mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong dạy học hình học lớp 12 ở việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Phong

MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 12 Ở VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Phong

MỐI LIÊN HỆ
GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
LỚP 12 Ở VIỆT NAM
Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học môn
Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS: Đoàn Hữu Hải

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, người đã
nhiệt tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng
dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán,
cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Long Khánh
tỉnh Đồng Nai, Trường Trung học thực hành ĐHSP thành phố Hồ Chí Minh đã tạo
điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những
người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.
NGUYỄN MINH PHONG


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GDPT

: giáo dục phổ thông

SGK

: Sách giáo khoa

SBT

: Sách bài tập

SGV

: Sách giáo viên

TCTH

: Tổ chức toán học

THPT

: Trung học phổ thông

THCS

: Trung học cơ sở

VTPT

: vectơ pháp tuyến

mp

: mặt phẳng


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 1 .............................................40
Bảng 2: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 2 .............................................41
Bảng.3: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 3 .............................................43
Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 4 .............................................45
Bảng 4: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 5 .............................................47

Bảng 5: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 6 ..................................49
Bảng 6: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 7 ..................................52
Bảng 7: Bảng thống kê các nhiệm vụ trong kiểu nhiệm vụ T 8 ..................................54
Bảng 8: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 1 ...................................................62
Bảng 9: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 2 ...................................................63
Bảng 10: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm câu 3 .................................................64


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1
I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát ............................................................................ 1
II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu ........................................................................................ 2
III. Khung lí thuyết tham chiếu .......................................................................................... 3
1. Thuyết nhân học sư phạm .......................................................................................... 3
2. Hợp đồng didactic ...................................................................................................... 5
IV. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................. 6
V. Tổ chức của luận văn .................................................................................................... 7

CHƯƠNG I: ......................................................................................................................... 8
MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ........... 8
I. Hình học giải tích thời cổ đại ......................................................................................... 8
1. Apollonius (262-190 TCN) ........................................................................................ 8
2. Kết luận ...................................................................................................................... 9
II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18 .................................................................................... 10
1. Rene Descartes (1596-1650) .................................................................................... 10
2. Pierre de Fermat (1601-1665) .................................................................................. 14
3. Kết luận .................................................................................................................... 15
III. Những phát minh sau Descartes và Fermat ............................................................... 15
1. Tóm tắt sự phát triển ................................................................................................ 15
2. Kết luận .................................................................................................................... 16
CHƯƠNG 2 : ...................................................................................................................... 17
MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC 12 NÂNG CAO ............................ 17
I. Mục đích phân tích ....................................................................................................... 17
II. Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương trình và SGK
ở Việt Nam ....................................................................................................................... 18
1. Giai đoạn chuẩn bị ................................................................................................... 18


1.1 Khái niệm tọa độ điểm ........................................................................................... 18
1.2 Khái niệm đồ thị hàm số ........................................................................................ 19
1.3 Một số quan hệ hình học ........................................................................................ 21
Kết luận ........................................................................................................................ 23
2. Giai đoạn tường minh .............................................................................................. 23
2.1 Tình huống đưa vào khái niệm tọa độ của một điểm ............................................. 25
2.2 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt phẳng ...................................... 26
2.3 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình đường thẳng ................................... 29

2.4 Tình huống đưa vào khái niệm phương trình mặt cầu........................................... 30
2.5 Tình huống đưa vào khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau .... 31
2.6 Tình huống đưa vào quan hệ đồng phẳng của bốn điểm ....................................... 33
2.7 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai mặt phẳng ....................................... 35
2.8 Tình huống đưa vào vị trí tương đối của hai đường thẳng................................... 37
3. Các tổ chức toán học ................................................................................................ 38
3.1) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : xác định tọa độ của điểm .............. 38
3.2) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 2 : viết phương trình mặt phẳng .. 41
3.3) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T 3 : Viết phương trình đường thẳng
..................................................................................................................................... 43
3.4) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 4 : xác định khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau ............................................................................................... 45
3.5) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 5 : xét tính đồng phẳng của bốn điểm
A,B,C,D: ....................................................................................................................... 46
3.6) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 6 : xét vị trí tương đối của hai mặt
phẳng ........................................................................................................................... 48
3.7) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 7 : xét vị trí tương đối của hai đường
thẳng ............................................................................................................................ 49
3.8) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 8 : dùng phương pháp tọa độ giải toán
hình học không gian với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH ...................................... 53
III. Kết luận ...................................................................................................................... 54
CHƯƠNG 3 ........................................................................................................................ 57
THỰC NGHIỆM ............................................................................................................... 57
I. Mục đích thực nghiệm .................................................................................................. 57


II. Các câu hỏi thực nghiệm ............................................................................................. 57
III. Phân tích a priori ........................................................................................................ 58
Câu 1: ........................................................................................................................... 58
Câu 2: ........................................................................................................................... 59

Câu 3: ........................................................................................................................... 60
IV. Phân tích a posteriori ................................................................................................. 61
V. Kết luận ....................................................................................................................... 65
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RA TỪ LUẬN VĂN ...................................................... 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 70


trang 1

PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
- Trong lịch sử phát triển của toán học, xu hướng đại số hóa hình học bắt đầu
được vài thế kỉ (thế kỉ XVII-XVIII) do Rene Descartes và Pierre Fermat đặt nền
móng, và đang là xu hướng chiếm ưu thế trong việc giải quyết bài toán hình học.
Tuy nhiên, hình học được nghiên cứu bằng phương pháp tổng hợp có từ rất lâu
trong lịch sử phát triển của toán học, từ thời Euclide đã có nền tảng khá vững chắc.
Vậy các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng trên cơ sở hai
phương pháp này có liên hệ với nhau như thế nào? Việc vận dụng kiến thức HHTH
để giải quyết bài toán HHGT và ngược lại thể hiện như thế nào?
- Trong việc dạy học hình học ở phổ thông, trong yêu cầu về kiến thức và kĩ
năng đối với học sinh khi học chương phương pháp tọa độ trong không gian,
chương trình toán phổ thông và sách giáo viên hình học 12 đã yêu cầu học sinh:
“Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
…biết điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng…” ([10], tr 189)
Chẳng hạn, cụ thể với mục tiêu: “Hiểu được khái niệm vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng”, chúng ta biết rằng học sinh phải vận dụng được các kiến thức của
HHTH như khái niệm và các điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Rõ ràng để đạt được những mục tiêu chương trình yêu cầu thì học sinh cần
vận dụng được các kiến thức của HHTH để hiểu và để giải toán HHGT. Vấn đề đặt
ra ở đây sẽ là: liệu trình bày của SGK hiện hành có tạo điều kiện để học sinh vận

dụng các kiến thức HHTH đã học?
Theo hướng ngược lại, chúng ta nhận thấy yêu cầu của SGV hình học 12 đối
với học sinh như sau:
“Biết biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học như sự thẳng
hàng của ba điểm, sự cùng phương của hai vectơ, sự đồng phẳng của ba vectơ,
quan hệ song song, quan hệ vuông góc…

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 2

Giải được một số bài toán của hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ” ([9], trang 66).
Muốn làm được điều này, học sinh phải nắm vững mối liên hệ giữa các khái
niệm hình học, các quan hệ hình học của hình học tổng hợp với các khái niệm, các
quan hệ tương ứng của hình học giải tích sau khi đã đặt hình vẽ vào một hệ trục tọa
độ thích hợp. Như vậy vấn đề đặt ra ở đây sẽ là liệu cách trình bày của SGK hiện
hành có làm cho học sinh nắm được mối liên hệ này hay không? Có giúp học sinh
lựa chọn một hệ trục tọa độ thích hợp với bài toán đã cho không? Một cách hệ
thống hơn, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau:
Q1’) Các khái niệm hình học, các quan hệ hình học được xây dựng bằng
phương pháp tổng hợp và phương pháp giải tích có mối liên hệ với nhau như thế
nào?
Q2’) Liệu cách trình bày của các SGK hiện hành có làm cho học sinh thấy
được mối liên hệ đó?
Q3’) Liệu học sinh có vận dụng được mối liên hệ giữa các khái niệm, các
quan hệ hình học giữa HHTH và HHGT để giải quyết một bài toán hình học không?
II. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Do thời gian giới hạn, luận văn này chỉ thực hiện nghiên cứu mối liên hệ giữa

HHTH và HHGT trong phạm vi hình học lớp 12 chương trình hiện hành. Cụ thể
mối liên hệ được đề cập ở đây là mối liên hệ giữa kiến thức về các khái niệm hình
học, các quan hệ hình học được đề cập trong chương “phương pháp tọa độ trong
không gian”, sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12.
- Chúng tôi lựa chọn bộ sách hình học 12 nâng cao để phân tích vì chúng tôi
nhận thấy trong bộ sách này, một số khái niệm hình học, quan hệ hình học như sự
đồng phẳng của bốn điểm, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau… được đề cập tường minh hơn so với bộ sách hình học
12 chương trình cơ bản.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 3

III. Khung lí thuyết tham chiếu
- Để trả lời những câu hỏi đặt ra, tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi
didactic Toán, cụ thể tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của thuyết nhân học sư
phạm ( quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng O, tổ chức toán học
(praxéologie)) và khái niệm hợp đồng didactic. Sau đây, chúng tôi sẽ cố gắng giải
thích sự thỏa đáng trong việc chọn khung lí thuyết tham chiếu:
1. Thuyết nhân học sư phạm
• Quan hệ cá nhân với một đối tượng
- Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan
hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động
qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, …
R(X, O) chỉ rõ cách thức mà X biết O.
- Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và
một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết.
- Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X

với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc
quan hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người.
• Quan hệ thể chế với một đối tượng
- Một đối tượng O không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong
ít nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải
được đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng
phải có một quan hệ xác định.
- Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách
khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn
tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái thì O chỉ có thể
phát triển nếu nó có một lý do tồn tại, nếu nó được nuôi dưỡng trong những quan
hệ, những ràng buộc ấy.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 4

- Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I, O),
để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O
xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân tích
sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
- Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới
các ràng buộc của R (I, O).
- Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và
quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công
cụ để thực hiện công việc đó:
• Tổ chức toán học
- Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết
xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan

điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.
- Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công
nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ
của công nghệ θ .
- Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là
một tổ chức toán học (organisation mathématique).
“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình
trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy
sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên”. (Bosh và Chervarlard, 1999, tr 85)

Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể
phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học hình học 12 ở Việt Nam với mối
liên hệ giữa HHTH và HHGT, đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học
sinh với các đối tượng nêu trên. Điều này sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu
mà chúng tôi đã đặt ra.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 5

2. Hợp đồng didactic
- Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy-học là sự mô hình hóa các
quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối
tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường
minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên,
về một tri thức toán học được giảng dạy.
- Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các
quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị

trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu
sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích.
Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường
phải trải qua.
- Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành
như sau:
- Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những
thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là
tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:
 Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức.
 Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.
 Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình
huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.
 Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ
mong đơi ở học sinh.
- Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:
 Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
 Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức.
 Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK.
- Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến
việc sử dụng các khái niệm hình học, quan hệ hình học trong hình học tổng hợp và

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 6

hình học giải tích sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các ứng xử của học sinh và tìm ra
ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành. Điều này cho phép trả lời phần nào câu
hỏi 3 đã đặt ra ở trên.

- Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Lý thuyết nhân
chủng học và khái niệm hợp đồng didactic theo chúng tôi là thỏa đáng.
- Trong phạm vi lí thuyết đã chọn, các câu hỏi xuất phát có thể được trình bày
lại như sau:
Q1) Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối liên hệ giữa các khái niệm hình
học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT thể hiện như thế nào?
Q2) Mối liên hệ này được thể chế dạy học hình học lớp 12 chương trình nâng
cao đề cập như thế nào?
Q3) Quan hệ của thể chế với đối tượng đang xét (mối liên hệ giữa HHTH và
HHGT) ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng này như thế
nào?
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để trả lời cho các câu hỏi đã nêu, tôi xin trình bày sơ lược phương pháp nghiên cứu
của mình như sau:
- Phân tích lịch sử phát triển của HHGT nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các khái
niệm hình học, các quan hệ hình học của HHTH và HHGT trong lịch sử. Nghiên
cứu này đồng thời là một tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế sẽ được thực hiện
phía sau.
- Phân tích chương trình và SGK Hình học 12 nâng cao, phân tích này cho phép làm
rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng cần nghiên cứu.
- Tổng hợp kết quả hai phân tích trên để đề ra một số giả thuyết nghiên cứu.
- Xây dựng thực nghiệm kiểm chứng những giả thuyết nghiên cứu đã rút ra.
Có thể tóm tắt phương pháp nghiên cứu bằng sơ đồ sau:

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 7

Nghiên cứu lịch sử

phát triển của hình
học giải tích

Tham chiếu

Nghiên cứu chương
trình, SGK hình học
nâng cao lớp 12

Cơ sở đề xuất
Thực nghiệm

Kiểm chứng

Giả thuyết nghiên
cứu

V. Tổ chức của luận văn
Luận văn được tổ chức thành 3 chương như sau:
- Chương 1: Một vài nét về mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích
trong lịch sử phát triển của toán học.
- Chương 2: Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích trong chương
trình và SGK hình học 12 nâng cao.
- Chương 3: Thực nghiệm.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 8

CHƯƠNG I:

MỘT VÀI NÉT VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG
HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG LỊCH SỬ PHÁT
TRIỂN CỦA HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
I. Hình học giải tích thời cổ đại
1. Apollonius (262-190 TCN)
- Apollonius đã lập được “phương trình” (thật ra là các đẳng thức về các
đoạn thẳng tỉ lệ) của parabol, elip, hyperbol, mà nếu phát biểu bằng ngôn ngữ đại số
hiện đại thì các phương trình ấy có dạng như sau:
y2 =
2 px; y 2 =−
2 px

p 2
p 2
x ; y 2 =+
2 px
x
a
a

- Ta xét cách mà Apollonius lập phương trình của parabol để thấy rõ hơn
cách làm của ông: ông xét một hình nón nghiêng 1 đỉnh A, đáy là đường tròn đường
kính BC. Từ một điểm P trên cạnh AB, ông dựng một mặt phẳng cắt đáy theo dây
cung ED vuông góc với đường kính BC 2. Giao tuyến của hình nón với mặt phẳng
này là parabol EPD (xem hình vẽ). Gọi Q là một điểm bất kì trên parabol đó. Dựng
một mặt phẳng qua Q song song với đáy, cắt hình nón theo đường tròn HQK.
Trong đường tròn HQK, ta có QV 2 = HV .VK
Mà hai tam giác HVP và BCA đồng dạng nên

HV VP
VP.BC
=
⇒ HV =
BC AC
AC

Mà PV//AC nên

PA BA
PA.BC
=
⇒ VK =
VK BC
BA

 PA.BC 2 
Như vậy, Apollonius suy ra QV = PV . 

 AB. AC 
2

1
2

Là hình nón có hình chiếu của đỉnh xuống đáy không trùng với tâm đường tròn đáy.
Theo định nghĩa parabol, mặt phẳng này song song với AC.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…

trang 9

Điều này có nghĩa là QV2 bằng tích của PV với một số không đổi, hay như
chúng ta biết theo kí hiệu hiện đại là y 2 = 2 px .
- Sau khi có được phương trình của các cônic, Apollonius đã phân loại các cônic
theo phương trình của chúng.
- Xét về bản chất, Apollonius đã lập phương trình của các cônic bằng cách đưa
một hệ trục tọa độ xiên góc vào cônic. Một trục ông thường chọn là trục đối xứng
của cônic ấy. Với trục này ông xác định được “hoành độ” của điểm trên cônic, còn
“tung độ” của điểm đó là khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu xiên góc của nó lên
“trục hoành”.
- Như vậy, trong “hình học giải tích” mà Apollonius xây dựng, các khái niệm
hình học, cụ thể là khái niệm cônic, Apollonius định nghĩa cônic là giao tuyến của
mặt nón tròn xoay với mặt phẳng, tức là các khái niệm hình học hoàn toàn đồng
nhất với các khái niệm của HHTH. Về các quan hệ hình học, hầu hết chúng vẫn
đồng nhất với các quan hệ hình học của HHTH, tuy nhiên một vài quan hệ đã ngầm
ẩn chuyển sang quan hệ đại số dưới dạng tỉ số của các đoạn thẳng dựa trên đặc
trưng của đoạn thẳng là độ dài của chúng.
2. Kết luận
- Mặc dù ý tưởng chính của Apollonius là phân loại các cônic dựa theo
phương trình của chúng, tuy nhiên các khái niệm hình học (cụ thể ở đây là cônic)
được định nghĩa là giao tuyến của mặt nón với mặt phẳng, và các quan hệ hình học
đơn giản như quan hệ liên thuộc, tính thẳng hàng, song song, vuông góc trong “hình
học giải tích” mà ông xây dựng vẫn bộc lộ rõ sự gắn kết chặc chẽ, thậm chí là đồng
nhất giữa chúng với các khái niệm, các quan hệ hình học của HHTH. Một vài quan
hệ hình học cũng bắt đầu ngầm ẩn chuyển sang phạm vi HHGT dựa trên đặc trưng
độ dài, diện tích… của chúng. Do vậy, HHGT ở giai đoạn này chỉ ở giai đoạn ý
tưởng, mầm móng: các bài giải của HHGT hầu như đồng nhất với lời giải của
HHTH, kiến thức HHTH được vận dụng triệt để, phổ biến để giải quyết vấn đề của

HHGT.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 10

II. Hình học giải tích thế kỉ 17-18
1. Rene Descartes (1596-1650)
- Cách giải một bài toán hình học của Descartes là “dịch nó sang ngôn ngữ
các phương trình đại số, biến đổi chúng về dạng đơn giản nhất có thể được, rồi
dùng các phép dựng hình học để giải chúng, bằng cách sử dụng tương ứng mà ông
đã thiết lập giữa các phép toán đại số và phép dựng hình học” (theo [5], tr 35).
- Bài toán gợi ý tưởng cho Descartes phát minh ra phương pháp tọa độ là bài
toán Pappus 3, phát biểu dưới dạng tổng quát như sau:
“Cho 2n (hoặc 2n-1) đường thẳng cố định, tìm quĩ tích những điểm sao cho tỉ số
của tích độ dài các đoạn thẳng vẽ từ điểm đó tới n đường thẳng đã cho dưới một
góc cho trước và tích độ dài các đoạn thẳng tương tự vẽ tới n (hoặc n-1) đường
thẳng còn lại là một số không đổi”
- Đây là một bài toán rất khó của hình học, trong lịch sử gần hơn một ngàn
năm trăm năm xuất hiện của nó, cho tới thời của Descartes, chỉ có một số bài giải
của các trường hợp đặc biệt trong trường hợp ba, hoặc bốn đường thẳng. Ta xét
cách làm của Descartes 4 trong trường hợp bốn đường thẳng và không có bất kì hai
đường nào trong số đó song song với nhau:
- Gọi điểm cần tìm là C. Gọi các

T

đoạn thẳng dựng được từ C xuống bốn

S

đường thẳng đã cho là CB, CD, CF, CH.

R

Chọn một trong bốn đường thẳng làm

E

A

G

B

gốc, ba đường thẳng còn lại cắt đường
thẳng gốc tại A,E,G. Đặt AB=x, BC=y.

H
F

Ba đường thẳng còn lại cắt BC tại R,S,T.
(hình vẽ)

3

C

D

Papus 290-350, một nhà toán học Hi Lạp, có công sưu tầm và phát triển các công trình toán học của các
nhà toán học cổ đại.
4
Lời giải này được dịch từ cuốn “the geometry of Rene Descartes”

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 11

Vì các góc của tam giác ARB đã biết nên tỉ số giữa cạnh AB và BR hoàn
toàn xác định. Đặt

AB z
bx
.
= , mà AB = x nên BR =
BR b
z

Vì B nằm giữa C và R nên CR =
CB + BR =y +
thì CR= y −

bx
(còn nếu R nằm giữa B,C
z

bx

bx
hoặc C nằm giữa B,R thì CR
=
− y)
z
z

Lại có: ba góc của tam giác DRC đã biết, do đó tỉ số giữa cạnh CR và CD
cũng xác định. Gọi

CR z
=
CD c

5

và vì CR= y +

bx
cy bx
nên CD
=
+ .
z
z z2

Vì các đường thẳng AB, AD, EF cố định nên độ dài đoạn AE đã biết. Nếu
đặt AE = k thì EB= k + x (hoặc EB= k − x khi B nằm giữa A,E và EB= x − k khi
E nằm giữa A,B). Vì các góc tam giác ESB đã biết nên tỉ số của BE và BS đã biết.
Gọi tỉ số này là

CS =

z
dk + dx
zy + dk + dx
thì BS =
và CS =
(nếu S nằm giữa B,C thì
d
z
z

zy − dk − dx
− zy + dk + dx
, còn nếu C nằm giữa B,S thì CS =
).
z
z

Tương tự, các góc của tam giác FSC đã biết nên tỉ số
CF =

CS z
= . Do đó
CF e

ezy + dek + dex
. Mà độ dài AG = l cố định và BG = l − x . Trong tam giác
z2

BGT, ta đặt
TCH, tỉ số

BG z
fl − fx
zy + fl − fx
thì BT =
và CT =
. Và trong tam giác
=
BT
f
z
z

TC z
gzy + fgl − fgx
= đã biết, từ đó CH =
z2
HC g

Khi đã có các đoạn thẳng cần tìm, dựa vào giả thiết và rút gọn, Descartes tìm
thấy quĩ tích điểm C là phương trình có dạng như sau:
=
y

5

p 2
n

x + ox + m 2 − x + m
m
z

Mọi tỉ số khác 0 đều có thể viết chung tử số.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 12

Dựa vào kết quả của Apollonius trong “giao tuyến cônic”, Descartes chứng
tỏ đây là phương trình của một cônic, và trong trường hợp đặc biệt đó là phương
trình của một đường thẳng.
Ở đây ta cũng nhận thấy rõ ràng: vấn đề của Descartes là vận dụng phương
pháp HHGT để giải quyết bài toán HHTH. Tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa
có các khái niệm riêng cho nó nên việc vận dụng kiến thức HHTH để giải quyết là
phổ biến: trong phương pháp mới mà Descartes xây dựng, lời giải của ông hoàn
toàn phụ thuộc vào hình vẽ. Như vậy đối với Descartes, các khái niệm hình học (cụ
thể ở đây là đường thẳng), các quan hệ hình học (như quan hệ điểm nằm giữa hai
điểm khác) vẫn thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa chúng với các khái niệm, các quan
hệ tương ứng của hình học tổng hợp, tuy nhiên các quan hệ hình học này đã dần
chuyển sang quan hệ đại số dựa trên đặc trưng số của các đối tượng.
- Ta xét thêm một ví dụ nữa của Descartes để tìm hiểu thêm các khái niệm hình
học, các quan hệ hình học trong hình học của Descartes (trong [6], tr 86):
“Một tam giác vuông KLN kích thước không đổi có cạnh góc vuông KL chuyển
động dọc theo đường thẳng AB. G là một điểm cố định không nằm trên đường thẳng
AB. Tìm quĩ tích giao điểm của đường thẳng GL và cạnh huyền NK kéo dài.”
Sau đây là bài giải của Descartes:

K

Giả sử GA ⊥ AB. Đặt GA=a, KL=b, NL=c.
Chọn AB làm trục x, gốc ở A. Kí hiệu các đoạn

N

chưa biết là AB=x, CB=y.
ta có ∆CBK và ΔNLK đồng dạng nên:
CB BK
=
NL LK

C

L

B

BC.LK by
suy =
ra BK =
NL
c

by − bc
Mà L nằm giữa B và K nên: BL = BK − KL =
c

Và B nằm giữa AL nên: AL = AB + BL =

G

cx + by − bc
c

Do ΔCBL và ΔGAL đồng dạng nên

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…

A


trang 13

CB BL
=
GA AL

c
b

suy ra CB. AL = GA.BL ⇔ y 2 = cy − xy + ay − ac .

Descartes nói rằng đây là đường hyperbol, nhưng ông không chứng minh.
- Như vậy, Descartes đã xét những đặc trưng số của các đối tượng hình học
như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, diện tích tam giác… và dựa vào chúng để chuyển
các quan hệ hình học thành các phép toán đại số, sự “tương ứng của các phép dựng
hình học với các phép toán đại số” ở đây là sự tương ứng giữa độ dài đoạn thẳng, số
đo góc, diện tích tam giác với các đẳng thức kiểu như: C nằm giữa A,B thì

AB
A' B '

AC+BC=AC, ∆ABC và ∆A’B’C’ đồng dạng thì =

AC
BC
=
…Ngoài ra,
A 'C ' B 'C '

khi khẳng định quĩ tích cuối cùng là hyperbol, Descartes đã thừa nhận sự tương ứng
của một phương trình với một đường cong tương ứng. Tuy nhiên, bản thân
Descartes cũng chỉ dựa vào những kết quả sẵn có từ thời Apollonius để khẳng định
quĩ tích các điểm thõa mãn một phương trình đại số mà chưa thấy có một tiến triển
nào hơn thời cổ đại! Điều này làm chúng tôi băn khoăn: trong trường hợp các
phương trình thu được hoàn toàn khác so với những dạng mà Apollonius đã nói,
liệu Descartes có biết được hình dạng của đường cong?
- Ta xét một nhận xét trong một bài toán khác của Descartes cho thấy xu hướng
sử dụng đại số của ông trong việc giải các bài toán hình học:
Cho đường cong ACQ đi qua gốc A và có trục AG. Đặt CM=x, AM=y.
Dựng một đường thẳng qua C cắt trục AG tại P.
Giả sử AP=v, CP=s. Theo định lí Pitago ta có:

PC 2 = s 2 = x 2 + (v − y ) 2 = x 2 + v 2 − 2vy + y 2
Phương trình đường tròn qua C, nhận P làm tâm
sẽ là: y =+
v
s2 − x2 .
Khử x hoặc y trong phương trình của đường cong và đường tròn ta thu được một

phương trình một ẩn số x hoặc y với tham số v. Khi đó “nếu đường tròn cắt đường
cong tại hai điểm phân biệt C và E thì phương trình đó có hai nghiệm phân biệt.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 14

Nếu C càng gần E thì sự khác biệt giữa hai nghiệm càng nhỏ. Nếu C trùng với E thì
ta nói đường tròn tiếp xúc với đường cong chứ không cắt nó”.( [2], trang 95)
- Ở đây, rõ ràng là Descartes đã chỉ rõ mối liên hệ giữa số nghiệm phương trình
hoành độ (hoặc tung độ) giao điểm với số giao điểm của hai đường cong. Như vậy
một quan hệ hình học đã hoàn toàn chuyển thành một quan hệ đại số.
2. Pierre de Fermat (1601-1665)
- Trong tác phẩm “mở đầu và nghiên cứu các quĩ tích phẳng và không gian”,
Fermat phát biểu quan điểm về hình học giải tích của mình như sau:
“…mỗi lần khi trong phương trình cuối cùng ta có hai đại lượng chưa biết
thì sẽ có quĩ tích và điểm cuối cùng của một trong chúng vạch ra một đường thẳng
hoặc đường cong. Để thiết lập phương trình, ta xét hai đại lượng chưa biết tạo với
nhau một góc đã cho (thường là góc vuông) và xét vị trí điểm cuối của một trong
hai đại lượng chưa biết đó” ( theo [6], tr 89)
- Như vậy, rõ ràng là Fermat đã khẳng định biểu thức giải tích thể hiện mối
liên hệ giữa hoành độ và tung độ chính là quĩ tích các điểm. Ông cũng chứng minh
sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và phương trình của nó. Ông còn lập phương
trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, phương trình hyperbol có tiệm cận là các
trục tọa độ, phương trình elip với hai đường kính liên hiệp là các trục tọa độ… Tuy
nhiên việc sử dụng chính các biểu thức giải tích này để nghiên cứu tính chất của
đường cong vẫn chưa được đặt ra.
- Ta xét cách mà Fermat viết phương trình đường thẳng qua hai điểm N và I
cố định: ông chọn một trục có gốc ở N (như hình vẽ) và gọi M là điểm di động trên

đường thẳng NI. Ông đặt NK=A, NZ=B, MK=E, IZ=D.

I

NK NZ
Khi đó vì MK//IZ nên
=
MK
IZ

Tức là

A B
hay A.D = B.E
=
E D

M
E
N

A

Hay nếu phát biểu bằng kí hiệu thường dùng hiện nay là dx=by

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…

K

Z

trang 15

3. Kết luận
- Việc chuyển đổi các khái niệm hình học và quan hệ hình học trong HHTH
thành các phương trình đại số, các quan hệ đại số nhằm mục tiêu giải quyết bài toán
hình học một cách gọn gàng, tổng quát hơn, giúp giải quyết một số bài toán khó của
hình học. Mặc dù mục tiêu của giai đoạn này là cùng phương pháp HHGT để giải
toán HHTH, tuy nhiên vì HHGT giai đoạn này chưa có các khái niệm riêng của nó
nên kiến thức HHTH thường xuyên được vận dụng để giải quyết bài toán HHGT.
- Mặc dù Descartes đã ý thức chuyển các bài toán hình học sang các phương
trình đại số và Fermat đã chứng minh sự tương ứng 1-1 giữa đường thẳng và
phương trình của nó và lập được phương trình nhiều đường cong, tuy nhiên việc
dùng chính phương trình để định nghĩa các đường cong vẫn chưa thấy được đặt ra.
Các khái niệm hình học của HHGT lúc này đa số đồng nhất với các khái niệm
tương ứng của HHTH.
- Các quan hệ hình học trong HHGT giai đoạn này đã có bước chuyển dài
sang phạm vi đại số: Descartes đã đặt tương ứng các phép dựng hình học với các
phép toán đại số và giải một bài toán hình học hoàn toàn dựa trên phép toán trên các
đối tượng đại số này. Nhờ sự tiện lợi và tính tổng quát của lời giải một bài toán hình
học bằng công cụ đại số mà Descartes đã vui mừng tuyên bố: ông ấy đã giải được
mọi bài toán hình học!
III. Những phát minh sau Descartes và Fermat
1. Tóm tắt sự phát triển
- J. Wallis (1616-1703) trong tác phẩm “chuyên luận về các đường cônic”
công bố năm 1655 đã dùng chính phương trình để định nghĩa cônic.
- G. F. L’Hospital (1661-1704) trong tác phẩm “về các giao tuyến cônic và
về những ứng dụng của chúng để giải phương trình trong các bài toán xác định và
không xác định” đã đưa phương trình giao tuyến của cônic về các dạng gần giống

với các dạng phương trình cônic mà ta dạy cho học sinh ngày nay, đồng thời ông đã

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 16

chứng minh các tính chất của cônic bằng phương pháp đại số, suy từ phương trình
của các cônic đó.
- Newton (1642-1727) dùng phương trình đường cong để định nghĩa độ
nghiêng của tiếp tuyến với đường cong.
- Leibniz (1646-1716) đã phát triển phương pháp vi phân, ông chứng tỏ rằng
bằng việc sử dụng các kí hiệu dx, dy mà ông nêu ra thì các tính chất của đường
cong hoàn toàn diễn đạt được bằng những phương trình.
- Leonhard Euler (1707-1783) trong tập 2 của cuốn “mở đầu về giải tích vô cùng
bé” đã trình bày một cách đầy đủ và có hệ thống môn hình học giải tích. Trong tác
phẩm này, Euler đã cố gắng giải quyết tất cả các vấn đề của hình học bằng công cụ
đại số: Euler định nghĩa hệ tọa độ, định nghĩa đường cong, đưa ra công thức biến
đổi tọa độ, nêu lên các tính chất của cônic có thể suy từ phương trình của chúng…
2. Kết luận
- Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng
chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học. Các tính chất của các
khái niệm hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dung
tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa. Các
quan hệ hình học trong HHGT là các quan hệ đại số. Và cũng từ đây, các khái niệm
hình học, các quan hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và
dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó
trong HHTH. Sự tiến triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để
nghiên cứu hình học. Do đó, xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng
chiếm ưu thế hoàn toàn so với xu hướng nghiên cứu hình học trước đây. Tuy nhiên,

cũng chính vì vậy mà ý nghĩa hình học của bài toán bị che dấu đằng sau đề toán,
đằng sau lời giải thuần túy đại số.

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…


trang 17

CHƯƠNG 2 :

MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC
GIẢI TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SGK HÌNH HỌC
12 NÂNG CAO
I. Mục đích phân tích
- Như kết quả đã nghiên cứu ở chương I, chúng ta nhận thấy: trong hình học
giải tích, các khái niệm hình học, các quan hệ hình học có thể hoàn toàn chuyển
thành các khái niệm đại số, các quan hệ đại số. Ngoài ra, chúng ta còn nhận thấy
rằng: với việc sử dụng các phương trình đại số, các quan hệ đại số thì việc giải
quyết một bài toàn hình học trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn. Tuy vậy nó cũng bộc
lộ một yếu điểm là: lời giải một bài toán hình học bằng phương pháp đại số hầu như
tách rời khỏi bài toán hình học đó, chỉ còn lại một bài giải thuần túy đại số. Từ đây
mối liên hệ giữa HHTH và HHGT mờ nhạt tới mức khó nhận thấy mối liên hệ này.
Liệu điều này được có thể chế dạy học quan tâm? Ngoài ra, như đã nói từ đầu, với
yêu cầu của chương trình, học sinh phải biết vận dụng mối liên hệ giữa kiến thức
của HHTH và HHGT, vậy thể chế đã tạo điều kiện như thế nào để học sinh nắm và
vận dụng mối liên hệ này ? Do đó, mục đích chính của chương này là nghiên cứu
mối quan hệ của thể chế với đối tượng cần nghiên cứu, cụ thể nó nhắm tới việc tìm
câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:
- Chương trình và sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 12 giới thiệu các
khái niệm, các quan hệ của hình học giải tích như thế nào? Chúng có liên hệ như thế

nào với các khái niệm, các quan hệ tương ứng trong hình học tổng hợp? Việc vận
dụng kiến thức HHTH để giải toán HHGT được đề cập như thế nào ? Những tổ
chức toán học nào được xây dựng trong chương “ phương pháp tọa độ trong không
gian” thể hiện mối liên hệ giữa HHTH và HHGT đối với các khái niệm hình học,
các quan hệ hình học đã phân tích?
- Kiểu nhiệm vụ “ dùng phương pháp tọa độ giải toán hình học không gian
với đề toán cho bằng ngôn ngữ HHTH ” được thể chế giới thiệu như thế nào? Đâu

Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và hình học giải tích…