nghiên cứu didactic việc sử dụng phần mềm cabri của giáo viên trong dạy học hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Đức Chính

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI CỦA
GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Đức Chính

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC
SỬ DỤNG PHẦN MỀM CABRI CỦA
GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


i

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu luận văn, tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến:
 TS. Nguyễn Chí Thành và TS. Đoàn Hữu Hải đã tận tình hướng dẫn,
giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu khoa học cũng như mang lại niềm tin
trong quá trình thực hiện luận văn này.
 PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương
Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương
và các quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
đã nhiệt tình giảng dạy những tri thức đồng thời truyền niềm hứng thú
và niềm say mê đối với chuyên ngành Didactic Toán cho chúng tôi
trong suốt quá trình học tập tại trường.
 PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot đã có những chỉ dẫn
và định hướng cho luận văn cũng như những giải đáp giúp chúng tôi
hiểu rõ hơn về Didactic Toán.
Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
 Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Tăng
(Q.9), THPT Đông Dương (Q. Thủ Đức), THPT Thủ Thiêm (Q.2),
THPT Giồng Ông Tố (Q.2), THPT Gia Định (Q. Bình Thạnh) đã giúp
đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn.
 Các bạn cùng lớp cao học Didactic Toán khóa 19 đã luôn chia sẻ và
giúp đỡ cũng như động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin dành những lời biết ơn sâu sắc nhất gửi đến gia đình thân
yêu của tôi đã luôn động viên, hỗ trợ về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.

Huỳnh Đức Chính


ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................................... i
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
Chương 1: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “HÌNH VẼ” TRONG KHÔNG
GIAN ..................................................................................................................................... 8
1.1. Đặc trưng của hình vẽ. ................................................................................................. 8
1.2. Chức năng của hình vẽ............................................................................................... 12
1.3. Các hoạt động liên quan đến hình vẽ ......................................................................... 15
1.4. Sự xuất hiện của hình vẽ trong việc tiếp cận khái niệm, tính chất và giải quyết hoạt
động, bài toán trong SGK Hình học 11–Nâng cao. ............................................................. 16
1.5. Phân tích các tổ chức toán học................................................................................... 25
1.6. Kết luận ...................................................................................................................... 33
Chương 2: NGHIÊN CỨU VIỆC SỬ DỤNG CABRI 3D TRONG MỘT SỐ GIÁO ÁN . 37
2.1. Về cách thức sử dụng Cabri 3D ................................................................................. 38
2.2. Về mục đích sử dụng Cabri 3D.................................................................................. 38
2.3. Phân tích việc sử dụng Cabri 3D trong các thời điểm ............................................... 42
2.4. Kết luận ...................................................................................................................... 50
Chương 3: THỰC NGHIỆM 1 ............................................................................................ 52
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................... 52
3.2. Phân tích OD theo quan điểm động ........................................................................... 52
3.3. Phân tích OD theo quan điểm tĩnh ............................................................................. 79
3.3.1. Tổ chức toán học........................................................................................................ 79
3.3.2. Tổ chức didactic......................................................................................................... 81
3.4. Kết luận: ..................................................................................................................... 89
Chương 4: THỰC NGHIỆM 2 ............................................................................................ 91
4.1. Giới thiệu thực nghiệm .............................................................................................. 91

4.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................... 91
4.2.1. Phân tích bộ câu hỏi số 1 ........................................................................................... 91
4.2.2. Phân tích các câu trả lời thu được của bộ câu hỏi số 1 .............................................. 93
4.2.3. Phân tích bộ câu hỏi số 2 ........................................................................................... 99
4.2.4. Phân tích các câu trả lời thu được của bộ câu hỏi số 2 ............................................ 101
4.3. Kết luận .................................................................................................................... 106
KẾT LUẬN ....................................................................................................................... 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 111
PHỤ LỤC .......................................................................................................................... 112


iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV............................................... Giáo viên
HHKG ......................................... Hình học không gian
HS ............................................... Học sinh
OD............................................... Tổ chức didactic
OM .............................................. Tổ chức toán học
SBT ............................................. Sách bài tập
SGK ............................................ Sách giáo khoa
SGV ............................................ Sách giáo viên
THPT .......................................... Trung học phổ thông


1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu
 Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ và ngày càng phát triển

phần mềm hỗ trợ cho việc dạy và học Toán

, các

, đặc biệt là hình học không gian , rất

phong phú , thân thiện và hiệu quả . Do đó, việc ứng dụng các phần mềm này vào
hoạt động dạy học là một xu hướng tất yếu, phù hợp với yêu cầu tích hợp công nghệ
thông tin vào giảng dạy.
Để nâng cao hiệu quả dạy học, GV Toán không ngừng tiếp cận và sử dụng các phần
mềm dạy học môn Toán, nhất là hình học không gian, bởi lẽ sự hỗ trợ từ các phần
mềm này sẽ làm tăng tính trực quan giúp HS điều chỉnh, kiểm tra, đo đạc, dự đoán
kết quả…. Trong số rất nhiều phần mềm vẽ hình động, thực tế có một bộ phận GV
dạy Toán ở các trường THPT khá quan tâm đến Cabri 3D và chúng tôi cũng đặc
biệt quan tâm đến phần mềm này vì một số lý do ban đầu như sau: giao diện khối,
đẹp, nhiều định dạng, gần giống với hình thực tế; thao tác đơn giản; tạo hình đúng;
một số đồng nghiệp của tôi đang dùng phần mềm này trong dạy học…Vì vậy,
chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm của GV THPT về việc sử dụng phần mềm này
thông qua hai câu hỏi sau:
• Cabri 3D giữ vai trò gì trong việc dạy học, có ảnh hưởng như thế nào lên
cách tổ chức tiết học và chất lượng giáo dục hay không?
•

Trong thực tế dạy học, Cabri 3D được GV sử dụng với mục đích gì?
Điều đó được thể hiện như thế nào khi giáo viên thiết kế tình huống có sử
dụng phần mềm này?

 Ở các lớp 5 và lớp 9, HS đã được biết về hình học không gian, nhưng chỉ
mang tính giới thiệu, gắn với một số hình không gian đơn giản và yêu cầu về định
lượng (tính diện tích, thể tích của hình). Đến lớp 11 thì HS mới chính thức được học

đầy đủ về hình học không gian, tìm hiểu về các tính chất của hình cũng như mối
quan hệ của các yếu tố trong hình, bấy giờ hình không gian gắn liền với những yêu
cầu về định tính, đòi hỏi khả năng tư duy của HS. Rõ ràng có một khác biệt lớn khi
chuyển từ hình học không gian bậc THCS sang hình học không gian bậc THPT,


2

nhưng cơ sở quan sát của HS – là hình biểu diễn – thì vẫn không có gì thay đổi.
Trong khi đó, do quy tắc xây dựng hình thì hình biểu diễn có một số hạn chế nhất
định về khả năng minh họa. Vậy câu hỏi được đặt ra là: làm sao để khắc phục được
hạn chế trên? Dùng phần mềm Cabri 3D có được không? Nếu được thì khai thác
tính năng của phần mềm này như thế nào?
2. Câu hỏi xuất phát.
Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các câu hỏi:
Q1’: Giáo viên quan niệm như thế nào về phần mềm dạy học? Các loại phần mềm
dạy học hình học nào được GV sử dụng? Quan niệm của GV về phần mềm Cabri
3D? GV sử dụng Cabri 3D trong các dạng hoạt động nào? Với vai trò gì?
Q2’: Những dấu hiệu nào của chương trình và SGK cho phép có thể sử dụng phần
mềm Cabri 3D? Việc sử dụng chịu những điều kiện và ràng buộc nào?
Trong giới hạn luận văn, chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu việc sử dụng phần mềm
Cabri 3D của GV trong việc dạy học HHKG lớp 11 hiện hành.
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu.
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán,
cụ thể là: Lý thuyết nhân chủng học (quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế, tổ chức toán
học, tổ chức didactic), Hợp đồng didactic. Chúng tôi trình bày tóm tắt các khái niệm
đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình.
3.1.

Quan hệ cá nhân.

Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với đối tượng O, kí hiệu là R(X,O), là

tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O,
hiểu O như thế nào và thao tác O ra sao. Đối tượng O mà chúng tôi quan tâm là
“cách sử dụng phần mềm Cabri 3D trong dạy học HHKG”
3.2.

Quan hệ thể chế.
Quan hệ thể chế I với đối tượng O, ký hiệu R(I,O), là 1 ràng buộc thể chế đối

với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này khi cá nhân là chủ thể của
thể chế I. Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học HHKG theo
chương trình nâng cao hiện hành (áp dụng cho năm học 2011-2012). Để làm rõ


3

quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế với đối tượng O, chúng tôi tiến hành nghiên cứu
các tổ chức toán học và tổ chức didactic gắn liền với đối tượng O.
3.3.

Tổ chức toán học.
Mỗi praxéologie–khái niệm do Chevallard đưa ra–là một bộ gồm 4 thành phần

[T,τ,θ,Θ], trong đó: T là kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là
công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho θ. Một praxéologie
mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học.
3.4.

Tổ chức Didactic.

Tổ chức didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho

câu hỏi: GV đã làm thế nào để truyền bá 1 tổ chức toán học. Chevallar nhận thấy có
một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt mặc dù dưới những hình thức khác
nhau. Ông đã tìm ra lý thuyết về 6 thời điểm để nghiên cứu một tổ chức didactic:
• Thời điểm thứ nhất: thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM.
• Thời điểm thứ hai: là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti được đặt ra, và
xây dựng nên một kỹ thuật τi cho phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này.
• Thời điểm thứ ba: là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ- lý thuyết
[θ/Θ] liên quan đến τi
• Thời điểm thứ tư: là thời điểm làm việc với kỹ thuật.
• Thời điểm thứ năm: là thời điểm thể chế hóa.
• Thời điểm thứ sáu: là thời điểm đánh giá.
Chúng tôi tiến hành phân tích thực hành giảng dạy của GV theo lý thuyết 6 thời
điểm, qua đó xác định được mục đích và cách thức GV sử dụng phần mềm Cabri
3D để dạy học HHKG trong từng thời điểm.
3.5.

Hợp đồng didactic.
Hợp đồng didactic liên quan đến 1 đối tượng dạy học là một sự mô hình hóa các

quyền lợi và nghĩa vụ của HS và GV đối với đối tượng đó.
Chúng tôi muốn tìm hiểu xem có sự tồn tại của hợp đồng didactic nào và ảnh
hưởng của quy tắc hợp đồng đó trong môi trường dạy học của phần mềm Cabri 3D.
4. Câu hỏi nghiên cứu.


4

Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn , chúng tôi trình bày lại các câu

hỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau:
Q1: Hình vẽ trong phần HHKG của SGK có những đặc trưng và chức năng nào?
Những ràng buộc của thể chế với đối tượng hình vẽ có tác động gì đến quan hệ cá
nhân của HS khi làm việc với hình trong HHKG? Việc khai thác phần mềm Cabri
3D trong dạy học có làm thay đổi mối quan hệ cá nhân trên hay không?
Q2: Những tổ chức toán học nào được xây dựng trong SGK? Mục đích và cách thức
GV sử dụng phần mềm Cabri 3D khi triển khai các tổ chức toán học trên là gì? Khi
đó, có những kỹ thuật mới nào xuất hiện không hoặc nếu vẫn cùng một kỹ thuật với
SGK thì cách vận hành kỹ thuật đó có gì mới không?
Q3: Những tổ chức didactic nào đã được xây dựng? Cabri 3D giữ vai trò gì trong
thực tế dạy học HHKG của GV?
5. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu:
– Phân tích chương trình, SGK, SGV Hình học lớp 11 (Ban nâng cao):
phân tích quan hệ thể chế đối với hình vẽ, phân tích các tổ chức toán học
ở chương Quan hệ vuông góc có cách vận hành kỹ thuật mới khi được
triển khai trong môi trường Cabri 3D. Từ đó hình thành giả thuyết và hợp
đồng (nếu có).
– Phân tích 1 số giáo án có sử dụng Cabri 3D (sưu tầm): phân tích mục
đích, cách thức sử dụng phần mềm Cabri 3D trong các giáo án; phân tích
tổ chức didactic được dùng để triển khai các tổ chức toán học có mặt
trong tiết dạy; qua đó làm rõ việc khai thác phần mềm Cabri 3D trong
từng thời điểm nghiên cứu, bổ sung thêm các giả thuyết về việc sử dụng
Cabri 3D của GV trong dạy học HHKG.
– Thực nghiệm:
o Thực nghiệm 1: Phân tích thực hành của 1 GV trong tiết học HHKG có sử
dụng Cabri 3D nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết.

5

o Thực nghiệm 2: Phân tích ý kiến của các GV dạy Toán bậc THPT về các vấn
đề liên quan đến thực tế giảng dạy HHKG có sử dụng phần mềm Cabri 3D.
6. Tổ chức luận văn.
Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 4 chương:
– Phần mở đầu, gồm: ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết
tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp
nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
– Chương 1: Quan hệ thể chế với đối tượng hình vẽ trong không gian
– Chương 2: Nghiên cứu việc sử dụng Cabri 3D trong một số giáo án
– Chương 3: Phân tích thực hành một giờ lên lớp của GV
– Chương 4: Thực nghiệm thăm dò ý kiến của GV
7. Đôi nét về phần mềm Cabri 3D
Cabri Géomètre là họ phần mềm được xây dựng và phát triển từ những năm 80
tại Grenoble, Cộng hòa Pháp bởi Giáo sư Laborde, giám đốc nghiên cứu tại Trung
tâm nghiên cứu khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) với mục đích ban đầu là trợ giúp
việc học tập môn Hình học của học sinh. Phần mềm Cabri gồm hai phần Cabri 3D
(phiên bản không gian) và Cabri II Plus (trong hình học phẳng).
Cơ sở hình học của phép biểu diễn hình trong Cabri 3D là phép chiếu xuyên tâm
– Định nghĩa: Cho một điểm O và một mặt phẳng (P) không đi qua O. Ánh xạ biến
điểm M của không gian thành điểm M’ là giao điểm của mặt phẳng (P) với đường
thẳng OM gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm O) xuống mặt phẳng (P).
Đặc điểm quan trọng gắn liền với tính chất tương tác động của Cabri là phần
mềm “cho phép người sử dụng dịch chuyển trong khoảng thời gian thực và thao tác
trực tiếp vào một trong các yếu tố cơ sở của hình vẽ. Hình vẽ này sẽ tự biến đổi
trong khi vẫn bảo toàn các tính chất Toán học đã được sử dụng khi xây dựng hình
vẽ cũng như các tính chất hệ quả suy ra từ các tính chất ban đầu. Sự biến đổi này
diễn ra một cách liên tục cùng lúc với việc dịch chuyển hình vẽ. Như vậy nếu hình
vẽ không được dựng nhờ các tính chất hình học “đúng” cho bởi giả thuyết mà chỉ

6

bằng “ước đoán”, hình vẽ sẽ mất tất cả các tính chất bề ngoài khi dịch chuyển”,
theo [12, tr100].
Các đối tượng của Cabri 3D:
o Điểm: dựng 1 điểm mới với công cụ điểm (
điểm giao (

)

o Đường: dựng 1 đường thẳng (
), cung (

tròn(

), conic (

o Mặt: dựng mặt phẳng (
miền (
(

), hình nón (

hoặc

), tia(

), đoạn thẳng(

), đường giao tuyến (

), đa giác (

), đường

)

), nửa mặt phẳng (

), hình trụ (

),

), hình cầu

)

o Cấu trúc: dựng trung điểm (
song (

), dựng 1 giao điểm-công cụ

), đường thẳng (hoặc mặt phẳng) song

), đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc (

phẳng trung trực (

), tổng của 2 vectơ (

o Phép biến hình: Phép đối xứng tâm (
xứng qua một mặt phẳng (

), mặt

),…
), đối xứng trục (

), phép tịnh tiến (

), đối

), phép quay bởi

).
một trục và các điểm (
o Các khối hình: Dựng tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối
mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. Dựng tứ diện (
XYZ (
diện (

), lăng trụ (

), hình chóp (

), đường cắt đa diện (

), đa diện lồi (

), hình hộp
), mở đa

),…

o Đo lường và tính toán: đo khoảng cách (

), diện tích (

), thể tích

), số đo góc (
), tọa độ & phương trình (
), máy tính (
),…
(
Với các đối tượng được cung cấp sẵn này, Cabri 3D v2 có thể dựng một cách
nhanh chóng, hiển thị và thao tác trong không gian ba chiều cho mọi loại đối tượng:
đường thẳng, mặt phẳng, hình nón, hình cầu, đa diện…Cabri 3D cung cấp các phép
dựng hình động từ đơn giản đến phức tạp, có thể đo lường các đối tượng, tích hợp
các dữ liệu số và thậm chí có thể hiển thị lại quy trình dựng hình thông qua chức
năng “xem lại cách dựng”.


7

Cabri 3D còn cho phép thao tác dịch chuyển các đối tượng đã vẽ một cách dễ
dàng, hay sử dụng công cụ “Quay tự động”. Cabri 3D còn cung cấp công cụ “Vết”
để lưu lại quỹ đạo chuyển động. Ngoài ra, Cabri 3D còn cho phép có thể tùy chỉnh

che hoặc hiện, cũng như đặt tên, gán nhãn cho các yếu tố trên hình.
Vì vậy, Cabri 3D v2 có thể là công cụ hiệu quả để nghiên cứu và giải các
bài toán Hình học nói riêng và Toán học nói chung.


8

Chương 1: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “HÌNH
VẼ” TRONG KHÔNG GIAN
Chúng tôi phân tích chương 1 nhằm thực hiện các mục đích sau:
– Làm rõ những đặc trưng cũng như các chức năng, vai trò của hình vẽ trong
phần hình học không gian chương trình lớp 11 nâng cao.
– Trình bày những tổ chức toán học xuất hiện trong chương Quan hệ vuông
góc. Qua đó hình thành giả thuyết, hợp đồng didactic nếu có.
Các tài liệu mà chúng tôi sử dụng ở đây là:
– Hình học 11 nâng cao, Đoàn Quỳnh (2011), NXB Giáo Dục
– Nghiên cứu didactic về hình vẽ ở trường phổ thông-bước chuyển từ hình học
phẳng sang hình học không gian, Luận văn thạc sỹ của Phạm Hoàng Nhi.
Trước khi phân tích chúng tôi thống nhất lại hai khái niệm sau:
– Hình hình học là những đối tượng được mô tả qua những tiên đề, định
nghĩa, tính chất. Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm
của sự trừu tượng hóa các đối tượng hiện thực.
– Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học. Hình vẽ là mô hình
của một đối tượng hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất
hình học vốn có đối với bài toán.
1.1. Đặc trưng của hình vẽ
1.1.1. Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của các hình không gian
Người ta tìm cách vẽ các hình trong không gian thành các hình phẳng theo
một số quy tắc nhất định. Những hình phẳng đó được gọi là hình biểu diễn của
những hình không gian trên. Đây là lần đầu tiên khái niệm “hình biểu diễn” được

đưa ra trong SGK và với mục đích “để dễ hình dung” một hình không gian.
Lớp 11 là thời điểm HS bắt đầu nghiên cứu một cách hệ thống các đối tượng
cơ bản của hình học không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng), các định nghĩa,
các tính chất của một hình không gian. Tuy nhiên, trong SGK chỉ có một số rất ít
các hoạt động được thực hiện dựa trên những hình ảnh không gian thực hoặc hình
vẽ mô phỏng thực tế, tất cả các hoạt động còn lại từ thể hiện giả thiết, dự đoán, gợi
hướng giải quyết cho đến suy luận chứng minh thì đều dựa trên hình biểu diễn


9

phẳng. Có thể nói việc nghiên cứu hình học không gian được thực hiện thông qua
phương tiện trực quan trừu tượng là hình vẽ biểu diễn. Thực ra ở phần hình học
không gian lớp 5, lớp 8 và lớp 9 thì hình biểu diễn đã được dùng để vẽ một số hình
không gian cơ bản như hình lập phương, hình hộp chữ nhật,….dựa vào việc quan
sát các hình ảnh từ thực tế, tuy nhiên đến lớp 11 thì các quy tắc biểu diễn mới được
chính thức giới thiệu. Các quy tắc này là kết quả ứng dụng của phép chiếu song
song. Nhưng do tính thiết yếu của nó mà một phần của quy tắc trên đã được nêu
ngay từ bài đầu tiên của chương Hình học không gian, trước khi học bài “phép
chiếu song song”, theo [9, tr41]:
“Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian, người ta đưa ra những quy tắc
thường được áp dụng như:
–

Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bởi đoạn
thẳng.

–

Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi hai đường thẳng song

song (hoặc cắt nhau)

–

Điểm A thuộc đường thẳng a được biểu diễn bởi một điểm A’ thuộc đường thẳng a’,
trong đó a’ biểu diễn cho đường thẳng a”

–

Dùng nét vẽ liền (––) để biểu diễn cho những đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- -) để biểu diễn cho những đường bị khuất.”

Những quy tắc trên là sự hợp thức hóa công cụ biểu diễn một hình không
gian trong khi nghiên cứu hình học không gian. Qua đó cũng thể hiện các thao tác
vẽ hình, nhấn mạnh một cách tường minh vai trò quan trọng của nét vẽ đứt – nét vẽ
liền trong việc biểu diễn hình. Việc vận dụng các quy tắc trên phụ thuộc vào khả
năng tưởng tượng, hình dung không gian của HS.
Sau đó đến bài “phép chiếu song song” thì phần còn lại của quy tắc được
trình bày: “Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng
nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song
song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số của hai đoạn thẳng này còn phải bằng tỉ số của hai đoạn thẳng
tương ứng trên hình H” [9, tr72]. Kèm theo đó là chú ý: “Nếu trên hình H có hai đoạn thẳng
không nằm trên hai đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên
trên hình biểu diễn. Cũng như vậy độ lớn của một góc trên hình H không nhất thiết được giữ


10

nguyên trên hình biểu diễn” [9, tr72].

Rõ ràng, hình biểu diễn đóng vai trò rất quan trọng trong việc tìm hiểu hình

học không gian của HS. Vì vậy, trong [10, tr42,43], thể chế đã xác định “Một khó
khăn của HS khi học hình học không gian là việc vẽ hình biểu diễn của hình không
gian trên mặt phẳng. Ngay từ tiết đầu tiên, GV đã phải giúp HS làm quen dần với
việc biểu diễn này” và mục tiêu đặt ra là “Làm cho HS nắm được cách vẽ hình biểu
diễn của một hình, đặc biệt là hình biểu diễn của một số hình chóp và hình tứ diện”,
thậm chí “Ta không ngần ngại khi cho HS vẽ hình biểu diễn của các hình mà họ
chưa biết định nghĩa chính xác như hình hộp, hình lập phương, hình chóp, ….”
Các hình biểu diễn được dùng trong SGK là các hình biểu diễn mẫu. Khi biểu
diễn một hình không gian lên mặt phẳng thì HS chịu tác động của những kiến thức
của hình vẽ trong hình học phẳng.
1.1.2. Hình vẽ không phản ánh đầy đủ tất cả các tính chất của hình không gian
mà nó biểu diễn
Hình học phẳng tìm hiểu các tính chất của 1 hình phẳng nên hình vẽ trên mặt
giấy có thể biểu diễn 1 cách tường minh và chính xác hình dạng, các mối quan hệ
giữa các yếu tố phẳng. Còn HHKG thì sao? HHKG nghiên cứu về các hình trong
không gian mà hình vẽ chỉ là 1 hình vẽ trên mặt phẳng để biểu diễn hình không
gian. Như vậy dùng 1 hình phẳng để phản ánh 1 hình không gian thì không thể
tránh khỏi việc không phản ánh đầy đủ tất cả các quan hệ giữa các đối tượng không
gian.
Về mặt khoa học, hình biểu diễn được hình thành dựa trên cơ sở của lý
thuyết phép chiếu song song. Cụ thể “hình biểu diễn của một hình H trong không
gian là hình chiếu song song của hình H trên 1 mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với
hình chiếu đó”. HS vẽ hình biểu diễn phải tuân thủ theo các quy tắc biểu diễn. Tuy
nhiên, theo tính chất của phép chiếu song song thì các quy tắc trên chỉ đảm bảo 3
tính bất biến: thẳng hàng, song song, tỷ lệ. Vì vậy, việc không phản ánh đúng tính
chất không gian của hình trên hình biểu diễn là điều tất yếu. Bên cạnh 1 chú ý duy
nhất “phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của 2 đoạn thẳng


11

không nằm trên 2 đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên 1 đường
thẳng) và không giữ nguyên độ lớn của góc” thì có 6 câu hỏi liên quan đến việc
biểu diễn 1 hình có yếu tố không được bảo toàn. Điều này cho phép chúng tôi khẳng
định đặc trưng đồng thời cũng là hạn chế của hình vẽ trong SGK, đó là: những tính
chất không gian từ hình vẽ (những đường nét thể hiện trên hình vẽ) không thể phản
ánh đúng những tính chất hình học vốn có của bài toán (tức là của hình hình học
được cho bởi bài toán). Điều này gây khó khăn cho HS khi quan sát hình, dự đoán
kết quả và việc tìm hướng suy luận trở nên phức tạp hơn.
Hình biểu diễn là hình vẽ thể hiện hình không gian trên 1 mặt phẳng nên
không nằm ngoài các tác động của hình phẳng và thói quen tư duy hình học phẳng
của HS, chẳng hạn: trên hình biểu diễn là 2 đường thẳng cắt nhau thì HS dễ đi đến
suy luận 2 đường thẳng đó cắt nhau, trên hình biểu diễn góc đó không vuông nên
suy luận là góc không vuông,... Đây là khó khăn của HS trong việc kết hợp quan sát
những yếu tố bất biến và suy luận những yếu tố không bất biến.
1.1.3. Hình vẽ là các hình tĩnh
Các hình vẽ trong SGK–hình biểu diễn–chính là hình chiếu song song của
một hình không gian lên một mặt phẳng, được tạo ra theo một phương chiếu cụ thể
và cố định (nói theo cách thông thường nghĩa là theo một góc nhìn không thay đổi).
Do đó, tùy theo phương chiếu mà một hình không gian sẽ có rất nhiều hình biểu
diễn. Việc nắm được các quy tắc vẽ cho phép HS vẽ đúng hình biểu diễn, trong khi
đó, việc vẽ tốt hình biểu diễn đòi hỏi phải lựa chọn phương chiếu thích hợp.
Các hình vẽ được SGK cung cấp là các hình biểu diễn mẫu, “được xem là
hình biểu diễn tốt hơn những hình khác cùng biểu diễn cho một đối tượng không
gian”, theo [8, tr5]. Các hình vẽ có sẵn này đóng vai trò như gợi ý, chỉ dẫn trong
biểu diễn hình không gian. Vì vậy mà nó được tạo ra với phương chiếu phù hợp
nhất theo dụng ý của người viết sách. Hình biểu diễn tốt cũng là một mong muốn
mà thể chế muốn hình thành ở HS. Tuy nhiên, phân tích SGK chúng tôi nhận thấy
chỉ có 2 câu hỏi liên quan đến phương chiếu của hình biểu diễn là ?8 trang 72 và
câu 3 trang 77. Số lượng này quá ít không đủ để rèn luyện cho HS khả năng quan

12

sát hình ở các góc nhìn khác nhau. Có thể nói hoạt động vẽ hình của HS, nhất là
việc chọn phương chiếu để có hình biểu diễn tốt, ít được quan tâm. Điều này có thể
được lí giải như sau: đối với hình vẽ tĩnh thì việc thay đổi góc nhìn đòi hỏi phải vẽ
hình lại từ đầu khiến mất rất nhiều thời gian. Đây là một hạn chế của hình tĩnh gây
ra khó khăn cho HS.
1.1.4. Kết luận
Như vậy, qua phân tích các đặc trưng, chúng tôi ghi nhận được những hạn chế của
hình vẽ trong SGK ảnh hưởng đến việc học HHKG của HS. Cụ thể là:
Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của hình không gian, do đó không thể phản
ánh đầy đủ tất cả các quan hệ của các đối tượng không gian, gây khó khăn cho việc
hình dung hình không gian thực. Các yếu tố không được bảo toàn qua phép chiếu
song song được vẽ một cách tượng trưng, không đảm bảo tính trực quan, điều này
dẫn đến hệ quả là HS sẽ gặp khó khăn khi biểu diễn những yếu tố bất biến không
được cho tường minh của hình. Hơn nữa, vì không minh họa đúng các tính chất của
hình không gian nên hình biểu diễn gây trở ngại cho HS trong hoạt động dự đoán,
định hướng chứng minh.
Hình vẽ được tạo ra là cố định theo 1 phương chiếu cụ thể. Để việc quan sát
có hiệu quả thì đòi hỏi phải có hình vẽ ở một góc nhìn phù hợp. Hơn nữa, hình biểu
diễn có thể là tốt cho việc giải quyết yêu cầu này nhưng là không tốt cho giải quyết
yêu cầu khác, điều đó làm nảy sinh nhu cầu phải thay đổi góc nhìn. Trong khi đó,
việc thay đổi góc nhìn làm mất nhiều thời gian do phải vẽ lại từ đầu.
Có thể sử dụng phần mềm Cabri 3D như thế nào để khắc phục các hạn chế
trên? Chúng tôi sẽ tìm hiểu để trả lời ở chương sau.
1.2. Chức năng của hình vẽ
1.2.1. Chức năng tóm tắt
Nghiên cứu hình học nói chung và hình học không gian nói riêng không thể

tách rời hình vẽ–với tư cách là phương tiện biểu diễn cho một hình hình học. Theo
đó, một chức năng rất cơ bản của hình vẽ đó là chức năng tóm tắt, minh họa. Chức
năng này hiện diện dưới 3 hình thức sau:


13

– Minh họa giả thiết của một bài toán (16)
– Minh họa các yếu tố xuất hiện trong quá trình giải quyết bài toán hoặc
trong quá trình chứng minh định lý (25)
– Minh họa các nhận xét, các tính chất (34)
Nhận xét
Trong phần lý thuyết (bao gồm các khái niệm, tính chất, chứng minh tính
chất, ví dụ, bài toán áp dụng) thì hình vẽ trong SGK với tư cách là công cụ minh
họa chỉ mang tính tượng trưng. Dựa vào việc quan sát hình vẽ này thì những gì mà
HS ghi nhận lại không thể phản ánh được tất cả tính chất của hình hình học, nhất là
các yếu tố không được bảo toàn qua phép chiếu song song. Chẳng hạn, trên hình
biểu diễn thì HS quan sát thấy hai đường thẳng cắt nhau nhưng thực tế trong hình
hình học thì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau; trên hình
biểu diễn thì HS không nhận ra quan hệ giữa hai đường thẳng nhưng trên hình hình
học thì có thể hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Hơn nữa không có bài tập
nào mà việc vẽ hình sai lại ảnh hưởng đến kết quả bài toán. Theo chúng tôi, lý do có
thể xuất phát từ hạn chế của hình biểu diễn trong SGK, bởi lẽ không có căn cứ nào
để nhận biết hình vẽ đúng hay sai trong việc thể hiện các quan hệ.
Những hình vẽ trong SGK được vẽ theo phương chiếu phù hợp, tạo ra hình
biểu diễn tốt khiến hình vẽ mang tính trực quan cao. Nhưng để chọn được góc chiếu
tốt thì phải thử nhiều góc chiếu khác nhau, thực hiện điều này trên hình vẽ SGK là
một trở ngại vì mất rất nhiều thời gian.
1.2.2. Chức năng phản ví dụ
Chức năng phản ví dụ của hình vẽ trong SGK xuất hiện ở các bài tập khẳng

định tính đúng sai của mệnh đề. Theo đó, hình vẽ được sử dụng như một công cụ
suy luận dùng để bác bỏ một mệnh đề sai, chẳng hạn như là bài 12 [10, tr98].
Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng
phân biệt trong mặt phẳng (P) thì vuông góc với mặt phẳng (P)”
không đúng. Chẳng hạn với hai đường thẳng song song a, b cho
trước trong mặt phẳng (P), ta có thể lấy đường thẳng c nằm trong
(P) sao cho c⊥a và c⊥b (h.93)

a
P

c
b
H.93


14

Mệnh đề đúng
Mệnh đề sai

37
43

Tổng số mệnh đề

80

Có hình vẽ – phản ví dụ
Không có hình vẽ – phản ví dụ

5
38

Bảng 1.1

Có 43 mệnh đề (hơn một nửa mệnh đề được hỏi) là mệnh đề sai, nhưng chỉ
có 5 mệnh đề sai được SGV bác bỏ bằng một phản ví dụ–là hình vẽ. Như vậy SGK
có đề cập đến chức năng phản ví dụ của hình vẽ, tuy nhiên chức năng này của hình
vẽ chưa thể hiện nhiều.
1.2.3. Chức năng định hướng trả lời
Mặc dù không đảm bảo tất cả các quan hệ của các đối tượng không gian
nhưng chức năng dự đoán của hình vẽ vẫn hiện diện trong SGK. Việc dự đoán được
thực hiện qua việc trả lời các câu hỏi mở, dựa trên việc quan sát hình biểu diễn.
– Đó có thể là dự đoán một tính chất, chẳng hạn, ?5 [9, tr63].
R

Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P)

a
P

và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b
có điểm chung hay không? Tại sao? (h66)

b
Q

H66

Trả lời câu hỏi trên, ta được tính chất sau đây:
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì
phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

– Đó có thể là dự đoán hướng giải quyết bài toán, chẳng hạn ?2 [9, tr53].
?2 Có những vị trí tương đối nào giữa 2 giao tuyến a và b?

Hình vẽ được sử dụng trong vai trò dự đoán ở SGK là các hình biểu diễn
mẫu mực, vừa là hình vẽ đúng vừa là hình vẽ tốt, có tính trực quan cao. Các hình vẽ
đều được cho sẵn, thể hiện đúng nội dung của tính chất cần dự đoán hoặc hướng
giải cần dự đoán. Như vậy, vai trò dự đoán của hình vẽ chưa được bộc lộ một cách
khách quan.
Chỉ có đúng 2 lần SGK dùng đến chức năng dự đoán của hình vẽ. Trong khi
đó, việc xây dựng tiết học mà ở đó HS hình thành được các kỹ năng tìm tòi, phát
hiện, dự đoán, suy luận, nhận xét là một mục tiêu quan trọng. Như vậy con số 2 lần
dùng hình vẽ dự đoán trong toàn bộ chương trình liệu có là quá ít và hơn nữa dự


15

đoán lại mang tính chủ quan? Theo chúng tôi, một lý giải được nghĩ đến là do hạn
chế của hình biểu diễn của SGK, liệu rằng HS căn cứ vào đâu để có được hình biểu
diễn đúng, nhất là khi hình biểu diễn đó minh họa cho một hình không gian có yếu
tố không được bảo toàn qua phép chiếu và liệu rằng khi đã có hình biểu diễn đúng
thì HS có chọn được góc nhìn trực quan nhất phục vụ cho việc dự đoán hay không?
1.3. Các hoạt động liên quan đến hình vẽ
– Hoạt động “đọc hình có sẵn”: thường có mục đích góp phần củng cố kiến thức
thông qua việc quan sát các hình được cho sẵn và trả lời câu hỏi như: “Trong số
các hình vẽ sau thì hình vẽ nào là hình biểu diễn của hình A?” hoặc “Hình biểu
diễn của hình B là hình gì?”, “Tìm lỗi sai trong hình biểu diễn đã cho”.…

[9, tr77] “Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của một tứ diện?”

Qua đó, HS được rèn luyện kỹ năng quan sát hình có sẵn đồng thời nhận biết
được các yếu tố đặc trưng của khái niệm, tính chất.
– Hoạt động vẽ hình: Đây là hoạt động khá đa dạng.
• Hoạt động vẽ hình được yêu cầu trực tiếp, ví dụ như:
[9, tr42] Hoạt động 1: Vẽ hình biểu diễn của mp(P) và một đường thẳng a xuyên qua nó
[9, tr73] Hoạt động 1: Giả sử tam giác ABC là hình biểu diễn của một tam giác đều. Hãy dựng
hình biểu diễn của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều đó.

• Hoạt động vẽ hình được đưa ra gián tiếp thông qua giải quyết 1 yêu cầu hay
1 bài toán của SGK,…Chúng tôi nhận thấy phần lớn các hoạt động, các bài tập
của SGK, HS muốn giải quyết, chứng minh thì việc vẽ hình minh họa cho giả
thiết của bài toán là điều kiện tiên quyết dù không được bài toán yêu cầu trực
tiếp. Khi đó, hình vẽ là điểm tựa trực giác, giúp HS nhận thấy các yếu tố được
cho và tìm hướng suy luận.


16

• Các bài toán: tìm hình biểu diễn đúng có ý nghĩa gì? Số lượng ít nên chứng
tỏ việc thay đổi phương chiếu chưa được quan tâm thích đáng. Điều này dẫn đến
khó khăn: HS có thói quen làm việc với 1 góc nhìn và thường là góc nhìn quen
thuộc của các hình quen thuộc, như vậy vô tình chung đã hình thành các cỗ máy,
hạn chế khả năng tưởng tượng không gian của HS. Từ đó, HS khó nhận biết
được các yếu tố mà hình vẽ biểu diễn không thể phản ánh đầy đủ được.
Thống kê trong SGK Hình học 11 (Nâng cao), chúng tôi thu được kết quả:
Hoạt động “Đọc hình”
Hoạt động vẽ hình

Yêu cầu trực tiếp
Yêu cầu gián tiếp
Bảng 1.2

6
11
Còn lại

Nhận xét: Các hoạt động liên quan đến hình vẽ được xây dựng khá nhiều trong
chương trình, bao gồm hoạt động “đọc hình” được cho sẵn và hoạt động “vẽ hình”.
Qua đó, hình vẽ thể hiện được vai trò rất quan trọng trong việc hiểu rõ các đặc trưng
của khái niệm, tính chất cũng như đóng vai trò là điểm tựa trực quan trong việc thể
hiện các giả thiết được cho và tìm hướng giải quyết vần đề. Do đó, hình vẽ vẫn là
đối tượng được thể chế quan tâm.
1.4.

Sự xuất hiện của hình vẽ trong việc tiếp cận khái niệm, tính chất và giải

quyết hoạt động, bài toán trong SGK Hình học 11–Nâng cao
1.4.1. Về việc tiếp cận khái niệm, định nghĩa
Mặt phẳng – khái niệm cơ bản thứ ba trong không gian được định nghĩa bằng
cách mô tả: “Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt
bàn, tấm gương phẳng, …. cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian”
kèm theo đó là hình vẽ và quy ước: “Người ta thường biểu diễn một mặt phẳng
bằng một hình bình hành”.
Việc nghiên cứu hình học không gian đòi hỏi HS phải có khả năng tưởng
tượng các đối tượng không gian. Vì vậy, ở một số bài đầu, SGK vẫn đưa vào các
khái niệm kèm theo hình ảnh thực hoặc mô phỏng thực nhằm hỗ trợ thêm cho việc
hình dung của HS khi chuyển sang việc dùng hình biểu diễn sau này.
Khái niệm hình chóp, [9, tr47]:

17

Định nghĩa: Cho đa giác A1A2…An và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối
S với các đỉnh A1, A2, …, An để được n tam giác: SA1A2, SA2A3, …, SAnA1.
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2…An gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2…An.

Khái niệm hình chóp xuất hiện cùng với hình ảnh kim tự tháp trước khi định
nghĩa của nó được nêu ra theo con đường kiến thiết. Như vậy, hình ảnh thực có ý
nghĩa trong việc giúp HS có được hình dung ban đầu về một hình chóp, để sau đó
tiếp cận với khái niệm này một cách tổng quát. Còn sự góp mặt của 3 hình biểu diễn
có tác dụng minh họa cho 3 chủng loại cụ thể của hình chóp.
Sự xuất hiện của hình thực và hình biểu diễn như trên cũng diễn ra tương tự
khi SGK xây dựng định nghĩa vị trí tương đối của hai đường thẳng và định nghĩa
hai mặt phẳng song song. Cả 3 lần SGK có sử dụng hình ảnh thực tế thì đều có kèm
theo hình vẽ biểu diễn, với mong muốn HS dần làm quen với việc tưởng tượng các
hình không gian.
Có những định nghĩa được trình bày bằng ngôn ngữ mà không có hình vẽ
minh họa nào (đúng 4 lần xuất hiện), chẳng hạn như định nghĩa hình biểu diễn:
“Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình
H trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó” [9, tr71]. Tuy nhiên,
theo chúng tôi, với định nghĩa này thì việc không có hình vẽ kèm theo cũng hợp lý.
Có hai lý do: một là, khái niệm hình biểu diễn đã được định nghĩa lần đầu tiên theo
cách mô tả ngay ở bài 1, HS đã quen với việc dùng hình biểu diễn nên lần định
nghĩa thứ hai này ở bài 5 – bài cuối chương chỉ là sự hợp thức hóa; hai là, sau định


18

nghĩa đã có hoạt động tìm hiểu hình biểu diễn của một hình cụ thể khi thay đổi
phương chiếu.
Đa số các định nghĩa được xây dựng kèm theo hình vẽ minh họa. Các hình
minh họa này đều tuân theo các quy tắc biểu diễn hình không gian trên mặt phẳng.
Có những hình vẽ xuất hiện trước định nghĩa. Khi đó các hình vẽ này gắn
liền với quá trình hình thành khái niệm và là cơ sở để đưa ra định nghĩa chính thức.
Cho hai đường thẳng ∆1, ∆2 bất kì trong không gian.

∆1

Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai đường thẳng ∆’1, ∆’2

∆2

lần lượt song song (hoặc trùng) với. Dễ thấy rằng khi

∆ '1

điểm O thay đổi thì góc giữa ∆’1 và ∆’2 không thay

∆ '2

O

đổi (h93). Vì vậy ta có định nghĩa sau

h93

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là góc giữa hai đường thẳng ∆’1 và ∆’2
cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆1 và ∆2. [9, tr92]

Có những hình vẽ xuất hiện sau định nghĩa. Khi đó, các hình vẽ này thể hiện
các đặc trưng cho khái niệm được định nghĩa, với góc nhìn được SGK lựa chọn để
quan sát rõ hơn các yếu tố này của khái niệm, đặc biệt là những yếu tố không được
bảo toàn trong hình biểu diễn.
Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình hộp
đứng có đáy là hình chữ nhật (h120)
Hình 120 [9, tr108]

Có những hình vẽ minh họa cho một hoặc một số trường hợp. Khi đó, các
hình vẽ được dùng để cụ thể hóa nội dung của định nghĩa mang tính khái quát, từ đó
giúp HS hiểu rõ được về khái niệm mới.
Định nghĩa: Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với 1 mặt
phẳng [9, tr87]
  

a

Trên hình 87, giá của ba vectơ a, b, c

b
c

đều song song với mặt phẳng (P) nên
  

ba vectơ a, b, c đồng phẳng

B

P

A

C

O

h87


19

Có những hình vẽ minh họa cho một chủng loại của khái niệm. Các khái
niệm này có định nghĩa mang tính tổng quát và có sự phân chia thành nhiều loại.
Không thể vẽ hình minh họa cho định nghĩa tổng quát nhưng để đảm bảo HS hiểu
được khái niệm và vẽ được các loại thông dụng thì SGK cung cấp hình vẽ để minh
họa cho định nghĩa đó trong từng loại thành phần.
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên
bằng nhau. [9, tr109]

Định nghĩa có sử dụng hình thực hoặc hình vẽ mô phỏng thực
Định nghĩa không có hình vẽ minh họa
Định nghĩa có kèm theo hình biểu diễn – minh họa
Tổng số định nghĩa

3
4
27
31

Bảng 1.3 Thống kê số lượng hình vẽ khi tiếp cận định nghĩa.

Nhận xét
Có 27 định nghĩa gắn liền với hình vẽ minh họa, chiếm hơn 87%. Điều này
chứng tỏ vai trò quan trọng không thể thiếu của hình vẽ trong dạy học khái niệm.
Các hình vẽ này đều là những hình biểu diễn, giúp HS quen với hình biểu
diễn, từ hình biểu diễn có được sự hình dung tương ứng về hình không gian và nhờ
đó HS hiểu khái niệm mới rõ hơn.
Tất cả các hình vẽ minh họa này đều có sẵn, do SGK cung cấp. Không có
yêu cầu vẽ hình thể hiện định nghĩa mới nào dành cho HS. Vì vậy, những hình biểu
diễn này luôn là những hình vẽ đúng, minh họa chính xác các yếu tố bất biến và
đồng thời là những hình vẽ tốt, với một phương chiếu phù hợp nhất để hình vẽ
mang tính trực quan cao, hỗ trợ việc trả lời các câu hỏi liên quan đến định nghĩa sau
đó. Những đặc điểm trên của hình vẽ khiến chúng tôi nghi ngờ về sự tồn tại khó
khăn ở HS khi tự mình làm việc với hình biểu diễn.
1.4.2. Về việc tiếp cận tính chất, định lý


20

1.4.2.1.

SGK nêu tính chất mà không có hình vẽ

Chúng tôi ghi nhận được có một số tính chất, hệ quả được trình bày trong
SGK nhưng không có hình vẽ minh họa. Chẳng hạn, hệ quả 1 [9, tr57]: “Nếu một
đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng
nào đó trong mặt phẳng”. Tuy nhiên số lượng tính chất được trình bày theo cách
này khá ít trong chương trình (1 tính chất và 2 hệ quả).

1.4.2.2.

SGK sử dụng hình vẽ trong bài toán hình thành nên tính chất

Hình vẽ được cho kèm theo một bài toán (hoặc một câu hỏi) mà việc giải bài
toán đó (hoặc trả lời câu hỏi đó) cho phép khái quát hóa thành tính chất mới.
Đó có thể là một câu hỏi mở, chẳng hạn, trong [9, tr63]:
R

Cho mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P)
a

và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b

P

có điểm chung hay không? Tại sao? (h66)

b
Q

H66

Trả lời câu hỏi trên, ta được tính chất sau đây:
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì
phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.

Khi đó, hình vẽ có vai trò quan trọng trong việc trả lời, vừa là công cụ minh họa, thể
hiện giả thiết câu hỏi, vừa là cơ sở hình ảnh để đưa ra dự đoán, xác định đúng
hướng đi cho câu hỏi mở. Tuy nhiên theo chúng tôi thì dự đoán này chỉ mang tính

hình thức bởi lẽ hình vẽ biểu diễn thể hiện giả thiết được cung cấp sẵn, với góc nhìn
trực quan và không nằm ngoài chủ ý của người soạn.
Hoặc có thể là một bài toán đóng yêu cầu HS phải chứng minh, chẳng hạn, [9, tr53]:
Giả sử (P), (Q), (R) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c
trong đó: a=(P)∩(R), b=(Q)∩(R), c=(P)∩(Q)
R

c
a

b

c

b

a

R

Q

Q

P

P
H.52