nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Phạm Anh Lý

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu độc lập,những
trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người
đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Trần Lương Cơng Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giảng dạy cho chúng tơi những kiến thức về didactic tốn, cung cấp cho chúng tôi
những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.

Ngồi ra tơi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học Trường ĐHSP TP.HCM đã
tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy cơ trong tổ tốn Trường THCS Phường 1, thị
xã Gị Cơng – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những
người đã cùng tơi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân u trong
gia đình đã ln động viên tơi hồn thành khóa học.
PHẠM ANH LÝ


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu .....................................................................................1
2. Câu hỏi nghiên cứu .............................................................................................3
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu .............................................3
3.1. Nghiên cứu thể chế.......................................................................................3
3.2. Đồ án sư phạm .............................................................................................4
4. Tổ chức của luận văn ..........................................................................................5
Chương 1: TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MƠ HÌNH HĨA
TỐN HỌC ...................................................................................................6
1. Mơ hình hóa tốn học. Q trình mơ hình hóa tốn học .....................................6
1.1. Mơ hình hóa tốn học...................................................................................6
1.2. Q trình mơ hình hóa tốn học ...................................................................9

1.3. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa .................................11
2. Lợi ích của mơ hình hóa trong dạy học tốn .....................................................12
3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mơ hình hóa tốn học ..............14
4. Sự quan tâm đến dạy học mơ hình hóa tốn học ở các nước và ở Việt Nam ...15
4.1. Ở Pháp ........................................................................................................15
4.2. Ở một số nước khác ...................................................................................15
4.3. Ở Việt Nam ................................................................................................17


Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MƠ
HÌNH HĨA TỐN HỌC ............................................................................21
1. Ở bậc đại học .....................................................................................................22
1.1. Mơ hình thu nhập quốc dân (Keynes) ........................................................24
1.2. Mơ hình cân bằng thị trường ......................................................................25
1.3. Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mô ................................................................27
1.4. Kết luận ......................................................................................................28
2. Ở bậc phổ thơng ................................................................................................29
2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn ..................29
2.2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tượng và cơng cụ tường
minh...................................................................................................................33
2.2.1. Phân tích chương trình ........................................................................33
2.2.2. Phân tích sách giáo khoa .....................................................................34
2.2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10...................................46
2.3. Kết luận ......................................................................................................48
Chương 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) .................................................52
1. Mục đích thực nghiệm.......................................................................................52
2. Nội dung thực nghiệm .......................................................................................53
2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ......................................................53
2.2 Dàn dựng kịch bản ......................................................................................55
3. Đối tượng thực nghiệm .....................................................................................57

4. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................57
4.1. Biến và giá trị của chúng ............................................................................57
4.2. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến ....................59
4.2.1. Phiếu số 1 ............................................................................................59
4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3 ......................................................................59


4.2.3. Phiếu số 4 ............................................................................................64
4.2.4. Phiếu số 5 ............................................................................................64
4.3. Phân tích kịch bản ......................................................................................66
5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................68
5.1. Ghi nhận tổng quát .....................................................................................68
5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm .......................................................69
5.2.1. Pha 1 ....................................................................................................69
5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình ........................70
5.2.3. Pha 4: Thể chế hóa ..............................................................................77
5.2.4. Pha 5 và pha 6: Vận dụng ...................................................................79
6. Kết luận .............................................................................................................83
KẾT LUẬN ...............................................................................................................85
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................88
PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN ................................................................................................90
PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH...............................................94
PHỤ LỤC 3: Protocole ...........................................................................................101


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BTĐS10

: Bài tập Đại số 10 cơ bản.

HS

: Học sinh.

GV

: Giáo viên.

PTTT

: Phương trình tuyến tính.

SGK

: Sách giáo khoa.

SGK4

: Sách giáo khoa tốn lớp 4.

SGK5

: Sách giáo khoa toán lớp 5.

SGK8

: Sách giáo khoa toán lớp 8.

SGK9

: Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 2.

SGK10

: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản.

SGK10NC : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.
SGV

: Sách giáo viên.

SGV9

: Sách giáo viên toán lớp 9 tập 2.

SGV10

: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản.

THCS

: Trung học cơ sở.

THPT

: Trung học phổ thông.


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1. Giá trị các biến được lựa chọn trong tình huống .......................................58
Bảng 2. Thống kê số nhóm giải theo chiến lược .....................................................68
Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1 ..............................................................................69
Bảng 4. Thống kê chiến lược giải các nhóm trong pha 2 và pha 3 .........................70
Bảng 5. Thống kê kết quả pha 5 ..............................................................................79


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình tốn phổ thơng, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một
chủ đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học. Nó khơng chỉ xuất
hiện trong chương trình mơn tốn mà cịn hiện diện như một cơng cụ trong nhiều
môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống. Ngồi ra, hệ phương trình tuyến tính
cũng là một chủ đề quan trọng trong chương trình tốn cao cấp ở bậc đại học.
Những ghi nhận này thúc đẩy chúng tơi đi tìm hiểu việc dạy và học tri thức hệ
phương trình tuyến tính.
Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học
sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau
này. Ngoài ra, đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là
người sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả
năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao
năng lực tự học của học sinh. Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mơ
hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết.
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International
Student Assessment) là chương trình hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ
chức Hợp tác và phát triển kinh tế (OECD – Organization

for Economic

Cooperation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh tuổi mười
lăm nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội. Bắt đầu từ năm 1997, chương trình
PISA đánh giá theo chu kỳ ba năm một lần với quy mơ tồn cầu, hiện đã có trên 70
quốc gia và nền kinh tế tham gia. Chương trình PISA đưa ra cho học sinh những
vấn đề được đặt trong các tình huống lấy từ thực tế cuộc sống và được xây dựng sao
cho tốn học giải quyết các vấn đề đó. Mục tiêu của điều tra PISA là xác định trong
chừng mực nào học sinh có khả năng khai thác các tri thức và kĩ năng toán học của
họ để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chương trình này không chỉ đánh giá kiến


2

thức mà còn xem xét những khả năng, kĩ năng cần thiết của học sinh trong độ tuổi
mười lăm trong việc áp dụng kinh nghiệm và kiến thức của mình vào giải quyết các
vấn đề thực tế. Dưới đây là một ví dụ đã được PISA đưa ra đánh giá: Bài toán “Đèn
đường”.
“Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một cơng viên
nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng tồn bộ cơng viên.
Người ta nên đặt nó ở đâu?”

[The Pisa (2003); tr.26]
Chương trình PISA làm nổi bật vai trị của mơ hình hóa trong toán học cũng
như trong các khoa học khác.
Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mơ hình hóa trong dạy học và vai trị
cơng cụ của hệ phương trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài tốn thực tế,
chúng tơi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là dạy học hệ phương trình tuyến
tính trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học.
Về vấn đề mơ hình hóa trong chương trình tốn trung học Việt Nam, nghiên
cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2011) đã đưa ra kết luận như sau:

“Vấn đề dạy học mơ hình hóa khơng hề được đề cập trong chương trình và sách
giáo khoa ở Việt Nam. Sách giáo khoa chỉ đưa vào các bài tập áp dụng kiến
thức toán để giải quyết một số vấn đề thực tế. Trong các bài tập, những mơ hình
tốn học (…) được cung cấp trong đề bài và thực tế đã được mơ hình hóa chỉ là
cái cớ để làm việc tốn học trong mơ hình đã được xác định rõ.”

Theo tác giả này, việc dạy học mơ hình hóa ở Việt Nam và Pháp thực sự đặt ra một
vấn đề:
“Như vậy, thực sự tồn tại một vấn đề dạy học: hoặc người ta tránh dạy học mơ
hình hóa bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa tốn học và các mơn khoa học
khác như mối quan hệ ứng dụng (Việt Nam), hoặc người ta khuyến khích sự
quan tâm đến mơ hình hóa nhưng khơng cung cấp cho giáo viên những phương
tiện để dạy học nó (Pháp)”. [Nguyễn Thị Nga (2011); tr.318]

Liên quan đến hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn, chúng tơi có ghi
nhận việc trình bày của sách giáo khoa lớp 9 về tri thức này như sau: Nêu bài tốn
thực tiễn→Trình bày định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Trình bày các
cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Củng cố bằng cách giải các hệ phương


3

trình, các bài tốn thực tiễn. Bài tốn thực tiễn ban đầu được đưa vào chỉ nhằm mục
đích dẫn dắt vào bài học. SGK9 đưa vào định nghĩa hệ phương trình trực tiếp bằng
ngơn ngữ tốn học, tách rời với bài toán thực tiễn ban đầu. Các bài toán thực tiễn
khác chỉ được giải quyết sau khi các kiến thức về hệ phương trình đã được trình
bày. Như vậy, ở đây, mối liên hệ giữa toán học và vấn đề thực tiễn là mối quan hệ
ứng dụng. Câu hỏi cần thiết đặt ra là liệu có thể đưa vào hệ phương trình tuyến tính
bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mơ hình hóa hay khơng?
2. Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu
để định hướng cho nghiên cứu như sau:
1) Hệ phương trình tuyến tính và sự mơ hình hóa tốn học bởi hệ phương
trình tuyến tính được trình bày như thế nào ở bậc đại học? Chúng nhằm giải
quyết những vấn đề gì?
2) Việc nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn được thể hiện
như thế nào trong chương trình tốn ở bậc phổ thơng? Có sự chênh lệch nào
giữa tri thức toán học và tri thức cần giảng dạy về đối tượng hệ phương trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ nào với
việc mơ hình hóa tốn học?
3) Liệu có thể tổ chức dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn
bằng mơ hình hóa trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể
chế?
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời các câu hỏi 1 và 2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý
thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối


4

tượng tri thức; đưa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối
quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã chọn.
Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ phương trình tuyến tính và các
tổ chức tốn học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng
tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy
học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mơ hình hóa ở bậc đại học làm
tham chiếu cho thể chế dạy học ở bậc phổ thông. Việc nghiên cứu đồng thời hai thể

chế và so sánh chúng với nhau giúp chúng tôi hiểu rõ ràng buộc thể chế đối với đối
tượng hệ phương trình tuyến tính ở bậc phổ thơng.
Ngồi ra khái niệm hợp đồng sư phạm giúp chúng tơi tìm hiểu ứng xử của
giáo viên và học sinh: có những quy tắc ngầm ẩn nào liên quan đến việc dạy học hệ
phương trình tuyến tính được hình thành giữa họ?
Chúng tơi cụ thể hóa các câu hỏi 1 và 2 như sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình
bày như thế nào? Vai trị cơng cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mơ
hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực
tiễn nào?
CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thơng, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất
hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai
đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính
được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thơng? Việc dạy học mơ hình
hóa, dạy học bằng mơ hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế
nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?
3.2. Đồ án sư phạm
Dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý
thuyết mơ hình hóa chúng tơi sẽ xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mơ hình hóa. Tình huống này được xây dựng theo
các ràng buộc thể chế.


5

Có thể trình bày phương pháp luận nghiên cứu theo sơ đồ:
NGHIÊN CỨU
TRI THỨC KHOA HỌC

Thể chế dạy học bậc đại học

NGHIÊN CỨU
TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Thể chế dạy học PT ở Việt Nam

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
ĐỒ ÁN DẠY HỌC

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:
Chương 1: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mơ hình hóa tốn học.
Trong chương này chúng tơi trình bày hai phần:
- Các khái niệm chung về mơ hình hóa tốn học.
- Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mơ hình hóa.
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mơ hình hóa tốn học.
Trong chương này chúng tơi sẽ phân tích hai thể chế (thể chế dạy học ở bậc đại học
và thể chế dạy học phổ thông) để làm rõ các đặc trưng của việc dạy học hệ phương
trình tuyến tính trong mối liên hệ với mơ hình hóa. Cụ thể, kiểu nhiệm vụ “Giải bài
toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình” sẽ được xem xét trong cả hai thể chế để
so sánh các đặc trưng, ràng buộc của chúng.
Chương 3: Thực nghiệm (Đồ án dạy học).
Trong chương này chúng tơi xây dựng, thực nghiệm và phân tích tình huống
dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mơ hình hóa.


6

Chương 1:
TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
VỀ MÔ HÌNH HĨA TỐN HỌC
1. Mơ hình hóa tốn học. Q trình mơ hình hóa tốn học
1.1. Mơ hình hóa tốn học
Trong ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng và thảo
luận về vai trò của mơ hình tốn học và các ứng dụng trong tốn học giảng dạy và
học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr, 2003). Henry Pollak
(1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy nên chuyển từ việc hiểu “Đây
là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây là một định lý, chứng minh điều
đó", sang việc hiểu "Ở đây là một tình huống, suy nghĩ về nó”. Ơng cũng chỉ ra rằng
có một nhu cầu mạnh mẽ để cho phép sinh viên khám phá một tình huống có vấn
đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các cơng cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử
dụng để giải quyết tình hình trong thế giới thực dựa trên tình huống đó.
Ngày nay, mơ hình hóa được hầu hết mọi người ưa chuộng, giải quyết vấn
đề, hoạt động học tập và các hoạt động khác, liên kết tốn học với các đối tượng
khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và
giảng dạy toán học.
“Theo Từ điển bách khoa tồn thư, mơ hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng
một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mơ tả thế giới trực giác hay thế giới đã
được quan niệm hóa bằng ngơn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới
sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy tốn học. Nói cách khác, mơ hình hóa
tốn học là sự giải thích tốn học cho một hệ thống ngồi tốn học nhằm trả lời
cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.”

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.8]
Mơ hình tốn học có thể được thể hiện thơng qua đồ thị, bảng biểu, phương
trình, hệ thống các phương trình…

7

Mơ hình hóa tốn học có vai trị hết sức quan trọng, ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Những tình huống được mơ hình
hóa có tình huống trong tốn học và cả tình huống ngồi tốn học.
Một số ví dụ về mơ hình tốn học:
+ Trong sinh học: Mơ hình về sự phát triển của dân số. Một mơ hình đơn giản cho
bài tốn này là mơ hình phát triển Malthus, là một mơ hình mơ tả sự tăng trưởng
của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Mơ hình này
được đặt theo tên của Thomas Malthus. Mơ hình này xác định bởi cơng thức:
P(t) = P 0 er.t
Với P 0 : Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian.
Tuy nhiên, theo Joel E. Cohen thì sự đơn giản của mơ hình đưa ra chỉ hữu ích cho
việc dự đốn trong khoảng thời gian ngắn, và khơng tốt nếu áp dụng cho khoảng
thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Để khắc phục yếu điểm này Pierre Francois
Verhulst đã phát triển mơ hình hàm logistic (logistic function) vào năm 1838.
+ Trong kinh tế: Mơ hình mơ tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng. Khách
hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mơ
hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n
mặt hàng được đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p 1 , p 2 ,..., p n . Giả thiết rằng
khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho
số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x 1 , x 2 ,..., x n . Mơ hình cịn giả
thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích
là cực đại U(x 1 , x 2 ,..., x n ). Bài toán cần giải quyết về mơ hình hành vi của khách
hàng trở thành bài tốn tối ưu hóa, nghĩa là:
max U ( x1 , x2 ,..., xn )

thỏa mãn:

n

∑px
i =1

i i

≤M

xi ≥ 0, ∀i ∈ {1, 2,..., n}


8

Mơ hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng
minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng
mơ hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề
tranh cãi.
+ Trong vật lí: Mơ hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế
(potential-field). Trong mơ hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với
quĩ đạo của nó được mơ hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong khơng
gian là một hàm theo thời gian. Trường-điện thế được cho bởi hàm V: R3 → R và
quĩ đạo là nghiệm của phương trình sai phân:

m

(

d2
x ( t ) = − grad V ( x ( t ) )
dt 2

)

Chú ý mơ hình này lấy giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng
trong nhiều trường hợp, ví dụ: mơ hình cho chuyển động của hành tinh.
+ Trong cơ học cổ điển: Mơ hình dao động của dây, của màng; mơ hình chuyển
động của tên lửa; mơ hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao
động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt
động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức:
q = Asin(kt + α)
Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc
toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được
gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha
ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ
T bởi hệ thức:
k=

2π
( rad / s )
T

Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo cơng thức:
f=

1 T
=
T 2π


9

1.2. Q trình mơ hình hóa tốn học
Q trình mơ hình hóa vấn đề thực tiễn được thực hiện theo sơ đồ sau: (Theo
Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia q trình mơ hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga
(2011))
- Bước 1: Chuyển hệ thống ngồi tốn học thành một mơ hình trung gian.
Xây dựng mơ hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tn theo. Mơ hình trung gian
giữa tình huống ngồi tốn học và mơ hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp
độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn”. Mơ hình này tiến triển từ từ qua việc mơ
hình hóa: một mơ hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với
tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mơ hình tốn học cần xây dựng.
- Bước 2: Chuyển mơ hình trung gian thành mơ hình tốn học, tức là diễn tả
lại dưới dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính. Khi có mơ hình trung gian
ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến
việc lập mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của
tình huống. Như vậy mơ hình hóa tốn học là trừu tượng hóa dưới dạng ngơn ngữ
tốn học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó
cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng.


10

- Bước 3: Hoạt động tốn học trong mơ hình tốn học. Sử dụng các cơng cụ
tốn học để khảo sát và giải quyết mơ hình tốn học hình thành ở bước thứ hai. Căn
cứ vào mơ hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho
phù hợp.
- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trở

lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu
trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mơ hình
hóa.
Trong bước này có hai khả năng:
* Khả năng 1: Mơ hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tế.
* Khả năng 2: Mơ hình và các kết quả tính tốn khơng phù hợp với thực tế. Khi đó
cần xem xét các nguyên nhân sau:
- Tính chính xác của lời giải tốn học, thuật tốn, quy trình.
- Mơ hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét.
- Tính thỏa đáng của mơ hình tốn học đang xây dựng.
- Các số liệu ban đầu khơng phản ánh đúng thực tế.
Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm mơ hình tốn học thích hợp cho
tình huống đang xét.
Ngồi ra theo Coulange (1998), bước 1 chuyển bài tốn thực tiễn thành bài
toán phỏng thực tiễn như là tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống,
tình huống cần giải quyết để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách loại
bỏ những chi tiết khơng quan trọng làm cho bài tốn có nội dung thực tiễn trở nên
dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ
thống rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi
của hệ thống.
Những bước của quy trình mơ hình hóa trên chỉ có ý nghĩa với tình huống
thực tế thực sự, cịn đối với những tình huống trong dạy – học tốn ở trường phổ
thơng chỉ là những tình huống nhân tạo liên quan đến một số chủ đề toán học. Quá


11

trình mơ hình hóa chỉ chủ yếu thực hiện bước 2, bước 3 và q trình mơ hình hóa
dừng lại khi chu kỳ chỉ có một.
1.3. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa

Theo Lê Thị Hoài Châu (2011) “Để nâng cao năng lực hiểu biết tốn 1 cho
học sinh, khơng thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học để
giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra”. Mơ hình hóa tốn học khơng thể
thiếu trong việc nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh, do đó việc áp dụng mơ
hình hóa vào dạy – học tốn ở trường phổ thơng là rất cần thiết. Việc giảng dạy tốn
ở trường phổ thơng thường có thể theo hai tiến trình sau (Tham khảo Lê Văn Tiến
(2005)):
“…, dạy học mơ hình hố là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
…, quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết → Vận
dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây
dựng mơ hình của thực tiễn.
Quy trình này làm mất đi vai trị động cơ của các bài tốn thực tiễn và do đó
làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức tốn học: tri thức tốn học
khơng cịn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn.
Quan niệm “Dạy học bằng mơ hình hố” cho phép khắc phục khiếm khuyết
này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình
hố. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua q trình giải
quyết các bài tốn thức tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là:
Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho bài toán
thực tiễn→ Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài
tốn thực tiễn.”

[Lê Văn Tiến (2005); tr.171-172]
Tiến trình dạy học bằng mơ hình hố đã khắc phục được khuyết điểm của
tiến trình dạy học mơ hình hố và giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng toán

1

“Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trị của tốn học trong cuộc

sống, đưa ra những phán xét có cơ sở và gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu
cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một cơng dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản
ánh.” (xem [2]).


12

học vào cuộc sống hằng ngày. Điều này rất cần thiết trong dạy – học tốn ở trường
phổ thơng hiện nay. Việc tăng cường dạy tốn thơng qua dạy học bằng mơ hình hóa
giúp học sinh có khả năng áp dụng nhiều hơn vào các mơn học khác (mơ hình tốn
học cũng được sử dụng nhiều trong các mơn vật lý, hóa học, sinh học,…) cũng như
cuộc sống hằng ngày.
2. Lợi ích của mơ hình hóa trong dạy học tốn
Hiện nay, nhiều chương trình giáo dục mong muốn nâng cao năng lực hiểu
biết toán học cho học sinh và khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Từ năm
1997 chương trình đánh giá quốc tế PISA ra đời chú trọng đánh giá khả năng sử
dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống mà các học
sinh có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường. Điều này cho
thấy vai trị của mơ hình hóa trong dạy – học tốn ngày càng được chú trọng.
Mơ hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của tốn học, giúp phát triển ở học sinh
khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn,
chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa
dạng sau này và nối liền tốn học với các mơn học khác.
Theo W.Blum (1993), gần đây trong dạy – học toán đã có một xu hướng thay
đổi, đó là xu hướng nhấn mạnh q trình chuyển đổi về mơ hình tốn học (bước 1
và bước 2: quá trình “dịch” tình huống ban đầu về mơ hình tốn học). Ngày nay, có
nhiều lý do khác nhau để ứng dụng mơ hình hóa trong giảng dạy toán. W.Blum
(1993) đã đề cập đến bốn lý do chính sau đây:
- Tốn học được thiết kế để giúp học sinh hiểu và đối phó với tình huống và

các vấn đề của thế giới thực.
- Học sinh cần được học các chủ đề toán học như là một nguồn cho sự phản
ánh, hoặc để tạo ra một hình ảnh tồn diện và cân bằng của tốn học như một khoa
học và một phần của lịch sử và văn hóa của con người.
- Chúng ta hy vọng học sinh có được trình độ chung (chẳng hạn như khả
năng để giải quyết vấn đề) hoặc thái độ (chẳng hạn như sự cởi mở đối với những


13

tình huống mới). Mơ hình hóa là một trong những cách quan trọng để phát triển các
vấn đề này.
- Nội dung tốn học có thể thúc đẩy hoặc củng cố bằng các ví dụ mơ hình
hóa phù hợp, và có thể góp phần hướng tới sự hiểu biết sâu sắc hơn và duy trì lâu
hơn các chủ đề tốn học, hoặc nó có thể cải thiện thái độ của học sinh đối với tốn
học.
Theo quan điểm của Barbosa (2002), mơ hình hóa như là một mơi trường
học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thơng qua tốn học
“Mơ hình hóa là một mơi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và /
hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong
các lĩnh vực kiến thức khác.”
Lợi ích của mơ hình hóa trong dạy học toán thật rõ ràng và ngày càng được
rất nhiều người quan tâm đến. Theo Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani, việc ứng
dụng mơ hình hóa trong dạy học tốn có những ưu điểm sau:
“• Các học sinh quan tâm trong một hoạt động như mơ hình hóa tốn học nhiều
hơn so với học tập các bối cảnh, giải quyết một số vấn đề, và tìm hiểu làm thế
nào để giải quyết một phương trình. […]
• Các học sinh tìm hiểu làm thế nào để kết nối với các tình huống khác, đặc biệt
là các tình huống vật lý, trong thực tế học sinh sẽ cảm thấy được chuẩn bị nhiều
cho việc sử dụng của tốn học trong các lĩnh vực khác;

• Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng
kết nối với các tình huống và các vấn đề khác;
• Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mơ hình hóa mà họ đã dành nhiều
thời gian so với một phương trình tốn học;
• Việc này có thể xảy ra ở bất kỳ mức độ giáo dục, tiểu học và giáo dục trung
học; […]”

Tuy nhiên, trong giáo dục toán học ở các nước khác nhau có những mục tiêu
khác nhau và có những lý luận khác nhau cho việc tích hợp mơ hình hóa với giảng
dạy tốn học.


14

3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mơ hình hóa tốn học
Mặc dù mơ hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học tốn học ở trường
phổ thơng nhưng cũng có khơng ít trở ngại, theo Werner Blum (1993) và Aslan
Doosti & Alireza M.Ashtiani thì có các trở ngại sau:
- Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên. Lựa chọn các vấn đề để thảo luận
trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên.
Một tình huống thực tế thực sự hay một tình huống nhân tạo ở mức độ mơ hình hóa
như thế nào? Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này
đòi hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập
nhật và phải được điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngồi ra cũng địi hỏi khả
năng quản lý tình hình mở trong lớp học của giáo viên.
- Những trở ngại từ quan điểm của học sinh. Mơ hình hố làm cho bài học và các kỳ
thi tốn học được u cầu cao hơn và khó dự đốn hơn. Các học sinh khơng muốn
thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới. Vì vậy, giáo viên cần thiết phải chọn
được một vấn đề hoặc tình huống hay, kích thích tính tị mị của học sinh.
Từ hai trở ngại trên chúng tơi thấy, việc thiết kế những tình huống dạy học

mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa để chuyển giao cho giáo viên áp dụng
vào thực tế dạy học là một việc làm thực sự cần thiết. Việc thiết kế này đòi hỏi phải
được thực hiện theo một phương pháp luận chặt chẽ và phải được thực nghiệm kiểm
chứng (nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu thực tiễn dạy học).
- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá. Mơ hình hố địi hỏi mất nhiều thời
gian hơn so với các phương pháp truyền thống. Mơ hình hố thật khó khăn để đánh
giá, và những gì khơng kiểm tra sẽ khơng được thực hiện nghiêm túc bởi các học
sinh hoặc giáo viên.
Trở ngại này cho thấy để tạo ra “vùng sống” cho mơ hình hóa trong dạy học
ở trường phổ thơng, cần thiết phải thay đổi cách kiểm tra, đánh giá. Nếu kiểm tra,
đánh giá chỉ dựa trên việc đánh giá kiến thức toán học của học sinh thì việc dạy học
mơ hình hóa sẽ khó được thực hiện bởi ảnh hưởng của tư tưởng “học để thi”. Ngược


15

lại, nếu các đề thi, đề kiểm tra tập trung vào việc kiểm tra khả năng mơ hình hóa
tốn học của học sinh (khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực
tiễn, khả năng xây dựng mơ hình tốn học,…) thì mơ hình hóa sẽ có “đất sống”
trong dạy học tốn ở trường phổ thơng.
4. Sự quan tâm đến dạy học mơ hình hóa tốn học ở các nước và ở Việt Nam
4.1. Ở Pháp
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), tương tự như nhiều nước
khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mơ hình hóa vào dạy học tốn và các mơn học
khác.
“Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học
(23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực
hành một “phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực của
học sinh. Phương pháp đó được mơ tả như sau:
- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh

luận, mơ hình hóa theo cách cơ bản;
- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngơn ngữ tốn học được áp
dụng ở đó và hỗ trợ mơ tả các hiện tượng này.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315]
Tài liệu kèm theo chương trình lớp Terminale 2 S, ES đã đưa vào tường minh những
chỉ dẫn về việc giảng dạy mơ hình hóa ở THPT:
“Ở cấp độ THPT, chúng ta hướng dẫn bước đầu cho học sinh việc mơ hình hóa
nhờ vào một số tình huống thực tế mà chúng ta cố ý làm đơn giản hóa đến mức
tối đa và vì vậy đối với chúng, mơ hình thơ đã được thiết lập trở nên sáng sủa
hoặc cho phép đưa ra một dự đoán: khó khăn lúc đó là việc giữ lại nghĩa và sự
nhất quán cho vấn đề được đơn giản hóa.”

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.316]
4.2. Ở một số nước khác
Phần này được trích từ Werner Blum (1993) - Mathematical modelling in
mathematics education and instruction,

2

Tương đương lớp 12 của Việt Nam

Mathematics

Department, Kassel


16

University, Germany. Ở các nước, có nhiều tài liệu về dạy học bằng mơ hình hóa và

dạy học mơ hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến
trung học phổ thông và đại học.
“Ở Úc
- Hai tập tài liệu của Carr và Galbraith (1987, 1991) từ các dự án PAM, với các
ví dụ chi tiết và các bài giảng dạy cho các cấp độ thấp hơn trung học, bao gồm
một loạt các đối tượng trong và ngồi tốn học.
- Hai cuốn sách của Lovitt và Clarke (1988), một bộ sưu tập các ví dụ chi tiết
cho các cấp độ thấp hơn trung học, hướng tới hoạt động của học sinh.
- Hai cuốn sách của Lowe (1988, 1991), với rất nhiều ví dụ chi tiết cho lớp 712, bao gồm một loạt các đối tượng, chủ yếu là đề cập đến máy tính như một
cơng cụ.
- Ở Úc, cũng có nhiều nỗ lực hướng tới phương thức đánh giá mới cho chương
trình giảng dạy theo định hướng mơ hình hóa (xem Clatworthy và Galbraith,
1991).
Ở Hà Lan
- Các Viện Freudenthal (trước năm 1991 được gọi là OW & OC) tại Đại học
Utrecht đã phát triển rất nhiều tài liệu, bao gồm cả sách giáo khoa, cho tất cả
các lớp ở trường tiểu học (các dự án Wiskobas Treffers et al), trung học phổ
thông (các dự án Hewet de Lange et al ), và gần đây cho cấp thấp hơn trung
học. Nhiều loại tài liệu cũng đã được xuất bản bằng tiếng Anh, đặc biệt là trong
kết nối với các dự án Madison (xem de Lange, 1992). Tất cả các tài liệu được
cấu trúc theo chủ đề tốn học, và các ví dụ mơ hình hóa nhằm hỗ trợ việc học
tốn học.
Ở Anh
- Một số tập tài liệu Tốn thơng qua dự án giải quyết vấn đề, phát triển tại
Trung tâm Shell Giáo dục toán học tại Đại học Nottingham (liên quan đến
Burkhardt et al).
- Toán học với doanh nghiệp từ Trung tâm Sáng tạo trong giảng dạy Toán tại
đại học Exeter (Burghes et al). […]
- Một loạt các tập tài liệu cho các cấp độ A-Tập đồn Spode (1992), với các ví
dụ chi tiết để sử dụng trực tiếp trong lớp học.

Ở Mỹ
- Hai các cuốn sách có rất nhiều ví dụ mơ hình từ Hiệp hội Tốn học và ứng
dụng của nó (liên quan đến Garfunkel, Aragon, Malkevitch et al) Modules
HIMAP (1985-1992) cho cấp trung học và các Modules UMAP (19811992) cấp độ đại học và trung học phổ thông.


17

- Cuốn sách viết bởi Garfunkel Steen (1991), giới thiệu các ứng dụng toán học
trong thực tế gần đây, đặc biệt là kết nối với máy tính, phù hợp với cấp trung
học và đại học, với một số chủ đề tốn học như được nêu ra bên ngồi chương
trình dạy học hiện nay.
- Một loạt các sách giáo khoa theo định hướng ứng dụng (1989-1992) của
trường Đại học Chicago School Toán dự án (liên quan đến Usiskin, Bell et al),
bao gồm số học, đại số, hình học, thống kê, vi tích phân và tốn học rời rạc.
- Từ NCTM giới thiệu toán học cao đẳng (1988), được phát triển bởi Trường
Khoa học và Toán học Bắc Carolina (Teague et ai), và một cuốn sách bởi Swetz
và Hartzler (1991) với các ví dụ mơ hình cho cấp trung học, định hướng hoạt
động của sinh viên.
Ở Đức
- MUED dự án (MatheInatik-Unterrichtseinheiten-Datei liên quan đến Boer,
Volk et al) đã phát triển một số bài giảng dạy chi tiết toàn cầu nhằm tăng khả
năng làm việc thành thạo của học sinh trong các tình huống thực tế.
- Một số dự án tại các thỏa thuận cấp độ đại học với thực tế sử dụng của tốn
học trong ngành cơng nghiệp và sử dụng chúng trong việc đào tạo các nhà toán
học hoặc giáo viên tốn học trong tương lai. Một ví dụ là nghiên cứu trong
trường hợp của Knauer (1992).”

Như vậy vấn đề dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa đã được
nhiều nước quan tâm, ứng dụng vào dạy học toán. Đặc biệt, các tài liệu hỗ trợ dạy

học mơ hình hóa với các tình huống cụ thể đã được soạn thảo để cung cấp cho giáo
viên sử dụng. Điều này là thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mơ
hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại đã nêu ra ở phần trên.
Ở Việt Nam, vấn đề dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa được
quan tâm ở mức độ nào? Nó có những đặc trưng gì?
4.3. Ở Việt Nam
Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của
thực tiễn và của các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và
sách giáo khoa tốn của Việt Nam.
Chẳng hạn, chương trình tốn lớp 9 nêu rõ:
“Quan điểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm được thể hiện rõ nét trong chương
trình 2002, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn