định lí brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------------------

Võ Thị Ngọc Bích

ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA
NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ
QUI CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thị Ngọc Bích

ĐỊNH LÍ BRAUER VÀ ỨNG DỤNG CỦA
NÓ ĐỂ MÔ TẢ CÁC BIỂU DIỄN BẤT KHẢ
QUI CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012

LỜI CÁM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi
có thể hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng
viên trong khoa Toán – Tin học của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận
tình dạy bảo cho tôi trong quá trình học tập tại khoa.

Tôi cũng xin cám ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư
Phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có
thể học tập và nghiên cứu hiệu quả.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012.


LỜI MỞ ĐẦU
Cho một nhóm hữu hạn 𝐺 và một trường 𝑘. Một biểu diễn của nhóm 𝐺 trên

trường 𝑘 là một đồng cấu nhóm ϕ : G → GL (V ) , với 𝐺𝐿(𝑉) lả nhóm các tự

đồng cấu khả nghịch của module 𝑉 trên 𝑘 thỏa ϕ (1) = IV (𝐼𝑉 là phép biến đổi
đồng nhất). Ta nhận thấy rằng 𝑉 có cấu trúc của một 𝑘(𝐺) – module. Trong

trường hợp 𝑉 là một 𝑘(𝐺) – module bất khả qui thì ta gọi 𝜑 là một biểu diễn

bất khả qui của nhóm 𝐺 trên trường 𝑘.

Nhờ vào những kết quả trong lí thuyết về module trên vành, hay cụ thể hơn là
module trên đại số nhóm, mà ta chỉ ra được rằng: mọi biểu diễn của nhóm 𝐺

hữu hạn trên trường 𝑘 đều có thể phân tích thành tích của các biểu diễn bất

khả qui. Từ đó, việc nghiên cứu biểu diễn của một nhóm tập trung vào việc
nghiên cứu các biểu diễn bất khả qui của nó. Và định lí Brauer là một công cụ
quan trọng giúp cho việc phân tích các biểu diễn bất khả qui của một nhóm.
Đó là lí do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu.

Luận văn này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về module trên đại số hữu
hạn chiều, về lí thuyết biểu diễn nhóm. Từ đó luận văn sẽ tập trung vào định lí
Brauer và cuối cùng là sử dụng định lí để mô tả các biểu diễn bất khả qui của
một số nhóm phép thế.


Luận văn gồm 3 chương:
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày các lí thuyết cơ bản về nhóm, vành, module, đặc biệt là
về module trên đại số hữu hạn chiều.

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÍ BRAUER
Chương này trình bày về lí thuyết biểu diễn, đưa ra chứng minh của định lí
Brauer và cả lí thuyết đặc trưng, một lí thuyết quan trọng trong việc xây dựng
các biểu diễn của một nhóm.

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM PHÉP THẾ

Đây là chương ứng dụng của những lí thuyết được trình bày ở chương 2.
Chương này sẽ giới thiệu các biểu diễn bất khả qui của các nhóm phép thế:
𝑆3 ; 𝑆4 ; 𝑆5 ; 𝐴4 ; 𝐴5 .


BẢNG KÍ HIỆU
ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ

các tập số thông thường đã biết
trường có 𝑝 phần tử

𝔽𝑝

𝑘, 𝐾

các trường bất kì

𝑅

𝐷

các vành hoặc các 𝑘 – đại số
vành chia

𝑀𝑅

module phải trên vành 𝑅

𝑅𝑀

𝐺, 𝐻

module trái trên vành 𝑅
các nhóm

𝐶𝑒𝑛𝑡 𝐺

tâm của 𝐺

𝐺𝐿(𝑉)

nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của module 𝑉

M𝑛 (𝑅)

vành các ma trận vuông cấp 𝑛 trên 𝑅

𝐶𝐺 (𝑔)

𝐺𝐿𝑛 (𝑅)
𝛿𝑖𝑗

tâm hóa tử của phần tử 𝑔 trong nhóm 𝐺
nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 trên 𝑅

Kroonecker delta


MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN ................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................ 4
MỤC LỤC ......................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .................................................................. 7
1.1 Một số tính chất về vết của ma trận vuông: ............................................ 7
1.2 Nhóm các phép thế S n :........................................................................... 8
1.3 Tác động liên hợp: ................................................................................. 10
1.4 Vành và Module: ................................................................................... 17
1.5 Vành nửa đơn: ....................................................................................... 26
1.6 Đại số nhóm:.......................................................................................... 29
1.7 Module trên đại số hữu hạn chiều: ........................................................ 32
CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN NHÓM VÀ ĐỊNH LÝ BRAUER........................ 40
2.1 Khái niệm về biểu diễn nhóm: .............................................................. 40
2.2 Quan hệ giữa biểu diễn nhóm và module trên đại số nhóm:................. 44
2.3 Biểu diễn bất khả qui: ............................................................................ 45
2.4 Trường phân rã của một nhóm: ............................................................. 50
2.5 Số các biểu diễn bất khả qui – Định lý Brauer:..................................... 51
2.6 Lý thuyết đặc trưng: .............................................................................. 60
CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG .................. 73
3.1 Biểu diễn của nhóm S 3 : ......................................................................... 73
3.2 Biểu diễn của nhóm S 4 : ........................................................................ 75
3.3 Biểu diễn của nhóm A4 : ........................................................................ 79
3.4 Biểu diễn của nhóm A5 : ........................................................................ 81


KẾT LUẬN ..................................................................................................... 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 87

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Một số tính chất về vết của ma trận vuông:
Vết của một ma trận vuông 𝐴 bậc 𝑛 × 𝑛 được xác định bằng tổng các phần tử
trên đường chéo chính.

𝑛

𝑡𝑟(𝐴) = 𝑎11 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 = � 𝑎𝑖𝑖
Một số tính chất cơ bản của vết mà ta cần lưu ý:

𝑖=1

a) Tính tuyến tính: với 𝐴, 𝐵 là các ma trận vuông cùng cấp và hằng số 𝑐
𝑡𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑡𝑟(𝐴) + 𝑡𝑟(𝐵)
𝑡𝑟(𝑐. 𝐴) = 𝑐. 𝑡𝑟(𝐴)

b) Tính giao hoán: với 𝐴 và 𝐵 là các ma trận vuông cấp 𝑛 × 𝑛
𝑡𝑟(𝐴𝐵) = 𝑡𝑟(𝐵𝐴)

c) Liên hệ với các giá trị riêng: vết của ma trận 𝐴 bằng tổng các giá trị
riêng của nó.

d) Vết của ma trận liên hợp: cho 𝐴 là ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 và 𝑃 là ma trận

vuông cấp 𝑛 khả nghịch. Liên hợp của 𝐴 theo 𝑃 là 𝑃𝐴𝑃−1 . Khi đó ta có
𝑡𝑟(𝐴) = 𝑡𝑟(𝑃𝐴𝑃−1 )

e) Vết của ma trận chuyển vị: cho 𝐴 là ma trận vuông cấp 𝑛, 𝐴𝑇 là ma trận
chuyển vị của 𝐴.

𝑡𝑟(𝐴𝑇 ) = 𝑡𝑟(𝐴)


1.2 Nhóm các phép thế S n :
1.2.1 Định nghĩa:
Cho tập hợp 𝑋 ≠ ∅ gồm 𝑛 phần tử (có thể xem tập 𝑋 chính là tập {1,2, … , 𝑛}).
Khi đó tất cả các song ánh từ 𝑋 vào 𝑋 cùng với phép hợp thành ánh xạ lập

thành một nhóm, kí hiệu 𝑆𝑛 , được gọi là nhóm đối xứng bậc 𝑛.

Nhóm này có 𝑛! phần tử.

Mỗi phần tử 𝜎 của 𝑆𝑛 được gọi là một phép hoán vị (hay phép thế) và có thể

được biểu diễn ở dạng:

1
2
⋯
𝑛
𝜎=�
�
𝜎(1) 𝜎(2) ⋯ 𝜎(𝑛)

• 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 được gọi là một chu trình độ dài 𝑟, hay 𝑟 - chu trình, nếu
����������
𝑟−1
𝜎�𝑖𝑗 � = 𝑖𝑗+1 ; 𝑗 = 1,
∃𝑖1 , … , 𝑖𝑟 ∈ 𝑋: �𝜎(𝑖𝑟 ) = 𝑖1

����𝑟
𝜎�𝑖𝑗 � = 𝑖𝑗 ; 𝑗 ≠ 1,

Khi đó ta viết 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑟 ).

• Nếu hai chu trình 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑟 ) và 𝜎′ = (𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑠 ) thỏa

{𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑟 } ∩ {𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑠 } = ∅ thì chúng được gọi là hai chu trình rời
nhau, hay hai chu trình độc lập.

• Một 2 – chu trình được gọi là một chuyển vị. Mỗi chuyển vị có dạng
𝜎 = (𝑖𝑗), 1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛.

1.2.2 Một số tính chất của phép thế:
• Hai chu trình rời nhau thì chúng giao hoán.


• Mọi phép hoán vị bậc 𝑛 khác ánh xạ đồng nhất đều được phân tích

thành tích các chu trình rời nhau có chiều dài lớn hơn và bằng 2. Cách
phân tích là duy nhất, sai khác một sự đổi chỗ các chu trình.

• Mọi phép hoán vị bậc 𝑛 đều phân tích được thành tích các chuyển vị.

1.2.3 Hàm dấu (sign):

Một loại hàm rất quan trọng khi nhắc đến phép thế là hàm dấu.
Cho 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 , ta nói rằng một cặp {𝑖, 𝑗} là một nghịch thế đối với 𝜎 nếu
(𝑖 − 𝑗)[𝜎(𝑖) − 𝜎(𝑗)] < 0

Nếu gọi số các nghịch thế đối với 𝜎 là 𝑘 thì hàm dấu của 𝜎, kí hiệu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎),
được định nghĩa bởi: 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = (−1)𝑘 .

• Nếu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = 1 thì 𝜎 được gọi là phép thế chẵn.
• Nếu 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = −1 thì 𝜎 được gọi là phép thế lẻ.

Hàm dấu có một số tính chất cơ bản sau:
• 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝐼𝑑𝑋 ) = 1.

• 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎 −1 ).

• Nếu 𝜎 là một chuyển vị thì 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = −1.
• ∀𝜎, 𝜏 ∈ 𝑆𝑛 : 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎𝜏) = 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎). 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜏).

• Nếu 𝜎 là một 𝑟 - chu trình thì 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) = (−1)𝑟−1 .

Tập hợp tất cả các phép thế chẵn, kí hiệu 𝐴𝑛 , lập thành một nhóm con của

nhóm 𝑆𝑛 . Nhóm này có

𝑛!
2

phần tử.


1.3 Tác động liên hợp:
1.3.1 Tác động của một nhóm lên một tập hợp:
1.3.1.1 Định nghĩa 1:
Cho 𝑋 là một tập hợp khác rỗng và 𝐺 là một nhóm. Ánh xạ:

thỏa mãn 2 điều kiện:
i.
ii.

∗: 𝐺 × 𝑋 → 𝑋; (𝑔, 𝑥) ↦ 𝑔 ∗ 𝑥

1 ∗ 𝑥 = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐺.

∀𝑔1 , 𝑔2 ∈ 𝐺, ∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝑔1 (𝑔2 ∗ 𝑥) = (𝑔1 𝑔2 ) ∗ 𝑥.

được gọi là một tác động (trái) của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋.
1.3.1.2 Định nghĩa 2:

Cho 𝑋 là một tập hợp khác rỗng và 𝐺 là một nhóm. Một tác động (trái) của

nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 là một đồng cấu nhóm 𝜑: 𝐺 → 𝑆𝑋 , với 𝑆𝑋 là nhóm các

song ánh từ 𝑋 lên 𝑋 (với phép nhân ánh xạ).

Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋. Khi đó tập 𝐺𝑋 =

{𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑥} là một nhóm con của 𝐺, được gọi là nhóm con ổn định

của 𝑥 trong 𝐺.

Cho một tác động của nhóm 𝐺 lên tập hợp 𝑋 và 𝑥 ∈ 𝑋. Ta gọi quĩ đạo của

phần tử 𝑥 là tập hợp 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑔 ∗ 𝑥|𝑔 ∈ 𝐺}. Hai quĩ đạo bất kì hoặc trùng
nhau hoặc có giao bằng rỗng.

Số phần tử của quĩ đạo 𝐺 ∗ 𝑥 bằng chỉ số của nhóm con ổn định 𝐺𝑋 trong 𝐺.
|𝐺 ∗ 𝑥| = (𝐺: 𝐺𝑋 ), ∀𝑥 ∈ 𝑋


Nếu 𝑋 là hữu hạn thì công thức khai triển thành quĩ đạo của 𝑋 được viết như
sau: |𝑋| = ∑𝑛𝑖=1|𝐺 ∗ 𝑥𝑖 | = ∑𝑛𝑖=1(𝐺: 𝐺𝑥 ).

1.3.2 Tác động liên hợp:

Xét ánh xạ 𝜑: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺; (𝑔, 𝑥) ↦ 𝑔 ∗ 𝑥 = 𝑔𝑥𝑔−1 .

Ta kiểm tra được 𝜑 thỏa 2 điều kiện (𝑖) và (𝑖𝑖) ở mục 1.3.1.1. Do đó 𝜑 là một
tác động của nhóm 𝐺 lên chính tập 𝐺. Ta gọi 𝜑 là tác động liên hợp trong

nhóm 𝐺.

Với mọi 𝑥 ∈ 𝐺, nhóm con ổn định 𝐺𝑋 chính là tâm hóa tử 𝐶(𝑥) của 𝑥.
𝐺𝑋 = {𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔𝑥𝑔−1 = 𝑥} = 𝐶(𝑥)

Ta có ∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑔𝑥𝑔−1 |𝑔 ∈ 𝐺} là quĩ đạo của x qua tác động liên

hợp. Khi đó, hai phần tử 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐺 gọi là liên hợp với nhau nếu 𝐺 ∗ 𝑥1 = 𝐺 ∗
𝑥2 .

Đặt 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺) = {𝑥 ∈ 𝐺|𝑔𝑥 = 𝑥𝑔; ∀𝑔 ∈ 𝐺} là tâm của 𝐺.

Nhận xét thấy:

∀𝑥 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺) ⇔ ∀𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔𝑥𝑔−1 = 𝑥 ⇔ 𝐺𝑋 = 𝐺 ⇔ |𝐺 ∗ 𝑥| = (𝐺: 𝐺𝑋 ) = 1

Nên ∀𝑥 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺): 𝐺 ∗ 𝑥 = {𝑥}. Do đó, nếu 𝐺 là nhóm hữu hạn thì theo
công thức khai triển thành quĩ đạo của 𝐺, ta được công thức:
𝑚

|𝐺| = |𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺)| + ��𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )�
𝑖=1

trong đó {𝑥𝑖 }𝑖=1,𝑚
����� là tập tất cả các phần tử của 𝐺 đôi một không liên hợp với
nhau và không nằm trong tâm.


1.3.3 Các lớp liên hợp của nhóm Sn:
Trước khi tìm các lớp liên hợp của nhóm 𝑆𝑛 , ta sẽ đề cập đến một vài cách
phân kiểu cho phép hoán vị.

Kiểu của một hoán vị 𝜎 là một biểu thức có dạng (1𝑚1 , 2𝑚2 , … , 𝑛𝑚𝑛 ); ở đó
𝑚𝑖 là số chuyển vị có độ dài 𝑖. Ví dụ 𝜎 = (1,2,3)(4)(5) có kiểu là
(12 , 20 , 31 , 40 , 50 ).

Một cách khác để chia kiểu một hoán vị là như một phân hoạch. Một phân

hoạch của 𝑛 là một dãy 𝜆 = (𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑙 ), trong đó các 𝜆𝑖 là giảm yếu và

∑𝑙𝑖=1 𝜆𝑖 = 𝑛.

Lại xét phép hoán vị 𝜎 = (1,2,3)(4)(5). Khi đó ta nói 𝜎 tương ứng với phân
hoạch (3,1,1).

Mệnh đề 1.3.3.1:

Cho một 𝑘 - chu trình 𝑥 = (𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 ) trong 𝑆𝑛 và 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 . Khi đó

𝜎𝑥𝜎 −1 = �𝜎(𝑖1 ), 𝜎(𝑖2 ), … , 𝜎(𝑖𝑘 )�.

Chứng minh:

Đặt 𝐴 = {𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 }. Với 𝑖𝑟 ∈ 𝐴:

(𝜎𝑥𝜎 −1 )𝜎(𝑖𝑟 ) = 𝜎𝑥(𝑖𝑟 ) = �

Với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ∉ 𝐴:

𝜎(𝑖𝑟+1 ) 𝑟 ≠ 𝑘
𝑟=𝑘
𝜎(𝑖1 )

(𝜎𝑥𝜎 −1 )𝜎(𝑖) = 𝜎𝑥(𝑖) = 𝜎(𝑖)

Cho nên 𝜎𝑥𝜎 −1 = �𝜎(𝑖1 ), 𝜎(𝑖2 ), … , 𝜎(𝑖𝑘 )�. ■


Cho một hoán vị bất kì 𝜎 = (𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑙 ) … (𝑖𝑚 , 𝑖𝑚+1 , … , 𝑖𝑛 ). Khi đó với mọi

𝜋 ∈ 𝑆𝑛 ta có:

𝜋𝜎𝜋 −1 = �𝜋(𝑖1 ), 𝜋(𝑖2 ), … , 𝜋(𝑖𝑙 )� … (𝜋(𝑖𝑚 ), 𝜋(𝑖𝑚+1 ), … 𝜋(𝑖𝑛 ))

Kết quả này suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên. Như vậy 𝜋𝜎𝜋 −1 và 𝜎 có cùng
kiểu.

Mặt khác, cho hai hoán vị 𝜎 và 𝜋 có cùng kiểu.

𝜎 = �𝑎1 , … , 𝑎𝑘1 � … �𝑐1 , … , 𝑐𝑘𝑠 �

𝜋 = �𝑎1′ , … , 𝑎𝑘′ 1 � … �𝑐1′ , … , 𝑐𝑘′ 𝑠 �

Khi đó ta có thể xây dựng một hoán vị 𝑔 trong 𝑆𝑛 như sau:

𝑔: 𝑎1 ↦ 𝑎1′ , … , 𝑎𝑘1 ↦ 𝑎𝑘′ 1 , … , 𝑐1 ↦ 𝑐1′ , … , 𝑐𝑘𝑠 ↦ 𝑐𝑘′ 𝑠

Rõ ràng 𝜋 = �𝑔(𝑎1 ), … , 𝑔�𝑎𝑘1 �� … �𝑔(𝑐1 ), … , 𝑔�𝑐𝑘𝑠 �� = 𝑔𝜎𝑔−1 .
Ta vừa chứng minh xong định lý sau:
Định lý 1.3.3.2:
Hai hoán vị của 𝑆𝑛 liên hợp với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu.
Chúng ta có thể tính độ lớn của mỗi lớp liên hợp bằng công thức ở phần 1.3.1,
tức là dựa vào tâm hóa tử. Gọi 𝐶𝑆𝑛 (𝜎) là tâm hóa tử ứng với phép hoán vị 𝜎.
Khi đó độ lớn của lớp liên hợp của 𝜎 sẽ tính bằng 𝑘𝜎 =

𝑛!

.

𝐶𝑆𝑛 (𝜎)


Mệnh đề 1.3.3.3:
Nếu một phép hoán vị 𝜎 có kiểu là (1𝑚1 , 2𝑚2 , … , 𝑛𝑚𝑛 ) thì số phần tử của

�𝐶𝑆𝑛 (𝜎)� được tính bằng công thức: �𝐶𝑆𝑛 (𝜎)� = 1𝑚1 . 𝑚!. 2𝑚2 . 𝑚2 ! … 𝑛𝑚𝑛 . 𝑚𝑛 !.

Chứng minh:

Mọi phần tử 𝜎 ∈ 𝐶𝑆𝑛 (𝜎) đều có thể hoặc là giao hoán các chuyển vị có độ dài

𝑖 với nhau, hoặc là quay vòng trên từng chuyển vị (hoặc cả hai). Vì có tất cả

𝑚𝑖 ! cách làm với quá trình trước và 𝑖 𝑚𝑖 cách làm với quá trình sau, ta có ngay
đpcm.■

1.3.4 Các lớp liên hợp của nhóm An:
Lấy một phép thế chẵn 𝜎 ∈ 𝐴𝑛 . Khi đó lớp liên hợp của 𝜎 trong 𝐴𝑛 sẽ là tập

con của lớp liên hợp trong 𝑆𝑛 . Tuy nhiên, hai lớp liên hợp này có thể không

trùng khớp nhau hoàn toàn. Định lý sau sẽ cho biết khi nào thì chúng sẽ trùng
nhau, khi nào thì không.
Định lý:
Cho 𝜎 ∈ 𝐴𝑛 , 𝑛 > 1. Khi đó:

1. Nếu 𝜎 giao hoán với một phép thế lẻ nào đó thì lớp liên hợp của 𝜎
trong 𝑆𝑛 cũng chính là lớp liên hợp trong 𝐴𝑛 .

2. Nếu 𝜎 không giao hoán với bất kì một phép thế lẻ nào thì lớp liên hợp

của 𝜎 trong 𝑆𝑛 sẽ phân ra thành hai lớp liên hợp rời nhau trong 𝐴𝑛 với
lực lượng của hai lớp bằng nhau. Hơn nữa, đại diện của hai lớp đó lần

lượt sẽ là 𝜎 và (12)𝜎(12)−1 .

Chứng minh:


Giả sử 𝜎 giao hoán với một phép thế lẻ là 𝜋. Lấy 𝑔 là một liên hợp của 𝜎

trong 𝑆𝑛 . Khi đó tồn tại ℎ ∈ 𝑆𝑛 để 𝑔 = ℎ𝜎ℎ−1 .
Nếu ℎ là phép thế chẵn thì 𝑔 ∈ 𝐴𝑛 .

Nếu ℎ là phép thế lẻ thì ℎ𝜎 ∈ 𝐴𝑛 , và

𝑔 = ℎ𝜎ℎ−1 = ℎ𝜋𝜎𝜋 −1 ℎ−1 = ℎ𝜋𝜎(ℎ𝜋)−1 ∈ 𝐴𝑛

Như vậy, mọi liên hợp của 𝜎 trong 𝑆𝑛 đều là phép thế chẵn. Ta vừa chứng

minh xong (1).

Đối với (2), giả sử 𝜎 không giao hoán với bất kì một phép thế lẻ nào. Khi đó:
𝑍𝑆𝑛 (𝜎) = 𝑍𝐴𝑛 (𝜎)

Với 𝑍𝑆𝑛 (𝜎) là tâm hóa tử của 𝜎 trong 𝑆𝑛 và 𝑍𝐴𝑛 (𝜎) là tâm hóa tử của 𝜎 trong
𝐴𝑛 . Như vậy số các phần tử liên hợp với 𝜎 trong 𝐴𝑛 được tính là
1
1
�𝐴𝑛 : 𝑍𝐴𝑛 (𝜎)� = �𝑆𝑛 : 𝑍𝐴𝑛 (𝜎)� = �𝑆𝑛 : 𝑍𝑆𝑛 (𝜎)�
2
2

Như vậy lực lượng của lớp liên hợp trong 𝐴𝑛 chỉ bằng một nửa lực lượng liên

hợp trong 𝑆𝑛 .

Mặt khác, ta cũng quan sát thấy rằng
�𝜋𝜎𝜋 −1 : 𝜋 là phép thế lẻ� = �(12)𝜎(12)−1 �𝐴𝑛

Vì mọi phép thế lẻ đều có dạng 𝑎(12), 𝑎 ∈ 𝐴𝑛 .

Rõ ràng 𝜎 và (12)𝜎(12)−1 không liên hợp với nhau trong 𝐴𝑛 nên ta có
đpcm.■


1.3.5 Nhóm hữu hạn và định lý Sylow:
Định nghĩa 1.3.4.1:
Cho 𝐺 là một nhóm và 𝑝 là một số nguyên tố.

• 𝐺 được gọi là một 𝑝 – nhóm nếu 𝐺 có cấp là một lũy thừa của 𝑝.

• 𝐻 được gọi là 𝑝 – nhóm con của 𝐺 nếu 𝐻 là một 𝑝 – nhóm và 𝐻 là
nhóm con của 𝐺.

• 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 chính là phần tử tối đại trong tập các 𝑝 –
nhóm con của 𝐺 theo quan hệ bao hàm.

• Một phần tử 𝑔 ∈ 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu 𝑝 không phải là ước
của |𝑔|. Một lớp liên hợp của 𝐺 được gọi là 𝑝 – chính qui nếu bất kì
một phần tử nào của lớp liên hợp là 𝑝 – chính qui. (Định nghĩa 𝑝 –

chính qui cũng có thể mở rộng cho 𝑝 = 0. Khi đó mọi phần tử và mọi

lớp liên hợp đều là 0 – chính qui.)

Định lý 1.3.4.2 (Định lý Sylow):

Cho 𝑝 là số nguyên tố, 𝐺 là nhóm hữu hạn, |𝐺| = 𝑝𝑛 𝑚 với (𝑝, 𝑚) = 1. Khi
đó:

a) Với mọi 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, tồn tại trong 𝐺 một 𝑝 – nhóm con có cấp 𝑝𝑘 . Nói
riêng, tồn tại trong 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺. (|𝐺| = 𝑝𝑛 𝑚 nên 𝑝 –

nhóm con Sylow của 𝐺 có cấp là 𝑝𝑛 ).

b) Mọi 𝑝 – nhóm con 𝐻 của 𝐺 đều nằm trong một 𝑝 – nhóm con Sylow
nào đó của 𝐺.

c) Tất cả các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 đều liên hợp với nhau.

d) Nếu 𝑟 là số các 𝑝 – nhóm con Sylow của 𝐺 thì 𝑟|𝑚 và 𝑟 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝).


1.4 Vành và Module:
Trong phạm vi luận văn này, khái niệm vành sẽ được hiểu là vành có đơn vị
(thường được kí hiệu là 1).

Một vành 𝑅 khác (0) được gọi là vành đơn nếu nó chỉ có hai ideal là (0) và
𝑅.

Một vành 𝑅 được gọi là vành chia nếu mọi phần tử khác 0 của 𝑅 đều khả

nghịch. Mọi vành chia đều là vành đơn. Một trường là một vành chia có tính
giao hoán.
𝑀 được gọi là 𝑅 – module đơn (hay bất khả qui) nếu 𝑀 ≠ (0) và 𝑀 không có

𝑅 – module con nào khác (0) và 𝑀.

Ta cũng nhắc lại một số kiến thức cơ bản về điều kiện ACC và DCC. Xét một
họ các tập con {𝐶𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} của một tập 𝐶.

Họ {𝐶𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} được gọi là thỏa điều kiện dãy tăng (ACC) nếu một trong hai
điều sau thỏa mãn:

(1) Với mọi dãy tăng 𝐶𝑖1 ⊂ 𝐶𝑖2 ⊂ ⋯ bất kì trong họ {𝐶𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼}, tồn tại số
nguyên 𝑛 sao cho 𝐶𝑖𝑛 = 𝐶𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑖𝑛+2 = ⋯

(2) Mọi họ con khác rỗng bất kì của họ đã cho đều có phần tử lớn nhất
(theo quan hệ bao hàm).
Họ {𝐶𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼} được gọi là thỏa điều kiện dãy giảm (DCC) nếu một trong hai

điều sau thỏa mãn:

(1’) Với mọi dãy giảm 𝐶𝑖1 ⊃ 𝐶𝑖2 ⊃ ⋯ bất kì trong họ {𝐶𝑖 : 𝑖 ∈ 𝐼}, tồn tại số

nguyên 𝑛 sao cho 𝐶𝑖𝑛 = 𝐶𝑖𝑛+1 = 𝐶𝑖𝑛+2 = ⋯


(2’) Mọi họ con khác rỗng bất kì của họ đã cho đều có phần tử nhỏ nhất
(theo quan hệ bao hàm).
Một 𝑅 – module 𝑀 được gọi noether (hay artin) nếu họ tất cả các 𝑅 – module
con của 𝑀 thỏa điều kiện ACC (hay DCC). Một vành 𝑅 được gọi là noether
(hay artin) nếu 𝑅 là module noether (hay artin) trên 𝑅.

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của các module noether và artin:
a) 𝑀 là module noether khi và chỉ khi mọi module con của 𝑀 là hữu hạn

sinh.

b) Cho 𝑁 là 𝑅 – module con của 𝑀. Khi đó, 𝑀 là module noether (hay

artin) khi và chỉ khi 𝑁 và 𝑀�𝑁 đều là module noether (hay artin). Đặc

biệt, tổng trực tiếp của hai module noether (hay artin) là một module
noether (hay artin).

c) Nếu 𝑀 là module hữu hạn sinh trên một vành 𝑅 noether (hay artin) thì
𝑀 là module noether (hay artin).

1.4.1 Chuỗi hợp thành của module:

Cho 𝑀 là một module trên một vành 𝑅.

Một chuỗi của 𝑀 là một dãy tăng ngặt các module con của 𝑀, bắt đầu với {0}
và kết thúc bởi 𝑀.

{0} = 𝑀0 ⊂ 𝑀1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝑀𝑛 = 𝑀

𝑛 được gọi là độ dài của chuỗi.

Một chuỗi hợp thành là một chuỗi mà ta không thể bổ sung thêm bất kì
module con nào của 𝑀 vào nữa. Điều này có nghĩa là, mỗi 𝑀𝑖 là module tối


đại của 𝑀𝑖+1 , hay mỗi module thương

𝑀𝑖+1

�𝑀 là module bất khả qui. Mỗi
𝑖

module thương như vậy được gọi là một thương hợp thành.

Mỗi một module có thể có nhiều hơn một chuỗi hợp thành, nhưng cũng có thể
không có chuỗi hợp thành nào. Đặt 𝑙(𝑀) là độ dài ngắn nhất của một chuỗi

hợp thành của một module 𝑀. Nếu 𝑀 không có chuỗi hợp thành thì xem như
𝑙(𝑀) = ∞.

Ví dụ: xét ℤ - module ℤ30 . Ta có hai chuỗi hợp thành như sau:
Chuỗi thứ nhất: 〈0〉 ⊂ 〈6〉 ⊂ 〈2〉 ⊂ 〈1〉 = ℤ30

Với thương hợp thành:

ℤ
〈1〉
�〈2〉 = 30�2ℤ =
30

�ℤ�30ℤ�

�

�2ℤ�30ℤ�

≅ ℤ�2ℤ = ℤ2

〈2〉

�〈6〉 ≅ ℤ3

〈6〉
�〈0〉 ≅ ℤ5

Chuỗi thứ hai: 〈0〉 ⊂ 〈15〉 ⊂ 〈3〉 ⊂ 〈1〉 = ℤ30

Với thương hợp thành:

〈1〉
〈3〉
〈15〉
�〈3〉 ≅ ℤ3 ; �〈15〉 ≅ ℤ5 ;
�〈0〉 ≅ ℤ2

Định lý Jordan – Holder:


Giả sử module 𝑀 có một chuỗi hợp thành với độ dài là 𝑛. Khi đó, mọi chuỗi
hợp thành của 𝑀 cũng có độ dài 𝑛.

Đồng thời, các thương hợp thành của các chuỗi hợp thành của cùng một
module (nếu tồn tại hữu hạn) đều lần lượt đẳng cấu với nhau (sau một phép
hoán vị nếu cần).
Hơn nữa mọi chuỗi bất kì đều có thể bổ sung thêm các module con vào để có
được một chuỗi hợp thành.
Hệ quả: Một module 𝑀 có một chuỗi hợp thành khi và chỉ khi 𝑀 thỏa điều

kiện ACC và DCC.
1.4.2 Đại số:

Một đại số 𝐴 trên một trường 𝑘 là một không gian vector trên 𝑘 sao cho trên

𝐴 có một phép nhân và cùng với phép nhân này, 𝐴 là một vành. Hơn nữa, cấu
trúc không gian vector có thể khớp với cấu trúc vành theo luật:
𝑥(𝑎𝑏) = (𝑥𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑥𝑏); ∀𝑥 ∈ 𝑘; ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

Nếu phép nhân trên 𝐴 có đơn vị 1 thì từ tính kết hợp giữa hai cấu trúc vành và

không gian vector ta có các phần tử có dạng 𝑥. 1(𝑥 ∈ 𝑘) sẽ nằm trong tâm của
𝐴.

Đối với một đại số 𝐴, 𝜌 được gọi là một ideal của 𝐴 nếu 𝜌 là ideal của vành 𝐴
và 𝜌 cũng là không gian vector con của không gian vector 𝐴 trên 𝑘. Tương tự

ta cũng định nghĩa một đồng cấu giữa hai 𝑘 – đại số 𝐴, 𝐵 phải vừa là đồng cấu
vành vừa là ánh xạ 𝑘 - tuyến tính.
1.4.3 Căn Jacobson:

Căn Jacobson của một vành 𝑅, kí hiệu là 𝑟𝑎𝑑 𝑅, là giao của tất cả các ideal

(trái) tối đại của 𝑅.


Bổ đề 1.4.3.1:
Cho 𝑦 ∈ 𝑅. Các phát biểu sau tương đương:
(1) 𝑦 ∈ 𝑅.

(2) 1 − 𝑥𝑦 khả nghịch trái, ∀𝑥 ∈ 𝑅.

(3) 𝑦𝑀 = 0 với mọi 𝑅 - module trái đơn 𝑀.

Định nghĩa 1.4.3.2:

Cho 𝑀 là 𝑅 – module. Cái linh hóa của 𝑀 được định nghĩa là :
𝑎𝑛𝑛 𝑀 ≔ {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑟𝑀 = 0}

Ta có 𝑎𝑛𝑛 𝑀 ⊲ 𝑅. Đồng thời 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = ⋂ 𝑎𝑛𝑛𝑀, với 𝑀 chạy khắp các 𝑅 –

module trái đơn.

Một số tính chất của căn Jacobson:
• 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là ideal lớn nhất trong 𝑅 thỏa 1 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ⊂ 𝑈(𝑅).(𝑈(𝑅) là tập
các phần tử khả nghịch của 𝑅)

(𝑟𝑎𝑑 𝑅)�
• Với 𝐼 ⊲ 𝑅 sao cho 𝐼 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑟𝑎𝑑 �𝑅�𝐼 � =
𝐼.
• 𝑟𝑎𝑑 �𝑅�𝑟𝑎𝑑 𝑅� = (0).

• 𝑅 và 𝑅�𝑟𝑎𝑑 𝑅 có chung các module trái đơn. Một phần tử 𝑥 ∈ 𝑅 là khả
nghịch trái (khả nghịch) trong 𝑅 khi và chỉ khi 𝑥̅ ∈ 𝑅� là khả nghịch trái

(khả nghịch) trong 𝑅� = 𝑅�𝑟𝑎𝑑 𝑅.

1.4.3.3 Bổ đề Nakayama:
Cho một ideal trái 𝐽 của vành 𝑅. Các phát biểu sau tương đương:


(1) 𝐽 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅.

(2) Với mọi 𝑅 - module trái hữu hạn sinh 𝑀, 𝐽. 𝑀 = 𝑀 ⇒ 𝑀 = 0.

(3) Với mọi 𝑅 – module trái 𝑁 là con của 𝑀 sao cho 𝑀�𝑁 là hữu hạn sinh,
𝑁 + 𝐽. 𝑀 = 𝑀 ⇒ 𝑁 = 𝑀.

Cuối cùng, ta sẽ nhắc đến một số khái niệm về lũy linh. Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅

được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương 𝑛 sao cho 𝑎𝑛 = 0. Một ideal

(phải, trái, hai phía) được gọi là nil ideal nếu mọi phần tử của nó đều là lũy
linh. Một ideal (phải, trái, hai phía) 𝐼 được gọi là lũy linh nếu tồn tại số

nguyên dương 𝑛 sao cho 𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 = 0, ∀𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐼. Điều này có

nghĩa là 𝐼 𝑛 = (0). Ta thấy rằng một ideal lũy linh thì luôn là nil ideal, điều

ngược lại không luôn đúng. Đồng thời ta cũng thấy rằng mọi phần tử lũy linh

của vành 𝑅 đều thuộc vào 𝑟𝑎𝑑𝑅, nên 𝑟𝑎𝑑𝑅 chứa mọi nil ideal. Đặc biệt, mọi
nil ideal trong vành Artin đều là ideal lũy linh, hơn nữa khi đó căn Jacobson
của nó chính là ideal lũy linh lớn nhất theo quan hệ bao hàm.
1.4.4 Mở rộng vô hướng:
1.4.4.1 Định nghĩa:
Cho 𝐾 là một mở rộng trường của 𝑘. Ta xây dựng một 𝐾 - đại số
𝑅 𝐾 ≔ 𝑅 ⊗𝑘 𝐾

Đây là một mở rộng vô hướng của 𝑘 - module 𝑅.

Ta cũng xây dựng một mở rộng vô hướng của 𝑅 - module trái 𝑀 là

𝑀𝐾 là một 𝑅𝐾 - module trái.

𝑀𝐾 ≔ 𝑀 ⊗𝑘 𝐾


Bổ đề 1.4.4.2:
Cho 𝑅 là 𝑘 – đại số và 𝑀, 𝑁 là các 𝑅 - module với dim𝑘 𝑀 < ∞. Khi đó ánh
𝐾

xạ tự nhiên 𝜃: �𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁)� → 𝐻𝑜𝑚𝑅𝐾 (𝑀𝐾 , 𝑁 𝐾 ) là một đẳng cấu của các

𝐾 – không gian vector.

Kết quả sau đây sẽ cho ta thấy mối quan hệ của 𝑟𝑎𝑑 𝑅 và 𝑟𝑎𝑑 𝑅 𝐾 .
Mệnh đề 1.4.4.3:

Cho 𝑅, 𝑆 là hai vành, 𝑅 ⊂ 𝑆. Nếu một trong hai điều kiện sau xảy ra thì
𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅.

1) 𝑅 là hạng tử trực tiếp của 𝑆, với vai trò như các 𝑅 - module trái.

2) Tồn tại một nhóm các tự đồng cấu của vành 𝑆, sao cho 𝑅 là vành con
của vành các điểm bất động 𝑆 𝐺 ≔ {𝑠 ∈ 𝑆: 𝑔(𝑠) = 𝑠, ∀𝑔 ∈ 𝐺}.

Chứng minh:

Xét điều kiện (1). Ta có: 𝑆 = 𝑅 ⊕ 𝑇, 𝑇 là một 𝑅 - module trái con của 𝑆. Lấy
𝑟0 ∈ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆. Khi đó, 1 − 𝑟0 sẽ khả nghịch phải trong 𝑆, nên tồn tại

𝑟 ∈ 𝑅, 𝑡 ∈ 𝑇:

1 = (1 − 𝑟0 )(𝑟 + 𝑡) = (1 − 𝑟0 )𝑟 + (1 − 𝑟0 )𝑡

Do 1 ∈ 𝑅 nên (1 − 𝑟0 )𝑟 = 1. Như vậy 1 − 𝑟0 khả nghịch phải trong 𝑅. Ta có
đpcm.

Xét điều kiện (2). Ta có thể giả sử 𝑅 chính là 𝑆 𝐺 . Lấy 𝑟0 ∈ 𝑅 ∩ 𝑟𝑎𝑑 𝑆, khi đó

tồn tại 𝑠 ∈ 𝑆 sao cho (1 − 𝑟0 )𝑠 = 1.

⇒ 𝑔(1 − 𝑟0 )𝑔(𝑠) = 𝑔(1) ⇒ (1 − 𝑟0 )𝑔(𝑠) = 1 ⇒ 𝑔(𝑠) = 𝑠 ⇒ 𝑠 ∈ 𝑅.
Ta có đpcm. ■