khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử fk cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều theo tham số tự do

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Kiên Thị Bích Trâm

Đề tài:

KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Kiên Thị Bích Trâm

Đề tài:

KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK
CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
THEO THAM SỐ TỰ DO
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ

MÃ SỐ: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

2


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành tốt đề tài này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, em luôn nhận được sự
động viên, quan tâm và giúp đỡ từ thầy cô, gia đình và bạn bè.
Trước hết, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, giáo viên hướng
dẫn luận văn này – cô đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa, đặc biệt các thầy cô trong tổ Vật
lý lý thuyết đã tận tình truyền đạt những kinh nghiệm, kiến thức quý báu trong suốt khóa học, đó
là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ em trong suốt thời gian học cũng như trong
thời gian tiến hành luận văn.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và cho những nhận
xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót.
Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô, bạn bè.
Em xin chân thành cám ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2013

3

MỤC LỤC

MỤC LỤC ................................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU 6
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ......................................................................... 12
1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger .......................... 12
1.2 Tổng quan về exciton ................................................................................ 19
1.2.1 Lịch sử ............................................................................................. 19
1.2.2 Khái niệm ......................................................................................... 20
1.2.3 Phân loại .......................................................................................... 21
1.2.4 Tính chất .......................................................................................... 22
1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều .. 24
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ GIẢI BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU
TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ............................................................... 28
2.1 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều ... 28
2.2 Kết quả - Phân tích ................................................................................... 33
Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ.............................................................. 36
3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử .. 36
3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động
tử phi điều hòa bậc bốn. ........................................................................... 38
3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều................................ 40
3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau40
3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu ......................................... 50
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 54
Phụ lục 1:Các toán tử sinh – hủy một chiều ................................................. 57
Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử ................................................................ 60

4


Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên............................. 63
Phụ lục 4:Các toán sinh – hủy hai chiều........................................................ 65

{

}

ˆ ++M
ˆ + Nˆ ) ............. 68
Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử Sˆ = exp −τ ( M
Phụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường
70

5


MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý quan tâm nhiều đến các cấu trúc
thấp chiều do tính ứng dụng cao cũng như các hiệu ứng đặc biệt của nó [10, 20].
Trong các mô hình thấp chiều đó, loại tinh thể nhiều lớp bán dẫn GaAs/GaAlAs
được sử dụng tương đối phổ biến. Trong tinh thể này, do đáy vùng dẫn

Al x Ga1− x As (x ≤ 0.45) cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên vùng chứa
GaAs hoạt động như hố thế trong khi vùng chứa Al x Ga1− x As đóng vai trò là bức
tường thế. Đặc biệt kỹ thuật nuôi cấy tinh thể tiên tiến như kĩ thuật cấy chùm phân
tử (MBE: Molecular Beam Epitaxy) cho phép tạo ra các lớp bán dẫn GaAs rất mỏng
(cỡ nm) thì bức tường thế có thể xem là cao vô hạn. Lúc này, các hạt tải của GaAs

sẽ cùng bị nhốt trong lớp GaAs dọc theo bề rộng: electron bị giam nhốt trong vùng
dẫn trong khi các lỗ trống bị nhốt trong vùng hóa trị đầy và ta có một hệ khí điện tử
chuyển động tự do trong không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Do là
khí điện tử tự do cho nên về nguyên tắc phổ năng lượng đo được là phổ liên tục.
Tuy nhiên, thực nghiệm quan sát được phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử và
đặc biệt phổ hấp thụ của bán dẫn xuất hiện những đỉnh hấp thụ lạ. Điều này chỉ có
thể giải thích bởi sự tồn tại của trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống tạo thành
giả hạt exciton [8].
Exciton là trạng thái liên kết giữa điện tử và lỗ trống thông qua tương tác
tĩnh điện, trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong
mạng nhưng không lan truyền điện tích. Ngày nay, thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại
của exciton đã được phát hiện trong các hầu hết các loại tinh thể điện môi và bán
dẫn [16, 19]. Tuy nhiên, các hệ exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp và những
hiệu ứng của nó được quan tâm nhiều nhất trong cả lý thuyết lẫn thực nghiệm do
tính ứng dụng cao của nó. Ngoài ra, các nghiên cứu cho thấy đây là vật liệu thuận
lợi để quan sát và nghiên cứu phổ năng lượng exciton [16, 19, 22]; đặc biệt hệ
exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp còn có những hiệu ứng, đặc tính vật lý thú
6


vị như: hiệu ứng Hall, sự tách vạch trong điện trường và từ trường, hiện tượng
ngưng tụ Bose,… [18, 22, 23]. Khi nghiên cứu phổ năng lượng của exciton, ta thu
được nhiều thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi
các chất này được đặt trong từ trường. Các nghiên cứu này có những ứng dụng đặc
biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ thấp chiều kích cỡ nano. Vì thế, bài toán
exciton trong từ trường là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, mang tính thời sự và đang
thu hút sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu.
Như chúng ta đã biết, ở thế giới vi mô, phương trình Schrödinger đóng vai
trò trung tâm, quan trọng trong cơ học lượng tử; đây là phương trình động lực học
giúp ta giải quyết các bài toán chuyển động của hạt vi mô. Tuy nhiên, phương trình

này chỉ có thể xác định nghiệm giải tích chính xác của nó trong một số rất ít trường
hợp đơn giản như bài toán nguyên tử hydro, dao động tử điều hòa; còn lại đa số các
bài toán hệ lượng tử thực đều phải sử dụng các phương pháp tính gần đúng hoặc các
phương pháp số để tìm hàm riêng và trị riêng. Một trong những phương pháp gần
đúng cổ điển được nhiều người biết đến là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý
tưởng chính của phương pháp này là dựa vào yếu tố vật lý của bài toán, tách toán tử
Hamilton thành hai phần: thành phần thứ nhất được xem là phần chính có thể tìm
nghiệm chính xác, thành phần còn lại được xem là nhiễu loạn. Phương pháp lý
thuyết nhiễu loạn đã chứng tỏ hiệu quả của nó qua nhiều bài toán khác nhau; nhưng
nó chỉ giải quyết được những bài toán thỏa điều kiện là thành phần nhiễu loạn đủ
nhỏ so với thành phần chính, đối với những bài toán không thỏa điều kiện này (bài
toán phi nhiễu loạn) thì không thể áp dụng được phương pháp này. Bài toán exciton
trong từ trường với độ lớn của từ trường cùng thang so với thế Coulomb là một bài
toán phi nhiễu loạn không thể tìm được nghiệm giải tích chính xác.
Phương pháp toán tử FK được đưa ra năm 1982 để giải quyết những bài
toán phi nhiễu loạn nêu trên bởi một nhóm giáo sư ở đại học Belarus [11]. Ý tưởng
chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết nhiễu loạn là
tách Hamiltonian thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác và phần còn lại

7


là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc phân chia
Hamiltonian không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình thức của các
toán tử trong Hamiltonian. Điểm đặc biệt là trong phương pháp còn đưa vào một
tham số tự do, có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho năng lượng
và hàm sóng. Quy trình giải của phương pháp toán tử FK gồm bốn bước cơ bản: (1)
biểu diễn Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy Dirac

aˆ + (ω ) , aˆ (ω ) :

Hˆ ( x, p) → Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ), ở đây tham số tự do ω được đưa vào thông qua các toán tử
sinh, hủy; (2) tách Hamiltonian ra làm hai phần, thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) giao
hoán với toán tử aˆ + aˆ (thành phần trung hòa) được xem là phần chính, phần còn lại

Hˆ (aˆ , aˆ + , ω ) Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) , với
Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) xem là nhiễu loạn: =
cách tách này Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) luôn có nghiệm là dao động tử điều hòa; (3) chọn tham
số tự do ω sao cho Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là thành phần chính của Hamiltonian và từ đây ta
có nghiệm riêng của Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, ω ) là nghiệm gần đúng bậc zero; (4) xem

Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần nhiễu loạn và tính các bổ chính bậc cao theo các sơ đồ
thích hợp. Khi nghiên cứu và áp dụng cho những bài toán cụ thể, phương pháp toán
tử FK đã chứng tỏ những ưu điểm của nó như : Khi áp dụng phương pháp ta chỉ sử
dụng các phép biến đổi thuần đại số, vì vậy giúp đơn giản hóa việc tính toán các yếu
tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt;
ngoài ra phương pháp này cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có
cường độ bất kì và xác định được giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài [5]. Phương pháp toán tử FK đã được áp
dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau như: dao động tử phi điều
hòa, bài toán polaron trong vật lý chất rắn, các bài toán hệ nguyên tử [2-5, 7, 12].
Chính vì vậy, sự lựa chọn phương pháp toán tử để giải bài toán exciton trong từ
trường là hợp lí và đã được thực hiện trong nhiều công trình trước đây [2-5].

8


Khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho các
bài toán hệ nguyên tử, phân tử, chúng ta gặp khó khăn là dạng thế tương tác
Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số. Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử

dụng phép biến đổi Levi-Civita hoặc Laplace. Trong công trình [5] đã sử dụng
thành công phép biến đổi Levi-Civita để giải bài toán exciton hai chiều trong từ
trường với kết quả nghiệm số thu được chính xác đến 20 chữ số sau dấu phẩy. Tuy
nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này thì năng lượng E không còn là trị riêng của
toán tử Hamilton nữa mà được xác định gián tiếp thông qua việc giải phương trình
Z(E) = const với Z là một trị riêng hình thức có giá trị không đổi. Đối với các bài
toán phức tạp hơn như bài toán exciton âm, chúng tôi nghĩ rằng việc xác định năng
lượng một cách gián tiếp như vậy không thuận lợi bằng việc giải trực tiếp. Trong
trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa độ ra khỏi
mẫu số; lúc này phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả mà
không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác. Trong luận văn này, tác giả
sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường để tiếp tục
khảo sát tính hiệu quả khi áp dụng phép biến đổi này trong phương pháp toán tử.
Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử FK đó là
vai trò của tham số tự do ω. Với mỗi giá trị ω khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài
toán là khác nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm
chính xác. Ngoài ra, độ chính xác của nghiệm gần đúng cũng phụ thuộc vào việc
chọn lựa ω. Vì vậy, việc chọn lựa tham số ω rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm
được nhiều tài nguyên tính toán. Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách
chọn ω là dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự
()
do, xác định thông qua điều kiện gần đúng: ∂En = 0 , nhưng khi áp dụng cho các
∂ω
0

trạng thái kích thích thì phương pháp này tỏ ra hạn chế [12]. Trong công trình [6] đã
đưa ra điều kiện mang tính phổ quát để xác định ω thông qua bài toán dao động tử
điều hòa. Tuy nhiên, đối với bài toán exciton 2D trong từ trường đều, việc khảo sát
ω chưa được tiến hành và thử nghiệm điều kiện đã nêu trong công trình [6].
9

Chính những lý do thực tiễn trên đã thúc đẩy tôi thực hiện luận văn “Khảo
sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ
trường đều theo tham số tự do” với mục tiêu là khảo sát sự hội tụ của phương
pháp toán tử cho bài toán cụ thể đang có tính thời sự: bài toán exciton hai chiều
trong từ trường đều theo tham số tự do. Luận văn chỉ giới hạn ở đối tượng là
exciton trung hoà.
Mục tiêu được thực hiện thông qua các nội dung nghiên cứu sau:
• Tìm hiểu về phương pháp toán tử.
• Tìm hiểu về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều.
• Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử.
• Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D
trong từ trường đều theo tham số tự do ω .
Để thực hiện luận văn, tôi đã sử dụng phương pháp nghiên cứu:
• Tìm kiếm, đọc, đánh giá, phân tích và tổng hợp tài liệu.
• Lập luận, tính toán để xây dựng phương trình Schrodinger cho exiton
2D trong từ trường đều.
• Tính toán, biến đổi các phép tính toán tử để đưa phương trình
Schrodinger cho exiton 2D trong từ trường đều về dạng không thứ
nguyên, dạng toán tử sinh huỷ 2 chiều và về dạng chuẩn.
• Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số.
1. Cấu trúc
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương này gồm hai phần. Phần đầu tiên giới thiệu tổng quan về phương
pháp toán tử FK qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Trong đó ta lần lượt
10

trình bày về ý tưởng phương pháp thể hiện qua các bước giải, ưu điểm của phương
pháp và lưu ý một số vấn đề khi sử dụng phương pháp toán tử. Phần hai trình bày
tổng quan về exciton: lịch sử, khái niệm, phân loại, tính chất của exciton và phương
trình Schrödinger cho exciton trung hoà 2D trong từ trường.
Chương 2: Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều trong từ
trường đều.
Trong chương này ta sẽ áp dụng phương pháp toán tử giới thiệu ở chương
1 để giải trực tiếp cho bài toán exciton trung hòa hai chiều trong từ trường đều. Ta
lần lượt tiến hành các bước giải tương tự như trong chương 1 để tìm nghiệm chính
xác bằng số cho bài toán, chỉ khác là ở đây ta sử dụng các toán tử sinh - hủy hai
chiều. Điểm lưu ý là trong phần này là để giải quyết vấn đề khó khăn khi dạng thế
tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số, chúng tôi đã dùng phép biến
đổi Laplace như trong công trình [7].
Chương 3: Vai trò tham số tự do trong phương pháp toán tử.
Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này, chúng ta sẽ
phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính
toán. Để minh họa, chúng tôi giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số
ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng

phương pháp toán tử FK [6]. Sau đó, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là
khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ
trường đều. Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của
bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn
cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều
kiện để chọn lựa giá trị tham số tối ưu và đưa ra một số kết luận.
Trong phần kết luận ta đưa ra các kết quả thu được trong luận văn và hướng
phát triển đề tài.

11

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này ta sẽ giới thiệu phương pháp toán tử FK giải phương trình
Schrödinger: các bước giải, ưu điểm, những vấn đề khi sử dụng phương pháp toán
tử; đồng thời ta cũng trình bày tổng quan về exciton: khái niệm, phân loại, tính chất
và phương trình Schrödinger cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều.

1.1 Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger
Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử FK đã xuất hiện vào những
năm 1979. Tuy nhiên, phương pháp toán tử FK đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi
nhóm của giáo sư Feranchuk I. D và Komarov L. I. ở trường Đại học Belarus [11]
và sau đó được áp dụng thành công cho nhiều bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2, 4, 12].
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử
đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
• Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông
thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt; các tính toán được
thực hiện trong quá trình áp dụng phương pháp đều là các biến đổi các
thuần đại số.
• Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ
bất kì.
• Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong
toàn miền thay đổi tham số trường ngoài.
Ý tưởng của phương pháp toán tử FK thể hiện qua bốn bước giải mà ta sẽ
trình bày sau đây trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều.
Xét phương trình Schrödinger cho dao động tử phi điều hòa:

12

Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x),

(1.1)

với toán tử Hamilton không thứ nguyên:

1 d2 1 2
Hˆ =
−
+ x + λ x4.
2
2 dx 2

(1.2)

Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản
như sau:
Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng
cách đặt biến số động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

aˆ =
aˆ + =

ω

i 
xˆ + pˆ  =

2
ω 

ω

ω

1 d 
;
x+

2
ω dx 

ω


xˆ − pˆ  =

2
ω 

1 d 
.
x−

2
ω dx 

i

(1.3)

Ở đây toán tử aˆ được gọi là “toán tử hủy”, aˆ + được gọi là “toán tử sinh” và

ω là tham số tự do được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán. Chúng ta gọi là
tham số tự do vì Hamitonian của hệ thực chất không phụ thuộc vào giá trị của ω.
Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:
 aˆ , aˆ +  = 1 .



(1.4)

Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các
toán tử sinh nằm ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi
cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của
toán tử (xem thêm Phụ lục 2).
Thế (1.3) vào (1.2) và sử dụng (1.4), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán
tử Hamilton như sau:

13


1+ ω2
1− ω2
+
ˆ
ˆ
ˆ
=
H

( 2a a + 1) + 4ω
4ω
+

λ
4ω 2

( )

 aˆ 4 + aˆ


+ 4

+ 4 ( aˆ

)

( )

 aˆ 2 + aˆ +


+ 3

2

 + 3λ
 4ω 4

aˆ + 4aˆ + aˆ 3 + 6 ( aˆ

(

 2 aˆ + aˆ


)

+ 2

)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1

+ 6aˆ 2  .




(1.5)

Bước hai: Tách Hamiltonian ở phương trình (1.5) thành hai thành phần như sau:
- Phần thứ nhất là Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) chỉ chứa các thành phần nˆ = aˆ + aˆ , các
thành phần này được gọi là các toán tử “trung hòa”, nghĩa là các số hạng chứa số
toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:

1+ ω2

3λ
=
Hˆ 0OM
2aˆ + aˆ + 1) + 2
(
4ω
4ω

(

 2 aˆ + aˆ


)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1 .


(1.6)

- Phần còn lại ta kí hiệu là Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) .
Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở đây ta tách toán tử
Hamilton thành hai thành phần: thành phần Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) có nghiệm chính xác
mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) được
xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện
của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω .
Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:
0

0
0
Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) .

(

(1.7)

)

Ta thấy Hˆ 0OM aˆ + aˆ , λ , ω giao hoán với toán tử nˆ = aˆ + aˆ và nghiệm của nó dễ
dàng xây dựng như sau:

n(ω ) =

( aˆ )
n!

1

+ n

14

0 ,

(1.8)


Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm

(1.8) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum)

0 được xác định bằng phương trình:
=
aˆ(ω ) 0 0;=
0 0 1.

(1.9)

Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng
tường minh của hàm sóng biểu diễn trạng thái chân không.
Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.4), ta dễ dàng kiểm chứng:

aˆ + aˆ n = n n ;

(1.10)

điều này có nghĩa là trạng thái (1.10) là nghiệm riêng của toán tử nˆ = aˆ + aˆ , từ đó có
thể thấy rằng nó cũng chính là nghiệm riêng của toán tử Hˆ 0 ( aˆ + aˆ, λ , ω ) . Ta có:
=
En( )
0

1+ ω2
3λ
( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1)
4ω
4ω

(1.11)

là năng lượng gần đúng bậc không tìm được phụ thuộc vào tham số ω . Như đã nói,
đây là tham số được đưa vào để tối ưu hóa quá trình tính toán, ta xác định ω từ điều
kiện:
∂En( )
= 0.
∂ω
0

(1.12)

Điều kiện để chọn giá trị ω theo phương pháp toán tử đã được thực hiện
trong một số công trình [7, 11, 12] và đã chỉ ra rằng phương trình (1.12) cho ta kết
quả tương đối chính xác ở gần đúng bậc zero đối với nhiều bài toán khác nhau.
Phương trình này cũng phù hợp với điều kiện Hˆ 0 >> Vˆ . Với bài toán chúng ta
đang xét, điều kiện (1.12) dẫn tới phương trình để xác định ω như sau:
0
( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) =

15

(1.13)


Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:
Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn để tính các
bổ chính bậc cao. Ngoài ra, do tính hội tụ của OM rất cao và chúng ta có tham số tự
do ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải
tìm nghiệm số. Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:
n+ s

Ck( s )Vnk ,
∑
k 0, k ≠ n
=

En( s ) = H nn + Vnn +

n+s

( En( s ) − H jj )C (j s +1) =
V jn + ∑ Ck( s )V jk ,

(1.14)

k =0
k ≠n

C (j ) 0,
với điều kiện ban đầu là=
0

( j ≠ n) .

Chú ý rằng ở đây chúng ta không cần sử

dụng tham số nhiễu loạn cho nên đã cho β = 1 . Ngoài ra các giá trị En( s ) , C (js ) tương
ứng với các bước lặp khác nhau chứ không phải là bổ chính.
Các yếu tố ma trận trong sơ đồ trên cũng như trong sơ đồ lý thuyết nhiễu
loạn được định nghĩa như sau:

+∞

+∞

−∞

−∞

H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ 0 ψ k ( x)dx , V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx
hay

H kk = k Hˆ 0OM k ,

V jk = j Vˆ k ;

(1.15)
(1.16)

các phần tử ma trận này có thể tính một cách dễ dàng bằng các biến đổi thuần đại số
nhờ các hệ thức (1.4), (1.9). Để tiện trong tính toán ta đưa ra hai công thức sau:
aˆ + n = n + 1 n + 1 ;

aˆ n = n n − 1 .

(1.17)

Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong
những ưu điểm của phương pháp toán tử. Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử
ma trận như (1.15) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường

16


minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số nhờ các hệ thức (1.4) và (1.9) và cụ
thể là sử dụng (1.10) và (1.17).
Kết quả ta có các phần tử ma trận khác không như sau :
H nn
=

1+ ω2
3λ
2n + 1) + 2 ( 2n 2 + 2n + 1) ,
(
4ω
4ω

1 − ω 2

λ
Vn,n+2= 
+
2 ( 2n + 3) 
2ω
 4ω


Vn,n=
+4

λ

4ω 2

( n + 2 )( n + 1) ,

( n + 4 )( n + 3)( n + 2 )( n + 1);

(1.18)

các phần tử ma trận khác thu được dựa vào tính đối xứng Vnm = Vmn .
Bảng 1.1: Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n = 0 [5].
λ = 0.01

λ = 0.05

λ = 0.1

λ = 0.3

λ = 1.5

0.5072875410

0.5477040816

0.574999999

0.6689058171

0.9727107180

E0( )
1

0.5072875410

0.5477040816

0.574999999

0.6689058171

0.9727107180

(2)
0

0.5072563014

0.5323777399

0.558838596

0.6373408787

0.8817884333

E0( )

0.5072562707

0.5326638127

0.559112766

0.6378326682

0.8840817664

E0( 4)

0.5072562023

0.5326424521

0.559151382

0.6380153133

0.8849480705

E0(5)

0.5072620492

0.5326424823

0.559146495

0.6379948737

0.8848112845

E0( 6)

0.5072620448

0.5326427790

0.559146278

0.6379914404

0.8847892918

E0( 7 )

0.5072620453

0.5326427553

0.559146329

0.6379917786

0.8847943659

E0(8)

0.5072620452

0.5326427551

0.559146328

0.6379918013

0.8847946861

E0(9)

0.5072620452

0.5326427553

0.559146327

0.6379917866

0.8847944336

E0(10)

0.5072620452

0.5326427552

0.559146327

0.6379917844

0.8847944198

E0(

0.5072620452

0.5326427552

0.559146327

0.6379917842

0.8847944251

(0)

E0

E

3

T)

17


Bảng 1.1 minh họa cho nghiệm chính xác của bài toán dao động tử phi
điều hòa ở trạng thái cơ bản n = 0 khi dùng phương pháp toán tử FK. Như đã nói ở

trên, mặc dù phương pháp toán tử được giới thiệu thông qua ví dụ của bài toán dao
động tử phi điều hòa, nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc vào dạng cụ
thể của toán tử Hamilton, do đó có thể áp dụng cho một nhóm rộng rãi các bài toán.
Tuy nhiên, cần lưu ý đến việc chọn tham số ω vì ứng với mỗi giá trị ω khác nhau
thì tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau. Điều kiện (1.12) trong một số bài toán
không cho tốc độ hội tụ cao. Vì vậy việc tìm ra được điều kiện để chọn lựa tham số
tự do ω tối ưu sao cho bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác là cần thiết
và rất có ý nghĩa.
Ngoài việc chọn tham số ω tốt để tốc độ hội tụ bài toán nhanh về giá trị
chính xác, khi áp dụng phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger cho
các bài toán phức tạp hơn như các bài toán hệ nguyên tử, phân tử, do một số đặc
điểm riêng chúng ta gặp một số vấn đề cần nghiên cứu và giải quyết như: dạng thế
tương tác Coulomb có biểu thức chứa tọa độ ở mẫu số ; việc đưa các toán tử về
dạng “chuẩn” (normal) để tính toán các yếu tố ma trận trong các sơ đồ tính bổ chính
bậc cao ; việc xây dựng bộ hàm sóng cơ sở đảm bảo là nghiệm của dao động tử điều
hòa đảm bảo tính đối xứng của bài toán và đồng thời thuận lợi cho việc tính toán;
cuối cùng là việc lựa chọn sơ đồ thích hợp để bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính
xác. Bài toán exciton trong từ trường khi sử dụng phương pháp toán tử FK cũng gặp
phải những vấn đề trên mà ta sẽ trình bày rõ hơn trong những phần sau.

18


1.2 Tổng quan về exciton
1.2.1 Lịch sử
Thực nghiệm cho thấy sự xuất hiện các đỉnh (peak) lạ trong phổ hấp thụ ở
tinh thể khí hiếm và trong tinh thể phân tử (xem [22]). Để giải thích điều này, năm
1931, khái niệm exciton lần đầu tiên được Frenkel tiên đoán và sau đó được tiếp tục
nghiên cứu phát triển trong các công trình tiếp theo của ông. Trong các công trình
của mình, Frenkel giới thiệu exciton như một sóng kích thích điện tử trong các tinh

thể khí hiếm. Mô hình exciton của ông phù hợp khi mô tả các exciton trong chất
cách điện, về sau các exciton loại này được gọi là exciton Frenkel hay còn gọi là
exciton phân tử (xem [19, 22]).
Đến năm 1937, Wannier và Mott đưa ra mô hình exciton mới được tạo thành
bởi tương tác Coulomb giữa điện tử và lỗ trống, tương tự như nguyên tử hydro, phù
hợp khi mô tả các exciton trong bán dẫn. Exciton loại này sau được đặt tên là
exciton Mott-Wannier (xem [19, 22]). Sau đó, phổ hấp thụ của exciton MottWannier được Gross tìm thấy đầu tiên trong thực nghiệm vào năm 1951 trong tinh
thể Cu 2 O (xem [16]).
Năm 1958, Lampert nêu ra khả năng tồn tại các trạng thái exciton phức tạp
mang điện, ví dụ như exciton âm là trạng thái liên kết của hai electron với một lỗ
trống [17]. Đến những năm 90 thì thực nghiệm đã quan sát được phổ năng lượng
của exciton âm trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử
và lỗ trống rất lớn [15].
Ngày nay, bằng chứng về sự tồn tại của exciton đã được phát hiện trong các
hầu hết các loại tinh thể điện môi (alkali halide, naptalene, benzene), bán dẫn (Ge,
GaAs, CdS, Cu 2 O, CuCl), và cả trong polymer [16, 19].
Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton: khi sự kết hợp xảy ra giữa một
điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa, khi hai điện tử kết hợp với một lỗ

19


trống thì exciton có điện tích âm (exciton âm), và cũng có trường hợp khi hai lỗ
trống kết hợp với một điện tử tạo ra một exciton dương. Trong giới hạn của luận
văn này chỉ đề cập đến trường hợp exciton trung hòa.
1.2.2 Khái niệm
Trong bán dẫn thông thường, độ rộng của vùng cấm Eg giữa vùng dẫn và
vùng hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh
sáng khả kiến. Một photon có năng lượng hω > Eg có thể kích thích một điện tử
trong vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn và để lại trong vùng hóa trị một lỗ trống thể

hiện như một điện tích dương. Một điện tử dẫn liên kết với một lỗ trống bởi tương
tác Coulomb sẽ tạo ra một hệ tương tự nguyên tử hydro, tuy nhiên năng lượng liên
kết của nó nhỏ hơn nhiều và kích thước lớn hơn nhiều lần so với nguyên tử hydro.
Ở giới hạn mật độ thấp, khi đó ta có thể bỏ qua hiệu ứng nhiều hạt, cặp điện tử - lỗ
trống được coi như một giả hạt tự do gọi là exciton.

Hình 1.1: Các mức năng lượng exciton [5].

Như vậy, exciton là trạng thái liên kết giữa một điện tử và một lỗ trống thông
qua tương tác tĩnh điện (tương tác Coulomb) trong chất bán dẫn hoặc điện môi.

20


Trạng thái này là một giả hạt có khả năng mang và truyền kích thích trong mạng
nhưng không lan truyền điện tích.
1.2.3 Phân loại
Exciton được phân làm hai loại tùy thuộc vào tính chất của vật liệu đang xét:
• Exciton Mott-Wannier: Trong chất bán dẫn, hằng số điện môi tương
đối lớn gây ra thế chắn, làm giảm tương tác Coulomb giữa điện tử và
lỗ trống. Trong trường hợp này, mặc dù vẫn tương tác với nhau nhưng
các điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ
trống tương ứng cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng. Điện tử và
lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách lớn hơn nhiều lần hằng số
mạng. Khi đó, thế năng của mạng tinh thể sẽ tác động đáng kể đến
chuyển động của điện tử và lỗ trống, làm giảm khối lượng hiệu dụng
của chúng; lại cộng thêm thế chắn của môi trường mạng nên năng
lượng liên kết của exciton thường nhỏ hơn nhiều so với năng lượng
của hydro (mức trung bình là 0.1 eV). Loại exciton này gọi là exciton
Mott-Wannier, đặt theo tên hai nhà khoa học Nevil Francis Mott và

Gregory Wannier. Exciton loại này thường xảy ra trong tinh thể đồng
hóa trị.
• Exciton Frenkel: Trong chất cách điện, hằng số điện môi rất lớn nên
điện tử và lỗ trống tương tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Loại
exciton này được gọi là exciton Frenkel, đặt theo tên của J. Frenkel
(còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính nhỏ). Do kích cỡ
nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi trường mạng nên
năng lượng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV).

21


Hình 1.2: Exciton Mott Wannier: liên kết yếu với khoảng cách trung
bình giữa electron – lỗ trống lớn hơn so với hằng số mạng [5].

Hình 1.3: Exciton Frenkel: liên kết được biểu diễn định xứ tại một
nguyên tử trong một tinh thể kiểu halogenua [5].

1.2.4 Tính chất
Exciton có các tính chất chính như sau:
• Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi.
• Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử hydro, tuy
nhiên nó có bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn.

22


• Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton
gián đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các
vạch như phổ hấp thụ của hydro.

• Sự tồn tại của exciton được chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát
hiện một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng
dài với các mũi nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm
thay đổi nồng độ hạt dẫn. Phổ vạch dạng giống như nguyên tử hydro
đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng cấm rộng như CdS,
HgI 2 , PbI 2 , CdI 2 , CuO 2 ,...

Hình 1.4: Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [5].

23


1.2.5 Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường đều
Phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ trường có dạng:
Hˆ ψ ( x, y ) = Eψ ( x, y ),

với Hamiltonian có dạng:

Hˆ=

2
2
1 
e   1 * 2 2
1 
e   1 * 2 2
Ze 2
ˆ
ˆ
−

+
+
+
+
−
p
A
m
r
p
A
m
r
ω
ω
.
e
e
c e
h
h
c h
 e
 h
c  2
c  2
ε re − rh
2me* 
2mh* 

Trong đó:
2
2
1 
e  
1 
e  
 pˆ e − Ae  và
 pˆ h + Ah  lần lượt là động năng của
c 
2mh* 
c 
2me* 

•

electron và lỗ trống. Trong biểu thức trên, vector xung lượng pˆ được
 1  
e 

thay bằng  pˆ − A  do tác dụng của từ trường, với Ai =  ri , B  là
2
c 



thế vector của từ trường, xét trường hợp B = (0, 0, B) .
1
1
• Số hạng me*ωc 2 re 2 , mh*ωc 2 rh 2 là động năng do chuyển động xoáy

2
2

ốc dưới tác dụng của từ trường của electron và lỗ trống, với

ωc =

eB
là tần số chuyển động xoáy ốc và B là cường độ từ trường.
m*c

• Số hạng −

Ze 2
là thế năng tương tác Coulomb giữa electron và
ε re − rh

lỗ trống.

Ta tính:

  
i j k
 1  
1
1  1 
 r=

=
Ai

x y=
z
Byi − Bxj
i , B
2
2
2
2
0 0 B

24


 2 B2 2
B2 2
2
⇒ A=
r ,
(x + y=
)
4
4

1
1
0;
⇒ Ax =By; Ay =
− Bx; Az =
2
2

Tính:
2
2
 
e   
e  
ie
e2  2

2 2
ˆ
p
−
A
=
−
i
∇
−
A
=
−
∇
+
∇
A
+
A
∇

+


(
)
( Ae ) .
e
e
e
e
e e
e e
 e

c  
c 
c
c2



∇ e Ae=


∂
∂
∂
Ax + Ay + Az= divAe ;
∂x
∂y

∂z

∂
∂
∂
∇ e Ax + Ay
+ Az ;
Ae=
∂x
∂y
∂z



Chọn Ae sao cho divAe = 0 ; suy ra:
2
2
e   
e  
i e 
e2  2

2 2
ˆ
p
−
A
=
−
i

∇
−
A
=
−
∇
+
(
A
∇
)
+
( Ae )


e
e
e
e
e e
 e

c  
c 
c
c2

2
 2
1 

e  
e2
 2 2 ie 
⇒
−
i

∇
−
A
=−
∇
+
(
A
∇
)
+
(
A
e
e
e
e
e
e) .


2me* 
c 

2me*
2me*c
2me*c 2

Số hạng


e2
e2
( Ae ) 2 .
có
bậc
quá
nhỏ,
nên
ta
có
thể
bỏ
qua
* 2
2
2me c
c

 ∂
∂ 
−i  x − y  , xét:
Với: Lˆz =
∂y

∂x




ie 
ie 
∂
∂
∂ 
( Ae∇ e )
A
=
+ Ay + Az 
*
*  x
2me c
2me c  ∂x
∂y
∂z 
=

 ∂
eB
eB ˆ
∂ 
i  y −=
x 
Lz ,
*

2me c  ∂x
∂y  2me*c

25