nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều

0

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Nhã

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG
KHÔNG GIAN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Nhã

NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO TRONG
KHÔNG GIAN ĐỀU
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trần Đình Thanh
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


2

Lời cảm ơn
Qua hơn một năm học Cao học tại trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh,
tôi đã được sự giảng dạy tận tình của quý Thầy, Cô và sự giúp đỡ của
phòng Sau đại học. Nhờ vậy, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức và kỹ
năng bổ ích để thực hiện bài luận văn này.
Hoàn thành luận văn, tôi xin trân trọng cảm ơn:
1. TS. Trần Đình Thanh và PGS - TS. Nguyễn Bích Huy, những
người đã dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu khoa học và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
2. Ban lãnh đạo và các chuyên viên phòng Sau đại học đã tạo điều
kiện tốt nhất cho chúng tôi học tập và nghiên cứu; các giảng viên
trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Giải Tích khoá 21 đã hết lòng
truyền thụ kiến thức cho chúng tôi trong suốt khoá học.
3. Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm cùng tập thể quý thầy cô
đồng nghiệp ở tổ Tự Nhiên khoa Sư phạm trường Đại học Tiền
Giang đã tạo điều kiện để tôi có thể học tập và hoàn thành tốt
nhiệm vụ của mình trong thời gian học Cao học.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải
Tích khoá 21 đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Nguyễn Thanh Nhã


3

Mục lục
Lời cảm ơn ..................................................................................................................2
Mục lục ........................................................................................................................3
Mở đầu .......................................................................................................................4
Nội dung chính...........................................................................................................5
1 Không gian đều .......................................................................................................6
1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều .........................................................6
1.1.1 Cấu trúc đều ...............................................................................................6
1.1.2 Tôpô sinh bởi cấu trúc đều .......................................................................12
1.1.3 Tính liên tục đều.......................................................................................15
1.1.4 Tính đầy đủ ..............................................................................................19
1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều ......................................................21
1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric ........................................21
1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều ...............................................22
2 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều.........................................................27
2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều .....................................................27
2.2 Một số mở rộng ...............................................................................................32
2.3 Định lý Caristi – Kirk trong không gian đều ..................................................40
Kết luận và kiến nghị ..............................................................................................44
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................46


4

Mở đầu
Nguyên lí ánh xạ co Banach – Caccioppli là định lí điểm bất động
được tìm ra sớm nhất, có chứng minh đơn giản nhất nhưng cho đến nay
vẫn là một trong số ít các định lí cơ bản nhất trong lý thuyết điểm bất
động. Định lí này không chỉ cho biết sự tồn tại, duy nhất của điểm bất

động mà còn chỉ ra một dãy lặp đơn giản hội tụ về điểm bất động đó. Do
đó nguyên lí Banach – Caccioppli tìm được các ứng dụng đa dạng trong
nghiên cứu định tính và định lượng cho nhiều lớp phương trình xuất phát
từ nhiều lĩnh vực khoa học.
Do sự quan trọng của nó, nguyên lí Banach – Caccioppli đã được các
nhà Toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng theo các hướng khác nhau.
Hướng thứ nhất là mở rộng các điều kiện trên ánh xạ như giảm nhẹ điều
kiện co hoặc xét các dạng co khác; hướng này đã được giới thiệu trong
nhiều tài liệu. Hướng thứ hai là mở rộng lớp không gian, rộng hơn không
gian metric như không gian đều; hướng này chưa được biết đến nhiều. Do
đó việc tìm hiểu và giới thiệu hướng mở rộng nguyên lý ánh xạ co trong
không gian đều là đề tài có ý nghĩa cho luận văn Thạc sĩ Toán học.
Trong luận văn này, tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản về không
gian đều, nguyên lý ánh xạ co và các mở rộng trong không gian đều.


5

Nội dung chính
Nội dung của luận văn bao gồm 3 phần chính: phần mở đầu, phần nội
dung và phần kết luận. Cụ thể như sau:
1. Phần mở đầu: Đặt vấn đề và khái quát nội dung của luận văn.
2. Phần nội dung: Bao gồm 2 chương
a. Chương 1 - Không gian đều.
Nội dung chương 1 bao gồm:
1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều
1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều.
b. Chương 2 - Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều.
Nội dung chương 2 bao gồm:
2.1 Nguyên lí ánh xạ co trong không gian đều

2.2 Một số mở rộng
2.3 Định lý Caristi - Kirk trong không gian đều
3. Phần kết luận: Tổng kết các kết quả đã nghiên cứu và đưa ra những
nhận xét cũng như các vấn đề mở cho hướng nghiên cứu sắp tới.


6

Chương 1

1 Không gian đều

Nội dung chương 1 trình bày các khái niệm về cấu trúc đều, không gian

đều, tôpô sinh bởi cấu trúc đều trên một tập hợp và ánh xạ liên tục giữa các
không gian đều. Qua đó sẽ nghiên cứu quan hệ giữa liên tục và liên tục đều
cũng như tính đầy đủ, Hausdorff của không gian đều. Phần cuối của
chương sẽ trình bày mối liên hệ của một họ các giả metric và cấu trúc đều
trên cùng một tâp hợp và đưa ra cơ sở lí thuyết cho các vấn đề được trình
bày ở chương 2.

1.1 Các khái niệm cơ bản về không gian đều
1.1.1 Cấu trúc đều
Định nghĩa 1.1 Cho tập X ≠ ∅ . Với A ⊂ X , V ,W ⊂ X 2 ta định nghĩa:
1. V −1 {( y , x ) : ( x, y ) ∈V } . Tập V gọi là đối xứng nếu V −1 = V .
=
2. W
=
°V {( x, y ) : ∃z,( x, z ) ∈V ,( z, y ) ∈ W }.
3. V [ x ] ={ y : ( x, y ) ∈V }, V [ A] =  V [ x ].

x∈A

4. ∆ {( x, x ) : x ∈ X } gọi là đường chéo của X 2 .
=
Từ định nghĩa trên ta thu được kết quả sau:
Mệnh đề 1.1 Với A ⊂ X ,

V ,U ,W ⊂ X × X ta có:

• (W °V ) −1 =V −1 °W −1 ,
• (W °V )[ A] =
W [V [ A]],


7

• (W °V )°U = W °(U °V ),

• V °∆ = ∆°V = V ,



• Nếu V là tập đối xứng thì V=
°W °V

V [ p ] × V [q]

( p ,q )∈W

Chứng minh. Áp dụng định nghĩa 1.1

• Với W ,V ⊂ X × X , ta có:

( x, y ) ∈ (W °V ) −1 ⇔ ( y , x ) ∈ W °V
⇔ ∃z : ( y , z ) ∈ V , ( z , x ) ∈ W
⇔ ∃z : ( z, y ) ∈V −1 , ( x, z ) ∈ W −1
⇔ ( x, y ) ∈V −1 °W −1
• Với A ⊂ X , ta có:
(W °V )[ A] =

 (W °V )[ x ]
x∈A

W [V [ A]] =

 W [ z]

z∈V [ A ]

+ Lấy y ∈ (W °V )[ A], khi đó: y ∈ W °V [ x ], x ∈ A. Suy ra: ( x, y ) ∈ W °V nên

∃z : ( x, z ) ∈V , ( z, y ) ∈ W hay ∃z : z ∈V [ x ] ⊂ V [ A], y ∈ W [ z ].
Do đó, y ∈ W [V [ A]] . Vậy, (W °V )[ A] ⊂ W [V [ A]].
+ Lấy y ∈ W [V [ A]], khi đó: y ∈ W [ z ], z ∈V [ A]. Ta được, ( z, y ) ∈ W .
Vì z ∈V [ A] nên z ∈V [ x ] với x ∈ A hay ( x, z ) ∈V .
Suy ra: ( x, y ) ∈ W °V hay y ∈ W °V [ x ], x ∈ A .
Do đó, y ∈ (W °V )[ A] . Vậy, W [V [ A]] ⊂ (W °V )[ A] .
• Ta có:


8

( x, y ) ∈ (W °V )°U
⇔ ∃z : ( x, z ) ∈ U , ( z, y ) ∈ W °V
⇔ ∃z , t : ( x , z ) ∈ U , ( z , t ) ∈ V , ( t , y ) ∈ W
⇔ ∃t : ( x, t ) ∈V °U , (t , y ) ∈ W
⇔ ( x, y ) ∈ W °(V °U ).
• Lại có:

( x, y ) ∈V °∆ ⇔ ∃z : ( x, z ) ∈ ∆, ( z, y ) ∈V ⇔ ( x, y ) ∈V
Vậy, V °∆ = V . Tương tự, ∆°V = V .

• Ta có:
( x, y ) ∈V °W °V ⇔ ∃( p, q) ∈ W : ( x, p ) ∈V , ( q, y ) ∈V
⇔ ∃( p, q) ∈ W : ( p, x ) ∈V , ( q, y ) ∈V (V đối xứng)
⇔ ∃( p, q) ∈ W : x ∈V [ p ], y ∈V [ q]
Vậy, V=
°W °V



V [ p ] × V [q] .



( p ,q )∈W

Bổ đề 1.1 Lấy U1 ,U 2 ,...,U n và V1 ,V2 ,...,Vn là các tập con của X × X .
Đặt U
=

n

Ui , V
=

n

V . Khi đó:
i

=i 1 =i 1

i) Nếu Vi ⊂ U i−1 với mọi i thì V ⊂ U −1 .
ii) Nếu Vi °Vi ⊂ U i với mọi i thì V °V ⊂ U .
Định nghĩa 1.2 Một họ  ≠ ∅ gồm các tập con của X 2 được gọi là một cấu trúc
đều trên X nếu:
1. ∆ ⊂ V , ∀V ∈
2. V ∈  ,V ⊂ W ⇒ W ∈ 
3. V1 ,V2 ∈  ⇒ V1 ∩ V2 ∈ 
4. V ∈  ⇒ V −1 ∈ 
5. ∀V ∈  ⇒ ∃W ∈  : W °W ⊂ V
Khi đó cặp ( X ,  ) gọi là không gian đều.


9

Ví dụ 1.1 Ta có các ví dụ về cấu trúc đều như sau:
1. Nếu X là tập hợp các số thực thì cấu trúc đều thông thường trên X là họ
các tập con U của X × X thoả {( x, y ) : | x − y |< r} ⊂ U với r > 0 .
2. Họ tất cả các tập con của X 2 , chứa ∆ là một cấu trúc đều trên X và được

gọi là cấu trúc đều rời rạc.
Mệnh đề 1.2 ∀W ∈  , ∃V ∈  : V đối xứng, V °V °V ⊂ W .
Chứng minh.
Với W ∈ , theo tính chất 5) của định nghĩa cấu trúc đều thì tồn tại một tập

U ∈ thoả mãn U °U ⊂ W .
Nếu ta đặt V=′ U ∩ U −1 thì V ′ ∈ , V ′ đối xứng và thoả V ′°V ′ ⊂ W .
Với tập V ′ này, ta lại tìm được tập V ∈ , V đối xứng và thoả V °V ⊂ V ′ .
Khi đó, V °V °V ⊂ W .



Nhận xét 1.1 Có nhiều cấu trúc đều trên một tập hợp X . Ta nói cấu trúc đều  lớn
hơn cấu trúc đều  nếu  ⊂  . Cấu trúc đều lớn nhất trên X là cấu trúc đều rời
rạc, cấu trúc đều nhỏ nhất là họ chỉ gồm tập X × X . Nhìn chung, hợp hoặc giao của
2 cấu trúc đều trên X chưa hẳn là một cấu trúc đều trên X .
Định nghĩa 1.3 Cho không gian đều ( X ,  ) .
1. Họ β gọi là cơ sở của cấu trúc đều  nếu β ⊂  và với mọi V ∈ thì tồn
tại W ∈ β sao cho W ⊂ V .
2. Họ γ gọi là tiền cơ sở của cấu trúc đều  nếu γ ⊂  và họ các giao hữu
hạn những phần tử của γ là một cơ sở của  .
Ví dụ 1.2 Ta có các ví dụ về cơ sở của cấu trúc đều:
a) Họ β = {∆} là cơ sở của cấu trúc đều rời rạc.
b) Họ β= {V ∈ : V đối xứng } là cơ sở của  . Thật vậy, vì β ⊂  và với

V ∈ bất kỳ, ta chọn W= V ∩ V −1 thì W ∈ β và W ⊂ V .


10

Định lý 1.1 Xét họ β ⊂ P ( X 2 ) có các tính chất:
1. ∆ ⊂ U , ∀U ∈ β
2. U1 ,U 2 ∈ β ⇒ ∃U ∈ β : U ⊂ U1 ∩ U 2
3. ∀U ∈ β , ∃W ∈ β : W ⊂ U −1
4. ∀U ∈ β , ∃W ∈ β : W °W ⊂ U .
Khi đó họ  = {V ⊂ X 2 / ∃U ∈ β : U ⊂ V } là cấu trúc đều trên X nhận β làm cơ
sở.
Chứng minh.
Hiển nhiên β ⊂  và với mọi V ∈ thì tồn tại W ∈ β sao cho W ⊂ V . Ta đi
chứng minh  là một cấu trúc đều trên X .
Thật vậy, ta thấy  thoả các tính chất 1) và 2) của định nghĩa 1.2. Ta chứng
minh  thoả các tính chất 3), 4) và 5).
LấyV1 ,V2 ∈ , khi đó tồn tại U1 ,U 2 ∈ β thoả U1 ⊂ V1 , U 2 ⊂ V2 . Do đó, ta được

U1 ∩ U 2 ⊂ V1 ∩ V2 . Vì U1 ,U 2 ∈ β nên tồn tại W ∈ β thoả W ⊂ U1 ∩ U 2 . Suy ra,
W ⊂ V1 ∩ V2 . Vậy, V1 ∩ V2 ∈ .
Lấy V ∈ bất kỳ, tồn tại U ,W ∈ β thoả U ⊂ V và W ⊂ U −1 . Suy ra,

U −1 ⊂ V −1 và do đó ta được, W ⊂ V −1 . Vậy, V −1 ∈ .
Với V ∈ , tồn tại U ,W ∈ β thoả U ⊂ V và W °W ⊂ U . Suy ra, W °W ⊂ U .
Vì β ⊂  nên W ∈ . Vậy,  thoả tính chất 5) của định nghĩa 1.2.
Như vậy,  là một cấu trúc đều trên X và nhận β làm cơ sở.



ta kí hiệu U r {( x, y ) : d ( x, y ) < r} với
Ví dụ 1.3 Cho không gian metric ( X , d ) ; =

=
β {U r : r > 0} là cơ sở của một cấu trúc đều trên X gọi là cấu trúc đều

r > 0 . Họ
của không gian metric ( X , d ) .


11

Ta kiểm tra họ β thoả mãn định lý 1.1. Thật vậy, vì d ( x, y=
) 0, ∀( x, y ) ∈ ∆
nên ∆ ⊂ U r , ∀U r ∈ β .
Lấy U r1 ,U r2 ∈ β , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r1 ≤ r2 và khi đó ta
có, U r1 ⊂ U r2 . Suy ra, U r1 ⊂ U r1 ∩ U r2 .
Lấy U r bất kỳ thuộc β thì U r đối xứng nên (U r ) −1 = U r . Chọn r ′ > 0 thoả
r ′ < r ta được U r′ ⊂ (U r ) −1 .

Với U r ∈ β , ta chọn U r′ ∈ β với r ′ <

r
. Khi đó, U r′ °U r′ = U 2 r′ ⊂ U r .
2

Vậy, họ β thoả định lý 1.1 nên họ  = {V ⊂ X 2 / ∃U r ∈ β : U r ⊂V
   } là cấu
trúc đều trên X và nhận β làm cơ sở. Ta gọi  là cấu trúc đều của không gian
mêtric ( X , d ) .
Mệnh đề 1.3 Một họ γ các tập con của X × X là tiền cơ sở của một cấu trúc đều
nào đó trên X nếu:
a) ∆ ⊂ U , ∀U ∈ γ
b) ∀U ∈ γ , ∃W ∈ γ : W ⊂ U −1
c) ∀U ∈ γ , ∃W ∈ γ : W °W ⊂ U .
Chứng minh. Ta đi chứng minh họ β gồm các giao hữu hạn những phần tử của γ

thoả các điều kiện của định lý 1.1. Dễ dàng nhận thấy điều kiện 1) được thoả.
+ Lấy U ,V ∈ β , ta có:
n

n

U và V V
=

=
U

i
=i 1 =j 1

n

Chọn W = (U i )

j

với U i , V j ∈ γ

n

 (V ) thì W ∈ β và W ⊂ U ∩ V .
j

=i 1 =j 1

n

+ Lấy U ∈ β , U =
U i . Vì U i ∈ γ nên theo b) thì tồn tại Vi ∈ γ thoả
i =1

Vi ⊂ U i−1 .


12

n

Đặt V = Vi thì V ∈ β và theo bổ đề 1.1 ta được: V ⊂ U −1 .
i =1

n

+ Lấy U ∈ β , U =
U i . Vì U i ∈ γ nên theo c) thì tồn tại Vi ∈ γ thoả
i =1

Vi °Vi ⊂ U i .
n

Đặt V = Vi thì V ∈ β và theo bổ đề 1.1 ta được: V °V ⊂ U .
i =1

Theo định lý 1.1, β là cơ sở của một cấu trúc đều nào đó trên X nên kéo theo

γ là tiền cơ sở của cấu trúc đều đó.

1.1.2 Tôpô sinh bởi cấu trúc đều
Định nghĩa 1.4 Cho không gian đều ( X ,  ) và β là cơ sở của  . Họ τ ⊂ 2 X gồm
tập ∅ và các tập G có tính chất

∀x ∈ G , ∃V ∈ β : V [ x ] ⊂ G
là một tôpô trên X , gọi là tôpô sinh bởi cấu trúc đều  .
Ta sẽ kiểm tra định nghĩa trên là hợp lý. Thật vậy, hiển nhiên ∅, X thuộc τ
và hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ cũng thuộc τ .
Với G1 , G2 ∈τ , ta kiểm tra G1 ∩ G2 ∈τ . Giả sử G= G1 ∩ G2 ≠ ∅ , ta có:

∀x ∈ G1 ∩ G2 ⇒ ∃V1 ,V2 ∈ β : V1 [ x ] ⊂ G1 , V2 [ x ] ⊂ G2
Chọn V ∈ β sao cho V ⊂ V1 ∩ V2 thì V [ x ] ⊂ G1 ∩ G2 . Do đó, G1 ∩ G2 ∈τ .
thì β x {V [ x ] : V ∈ β } là cơ sở
Định lý 1.2 Nếu β là cơ sở của cấu trúc đều =
lân cận của điểm x trong tôpô sinh bởi  .
Chứng minh.
● Với V ∈ β , ta sẽ chứng minh U = V [ x ] là một lân cận của x .
Đặt G = {x ′ ∈ X : ∃W ∈ β , W [ x ′] ⊂ U } , ta được x ∈ G ⊂ U .


13

Ta đi kiểm tra G là tập mở. Thật vậy, xét x ′ ∈ G , ta chọn W ,W ′ ∈ β thoả

W [ x ′] ⊂ U và W ′°W ′ ⊂ W . Khi đó, W ′[ x ′] ∈ G vì với mọi y ∈ W ′[ x ′] thì
W ′[ y ] ⊂ W ′°W ′[ y ] ⊂ W [ y ] ⊂ U nên y ∈ G .
● Nếu U ′ là một lân cận của x thì x ∈ G ′ ⊂ U ′ với G ′ mở. Khi đó, tồn tại

V ∈ β thoả V [ x ] ⊂ G ′ hay V [ x ] ⊂ U ′ .
Vậy họ β x là cơ sở lân cận của x .



Hệ quả 1.1 Cho x ∈ X và V ∈ . Khi đó, V [ x ] là một lân cận của x trong tôpô
sinh bởi cấu trúc đều  .
Mệnh đề 1.4 Nếu trong X xét tôpô sinh bởi cấu trúc đều  thì mỗi W ∈ là một
lân cận của ∆ trong X 2 .
Chứng minh.
Với W ∈ , theo mệnh đề 1.2 tồn tại V ∈ , V đối xứng và V °V °V ⊂ W .
Theo mệnh đề 1.1, do V đối xứng nên=
V °V °V



V [ x] ×V [ y] .

( x, y ) ∈ V

Do đó,



V [ x ] × V [ y ] ⊂ W . Theo hệ quả 1.1 thì V [ x ], V [ y ] lần lượt là lân

( x, y ) ∈ V

cận của x và y trong X . Suy ra, V [ x ] × V [ y ] là một lân cận của ( x, y ) trong X 2 .
Từ đó, ta suy ra: ( x, y ) ∈ IntW , ∀( x, y ) ∈V . Vì ∆ ⊂ V nên ∆ ⊂ IntW .



Định lý 1.3 Cho không gian đều ( X ,  ) và τ là tôpô sinh bởi cấu trúc đều  . Khi
đó:
a) Với A ⊂ X , bao đóng của A trong tôpô τ là

 U [ A] .

U ∈

b) Với M ⊂ X × X , bao đóng của M là

 U °M °U .

U ∈

c) Họ các tập con đóng, đối xứng của  là một cơ sở của  .


14

Chứng minh. Ta có:
a) Với x ∈ A , khi đó U [ x ] ∩ A ≠ ∅, ∀U ∈ . Với y ∈ U [ x ] ∩ A , ta có: y ∈ A
và y ∈ U [ x ] hay ( y , x ) ∈ U −1 . Suy ra, x ∈ U −1 [ A] . Vậy, A ⊂

 U [ A] .

U ∈

Lấy x ∈

 U [ A] , gọi V

là một lân cận bất kỳ của x trong tô pô sinh bởi cấu

U ∈

trúc đều  . Khi đó, tồn tại U ∈ β ⊂  , U đối xứng và thoả x ∈ U [ x ] ⊂ V (với β
là cơ sở của  ). Lại có, x ∈ U [ A] nên x ∈ U [ y ], y ∈ A . Ta được, ( y , x ) ∈ U
hay y ∈ U −1 [ x ] =
U [ x ] . Do đó, y ∈V ∩ A và từ đó x ∈ A . Suy ra,

 U [ A] ⊂ A

U ∈

Vậy, A =

 U [ A] .

U ∈

b) Tương tự, ta có nếu lấy U ∈ là đối xứng thì (U [ x ] × U [ y ]) ∩ M ≠ ∅ nếu

( x, y ) ∈ U [u ] × U [v ] với (u, v ) ∈ M .
Vậy, ( x, y ) ∈ M nếu ( x, y ) ∈ {U [u ] × U [v ] : (u, v ) ∈ M }.
Theo mệnh đề 1.1 ta có,

=

M

{U [u] × U [v ] : (u, v ) ∈ M } = U °M °U .

Do đó,

 U °M °U .

U ∈

c) Với U ∈ bất kỳ, theo mệnh đề 1.2 tồn tại V ⊂  , V đối xứng và
V °V °V ⊂ U . Đặt W = V

thì theo b), ta có W ⊂ U và W ∈ . Khi đó,

W ∩ W −1 ∈ , đối xứng và được chứa trong U .



Định nghĩa 1.5 Cho không gian đều ( X ,  ) và τ là tôpô sinh bởi  . Không gian

( X ,τ ) được gọi là Hausdorff nếu mỗi tập hợp chỉ gồm một phần tử của X là tập
đóng. Khi đó, ta còn gọi không gian ( X ,  ) là tách được.
Định lý 1.4 Không gian X cùng với tôpô sinh bởi cấu trúc đều  là Hausdorff
nếu ∆
=

{U :

U ∈ } .

15

có: {x}
Chứng minh. Với x ∈ X , ta
=

{U [ x ] :

U ∈ } . Lấy a ∈ {x} thì

a∈
  
U [ x ], ∀U
   
∈ hay ( x, a ) ∈ U , ∀U . Suy ra: ( x, a ) ∈ {U : U ∈ } =
∆ hay
a = x.
Vậy, {x} = {x} và ta có điều phải chứng minh.



1.1.3 Tính liên tục đều
Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f giữa các không gian đều ( X , X ) và (Y , Y ) được gọi
là liên tục đều nếu ∀W ∈ Y , ∃V ∈ X : ∀( x, y ) ∈V ⇒ ( f ( x ), f ( y )) ∈ W .
Như vậy, nếu ta xét F : X 2 → Y 2 , F (( x, y )) = ( f ( x ), f ( y )) thì f liên tục đều tức là:

∀W ∈ Y ⇒ F −1 (W ) ∈ X .
Và từ định nghĩa của tôpô sinh bởi cấu trúc đều trên $ X $ ta có kết quả sau,

Định lý 1.5 Nếu f : X → Y liên tục đều thì f liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu
trúc đều.
Chứng minh.
Gọi βY là cơ sở của cấu trúc đều Y .
Xét x ∈ X , ta chứng minh f liên tục tại x . Đặt y=f(x), nếu A là lân cận bất
kỳ của y thì tồn tại W ∈ βY thoả W [ y ] là lân cận của y và W [ y ] ⊂ A .
Ta có:
1
f −=
(W [ y ]) {x ′ : f ( x ′) ∈ W [ y ]}
= {x ′ : ( f ( x ), f ( x ′)) ∈ W }

Theo định nghĩa của F thì {x ′ : ( f ( x ), f ( x ′)) ∈
=
W } {x ′ : ( x, x ′) ∈ F −1 (W )} .
Suy ra: f −1 (W [ y ]) = ( F −1 (W ))[ x ] . Do f liên tục đều nên F −1 (W ) ∈X . Theo
hệ quả 1.1, ( F −1 (W ))[ x ] là một lân cận của x . Chọn U = ( F −1 (W ))[ x ] thì

f (U ) ⊂ A hay f liên tục tại x .
Vậy f là ánh xạ liên tục trên X với tôpô sinh bởi cấu trúc đều.




16

Chúng ta nhắc lại định nghĩa về lưới, lưới con và sự hội tụ trong một không gian
tôpô X ,
Bổ đề 1.2 Cho không gian tôpô ( X ,τ )
1. Tập hợp D được gọi là tập định hướng nếu trên D có một quan hệ 

thoả các tính chất sau:
(a) α  α , ∀α ∈ D
(b) α  β , β  γ thì α  γ với mọi α , β , γ ∈ D
(c) Với mọi α , β ∈ D , tồn tại γ ∈ D sao cho α  γ và β  γ .
2. Một lưới trong X là một ánh xạ α → xα từ một tập định hướng D vào X
và kí hiệu là {xα }α∈D .
3. Lưới {xα }α∈D được gọi là hội tụ đến x ∈ X , ta gọi x là giới hạn của lưới,
nếu với mọi lân cận V của x, tồn tại α 0 ∈ D sao cho xα ∈V với mọi α  α 0 .
Kí hiệu là xα → x .
4. Cho D, E là các tập định hướng. Lưới { y β }β ∈E được gọi là lưới con của
lưới {xα }α∈D nếu có một ánh xạ β → α β từ E vào D sao cho:
(a) Với mọi α 0 ∈ D , tồn tại β 0 ∈ E sao cho α β  α 0 với mọi β  β 0
(b) y β = xα β .
5. Nếu ( X ,τ ) là không gian compact thì mỗi lưới {xα }α∈D ⊂ X đều có một
lưới con hội tụ.
Định lý 1.6 Cho các không gian đều ( X , X ), (Y , Y ) và ánh xạ f : X → Y thoả
mãn:
1. X với tôpô sinh bởi X là T2 - không gian compact.
2. f liên tục.
Khi đó f liên tục đều.
Chứng minh.


17

Giả sử ngược lại f không liên tục đều, tức là tồn tại W0 ∈Y sao cho với mọi

V ∈X thì F (V )  W0 . Từ đó, ta tìm được lưới {( xV , yV )}V ∈ X thoả mãn
( xV , yV ) ∈V và ( f ( xV )), f ( yV )) ∉ W0 (Ta xem X là tập định hướng với quan hệ

⊆)
Vì X với tôpô sinh bởi X là không gian compact nên lưới {( xV , yV )}V ∈X có
lưới con {( xβ′ , y β′ )} hội tụ về (x,y) nào đó.
• Chứng minh: x = y. Thật vậy, nếu x ≠ y thì do X cùng với tôpô sinh bởi

X là T2 - không gian nên tồn tại 2 lân cận rời nhau của x và y. Theo định lý
1.2 thì họ {U [ z ],U ∈ β X } là cơ sở lân cận của z ∈ X (với β X là cơ sở của cấu
trúc X ). Ta chọn được U ∈ β X thoả U [ x ] ∩ U [ y ] =
∅ . Theo mệnh đề 1.2 ta
tìm được W ∈X , W đối xứng và W °W °W ⊂ U .
Do {( xβ′ , y β′ )} là lưới con của lưới {( xV , yV )}V ∈X nên với W ∈X , tồn tại β1
sao cho với mọi β ≥ β1 thì ( xβ′ , y β′ ) = ( xV , yV ) với V ⊇ W . Hay ( xβ′ , y β′ ) ∈ W
với mọi β ≥ β1 .
Do {( xβ′ , y β′ )} → ( x, y ) và W [ x ], W [ y ] lần lượt là lân cận của x, y nên
+ Tồn tại β 2 sao cho với mọi β ≥ β 2 thì xβ′ ∈ W [ x ] hay ( x, xβ′ ) ∈ W
+ Tồn tại β 3 sao cho với mọi β ≥ β 3 thì y β′ ∈ W [ y ] hay ( y , y β′ ) ∈ W
Chọn β 0 ≥ β i , i =
1,2,3 . Khi đó, với β ≥ β 0 ta có:

( x, xβ′ ) ∈ W , ( xβ′ , y β′ ) ∈ W , ( y , y β′ ) ∈ W
Vì W đối xứng nên ta được ( x, y ) ∈ W °W °W ⊂ U . Ta gặp mâu thuẫn vì

U [ x] ∩ U [ y] =
∅ . Vậy, x=y.
• Vì f liên tục nên {( f ( xβ′ ), f ( y β′ ))} → ( f ( x ), f ( y )) .
Lại có x = y nên ( f ( x ), f ( y )) ∈ ∆Y . Theo mệnh đề 1.3 thì W0 là một lân cận
của ∆Y .
Suy ra, ∃β ′ sao cho với mọi β ≥ β ′ thì ( f ( xβ′ ), f ( y β′ )) ∈ W0 . Mâu thuẫn.

18

Vậy f liên tục đều.



Mệnh đề 1.5 Cho f là một ánh xạ từ tập hợp X vào không gian đều (Y ,  ) . Khi đó,
tồn tại một cấu trúc đều  trên X để f : ( X ,  ) → (Y ,  ) là liên tục đều. Hơn nữa,
 là cấu trúc đều nhỏ nhất trên X có tính chất này.

Chứng minh. Gọi β là họ tất cả các tập F −1 (V ) với V ∈  . Ta chứng minh β là cơ
sở của một cấu trúc đều nào đó trên X.
1. Lấy U ∈ β , U =
F −1 (V ) với V ∈  .
Với bất kỳ x ∈ X , ta có ( f ( x ), f ( x )) ∈ ∆Y nên ( f ( x ), f ( x )) ∈V . Do đó,

( x, x )   (
∈ F −1 V )  
=
U hay ∆ X ⊂ U .
2. Lấy U1 ,U 2 ∈ β , U1 =
F −1 (V1 ) và F −1 (V2 ) với V1 ,V2 ∈  .
Đặt V =
V1 ∩ V2 , U =
F −1 (V ) thì U ∈ β và U ⊂ U1 ∩ U 2 . Thật vậy, U ∈ β do

V ∈ .

Với

( x, y ) ∈ U

( f ( x ), f ( y )) ∈V1

và

thì

( f ( x ), f ( y )) ∈V .

V= V1 ∩ V2

nên

( x , y ) ∈ U1 ∩ U 2

hay

Vì

( f ( x ), f ( y )) ∈V2 . Do đó,

U ⊂ U1 ∩ U 2 .
3. Lấy U ∈ β , U =
F −1 (V ) với V ∈  .
Đặt W = F −1 (V −1 ) thì W ∈ β và W ⊂ U −1 . Thật vậy, W ∈ β do V −1 ∈  . Với

( x, y ) ∈ W thì ( f ( x ), f ( y )) ∈V −1 . Suy ra, ( f ( y ), f ( x )) ∈V hay ( y , x ) ∈ U .
Vậy, W ⊂ U −1 .
4. Lấy U ∈ β , U =

F −1 (V ) với V ∈  .
Do V ∈  nên tồn tại V ′ ∈  thoả V ′°V ′ ⊂ V . Đặt W = F −1 (V ′) thì W ∈ β và
W °W ⊂ U . Thật vậy, W ∈ β do V ′ ∈  . Lấy ( x, y ) ∈ W °W thì tồn tại z thoả

( x, z ), ( z, y ) ∈ W . Do đó, ( f ( x ), f ( z )), ( f ( z ), f ( y )) ∈V ′ .
Suy ra, ( f ( x ), f ( y )) ∈V ′°V ′ ⊂ V . Vậy, ( x, y ) ∈ U hay W °W ⊂ U .
Như vậy, theo định lý 1.1 họ β là cơ sở của một cấu trúc đều  trên X . Và theo
định nghĩa của β thì f là liên tục đều từ ( X ,  ) vào (Y ,  ) .


19

Gọi  ′ là một cấu trúc đều khác trên X thoả f : ( X ,  ′ ) → (Y ,  ) là liên tục
đều. Lấy U ∈ , khi đó tồn tại W ∈ β sao cho W ⊂ U (do β là cơ sở của  ).
Theo định nghĩa của β thì W = F −1 (V ) với V ∈  . Do f : ( X ,  ′ ) → (Y ,  )
là liên tục đều nên W ∈ ′ . Như vậy, tồn tại W ∈ ′ và W ⊂ U nên theo tính chất
của cấu trúc đều  ′ thì  ⊂  ′ .



Định nghĩa 1.7 Cho không gian đều ( X ,  ) và Y ⊂ X . Một họ các tập con  của
Y × Y được gọi là cấu trúc đều liên kết  và Y (hoặc cấu trúc đều liên kết với Y )

nếu  là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho ánh xạ đồng nhất từ (Y ,  ) đến ( X ,  ) là
liên tục đều.
Khi đó, ta gọi không gian đều (Y ,  ) là không gian đều con của ( X ,  ) .
Định nghĩa 1.8 Cho các không gian đều ( X α , α ), α ∈ A . Khi đó cấu trúc đều tích
trên không gian

∏ Xα

là cấu trúc đều nhỏ nhất sao cho phép chiếu lên mỗi không

gian toạ độ là liên tục đều.
Họ tất cả các tập {( x, y ) : ( xα , yα ) ∈ U } với α ∈ A và U ∈α là tiền cơ sở của
cấu trúc đều tích.

1.1.4 Tính đầy đủ
Ở phần này chúng ta chỉ giới thiệu một vài khái niệm cơ bản liên quan đến tính đầy
đủ của không gian đều như: Lưới Cauchy, lọc, lọc Cauchy...
Định nghĩa 1.9 Cho không gian đều ( X ,  ) ,
1. Lưới {xα } gọi là lưới Cauchy nếu:

∀V ∈  , ∃α 0 : ∀α , α ′ ≥ α 0 ⇒ ( xα , xα ′ ) ∈V
2. Cho lưới {xα } ⊂ X , ta gọi
=
M α {xβ : β ≥ α } là lọc liên kết với lưới {xα } .
3. Lọc µ ⊂ X gọi là lọc Cauchy nếu: ∀V ∈  , ∃A ∈ µ : A × A ⊂ V .
Định nghĩa 1.10 Cho không gian đều ( X ,  ) .
• Lọc µ có giới hạn là x nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại A ∈ µ sao

cho A ⊂ U . Kí hiệu là µ → x .


20

• Không gian đều ( X ,  ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi lưới Cauchy đều có giới

hạn.
Nhận xét 1.2 Nếu không gian đều ( X ,  ) là đầy đủ thì mọi lọc Cauchy trong X đều

có giới hạn.
Mệnh đề 1.6 Cho không gian đều ( X ,  ) . Ta có kết quả sau:
1. Mọi lưới hội tụ là lưới Cauchy.
2. Nếu lưới Cauchy có lưới con hội tụ về a thì nó hội tụ về a.
Chứng minh. Xét lưới {xα }α∈A ⊂ X ,
1. Giả sử lưới {xα }α∈A hội tụ về a. Ta chứng minh {xα } là lưới CauChy.
Với V ∈ bất kỳ, ta chọn W ∈ , W đối xứng thoả W °W ⊂ V . Vì W [a ] là 1
lân cận của a và lưới xα → a nên tồn tại α 0 thoả ∀α ≥ α 0 thì xα ∈ W [a ] . Khi đó,
với α , α ′ ≥ α 0 thì ( a, xα ),( a, xα ′ ) ∈ W . Do W đối xứng nên ( xα , xα ′ )   
∈W °W hay

( xα , xα ′ ) ∈V . Vậy, {xα } là lưới CauChy.
2. Giả sử rằng {xα }α∈A là lưới Cauchy, { yγ }γ ∈B là lưới con của lưới {xα } và

yγ → a . Lấy U là lân cận bất kỳ của a. Khi đó, ∃V ∈ β : a ∈V [a ] ⊂ U và V [a ] là
lân cận của a. Chọn W ∈ , W đối xứng thoả W °W ⊂ V .
Vì {xα } là lưới Cauchy nên ∃α 0 : ∀α , α ′ ≥ α 0 ⇒ ( xα , xα ′ ) ∈ W .
Ta có, W [a ] là một lân cận của a và yγ → a nên ∃γ 1 : ∀γ ≥ γ 1 ⇒ yγ ∈ W [a ] .
Lại có, { yγ } là lưới con của lưới {xα } nên với α 0 tồn tại γ 2 sao cho ∀γ ≥ γ 2
thì ta có α ≥ α 0 và xα =
yγ .
Chọn γ 0 = max{γ 1 , γ 2 } . Khi đó, ∀γ ≥ γ 0 ta được:

α ≥ α0
xα = yγ
yγ ∈ W [a ]
Suy ra: ( a, xα ) ∈ W . Do đó, ( a, xα ) ∈ W °W ⊂ V . Ta được, xα ∈V [a ] ⊂ U .
Vậy, lưới {xα } hội tụ về a. 

21

1.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều
1.2.1 Giả metric và cấu trúc đều sinh bởi giả metric
Định nghĩa 1.11 Một hàm thực không âm d : X × X →  thoả với mọi x, y và z
thuộc X,
a) d(x,y) = d(y,x)
b) d ( x, y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x, y )
c) d(x,y) = 0 nếu x=y
được gọi là một giả metric trên X.
Khi đó, không gian (X,d) gọi là không gian giả metric.
Cho không gian giả metric (X,d), với mỗi số thực dương r ta đặt

=
Vd ,r {( x, y ) : d ( x, y ) < r}
Theo ví dụ 1.3, ta có
Định lý 1.7 =
Họ β {Vd ,r : r > 0} là cơ sở của một cấu trúc đều trên X và ta gọi cấu
trúc đều này là cấu trúc đều giả metric hoặc cấu trúc đều sinh bởi d. Khi đó, ta gọi
tôpô sinh bởi cấu trúc đều này là tôpô giả metric trên X.
Định lý 1.8 Cho không gian đều ( X ,  ) và d là một giả metric trên X. Khi đó, d là
liên tục đều trên X × X theo cấu trúc đều tích nếu và chỉ nếu tập hợp Vd ,r ∈ với
mỗi số thực dương r.
Chứng minh. Lấy U ∈ và (u, v ) ∈ U , đặt:

=
A {(( x, y ),(u, v )) : ( x, u ) ∈ U };
=
B {(( x, y ),(u, v )) : ( y , v ) ∈ U }
Khi đó: A và B thuộc vào cấu trúc đều tích và họ các tập

{(( x, y ),(u, v )) : ( x, u ) ∈ U , ( y , v ) ∈ U }
là một cơ sở của cấu trúc đều tích.
Do đó, nếu d liên tục đều thì với mỗi số dương r, tồn tại U ∈ sao cho:

( x, u ), ( y , v ) ∈ U ⇒| d ( x, y ) − d (u, v ) |< r


22

Đặc biệt nếu chọn (u,v) = (y,y), ta có: d(x,y) Vì vậy, U ⊂ Vd ,r hay Vd ,r ∈ .
Ngược lại, nếu Vd ,r ∈ với r>0, với (x,u) và (y,v) thuộc Vd ,r ta có

d ( x , y ) ≤ d ( x , u ) + d ( u, v ) + d ( y , u )
d (u, v ) ≤ d ( x, u ) + d ( x, y ) + d ( y , v )
Suy ra: | d ( x, y ) − d (u, v ) |< 2 r. Do đó, d liên tục đều trên X × X .



Nhận xét 1.3 Theo định lý 1.7 và 1.8, cấu trúc đều sinh bởi d có thể xem là cấu trúc
đều nhỏ nhất làm cho d liên tục đều trên X × X . Khi đó, tôpô giả metric đồng nhất
với tôpô sinh bởi  bởi vì Vd ,r [ x ] là hình cầu mở chứa x và họ các hình cầu này là
cơ sở lân cận của x trong cả hai tôpô.

1.2.2 Họ giả metric liên kết với không gian đều
Bổ đề 1.3 (Bổ đề metric hoá)
Cho {U n , n ∈ ω} là một dãy các tập con của X × X thoả
● U=
X ×X

0
● ∆ ⊂ U n , ∀n ∈ ω
● U n +1 °U n +1 °U n +1 ⊂ U n với mỗi n
Khi đó, tồn tại một hàm thực không âm d xác định trên X × X sao cho:
a) d ( x, y ) + d ( y , z ) ≥ d ( x, z ), ∀x, y và z ;
b) U n ⊂ {( x, y ) : d ( x, y ) < 2 − n } ⊂ U n −1 với mỗi số nguyên dương n.
Nếu các U n là đối xứng thì tồn tại một giả metic d thoả điều kiện b).
Chứng minh. Xét ánh xạ f : X × X →  định bởi

2− n
f ( x, y ) = 
 0

,(x, y) ∈ U n-1  U n
,(x, y) ∈ U n
n

Với x, y ∈ X , đặt d ( x, y ) = inf{∑ f ( xi , xi +1 )} với tất cả dãy hữu hạn
i =0

x0 , x1 ,..., xn +1 thoả x = x0 và y = xn +1 .


23

Khi đó, d ≥ 0 và thoả điều kiện a). Vì d ( x, y ) ≤ f ( x, y ) nên

U n ⊂ {( x, y ) : d ( x, y )  < 2 − n } .
Nếu các U n là đối xứng thì f(x,y) = f(y,x) với mỗi cặp (x,y) và d là một giả metric
trong trường hợp này.

n

Ta chứng minh: f ( x0 , xn +1 ) ≤ 2∑ f ( xi , xi +1 )

(*)

i =0

Dùng qui nạp theo n, hiển nhiên (*) đúng với $n=0$.
Giả sử (*) đúng với n>0. Ta quy ước:
● Số

s

∑ f (x , x
i =r

i

i +1

) là độ dài của chuỗi từ r đến s+1,

● Đặt a là độ dài của chuỗi từ 0 đến n+1.
Gọi k là số nguyên lớn nhất sao cho chuỗi từ 0 đến k có độ dài không quá
đó, chuỗi từ k+1 đến n+1 có độ dài không quá

a
. Khi
2

a
. Ta có,
2

a
a
f ( x0=
, xk ) ≤ 2.
a$,$ f ( xk +1 , x=
a và f ( xk , xk +1 ) ≤ a .
n +1 ) ≤ 2.
2
2
Gọi m là số dương nhỏ nhất sao cho 2 − m ≤ a . Ta có,

( x0 , xk ), ( xk , xk +1 ), ( xk +1 , xn +1 ) ∈ U m
Do đó, ( x0 , xn +1 ) ∈ U m °U m °U m ⊂ U m−1 .
Suy ra: f ( x0 , xn +1 ) ≤ 2m−1 ≤ 2a . Vậy, (*) đúng với mọi n ≥ 0 .
Nếu d ( x, y ) < 2 − n thì từ (*) ta suy ra f ( x, y ) < 2 − n +1 và do đó ( x, y ) ∈ U n −1 .
Vậy, {( x, y ) : d ( x, y ) < 2 − n } ⊂ U n −1 và bổ đề được chứng minh xong.



Định nghĩa 1.12 Không gian đều ( X ,  ) được gọi là giả metric hoá được nếu có
một giả metric d sao cho  là cấu trúc đều sinh bởi d.
Định lý 1.9 Một không gian đều ( X ,  ) là giả metric hoá được nếu và chỉ nếu cấu
trúc đều  có một cơ sở đếm được.

24

Chứng minh.

Giả sử V0 ,V1 ,...,Vn ,... là một cơ sở đếm được của  . Chọn

U 0 ,U1′ ∈ , đối xứng và U 0 ⊂ V0 ,U1′ ⊂ V1 . Theo mệnh đề 1.1 tồn tại U"1 ∈ , đối
xứng và U"1 °U"1 °U"1 ⊂ U 0 . Đặt U=
U1′ ∩ U"1 thì U1 đối xứng, U1 ⊂ V1 và
1

U1 °U1 °U1 ⊂ U 0 . Tiếp tục quá trình này ta tìm được một họ các U n ∈ thoả
• U n đối xứng
• U n °U n °U n ⊂ U n −1
• U n ⊂ Vn với mỗi số nguyên dương n
Khi đó, {U n } là một cơ sở của  . Theo bổ đề 1.3, tồn tại một giả metric d thoả

U n ⊂ {( x, y ) : d ( x, y ) < 2 − n } ⊂ U n −1 với mỗi số nguyên dương

n . Suy ra, họ

{Vd ,2− n : n = 1,2,...} là một cơ sở của  . Vậy,  là cấu trúc đều sinh bởi d và không
gian đều ( X ,  ) là giả metric hoá được.
Ngược lại, nếu không gian đều ( X ,  ) là giả metric hoá được thì tồn tại giả
metric d sao cho  là cấu trúc đều sinh bởi d. Khi đó, họ {V

d,

cơ sở đếm được của  .

1
n

: n = 1,2,...} là một


Định nghĩa 1.13 Cho P là một họ các giả metric trên X. Khi đó, họ các tập Vρ ,r với

ρ ∈ P và r > 0 là tiền cơ sở của một cấu trúc đều  trên X. Ta gọi cấu trúc đều
này là cấu trúc đều sinh bởi họ P.
Nhận xét 1.4 Rõ ràng, cấu trúc đều  sinh bởi họ P là cấu trúc đều nhỏ nhất để
mỗi ρ ∈ P là liên tục đều trên X × X . Với ρ ∈ P cố định, theo định lý 1.7, họ các
tập {Vρ ,r , r > 0} là một cơ sở của cấu trúc đều trong không gian giả metric ( X , ρ ) .
Giả sử  là một cấu trúc đều khác trên X, theo định lý 1.8 một giả metric ρ là liên
tục đều trên X × X theo cấu trúc đều tích ứng với  nếu Vρ ,r ∈  với mỗi r>0.
Khi đó, ánh xạ đồng nhất từ ( X ,  ) vào ( X , ρ ) là liên tục đều nếu Vρ ,r ∈  với
mọi r>0. Như vậy, cấu trúc đều  là nhỏ nhất sao cho với mỗi ρ ∈ P , ánh xạ đồng
nhất từ X vào ( X , ρ ) là liên tục đều.