nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Như Quỳnh

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN
NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Như Quỳnh

NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN
NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, thầy đã tận
tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt
khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô và các anh, chị công tác tại phòng sau
đại học đã tạo điều tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Krông Ana,
quí thầy cô, bạn bè cùng gia đình đã tạo điều kiện cả về vật chất và tinh thần để tôi
hoàn thành khóa học.
Người viết

Nguyễn Thị Như Quỳnh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2
Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC .......................... 3
2.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................ 3
2.2. Kết quả tồn tại (I) ................................................................................. 7
2.3. Kết quả tồn tại (II) .............................................................................. 20
Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS ....................................................... 28
3.1. Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm

nonautonomous ............................................................................................... 28
3.2. Một số áp dụng ......................................................................................... 44
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 50


-1-

LỜI MỞ ĐẦU
Lí thuyết phương trình vi phân đã có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học
và xã hội như trong vật lí, sinh học... Luận văn này trình bày lại toàn bộ nội dung
của bài báo [6],[7]. Bao gồm trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của hệ
động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder
nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder và sự tồn tại nghiệm tuần
hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm tuần hoàn nonautonomous dựa trên
vấn đề về giá trị riêng của toán tử hoàn toàn liên tục trên nón trong không gian
Banach. Các kết quả trên được mở rộng nghiên cứu trong lí thuyết như trong mô
hình toán sinh học, động lực học dân số. Như phương trình vi tích phân Volterra,
mô hình tổng quát n loài cạnh tranh Gilpin – Ayala.
Luận văn được chia thành các chương như sau
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai
Chương 3: Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm
nonautonomous


-2-

Chương 1:

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lí Ascoli – Arzela. Cho X là không gian mêtric compact. Tập A ⊂ CK ( X )
là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và đẳng liên tục.
Định lí Schauder. Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và

f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compắc tương đối. Thì f có điểm bất
động trong C .
Định lí. (Leray-Schauder nonlinear alternative)
Cho E là không gian Banach, D là tập mở, bị chặn trong E , 0 ∈ D . Cho

T : D → E là ánh xạ compắc. Khi đó
• Hoặc tồn tại x ∈∂D và λ ≥ 1 sao cho Tx = λ x .
• Hoặc T có điểm bất động trong D .
Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và P là một tập đóng, không rỗng của

X . P là nón nếu
(i) x, y ∈ P và α , β ∈  + thì

αx + β y∈P.

(ii) x ∈ P và − x ∈ P thì x = 0 .
Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh một thứ tự riêng trong X . Ta xác định” ≤ ” trong P bởi

x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P .
Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và D ⊂ X , 0 ∈ D . Toán tử L : D → X
thỏa L0 = 0 , xλ ≠ 0 được gọi là véctơ riêng của giá trị riêng

Lxλ = λ xλ .

λ của L nếu


-3-

Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC

SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI
2.1. Giới thiệu bài toán
Chúng ta sẽ nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm dương tuần hoàn chu kì T của hệ
động lực non-autonomous bậc hai


x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1)

(

Trong đó a ( t ) , e ( t ) ∈  / T , 

N

) , f ( t , x ) ∈  (  / T  ×  \ {0},  )
N

N

lim fi ( t , x ) = +∞ đều theo t, i = 1,2,..., N

x →0 +

Ta cần=
tìm hàm x ( t )

( x ( t ) ,..., x ( t ) ) ∈ (  / T ,  )
2

1

N

thỏa (2.1) sao cho

N

xi ( t ) > 0, ∀t , i =
1,2,..., N .

(

a (t ) (a1 , a2 ,..., aN ) ∈  / T , 
Chúng ta kí hiệu=

N

)

=
e(t ) (e1 , e2 ,..., eN ) ∈ (  / T ,  N )
Với mỗi i = 1,2,..., N , ta xét phương trình scalar (vô hướng)

x "+ ai ( t ) x =
ei ( t ) (2.2)
Với điều kiện biên tuần=
hoàn x ( 0 ) x=
(T ) , x ' ( 0 ) x ' (T ) .(2.3)
Trong mục 2 này, ta giả sử rằng các giả thiết sau thì thỏa mãn
(A) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) luôn dương với mọi

( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N
Trong mục 3, ta giả sử rằng


-4-

(B) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) không âm với mọi

( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N
Nói cách khác, nguyên lí anti-maximum áp dụng cho (2.2), (2.3). Với điều kiện
T

(A),(B) nghiệm của (2.2),(2.3) cho bởi x ( t ) = Gi ( t , s ) ei ( s ) ds .

∫
0

π 
Khi ai ( t ) = k , điều kiện (A) tương đương với 0 < k < λ1 =
  và điều kiện (B)
T 
2

2

2

π 
tương đương với 0 < k ≤ λ1 =
 
T 

2

2

Hàm Green liên quan đến (2.2), (2.3) có dạng


 g1i ( t , s )
Gi ( t , s ) = 

 g 2i ( t , s )

,0 ≤ s ≤ t ≤ T
,0 ≤ t ≤ s ≤ T

Ta có
T

T

T

∫ x′′ ( s ) G ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) G ( t , s )ds =
∫ e ( s ) G ( t , s ) ds
2

i

i

0

0

T

T

i

i

0

T

T

∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds
2

1i

0

2i

0

T

= ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds
0

2

1i

0

2i

0


-5-

⇒ x ( t )  g 2′ i ( t , t ) − g1′i ( t , t )  − x′ ( t )  g1i ( t , t ) − g 2i ( t , t ) 
+ x′ (T )  g 2i ( t , T ) − g1i ( t ,0 )  + x ( 0 )  g1′i ( t ,0 ) − g 2′ i ( t , T ) 
T

T

0

0

+ ∫ x ( s )  g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s )  ds + ∫ x ( s )  g 2′′i ( t , s ) + k 2 g 2i ( t , s )  ds
T

= ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds
0

 g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s ) =
0  g1i ( t , s ) = A sin ks + B cos ( −ks )
Ta cần 
⇒
2
′′
g
t
,
s
+
k
g
t
,
s
=

0
(
)
(
)

 2i
2i
 g 2i ( t , s ) = C sin ks + D cos ( −ks )
1
 g 2is ( t , t ) − g1is ( t , t ) =

 g1i ( t , t ) = g 2i ( t , t )
Mặt khác 
 g 2i ( t , T ) = g1i ( t ,0 )
 g ( t ,0 ) = g ( t , T )
2 is
 1is
1
−kA cos ( kt ) − kB sin ( −kt ) + kC cos ( kt ) + kD sin ( −kt ) =

−kt ) C sin ( kt ) + D cos ( −kt )
 A sin ( kt ) + B cos (=
⇔
B
C sin ( kT ) + D cos ( −kT ) =
kC cos ( kT ) + kD sin ( −kT ) =
A


cos k (T − t ) − cos kt

A =
2k (1 − cos kT )


sin k (T − t ) + sin kt
B =
2k (1 − cos kT )

⇔
C = cos kt − cos k (T + t )

2k (1 − cos kT )

sin k (T + t ) − sin kt

D
=

2k (1 − cos kT )



-6-

Do đó g1i ( t , s ) =

g 2i ( t , s ) =

sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s )
2k (1 − cos kT )

sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t )
2k (1 − cos kT )

Trong trường hợp này ta có

 sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s )
, 0≤ s ≤t ≤T

2
k
1
−
cos
kT
(
)

Gi ( t , s ) = 
 sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) , 0 ≤ t ≤ s ≤ T

2k (1 − cos kT )

kT
1
1
cot
≤ Gi ( t , s ) ≤

kT
2k
2
2k sin
2
Cho hàm a ( t ) không là hàm hằng. Có tiêu chuẩn trong Lp được chứng minh trong
bài báo [8] nó đưa đến bổ đề sau. Cho K ( q ) kí hiệu là hằng số Sobolev trong bất
đẳng thức sau

∀u ∈ H 01 ( 0, T )

C u q ≤ u′ 2 ,
2



 2π 2
 1+ q
K ( q ) =  qT

4

T
ở đây Γ là hàm Gamma.

2

1−

 2 



2+q

2
q


1 
 Γ  
 q  , 1 ≤ q < ∞

 1 1
 Γ 2 + q  

 
,q = ∞


-7-

Chuẩn trong Lp kí hiệu là . p . Số mũ liên hợp của p kí hiệu là p sao cho

1 1
+ =
1
p p
Bổ đề. 2.1: Với mỗi i = 1,2,..., N , giả sử rằng ai ( t ) > 0 và ai ∈ Lp [ 0, T ] cho bất kì

1≤ p ≤ ∞

Nếu ai

p

< K ( 2 p ) thì giả thiết (A) thỏa mãn.

Hơn nữa, điều kiện (B) thỏa mãn nếu ai

p

≤ K ( 2 p ) .

Trong giả thiết (A) ta luôn kí hiệu

=
=
=
mi min
Gi ( t , s ) , M i max
Gi ( t , s ) , σ i
0≤ s ,t ≤T

0≤ s ,t ≤T

mi
Mi

(2.4)

Khi đó M i > mi > 0 và 0 < σ i < 1

Ta xác định hàm γ :  →  N
T

γ i ( t ) = ∫ Gi ( t , s ) ei ( s ) ds ,

i = 1,2,..., N

0

ei ( t ) .
là nghiệm tuần hoàn chu kì T của x "+ ai ( t ) x =
Trong chương 2, ta sử dụng các kí hiệu sau

γ * = min γ i ( t ) γ * = max γ i ( t )
i ,t

i ,t

2.2. Kết quả tồn tại (I)
Trong mục này, ta trình bày và chứng minh kết quả tồn tại đầu tiên. Chứng minh
được dựa trên định lí Leray-Schauder nonlinear alternative.


-8-

=
X  [ 0, T ] × ... ×  [ 0, T ] và kí hiệu
Trong áp dụng sau, ta xét
xi = sup xi ( t ) , i = 1,2,..., N .
t∈[ 0;T ]

x = max xi với x = ( x1 , x2 ,..., xN )
i

Xác định toán tử T : X → X bởi Tx = (T1 x, T2 x,..., TN x ) trong đó
T

=
(Ti x ) ( t )

T

∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2,..., N
i

(2.5)

i

0

là ánh xạ compắc.
Chứng minh
Kiểm tra Ti ( x ) liên tục theo

t.

Với x ∈ X cố định, B ={ x ( s ) + γ ( s ) : s ∈ [ 0;T ]}
Do f i liên tục nên fi ([ 0, T ] × B ) bị chặn tức là tồn tại M 1 > 0 sao cho

f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ M 1
Với

ε > 0 do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] tồn tại δ > 0 sao cho t − t ′ < δ
Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) <

ε
M 1T

, ∀s ∈ [ 0;T ]

T

T

0

0

Ti x ) ( t ′ ) ∫ Gi ( t , s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds − ∫ Gi ( t ′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
(Ti x ) ( t ) − (=

<ε .


-9-

Chứng minh T ( x ) liên tục theo biến x

{

Đặt G = sup Gi ( t , s )
i

}

Xét dãy { xm }m trong X sao cho lim xm = x .
m→∞

{ x ( s ) : s ∈ [0;T ]; m ∈  } thì C là tập compắc .

Đặt C =
Với

+

m

ε > 0 vì fi liên tục trên [ 0;T ] × C nên tồn tại số δ > 0 sao cho
x ( s ) − y ( s ) < δ ⇒ f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) − f i ( s, y ( s ) + γ ( s ) ) ≤

ε
GT

.

Vì lim xm = x trong X nên
m→∞

∃mo : ∀m ≥ mo ⇒ xm ( s ) − x ( s ) < δ , ∀s ∈ [ 0;T ] ⇒ xm − x < δ

T

(Ti xm ) ( t ) − (Ti x ) ( t ) ≤ G ∫ fi ( s, xm ( s ) + γ ( s ) ) − fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds ≤ ε
0

Suy ra Txm − Tx < ε
Vậy T liên tục.
Chứng minh T ( x ) liên tục đồng bậc.
Cho A là tập bị chặn trong X , nên có M > 0 sao cho x ≤ M , ∀x ∈ A .

(

Do f i liên tục trên [ 0, T ] × BN 0, M + γ

*

) ,trong đó B ( 0, M + γ )
*

N

đóng tâm O bán kính M + γ * trong  N nên tồn tại α i > 0 sao cho

{

}

=
α i max fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) , s ∈ [ 0, T ]

là quả cầu


-10-

α = max {α i }
i

fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ α , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A .
T

(

)

Do đó (Ti x ) ( t ) ≤ Gi ( t , s ) f i s, x ( s ) + γ ( s ) ds ≤ Gα T ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A .

∫
0

Suy ra Tx ≤ Gα T , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A
Vậy T ( A ) bị chặn đều.
Với ε > 0 cho trước do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] nên có δ > 0 sao cho khi

t , t ′ ∈ [ 0;T ] : t − t ′ < δ , ∀x ∈ A ,
ta có Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) <

ε
, ∀s ∈ [ 0, T ]
αT

T

(Ti x ) ( t ) − (Ti x ) ( t′) ≤ ∫ Gi ( t , s ) − G i ( t′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
0

≤ ε , ∀x ∈ A .
T ( A ) liên tục đồng bậc.
Do đó theo định lí Ascoli-Arzela. T ( A ) compắc tương đối trong X .
Vậy T là ánh xạ compắc.□
Định lí 2.1 : Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (A). Hơn nữa ta có
(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Tồn tại một hàm liên tục φL > 0 sao cho mỗi thành
phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]


-11-

(H 2 ) Với mỗi thành phần f i của f , tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) sao cho
0 ≤ fi ( t , x ) ≤ ki ( t ){ gi ( x ) + hi ( x )} , ∀ ( t , x ) ∈ [ 0;T ] ×  N+ \ {0} ,
Và gi ( x ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x ) / gi ( x ) là hàm không giảm theo biến x .
(H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho

r

 hi ( r + γ ,..., r + γ ) 
gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
*
* 

g
r
r
+
+
γ
,...,
γ
(
) 
i

*

*

> K i* , i = 1,2,..., N

T

Trong đó K = max K i ( t ) , K i ( t ) = Gi ( t , s ) ki ( s ) ds .
*
i

i

∫
0

Nếu γ * ≥ 0 thì (2.1) có ít nhất một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T với

x ( t ) > γ ( t ) với mọi t và 0 < x − γ < r .
Chứng minh
Đầu tiên ta chỉ ra rằng x′′ + a ( t ) x=

f ( t , x ( t ) + γ ( t ) ) (2.6)

có một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T thỏa mãn x ( t ) + γ ( t ) > 0, ∀t ∈ [ 0;T ]
và 0 < x < r .
Từ (H 3 ),ta chọn n0 ∈ {1,2,...} sao cho

1
< σ r + γ * và
n0

 hi ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
+ K gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
*
* 
+
+
g
r
γ
,...,
r
γ
(
)

i

 n0
*
i

i = 1,2,..., N . Trong đó σ = min {σ 1 ,σ 2 ,...,σ N }


-12-

{n0 , n0 + 1,...} . Cố định n ∈ N 0 . Xem xét họ hệ

=
N0
Chọn

x′′ + a (=
t ) x λ f n (t, x (t ) + γ (t )) +

a (t )
, λ ∈ [ 0;1]
n

(2.7)

và cho mỗi i = 1,2,..., N ,

1


,
,
f
t
x
x
≥
(
)
i
i

n
fi n ( t , x ) = 
 fi  t , x1 ,..., xi −1 , 1 , xi +1 ,..., xN  , xi ≤ 1
 
n
n

Giải (2.7) thì tương đương với vấn đề tìm điểm bất động sau
T

1
1
=
xi ( t ) λ ∫ Gi ( t , s ) fi n ( s, x ( s ) + γ ( s ) )=
ds +
λ (Ti n x ) ( t ) + , i = 1,2,..., N (2.8)
n
n

0
Chúng ta chứng minh rằng bất kì điểm bất động x của (2.8)với bất kì λ ∈ [ 0;1] phải
thỏa mãn x ≠ r . Giả sử trái lại x là điểm bất động của (2.8) ứng với λ ∈ [ 0;1] sao
cho x = r . Không mất tổng quát, ta giả sử rằng x j = r cho một j = 1,2,...N . Vì
vậy ta có
T

1
=
x j (t ) −
λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds
n
0
T

≥ λ m j ∫ f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds
0

T

∫ (

)

= σ j M j λ f jn s, x ( s ) + γ ( s ) ds
0


-13-

T

≥ σ j max { λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds
t

=σ j x j −

}

0

1
.
n

Do đó, với mọi t , ta có

x j (t ) ≥ σ j x j −
Vì thế x j ( t ) + γ j ( t ) ≥ σ j r + γ * >

Từ

1 1
1 1

+ ≥ σ j  x j − +  ≥ σ jr
n n
n n


1
n

1 1
≤ < σ r + γ*
n n0

Vì có điều kiện (H 2 ), cho tất cả t
T

x j ( t ) λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds +
=
0

T

(

)

= λ G j ( t , s ) f j s, x ( s ) + γ ( s ) ds +

∫
0

T

≤ ∫ G j ( t , s ) f j ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds +
0

1
n

1
n

1
n


1
 hj ( x ( s ) + γ ( s )) 

≤ ∫ G j ( t , s ) k j ( s ) g j ( x ( s ) + γ ( s ) ) 1 +
 ds +
n

0
 g j ( x ( s ) + γ ( s )) 

T

 h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
+
*
* 
+
+
g

r
γ
r
γ
,...,
(
)
j

 n0
*
j


-14-

Vì xi ( t ) ≥

1
, ∀i ∈ {1,2,..., N } \ { j} và γ * ≥ 0 .
n

Do đó,

 h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1
r = x j ≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 +
+
*
* 
+

+
γ
γ
g
r
r
,...,
(
)
j

 n0
*
j

Mâu thuẫn với chọn n0 và khẳng định được chứng minh
Từ chứng minh trên, Định lí Leray- Schauder công nhận rằng

=
x (t )

(T x ) ( t ) + 1n
n

{

(2.9)

}

x X : x có một điểm bất động, kí hiệu x , trong Br =∈
n

x′′ + a ( t=
) x f n (t, x (t ) + γ (t )) +

a (t )
(2.10)
n

có một nghiệm x tuần hoàn chu kì T với x < r .Từ xin ( t ) ≥
n

n

1
> 0 . i = 1,2,..., N
n

và t ∈ [ 0;T ] , x là nghiệm tuần hoàn dương chu kì T của (2.10).
n

Tiếp theo ta khẳng định tồn tại một hằng số

δ > 0 , độc lập với n ∈ N 0 , sao cho

min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , ∀n ∈ N 0 (2.11)
i .t

Từ (H 1 ) được thỏa mãn, tồn tại một hàm liên tục φr +γ * ( t ) > 0 sao cho mỗi thành
phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φr +γ * ( t ) với mọi t và x ≤ r + γ * . Cho

x r +γ ( t ) là nghiệm tuần Chu kì T duy nhất của
*


-15-

x′′ + a ( t ) x =
φ (t )

(

)

Với φ ( t ) = φr +γ * ( t ) ,...,φr +γ * ( t ) , thì ta có
T

=
x (t ) + γ i (t )
r +γ *
i

T

∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds + γ ( t ) ≥ φ
r+

i

*

*

i

+ γ * > 0 , cho mỗi i = 1,2,..., N

0

T

φi ( t ) ,
φi ( t )
=
=
Ở đây φ* min

∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds
i

i ,t

r+

*

0

Tiếp theo ta chỉ ra rằng (2.11) thỏa δ = φ* + γ * > 0 . Để có điều này, với mỗi

1
i = 1,2,..., N , từ xin ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * và xin ( t ) + γ * ≥ , ta có
n

=
x (t ) + γ i (t )
n
i

T

1
∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds + γ ( t ) + n
n

i

n

i

i

0

T

≥ ∫ Gi ( t , s )φr +γ * ( s ) ds + γ i ( t )

0

≥ φ* + γ * =
δ

{

}

Do đó min xin ( t ) + γ i ( t ) ≥ δ
i .t

{ }

Chúng ta chứng minh xin

n∈N 0

là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên

n
Ta cần x ≤ H với hằng số H > 0 , với mọi n ≥ n0 .

Bởi điều kiện biên tuần hoàn , x n ( t0 ) = 0 với một vài t0 ∈ [ 0, T ] .
Tích phân hai vế (2.10) từ 0 đến T , ta có

[0,T ]


-16-

T

( t ) dt
∫ a (t ) x=
n

0

a (t ) 
 n
n
f
t
x
t
t
+
+
,
γ
(
)
(
)
(
)
dt
∫0 
n 

T

Do đó, với mỗi i = 1,2,..., N
t

x = max ∫ 
xin ( s ) ds
n
i

t

t0

a (s)


= max ∫  fi n ( s, x n ( s ) + γ ( s ) ) + i
− ai ( s ) xin ( s )  ds
t
n

t0 
t

T
ai ( s ) 
 n
n

≤ ∫  fi ( s, xn ( s ) + γ ( s ) ) +
ds + ∫ ai ( s ) xi ( s )ds
n 
0
0
T

T

= 2 ∫ ai ( s ) xin ( s ) ds =
≤ 2r ai 1 H1
0

T

n
Ở đây ai 1 = max ai ( s ) ds . Thì x ≤ H được thỏa mãn với H = max { H i }

∫

i

0

{ }

Từ x < r và x ≤ H chỉ ra rằng với mỗi i = 1,2,..., N , xin
n

n

n∈N 0

là họ bị chặn và

{ }

liên tục đồng bậc trên [ 0,T ] . Theo định lí Ascoli-Arzela xin

{x }
nk
i

k∈

n∈N 0

có dãy con

hội tụ đều trên [ 0,T ] về hàm liên tục xi ∈  ( 0, T ) . Lấy x = ( x1 ,..., xN ) , từ

x n < r và min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , x thỏa mãn δ ≤ xi ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * , ∀t và
i .t

i = 1,2,..., N .
Hơn nữa xink thỏa mãn phương trình tích phân


-17-

=
x (t )
nk
i

T

(

)

1
nk
,
,
, i 1,2,..., N
G
t
s
f
s
x
s
+
γ
=
s
ds
+
(

)
(
)
(
)
i
∫0 i
nk

Cho k → ∞ ,

=
xi ( t )

T

) ) ds, i
∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s=
i

1,2,..., N

i

0

*
( f i ( t , x ) liên tục đều trên [ 0, T ] × δ , r + γ  ).

Do đó x′′ + a ( t ) x=

f ( t , x ( t ) + γ ( t ) ) (2.6) có một nghiệm x dương tuần hoàn chu

kì T thỏa mãn x ( t ) + γ ( t ) > 0, ∀t ∈ [ 0;T ] và 0 < x ≤ r .
Nếu x = r tương tự như chứng minh trên ta có điều mâu thuẫn.
Khi đó u=
( t ) x ( t ) + γ ( t ) là một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T của


x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1) với 0 < u − γ < r vì
u′′ + a ( t ) u = x′′ + γ ′′ + a ( t ) x + a ( t ) γ = f ( t , x + γ ) + e ( t ) = f ( t , u ) + e ( t ) .
Ta có điều phải chứng minh. □
Xét hệ phương trình

 ′′
 x + a1 ( t ) x =

 y′′ + a ( t ) y =
1


(x

2

(x

2

+ y2 )

−α

+ y2 )

−α

+µ

(x

+µ

(x

2

+ y 2 ) + e1 ( t )

2

β

+ y 2 ) + e2 ( t )
β

(2.12)

Với a1 , a2 , e1 , e2 ∈ C [ 0, T ] ,α , β > 0 và µ ∈  là tham số cho trước.
Hệ quả 2.1: Giả sử rằng a1 ( t ) , a2 ( t ) thỏa mãn (A) và α > 0, β ≥ 0 .thì với mỗi

e1 ( t ) , e2 ( t ) ∈ C (  / T ,  ) với γ * ≥ 0 chúng ta có


-18-

(i)

Nếu β < 1 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệmdương tuần hoàn chu kì T
với mỗi µ > 0 .

(ii)

Nếu β ≥ 1 , thì (2.12) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T
với mỗi 0 < µ < µ1 , ở đây µ1 là hằng số dương bất kì.

Chứng minh: Chúng ta áp dụng định lí 2.1 với

f i ( t , x, y ) =

(x

2

+ y2 )

g1 ( x=
, y ) g 2 ( x=
, y)
h1 =

( x, y ) h2 =
( x, y ) µ

−α

(x

+µ

2

(x

(x

+ y2 )
2

2

+ y2 )

β

−α

k=
+ y 2 ) và k=
1 (t )
2 (t ) 1

β

(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục
=
φL ( t )

(

2L

)

−α

> 0 khi đó

fi ( t , x, y ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]
(H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x, y ) , hi ( x, y ) , ki ( t ) Và gi ( x, y ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x, y ) / gi ( x, y )
là hàm không giảm.Thỏa mãn

0 ≤ fi ( t , x, y ) ≤ ki ( t ){ gi ( x, y ) + hi ( x, y )}, ∀ ( t , x, y ) ∈ [ 0;T ] ×  2+ \ {0} ,
(H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho

 (σ i r + γ * ) 2 + γ * 2 



−α

2

r
1, 2
> ωi* , i =
α +β
α +β 

*
1 + µ 2 2 ( r + γ ) 


α

2
r (σ i r + γ * ) + γ *2  2 − ωi*

,i =
1,2 với r > 0 bất kì
⇒µ< 
α +β
α
β
+
2 2 (r + γ * )


-19-

T

Trong đó ωi ( t ) = Gi ( t , s ) ds .

∫
0

Vì vậy, (2.8) có ít nhất một nghiệm tuần hoàn chu kì T dương với
α

2
r (σ i r + γ * ) + γ *2  2 − ωi*

0 < µ < µ1 min=
sup 
, i 1,2
=
α
β
+
i =1,2 r >0
* α +β
2
2 (r + γ )

Nếu β < 1 thì µ1 = ∞ , nếu β ≥ 1 thì µ1 < ∞ . Ta có kết quả (i),(ii). □
Bổ đề 2.2: Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (A). tổng quát hơn ở đây tồn tại hàm liên tục

b, bˆ > 0 và α > 0,0 ≤ β < 1 sao cho mỗi thành phần fi của f thỏa mãn
(F )

0≤

bˆ ( t )
x

α

≤ fi ( t , x ) ≤

b (t )
x

α

+ b ( t ) x , ∀t
β

Nếu γ * ≥ 0 , thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T .
Chứng minh: Ta áp dụng định lí (2.1), với

=
ki ( t ) b ( t=
) , gi ( x )

1
β
=
hi ( x ) x
α ,
x

Theo giả thiết
(H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Chọn hàm liên tục φL=
(t )

bˆ ( t )
>0
Lα

khi đó f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]
(H 2 ) Cho mỗi thành phần f i của f tồn tại hàm không âm liên tục

gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) Và gi ( x ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x ) / gi ( x ) là hàm


-20-

không giảm.Thỏa mãn

0 ≤ fi ( t , x ) ≤ ki ( t ){ gi ( x ) + hi ( x )}, ∀ ( t , x ) ∈ [ 0;T ] ×  N+ \ {0} ,
(H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho

r
1

(σ i r + γ * )

α

1 + ( r + γ



)

* α +β




> βi* , i =
1,2,..., N

T

ở đây β i ( t ) = Gi ( t , s ) b ( s ) ds

∫
0

Điều kiện (H 3 ) trở thành

r (σ i r + γ * )

α

1+ (r + γ

)

* α +β

1,2,..., N (2.13)
> βi* , i =

Cho bất kì r > 0 ,
Từ α > 0,0 ≤ β < 1, γ * ≥ 0 , ta có thể chọn r > 0 đủ lớn sao cho (2.13) được thỏa
mãn. □

2.3. Kết quả tồn tại (II)
Trong mục này, ta thiết lập kết quả tồn tai thứ hai của (2.1) bằng cách sử dụng định
lí điểm bất động Schauder.
Định lí 2.2: Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (B) và f ( t , x ) thỏa mãn (H 1 )-(H 2 ). Hơn
nữa
giả thiết rằng
(G 1 ) Tồn tại một hằng số dương R > 0 sao cho R > φ* ,φ* + γ * > 0 và với mỗi

i = 1,2,..., N


-21-

 hi ( R + γ * ,..., R + γ * ) 
R ≥ gi (φ* + γ * ,...,φ* + γ * ) 1 +
K*
*
*  i
 gi ( R + γ ,..., R + γ ) 

=
=

φi ( t ) ,φi ( t )
trong đó φ* min
i ,t

T

∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds
i

R+

*

0

Thì (2.1) có ít nhất một nghiệm dương tuần hoàn chu kì T . □
Chứng minh: Nghiệm tuần hoàn chu kì T của (2.1) thì vừa là điểm bất động của
toán tử T : X → X bởi Tx = (T1 x, T2 x,..., TN x ) trong đó
N

=
(Ti x ) ( t )

T

∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2,..., N
i

i

0

T là toán tử hoàn toàn liên tục.
Cho R là hằng số dương thỏa mãn (G 1 )và r= φ* > 0 . Thì ta có R > r > 0 . Bây giờ
ta xác định tập hợp

Ω=

{ x ∈ X : r ≤ x ( t ) ≤ R, ∀t , i=
i

1,2,..., N }

(2.14)

Ta có Ω là tập lồi đóng.
Vì T là toán tử hoàn toàn liên tục nên T ( Ω ) là tập compăc tương đối.
Tiếp theo ta chứng minh T ( Ω ) ⊂ Ω .
Thực vậy, với mỗi x ∈Ω và mỗi i = 1,2,..., N , sử dụng Gi ( t , s ) ≥ 0 và điều kiện
T

(H 1 ) (Ti x ) ( t ) ≥ Gi ( t , s )φR +γ * ( s ) ds ≥ φ* =r > 0

∫
0

Mặt khác,từ điều kiện (H 1 ) và (G 1 ),ta có