nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trên trường hữu hạn gồm chín phần tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Quân

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH
UNIMODULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU
HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Minh Quân

NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH
UNIMODULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU
HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành quyển luận văn này, tôi không thể chỉ dựa vào những kiến thức
đã được học tại trường, mà còn phải tự tìm hiểu, nghiên cứu; cùng với sự động viên
giúp đỡ nhiệt tình của bạn bè, tập thể lớp Cao học Đại số và Lý thuyết số k22. Đặc
biệt là sự giảng dạy và hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Bùi Xuân Hải. Do đó, với tất
cả lòng kính trọng và biết ơn , tôi xin gửi tới Thầy lời tri ân chân thành và sâu sắc của
mình.
Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn quý thầy cô bộ môn, Ban giám hiệu,
phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận
lợi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn của tôi. Tôi cũng không quên
cảm ơn gia đình, người thân đã khuyến khích, động viên, giúp đỡ tôi cách này cách
khác để tôi hoàn thành luận văn này.
Sau cùng, dù đã cố gắng thực hiện và hoàn thành luận văn nhưng ắt sẽ không
tránh khỏi những mặt thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của
quý thầy cô và các bạn.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 02 năm 2014
Nguyễn Minh Quân

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 5
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 6

1.1. Các định lý Sylow .........................................................................................................6
1.2. Nhóm đơn ....................................................................................................................9
1.3. Định lý Poincare ........................................................................................................14
1.4. Cấp của một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn ........................................16

CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH
UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN
TỬ ............................................................................................................................... 25
2.1. Các 3-nhóm con Sylow của G ...................................................................................25
2.2. Các 5-nhóm Sylow của G ..........................................................................................26
2.3. Các 2-nhóm con Sylow của G ...................................................................................26
2.4. Một số nhóm con khác của G...................................................................................28

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 32

2


BẢNG KÝ HIỆU

(a, b) – ước chung lớn nhất của hai số nguyên a, b
k n – k là ước của n
H ≤ G - H là nhóm con của G
H  G – H là nhóm con chuẩn tắc của G
𝐾 ∗ − nhóm các phần tử khả nghịch của trường 𝐾

Fq - trường hữu hạn gồm q phần tử

𝑍(𝐺 ) − tâm của 𝐺

|𝐺 | − cấp của nhóm 𝐺

|𝑎| − cấp của phần tử 𝑎

𝑎−1 − phần tử nghịch đảo của phần tử 𝑎
𝐸 − ma trận đơn vị

𝑀𝑛 (𝐾) − vành ma trận vuông cấp 𝑛 trên 𝐾

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 trên 𝐾
𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính đặc biệt bậc 𝑛 trên 𝐾

PSL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên K
𝜏𝑣,𝜌 (𝑥) − phép co

𝑡𝑖𝑗 (𝑎) − phép co sơ cấp

𝑆𝑛 − nhóm đối xứng bậc 𝑛

𝐴𝑛 − nhóm thay phiên bậc 𝑛

3


〈𝑎〉 − nhóm con sinh bởi 𝑎

[𝐺: 𝐻 ] − chỉ số của H trong G

𝑦 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝑦𝑥 −phần tử liên hợp với 𝑦 trong một nhóm

𝐻 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝐻𝑥 −nhóm con liên hợp với 𝐻
𝑁𝐺 (𝐻 ) − chuẩn hóa tử của H trong 𝐺
𝐺 ⁄𝐻 − nhóm thương của G theo 𝐻

[𝑎, 𝑏] ≔ 𝑎−1 𝑏 −1 𝑎𝑏 −giao hoán tử của 𝑎 và 𝑏.

4


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết nhóm là một chuyên ngành quan trọng trong ngành toán lý thuyết nói
chung. Trong chương trình cao học của chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số thì sự
hiểu biết, nắm bắt khối kiến thức về Lý thuyết nhóm cũng là một điều hết sức cần
thiết không phải chỉ cho bản thân môn học mà còn nhằm tạo điều kiện để nghhiên
cứu những môn học khác nữa. Nhằm tìm hiểu sâu hơn các phương pháp nghiên cứu
trong Lý thuyết nhóm, đặc biệt là trong Lý thuyết nhóm hữu hạn, tôi đã chọn cho
mình đề tài luận văn cao học là “nhóm con của nhóm tuyến tính xạ unimodular bậc
hai trên trường hữu hạn gồm chín phần tử”.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu trình bày về Định lý Sylow và một số ứng dụng; định nghĩa
nhóm đơn và một số nhóm đơn; Định lý Poincare; Định lý Jordan-Dickson về tính
đơn của các nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt và cấp của một số nhóm tuyến tính.
Chương 2: Nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trên
trường hữu hạn gồm chín phần tử
Chương này chủ yếu nói về các 2-nhóm con Sylow; 3-nhóm con Sylow; 5-nhóm
con Sylow của PSL(2,9) và một số nhóm con khác của PSL(2,9).

5

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Các định lý Sylow
Định nghĩa 1.1.1 Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó:
i) Nếu mọi phần tử của G đều có cấp là lũy thừa của p thì G được gọi là p-nhóm.
ii)

Nếu H là nhóm con của G và H là p-nhóm thì ta nói H là p-nhóm con của G.

iii)

Một p-nhóm con tối đại trong G được gọi là p-nhóm con Sylow của G.

Tính chất 1.1.2: Nếu H  G thì G là p-nhóm khi và chỉ khi H và G/H là p-nhóm.
Chứng minh:
Nếu G là p-nhóm thì dễ thấy các nhóm con H và G/H là p-nhóm. Ngược lại,
giả sử H và G/H là p-nhóm, lấy g ∈ G thì g p ∈ H , với số n nào đó. Khi đó, với số r
n

nào đó thì g p

n+r

= e suy ra g = p s . Vậy G là p-nhóm.

Tính chất 1.1.3: Cho H là nhóm con của G, p là số nguyên tố, P và Q là hai p-nhóm
con Sylow phân biệt của H, P* ⊃ P, Q* ⊃ Q và P* , Q* là các p-nhóm con Sylow của
G thì P* ≠ Q* .
Chứng minh.
Giả sử P* = Q* thì P, Q là p-nhóm con của H và P < P, Q , là điều mâu

thuẫn. Vậy P* ≠ Q* .
Ta gọi n p (G ) là số các p-nhóm con Sylow và Syl p (G ) là tập hợp các p-nhóm
con Sylow của G.
Tính chất 1.1.4: Nếu H là nhóm con của G và p là số nguyên tố thì n p ( H ) ≤ n p (G ).
Chứng minh.

6


Gọi P ∈ Syl p ( H ) thì tồn tại P* ∈ Syl p (G ) để P* ⊃ P . Theo Tính chất 1.1.3 ta
suy ra n p ( H ) ≤ n p (G ).
Định lý 1.1.5: (Định lý Sylow 1) Giả sử G = p m k với p là số nguyên tố và ( p, k ) = 1.
Khi đó với mọi 1 ≤ r ≤ m , tồn tại trong G một nhóm con có cấp p r . Nói riêng, tồn tại
trong G các p − nhóm con Sylow.
Định lý 1.1.6: (Định lý Sylow 2) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một ước
nguyên tố của G . Khi đó:
Mọi p -nhóm con H của G đều nằm trong p -nhóm con Sylow nào đó của

i)

G.
ii)

Tất cả các p -nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.

iii)

Nếu r là số các p -nhóm con Sylow của G thì r ≡ 1 (modp).

Đinh lý 1.1.7: Giả sử G là một nhóm hữu hạn và P là một p-nhóm con Sylow của G.

Khi đó:
i)

P là một p-nhóm con Sylow duy nhất của G khi và chỉ khi P chuẩn tắc trong
G.

ii)

[G: NG(P)] = np(G).

Định lý 1.1.8 Cho nhóm G có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố. Khi đó
i) Nếu 𝑝 = 𝑞 thì G là nhóm aben. Hơn nữa, G đẳng cấu với 𝑍𝑝2 nếu G chứa phần tử
cấp 𝑝2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 nếu G không chứa phần tử cấp 𝑝2 .

ii) Nếu 𝑝 ≠ 𝑞 thì G không là nhóm đơn. Hơn nữa, nếu q ≠ 1 (mod p) thì G có p –

nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này G là nhóm cyclic.
Chứng minh.

i) Với p = q, G là nhóm aben. Thật vậy, gọi 𝑍(𝐺 ) = {𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝐺} là

tâm của G và C(a) = {x∈G: xa = ax}. Trước hết ta chứng minh công thức: |𝐺 | =
7


|𝑍(𝐺)| + ∑𝑚
𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], trong đó {xi}i∈Ilà các phần tử không nằm trong tâm. Xét tác

động * : G×G→G, x*g = xgx-1, ∀x, g∈G của nhóm G lên tập G. Theo công thức

=
G Z (G ) + ∑ [G : Gx ] . Mặt khác:
phân tích thành quỹ đạo, ta có:
i∈I

i

xi } {x ∈ G : xxi x −1 ==
xi } {x ∈ G : xxi =
xi x} =
C ( xi )
{x ∈ G : x * xi ==
Gxi =

G
 xi ∈ Z (G ) ⇔ C ( xi ) =

Như vậy, ta vừa chứng minh được |𝐺 | = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚
𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], trong đó

{xi}i∈I là các phần tử không nằm trong tâm. Suy ra |𝑍(𝐺)| = |𝐺 | − ∑𝑚
𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], do
đó |𝑍(𝐺 )| chia hết cho p . Mặt khác, 𝑍(𝐺 ) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺 )| là ước của p2. Khi đó

|𝑍(𝐺 )| = 𝑝 hoặc |𝑍(𝐺 )| = 𝑝2 . Nếu |𝑍(𝐺 )| = 𝑝 thì ta xét nhóm thương 𝐺/𝑍(𝐺), ta có

|𝐺/𝑍(𝐺)| = 𝑝, suy ra 𝐺/𝑍(𝐺) =< 𝑥𝑍(𝐺) >. Mặt khác |𝑍(𝐺 )| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺 ) =< 𝑦 >,

do đó mỗi phần tử của G có dạng 𝑔 = 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 . Do tính giao hoán của x và y nên G giao

hoán. Còn nếu |𝑍(𝐺 )| = 𝑝2 thì dễ thấy 𝑍(𝐺 ) = 𝐺 nên G giao hoán. Vậy, G đẳng cấu

với Z p 2 nếu G chứa phần tử cấp p2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 nếu G không chứa phần

tử cấp p2.

ii) Giả sử p < q. Theo Định lý Sylow, tồn tại các nhóm con A, B của G sao cho
|𝐴| = 𝑝 và |𝐵| = 𝑞 . Hơn nữa, A chính là một p – nhóm con Sylow của G, B chính là

một q – nhóm con Sylow của G. Mà mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là
=
A
nhóm cyclic, nên ta có thể xem

=
a ;B

b với a, b ∈ G , cấp của a là p, cấp của b

là q.
Gọi n p là số các p – nhóm con Sylow của G, nq là số các q – nhóm Sylow của
G. Ta có nq = 1 + kq, nq | p (do nq |pq và (nq,q) = 1) (theo Định lý Sylow) và p < q nên

nq = 1 Khi đó: B  G . Vậy G không là nhóm đơn.
Tương tự n p = 1 + kp, n p | q . Khi đó, ta có hai trường hợp. Nếu 𝑛𝑝 = 1 thì A là

nhóm con chuẩn tắc của G. Ta sẽ chứng minh ab có cấp là pq. Thật vậy, ta có

A∩ B =
{e} (do p và q nguyên tố cùng nhau) ,mà aba −1b −1 ∈ A ∩ B (do A và B là các

nhóm con chuẩn tắc của G) nên ab = ba . Khi đó, do cấp của a và b nguyên tố cùng
nhau nên ab có cấp là pq. Như vậy 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞 (do G có cấp là pq). Trong trường
8


hợp n p = q , G không phải là nhóm Abel. Ta có tập tích AB là một nhóm con của G,
−1
−1
b1 )( a2b2 )
a=
bởi vì ( a1=
1 ( b1b2 ) a2
−1

( a a )( a b b
−1
1 2

−1 −1
2 1 2
2

a

) ∈ AB (do B  G ). Mặt khác

AB  pq , mà AB ⊂ G nên 0 ≤ AB ≤ pq , suy ra AB = pq . Do đó G = AB. Vậy, G

không là nhóm đơn do G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc. Nếu q ≡/ 1( mod p ) thì G

có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này G là nhóm cyclic.
Định lý 1.1.9: Cho P ∈ Syl p (G ) , nếu x, y là hai phần tử của Z(P) liên hợp trong G
thì chúng liên hợp trong N G ( P).
Chứng minh.
Tồn tại u ∈ G để y = xu . Từ x ∈ Z ( P ) , y ∈ Z ( P u ) thì P, P u là nhóm con Sylow
của Z ({ y}) . Khi đó n p ( Z ({ y}) ) hữu hạn, theo Định lý Sylow tồn tại z ∈ Z ( y ) để
uz
z
y=
y.
P uz = P , suy ra uz ∈ N G ( P) và x=

1.2. Nhóm đơn
Định nghĩa 1.2.1: Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn
tắc nào khác ngoài {1} và chính nó.
Định lý 1.2.2: Cho G là nhóm đơn có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó, số
các p– nhóm con Sylow của G nhiều hơn 1.
Chứng minh.
Giả sử P là p – nhóm con Sylow duy nhất của G. Theo chứng minh 1.1.9,
[𝐺: 𝐺𝑃 ] = 𝑛𝑝 = 1, hay 𝐺 = 𝐺𝑃 , do đó 𝑥𝑃𝑥 −1 = 𝑃 với mọi 𝑥 ∈ 𝐺 . Như vậy P phải là

nhóm con chuẩn tắc thực sự của G, điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn.
Do đó số các p– nhóm con Sylow của G phải nhiều hơn 1.
Định lý 1.2.3. Cho G là nhóm cấp p2q, trong đó p, q là các số nguyên tố phân biệt.

Khi đó G không là nhóm đơn và G có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc hoặc G có qnhóm con Sylow chuẩn tắc.
9


Chứng minh.

Gọi np,nq lần lượt là số các p- nhóm con Sylow và số các q- nhóm con Sylow.
Giả sử G không có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc và q- nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Khi đó np> 1 và nq> 1. Ta có, nq là ước của p2q và nq nguyên tố cùng nhau với q. Vì
thế nq = p2 hoặc nq = p.
Ta xét hai trường hợp: Trường hợp nq = p2, chú ý rằng nếu Q là q- nhóm con
Sylow thì Q có cấp q và do đó x có cấp q với mọi e ≠ x

Q. Vì thế, mỗi q-nhóm con

Sylowchứa đúng q - 1 phần tử cấp q. Dễ thấy hai q- nhóm con Sylow tuỳ ý hoặc là
bằng nhau, hoặc có giao là nhóm con tầm thường. Do đó số phần tử có cấp q của G là
nq(q - 1). Gọi L là tập các phần tử của G không có cấp q. Ta có: |L|= p2q - nq(q - 1) =
p2q - p2(q - 1) = p2. Giả sử P là một p- nhóm con Sylow. Khi đó cấp của P là p2 và vì
thế tất cả p2 phần tử của P đều không có cấp q. Suy ra P = L. Do đó G chỉ có duy nhất
một p- nhóm con Sylow, tức là np= 1, vô lí. Trường hợp nq = p. Theo Định lí Sylow,
nq≡ 1(mod q), vì thế p ≡1(mod q). Suy ra p > q. Ta có, nplà ước của p2q và nguyên tố
cùng nhau với p, vì thế np = q. Theo Định lí Sylow, np≡ 1(mod p), do đó q ≡ 1(mod
p). Vì thế q > p, vô lí.
Định lý 1.2.4: Mọi nhóm cấp pqr (p, q, r là các số nguyên tố đôi một khác nhau)
không là nhóm đơn.
Chứng minh.
Giả sử p < q < r . Lấy G là nhóm cấp pqr . Giả sử G là nhóm đơn. Đặt n p , nq , nr
lần lượt là số các p- nhóm con Sylow, q- nhóm con Sylow và r- nhóm con Sylow.
Do G là nhóm đơn nên G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự. Theo 1.2.2,
n p > 1, nq > 1, nr > 1 . Theo Định lí Sylow, ta có n p | qr , kết hợp với n p > 1 ta được
n p = q , hoặc n p = r , hoặc n p = qr . Mà q< r nên n p ≥ q . Mặt khác, nq = pr và
n p ≡ 1(mod q ) , kết hợp với nq > 1, p < q < r ta suy ra nq = r hoặc nq = pr . Vậy nq ≥ r .

Hơn nữa, nr | pq và nr ≡ 1 (mod r), kết hợp với nr > 1, p < q < r , ta suy ra nr = pq .
10

Khi đó, số phần tử cấp r trong G là nr ( r − 1=
) pq ( r − 1) ; số phần tử cấp q trong
G là nq ( q − 1) ≥ r ( q − 1) ; số phần tử cấp p trong G là n p ( p − 1) ≥ q ( p − 1) . Suy ra
G ≥ pq ( r − 1) + q ( p − 1) + r ( q − 1) > pqr , điều này mâu thuẫn. Vậy G không là nhóm

đơn.
Định lý 1.2.5: Mọi nhóm cấp p n đều không là nhóm đơn với mọi n > 1.
Chứng minh.
Lấy G là nhóm cấp p n . Giả sử G là nhóm đơn. Theo Định lí Sylow, G có
nhóm con H cấp p n−1 , [G : H ] = p . Khi đó, G | p ! nên p n | p ! , suy ra n = 1 . Điều này
mâu thuẫn với giả thiết. Vậy G không là nhóm đơn.
Định lý 1.2.6: Các nhóm cấp 2𝑛 . 3 (𝑛 ≥ 2) không là nhóm đơn.
Chứng minh.

Dùng phản chứng , giả sử G là nhóm đơn có cấp 2𝑛 . 3 (𝑛 ≥ 2) thì n2 > 1 nhưng

theo Định lý Sylow, 𝑛2 3 và n2 ≡ 1(mod 2) suy ra n2 = 3 ⇒ ∃ H ≤ G, [G:H] = n2 = 3.

Khi đó, G3! = 6 ⇒ 2n-11 (vô lý vì n – 1 ≥ 2).

Định nghĩa 1.2.7: Cho M là tập. Khi đó kí hiệu Sym(M) là nhóm đối xứng trên tập
M.
Định nghĩa 1.2.8: Cho S ⊂ Sym( M ) và a ∈ M . Khi đó kí hiệu
y (a ) khi y (a ) ≠ a, y ∈ S
.
y (=
a ) a, y ∈ S



(π { y y ∈ S }) ( a ) =

a khi

Ta nói π { y y ∈ S } là tích hình thức các phần tử của S và viết tắt là π y khi không có
sự hiểu lầm.
Định nghĩa 1.2.9: Cho G là một nhóm, H là nhóm con chỉ số n và x1 ,..., xn ∈ G sao
cho G =∪{ xi H 1 ≤ i ≤ n} . Lấy y ∈ G sao cho y xi = x A(i ) hi , trong đó hi ∈ H và A là

11


hàm đi từ {1,...,n} vào chính nó. Ta định nghĩa phép biến đổi T đi từ G vào H sao cho
T ( y ) = (π hi )[H , H ] .

Cho G là một nhóm, H là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G và S là tập con
của G.

∪{ xH x ∈ S } , S hữu hạn, y ∈ G và T là phép biến đổi từ G
Định lý 1.2.10: Nếu G =
vào H, thì có tập con S ' = { x1 ,..., xr } của S và ni ∈ N sao cho

(

)

T ( y ) π xi−1 y ni=
xi [H,H], ∑ ni

=

[G : H ] và ni

nhỏ nhất để xi−1 y ni xi ∈ H .

Chứng minh.
Tồn tại A ∈ Sym( S ) sao cho với mọi=
x ∈ S , yx ( A( x))hx , hx ∈ H . Gọi

( x ,..., x ) là chu trình bất kỳ của A. Khi đó
i1

im

=
y xi1 xi2 h=
x=
xi1 him ;
i1 ,..., y xim −1
im him −1 , y xim
xi−1 1=
y m xi1 him ...hi1 ∈ H .

=
xi−1 1 y r xi1 xi−1 1 xir +1 hir ...hi1 ∉ H , sao cho m nhỏ nhất. Do
Tuy nhiên, nếu r < m thì
định nghĩa của phép biến đổi, T ( y ) là tích của [H,H] và các phần tử trong tất cả các
chu trình của A. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.11: (Định lý Burnside) Cho G là một nhóm hữu hạn, P là p -nhóm con

Sylow của G và NG ( P) = CG ( P). Khi đó P có phần bù chuẩn tắc trong G (tức là tồn
tại nhóm K chuẩn tắc trong G và K  P = {1} sao cho G = KP ). Nói riêng G không là
nhóm đơn.
Chứng minh.
Ta có N G ( P) = CG ( P) , P ∈ N G ( P) và P là nhóm aben. Gọi T là phép biến đổi
từ G vào P. Giả sử G =
∪{ xP x ∈ S } và y ∈ P \ {e} . Theo Định lý 1.2.10, có tập con
S ' của S sao cho

12


{

}

[G : P ] và x −1 y nx x ∈ P . Theo Định lý 1.1.9 tồn tại
=
T ( y ) π x −1 y nx x x ∈ S ' với ∑ nx =
z ∈ N G ( P) để z −1 y nx z = x −1 y nx x . Vì N G ( P) = CG ( P) nên x −1 y nx x = y nx . Do đó, từ

( y)
([G : P ], p ) = 1 suy ra T=

∑n
π=
y n y=
y[G:P] ≠ e.
x

x

Do đó Ker(T ) ∩ P =
E. Suy ra PT = P , G / Ker(T ) ≅ P và G = P . Ker(T ) . Từ đó
suy ra G = Ker(T ) P và Ker(T) là phần bù chuẩn tắc của P.
Định lý 1.2.12: Nếu G là nhóm đơn có cấp pm>p với p là số nguyên tố và không là
ước của m, P là p-nhóm con Sylow của G thì CG ( P) < N G ( P) < G và

[N

G

( P) : CG ( P ) ] ( p − 1) .

Chứng minh.
Do G là nhóm đơn nên N G ( P) < G . Theo Định lý Burnside thì CG ( P) < N G ( P)
. Khi đó N G ( P) / CG ( P) đẳng cấu với nhóm con của Aut(P), mà Aut(P) là nhóm
cyclic cấp p-1, nên [ N G ( P) : CG ( P) ] ( p − 1) .
Định lý 1.2.13: Nếu G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố, i∈ N và np không đồng
dư với 1 modun pi thì tồn tại hai nhóm con p-Sylow phân biệt H và K sao cho

[H : H ∩ K ] < p .
i

Chứng minh.
Gọi H ∈ Syl p (G ) . Khi đó ta phân chia Syl p (G ) vào các lớp tương đương với
M Lh , h ∈ H . Số các lớp tương đương Cl '( L) là
L  M khi và chỉ khi =

[ H : H ∩ NG ( L)] =[ H : H ∩ L ] . Giả sử [ H : H ∩ K ] ≥ p , thì tất cả các Cl '( L) ngoại

i

trừ Cl '( H ) đều có p j , j ≥ i số. Do đó có n p =1 + p j1 + ... + p jr ≡ 1(mod p i ) . Điều này
mâu thuẫn. Vậy [ H : H ∩ K ] < p i .

13


1.3. Định lý Poincare
Định nghĩa 1.3.1: Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G. Khi đó ta ký hiệu
H G := ∩ gHg −1 .
g∈G

Mệnh đề 1.3.2: H G là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H.
Chứng minh.
Dễ thấy H G là nhóm con của G. Hơn nữa, H G là nhóm con chuẩn tắc của G.
Thật vậy, với mọi x ∈ G ta luôn có xH G x −1 =
x( ∩ gHg −1 ) x −1 =
∩ xgH ( xg ) −1 =
HG .
g∈G

g∈G

Mặt khác, giả sử K là nhóm con của H và K chuẩn tắc trong G, ta chứng minh
K chứa trong H G . Thật vậy, do K  G và K ≤ H nên=
K gKg −1 ⊆ gHg −1 , ∀g ∈ G . Do
đó K ⊆ ∩ gHg −1 =H G .
g∈G

Định lý 1.3.3: Cho G là một nhóm. Giả sử rằng G có nhóm con H chỉ số n>1. Khi đó
tồn tại một đồng cấu ρ : G → Sn sao cho kerρ ≤ H .
Chứng minh.
Gọi X là tập hợp tất cả các lớp kề trái của G theo nhóm con H và lấy a ∈ G. Ta
định nghĩa hàm

ρa : X → X
gH  agH , ∀g ∈ G
Dễ dàng kiểm tra được mỗi ρ a là một hoán vị của X ( nghịch đảo của nó là ρ a −1 ) và

ρ : G → SX
a  ρa
là đồng cấu. Mà S X ≅ Sn nên ta có đồng cấu

14


ρ : G → Sn
a  ρa
Nếu a ∈ Kerρ thì agH= gH , ∀g ∈ G. Nói riêng aH = H nên a ∈ H . Do đó

Kerρ ≤ H .
Hệ quả 1.3.4: Giả sử ρ : G → Sn là ánh xạ được xác định trong Định lý 1.3.3. Khi đó,
ta có
i) H G = Ker ρ
ii) G

HG

có thể nhúng vào trong Sn.

Chứng minh.

Id X }
i) Ta có Ker ρ =
{a ∈ G ρa =
Với mọi a ∈ Kerρ thì ρ a = Id X ⇔ ρ a ( gH ) = gH , ∀gH ∈ X
gH
⇔ agH =
⇒ g −1ag ∈ H
⇔ a ∈ gHg −1 , ∀g ∈ G
⇒ a ∈ HG .

Ngược lại, nếu a ∈ H G thì a ∈ gHg −1 , ∀g ∈ G . Từ đó suy ra
agH= gH , ∀g ∈ G nên a ∈ Kerρ . Vậy H G = Ker ρ .

ii) Theo i) ta có H G = Ker ρ . Khi đó G
G

HG

Kerρ

≅ Im ρ nên G

HG

≅ Im ρ ⊆ Sn . Vậy

có thể nhúng vào trong Sn.

Định lý 1.3.5: (Định lý Poincare) Nếu G là nhóm đơn và H là nhóm con chỉ số n>1
trong G thì G nhúng được vào Sn .
Chứng minh.
15


Do H G  G và G là nhóm đơn nên H G = {1} . Từ đó, do Hệ quả 1.3.4 suy ra, G
nhúng được vào Sn.
Hệ quả 1.3.6: Nếu G là nhóm đơn có nhóm con chỉ số n > 1 thì cấp của G là ước của
n!.
1.4. Cấp của một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn
Cho K là một vành chia, V là một không gian vectơ m-chiều trên K. Khi đó ta
định nghĩa:
Định nghĩa 1.4.1: Nhóm tuyến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑉) là nhóm tất cả ánh xạ tuyến tính

không suy biến trên V.

Một ma trận (hoặc phép biến đổi tuyến tính) có định thức 1 được gọi là
unimodular.
Nhóm tuyến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑉) là nhóm con của 𝐺𝐿(𝑉) gồm tất cả các phép

biến đổi unimodular.

Ký hiệu Z(V) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng, 𝑆𝑍(𝑉) gồm tất cả các

phép biến đổi vô hướng unimodular. Khi đó ta định nghĩa

Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑉) = 𝐺𝐿(𝑉)/𝑍(𝑉),
Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑉) = 𝑆𝐿(𝑉)/𝑆𝑍(𝑉),

Chọn một cơ sở được sắp {e1 ,..., en } của V, khi đó mỗi 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) xác định một

ma trận, trong đó 𝑇𝑒𝑗 = ∑𝑖 𝛼𝑖𝑗 𝑒𝑖 (cột thứ j của A gồm các tọa độ của 𝑇𝑒𝑗 ). Ta có định

nghĩa:

Định nghĩa 1.4.2: Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗 � ∈

𝑀𝑛 (𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗 � ≠ 0}.

Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên K 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗 � ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗 � = 1}

Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑍(𝑛, 𝐾).
16


Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên K 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) = 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾)/𝑆𝑍(𝑛, 𝐾).

Trong đó 𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝛼 ≠ 0}

𝑆𝑍(𝑛, 𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛 (𝐾), 𝛼 𝑛 = 1}

Nếu K = F (q ) là trường hữu hạn với 𝑞 = 𝑝𝑛 phần tử thì ta có thể thay các ký hiệu

𝐺𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝐾), 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) lần lượt là 𝐺𝐿 (𝑛, 𝑞), 𝑆𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝑞),
𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝑞).

Định nghĩa 1.4.3.
Hiển nhiên 𝐺𝐿(𝑉) ≅ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) và S𝐿(𝑉) ≅ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾). Xét không gian vec tơ V

trên K và V* là không gian đối ngẫu của V. Với các phần tử 𝑣 ∈ 𝑉 và 𝜌 ∈

𝑉 ∗ thỏa 𝜌(𝑣 ) = 0, ánh xạ

𝜏𝑣,𝜌 (𝑥) = 𝑥 + 𝑣𝜌(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑉

là một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch trong không gian vec tơ V và được gọi là
một phép co.
Hiển nhiên, nếu 𝜏 là phép co thì 𝜏 −1 cũng là phép co.

Cho 0 ≠ 𝑎 𝜖 𝐾 và 𝑖 ≠ 𝑗 là các số nguyên 1 < 𝑖, 𝑗 < 𝑛, một phép co sơ cấp 𝑡𝑖𝑗 (𝑎) là một

ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 có dạng 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 .

Phép co sơ cấp chỉ khác ma trận đơn vị là a ở vị trí thứ (i, j). Các phép co sơ

cấp nằm trong 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) và có vai trò tương tự như các 3- chu trình trong 𝐴𝑛 . Tầm
quan trọng của chúng là do phép nhân trái của một ma trận với phép co sơ cấp là
cộng a lần dòng thứ j vào dòng thứ i, vì thế được gọi là phép toán dòng.
Định lý 1.4.4. Với 𝑛 > 1, 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) được sinh bởi các phép co sơ cấp.

Chứng minh.

Cho 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾). Ta đưa A về 1𝑛 bằng phép toán dòng. Cộng một dòng vào

−1
(1 − 𝑎11 ) lần dòng thứ
dòng thứ hai nếu cần thiết, ta có thể giả sử 𝑎21 ≠ 0. Cộng 𝑎21

17


hai vào dòng đầu ta được 1 ở vị trí (1, 1). Trừ đi bội của dòng đầu ta nhận được 0 ở
cột đầu bên dưới dường chéo. Định thức con thứ (1, 1) thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛 − 1, 𝐾) và có
thể xử lí tương tự cho đến khi ta thu được một ma trận với 1 trên dường chéo và 0

bên dưới. Hơn nữa các phép toán dòng đưa ma trận về dạng đồng nhất. Do đó
−1 −1
𝑇𝑘 𝑇𝑘−1 … 𝑇1 𝐴 = 1𝑛 với phép co đã biết 𝑇𝑖 , và 𝐴 = 𝑇1−1 … 𝑇𝑘−1
𝑇𝑘 : Dĩ nhiên 𝑇𝑖−1 là một

phép co và mọi phép co đều thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾).

Định lý 1.4.5. Tâm của SL(n, K ) trong GL(n,K) là 𝑍(𝑛, 𝐾).

Chứng minh.

Rõ ràng một ma trận vô hướng giao hoán với ma trận bất kỳ trên 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾).

Ngược lại, cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) thuộc tâm của 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) trên 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾). Viết 𝐸𝑖𝑗 là ma trận sơ
cấp cấp 𝑛 × 𝑛 với 1 ở vị trí 𝑖𝑗 và 0 ở các vị trí còn lại. Như vậy 1 + 𝐸𝑖𝑗 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) nếu

𝑖 ≠ 𝑗, vì thế A và 1 + 𝐸𝑖𝑗 giao hoán khi 𝐴𝐸𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑗 𝐴. Hệ số thứ (𝑘, 𝑗) của 𝐴𝐸𝑖𝑗 là 𝑎𝑘𝑖

khi 𝐸𝑖𝑗 𝐴 là 0 nếu 𝑘 ≠ 𝑖 và là 𝑎𝑗𝑗 trong trường hợp còn lại. Do đó 𝑎𝑘𝑖 = 0 nếu 𝑘 ≠ 𝑖 và
𝑎𝑖𝑖 = 𝑎𝑗𝑗 , suy ra A vô hướng.

Định lý 1.4.6.

i) Tâm của 𝐺𝐿(𝑉) là 𝑍(𝑉).

ii) Tâm của 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) là 𝑆𝑍(𝑛, 𝐾).

Chứng minh.

i) Nếu 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) không là một phép biến đổi vô hướng thì có 𝑣 ∈ 𝑉 sao cho

{𝑣, 𝑇𝑣} độc lập. Mở rộng ra một cơ sở {𝑣, 𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } của V. Dễ thấy {𝑣, 𝑣 +

𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } cũng là một cơ sở của V. Do đó có một phép biến đổi tuyến tính

(không suy biến) 𝑆: 𝑉 → 𝑉 với 𝑆𝑣 = 𝑣, 𝑆(𝑇𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑣 và 𝑆𝑢𝑖 = 𝑢𝑖 với mọi 𝑖 ≥ 3. Bây
giờ T và S không giao hoán, với 𝑇𝑆(𝑣) = 𝑇𝑣 khi 𝑆𝑇(𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑉. Do đó

𝑇∉ 𝑍(𝐺𝐿(𝑉)), suy ra 𝑍(𝐺𝐿(𝑉 )) = 𝑍(𝑉 ).

18


ii) Giả sử 𝑇 ∈ 𝑆𝐿(𝑉), T không vô hướng, và S là phép biến đổi tuyến tính đã

xây dựng trong i). Ma trận của S tương đối với cơ sở {𝑣, 𝑇𝑣, 𝑢3 , … , 𝑢𝑚 } là phép co sơ
cấp 𝑡12 (1), vì thế det 𝑆 = 1 và 𝑆 ∈ 𝑆𝐿(𝑉). Theo i), 𝑇∉ 𝑍(𝑆𝐿(𝑉)). Tức, nếu 𝑇 ∈

𝑍(𝑆𝐿(𝑉 )) thì 𝑇 = 𝛼𝐸 với 𝛼 ∈ 𝐾 . Cuối cùng det(𝛼𝐸) = 𝛼 𝑚 , và vì thế 𝛼 𝑚 = 1, do đó
𝑆𝑍(𝑉 ) = 𝑍(𝑆𝐿(𝑉 )).

Định lý 1.4.7 Nếu 𝑛 > 2 thì hai phép co bất kỳ liên hợp với nhau trong 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾).
Chứng minh.

Trước hết ta xét các phép co 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 và 1 + 𝑏𝐸𝑖𝑗 và đặt 𝑐 = 𝑎−1 𝑏. Gọi D là ma

trận chéo cấp 𝑛 × 𝑛 với 1 ở vị trí (𝑖, 𝑖), c ở vị trí (𝑗, 𝑗), 𝑐 −1 ở vị trí nào đó trên đường
chéo và 1 ở các vị trí còn lại trên đường chéo. Khi đó 𝐷 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) và 𝐷−1 �1 +
𝑎𝐸𝑖𝑗 �𝐷 = 1 + 𝑏𝐸𝑖𝑗 . Bây giờ xét các phép co 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 và 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑟. Gọi P là ma

trận cấp 𝑛 × 𝑛 chỉ khác 1𝑛 ở chổ 1 ở vị trí (𝑟, 𝑖) và 0 ở vị trí (𝑖, 𝑖) và (𝑟, 𝑟). Khi đó

𝑃 ∈ 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾). Ta tính được 𝑃−1 �1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 �𝑃 = 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑗 , trong đó 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑟. Tương tự
𝑄−1 �1+. 𝑎𝐸𝑟𝑗 �𝑄 = 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑠 , trong đó Q là ma trận cùng dạng với P. Suy ra tất cả các

phép co đều liên hợp với nhau trong 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾).

Định lý 1.4.8 Nếu N là một nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝐿(2, 𝐾) chứa một phép co thì
𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾).

Chứng minh.
Lấy �1 𝑎� ∈ 𝑁, trong đó 𝑎 ≠ 0. Ta chứng minh �1 𝑥 � ∈ 𝑁 với mọi 𝑥 ∈ 𝐾 .
0

1

−1
Từ đó suy ra N sẽ chứa �0 −1� �1 𝑥 � �0 −1� = � 1

1

0

0

1

1

0

𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾). Do đó ta có thể giả thuyết rằng |𝐾| > 2.

−𝑥

0

1

0
�, và theo 3.3.4 ta được
1

−1
0�, ta được �1 𝑎𝑥 2 �. Hơn nữa N chứa ma trận
Liên hợp �1 𝑎� với �𝑥

�1
0

0

𝑎𝑥 2 � �1

1
0

1

−1

𝑎𝑦 2 �
1

0

= �1
0

𝑥

0

1

𝑎(𝑥 2 − 𝑦 2 )�, với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾
1
19

(1)


Nếu K có đặc trưng khác 2 thì 𝑏 = (2−1 (𝑏 + 1))2 − (2−1 (𝑏 − 1))2 , vì thế mọi phần tử

của K khác 2 bình phương và kết quả suy ra từ (1).

Giả sử K có đặc trưng 2. Trong bất cứ trường hợp nào N chứa �1 𝑟 � và
0

1

1 𝑎
� thỏa 𝑎−1 𝑟 là một bình phương trong K. Liên hợp các ma trận này bởi
0 1
0 1
1 0
1 0
�
� được �
� và �
� tương ứng. Do đó N chứa
−1 0
−𝑟 1
−𝑎 1
�

�

1
−𝑎

0 1
��
1 0

𝑚
1
��
1 −𝑟

0
1 − 𝑚𝑟
�=�
1
𝑎𝑚𝑟 − 𝑎 − 𝑟

𝑚
�,
1 − 𝑎𝑚

trong đó 𝑎−1 𝑚 là một bình phương. Giả sử ta có thể chọn 𝑟 và 𝑚 để 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟. Khi
đó N chứa 𝑦 tùy ý

��

1 − 𝑚𝑟
0

1
𝑚
�,�
1 − 𝑎𝑚
0

−𝑦
�� = �1
1
0

𝑚𝑦(1 − 𝑎)(1 − 𝑚𝑟)−1 �. (2)
1

Chọn 𝑙 ∈ 𝐾 ∗ sao cho 𝑙4 = 1. 𝑙 tồn tại vì nếu tất cả các lũy thừa bốn trong 𝐾 ∗ là 𝑙 thì

|𝐾| = 3 hoặc 5. Đặt 𝑚 = 𝑎−1 (1 + 𝑙−1 ) và 𝑟 = 𝑎𝑙2 . Điều này thỏa 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟 và
𝑎−1 𝑚 = (𝑎−1 (1 + 𝑙−1 ))2 , vì thế sự chọn lựa 𝑚 và 𝑟. Khi đó 𝑚𝑦(𝑟 − 𝑎)(1 − 𝑚𝑟)−1 =

𝑦(𝑙 −4 − 1), điều này bao quát trên tất cả K cũng như các giá trị 𝑦. Kết quả được suy ra

ngay từ (2).

Định lý 1.4.9 Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝐿(2, 𝐾) không chứa trong tâm
và |𝐾| > 3. Khi đó 𝑁 = 𝑆𝐿(2, 𝐾).

Chứng minh.

Vì N có thể bị thay thế bởi một liên hợp trong 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) nếu cần nên ta có thể

giả thiết N chứa một phần tử không tâm A dạng chính tắc hữu tỉ. Theo 1.4.8, ta có thể
giả thiết N không chứa một phép co.
Trước hết giả sử 𝐴 = �𝑎

0

0
1
�, trong đó 𝑎 ≠ 𝑎−1 . Nếu 𝐵 = �
𝑎−1
0

1
� thì N phải chứa
1

−2
hoán tử [𝐴, 𝐵] = 𝐴−1 𝐵−1 𝐴𝐵 = �1 1 − 𝑎 �. Đây là một phép co vì 𝑎2 ≠ 1.

0

1

20


Suy ra A phải có dạng �0 1�. Ở đây 𝑏 = 1 vì det 𝐴 = 1. Giao hoán tử của
�𝐴−1 , �1
0
−1

�𝑥
0

0
−1

�

−𝑥 2 �� = � 1
−𝑥 2
1

−𝑥 −1 � được � 0
−1
𝑥

−1
0
1
�
�
4
−1
2+𝑥

𝑏

𝑎

−𝑥 2 � ∈ 𝑁, với mọi 𝑥 ∈ 𝐾 . Liên hợp của ma trận này bởi
1 + 𝑥4

1
�. Do đó N chứa ma trận
2 + 𝑥4

1
1
4� = �
2+𝑦
0

𝑥 4 − 𝑦 4 �, với mọi 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0.
1

Vì N không chứa phép co nên lũy thừa bậc bốn của mọi phần tử khác không của K
bằng 1. Nhưng đa thức 𝑡 4 − 1 có nhiều nhất bốn nghiệm trong K. Do đó |𝐾| = 𝑞 hữu

hạn và 𝑞 − 1 ≤ 4. Vì 𝑞 > 3 theo giả thiết nên 𝑞 = 5. Trường hợp đòi hỏi một chứng
minh đặc biệt.

0
−1
2
�
−2
�
�

0
−1

Ta biết N chứa � 0

−1

1
�, bởi việc cho 𝑥 = 1 ở trên. N cũng chứa hoán tử của
3

1 −1
1 −2
1 −2
1 −2
𝑎 −1
� =�
�, là �
� vì 𝑞 = 5. Liên hợp �
� bởi
� và �
𝑎
0 1
−2 0
−2 0
1 0
−1
0 1
� thuộc 𝑆𝐿(2,5) được �
� trong N. Sau cùng N chứa
−1
−1 1
1 −1 0
� �
3
−1

1
1
�=�
1
0

2
�, là một phép co.
1

Định nghĩa 1.4.10: Ta nói nhóm con G của GLn ( K ) là bất biến đối với những phép

biến đổi unimodular, nếu

σ Gσ −1 ≤ G, ∀σ ∈ SLn ( K ).
Định lý 1.4.11: Giả sử n ≥ 3 hoặc n = 2 nhưng K chứa không ít hơn 4 phần tử. Nếu
G là nhóm con của GLn ( K ) , bất biến đối với những phép biến đổi unimodular, và G
không nằm trong tâm của GLn ( K ) thì G chứa SLn ( K ) .
Định lý 1.4.11 nhằm để chứng minh Định lý Jordan-Dickson. Đi chứng minh
Định lý 1.4.11 rất phước tạp và vượt quá khả năng của luận văn cao học, nên ta có thể
tham khảo trong [2], Định lý 6.4.4, trang 137.

21


Định lý 1.4.12: (Jordan-Dickson): PSLn ( K ) là nhóm đơn, ngoại trừ các nhóm
PSL2 ( F2 ) và PSL2 ( F3 ) .

Chứng minh.

Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của PSLn ( K ) . Xét đồng cấu tự nhiên

ϕ : SLn ( K ) → SLn ( K ) / Ζ0 =PSLn ( K ) .
Đặt G = ϕ −1 ( H ) . Khi đó, G SLn ( K ) . Nếu G ⊆ Z 0 thì H = 1 . Nếu G ⊄Z 0 thì theo
Định lý 1.4.11, G = SLn ( K ) , ngoại trừ các trường hợp khi n = 2 , K = F2 hoặc K = F3 .
Do đó H = PSLn ( K ) .
Theo một định lý nổi tiếng của Wedderburn thì mọi vành chia hữu hạn đều là
trường. Bây giờ ta xét K là trường hữu hạn. Ký hiệu GL(n, q ) , SL(n, q ) và PSL(n, q )
tương ứng là các nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt và nhóm tuyến
tính xạ ảnh unimodular bậc n trên trường hữu hạn K = Fq gồm q phần tử.
Định lý 1.4.13:
n

i)

Cấp của GL(n,q) là q n ( n −1)/2 ∏ (q i − 1) .

ii)

Cấp của SL(n,q) là q n ( n −1)/2 ∏ (q i − 1) .

i =1

n

i =2

iii) Cấp của PSL(n,q) là

1 n ( n −1)/2 n i

q
∏ (q − 1) , trong đó d là ước chung lớn nhất của
i =2
d

n và q-1.
Chứng minh.
(i) Gọi V là không gian vectơ n chiều trên Fq, {e1,…, en} là cơ sở của V và

σ ∈ GL(V ) . Đặt
=
ei' σ (ei ), ∀1 ≤ i ≤ n .
22


Khi đó, {e1' ,..., en' } cũng là một cơ sở của V. Phần tử ei' có thể được chọn bất kỳ từ

q n − 1 phần tử khác 0 của V. Giả sử ta đã chọn được những vectơ e1' ,..., ei' (i < n) . Các
vec tơ này sinh ra một không gian con số chiều i, nên gồm q i phần tử. Ta có thể chọn
bất kỳ một vec tơ nào nằm ngoài không gian con này để làm vec tơ ei'+1 . Có q n − q i
khả năng chọn như vậy. Vậy, tổng các khả năng để chọn bộ các vec tơ {e1' ,..., en' } là

(q − 1)(q − q )...(q =
−q ) q
n

n

n −1

n

n ( n −1)/2

n

∏ (q

n

− 1).

i =1

Hiển nhiên đây chính là cấp của GL(n,q).
(ii) Đặt K=Fq .Rõ ràng SL(n,q) là nhân của toàn cấu

det : GL(n, q) → K * .
Do đó
SL(n, q )
=

n
GL(n, q ) GL(n, q )
n ( n −1)/2
q
(q i − 1) .
=
=
∏

*
K
q −1
i =2

(iii) Mỗi phần tử thuộc tâm của SL(n,q) đều có dạng [α,…, α], với α ∈ K * thỏa

α n = 1. Do đó cấp của Z(SL(n,q)) bằng số nghiệm của phương trình Xn=1 trong K*.
Trước hết nhận xét rằng K * = q − 1 nên ∀x ∈ K * , x q −1 =1 . Do đó đa thức X q −1 phân rã
thành những nhân tử tuyến tính khác nhau trên K. Đặt=
d (n, q − 1) là ước chung lớn
nhất của n và q-1. Khi đó, tồn tại các số nguyên r và s sao cho d=nr + (q-1).s. Từ đây

1 αn =
1.
suy ra α d =⇔
Vậy, thay vì tìm số các nghiệm khác nhau của phương trình Xn=1 trong K*, ta tìm số
các nghiệm khác nhau của phương trình α d = 1 trong K*. Đa thức X q −1 -1 có q-1
nghiệm khác nhau trong K* nên X d − 1 (là ước của X q −1 -1) cũng phải có d nghiệm
khác nhau trong K*. Do đó, Z ( SL(n, q )) = d suy ra

23