điểm bất động của ánh xạ đa trị và những kết quả xấp xỉ bất biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----

Nguyễn Phong Phú

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----o0o-----

Nguyễn Phong Phú
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ NHỮNG KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

2

LỜI CẢM ƠN
Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hóa đã tận tâm hướng dẫn,
chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn quý thầy, cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại
học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học tự nhiên và
phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm quý báo cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Xin trân thành cảm ơn các bạn lớp cao học Giải tích khóa 21 đã động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên luận văn có thể có
nhiều thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đóng góp
ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn.


3

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................2
MỤC LỤC ...................................................................................................................3
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................4
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .............................................................................5
1.1. Không gian mêtric .........................................................................................5
1.2. Không gian định chuẩn với chuẩn p ..............................................................5
1.3. Ánh xạ đa trị ..................................................................................................6
1.4. Ánh xạ co đa trị .............................................................................................6
1.5. Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric ................................................6

1.6. Không gian đối ngẫu......................................................................................7
1.7. Tập lồi, tập hình sao ......................................................................................7
1.8. Tập có tính chất N .........................................................................................8
1.9. Ánh xạ có tính chất C ....................................................................................8
1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán ...........................................................10
1.11. Một số định nghĩa ........................................................................................13
CHƯƠNG II: MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN ..................................................................14
2.1. Định lí 2.1......................................................................................................14
2.2. Định lí 2.2.......................................................................................................14
2.3. Định lí 2.3.......................................................................................................18
2.4. Định lí 2.4.......................................................................................................22
2.5. Định lí 2.5.......................................................................................................22
2.6. Định lí 2.6.......................................................................................................23
CHƯƠNG III: ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ ĐA TRỊ ..........25
3.1. Định lí 3.1.......................................................................................................25
3.2. Định lí 3.2.......................................................................................................31
3.3. Định nghĩa ......................................................................................................40
3.4. Định lí 3.3.......................................................................................................41
PHẦN KẾT LUẬN ...................................................................................................43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................44


4

LỜI MỞ ĐẦU
Năm 1963 Meinadus đã kết hợp điểm bất động và phép xấp xỉ tối ưu trong
không gian hàm đã phát hiện một số tính chất của hàm không thay đổi trong một vài
giả thiết. Sau đó nhiều tác giả đã nghiên cứu về điều này với những giả thiết thay
đổi như Brosowski, Subrahmanyam, Singh, Hick, Humphries…Với giả sử

( X , . ) là không gian định chuẩn, T , I : X → X là ánh xạ R-giao hoán yếu (R p

giao hoán dưới yếu). Điều kiện nào để T và I có chung điểm bất động.
Năm 1969 Nadler là người đã đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị (ánh xạ nhận giá
trị là các tập hợp con của một tập hợp nào đó) và chứng minh mỗi ánh xạ co đa trị
trên một tập con đóng bị chặn của không gian mêtric Haudorff đều có điểm bất
động. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị (ánh xạ không là tự xạ) trên không gian
mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric được Assad và Kirk đưa ra. Tiếp tục nghiên cứu về

(

)

ánh xạ đa trị trên không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric X , d p , tập K con

X , K đóng, khác rỗng; cho cặp ánh xạ đa trị F , G : K → CB ( X ) . Điều kiện nào
để có điểm z trong K mà z ∈ Fz ∩ Gz .
Các vấn đề trong luận văn này trình bày được trình bày theo hai nội dung nói
trên dựa trên các kiến thức, kết quả đã học và tìm hiểu trong quá trình làm luận văn.
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương:
Chương I: Một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian định

(

chuẩn X , .

p

) , ánh xạ đa trị, ánh xạ co đa trị, không gian đầy đủ và lồi theo

metric, cặp ánh xạ Lipschits, R giao hoán yếu (dưới yếu), tập có tính chất
(N), tập lồi, tập hình sao, ánh xạ có tính chất (C), định nghĩa ánh xạ
(demiclosed, cô đặc, hemicompact, demicompact, liên tục hoàn toàn)….
Chương II: Định lí điểm bất động của cặp ánh xạ không giãn trên không

(

gian định chuẩn X , .

p

).

Chương III: Định lý điểm bất động của cặp ánh xạ đa trị trên không gian
mêtric đầy đủ và lồi theo metric (định nghĩa trong chương I).


5

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1.

Không gian mêtric

Không gian mêtric là một cặp ( X , ρ ) , trong đó X là một tập hợp,
ρ : X × X →  là một hàm số xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện

sau:
ρ ( x, y ) ≥ 0

i)

ρ ( x, y ) = 0 ⇔ x = y

với x, y ∈ X

ii ) ρ ( x, y ) = ρ ( y, x )
iii ) ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ) ≥ ρ ( x, z )

1.2.

Không gian định chuẩn với chuẩn p
Cho X là một không gian tuyến tính, một p – chuẩn trên X là một hàm thực trên
X với 0 < p ≤ 1 thỏa mãn điều kiện

(i )
( ii )
( iii )

x

p

αx

≥ 0, x
p

x+ y

=α
p

p
p

=0 ⇔ x =0
x

p

≤ x p+ y

p

Trong đó x, y ∈ X , α là đại lượng vô hướng

(

Cặp X , .

p

) gọi là không gian định chuẩn với chuẩn p

Nó là một không gian mêtric tuyến tính với metric bất biến đối với phép dời d p
xác định bởi d p =
x − y p , x, y ∈ X
d p ( x, y ) = x − y

p

≥0

d p ( x, y ) = 0 ⇔ x − y
d p ( x, y ) = x − y

p

, ∀x, y ∈ X
p

=0⇔ x− y =0⇔ x = y

=y − x

d p ( x, y ) + d p ( y, z ) =x − y

p
p

=d p ( y, x )
+ y−z

p

≥ x− y+ y−z

p

Nếu p = 1 ta được không gian định chuẩn thông thường

=x − z

p

=d p ( x, z )


6

Không gian l p , Lp , 0 < p ≤ 1 là không gian định chuẩn với chuẩn p
Cho ( X , d ) là không gian mêtric đầy đủ
CB ( X ) là tập hợp các tập con khác rỗng đóng, bị chặn của X

Tập N ( ε , C ) =

{ x ∈ X / d ( x, c ) < ε , ∀c ∈ C} nếu ε > 0 và C ∈ CB ( X )

H ( A, B ) =
inf {ε / A ⊂ N ( ε , B ) , B ⊂ N ( ε , A )} nếu A, B ∈ CB ( X )
H là mêtric Hausdorff cảm sinh bởi mêtric d

=
Đặt D ( x, A ) inf {d ( x, y ) : y ∈ A} với x ∈ X và A ⊆ X

1.3.

Ánh xạ đa trị

Cho X , Y là hai tập bất kì. Cho F : X → CB (Y ) là ánh xạ từ X vào tập gồm các
tập con của Y .
Ta gọi F là ánh xạ đa trị từ X vào Y .
1.4.

Ánh xạ co đa trị

Cho hai không gian mêtric ( X , d1 ) , (Y , d 2 ) . Ánh xạ F : X → CB (Y ) được gọi là
ánh xạ co đa trị nếu và chỉ nếu H ( Fx, Fz ) ≤ α d1 ( x, z ) , với x, z ∈ X , α ∈ [ 0,1)
1.5.

Không gian mêtric đầy đủ và lồi theo mêtric

Không gian mêtric đầy đủ ( X , d ) được gọi là lồi theo mêtric nếu với mỗi
d ( x, y )
x, y ∈ X , x ≠ y thì tồn tại z ∈ X , z ≠ x, z ≠ y thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) =

Nếu K là tập con đóng khác rỗng của X, với mỗi x ∈ K và y ∉ K thì tồn tại z ∈ ∂K
(biên của K ) thỏa d ( x, z ) + d ( z , y ) =
d ( x, y )


7

1.6.

Không gian đối ngẫu

Cho X là một không gian định chuẩn.

Không gian liên hợp (không gian đối ngẫu) của X,
Kí hiệu X* là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
X * tách mỗi điểm của X theo nghĩa với mỗi x ≠ θ , x ∈ X thì tồn tại

f ∈ X*

( f : X → K ) thỏa f ( x ) ≠ 0

Trong trường hợp không gian tôpô yếu trên X thì xác định tốt hơn và gọi là
Hausdorff
Lưu ý, nếu X không là không gian lồi địa phương thì X * không cần tách điểm
của X
=
X Lp [ 0,1] , 0 < p < 1 thì X * = {0}
Ví dụ: Nếu

Tuy nhiên có một vài không gian X không lồi địa phương mà không gian
đối ngẫu X * tách điểm của X như không gian định chuẩn l p , 0 < p < 1
1.7.

Tập lồi, tập hình sao

Cho M là tập con khác rỗng của không gian mêtric ( X , d )
Tập M được gọi là q − starshaped (q - hình sao) với q ∈ M nếu
kx + (1 − k ) q ∈ M với mọi x ∈ M và k ∈ [ 0;1]

Tập M được gọi là lồi nếu kx + (1 − k ) y ∈ M với mỗi x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1]
Ánh xạ f : M → M gọi là affine nếu M lồi và
f ( kx + (1 − k ) y ) = kfx + (1 − k ) fy ∈ M với mỗi x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1]

Một mở rộng khác của khái niệm hình sao được giới thiệu bởi Naimpally et all
như sau


8

1.8.

Tập có tính chất N

Tập M có tính chất (N) nếu tồn tại tự xạ T trên M tồn tại q ∈ M và một dãy số
thực cố định kn → 1 , 0 < kn < 1 và (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1
1.9.

Ánh xạ có tính chất C

Một ánh xạ I được gọi là có tính chất (C) trên tập M với tính chất (N) nếu
I ( (1 − kn ) q + knTx ) =−
(1 kn ) Iq + kn ITx với mỗi x ∈ M và n > 1

Mỗi ánh xạ affine trên tập M q-hình sao thỏa điều kiện (C)
Vì tập M q-hình sao nên M có tính chất (N)
Mỗi ánh xạ affine I : M → M thỏa I ( kx + (1 − k ) y ) = kIx + (1 − k ) Iy ∈ M với mỗi
x, y ∈ M và k ∈ [ 0;1]

Nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =−
(1 kn ) Iq + kn ITx với mỗi x ∈ M và n > 1
2
Ví dụ: Cho=
X =

,M

{( 0, y ) : y ∈ [ −1,1]} ∪ 1 − n 1+ 1 , 0  , n ∈   ∪ {1, 0} với metric






cảm sinh bởi chuẩn ( a, b ) =
a+b
, ( a, b ) ∈  2 .
Định nghĩa T trên M như sau
1
1 

 
, T 1 −
,0 =
 0,1 −

1+ n 
 1+ n  

T ( 0, y ) =
( 0, − y )

Hiển nhiên M thì không hình sao nhưng M có tính chất (N)
Lấy q = ( 0, 0 ) và kn = 1 −

1
1+ n

M không hình sao
=
q

( 0, 0 ) ∈ M



1

;0  ∈ M và k ∈ [ 0;1]
n +1 

Với x =
1 −

, T (1, 0 ) =
( 0,1)


9

1 
1
1 

 

;0  + 1 − 1 +
kx + (1 − k ) q = 1 −
 1 −
 ( 0;0 )
n +1
 n +1   n +1  
2

1   
1 
1  
1−
. 1 −
=
 1 −
 ;0  =
 ;0 

1
1
1
n
n
n
+
+
+




 



⇒ kx + (1 − k ) q ∉ M

=
q
M có tính chất (N) với

( 0, 0 ) ∈ M và

kn = 1 −

1
1+ n

0 < k n < 1
1
n
kn =
1−
= ⇒
1 + n n + 1 kn → 1 khi n → ∞

Ta chứng minh (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1
Vì
 y ∈ [ −1,1] ⇒ − y ∈ [ −1,1] ⇒ −kn y ∈ [ −1,1]

1

n

=
⇒ −kn2 ∈ [ −1,1]
 kn = 1 −
n +1 n +1


( 0, kn ) ∈ M
1
n +1

và (1 − kn ) q = q =
q∈M
Nên với mỗi x ∈ M và n > 1 thì (1 − kn ) q + knTx ∈ M

Định nghĩa I ( 0, y ) =−
I 1


1

,0 =
( 0;0 )
1+ n 

, I (1, 0 ) =
(1, 0 )

0

1

Thì TIx − ITx =

Trường hợp 1: x = ( 0; y )
1


TIx − ITx = TI 1 −
;0  − IT ( 0; y ) = T ( 0;0 ) − I ( 0; − y ) = ( 0;0 ) − ( 0;0 ) = 0 + 0 = 0
 1+ n 
Trường hợp 2: x = ( 0;1)
TIx − ITx = TI ( 0;1) − IT ( 0;1) = T (1;0 ) − I ( 0; −1) =

( 0;1) − ( 0, 0 )

=

( 0;1)

= 0 +1=1


10

Như vậy ∀x ∈ M TIx − ITx ≤ R knTx − Ix

, R ≥ 1, q=

( 0, 0 ) ∈ F ( I )

Vậy I , T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M
Một không gian định chuẩn ( X , p ) thỏa mãn điều kiện Opial nếu mỗi dãy { xn } hội
tụ yếu đến x ∈ X , bất đẳng thức lim inf d p ( xn , x ) < lim inf d p ( xn , y ) , ∀x ≠ y
n →∞

n →∞

1.10. Cặp ánh xạ Lipschitz, R – giao hoán
Cho X là một không gian mêtric tuyến tính và M là một tập con khác rỗng của X
Cho ánh xạ I : M → X
Ánh xạ T : M → X gọi là I-Lipschitz nếu ∀x, y ∈ X thì tồn tại k > 0 thỏa
d (Tx, Ty ) ≤ kd ( Ix, Iy )

Nếu k < 1 ( k = 1 ) thì T gọi là I -co ( I -nonexpansive, I – không giãn).
Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là giao hoán nếu TIx = ITx với mỗi x ∈ M
Hai tự ánh xạ T và I trên M gọi là R-giao hoán yếu nếu và chỉ nếu
d ( ITx, TIx ) ≤ Rd (Tx, Ix )

,x∈M,R > 0

Nếu R = 1 thì gọi là ánh xạ giao hoán yếu
Cho M là một q-hình sao với q ∈ F ( I ) và cả T và I bất biến
( F ( I ) tập các điểm bất động của ánh xạ I )
Sau đó, Shahzad gọi T và I là R-giao hoán yếu trên M nếu tồn tại số thực R > 0
mà d ( ITx, TIx ) ≤ R.d ( kTx + (1 − k ) q, Ix ) , x ∈ M , k ∈ [ 0,1]
Nếu R = 1 thì gọi là 1-giao hoán dưới yếu (1-subweakly commuting)
Lớp ánh xạ R-giao hoán dưới yếu có những tính chất của lớp ánh xạ giao hoán
Mở rộng khái niệm ánh xạ R-giao hoán dưới yếu trên miền không phải hình sao như
sau

11

Cho I , T là hai tự xạ trên M , có một họ hàm F = { f x }x∈M là họ hàm
f x : [ 0,1] → M mà f x (1=
) x , ∀x ∈ M

Họ F gọi là co nếu tồn tại một hàm φ : ( 0,1) → ( 0,1) , ∀x, y ∈ M , t ∈ ( 0,1) thỏa
d p ( f x ( t ) , f y ( t ) ) ≤ φ ( t )  d p ( x, y )
p

Khi đó nói I , T là những ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R > 0
thỏa (1.1)

d p ( ITx, TIx ) ≤ Rd p ( fTx ( k ) , Ix )

, k ∈ [ 0,1] , x ∈ M

Giả sử M là q-hình sao với q ∈ F ( I ) , f x ( k ) = kx + (1 − k ) q

, k ∈ [ 0,1] , x ∈ M và

M là I -bất biến và T -bất biến thì (1.1) có thể qui về khái niệm R-giao hoán

dưới yếu của T và I
Giả sử M là I -bất biến và T -bất biến, M có tính chất (N) với q ∈ F ( I )
Thì I , T là ánh xạ R-giao hoán dưới yếu nếu tồn tại số thực R > 0 mà
d p ( ITx, TIx ) ≤ Rd p ( (1 − kn ) q + knTx, Ix )

, x ∈ M , {kn } ⊂ M , M có tính chất (N)

Ví dụ: Cho M= [1, ∞ ) với mêtric thực thông thường
Định nghĩa Tx =4 x − 3, Ix =2 x 2 − 1

,x∈M

Thì I , T là R-giao hoán dưới yếu nhưng không giao hoán trên M
I , T không giao hoán trên M

∀x ∈ M
TIx= T ( 2 x 2 − 1)= 4 ( 2 x 2 − 1) − 3= 8 x 2 − 7


 ⇒ TIx ≠ ITx
2
ITx
= I ( 4 x − 3=
) 2 ( 4 x − 3) −=1 32 x 2 − 48 x + 17 

I , T là R-giao hoán dưới yếu trên M


12

∀x ∈ M , k ∈ [ 0;1] , q ∈ F ( I )
kTx + (1 − k ) q= 4kx − 3k + (1 − k ) q
d ( ITx; TIx )= 24 x 2 − 48 x + 24 = 24 ( x − 1)

2

d ( kTx + (1 − k ) q; Ix )= 2 x 2 − 1 − 4kx + 3k + (1 − k ) q
= 2 x 2 − 4 x + 4 x + 2 − 2 − 1 − 4kx + 3k + (1 − k ) q
= 2 x 2 − 4 x + 2 + 4 x − 4kx − 3 + 3k + (1 − k ) q
= 2 ( x − 1) + (1 − k )( 4 x − 3 − q ) ≥ 2 ( x − 1)
2

2

Vì
∀x ∈ M = [1; ∞ ) ⇒ x ≥ 1 ⇒ 4 x ≥ 4 ⇒ 4 x − 4 ≥ 0






q = 1

 ⇒ 4 x − 3 − q ≥ 0
q ∈ F ( I ) ⇒ q= 2q 2 − 1 ⇔ 
⇒ q ≤ 1 ⇒ 1 − q ≥ 0
 ⇒ (1 − k )( 4 x − 3 − q ) ≥ 0
1
q = −



2




k ∈ [ 0;1] ⇒ k ≤ 1 ⇒ 1 − k ≥ 0

Chọn R = 12 ta có d ( ITx; TIx ) ≤ 12d ( kTx + (1 − k ) q; Ix )
Cho M là tập con của không gian định chuẩn X và F = { f x }x∈M là họ hàm
f x : [ 0,1] → M mà f x (1=
) x , ∀x ∈ M

Họ F gọi là liên tục điểm (yếu) nếu t → t0 trong [ 0,1] , x → x0 ( x → x0 yếu) trong M
thì f x ( t ) → f x ( t0 ) ( f x ( t ) → f x ( t0 ) yếu) trong M
0

0

Thấy rằng nếu M ⊆ X là q-hình sao và f x ( t ) =(1 − t ) q + tx thì F là họ co liên tục tại
điểm và liên tục yếu tại điểm với φ ( t ) = t
Như vậy lớp các tập con của X mà co và liên tục chứa trong lớp các tập hình sao và
chứa lớp các tập lồi.


13

1.11. Một số định nghĩa
Một ánh xạ T : M → X là
(i)

T demiclosed (đóng một phần) tại 0 nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M hội tụ yếu
về x và {Txn } hội tụ mạnh về 0 thì Tx = 0

(ii)

T cô đặc nếu T liên tục và mỗi tập con khác rỗng bị chặn B của M với
α ( B ) > 0, T ( B ) bị chặn và α (T ( B ) ) < α ( B ) , trong đó

α=
( B ) inf {r > 0} B được phủ bởi những tập có đường kính nhỏ hơn

hoặc bằng r.
(iii)

T hemicompact (nửa compact) nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M có một dãy con
hội tụ khi d p ( xn , Txn ) → 0 khi n → ∞

(iv)

T demi compact (compact một phần) nếu T liên tục và mỗi dãy bị
chặn { xn } ⊂ M mà {Txn − xn } hội tụ trong X, có một dãy con hội tụ.

(v)

T liên tục hoàn toàn nếu mỗi dãy { xn } ⊂ M hội tụ yếu về x thì {Txn }
hội tụ về {Tx}

Cho ánh xạ I : M → M và u ∈ X , Al-Thagafi định nghĩa các tập

(i )

CMI ( u ) =∈
{ x M : Ix ∈ PM ( u )}

( ii )

I
D=
PM ( u ) ∩ CMI ( u )
M (u )

dist ( u , M )} là tập xấp xỉ tối ưu của
ở đây PM ( u ) =
{ x ∈ M : d ( x, u ) =

u∈ X \ M ,

ở đây
=
dist ( u , M ) inf {d ( y, u ) : y ∈ M }


14

CHƯƠNG II:

MỘT SỐ KẾT QUẢ XẤP XỈ BẤT BIẾN VỀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CẶP ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Sử dụng định lí 1 của Pant
2.1. Định lí 2.1
Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T , I : X → X là những ánh xạ R-giao
hoán yếu mà T ( X ) ⊂ I ( X ) và d (Tx, Ty ) < d ( Ix, Iy ) , Ix ≠ Iy . Nếu T hoặc I liên
tục thì F (T ) ∩ F ( I ) ≠ ∅ ( có ít nhất một điểm chung).

2.2. Định lí 2.2

(

Cho T , I là những tự xạ trên tập con M của không gian định chuẩn X , .

p

).

Giả sử M có họ ánh xạ co và liên tục F = { f x }x∈M mà
I ( f=
f I ( x ) (α ) , x ∈ M , α ∈ ( 0,1) . Giả sử T là I-không giãn và M = IM , T
x (α ) )

và I là R-giao hoán dưới yếu. Nếu T liên tục thì T và I có điểm bất động chung
nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
(i)

M đầy đủ, cl(T(M)) compact

(ii)

M compact

(iii)

M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv)

M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demi compact

(v)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn

(vi)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu và

họ F = { f x }x∈M liên tục yếu thay cho liên tục
Chứng minh
Đặt λn =

n
và định=
nghĩa Tn x fT ( x ) ( λn ) , x ∈ M .
n +1


15

Nhận xét rằng Tn là một tự xạ xác định tốt trên M.
Vì λ=
n

n
⇒ 0 < λn < 1 ⇒ λn ∈ [ 0;1]
n +1

T :M → M

Tn : M → M

x  Tn x =
fT ( x ) ( λn )

x  Tx ⊂ M

Họ F = { f x }x∈M với
f x : [ 0;1] → M
, ∀x ∈ M

1 x

Cho x, y ∈ M , x ≠ y
Ta có họ F = { f x }x∈M co nên tồn tại hàm φ : ( 0;1) → ( 0;1)
Thỏa d p ( f x ( t ) ; f y ( t ) ) ≤ φ ( t )  d p ( x; y )
p

Nên

( 2.0 )

d p (Tn x, Tn y ) =
d p ( fTx ( λn ) , fTy ( λn ) ) ≤ (φ ( λn ) ) d p (Tx, Ty ) < d p (Tx, Ty ) =
Tx − Ty
p

Vì T liên tục và bất đẳng thức (2.0) nên Tn liên tục trên M.
Như vậy Tn x ≠ Tn y , x, y ∈ M ,
T là I-không giãn ⇒ d p (Tx; Ty ) ≤ d p ( Ix; Iy )
Nên d p (Tn x, Tn y ) ≤ d p ( Ix, Iy )
Nhưng I ( f x (α ) ) = f I ( x ) (α ) (giả thiết)
T , I là R giao hoán dưới yếu ⇒ d p ( ITx; TIx ) ≤ Rd p ( fTx ( λn ) ; Ix ) với mỗi x ∈ M

(

)

Với Tn Ix fTI ( x ) ( λn )=
=
ITn x I=
fT ( x ) ( λn )
f IT ( x ) ( λn )

(

)

Và vì tính chất của họ F cho ta d p fTI ( x ) ( λn ) ; f IT ( x ) ( λn ) ≤ (φ ( λn ) ) d p (TIx, ITx )
Nên

p

p


16

(

))

(

(

d p (Tn Ix, ITn x ) d=
d p fTI ( x ) ( λn ) , f IT ( x ) ( λn )
=
p fTI ( x ) ( λn ) , I fT ( x ) ( λn )

)

≤ (φ ( λn ) ) d p (TIx, ITx ) ≤ (φ ( λn ) ) Rd p ( fTx ( λn ) , Ix ) =
(φ ( λn ) ) Rd p (Tn x, Ix )
p

p

p

Điều này cho thấy Tn và I là (φ ( λn ) ) R-giao hoán yếu trên M với mỗi n ≥ 1
p

Tn ( M ) ⊂ M =
I (M )

và

Sử dụng kết quả trên và định lí 2.1 ta chứng minh định lí 2.2
(i)

( X , d ) là không gian mêtric đầy đủ
p

Tn và I là (φ ( λn ) ) R-giao hoán yếu trên M với mỗi n ≥ 1
p

Tn ( M ) ⊂ M= I ( M ) ⇒ Tn ( M ) ⊂ I ( M )
d p (Tn x, Tn y ) ≤ d p ( Ix, Iy )

khi

Ix ≠ Iy

Tn liên tục

xn T=
Ixn
Nên theo định lí 2.1 với mỗi n ≥ 1 có một xn ∈ M mà=
n xn

Vì cl(T(M)) compact, {Txn } có dãy con {Txm } hội tụ về z khi m → ∞
Tính liên tục của F cho ta =
xm Tn=
xm fT ( x ) ( λm ) → f z =
(1) z khi m → ∞

m

Vì T liên tục nên Txm → Tz khi m → ∞
Do đó Tz = z ⇒ z ∈ F ( z )
Từ TM ⊂ IM thì =
z Tz
= Iy

, y∈M

d p ( xm , z )
Thêm nữa, d p (Txm , Ty ) ≤ d p ( Ixm , Iy ) =

Cho m → ∞ được d p (Tz , Ty ) ≤ d p ( z , z ) =0 ⇒ d p (Tz , Ty ) =0 ⇒ Tz =Ty
Do đó =
z Iy
= Tz= Ty
Từ T và I là R-giao hoán dưới yếu nên
d p (Tz , Iz ) = d p (TIy, ITy ) ≤ Rd p (Ty, Iy ) = 0
⇒ d p (Tz , Iz ) =0 ⇒ Tz =Iz

Khi đó =
z Tz
= Iz


17

Vậy z ∈ F (T ) ∩ F ( I )
(ii)

Vì M compact nên M đầy đủ, T liên tục
Suy ra clT ( M ) compact
Nên theo (i) ta có z ∈ F (T ) ∩ F ( I )

(iii)

xn T=
Ixn
Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà=
n xn

Vì T compact và { xn } bị chặn trong F ( I ) , nên {Txn } có dãy con {Txm }
hội tụ về z khi m → ∞
Vì F liên tục nên ta có =
xm Tn=
xm fT ( x ) ( λm ) → f z =
(1) z khi m → ∞
m

Khi đó Txm → Tz khi m → ∞ do đó có giới hạn Tz = z ⇒ z ∈ F (T )
Từ TM ⊂ IM thì =
z Tz
= Iy
(iv)

, y ∈ M (kết quả như (i))

xn T=
Ixn .

Như trong (i), với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà=
n xn

Do { xn } bị chặn và { xn − Ixn } hội tụ về 0, vì I demi compact (compact một
phần), { xn } có dãy con { xm } hội tụ đến z khi m → ∞
Vì T liên tục, {Txm } hội tụ về Tz khi m → ∞
Ngoài ra, =
xm Tn=
xm fT ( x ) ( λm ) → fTz =
(1) Tz khi m → ∞
m

Do tính duy nhất của giới hạn, ta có Tz = z ⇒ z ∈ F (T )
Từ TM ⊂ IM thì =
z Tz
= Iy
(v)

, y ∈ M (kết quả như (i))

xn T=
Ixn
Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà=
n xn

Do M compact yếu nên { xn } có dãy con { xm } hội tụ yếu về
y ∈ M khi m → ∞

Vì T liên tục hoàn toàn, {Txm } hội tụ về {Ty} khi m → ∞
Ngoài ra, =

xm Tn=
xm fT ( x ) ( λm ) → fTy =
(1) Ty khi m → ∞
m

Do Txm → T 2 y khi m → ∞
Nên T 2 y = Ty ⇒ Tz = z với =
z Tz ∈ F (T )


18

Như trong (i), ta sẽ có z ∈ F ( I )
(vi)

xn T=
Ixn
Theo định lí 2.1, với mỗi n ≥ 1 có xn ∈ M mà=
n xn

Tập M compact yếu nên { xn } có dãy con { xm } hội tụ yếu về
y ∈ M khi m → ∞

I liên tục yếu nên Iy = y
Từ T liên tục yếu nên Txm hội tụ yếu về Ty khi m → ∞ và họ ánh xạ F liên
tục yếu nên ta có=
xm T=
fT ( x ) ( λm ) hội tụ yếu đến
n xm
m

=
fT y (1) Ty khi m → ∞

Sử dụng tính chất Hausdorff của tôpô yếu ta được y = Ty .
Theo (i) ta có kết quả cần chứng minh

2.3. Định lí 2.3

(

Cho T, I là các tự xạ trên M là tập con của không gian định chuẩn X , .

p

).

Giả sử M có tính chất (N) với q ∈ F ( I ) , I thỏa mãn điều kiện (C) , T là I-không
giãn và M = IM. Cho T và I là R-giao hoán dưới yếu trên M. Nếu T liên tục thì
T và I có điểm bất động chung nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
(i)

M đầy đủ, cl(T(M)) compact

(ii)

M compact

(iii)

M đầy đủ, F(I) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv)

M đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact

(v)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, T liên tục hoàn toàn.

(vi)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I và T liên tục yếu

(vii)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu,

I-T demiclosed tại 0
(viii) X * tách điểm của X, X đầy đủ, M compact yếu, I liên tục yếu và X thỏa
điều kiện Opial
(ix)

M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ hemicompact


19

M đầy đủ, bị chặn và T là ánh xạ cô đặc.

(x)

Chứng minh
Lập Tn : M → M

( 2.1)

Tn ( x =
) knTx + (1 − kn ) q

Trong đó x ∈ M , {kn } là dãy số thực hội tụ về 1 và 0 < kn < 1
Vì tập M có tính chất (N) nên knTx + (1 − kn ) q ∈ M và T liên tục
Nên Tn là tự xạ xác định tốt và liên tục trên M
M có tính chất (N) với q ∈ F ( I ) ⊂ M nên có một dãy số thực cố định
kn → 1 , 0 < kn < 1 và (1 − kn ) q + knTx ∈ M với mỗi x ∈ M và n > 1

Ánh xạ I có tính chất (C) trên tập M nên I ( (1 − kn ) q + knTx ) =−
(1 kn ) Iq + kn ITx với
mỗi x ∈ M và n > 1
T là I-nonexpansive ⇒ d p (Tx; Ty ) ≤ d p ( Ix; Iy )

, x, y ∈ M , x ≠ y

Với x, y ∈ M , x ≠ y ta có

( 2.2 )

d p (Tn x, Tn y ) ≤ ( kn ) d p (Tx, Ty ) < d p (Tx, Ty )
p

Cho x, y ∈ M và Tn x ≠ Tn y , T là I không giãn và (2.2) cho ta
d p (Tn x, Tn y ) < d p ( Ix, Iy )

Vì I thỏa điều kiện (C) và Iq = q , nên với x ∈ M
d p (Tn Ix,=
ITn x ) d p ( knTIx + (1 − kn ) q, kn ITx + (1 − kn ) q ) ≤ ( kn ) d p (TIx, ITx )
p

≤ ( kn ) Rd p ( knTx + (1 − kn ) q, Ix ) =
( kn ) Rd p (Tn x, Ix )
p

p

⇒ d p (Tn Ix, ITn x ) ≤ ( kn ) Rd p (Tn x, Ix )
p

I (M )
Như vậy Tn và I là ( kn ) R-giao hoán yếu trên M với n ≥ 1, Tn ( M ) ⊂ M =
p


20

xn T=
Ixn
(i) Theo định lí 2.1, với n ≥ 1 có dãy xn ∈ M mà=
n xn

Do cl(T(M)) compact, {Txn } có dãy con {Txm } hội tụ đến

z ∈ M khi m → ∞

Tm x=
kmTxm + (1 − km ) q → z khi m → ∞
Khi k → 1 thì x=
m
m

Nên Txm → Tz khi m → ∞ do đó z = Tz
Nhưng TM ⊂ IM
Vì vậy =
z Tz
= Iy với y ∈ M
d p ( xm , z )
Thêm nữa d p (Txm , Ty ) ≤ d p ( Ixm , Iy ) =

Qua giới hạn khi m → ∞ ta có được
0 ≤ d p (Tz , Ty ) ≤ d p ( z , z ) =0 ⇒ d p (Tz , Ty ) ⇒ Tz =Ty

Suy ra =
z Tz
= Ty
= Iy
Do T, I là R-giao hoán dưới yếu nên
d p (Tz , Iz ) ≤ d p (TIy, ITy ) ≤ Rd p (Ty, Iy ) =0 ⇒ Tz =Iz

Từ đây z ∈ F (T ) ∩ F ( I )
(ii) - (iv) Giống như định lí 2.2
(v) Như trong định lí 2.2 (v) chúng ta có thể tìm một dãy con { xm } của dãy

{ xn } hội tụ yếu đến

y ∈ M khi m → ∞

Vì T là liên tục hoàn toàn, nên dãy {Txm } hội tụ về Ty khi m → ∞
Tm x=
kmTxm + (1 − km ) q → Ty khi m → ∞
Khi kn → 1 , x=
m
m

Vì thế Txm → T 2 y khi m → ∞ và T 2 y = Ty hay Tw = w với w = Ty
Như trong (i) ta có được w ∈ F ( I )
(vi)

xn T=
Ixn
Như trong (v), có dãy xn ∈ M thỏa=
n xn

Dãy { xn } có một dãy con { xm } hội tụ yếu đến y ∈ M khi m → ∞
Tm x=
kmTxm + (1 − km ) q hội tụ yếu đến Ty khi m → ∞
Khi km → 1 x=
m
m

Nên Ty = y

21

Như trong (i) ta có được y ∈ F ( I )
(vii)

xn T=
Ixn
Như trong (v), có dãy xn ∈ M thỏa=
n xn

Dãy { xn } có một dãy con { xm } hội tụ yếu đến y ∈ M khi m → ∞
Nên Iy = y
Vì T liên tục yếu nên Txm hội tụ yếu đến Ty khi m → ∞
Nhưng M bị chặn
Vì ( 2.3) ( I − T ) xm = xm − Txm =(1 − km )( xm − q ) → 0 khi m → ∞
0 và Ty= Iy= y
Vì ( I − T ) democlosed tại 0 nên ( I − T ) y =

Như trong (i) ta có được y ∈ F ( I )
xn T=
Ixn
(viii) Như trong (v), có dãy xn ∈ M thỏa=
n xn

Dãy { xn } có một dãy con { xm } hội tụ yếu đến y ∈ M khi m → ∞
Nên Iy = y
Vì (2.3) nên Ixm − Txm → 0 khi m → ∞
Nếu Iy ≠ Ty thì lim inf d p ( Ixm , Iy ) < lim infd p ( Ixm , Ty )
≤ lim infd p ( Ixm , Txm ) + lim infd p ( Txm , Ty )
= lim infd p ( Txm , Ty ) ≤ lim infd p ( Ixm , Iy )

Dẫn tới mâu thuẫn. Vì vậy Iy = Ty
Nên y ∈ F ( I ) ∩ T ( I )
(ix)

Dãy { xm } bị chặn và vì (2.3) nên d p ( xm , Txm ) → 0 khi m → ∞
Vì T là hemicompact nên { xm } hội tụ đến y ∈ M khi m → ∞
Do Txm hội tụ đến Ty khi m → ∞ và vì (2.1) nên { xm } hội tụ đến Ty
khi m → ∞
Do đó y = Ty . Như trong (i) ta sẽ có =
y Ty
= Iy

(x)

Mỗi ánh xạ cô đặc trên tập con bị chặn hoàn toàn của không gian metric
là hemicompact do hệ quả của K.K.Tan và X.Z.Yaun.


22

Tương tự đi đến (ix).
Ta biết rằng mỗi tập M là q-hình sao có một họ hàm liên tục và co; một họ hàm liên
tục yếu F = { f x }x∈M xác định bởi f x ( k ) = kx + (1 − k ) q với x ∈ M , k ∈ ( 0;1) . Nếu I
affine và Iq = q thì có I ( f x ( k ) ) = f I ( x ) ( k ) với x ∈ M , k ∈ ( 0;1) . Nếu thêm mỗi T-bất
biến hình sao thỏa tính chất (N) và nếu I affine và Iq = q , thì I thỏa điều kiện (C).
Do đó ta có kết quả.

2.4. Định lí 2.4

(

Cho M là tập con của không gian định chuẩn X , .

p

) và T , I là các tự xạ

trên M . Giả sử rằng q ∈ M , M là q-hình sao, I là affine, T là I không giãn,
Iq = q và M = IM

Giả sử rằng T , I là những ánh xạ giao hoán R-dưới yếu
Nếu T liên tục thì T và I có một điểm bất động nếu thỏa một trong mười
điều kiện của định lí 2.3

2.5. Định lí 2.5

(

Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn X , .

p

) , tập con M của

X thỏa T ( ∂M ) ⊂ M , u ∈ F (T ) ∩ F ( I )
Giả sử D = DMI ( u ) khác rỗng, D = ID , T là I không tự giãn trên D ∪ u và I
không giãn trên PM ( u ) ∪ u
Thì D là T-bất biến
Hơn nữa nếu D có họ ánh xạ co và liên tục F = { f x }x∈D mà

I ( f=
f I ( x ) (α ) , x ∈ D, α ∈ [ 0,1] và T và I là R-giao hoán yếu trên D
x (α ) )

Thì PM ( u ) ∩ F ( I ) ∩ F (T ) ≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
(i)

D đầy đủ, cl(T(D)) compact


23

(ii)

D compact

(iii)

D đầy đủ, F(D) bị chặn và T là ánh xạ compact

(iv)

D đầy đủ, bị chặn và I là ánh xạ demicompact

(v)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, T liên tục hoàn toàn

(vi)

X * tách điểm của X, X đầy đủ, D compact yếu, I và T liên tục yếu và

họ F = { f x } liên tục yếu thay cho liên tục điểm
Chứng minh
Lấy y ∈ D
Thì Iy ∈ D do I ( D ) = D
Từ định nghĩa của D và y ∈ ∂M và vì T ( ∂M ) ⊂ M , ta có Ty ∈ M
Nhưng T là I-không tự mở rộng trên D ∪ u , và vì

( 2.4 )

=
d p (Ty, u ) d p (Ty, Tu ) ≤ d p ( Iy, u )

Từ Ty ∈ M và Iy ∈ PM ( u ) vì (2.4) cho ta Ty ∈ PM ( u )
Nhưng I không tự mở rộng trên PM ( u ) ∪ u , vì thế chúng ta thu được
d p ( ITy, u ) = d p ( ITy, Iu ) ≤ d p (Ty, u ) = d p (Ty, Tu ) ≤ d p ( Iy, Iu ) = d p ( Iy, u )

Vì vậy ITy ∈ PM ( u )
Điều này cho ta Ty ∈ CMI ( u ) và Ty ∈ D
Nên D là T-bất biến nên tất cả các điều kiện của định lí 2.2 thỏa mãn
Nên PM ( u ) ∩ F ( I ) ∩ F (T ) ≠ ∅ cho mỗi điều kiện (i)-(vi)

2.6. Định lí 2.6

(

Cho T, I là những tự xạ trên không gian định chuẩn X , .
X thỏa T ( ∂M ) ⊂ M , u ∈ F (T ) ∩ F ( I )

p

) , tập con M của


24

Giả sử D = DMI ( u ) khác rỗng, D = ID , T là I-không giãn trên D ∪ u và I
không giãn trên PM ( u ) ∪ u
Thì D là T-bất biến
Hơn nữa nếu D có tính chất (N) với Iq = q , I thỏa điều kiện (C) và T và I là
R- giao hoán dưới yếu trên D
Thì PM ( u ) ∩ F ( I ) ∩ F (T ) ≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x) trong
định lí 2.4 mà D thay thế M
Chứng minh
Như trong định lí 2.5 D là T-bất biến
Nên tất cả các điều kiện của định lí 2.3 thỏa mãn
Vậy PM ( u ) ∩ F ( I ) ∩ F (T ) ≠ ∅ nếu thỏa một trong các điều kiện (i)-(x)
Chú ý
Nếu I ( PM ( u ) ) ⊂ PM ( u ) , thì PM ( u ) ⊂ CMI ( u )
Do đó DMI ( u ) = PM ( u ) . Nếu I ( CMI ( u ) ) ⊂ CMI ( u ) thì
I ( DMI ( u ) ) ⊂ I ( CMI ( u ) ) ⊂ DMI ( u )

Như vậy định lí 2.5 và 2.6 vẫn đúng cho D = PM ( u ) cũng như D = CMI ( u )