Khảo sát sự hội tụ định lí Toeplitz

Giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình
Ta sẽ khảo sát sự hội tụ của các dãy số trung bình cơ bản với định lí Toeplitz là cơ sở:
Định lý Toeplitz giả sử bộ số
nk
P
(
1;k n=
; n= 1,2,…) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1)
0
nk
P ≥
(2)
1
1
n
nk
k
P
=
=
∑
(3)
lim 0
nk
n
P
→∞
=
Giả thiết rằng
lim

n
n
x a
→∞
=
. Khi đó dãy
{ }
n
t
được xác định theo công thức:
1
.
n
n nk k
k
t P x
=
=
∑
( n = 1,2,…)
hội tụ và có
lim
n
n
t a
→∞
=
.
Chứng minh: Vì
lim

n
n
x a
→∞
=
nên
n∃
sao cho
2
n
x a
ε
− <
n N∀ >
và
0M∃ >
sao cho
;
n n
x M x a M n≤ − ≤ ∀
Từ (3) ta có
o
n N∃ >
sao cho
( )
0
1;
2
nk
P k n n n

NM
ε
< = ∀ >
Ta có
1 1 1
. . .
n n n
nk k nk k nk
k k k
P x a P x P a
= = =
− = −
∑ ∑ ∑
( )
1 1
. .
n n
nk k nk k
k k
P x a P x a
= =
= − = −
∑ ∑
( )
0
nk
P >
1 1 2 2
...
n n nn n

P x a P x a P x a= − + − + + −
1 2 2
... ...
n n nN n nn n
P P x a P x a P x a= + − + + − + + −
( )
1
. ...
2 2 2 2
nN nn
MN P P
NM
ε ε ε ε
ε
+
≤ + + + < + =
0
n n∀ >
1
.
n
nk k
k
P x a
ε
=
⇒ − <
∑
0
n n∀ >

1
lim lim .
n
n nk k
n n
k
t P x a
→+∞ →∞
=
 
⇒ = =
 ÷
 
∑
Xét sự hội tụ của các dãy số trung bình cơ bản sau với kết quả của định lí Toeplitz.
1) Chứng minh rằng nếu
{ }
n
x
hội tụ thì dãy gồm các trung bình cộng
( )
1 2
1
...
n n
x x x
n
ε
= + + +
( )

1, 2,...n =
cũng hội tụ và
lim lim
n n
n n
x
ε
→∞ →∞
=
Giải: Đặt
1
nk
P
n
=
*
( )n N∈
thì
nk
P
và
n
x
thoả mãn các điều kiện của định lí Toeplitz. Trong đó:
1
.
n
n nk k n
k
t P x

ε
=
= −
∑
Do đó ta có:
lim lim
n n
n n
x
ε
→∞ →∞
=
2) Chứng minh rằng nếu dãy hội tụ
{ }
n
y
và
0
n
y >

*
n N∀ ∈
thì dãy gồm các trung bình có điều hoà:
1 2
1 1 1
...
n
n
n

y y y
γ
=
+ + +
( )
*
n N∈
Cũng hội tụ và:
lim lim
n n
n n
y
γ
→∞ →∞
=
Giải;
Đặt
1 2
1
1 1 1
...
k
nk
n
y
P
y y y
=
+ + +
( )

*
k N∈
Lúc đó các điều kiện của định lí Toeplitz được thoả mãn trong đó
n n
t
γ
=
. Do đó:
lim lim
n n
n n
y
γ
→∞ →∞
=
3) Chứng minh rằng nếu
{ }
n
x
hội tụ và
( )
*
0
n
x n N> ∈
thì:
1 2
lim ... lim
n
n n

n n
x x x x
→∞ →∞
=
Giải: Ta có
1 2
1 2
...
...
n
n
n n
x x x
x x x
n
ε
+ + +
≤ =
(1)
Có
1 2
1 2
1 1 1 1
... .
...
n
n
n
n
x x x

x x x
+ + + ≥
1 2
1 2
...
1 1 1
...
n
n n
n
n
x x x
x x x
γ
⇒ = ≤
+ + +
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
1 2
...
n
n n n
x x x
γ ε
≤ ≤
Mà
lim lim lim
n n n
n n n
x

γ ε
→∞ →∞ →∞
= =
( bài 1 và bài 2)
1 2
lim ... lim
n
n n
n n
x x x x
→∞ →∞
⇒ =
4) Cho các dãy
{ }
1
u
và
{ }
1
v
được xác định như sau:
1 1
, .u a v b= =
1 1 1
;
2 2
n n n n
n n
u v u v
u v

− − −
+ +
= =
2n
∀ ≥
Chứng minh rằng:
( )
1
2 1
1
3 4
n
n
u a b a
−
 
= + − −
 ÷
 
( )
1
2 1
1
3 2.4
n
n
v a b a
−
 
= + − −

 ÷
 
Giải: Ta có
1
2
n n n
v u v
−
= +
1 1 1 1
4 2 2 2
n n n n n n
v u v u v v
− − − −
⇒ = + = + +

1 1 1 1 2
4 3 3 2
n n n n n n
v v u v v v
− − − − −
= + = + −
( vì
2 2
1
2
n n
n
u v
u

− −
−
+
=
)
1 2 1 2
4 5 4 5 0
n n n n n n
v v v v v v
− − − −
⇒ = − ⇒ − + =
Xét phương trình đặc trưng của dãy
n
v
.
1
2
2
1
4 5 1 0
1
4
λ
λ λ
λ
=


− + = ⇔


=


Do đó
n
v
có dạng
( ) ( )
1 2
n n
n
v x y
λ λ
= +

1
.
4
n
n
v x y= +
Ta có
1 1
2 2
3
2
2 2 2 4
a b
b
u v a b a b

u v
+
+
+ + +
= = ⇒ = =
Ta có hệ:
( )
2
1
3
4
1 3
4
16 4
3
a b
x
x y b
a b
x y
y b a
+


=
+ =


 
⇒

 
+
 
+ =
= −




( )
( )
1
2 1 4
.
3 4 3
2 1
1
3 2.4
n
n
n
a b
v b a
a b a
−
+
⇒ = + −
 
= + − +
 ÷

 
Có
( ) ( )
1 1
1 2
4 1 2 1
2 2 2 1 1
3 2.4 3 2.4
n n n n n n
n n
v u v u v v a b a a b a
− −
− −
   
= + ⇒ = − = + − + − − − +
 ÷  ÷
   
( )
( )
1 1
1
2 2 4
2 1
3 2.4 2.4
2 1
1
3 4
n
n n
n

u a b a
a b a
− −
−
 
= + − + − −
 ÷
 
 
= + − −
 ÷
 
( )
2 2
lim lim
3 3
n n
n n
a b
u v a b a
→∞ →∞
+
⇒ = = + − =
Ta có mệnh đề sau: các dãy
{ }
n
u
và
{ }
n

v
được xét như sau:
1 1
,u a v b= =
1 1 1
;
2 2
n n n n
n n
u v u v
u v
− − −
+ +
= =
2n
∀ ≥
Khi đó ta có
2
lim lim
3
n n
n n
a b
u v
→∞ →∞
+
= =
5) Các dãy
{ }
n

u
và
{ }
n
v
được xác định như sau:
1 1
0, 0u a v b= > = >
1 1 1
;
2 2
n n n n
n n
u v u v
u v
− − −
+ +
= =
2n
∀ ≥
CMR:
lim lim
n n
n n
u v ab
→∞ →∞
= =
Giải: Khi n > 2 ta có:
1 1
1 1

1 1
2
2
1 1
n n
n
n n
n n
u v
v
v u
u v
− −
− −
− −
= =
+
+
1 1 1 1
1 1
1 1
2
.
2
n n n n
n n n n
n n
u v u v
v u u v
v u

− − − −
− −
− −
+
⇒ = =
+
1 1 1 1
...
n n n n
v u u v u v ab
− −
⇒ = = = =
n
∀