tiến hành thí nghiệm ................................................................................. 67

2.4.5.

Kết quả thí nghiệm ..................................................................................... 68

2.4.6.

Nhận xét kết quả thí nghiệm ...................................................................... 69

NHẬN XÉT VÀ ĐỀ XUẤT .......................................................................................... 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 72

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2-1. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.02kg .................................................................................................................... 37
Bảng 2-2. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.03kg .................................................................................................................... 40
Bảng 2-3. Kết quả thí nghiệm xác định momen quán tính của đĩa ứng với vật
nặng 0.04kg .................................................................................................................... 43
Bảng 2-4. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.03kg ............................................................................................................................. 52
Bảng 2-5. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.04kg ............................................................................................................................. 54
Bảng 2-6. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.05kg ............................................................................................................................. 55
Bảng 2-7. Kết quả thí nghiệm khảo sát tiến động của con quay ứng với gia trọng
0.06kg ............................................................................................................................. 57
Bảng 2-8. Kết quả thí nghiệm khảo sát chương động của con quay........................ 62


DANH MỤC HÌNH VẼ - ĐỒ THỊ
Hình 1-1. Chuyển đông của vật rắn quay xung quanh một trục .............................. 13
Hình 1-2. Tác dụng của lực trong chuyển động quay .............................................. 15
Hình 1-3. Xác định momen quán tính của khối trụ.................................................. 19
Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn ...................................................... 19
Hình 1-5. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (1)............................... 22
Hình 1-6. Chuyển động quay tự do của con quay đối xứng (2)............................... 22
Hình 1-7. Chuyển động của con quay trong trường trọng lực quanh điểm cố
định ................................................................................................................................. 24
Hình 1-8. Ngẫu lực đặt vào con quay đang quay ..................................................... 26
Hình 1-9. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên tàu thủy ................................. 28
Hình 1-10. Bộ ổn định hóa con quay hồi chuyển trên ngư lôi ................................. 29

Hình 1-12. Chuyển động của viên đạn trong không gian (2) .................................. 30
Hình 1-11. Chuyển động của viên đạn trong không gian (1) .................................. 30
Hình 2-1. Bộ dụng cụ thí nghiệm............................................................................. 31
Hình 2-2. Con quay hồi chuyển U52006 ................................................................. 32
Hình 2-3. Bộ đo tần số quay của đĩa ........................................................................ 34
Hình 2-4. Bài toán xác định momen quán tính I của đĩa ......................................... 35
Hình 2-5. Thí nghiệm xác định momen quán tính I của đĩa .................................... 36
Hình 2-6. Đo đường kính của phần ống quấn dây ................................................... 37
Hình 2-7. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.02kg ...................... 40
Hình 2-8. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.03kg ...................... 43
Hình 2-9. Đồ thị đường thẳng tF2 = g(h) ứng với vật nặng 0.04kg ...................... 46
Hình 2-10. Con quay cân bằng theo phương ngang ................................................ 49

Hình 2-11. Thí nghiệm khảo sát sự tiến động .......................................................... 49
Hình 2-12. Cách làm cho đĩa quay........................................................................... 50
Hình 2-13. Treo vào đầu trục một gia trọng và di chuyển con quay lệch khỏi
cổng quang ..................................................................................................................... 50


Hình 2-14. Con quay thực hiện tiến động. Chắn sáng quét qua cổng quang ........... 51
Hình 2-15. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.03kg ...................... 53
Hình 2-16. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.04kg ...................... 55
Hình 2-17. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.05kg ...................... 57
Hình 2-18. Đồ thị đường thẳng f = g(TP) ứng với gia trọng 0.06kg ...................... 59
Hình 2-19. Tác dụng một lực nhẹ, tức thời lên đầu trục quay khi đĩa đang quay ... 62
Hình 2-20. Đồ thị biểu diễn mối quan hệ giữa tần số quay của đĩa f và tần số

chương động fN ............................................................................................................. 65
1T

Hình 2-21. Bằng phương pháp chụp ảnh liên hoàn, ta ghi nhận lại sự di chuyển

của đầu trục quay trong một chu kỳ chương động ......................................................... 66
Hình 2-22. Cách làm hai đĩa quay cùng vận tốc góc nhưng ngược chiều ............... 67
Hình 2-23. Hiện tượng xảy ra khi móc gia trong vào đầu trục quay của hai đĩa ..... 69
Hình 2-24. Hiện tượng xảy ra khi tác dụng một lực tức thời theo phương ngang
vào đầu trục quay của hai đĩa ......................................................................................... 69


LỜI MỞ ĐẦU
Vật lý học là một môn khoa học thực nghiệm. Phần lớn các kiến thức vật lý mà
con người tìm ra đều bắt nguồn từ các quan sát, các thí nghiệm. Một chiếc xe đạp
khi chuyển động tại sao không bị ngã? Tại sao một cái bông vụ khi quay nhanh
quanh trục đối xứng của nó thì có thể tự đứng được? Tại sao người ta lại xẻ rãnh
nòng súng để cho viên đạn khi bay ra ngoài thì quay quanh trục của nó? Đó là một
vài câu hỏi thú vị về các hiện tượng vật lý mà hằng ngày chúng ta quan sát được và
hoàn toàn có thể được trả lời dựa vào các kiến thức về Cơ học, cụ thể là kiến thức
về con quay hồi chuyển. Con quay hồi chuyển, một cách đơn giản là một vật rắn
quay quanh một trục, mà trục này có thể thay đổi tự do theo bất kỳ phương nào
trong không gian. Con quay hồi chuyển có nhiều tính chất kỳ lạ được ứng dụng
rộng rãi trong khoa học kỹ thuật. Đó là lý do đầu tiên khiến chúng tôi quan tâm đến
thiết bị này và lựa chọn làm đối tượng nghiên cứu chủ yếu cho luận văn tốt nghiệp.
Bên cạnh đó, dưới con mắt của một nhà Sư phạm, chúng tôi nhận thấy vai trò
của thực nghiệm trong việc truyền đạt kiến thức vật lý đến người học là rất quan
trọng. Một kiến thức vật lý “khô khan” cũng sẽ trở nến sống động và có ý nghĩa nếu
nó được biểu diễn hay chứng minh từ các mô hình trực quan.
Nắm bắt được nhu cầu này, các nhà sản xuất đã nghiên cứu, cho ra đời các bộ
thí nghiệm vật lý phù hợp với từng đối tượng. Đó là thuận lợi nhưng cũng là khó
khăn đặt ra cho những ai quan tâm. Thuận lợi ở chỗ giờ đây trong tay các nhà
nghiên cứu hay người học đã có các công cụ thực nghiệm vật lý phong phú, đầy đủ

các lĩnh vực của vật lý. Còn khó khăn đó là phần lớn các bộ thí nghiệm, các dụng cụ
thực hành vật lý được sản xuất từ các hãng nước ngoài. Do đó gây ra một số khó
khăn trong việc vận hành cũng như phát huy tối đa các ứng dụng của thiết bị trong
điều kiện phòng thí nghiệm ở trong nước. Ngoài ra khó khăn còn nằm ở chỗ, mỗi bộ
dụng cụ được sản xuất ra đa phần chỉ phù hợp với một số thí nghiệm mà nhà sản
xuất quy định trong cẩm năng hướng dẫn đi kèm. Do đó, nếu không nghiên cứu kỹ
lưỡng dụng cụ và cho vận hành thử thì sẽ dễ dàng vướng phải các sai lầm ảnh
hưởng đến chất lượng công việc và tuổi thọ của dụng cụ.


Dựa trên sự lựa chọn ban đầu đối với con quay hồi chuyển cũng như mong
muốn khắc phục các khó khăn trong việc ứng dụng các thiết bị thí nghiệm vật lý
vào học tập và nghiên cứu, chúng tôi đã quyết định lựa chọn đề tài: CON QUAY
HỒI CHUYỂN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ KHẢO SÁT.
Với tên đề tài như vậy, mục đích của chúng tôi trong luận văn này là xây dựng
các thí nghiệm dựa trên bộ dụng cụ có sẵn nhằm minh họa và kiểm chứng các hiện
tượng tiến động, chương động và khử momen động lượng của con quay hồi chuyển
phục vụ cho việc dạy học, nghiên cứu các kiến thức về con quay hồi chuyển. Ngoài
ra, trong bộ dụng cụ chúng tôi sử dụng, thiết bị quan trọng nhất đó là con quay hồi
chuyển U52006 do hãng 3B SCIENTIFIC sản xuất. Chúng tôi sẽ tiến hành đo đạc
momen quán tính của đĩa quay con quay hồi chuyển nhằm giúp cho những ai sử
dụng sau này có thể đối chiếu hay tham khảo số liệu.
Như vậy, đối tượng chúng tôi nghiên cứu trong đề tài này bao gồm các khái
niệm, tính chất của con quay hồi chuyển. Để thực hiện đề tài, đầu tiên chúng tôi
nghiên cứu các lý thuyết có liên quan đến con quay hồi chuyển, bao gồm: lý thuyết
về vật rắn, lý thuyết về con quay … Tiếp đến chúng tôi nghiên cứu về con quay hồi
chuyển U52006 và các thiết bị khác có liên quan như: đầu thu tần số U21005, cổng
quang học, đồng hồ bấm giây … cũng như cách kết hợp các thiết bị này lại để phục
vụ mục đích thí nghiệm.
Kết quả của quá trình nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong hai phần:

Phần một: Cơ sở lý thuyết, nhằm xây dựng hệ thống kiến thức cơ bản về vật rắn
và con quay hồi chuyển.
Phần hai: Thí nghiệm kiểm chứng, gồm 4 thí nghiệm nhằm minh họa, kiểm
chứng các hiện tượng của con quay hồi chuyển và đo đạc momen quán tính của con
quay U52006.
Đề tài của chúng tôi hoàn thành hi vọng sẽ góp một phần nhỏ vào việc làm
phong phú thêm các thí nghiệm về Vật lý đại cương, giúp cho các nhà nghiên cứu,
các bạn sinh viên tin tưởng hơn vào các kiến thức đã được học trên giảng đường, từ
đó có những phát kiến mới nhằm từng bước cải thiện thiết bị, nâng cao hiệu quả sử


dụng thiết bị và thêm say mê lĩnh vực Vật lý thực nghiệm.
Với thời gian nghiên cứu tương đối ngắn, cộng với năng lực còn hạn chế nên đề
tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được mọi sự
đóng góp để đề tài thêm hoàn thiện.
Tác giả luận văn.


PHẦN MỘT: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
CHƯƠNG I: ĐẠI CƯƠNG VỀ VẬT RẮN
1.1.

Chuyển động của vật rắn

Vật rắn là một hệ chất điểm, trong đó khoảng cách giữa các chất điểm luôn luôn
không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng
minh được rằng, mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về hai
chuyển động cơ bản là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
1.1.1. Chuyển động tịnh tiến
Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó chuyển động theo

những quỹ đạo giống nhau. Tại mỗi thời điểm, các chất điểm của vật rắn tịnh tiến
đều có cùng vectơ vận tốc và vectơ gia tốc. Giả thiết 𝑎⃗ là vectơ gia tốc chung của

các chất điểm 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , … , 𝑀𝑖 , … của vật rắn, các chất điểm này lần lượt có khối

lượng

𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , … , 𝑚𝑖 , … và

lần

lượt

chịu

các

ngoại

lực

tác

dụng

���⃗1 , 𝐹
���⃗2 , ���⃗
��⃗𝚤 , … Theo định luật II Niutơn ta có:
𝐹
𝐹3 , … , 𝐹

𝐹1
𝑚1 𝑎⃗ = ���⃗

𝑚2 𝑎⃗ = ���⃗
𝐹2

……………

𝑚𝑖 𝑎⃗ = ��⃗
𝐹𝚤

(1)

……………

Các phương trình đó chứng tỏ những ngoại lực tác dụng lên vật rắn
���⃗1 , 𝐹
���⃗2 , ���⃗
��⃗𝚤 , … song song và cùng chiều. Đó là điều kiện cần để một vật rắn
𝐹3 , … , 𝐹
𝐹
chuyển động tịnh tiến. Cộng các phương trình (1) vế với vế ta được:
�� 𝑚𝑖 � 𝑎⃗ = � ��⃗
𝐹𝚤
𝑖

𝑖

(2)

Đó là phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến. Nó giống như phương
trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của
vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Dễ dàng


thấy rằng, đó cũng là phương trình chuyển động của khối tâm vật rắn. Như vậy,
muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn, ta chỉ xét chuyển động của
khối tâm của nó.
1.1.2. Chuyển động quay
Khi một vật rắn chuyển động quay xung quanh một đường thẳng cố định ∆ (gọi

là trục quay) thì:
-

Mọi điểm của vật rắn vạch ra

những vòng tròn có cùng trục ∆

(những vòng tròn mà mặt phẳng
vuông góc với ∆ và có tâm nằm trên
∆).

-

Trong cùng một khoảng thời

gian, mọi điểm của vật rắn đều quay
được cùng một góc 𝜃.
-

Tại cùng một thời điểm, mọi

điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc
góc 𝜔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡

-

=

𝑑𝜃
𝑑𝑡

𝑑2 𝜃
𝑑𝑡 2

.

Hình 1-1. Chuyển đông của vật
rắn quay xung quanh một trục

và cùng gia tốc góc 𝛾 =

Tại một thời điểm, vectơ vận tốc tiếp tuyến và vectơ gia tốc tiếp tuyến của

một chất điểm bất kì của vật rắn cách trục quay một khoảng 𝑟 được xác định bởi
những hệ thức:

𝑣⃗ = [𝜔

�⃗ ∧ 𝑟⃗]

1.2.

𝑎
���⃗𝑡 = [𝛾⃗ ∧ 𝑟⃗]

(𝑟⃗ = ������⃗
𝑂𝑀 );

(3)

Các định lý về momen động lượng của một hệ chất điểm

1.2.1. Momen động lượng của một hệ
Một

hệ

chất

điểm

𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 , … , 𝑀𝑖 , …,

lần

lượt

có

khối

lượng

���⃗,
����⃗,
����⃗,
���⃗,𝚤 … đối với một
𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , … , 𝑚𝑖 , … chuyển động với những vận tốc 𝑣
1 𝑣
2 𝑣
3 …,𝑣


hệ quy chiếu gốc 𝑂 cố định. Momen động lượng của hệ đối với 𝑂 được định nghĩa
bởi:

��������⃗𝚤 ∧ 𝑚𝑣
𝐿�⃗ = � ���⃗
𝐿𝚤 = ��𝑂𝑀
���⃗�
𝚤
𝑖

𝑖

���⃗𝚤 ]
= �[𝑟�⃗𝚤 ∧ 𝑚𝑣
𝑖

1.2.2. Định lý về momen động lượng của một hệ

(4)

Đối với chất điểm (𝑚𝑖 , 𝑟𝑖 ) của hệ, khi áp dụng định lý về momen động lượng ta

được:

���⃗𝚤
𝑑𝐿
��⃗/𝑂 (𝐹
��⃗𝚤 )
=𝑀
𝑑𝑡

��⃗/𝑂 (𝐹
��⃗𝚤 ) là tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên chất điểm 𝑚𝑖 .
với 𝑀
Cộng các phương trình trên theo 𝑖 ta được:
�
𝑖

Vế đầu:

�
𝑖

���⃗𝚤
𝑑𝐿

��⃗/𝑂 (𝐹
��⃗𝚤 )
= �𝑀
𝑑𝑡
𝑖

���⃗𝚤
𝑑𝐿
𝑑
𝑑𝐿�⃗
���⃗𝚤 =
= �𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑖

là đạo hàm theo thời gian của tổng momen động lượng của hệ. Vế thứ hai biểu thị
tổng momen đối với gốc 𝑂 của các lực tác dụng lên các chất điểm của hệ. Các lực

tác dụng lên các chất điểm của hệ bao gồm các ngoại lực tác dụng và các nội lực
tương tác của các chất điểm trong hệ. Chú ý rằng các nội lực tương tác của các chất
điểm trong hệ từng đôi một đối nhau (cùng phương ngược chiều, cùng cường độ) do
đó tổng momen đối với 𝑂 của những lực này sẽ bằng 0. Vậy vế thứ hai của phương
trình trên chỉ còn là tổng momen đối với 𝑂 của các ngoại lực tác dụng lên hệ. Kết
quả ta được công thức sau:

𝑑𝐿�⃗
��⃗/𝑂 (𝐹
��⃗𝚤 ) = 𝑀

��⃗
= �𝑀
𝑑𝑡
𝑖

(5)

Định lý: Đạo hàm theo thời gian của momen động lượng của một hệ bằng tổng


momen các ngoại lực tác dụng lên hệ (đối với một điểm gốc 𝑂 cố định bất kì).

Chú ý quan trọng: Trong định lý trên, ta phải tính momen động lượng của hệ

đối với một điểm 𝑂 cố định. Người ta chứng minh được rằng định lý ấy vẫn đúng
nếu ta thay 𝑂 bằng khối tâm 𝐺 của hệ (mặc dù lúc xét, 𝐺 đang chuyển động).
1.3.

Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn quanh một
trục cố định

Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển
động quay của vật rắn xung quanh một trục. Trước hết ta xét một đại lượng đặc
trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay.
1.3.1. Momen lực đối với trục
1.3.1.1. Tác dụng của lực trong chuyển động quay
Giả thiết có lực 𝐹⃗ tác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục ∆, đặt tại điểm 𝑀.

Trước hết ta phân tích 𝐹⃗ ra hai thành phần:

���⃗2
𝐹⃗ = ���⃗
𝐹1 + 𝐹

���⃗1 nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆ đi
trong đó ���⃗
𝐹1 ⊥ trục; ���⃗
𝐹2 ∥ trục. Lực 𝐹

qua 𝑀 lại được phân tích ra hai thành phần:

���⃗1 = ���⃗
���⃗
𝐹𝑡 + 𝐹
𝐹
𝑛

���⃗𝑡 ⊥ bán kính 𝑂𝑀, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm 𝑂 bán
trong đó 𝐹
kính 𝑂𝑀, còn ���⃗
𝐹𝑛 nằm theo bán kính 𝑂𝑀. Kết quả ta có:
Trên Hình 1-2 ta thấy rằng:
-

���⃗
���⃗
𝐹⃗ = ���⃗
𝐹𝑡 + 𝐹
𝑛 + 𝐹2

Thành phần ���⃗
𝐹2 không gây ra chuyển

động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn
trượt dọc theo trục quay, chuyển động này
không thể có vì theo giả thiết vật rắn chỉ
quay xung quanh trục A.
-

���⃗
Thành phần 𝐹
𝑛 không gây ra chuyển

��⃗
𝑀


động quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời
khỏi trục quay, chuyển động này cũng
không thể có.
-

Như vậy trong chuyển động quay,

tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác
dụng của thành phần ���⃗
𝐹𝑡 của nó. Ta kết

luận:

Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục, chỉ những thành

phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
Vì vậy trong các phần sau đây, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng các lực tác
dụng lên vật rắn chuyển động quay đều là lực tiếp tuyến.
1.3.1.2. Momen của lực đối với trục quay
���⃗𝑡 đặt tại điểm 𝑀 ứng với bán kính 𝑂𝑀
Ta hãy xét tác dụng của lực tiếp tuyến 𝐹

= 𝑟 của quỹ đạo của 𝑀. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực ���⃗
𝐹𝑡 không

những phụ thuộc cường độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách 𝑟, khoảng cách

này càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực
trong chuyển động quay, người ta đưa ra một đại lượng gọi là momen lực.
���⃗𝑡 đối với trục quay ∆ là một vectơ 𝑀
��⃗ xác định bởi
Định nghĩa: Momen của lực 𝐹

(Hình 1-2):

��⃗ = �𝑟⃗ ∧ ���⃗
𝐹𝑡 �
𝑀

(6)

trong đó 𝑟⃗ = ������⃗
𝑂𝑀, với 𝑂 là giao điểm của trục quay ∆ và mặt phẳng quỹ đạo của 𝑀.

��⃗ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa 𝑟⃗ và
Theo định nghĩa này, vectơ 𝑀

���⃗
𝐹𝑡 , nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận đối với chiều quay từ 𝑟⃗ sang ���⃗
𝐹𝑡 ,
có trị số:

𝐹𝑡 �
𝑀 = 𝑟𝐹𝑡 sin�𝑟⃗, ���⃗
𝑀 = 𝑟𝐹𝑡

(7)

Chú thích: Vì trong chuyển động quay, tác dụng của lực 𝐹⃗ tương đương với tác


���⃗𝑡 nên người ta cũng định
dụng của lực ���⃗
𝐹1 và tương đương với tác dụng của lực 𝐹
��⃗ là vectơ momen của 𝐹
���⃗1 hay của 𝐹⃗ đối với ∆.
nghĩa 𝑀

1.3.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn

Ta áp dụng phương trình diễn tả định lý về momen động lượng của một hệ:
𝑑𝐿�⃗
𝑑

���⃗𝚤 � = � 𝑀
��⃗/𝑂 (𝐹
��⃗𝚤 )
= �� 𝐿
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑖

𝑖

Cho một vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc
𝜔
�⃗. Ta xét một phần tử khối lượng 𝑑𝑚 của vật rắn, cách trục quay một đoạn 𝑟.

Momen động lượng của 𝑑𝑚 có biểu thức:

�⃗
𝑑𝐿�⃗ = (𝑟 2 𝑑𝑚)𝜔

trong đó 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝑑𝐼 = momen quán tính của 𝑑𝑚 đối với ∆.
Vậy momen động lượng của cả vật rắn cho bởi

𝐿�⃗ = � 𝑑𝐼𝜔
�⃗ = 𝐼𝜔
�⃗

Và định lý biến thiên momen động lượng cho ta phương trình:
𝑑𝐿�⃗
�⃗
𝑑𝜔
��⃗

=𝐼
=𝑀
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(8)

trong đó 𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = momen quán tính của vật rắn đối với ∆; còn

tốc góc của chuyển động quay của vật rắn.
Vậy (8) có thể được viết thành:

��⃗
𝐼𝛾⃗ = 𝑀

���⃗
𝑑𝜔
𝑑𝑡

= 𝛾⃗ là gia

(9)

Phương trình này gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn
xung quanh một trục. Từ (9) ta cũng có thể viết:
và ta có thể phát biểu:

𝛾⃗ =

��⃗

𝑀
𝐼

(10)

Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ thuận
với tổng hợp momen các ngoại lực đối với trục và tỉ lệ nghịch với momen quán tính


của vật rắn đối trục.
Phương trình (9) nêu lên mối liên hệ giữa ngoại lực tác dụng đối với vật rắn

��⃗ với sự thay đổi trạng thái chuyển động của vật
quay, đặc trưng bởi vectơ momen 𝑀

rắn quay, đặc trưng bởi vectơ gia tốc góc 𝛾⃗. Phương trình đó tương tự như phương

��⃗ có ý nghĩa
trình của định luật II Niutơn đối với chuyển động tịnh tiến 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗ ; 𝑀

tương tự như 𝐹⃗ ; 𝛾⃗ có ý nghĩa như 𝑎⃗ và momen quán tính 𝐼 có ý nghĩa tương tự như

khối lượng 𝑚. Vậy 𝐼 là đại lượng đặc trưng cho quán tính của vật rắn trong chuyển

động quay. Cắn cứ vào biểu thức của momen quán tính:
𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2
𝑖

(11)

ta thấy rằng quán tính của vật rắn quay không những phụ thuộc vào khối lượng mà
còn phụ thuộc vào khoảng cách từ các chất điểm của vật rắn đến trục quay. Hai vật
cùng một khối lượng nhưng khối lượng của vật nào được phân bố cách trục quay
càng xa thì quán tính của vật đó càng lớn. Điều này đã được thực nghiệm xác nhận.
1.3.3. Tính momen quán tính
Momen quán tính 𝐼 của vật rắn đối với một trục ∆ được tính theo công thức

(11):

trong đó

𝑚𝑖 𝑟𝑖2

𝐼 = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2
𝑖

là momen quán tính của chất điểm 𝑀𝑖 của vật rắn đối với trục và

phép cộng lấy cho tất cả các chất điểm của vật rắn. Nếu khối lượng của vật rắn phân
bố một cách liên tục, muốn tính momen quán tính 𝐼, ta chia vật rắn thành những
phần tử vô cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi phân 𝑑𝑚 và cách trục ∆ một
khoảng 𝑟; khi đó phép cộng ở vế phải của (11) trở thành phép lấy tích phân:
𝐼 = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 𝑟 2 𝜌𝑑𝑉

(12)

trong đó 𝜌 là khối lượng riêng của vật rắn liên tục; tích phân lấy đối với toàn bộ thể
tích 𝑉 của vật rắn.

Ta hãy áp dụng công thức (12) để xác định momen quán tính của một số vật

rắn:
1.3.3.1. Tính momen quán tính của một hình trụ tròn
Cho một hình trụ tròn đồng nhất (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) có bán kính 𝑅, có chiều cao ℎ đối
∆
với trục đối xứng của nó (đi qua khối tâm 𝐺).
Chia hình trụ thành những lớp trụ mỏng,

bán kính trong 𝑟, bán kính ngoài 𝑟 + 𝑑𝑟 (Hình

r

1-3). Khối lượng của lớp trụ mỏng sẽ bằng:

dr

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌ℎ2𝜋𝑟𝑑𝑟

Momen quán tính của hình trụ đối với trục
của nó bằng:
𝑅

𝑅

𝐼 = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 2𝜋𝜌ℎ𝑟 3 𝑑𝑟 =
𝑂

𝑂

Hình 1-3. Xác định momen
quán tính của khối trụ

1
𝜋𝜌ℎ𝑅 4
2

Chú ý: 𝜌𝜋𝑅2 ℎ = 𝑚 là khối lượng của cả

hình trụ, ta được:

1

𝐼 = 𝑚𝑅2
2

(13)

1.3.3.2. Tính momen quán tính của một số vật rắn
Cũng bằng cách làm tương tự, ta tìm được công thức tính momen quán tính của
một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng với trục của chúng (Hình 1-4):

∆

∆

𝐼 = 𝑀𝑅2

a) Vành tròn

𝐼=

∆

2
𝑀𝑅2
5

b) Khối cầu

1 2
(𝑎 + 𝑏2 )
12
c) Mặt chữ nhật

𝐼=

Hình 1-4. Momen quán tính của một số vật rắn


CHƯƠNG II. LÝ THUYẾT VỀ CON QUAY
2.1.

Nhắc lại về momen động lượng của vật rắn

Xét chuyển động của vật rắn quanh một điểm cố định 𝑂. Từ công thức (4) ta có

vectơ momen động lượng của vật rắn quay quanh một trục ∆ đi qua điểm 𝑂 với vận
�⃗ bằng:
tốc góc 𝜔

�⃗ = �[�𝑟⃗𝚤 ∧ 𝑚𝑣
���⃗𝚤 ]
𝐿
𝑖

với

���⃗𝚤 = [����⃗
𝜔 ∧ ���⃗
𝑟𝚤 ]
𝑣

(14)

trong đó 𝑟�⃗𝚤 là bán kính vectơ kẻ từ gốc 𝑂 đến chất điểm 𝑖.

Chọn hệ tọa độ Descartes gốc 𝑂 gắn liền với vật rắn (hệ 𝑂𝑥𝑦𝑧) để xác định các

thành phần 𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 của vectơ 𝐿�⃗.

Khi vật rắn chuyển động thì các vectơ đơn vị 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘�⃗ đặt trên các trục x, y, z

tương ứng thay đổi chiều, nhưng các momen quán tính không thay đổi. Lưu ý rằng:
𝑣⃗ = [𝜔
�⃗ ∧ 𝑟⃗] = 𝚤⃗𝑣𝑥 + 𝚥⃗𝑣𝑦 + 𝑘�⃗ 𝑣𝑧 ;
𝑣𝑥 = [𝜔
�⃗ ∧ 𝑟⃗]𝑥 = 𝜔𝑦 . 𝑧 − 𝜔𝑧 . 𝑦;

�⃗ ∧ 𝑟⃗]𝑦 = 𝜔𝑧 . 𝑥 − 𝜔𝑥 . 𝑧;

𝑣𝑦 = [𝜔

�⃗ ∧ 𝑟⃗]𝑧 = 𝜔𝑥 . 𝑦 − 𝜔𝑦 . 𝑥;
𝑣𝑧 = [𝜔

[𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗]𝑥 = 𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 = 𝜔𝑥 (𝑦 2 + 𝑧 2 ) − 𝜔𝑦 𝑥𝑦 − 𝜔𝑧 𝑥𝑧 ;

[𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗]𝑦 = 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = 𝜔𝑦 (𝑧 2 + 𝑥 2 ) − 𝜔𝑧 𝑦𝑧 − 𝜔𝑥 𝑦𝑥 ;
ta viết được:

trong đó:

[𝑟⃗ ∧ 𝑣⃗]𝑧 = 𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥 = 𝜔𝑧 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝜔𝑥 𝑧𝑥 − 𝜔𝑦 𝑧𝑦
𝐿�⃗ = 𝚤⃗𝐿𝑥 + 𝚥⃗𝐿𝑦 + 𝑘�⃗ 𝐿𝑧
𝐿𝑥 = 𝜔𝑥 𝐼𝑥 − 𝜔𝑦 𝐼𝑥𝑦 − 𝜔𝑧 𝐼𝑥𝑧 ;

𝐿𝑦 = 𝜔𝑦 𝐼𝑦 − 𝜔𝑧 𝐼𝑦𝑧 − 𝜔𝑥 𝐼𝑦𝑥 ;
𝐿𝑧 = 𝜔𝑧 𝐼𝑧 − 𝜔𝑥 𝐼𝑧𝑥 − 𝜔𝑦 𝐼𝑧𝑦

(15)


là các hình chiếu của 𝐿�⃗ trên các trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 của hệ di động 𝑂𝑥𝑦𝑧; 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 , 𝐼𝑧 là các
momen quán tính của vật rắn đối với các trục 𝑥, 𝑦, 𝑧 và 𝐼𝑥𝑦 , 𝐼𝑧𝑦 , 𝐼𝑧𝑥 là các momen

quán tính li tâm. Nếu chọn các trục x, y, z là những trục quán tính thì 𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑧𝑦 =
𝐼𝑧𝑥 = 0. Khi đó ta có:

𝐿𝑥 = 𝜔𝑥 𝐼𝑥 ; 𝐿𝑦 = 𝜔𝑦 𝐼𝑦 ; 𝐿𝑧 = 𝜔𝑧 𝐼𝑧

(16)

Từ đây ta thấy rằng khi quay vật rắn quanh trục quán tính thì momen động
lượng của nó nằm trên trục ấy.
2.2.

Chuyển động quay tự do của vật rắn

Ta hãy xét chuyển động tự do của vật rắn khi không có ngoại lực nào tác dụng
lên nó. Bởi vì khối tâm 𝐺 chuyển động thẳng đều, cho nên chúng ta không cần quan

tâm tới chuyển động của nó. Coi khối tâm đứng yên, chúng ta hãy khảo sát chuyển
động quay tự do của vật rắn quanh khối tâm 𝐺. Phương trình chuyển động quay
quanh điểm 𝐺 của vật rắn bây giờ có dạng:

𝑑𝐿�⃗
=0
𝑑𝑡

Do đó, vectơ momen động lượng của nó được bảo toàn:
𝐿�⃗ = �����������⃗
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Vì trong trường hợp chung vectơ 𝐿�⃗ không cùng chiều với 𝜔
�⃗, nên vectơ vận tốc

góc 𝜔
�⃗ nói chung không bảo toàn và phương của trục quay của vật rắn (phương của

�⃗) cũng biến thiên. Trong trường hợp vật rắn có hình cầu, do tính đối xứng

vectơ 𝜔

cầu của vật, ba momen quán tính của vật rắn đối với ba trục quán tính chính bằng
nhau 𝐼 = 𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 , thì:

�⃗
𝐿�⃗ = 𝚤⃗𝐿𝑥 + 𝚥⃗𝐿𝑦 + 𝑘�⃗ 𝐿𝑧 = 𝐼�𝚤⃗𝜔𝑥 + 𝚥⃗𝜔𝑦 + 𝑘�⃗ 𝜔𝑧 � = 𝐼𝜔

(17)

Vectơ momen động lượng bao giờ cũng cùng chiều với vectơ vận tốc góc và sự
�⃗. Vật rắn như vậy gọi là con quay cầu:
bảo toàn của 𝐿�⃗ kéo theo sự bảo toàn của 𝜔

con quay cầu tự do sẽ quay đều quanh một trục không đổi 𝐿�⃗.

Trong trường hợp vật rắn có hai trong ba momen quán tính bằng nhau 𝐼 = 𝐼𝑥 =

𝐼𝑦 ≠ 𝐼𝑧 thì vật rắn như vậy gọi là con quay đối xứng, hay gọn hơn là con quay.


Chuyển động quay tự do của con quay có những nét đặc biệt, suy ra từ định luật bảo
toàn năng lượng và vectơ momen động lượng của nó.
Năng lượng toàn phần của con quay chuyển động tự do quanh khối tâm 𝐺 bằng:
1
1
𝐼�𝜔𝑥2 + 𝜔𝑦2 � + 𝐼𝑧 𝜔𝑧2
2
2
1

1
= 𝐼𝜔2 + (𝐼𝑧 − 𝐼)𝜔𝑧2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
2
2

𝐸=𝑇=

(18)

trong đó 𝜔2 = 𝜔𝑥2 + 𝜔𝑦2 + 𝜔𝑧2 . Chú ý rằng 𝐿𝑥 = 𝐼𝜔𝑥 , 𝐿𝑦 = 𝐼𝜔𝑦 , 𝐿𝑧 = 𝐼𝜔𝑧 nên biểu
thức của động năng 𝑇 được viết:

𝑇=
=

1 2
1 2
�𝐿𝑥 + 𝐿2𝑦 � +
𝐿
2𝐼
2𝐼𝑧 𝑧

1 2 1 1 1 2
𝐿 + � − � 𝐿𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
2𝐼
2 𝐼𝑧 𝐼

(19)

Ở đây 𝐿2 = 𝐿2𝑥 + 𝐿2𝑦 + 𝐿2𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Vì 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ta suy ra

𝐿𝑧 = 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐼𝑧 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Từ đây ta có:

�𝑳⃗

𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

trong đó 𝜃 là góc tạo bởi 𝐿�⃗ và trục 𝑧 (Hình 1-5).
Vì 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 nên

𝑑𝜃
𝑑𝑡

= 0, nghĩa là thành

phần vận tốc góc của con quay nằm trên trục

x

G

z

𝜽

đi qua 𝐺 và vuông góc với mặt phẳng tạo
thành bởi vectơ 𝐿�⃗ và trục 𝑧 bằng không. Do

đó, vectơ 𝜔
�⃗ nằm trong mặt phẳng tạo thành

bởi 𝐿�⃗ và trục z.

y
Hình 1-5. Chuyển động quay tự
do của con quay đối xứng (1)

Vì 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜔𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, ta suy ra 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, nghĩa là độ lớn của vectơ vận

tốc góc được bảo toàn.

Động năng của con quay được biểu diễn qua tích vô hướng của 𝐿�⃗ và 𝜔
�⃗:
𝑇=

1
1
1
�𝐿𝑥 𝜔𝑥 + 𝐿𝑦 𝜔𝑦 + 𝐿𝑧 𝜔𝑧 � = 𝐿�⃗𝜔
�⃗ = 𝐿𝜔𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
2
2
2

Ở đây 𝛼 là góc tạo thành bởi vectơ 𝐿�⃗ và 𝜔
�⃗ (Hình 1-6). Do 𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐿 =


𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 nên 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝜃 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Chuyển động của con quay tự do là

hợp của hai chuyển động: chuyển động
quay quanh trục 𝑧 với vận tốc góc ����⃗
𝜔1 và
cùng với trục 𝑧 quay quanh trục 𝐿�⃗ =

�����������⃗
𝜔2 𝜔
�⃗ = ����⃗
𝜔1 + 𝜔
�����⃗.
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 với vận tốc góc �����⃗,
2
Vì 𝜔, 𝛼 và (𝜃 − 𝛼) không đổi nên độ lớn

của 𝜔1 và 𝜔2 cũng không đổi.

𝐿�⃗

𝜔2

Tóm lại, ta có hình ảnh sau đây của

chuyển động quay tự do của con quay
trong
trường hợp tổng quát: nó quay đều quanh
trục đối xứng 𝑧 của nó, trục 𝑧 lại quay đều

𝜃
𝛼

𝜔
�⃗

𝑧

𝜔1

𝐺

quanh vectơ momen động lượng 𝐿�⃗ = �����������⃗
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 và vạch nên một hình nón tròn xoay có

tâm tại khối tâm và trục là vectơ không đổi 𝐿�⃗. Chuyển động quay của trục 𝑧 quanh

vectơ momen động lượng 𝐿�⃗ gọi là tiến động của con quay. Vectơ vận tốc góc 𝜔
�⃗ có
độ lớn không đổi, luôn nằm trong mặt phẳng (𝐿�⃗, 𝑧) và cùng với trục 𝑧 quay đều

quanh vectơ 𝐿�⃗.
2.3.

Chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định. Con quay

hồi chuyển
Ta hãy xét chuyển động của con quay trong trường trọng lực, quanh điểm cố
định 𝑂 nằm trên trục đối xứng 𝑧 của nó (Hình 1-7).


𝜔
�⃗

𝐿�⃗

𝑧
𝑣⃗

𝜃

𝑂

𝑃�⃗

Hình 1-7. Chuyển động của con quay trong trường trọng lực quanh điểm cố định
Giả sử con quay quay nhanh quanh trục đối xứng 𝑧 của nó với vận tốc góc 𝜔
����⃗𝑧

rất lớn thỏa mãn điều kiện sau:

𝜔𝑧 ≫ �����⃗
����⃗
𝜔𝑥 ; ����⃗
𝜔𝑧 ≫ �����⃗
𝜔𝑦

Khi đó, ta có thể bỏ qua các thành phần 𝐿𝑥 ~ 𝜔𝑥 , 𝐿𝑦 ~ 𝜔𝑦 rất bé so với 𝐿𝑧 ~ 𝜔𝑧

và coi momen động lượng 𝐿�⃗ ≈ 𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝑘�⃗ nằm trên trục z.

Momen của trọng lực 𝑃�⃗ đối với điểm cố định 𝑂, tác dụng lên con quay bằng:
�����⃗ ∧ 𝑃�⃗� = 𝑎�𝑘�⃗ ∧ 𝑃�⃗� = −𝑎�𝑃�⃗ ∧ 𝑘�⃗ �

��⃗ = �𝑂𝐺
𝑀

trong đó �����⃗
𝑂𝐺 = 𝑎𝑘�⃗ là vectơ kẻ từ gốc 𝑂 đến khối tâm 𝐺, 𝑘�⃗ là vectơ đơn vị đặt theo

�����⃗ � = 𝑎.
trục z, �𝑂𝐺

Theo định lý về sự biến thiên của momen động lượng, ta có:

hay:

𝑑𝐿�⃗
𝑑
��⃗
= �𝐼𝑧 𝜔𝑧 𝑘�⃗ � = 𝑀
𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝜔𝑧
𝑑𝑘�⃗
�⃗
𝑘 + 𝐼𝑧 𝜔𝑧
= 𝑎�𝑘�⃗ ∧ 𝑃�⃗� = −𝑎�𝑃�⃗ ∧ 𝑘�⃗ �
𝐼𝑧
𝑑𝑡
𝑑𝑡

(20)