lý thuyết về các lũy đẳng trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Vân Trang

LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ Vân Trang

LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, khoa Toán Tin
và Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để
tôi thực hiện luận văn trong thời gian cho phép.
Tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến người hướng dẫn là PGS.TS. Bùi Tường Trí.
Thầy đã nhiệt tình hỗ trợ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn bằng tất cả tâm huyết và năng
lực của mình nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận
được ý kiến đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 09 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Vũ Vân Trang

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................................... 5
1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành ..........................................................................5
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun ......................................................................7
1.3. Radical của vành ......................................................................................................10

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC VÀNH
KHÔNG GIAO HOÁN ............................................................................................. 15
2.1. Lũy đẳng ...................................................................................................................15

2.2. Lũy đẳng tâm ............................................................................................................18
2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ .....................................................................19
2.4. Lũy đẳng nguyên thủy .............................................................................................19
2.5. Lũy đẳng địa phương ...............................................................................................20
2.6. Lũy đẳng bất khả quy ..............................................................................................23
2.7. Lũy đẳng đẳng cấu ...................................................................................................25
2.8. Sự nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành R .27
2.9. Lũy đẳng tâm và sự phân tích khối ........................................................................34

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 43

2


BẢNG KÝ HIỆU
ℤ

Vành các số nguyên

𝑍(𝑅)

Tâm của vành 𝑅

𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑀, 𝑁)

Nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑀 đến 𝑁

𝐴↠𝐵
𝑀𝑅

B là ảnh toàn cấu của A
𝑅 – môđun phải 𝑀

𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑀)

Vành các 𝑅 – tự đồng cấu của 𝑀

𝑈(𝑅)

Nhóm các phần tử khả nghịch của vành 𝑅

ACC

Điều kiện dây chuyền tăng

𝑀𝑛 (𝐷)

𝑟𝑎𝑑 𝑅
DCC

Vành ma trận vuông cấp n trên 𝐷

Căn Jacobson của 𝑅

Điều kiện dây chuyền giảm

3

LỜI NÓI ĐẦU
Trước hết ta thấy rằng trong vành giao hoán có lũy đẳng 𝑒 thì vành 𝑅 được

phân tích thành tích trực tiếp của hai vành con 𝑅𝑒 và 𝑅(1 − 𝑒). Theo nhiều nghiên
cứu trong lý thuyết vành giao hoán, chúng ta chỉ thu hẹp nghiên cứu trong các vành 𝑅

không thể phân tích được nghĩa là 𝑅 ≠ 0 và 𝑅 không phân tích được thành tích trực

tiếp của hai vành con khác không. Các vành này là các vành chỉ có các phần tử lũy
đẳng tầm thường là 0 và 1. Đối với vành không giao hoán, nhận xét trên sẽ hợp lí nếu
ta thay từ “lũy đẳng” thành “lũy đẳng tâm”. Do đó, một vành 𝑅 khác không là không

phân tích được nếu và chỉ nếu nó không có phần tử lũy đẳng tâm không tầm thường.
Tuy nhiên trong các vành này có thể có nhiều phần tử lũy đẳng không là lũy đẳng tâm
không tầm thường. Do vậy trong lý thuyết các vành không giao hoán định lý về các
lũy đẳng có vai trò nổi bật hơn trong lý thuyết các vành giao hoán. Đặc biệt là vai trò
của lũy đẳng tâm trong sự phân tích khối của các vành.

4


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này nêu một số định nghĩa và tính chất cơ bản của đại số không giao
hoán. Quy ước trong chương: không nói gì thêm thì 𝑅 là vành không giao hoán có
đơn vị, môđun M là một 𝑅 – môđun phải.

1.1. Các định nghĩa, tính chất của vành
Định nghĩa 1.1.1

Cho tập hợp R khác rỗng , trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu

là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu
các điều kiện sau được thỏa mãn:
(1) R, + là một nhóm giao hoán.
(2) R,. là một nửa nhóm.
(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, với các phần tử tùy ý
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có: 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 và (𝑦 + 𝑧)𝑥 = 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥

Nếu phép nhân trong 𝑅 giao hoán thì ta gọi 𝑅 là vành giao hoán, nếu phép

nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi 𝑅 là vành có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.2

Một bộ phận 𝐴 khác rỗng của vành 𝑅 cùng với hai phép toán của vành 𝑅 cảm

sinh trên 𝐴 thành một vành thì ta nói 𝐴 là vành con của vành 𝑅.
Định nghĩa 1.1.3

Cho 𝑅 là một vành, một vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan trái (hoặc iđêan

phải) của vành 𝑅 nếu thỏa mãn điều kiện: 𝑟𝑎 ∈ 𝐴 (hoặc 𝑎𝑟 ∈ 𝐴), ∀𝑎 ∈ 𝐴, ∀𝑟 ∈ 𝑅.

Vành con 𝐴 của 𝑅 được gọi là iđêan của vành 𝑅 nếu 𝐴 vừa là iđêan trái vừa là

iđêan phải của vành 𝑅.
Định lý 1.1.4

Giả sử 𝐴 là iđêan của vành (𝑅, +, . ) trên nhóm thương (𝑅�𝐴 , +) ta định nghĩa

phép toán nhân như sau: (𝑥 + 𝐴)(𝑦 + 𝐴) = 𝑥𝑦 + 𝐴.

Khi đó (𝑅�𝐴 , +, . ) là một vành, gọi là vành thương của 𝑅 trên 𝐴.
5


Định nghĩa 1.1.5
Một phần tử 𝑎 của vành 𝑅 là lũy linh nếu tồn tại 𝑛 sao cho a n = 0 .
Định nghĩa 1.1.6

Một iđêan một phía (hoặc hai phía) 𝐴 ⊆ 𝑅 được gọi là nil nếu 𝐴 chứa các phần

tử lũy linh; 𝐴 được gọi là lũy linh nếu 𝐴𝑛 = 0 với 𝑛 là số tự nhiên nào đó.
Định nghĩa 1.1.7

Cho 𝑅 là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong 𝑅 đều khả

nghịch thì 𝑅 được gọi là một vành chia (hay là một thể).
Định nghĩa 1.1.8

Vành 𝑅 là đơn nếu 𝑅 2 ≠ 0 và 𝑅 có đúng hai iđêan là (0) và 𝑅.
Định nghĩa 1.1.9

Vành 𝑅 được gọi là Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có

phần tử tối tiểu.

Định nghĩa 1.1.10

Vành 𝑅 được gọi là Noether phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải đều có

phần tử tối đại.

Định nghĩa 1.1.11

Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên tố nếu 𝑎𝑅𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì 𝑎 = 0 hoặc

𝑏 = 0.

Định nghĩa 1.1.12
Vành 𝑅 được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có iđêan lũy linh khác không.
Định nghĩa 1.1.13

Một ánh xạ 𝑓 từ vành 𝑅 vào vành 𝑅′ được gọi là một đồng cấu vành nếu 𝑓 bảo

toàn các phép toán, nghĩa là:

𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
𝑓(𝑥𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)

Một đồng cấu từ vành 𝑅 vào vành 𝑅 được gọi là một tự đồng cấu của 𝑅. Một

đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn
cấu, đẳng cấu.

Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng
6


cấu từ 𝑅 vào 𝑅′ thì ta nói 𝑅 đẳng cấu với 𝑅′, kí hiệu: 𝑅 ≅ 𝑅′.
1.2. Các định nghĩa, tính chất của môđun
Định nghĩa 1.2.1

Cho 𝑅 là một vành tùy ý và 𝑀 là một nhóm cộng aben. 𝑀 được gọi là một 𝑅 –

môđun phải nếu có một ánh xạ 𝑓: 𝑀 𝑥 𝑅 ⟶ 𝑀,
sao cho ∀𝑚, 𝑚1 , 𝑚2 ∈ 𝑀 và ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 thì:

(𝑚, 𝑟) ↦ 𝑓(𝑚, 𝑟) = 𝑚𝑟

(1) m(a + b) = ma + mb.

(2) (m1 + m2 )a =m1a + m2 a.
(3) (ma)b = m(ab).
Định nghĩa 1.2.2
𝑀 là 𝑅 – môđun thì tập 𝐴(𝑀) = {𝑟 ∈ 𝑅/𝑀𝑟 = 0} được gọi là tập linh hóa của

M trong R .

Định nghĩa 1.2.3
𝑀 được gọi là 𝑅 – môđun trung thành nếu 𝑀𝑟 = (0) thì 𝑟 = 0.

Như vậy 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành khi và chỉ khi 𝐴(𝑀) = {0}.
Mệnh đề 1.2.4

𝐴(𝑀) là iđêan hai phía của 𝑅, hơn nữa 𝑀 là 𝑅/𝐴(𝑀) – môđun trung thành.

Kí hiệu 𝐸(𝑀) tập hợp tất cả các tự đồng cấu của nhóm cộng M . Khi đó, 𝐸(𝑀)

lập thành một vành với phép cộng và phép nhân ánh xạ thông thường.

Với mỗi a ∈ R , ta định nghĩa Ta : M → M sao cho mTa= ma, ∀m ∈ M .
Mệnh đề 1.2.5

𝑅/𝐴(𝑀) đẳng cấu với một vành con của vành 𝐸(𝑀).

Đặc biệt nếu 𝑀 là 𝑅 – môđun trung thành thì 𝐴(𝑀) = {0} khi đó 𝑅 được xem

là vành con của vành 𝐸(𝑀). Bây giờ ta xét những phần tử nào trong E ( M ) mà giao

hoán được với tất cả Ta .

Định nghĩa 1.2.6
Ta đặt 𝐶(𝑀) = {𝜓 ∈ 𝐸(𝑀)/𝜓𝑇𝑎 = 𝑇𝑎 𝜓, ∀𝑎 ∈ 𝑅}
7


Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự

đồng cấu môđun của 𝑀.

Khi đó 𝐶(𝑀) là vành con của vành 𝐸(𝑀), hơn nữa nó cũng là vành các tự

đồng cấu môđun của 𝑀.
Định nghĩa 1.2.7

Cho 𝑅 – môđun 𝑀 và tập ∅ ≠ 𝑁 ⊂ 𝑀, 𝑁 được gọi là môđun con của 𝑀 nếu:
1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁: 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁

2) ∀𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝑥 ∈ 𝑁: 𝑥𝑎 ∈ 𝑁
Định nghĩa 1.2.8

𝑀 được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả quy) nếu 𝑀𝑅 ≠ 0 và 𝑀 có đúng

hai môđun con là (0) và 𝑀
Định nghĩa 1.2.9

Một vành 𝑅 được gọi là nửa đơn nếu 𝑅 là R - môđun đơn.
Bổ đề 1.2.10 (Bổ đề Schur)

Nếu 𝑀 là môđun đơn thì 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành chia.

Định nghĩa 1.2.11
quy.

Vành 𝑅 được gọi là vành nguyên thủy nếu 𝑅 có môđun trung thành bất khả
Định nghĩa 1.2.12

đơn.

Môđun 𝑀 được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun
Định nghĩa 1.3.13

𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu mọi dãy tăng các

môđun con 𝑀1 ⊊ 𝑀2 ⊊ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao cho:
𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Noether.

Môđun 𝑀 được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu mọi dãy

giảm các môđun con 𝑀0 ⊋ 𝑀1 ⊋ ⋯ dừng sau hữu hạn bước nghĩa là tồn tại 𝑛 sao
cho: 𝑀𝑛 = 𝑀𝑛+1 = ⋯ Khi đó 𝑀 được gọi là môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.14

Nếu 𝑁 là một môđun con của 𝑅 – môđun 𝑀 thì tập hợp 𝑀/𝑁 với phép cộng và
8


phép nhân vô hướng định bởi:
(𝑥 + 𝑁) + (𝑦 + 𝑁) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑁, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀

𝑎(𝑥 + 𝑁) = 𝑎𝑥 + 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝑀, ∀𝑎 ∈ 𝑅

là một 𝑅 – môđun. Khi đó 𝑅 – môđun 𝑀/𝑁 được gọi là môđun thương của 𝑅–môđun

𝑀 với môđun con 𝑁 của nó.
Định nghĩa 1.2.15

Một dãy hợp thành của một 𝑅 – môđun 𝑀 là một dãy giảm gồm một số hữu

hạn các môđun con

𝑀 = 𝑀0 ⊃ 𝑀1 ⊃ ⋯ ⊃ 𝑀𝑛 = {0}

sao cho 𝑀𝑖−1 ⁄𝑀𝑖 là một môđun đơn, 𝑖 = 1, … , 𝑛. Khi đó số 𝑛 được gọi là độ dài của

dãy hợp thành này. Môđun 𝑀 có một dãy hợp thành được gọi là môđun có dãy hợp
thành.

Định lý 1.2.16 (Định lý Jordan-Holder)

Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 có một dãy hợp thành với độ dài 𝑛, thì tất cả các dãy hợp

thành của 𝑀 cũng có độ dài 𝑛. Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thật sự các

môđun con của 𝑀 đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều

có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.
Định nghĩa 1.2.17

Nếu 𝑅 – môđun (trái hoặc phải) 𝑀 có dãy hợp thành thì tất cả các dãy hợp

thành của 𝑀 có cùng một độ dài. Khi đó độ dài các dãy hợp thành của 𝑀 được gọi là
độ dài của môđun M. Nếu 𝑅 – môđun 𝑀 không có dãy hợp thành thì ta nói 𝑀 có độ
dài vô hạn.

Định lý 1.2.18

Artin.

Một 𝑅 – môđun 𝑀 có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi 𝑀 vừa là Noether vừa là

Định nghĩa 1.2.19

Tập con S của R – môđun M được gọi là một tập độc lập tuyến tính nếu từ mỗi
đẳng thức a1 x1 +…+ an xn = 0 với x1, …, xn ∈ S từng đôi một khác nhau, ta rút ra a1
=…= an. Nếu trái lại thì S được gọi là một tập phụ thuộc tuyến tính. Nếu M có một hệ
sinh S độc lập tuyến tính thì nó được gọi là một môđun tự do và tập S được gọi là một
9


cơ sở của M.
Định nghĩa 1.2.20
Một R – môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f: P→ M″ và mọi
toàn cấu g: M→ M″ các R – môđun đều tồn tại một đồng cấu

h: P → M sao

cho gh=f.
1.3. Radical của vành
Định nghĩa 1.3.1
Radical Jacobson (Căn Jacobson) của 𝑅, ký hiệu là 𝑟𝑎𝑑 𝑅, là tập tất cả các

phần tử của 𝑅 linh hóa tất cả các 𝑅 – môđun bất khả quy của 𝑅. Nếu 𝑅 không có
môđun bất khả quy nào thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑅.

Theo định nghĩa thì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =∩ 𝐴(𝑀), M chạy khắp các R - môđun bất khả

quy, ta có 𝐴(𝑀) là iđêan hai phía nên 𝑟𝑎𝑑 𝑅 cũng là iđêan hai phía.
Định nghĩa 1.3.2

Một iđêan phải 𝜌 của 𝑅 được gọi là chính quy nếu có 𝑎 ∈ 𝑅 sao cho 𝑥 − 𝑎𝑥 ∈

𝜌, ∀𝑥 ∈ 𝑅

Nếu 𝑅 có đơn vị (thật ra là đơn vị trái) thì tất cả các iđêan phải của nó đều

chính quy.

Định nghĩa 1.3.3

Một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 được gọi là tựa chính quy phải nếu có 𝑎′ ∈ 𝑅 sao cho

𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = 0. Ta gọi 𝑎′ là tựa nghịch đảo phải của 𝑎.

Ta định nghĩa tương tự cho phần tử tựa chính quy trái. Chú ý nếu 𝑅 có đơn vị 1

thì 𝑎 là tựa chính quy phải nếu và chỉ nếu 1 + 𝑎 là khả nghịch phải trong 𝑅.
Định nghĩa 1.3.4

(0)

Vành 𝑅 được gọi là nửa nguyên thủy (hay còn gọi là J – nửa đơn) nếu 𝑟𝑎𝑑 𝑅 =

Bổ đề 1.3.5
Với 𝑦 ∈ 𝑅, các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝑦 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

(2) 1 − 𝑥𝑦 khả nghịch trái với 𝑥 ∈ 𝑅
10


(3) 𝑦𝑀 = 0 với 𝑀 là 𝑅 – môđun trái đơn bất kỳ.

Định lý 1.3.6 (Định lý Hopkins – Levitzki)

Cho 𝑅 là vành với 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là lũy linh và 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là nửa đơn (𝑅 được gọi

là vành nửa nguyên thủy). Khi đó với bất kỳ 𝑅 – môđun trái 𝑀 bất kỳ, các phát biểu
sau là tương đương:

(1) 𝑀 là Noether.
(2) 𝑀 là Artin.

(3) 𝑀 có dãy hợp thành.

Đặc biệt, (A) Một vành là Artin trái nếu và chỉ nếu nó là Noether trái và nửa
nguyên thủy; (B) Môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ trên vành Artin trái có dãy hợp
thành.
Định lý 1.3.7
Cho vành 𝑅 bất kỳ khác không, các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝑅 có duy nhất một iđêan trái tối đại.

(2) 𝑅 có duy nhất một iđêan phải tối đại.

(3) 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành chia.

(4) 𝑅\𝑈(𝑅) là một iđêan của 𝑅.

(5) 𝑅\𝑈(𝑅) là nhóm với phép tính cộng.

(5′) Với bất kỳ 𝑛, 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∈ 𝑈(𝑅) suy ra 𝑎𝑖 ∈ 𝑈(𝑅).
(5″) 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑈(𝑅) suy ra 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅) hoặc 𝑎 ∈ 𝑈(𝑅).

Nếu bất kỳ điều kiện nào ở trên được thỏa thì ta nói 𝑅 là vành địa phương.
Định nghĩa 1.3.8

Vành 𝑅 được gọi là nửa địa phương nếu 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành Artin trái hoặc nếu

𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 là vành nửa đơn.
đại.

Nhận xét: Nếu 𝑅 là nửa địa phương thì 𝑅 có một số hữu hạn các iđêan trái tối

Định nghĩa 1.3.9

Một vành 𝑅 được gọi là vành Dedekind – hữu hạn nếu 𝑎𝑏 = 1 kéo theo

𝑏𝑎 = 1 với 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 bất kỳ.
Mệnh đề 1.3.10

11


Vành 𝑅 nửa địa phương là Dedekind – hữu hạn.

Định nghĩa 1.3.11

Một 𝑅 – môđun phải 𝑀 ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 𝑀 không thể

viết được dưới dạng tổng trực tiếp của hai 𝑅 – môđun con khác không của 𝑀.
Định nghĩa 1.3.12

Một 𝑅 – môđun phải 𝑀 được gọi là không phân tích được mạnh nếu 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 )

là vành địa phương.
Nhận xét:

Mọi môđun không phân tích được mạnh đều là không phân tích được vì
𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành địa phương nên không có lũy đẳng không tầm thường.

Mọi môđun đơn bất kỳ đều là môđun không phân tích được mạnh vì theo bổ đề

Schur 𝐶(𝑀) = 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành chia nên là vành địa phương.
Định lý 1.3.13 (Định lý Wedderburn – Artin)

Cho 𝑅 là vành Artin đơn. Khi đó 𝑅 ≅ 𝑀𝑛 (𝐷), với 𝐷 là vành chia. Hơn nữa, 𝑛

là duy nhất và 𝐷 xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ngược lại, với vành chia

𝐷, 𝑀𝑛 (𝐷) là vành Artin đơn.
Bổ đề 1.3.14

Cho 𝑅 là vành với các iđêan khác không 𝐵1 , … , 𝐵𝑟 và 𝐶1 , … , 𝐶𝑠 thỏa 𝑅 =

𝐵1 ⨁ … ⨁ 𝐵𝑟 = 𝐶1 ⨁ … ⨁ 𝐶𝑠 sao cho mỗi 𝐵𝑖 , 𝐶𝑖 không phân tích được như là một

iđêan (tức không là tổng trực tiếp của hai iđêan con khác 0). Khi đó 𝑟 = 𝑠 và sau một

hoán vị của các chỉ số, 𝐵𝑖 = 𝐶𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟.
Bổ đề 1.3.15 (Bổ đề Nakayama)

Với iđêan trái bất kỳ 𝐽 ⊆ 𝑅, các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝐽 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

(2) Với 𝑅 – môđun trái hữu hạn sinh bất kỳ M, 𝐽. 𝑀 = 0 suy ra 𝑀 = 0

(3) Với các 𝑅 – môđun trái 𝑁 ⊆ 𝑀 sao cho 𝑀/𝑁 là hữu hạn sinh,

𝑁 + 𝐽. 𝑀 = 𝑀 suy ra 𝑁 = 𝑀

Vành giao hoán, có đơn vị có nhiều hơn một phần tử, mọi phần tử khác không

đều khả nghịch gọi là trường.

12


Một đại số 𝐴 trên trường 𝐹 là một không gian vectơ trên 𝐹 sao cho trên 𝐴 có

một phép nhân và cùng với phép nhân này 𝐴 là một vành. Hơn nữa, cấu trúc không
gian vectơ có thể khớp với cấu trúc vành theo luật :

𝑘(𝑎𝑏) = (𝑘𝑎)𝑏 = 𝑎(𝑘𝑏), ∀𝑘 ∈ 𝐹, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴

Số chiều của không gian vectơ 𝐴 trên 𝐹 được gọi là số chiều của đại số 𝐴 và kí

hiệu là 𝑑𝑖𝑚𝐹 𝐴 hay viết gọn là dim 𝐴 nếu không sợ nhầm lẫn.

𝐹 được gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1

trong 𝐹[𝑥] đều có nghiệm trong 𝐹.

Một đồng cấu từ đại số 𝐴 vào đại số 𝐴′ là ánh xạ ℎ: 𝐴 → 𝐴′ vừa là đồng cấu

môđun, vừa là đồng cấu vành.
Mệnh đề 1.3.16

Cho 𝑖 ∶ 𝑅 ⟶ 𝑆 là đồng cấu vành. Giả sử 𝑆 = 𝑅. 𝑥1 + ⋯ + 𝑅. 𝑥𝑛 với mỗi 𝑥𝑗

giao hoán (theo từng thành phần) với 𝑖(𝑅). Khi đó 𝑖(𝑟𝑎𝑑 𝑅) ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆.
Hệ quả 1.3.17

Cho 𝑅 là vành giao hoán và 𝑆 là 𝑅 – đại số thỏa 𝑆 hữu hạn sinh như là một 𝑅 –

môđun. Khi đó (𝑟𝑎𝑑 𝑅). 𝑆 ⊆ 𝑟𝑎𝑑 𝑆.
Định lý 1.3.18

Cho 𝑀𝑅 là 𝑅 – môđun không phân tích được có độ dài 𝑛 < ∞. Khi đó 𝐸 ≔

𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑅 ) là vành địa phương và iđêan tối đại duy nhất của nó
𝑚𝑛 = 0. Đặc biệt, 𝑀 là môđun không phân tích được mạnh.

𝑚 = 𝑟𝑎𝑑 𝐸 thỏa

Mệnh đề 1.3.19

Cho 𝑅 là vành bất kỳ và 𝑀𝑅 là 𝑅 – môđun phải với các môđun con hoặc thỏa

ACC hoặc thỏa DCC. Khi đó 𝑀 có thể phân tích được thành tổng trực tiếp hữu hạn

của các môđun con không phân tích được (Ta có thể nói gọn là 𝑀 có sự phân tích
Krull – Schmidt)

Định lý 1.3.20 (Định lý Krull – Schmidt – Azumaya)

Cho 𝑅 là một vành và giả sử 𝑅 – môđun phải 𝑀 có hai sự phân tích thành các

môđun con: 𝑀 = 𝑀1 ⨁ … ⨁𝑀𝑟 = 𝑁1 ⨁ … ⨁𝑁𝑠

với mỗi 𝑁𝑖 là không phân tích được và mỗi 𝑀𝑖 là không phân tích được mạnh. Khi đó
𝑟 = 𝑠 và ta có 𝑀𝑖 ≅ 𝑁𝑖 với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟

13

14


CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG CÁC
VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN
Trong chương này ta nghiên cứu một lý thuyết có hệ thống về các lũy đẳng
trong các vành không giao hoán. Sau đó ta xét hai bài toán lớn: bài toán 1 về khả
năng nâng lên của một lũy đẳng của vành thương tới một lũy đẳng của vành 𝑅 và bài
toán 2 về sự phân tích khối.
2.1. Lũy đẳng
Định nghĩa 2.1.1
Phần tử 𝑒 ≠ 0 trong 𝑅 là lũy đẳng nếu 𝑒 2 = 𝑒.
Bổ đề 2.1.2

Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố. Giả sử ρ ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Khi

đó ρ = 𝑒𝑅 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝑅.
Chứng minh

Do 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝜌 ≠ (0) là iđêan phải tối tiểu của 𝑅 nên 𝜌2 ≠ (0),

do đó tồn tại 𝑥 ∈ 𝜌 sao cho 𝑥𝜌 ≠ (0). Tuy nhiên 𝑥𝜌 ⊂ 𝜌 là iđêan phải của 𝑅 và do
tính tối tiểu cùa 𝜌 thì 𝑥𝜌 = 𝜌. Vì vậy tồn tại 𝑒 ∈ 𝜌 thỏa 𝑥𝑒 = 𝑥 suy ra 𝑥𝑒 2 = 𝑥𝑒 vì

vậy 𝑥(𝑒 2 − 𝑒) = 0. Giả sử 𝜌0 = {𝑎 ∈ 𝜌: 𝑥𝑎 = 0}; 𝜌0 là iđêan phải của 𝑅 và 𝜌 chứa
𝜌0 và 𝜌 ≠ 𝜌0 vì 𝑥𝜌 ≠ (0). Theo tính tối tiểu của 𝜌 ta có 𝜌0 = (0); vì 𝑒 2 − 𝑒 ∈ 𝜌0

nên 𝑒 2 = 𝑒 và vì 𝑥𝑒 = 𝑒 ≠ 0 ta có 𝑒 ≠ 0, tức là e là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑒 ∈

𝜌 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ ρ là iđêan phải của 𝑅, chứa 𝑒 2 = 𝑒 ≠ 0 vì vậy 𝑒𝑅 ≠ (0). Do tính tối tiểu

của ρ nên 𝑒𝑅 = ρ.
Bổ đề 2.1.3

Cho 𝑅 là vành và 𝑎2 − 𝑎 lũy linh, 𝑎 ∈ 𝑅. Khi đó hoặc 𝑎 là lũy linh hoặc tồn tại

đa thức 𝑞(𝑥)∈ ℤ[𝑥] thỏa 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác không.
Chứng minh

Giả sử (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 với 𝑘 ∈ ℕ, khai triển (𝑎2 – 𝑎)𝑘 = 0 ta được 𝑎𝑘 =

𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎) với 𝑝(𝑥)∈ ℤ[𝑥]. Khi đó

𝑎𝑘 = 𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎𝑘 𝑝(𝑎) = 𝑎. 𝑎𝑘+1 𝑝(𝑎)𝑝(𝑎) = 𝑎𝑘+2 𝑝(𝑎)2
15


Tiếp tục quá trình trên ta được 𝑎𝑘 = 𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 . Nếu a lũy linh thì ta có đpcm. Mặt
khác nếu 𝑎𝑘 ≠ 0, vì 0 ≠ 𝑒 = 𝑎𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 = (𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 )𝑝(𝑎)𝑘 = 𝑎2𝑘 𝑝(𝑎)2𝑘 = 𝑒 2 .

Ta có thể viết 𝑒 = 𝑎𝑘 𝑝(𝑎)𝑘 = 𝑎𝑞(𝑎) với 𝑞(𝑥)∈ ℤ[𝑥].
Định lý 2.1.4

Nếu 𝑅 là vành Artin và ρ ≠ (0) là iđêan phải không lũy linh của 𝑅 thì ρ chứa

một lũy đẳng khác 0.
Chứng minh

Vì ρ không lũy linh nên ρ ⊄ 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Đặt 𝑅� = 𝑅/𝑟𝑎𝑑 𝑅 thì 𝑅� là nửa nguyên tố.

Giả sử 𝜌̅ = {𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 ∶ 𝑎 ∈ 𝜌} là ảnh của 𝜌 trong 𝑅� . Do 𝜌̅ ≠ (0) và 𝑅� là Artin suy
ra 𝜌̅ chứa một iđêan phải tối tiểu ���
𝜌0 của 𝑅�. Theo (2.1.2) 𝜌
���0 có một lũy đẳng 𝑒̅ ≠ 0�

���0 = 𝑒̅ 𝑅�. Giả sử 𝑎 ∈ 𝜌 là tạo ảnh của 𝑒̅ tức là 𝑒̅ = 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅, vì 𝑒̅ 2 = 𝑒̅ suy
sao cho 𝜌
ra 𝑎2 – 𝑎 là tạo ảnh của 0� tức là 𝑎2 − 𝑎 + 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Do đó 𝑎2 − 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅

suy ra 𝑎2 − 𝑎 lũy linh trong 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Ta chỉ ra rằng a không lũy linh, thật vậy nếu

𝑎𝑘 = 0, 𝑘 ∈ ℕ, khi đó 0 = 𝑎�𝑘 = 𝑒̅ 𝑘 = 𝑒̅ mâu thuẩn. Theo (2.1.3) tồn tại đa thức
𝑞(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] sao cho 𝑒 = 𝑎𝑞(𝑎) là lũy đẳng khác 0. Do 𝑎 ∈ 𝜌 suy ra 𝑎𝑞(𝑎) ∈ 𝜌 vì
vậy 𝑒 ∈ 𝜌.

Định lý 2.1.5
Cho 𝑅 là vành bất kỳ và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó

Chứng minh

𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒

" ⊂ " Giả sử 𝑀 là 𝑅 – môđun bất khả quy. Ta sẽ chỉ ra rằng 𝑟𝑎𝑑 (𝑒𝑅𝑒) linh

hóa tất cả các 𝑀. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: 𝑀𝑒 ≠ (0), tồn tại 𝑚∈𝑀 sao cho 𝑚𝑒 ≠ 0∈ 𝑀𝑒, khi đó

(𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑚𝑒 2 𝑅𝑒 = 𝑚𝑒𝑅𝑒, vì 𝑚𝑒 ≠ 0 và 𝑚𝑒 = 𝑚𝑒𝑒 ∈ 𝑚𝑒𝑅, M bất khả quy

suy ra 𝑚𝑒𝑅 = 𝑀 do đó 𝑚𝑒𝑅𝑒 = 𝑀𝑒. Vậy 𝑀𝑒 là 𝑒𝑅𝑒 – môđun bất khả quy (Thật vậy
nếu N ≠ (0) là 𝑒𝑅𝑒–môđun con của 𝑀𝑒 và 0 ≠ 𝑚𝑒 ∈ 𝑁 thì (𝑚𝑒)(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑒 ⊂ 𝑁

suy ra 𝑁 = 𝑀𝑒) và 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0) (vì mỗi phần tử của 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) đều có dạng
𝑒𝑅𝑒 nên 𝑀𝑒 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0)). Nói cách khác nếu 𝑀𝑒 ≠ (0) thì

𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0).

16


Trường hợp 2: 𝑀𝑒 = (0) thì 𝑀𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑀𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = (0).

Do vậy trong hai trường hợp ta có 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) linh hóa tất cả các 𝑅 –môđun bất

khả quy 𝑀, do đó 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑅). Vì vậy

𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒)𝑒 ⊂ 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒.

" ⊃ " Giả sử 𝑎 ∈ 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 ⊂ 𝑟𝑎𝑑𝑅 (vì 𝑟𝑎𝑑 𝑅 là iđêan hai phía), khi đó a có

tựa nghịch đảo trái và phải 𝑎′ . Ta có 𝑎 + 𝑎′ + 𝑎𝑎′ = 0 (i) nhân hai vế trái và phải

của đẳng thức (i) với 𝑒 và sử dụng 𝑒𝑎𝑒 = 𝑎 ta có

0 = 𝑎 + 𝑒𝑎′𝑒 + 𝑒𝑎𝑎′𝑒 = 𝑎 + 𝑒𝑎′ 𝑒 + (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑎′ 𝑒) = 𝑎 + 𝑒𝑎′ 𝑒 + 𝑎𝑒𝑎′𝑒.

Suy ra 𝑒𝑎′ 𝑒 là tựa nghịch đảo phải của 𝑎. Vì phần tử tựa nghịch đảo của 𝑎 là duy

nhất nên 𝑎′ = 𝑒𝑎′𝑒. Do đó mọi phần tử trong 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 đều tựa chính quy trong
𝑒𝑅𝑒. Hơn nữa 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒 là một iđêan của 𝑒𝑅𝑒, thì iđêan tựa chính quy của 𝑒𝑅𝑒
được chứa trong 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) tức là 𝑒(𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝑒⊂ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒).
Định lý 2.1.6

Cho 𝑅 là vành nửa nguyên tố và 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng trong 𝑅. Khi đó 𝑒𝑅 là iđêan

phải tối tiểu của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑒 là vành chia.
Chứng minh

" ⇒ " Giả sử 𝜌 = 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu của 𝑅. Nếu 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thì

(0) ≠ 𝑒𝑎𝑒𝑅 ⊂ 𝑒𝑅 ⇒ 𝑒𝑎𝑒𝑅 = 𝑒𝑅 (do tính tối tiểu của 𝑒𝑅). Do đó tồn tại 𝑦 ∈ 𝑅 sao

cho 𝑒𝑎𝑒𝑦 = 𝑒, 𝑒𝑎𝑒𝑦𝑒 = 𝑒 2 suy ra (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑦𝑒) = 𝑒. Vì vậy 𝑒𝑅𝑒 là vành chia với
phần tử đơn vị là 𝑒.

" ⇐ " Giả sử 𝑒𝑅𝑒 là vành chia ta chứng minh rằng 𝜌 = 𝑒𝑅 là một iđêan phải

tối tiểu của 𝑅. Giả sử (0) ≠ 𝜌0 ⊂ 𝜌 là một iđêan phải của 𝑅, khi đó 𝜌0 𝑒 ≠ (0) thật

vậy nếu 𝜌0 2 ⊂ 𝜌0 𝜌 = 𝜌0 𝑒𝑅 = (0) (mâu thuẩn giả thiết 𝑅 là nửa nguyên tố). Giả sử

𝑎 = 𝑒𝑎𝑒 ≠ 0 trong 𝑒𝑅𝑒; vì 𝑎 ∈ 𝑒𝑅 𝑣à 𝑒𝑎 = 𝑎 ta có 0 ≠ 𝑎𝑒 = 𝑒𝑎𝑒 ∈ 𝜌0 ; vì 𝑒𝑅𝑒 là

vành chia nên tồn tại 𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 sao cho (𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) = 𝑒. Tuy nhiên 𝑒 =
(𝑒𝑎𝑒)(𝑒𝑥𝑒) ∈ 𝜌0 suy ra 𝑒𝑅 ⊂ 𝜌0 ⊂ 𝑒𝑅 = 𝜌. Do đó 𝜌0 = 𝜌 và 𝜌 là iđêan tối tiểu thật

sự.

Thay từ “trái” bởi từ “phải” trong định lý trên ta có được:
Hệ quả 2.1.7
17


Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 thì 𝑒𝑅 là iđêan phải tối tiểu

của 𝑅 nếu và chỉ nếu 𝑅𝑒 là một iđêan trái tối tiểu của 𝑅.
Bổ đề Brauer 2.1.8

Cho 𝒜 là một iđêan trái tối tiểu trong vành 𝑅. Khi đó hoặc 𝒜 2 = 0 hoặc

𝒜 = 𝑅𝑒 với 𝑒 là lũy đẳng nào đó trong 𝒜
Chứng minh

Giả sử 𝒜 2 ≠ 0. Khi đó 𝒜. 𝑎 ≠ 0 với 𝑎 ∈ 𝒜 do đó 𝒜. 𝑎 = 𝒜. Chọn 𝑒 ∈ 𝒜 sao

cho 𝑎 = 𝑒𝑎. Tập 𝐼 = {𝑥 ∈ 𝒜: 𝑥𝑎 = 0} là iđêan trái và 𝐼 ⊊ 𝒜, vì 𝑒 ∉ 𝐼. Do đó 𝐼 = 0.
Mặt khác, 𝑒 2 − 𝑒 ∈ 𝒜 và (𝑒 2 − 𝑒)𝑎 = 0; do vậy 𝑒 2 − 𝑒 = 0. Vì 𝒜 là cực tiểu nên ta

suy ra 𝒜 = 𝑅𝑒.

Sự phân tích Pierce 2.1.9
Với lũy đẳng 𝑒 bất kỳ trong vành 𝑅, ta có:
(1) 𝑅 = 𝑅𝑒 ⊕ 𝑅𝑓

(2) 𝑅 = 𝑒𝑅 ⊕ 𝑓𝑅
𝑒.

(3) 𝑅 = 𝑒𝑅𝑒 ⊕ 𝑒𝑅𝑓 ⊕ 𝑓𝑅𝑒 ⊕ 𝑓𝑅𝑓, với 𝑓 = 1 − 𝑒 là lũy đẳng bù của

Chú ý: (4) 𝑒𝑅𝑒 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑒𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑒}, 𝑓𝑅𝑓 = {𝑟 ∈ 𝑅: 𝑓𝑟 = 𝑟 = 𝑟𝑓}

2.2. Lũy đẳng tâm

Định nghĩa 2.2.1
𝑥∈𝑅

Phần tử lũy đẳng 𝑒 trong 𝑅 được gọi là lũy đẳng tâm nếu 𝑒𝑥 = 𝑥𝑒 với mọi
Bổ đề 2.2.2
𝑒 là lũy đẳng tâm (tức là 𝑒 ∈ 𝑍(𝑅)) nếu và chỉ nếu 𝑒𝑅𝑓 = 𝑓𝑅𝑒 = 0.

Chứng minh

Với 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑒𝑟𝑓 = 0 và 𝑓𝑟𝑒 = 0 dẫn đến 𝑒𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟𝑒.

Tiếp theo ta xét hai phần tử lũy đẳng 𝑒, 𝑒′ trong vành 𝑅 và toán tử

𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) là nhóm các 𝑅 – đồng cấu từ 𝑒𝑅 đến 𝑒′𝑅. Ta có mệnh đề:
Mệnh đề 2.2.3

18


Giả sử 𝑒, 𝑒′ là các lũy đẳng và 𝑀 là 𝑅 – môđun phải. Khi đó có một đẳng cấu

nhóm cộng tự nhiên 𝜆: 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑒𝑅, 𝑀) → 𝑀𝑒. Đặc biệt, có một đẳng cấu nhóm tự

nhiên 𝐻𝑜𝑚𝑅 (𝑒𝑅, 𝑒′𝑅) ≅ 𝑒 ′ 𝑅𝑒.
Chứng minh

Xét 𝑅 − đồng cấu 𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀, 𝑚 = 𝜃(𝑒). Khi đó:

𝑚𝑒 = 𝜃(𝑒)𝑒 = 𝜃(𝑒 2 ) = 𝜃(𝑒) = 𝑚

Do đó 𝑚 = 𝑚𝑒 ∈ 𝑀𝑒. Ta định nghĩa ánh xạ 𝜆 cho bởi 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒). Khi đó 𝜆

là đơn cấu nhóm. Để chứng minh 𝜆 toàn ánh: xét 𝑚 ∈ 𝑀𝑒 bất kỳ và định nghĩa
𝜃: 𝑒𝑅 → 𝑀 với 𝜃(𝑒𝑟) = 𝑚𝑟, 𝑟 ∈ 𝑅. Do 𝑒𝑟 = 0 ⟹ 𝑚𝑟 ∈ 𝑀𝑒𝑟 = 0 và 𝜃 là 𝑅 – đồng
cấu định nghĩa tốt. Ta có: 𝜆(𝜃) = 𝜃(𝑒) = 𝑚 nên 𝜆 là toàn ánh.

Kết luận cuối cùng của (2.2.3) suy ra bằng cách cho tập 𝑀 = 𝑒 ′ 𝑅.

Hệ quả 2.2.4

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, có một đẳng cấu vành tự nhiên 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅) ≅ 𝑒𝑅𝑒.
Chứng minh

Lấy 𝑒 ′ = 𝑒 trong (2.2.3) ta có đẳng cấu nhóm 𝜆: 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅) → 𝑒𝑅𝑒. Ta chỉ cần

chỉ ra 𝜆 là một đẳng cấu vành. Giả sử 𝜃, 𝜃′ ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅) và 𝑚 = 𝜃(𝑒) ∈ 𝑒𝑅. Khi đó:
𝜆(𝜃′𝜃) = 𝜃 ′ 𝜃(𝑒) = 𝜃 ′ (𝑚) = 𝜃 ′ (𝑒𝑚) = 𝜃 ′ (𝑒)𝑚 = 𝜆(𝜃′)𝜆(𝜃).

2.3. Lũy đẳng trực giao, lũy đẳng đầy đủ
Định nghĩa 2.3.1

Hai lũy đẳng α, β ∈ 𝑅 được gọi là trực giao nếu αβ = βα = 0.
Định nghĩa 2.3.2

Lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 được gọi là đầy đủ nếu 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅.

2.4. Lũy đẳng nguyên thủy
Mệnh đề 2.4

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 khác 0 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:
(1) 𝑒𝑅 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun phải.

(1′) 𝑅𝑒 không phân tích được như là một 𝑅 – môđun trái.
(2) Vành 𝑒𝑅𝑒 không có các lũy đẳng không tầm thường.
19


(3) 𝑒 không có sự phân tích dạng 𝛼 + 𝛽 với 𝛼, 𝛽 là các lũy đẳng trực giao

khác 0 trong 𝑅.

Nếu lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 thỏa mãn một trong những điều kiện nêu trên, ta nói 𝑒 là

lũy đẳng nguyên thủy của 𝑅.
Chứng minh

Do sự đối xứng trái – phải nên ta chỉ cần chứng minh sự tương đương của (1),

(2) và (3).
(1) ⟺ (2) theo (2.2.4) vì 𝑒𝑅 là không phân tích được nếu và chỉ nếu

𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒𝑅) không có các lũy đẳng không tầm thường.

(3) ⟹ (2) Nếu 𝑒𝑅𝑒 có lũy đẳng không tầm thường 𝛼 khi đó với 𝛽 = 𝑒 − 𝛼

(lũy đẳng bù của α trong vành 𝑒𝑅𝑒) ta có sự phân tích “trực giao” 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 (mâu

thuẩn với (3)).

(2) ⟹ (3) Giả sử ta có sự phân tích 𝑒 = 𝛼 + 𝛽 với 𝛼, 𝛽 là các lũy đẳng trực

giao khác 0 trong 𝑅. Khi đó: 𝑒𝛼 = 𝛼 2 + 𝛽𝛼 = 𝛼 và 𝛼𝑒 = 𝛼 2 + 𝛼𝛽 = 𝛼. Do

(2.1.9)(4), 𝛼 ∈ 𝑒𝑅𝑒 (mâu thuẩn với (2)).

2.5. Lũy đẳng địa phương
Mệnh đề 2.5.1

Với lũy đẳng 𝑒 ∈ 𝑅 bất kỳ, các phát biểu sau là tương đương:

(1) 𝑒𝑅 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun phải.
(1′) 𝑅𝑒 không phân tích được mạnh như là một 𝑅 – môđun trái.
(2) 𝑒𝑅𝑒 là vành địa phương.

Nếu lũy đẳng 𝑒 thỏa mãn bất kỳ điều kiện nào trong các điều kiện nêu trên, ta

nói 𝑒 là lũy đẳng địa phương. Rõ ràng, lũy đẳng địa phương luôn là lũy đẳng nguyên
thủy.

Chứng minh
(1) ⇔ (2) do (2.2.4), (1′) ⇔ (2) do tính đối xứng trái – phải.
Định lý 2.5.2
Giả sử 𝑒 là lũy đẳng trong 𝑅 và 𝐽 = 𝑟𝑎𝑑 𝑅. Khi đó
𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) = 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) = 𝑒𝐽𝑒.
20

Hơn nữa, 𝑒𝑅𝑒/𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ≅ 𝑒̅ 𝑅�𝑒̅, với 𝑒̅ là ảnh của 𝑒 trong 𝑅� = 𝑅/𝐽.

Chứng minh

Với kết luận thứ nhất, ta chỉ cần chứng minh ba sự kéo theo sau:
𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝐽 (ii)

𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒) ⟹ 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 (iii)

𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⟹ 𝑟 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) (iv)

(ii) Chỉ cần chứng minh với 𝑦 ∈ 𝑅, 1 − 𝑦𝑟 có nghịch đảo trái trong 𝑅. Trước

tiên trong 𝑒𝑅𝑒, ta tìm được 𝑏 ∈ 𝑒𝑅𝑒 thỏa 𝑏(𝑒 − 𝑒𝑦𝑒. 𝑟) = 𝑒, nghĩa là 𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑒.
Do đó, 𝑦𝑟𝑏(1 − 𝑦𝑟) = 𝑦𝑟𝑒 = 𝑦𝑟 (*)

Cộng 1 − 𝑦𝑟 vào hai vế (*) suy ra (1 + 𝑦𝑟𝑏)(1 − 𝑦𝑟) = 1.
(iii) Với 𝑟 ∈ 𝐽 ∩ (𝑒𝑅𝑒), ta có 𝑟 = 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝑒𝐽𝑒.

(iv) Ta chỉ cần chứng minh với 𝑦 ∈ 𝑒𝑅𝑒, 𝑒 − 𝑦𝑟 có một nghịch đảo trái trong

𝑒𝑅𝑒. Do 𝑟 ∈ 𝑒𝐽𝑒 ⊆ 𝐽, tồn tại 𝑥 ∈ 𝑅 sao cho 𝑥(1 − 𝑦𝑟) = 1.
Mà

𝑒 = 𝑒 2 = 𝑒. 1. 𝑒 = 𝑒𝑥(1 − 𝑦𝑟)𝑒 = 𝑒𝑥(𝑒 − 𝑦𝑟) = 𝑒𝑥𝑒(𝑒 − 𝑦𝑟)

nên

𝑒𝑥𝑒 ∈ 𝑒𝑅𝑒 là nghịch đảo trái của 𝑒 − 𝑦𝑟.

Để hoàn thành chứng minh ta cần tính 𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒. Xét ánh xạ tự nhiên 𝑒𝑅𝑒 →

𝑒̅ 𝑅�𝑒̅ sao cho 𝑒𝑟𝑒 ↦ 𝑒̅ 𝑟̅𝑒̅ là đồng cấu vành triệt tiêu trên 𝑒𝐽𝑒. Do đó nó cảm sinh toàn
ánh 𝑒𝑅𝑒/𝑒𝐽𝑒 → 𝑒̅ 𝑅�𝑒̅, và cũng là một đẳng cấu vì nếu 𝑒̅ 𝑟̅𝑒̅ = 0 thì 𝑒𝑟𝑒 ∈ 𝐽 ∩ 𝑒𝑅𝑒 =

𝑒𝐽𝑒.

Định lý 2.5.3
Giả sử 𝑒 là lũy đẳng trong vành 𝑅.

(1) Giả sử 𝒜 là một iđêan trái tùy ý của 𝑒𝑅𝑒. Khi đó (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 = 𝒜.

Đặc biệt, 𝒜 ↦ 𝑅𝒜 xác định một đơn ánh (bảo toàn quan hệ bao hàm) từ các iđêan
trái của 𝑒𝑅𝑒 đến các iđêan trái của 𝑅.

(2) Giả sử 𝒜 là một iđêan trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝒜. Đặc biệt,

𝒜 ↦ 𝑅𝒜𝑅 xác định một đơn ánh từ các iđêan của 𝑒𝑅𝑒 đến các iđêan của 𝑅. Ánh xạ
này bảo toàn phép nhân của các iđêan và là toàn ánh nếu 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ, tức là

𝑅𝑒𝑅 = 𝑅.

Chứng minh
21


(1) Giả sử 𝒜0 = (𝑅𝒜) ∩ 𝑒𝑅𝑒 ⊇ 𝒜. Khi đó, do 𝒜0 ⊆ 𝑒𝑅𝑒, ta có:
𝒜0 = 𝑒𝒜0 ⊆ 𝑒. 𝑅𝒜 = 𝑒𝑅𝑒. 𝒜 ⊆ 𝒜.

Do đó, 𝒜0 = 𝒜. Dễ dàng suy ra kết luận thứ hai của (1). Thật vậy, nếu

𝒜 ⊆ 𝑒𝑅𝑒 là một iđêan thì 𝑒(𝑅𝒜𝑅)𝑒 = 𝑒𝑅(𝑒𝒜𝑒)𝑅𝑒 = (𝑒𝑅𝑒)𝒜(𝑒𝑅𝑒) = 𝒜, và nếu
𝒜′ là một iđêan khác của 𝑒𝑅𝑒 thì:

(𝑅𝒜𝑅)(𝑅𝒜′𝑅) = 𝑅𝒜𝑅𝒜′ 𝑅 = 𝑅(𝒜𝑒)𝑅(𝑒𝒜′)𝑅 = 𝑅𝒜(𝑒𝑅𝑒)𝒜′ 𝑅
= 𝑅(𝒜𝒜′)𝑅.

Giả sử 𝑒 đầy đủ, tức là 𝑅𝑒𝑅 = 𝑅. Với mỗi iđêan ℬ bất kỳ trong 𝑅, xét iđêan 𝒜 =

𝑒ℬ𝑒 trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó:

𝑅(𝑒ℬ𝑒)𝑅 = 𝑅𝑒(𝑅ℬ𝑅)𝑒𝑅 = (𝑅𝑒𝑅)ℬ(𝑅𝑒𝑅) = 𝑅ℬ𝑅 = ℬ.

Điều này chứng tỏ ánh xạ trong (2) là toàn ánh.

Chú ý: Trong trường hợp 𝑒 là lũy đẳng đầy đủ, ta có 𝑟𝑎𝑑 𝑅 trong 𝑅 tương ứng

với 𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) trong 𝑒𝑅𝑒 với sự tương ứng iđêan trong (2.5.3)(2), vì 𝑒(𝑟𝑎𝑑𝑅)𝑒 =
𝑟𝑎𝑑(𝑒𝑅𝑒) theo (2.5.2).

Sử dụng kết quả trên, ta có thể chỉ ra nhiều tính chất của vành 𝑅 được kế thừa

bởi vành 𝑒𝑅𝑒. Sau đây là một minh họa nhỏ:
Hệ quả 2.5.4

Giả sử 𝑒 ≠ 0 là lũy đẳng bất kỳ trong 𝑅. Nếu 𝑅 là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố,

nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái) thì 𝑒𝑅𝑒 cũng là J – nửa đơn (đơn, nguyên tố,

nửa nguyên tố, Noether trái, Artin trái).
Chứng minh

Trường hợp J – nửa đơn theo (2.5.2). Các trường hợp còn lại theo (2.5.3).
Ví dụ: Cho 𝑘 là một vành và 𝑅 = 𝑀𝑛 (𝑘). Giả sử 𝑒 là một ma trận đơn vị 𝐸11

trong 𝑅. Khi đó, 𝑒𝑟𝑒 = 𝑟11 𝑒 với bất kỳ ma trận 𝑟 = �𝑟𝑖𝑗 � và vì thế vành 𝑒𝑅𝑒 là đẳng
cấu với 𝑘. Theo (2.5.2) suy ra 𝑟𝑎𝑑�𝑀𝑛 (𝑘)� = 𝑀𝑛 (𝑟𝑎𝑑 𝑘). Ta có thể kiểm tra được 𝑒

là lũy đẳng đầy đủ. Vậy (2.5.3)(2) bảo toàn sự tương ứng 1 − 1 giữa các iđêan của 𝑘
và các iđêan của 𝑀𝑛 (𝑘).

22


2.6. Lũy đẳng bất khả quy
Trong (2.4) và (2.5.1) ta định nghĩa các khái niệm về lũy đẳng nguyên thủy và
lũy đẳng địa phương. Cả hai khái niệm này đều có tính đối xứng trái – phải. Sau đây
ta giới thiệu khái niệm lũy đẳng bất khả quy, trong phần này sự phân biệt trái và phải
là rất cần thiết.
Định nghĩa 2.6.1
Ta nói một lũy đẳng 𝑒 ≠ 0 là bất khả quy phải (hoặc trái) nếu 𝑒𝑅 (hoặc 𝑅𝑒) là

iđêan phải (hoặc trái) tối tiểu của 𝑅.

Chú ý rằng, do bổ đề Brauer (2.1.8), một iđêan phải tối tiểu 𝐼 ⊆ 𝑅 được sinh

bởi một lũy đẳng bất khả quy phải nếu và chỉ nếu 𝐼 2 ≠ 0.
Mệnh đề 2.6.2

Giả sử 𝑒 ∈ 𝑅 là lũy đẳng.

(1) Nếu 𝑒 là bất khả quy phải thì 𝑒𝑅𝑒 là vành chia.

(2) Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vành nửa nguyên tố.

Chứng minh
(1) Theo bổ đề Schur và (2.2.4) thì 𝑒𝑅𝑒 ≅ 𝐸𝑛𝑑𝑅 (𝑒R).

(2) Giả sử 𝑅 là nửa nguyên tố và 𝑒𝑅𝑒 là vành chia. Xét phần tử bất kỳ 0 ≠

𝑒𝑟 ∈ 𝑒𝑅, 𝑟 ∈ 𝑅. Do 𝑅 là nửa nguyên tố, 𝑒𝑟𝑅𝑒𝑟 ≠ 0 nên 𝑒𝑟𝑠𝑒 ≠ 0, 𝑠 ∈ 𝑅. Giả sử 𝑒𝑡𝑒

là nghịch đảo của 𝑒𝑟𝑠𝑒 trong 𝑒𝑅𝑒. Khi đó (𝑒𝑟𝑠𝑒)(𝑒𝑡𝑒) = 𝑒. Do đó 𝑒𝑟𝑅 = 𝑒𝑅, vì thế
𝑒𝑅 là 𝑅 – môđun bất khả quy.
Từ đó ta có hệ quả:
Hệ quả 2.6.3
(1) Lũy đẳng bất khả quy phải luôn là lũy đẳng địa phương.
(2) Nếu 𝑅 là nửa nguyên tố thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ

nếu nó bất khả quy trái.

(3) Nếu 𝑅 là nửa đơn thì một lũy đẳng là bất khả quy phải nếu và chỉ nếu nó

là lũy đẳng địa phương, hoặc nếu và chỉ nếu nó là lũy đẳng nguyên thủy.

Mối quan hệ cơ bản giữa lũy đẳng bất khả quy phải và lũy đẳng địa phương
được cho trong mệnh đề sau:
23