Độ dài của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p) luận văn thạc sỹ toán học

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN

HỒ VĂN NGỌC

ĐỘ DÀI CỦA BIỂU DIỄN NỬA NHĨM ĐỐI VỚI
NHĨM TUYẾN TÍNH ĐẶC BIỆT XẠ ẢNH PSL(2;p)

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Vinh 2011


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC

……………………………………………….……. ……… 1

LỜI NÓI ĐẦU ………………………………………………………………2
Chương 1. Biểu diễn nửa nhóm…………………………………………... 4
1.1. Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do …………………………………..…4
1.2. Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm…………………….………12
Chương 2. Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với
nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p)……………...…...18
2.1. Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trường hữu hạn PSL(n,p)…….18
2.2. Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm PSL(2,p)……22
KẾT LUẬN ……………………………………………………..…………31

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………….……32


3

MỞ ĐẦU
Một biểu diễn nửa nhóm là một tập hợp sắp thứ tự <A| ℜ >, trong đó A là
một bảng chữ cái và ℜ là một quan hệ trên A+- nửa nhóm tự do trên A. Một
nửa nhóm S được gọi là xác định được bởi biểu diễn nửa nhóm <A| ℜ > nếu
S ≅ A+/ρ, trong đó ρ là tương đẳng trên A+ được sinh bởi quan hệ ℜ , kí hiệu
S= <A| ℜ >.
Cho trước một quan hệ nửa nhóm (r,s) ∈ ℜ . Trong đó r = a1a2…am và
s = b1b2…bn với ai ∈ A và bi ∈ B, khi đó độ dài của (r,s) sẽ là m + n và được
kí hiệu bởi |(r,s)|. Độ dài của biểu diễn nửa nhóm <A|R> sẽ là Σ|<r,s>|, với
(r,s) ∈ ℜ .
Giả sử G là một nhóm, khi đó trước hết G là một nửa nhóm nên ta có thể
xét các biểu diễn nửa nhóm <A| ℜ > của G. Nếu G là nhóm hữu hạn, ta có thể
chọn A và ℜ hữu hạn và khi đó biểu diễn G = <A| ℜ > của G là biểu diễn
hữu hạn. Nhờ tính chất đặc biệt của G (G là một nhóm và G hữu hạn ) có thể
tìm được các biểu diễn của G một cách tường minh.
Bài tốn tìm biểu diễn nửa nhóm hữu hạn <A| ℜ > của nhóm hữu hạn G
đã được một số tác giả nghiên cứu.
Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo ”On the minimal length of
semigroup presentation ) của hai tác giả C.M.Campbell và P.P.Campell đăng
trên tạp chí Novi Sad.J.Math năm 2004 (xem [7]) để tìm hiểu độ dài cực tiểu
của biểu diễn nửa nhóm của nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2, p).
Luận văn gồm hai chương:

Chương 1. Biểu diễn nửa nhóm.
Trong chương này chúng tơi hệ thống lại các kiến thức liên quan đến nửa

nhóm tự do, vị nhóm tự do và biểu diễn nửa nhóm, biểu diễn vị nhóm để làm
cơ sở cho việc trình bày chương sau.


4

Chương 2. Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối
với nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(2;p)
Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày nhóm tuyến tính đặc
biệt xạ ảnh trên trường hữu hạn PSL(n, p) sau đó chúng tơi xét đến độ dài cực
tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với nhóm PSL(2;p).
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Quốc Hán,
người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa đào tạo sau
Đại học, các thầy, cô giáo trong Khoa và Bộ môn Đại số đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu
sót, chúng tơi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các
thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả


5

CHƯƠNG 1. BIỂU DIỄN NỬA NHĨM
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản của lý
thuyết nửa nhóm và vị nhóm có sử dụng trong luận văn.

1.1. Nửa nhóm tự do.Vị nhóm tự do
Tiết này trình bày nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do.

1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S được
gọi là sinh ra S một cách tự do nếu S = <X>S và mỗi ánh xạ α o : X → P (trong
đó P là nửa nhóm bất kì) có thể mở rộng thành một đồng cấu
α o : S → P sao cho α

X

=α .
o

Khi đó ta nói rằng α là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ α o .
Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự
do.

1.1.2. Ví dụ
1. (N*, +) là nửa nhóm tự do với x = {1} là tập sinh tự do của nó.
Nếu α o : X → P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa α : N * → P bởi α(n) = α0(1)n.
Khi đó α X = α o và α là đồng cấu, vì :
α(m+n) = α0(1)m+n = α0(1)m .α0(1)n = α(m). α(n).
2. (N*, .) khơng phải là nửa nhóm tự do.
Thật vậy : Giả sử X ⊆ N*, chọn P = (N*,+) và giả sử α0 (n) = n , ∀n∈X.
Nếu α : (N*, .) → P là một đồng cấu thì α0(n) = α0(1.n) = α(1) + α(n) và do
đó α(1) = 0∉(P). Như vậy α khơng phải là mở rộng của α0.

1.1.3. Định lí. Nếu S được sinh ra tự do bởi X và

α o : X → P là một ánh xạ,

thì α0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất α :S → P.
Chứng minh.Theo định nghĩa, mỗi α0 có một mở rộng.


6

Giả sử α : S → P và β : S → P là các mở rộng đồng cấu của α0. Khi đó với
mọi x∈S, x = x1x2….xn với các phần tử xi ∈ X nào đó, vì X sinh ra S. Thế thì
α(x) = α(x1) α(x2)…α(xn) = α0(x1) α0(x2)…α0(xn) = β(x1) β(x2)…β(xn) =
β(x1x2…xn) = β(x) và do đó α = β.

1.1.4. Định lí. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa
nhóm các từ A+ với một bảng chữ cái A+ nào đó.
Chứng minh. Giả sử S được sinh ra tự do bởi tập con X ⊆ S và A là một bảng
chữ cái với |A| = |X|. Khi đó tồn tại song ánh ψ o : A → X . Vì A sinh ra A+ một
cách tự do nên tồn tại một mở rộng tồn cấu ψ : A+ → S .
Vì ψ o−1 : X → A cũng là song ánh và S được sinh tự do bởi X nên ψ o−1 có một
mở rộng tồn cấu thỏa mãn điều kiện:
−
βψ A = βψ o = ( β / X )ψ o = ψ o 1ψ o = iA .

Vì iA : A → A được mở rộng một cách duy nhất tới đẳng cấu đồng nhất
iA+ : A+ → A+ nên βψ = iA+ . Vì βψ = iA+ là song ánh nên ψ đơn ánh và do đó ψ

là song ánh. Từ đó ψ là một đẳng cấu.
Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một đẳng cấu ψ : A+ → S . Khi đó s = ψ ( A)

S

và ψ có một ánh xạ ngược ψ-1 :S → A+ cũng là đẳng cấu. Xác định ánh xạ
ψ o =ψ

A

và X = ψ ( A).

Giả sử P là một nửa nhóm tùy ý và α o : X → P là một ánh xạ bất kì. Thế thì
ánh xạ α oψ o : A → P mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu γ : A+ → P .
Xét ánh xạ β = γψ −1 : S → P. Đó là một đồng cấu vì ψ −1 và γ là những đồng
cấu. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X, β (x) = γ (ψ −1 (x)) = α oψ oψ o−1 (x) = α o (x) và do đó
β

X

= α o , nghĩa là β mở rộng một đồng cấu của α0. Theo định nghĩa S được

sinh tự do bởi X.

1.1.5. Hệ quả


7

i) Nếu S được sinh ra tự do bởi một tập con X thì S ≅ A+ và |A| = |X|
ii) Nếu S và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y sao cho |
X| = |Y| thì S ≅ R .

1.1.6. Hệ quả. Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ước.
Chứng minh. Suy ra từ luật giản ước có trong A+.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil –
Jacotin về nửa nhóm tự do dựa trên sự nhân tử hóa các phấn tử của nó.
Giả sử X ⊆ S. Chúng ta nói rằng x = x1x2…xn là một sự phân tích thành
nhân tử x trên X nếu mỗi xi ∈ X, i = 1,2,…, n. Nếu X sinh ra S thì mỗi phần tử
x ∈ S có một nhân tử hóa trên X. Nói chung sự phân tích đó khơng duy nhất,
nghĩa là có thể xảy ra x 1x2….xn = y1y2…yn với xi ∈ X , yj ∈ X và xk ≠yk nào
đó.

1.1.7. Định lí. Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi
phần tử x thuộc S có sự nhân tử hóa duy nhất trên X.
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lí 1.1.7 được
thỏa mãn với nửa nhóm A+.
Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho |A| = |X| và α0: X  A là một song
ánh. Giả thiết rằng X sinh ra S.
Giả sử x = x1x2…xn = y1y2…ym là hai sự nhân tử hóa x trên X và α là mở
rộng đồng cấu của α0 thì α(x) = α0(x1) α0(x2)…α0(xn) = α0(y1) α0(y2)… α0(ym)
là hai sự nhân tử hóa của α(x) trên A. Vì A+ thỏa mãn khẳng định của định lí,
nên ta phải có α0(xi) = α0(yi) với ∀i = 1, 2,….,n. (và m = n).
Vì α0 là song ánh nên xi = yi, với i = 1, 2,…, n. Và như vậy S thỏa mãn khẳng
định của Định lí 1.1.7.
Giả sử S thỏa mãn điều kiện duy nhất kí hiệu β o = α o−1 và giả sử β : A+ → S
là mở rộng đồng cấu của β0. Khi đó β là tồn ánh (vì X sinh ra S ) và là đơn


8

ánh ( vì nếu β(u) = β(v) với u,v ∈A+, u ≠v nào đó thì β(u) có hai cách nhân tử
hóa khác nhau trên X : trái giả thiết). Vậy β là một song ánh và do đó là một
đẳng cấu.

1.1.8. Định nghĩa. Đối với mỗi nửa nhóm S, tập con
B(S) = S\S2 = {x ∈ S | ∀y, z ∈ S : x ≠ yz } được gọi là cơ sở của S.
Từ định nghĩa suy ra rằng mỗi phần tử x∈S nằm trong B(S) nếu và chỉ nếu
x khơng biểu diễn được thành tích của hai phần tử tùy ý thuộc S.
Kết quả sau đây thuộc về Lévi – Dubreil – Jacotin .

1.1.9. Định lí. Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B(S) sinh ra S một cách
tự do.
Chứng minh. Đặt X = B(S). Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là nửa
nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1. Giả sử S là nửa nhóm tự do. Ta chứng minh
X sinh ra S một cách tự do.Trước hết, ta chú ý rằng X là tập con của S khơng
có ước nào thuộc S, thế thì X ≠φ và X sinh ra S.Thật vậy, giả sử a = bc trong
đó b,c ∈X hoặc a = xyz…hoặc q trình đó sẽ kết thúc và ta thu được biểu
diễn của a dưới dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi số n lớn tùy ý sẽ
tồn tại các phần tử a1,a2…an ∈S sao cho a = a1a2…an. Nếu a = a1a2…an thì
a1,a1a2, a1a2a3,…, a1a2…an-1 là các ước bên trái của a, chúng đều khác nhau cả
vì trong nửa nhóm tự do có luật giản ước và khơng có lũy đẳng. Vì n có thể
lớn tùy ý nên mâu thuẫn với Định lí 1.1.4 và định nghĩa nửa nhóm các từ. Vậy
X sinh ra S.
Giả sử x 1x2…xn = y1y2…ym trong đó xi, yj ∈ X đặt x2…xn = x và y2…ym =
y thì x1x = y1y nên hoặc x1 = y1 hoặc x1,y1 có ước. Khả năng thứ hai khơng
xảy ra theo định nghĩa của X. Bây giờ tương tự thu được x 2 = y2 và tiếp tục
q trình đó khơng quá max{n, m} bước, ta đi tới n = m và x i = yi với i=1,2,…


9

n. Như vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng
tích các phần tử thuộc X. Do đó S được sinh ra tự do bởi X.

1.1.10. Ví dụ
1.Giả sử A = {a, b, c} là một bảng chữ cái. Các từ ab, bab, ba sinh ra một nửa
nhóm con của nửa nhóm các từ A+. Nửa nhóm S = ab, ba, bab

A+

khơng tự do,

vì phần tử w = babab có hai cách nhân tử hóa khác nhau trong S:
w = ba.bab = bab.ab.
2.Giả sử A = {a, b, c} và T = ab, ba, bab

A+

. Khi đó T là nửa nhóm con tự do

của A+ .Thật vậy nếu tồn tại hai cách nhân tử hóa w = u 1 u2…un = v1 v2 …vm
của một từ w thuộc T, thì hoặc u 1 = v1 (và do tính giản ước sẽ có một từ ngắn
hơn với hai cách nhân tử hóa khác nhau: u2…un = v2 …vm) hoặc u1 = aa và v =
abb (hoặc do đối xứng, u1 = aab và v1 = aa). Nhưng, trong trường hợp này
khơng thể tìm được u2, bởi u2 nếu có phải bắt đầu bằng chữ cái b.

1.1.11. Định nghĩa. Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do
bởi một tập con X với 1 ∉ X nếu X ∪ {1} là một tập sinh của M và mỗi ánh
xạ α o : X → P (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng được thành một đồng cấu
vị nhóm duy nhất α : M → P , nghĩa là α

X

= α o và α (1M ) = 1P .

1.1.12. Định lí. Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S1 là vị nhóm tự do và
ngược lại.

1.1.13. Hệ quả. Vị nhóm từ A* là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái A.
1.1.14. Định lí. Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M\{1} là
nửa nhóm tự do.
Chứng minh. Đối với điều kiện ngược lại, tập con M\{1} là nửa nhóm con của
M. Điều đó được thỏa mãn,vì nếu khơng 1M sẽ có hai cách nhân tử hóa khác


10

nhau. Phần cịn lại của khẳng định trong định lí được suy ra từ định nghĩa
1.1.11.
Ngoài những kết quả tương tự như nửa nhóm tự do, ta cịn có một số kết
quả khác sau đây.

1.1.15. Định lí
i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu mỗi x ∈ M\{1} có một
sự nhân tử hóa duy nhất trên X.
ii) Mỗi vị nhóm tự do là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A* với bảng
chữa cái A chọn thích hợp.
iii) Một vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị nhóm các từ A*
với bảng chữ cái A nào đó.

1.1.16. Định nghĩa. Đối với mỗi tập con X ⊆ A* của các từ chúng ta kí
+
hiệu X = X

A∗

là nửa nhóm con mà X sinh ra trong vị nhóm các từ A * nghĩa

là X+ gồm tất cả các tích của các từ nhóm trong X.
∗
+
Cũng như vậy, vị nhóm tương ứng kí hiệu là X = X ∪ { 1} . Chú ý rằng nếu

1 ∈ X thì X ∗ = X + .

Nếu w ∈ A∗ là một từ thì ta viết w* thay cho {w}*
Giả sử u,v ∈A+. Thế thì u được gọi là một nhân tử của v nếu v = w1uw2 với
các từ w1, w2 nào đó thuộc A*; u được gọi là tiền tố (hậu tố) của v nếu v ≡ u.w
(hay tương ứng v ≡ w.u ) với w ∈ A∗ nào đó.
Độ dài |w| của từ w ∈ A* là số chữ cái có trong w; nếu w = a 1,a2,…aa với
ai ∈ A thì w = n . Độ dài của từ rỗng được qui ước bằng không.

1.1.17. Bổ đề. Nếu u1u2 = v1v2 trong A* thì hoặc u1 là tiền tố của v1 hoặc v1 là
tiền tố của u1, nghĩa là tồn tại một từ w ∈ A* sao cho u1 = v1w hoặc v1 = u1w.
Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị nhóm
con của vị nhóm các từ. Đối với một vị nhóm con M của A * chúng ta sẽ sử


11

dụng kí hiệu M+ = M\{1}. Khi đó M+ là một nửa nhóm con của A +, vì từ rỗng
khơng thể là tích của hai từ khác từ rỗng. Cơ sở của M, B(M) = M +\M2+ là cơ
sở của nửa nhóm M+. Nhớ rằng đơn vị (từ rỗng) là đơn vị của chính vị nhóm
con M. Cơ sở của vị nhóm tự do được gọi là mã.

Một vị nhóm con của vị nhóm các từ A*khơng nhất thiết tự do.

1.1.18. Bổ đề. Đối với mọi vị nhóm con M của A* cơ sở B(M) là tập sinh tối
tiểu duy nhất của M (xét như một vị nhóm), nghĩa là nếu N là một tập con sinh
ra M thì B(M) ⊆ N.
Chứng minh. Để chứng tỏ rằng B(M) sinh ra M, ta giả thiết rằng trái lại có
một từ w ∈ M khơng biểu diễn được thành tích các từ thuộc B(M). Giả thiết
rằng w là từ ngắn nhất sao cho w ∈ M+ nhưng w ∉ B( M ) + . Vì w ∉ B(M) nên
tồn tại hai từ u, v ∈ M + sao cho w = u.v. Vì u, v ngắn hơn w nên từ cách xác
định của w, có u, v ∈ B(M)+. Nhưng khi đó uv ∈ B(M)+, hay w ∈ B(M)+:
mâu thuẩn.
Giả sử N là một tập con sinh ra M. Khi đó với mọi u ∈ B(M) ,u ∈ N*= M
nhưng u không phải là tích của hai hay nhiều hơn hai từ thuộc M nên u ∈ N.
Do đó B(M) ⊆ N.
Kết quả sau đây thuộc về M. P. Schutzenberger (1955)

1.1.19 Định lí. Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A+. Thế thì
M tự do nếu và chỉ nếu : u, v , uw, wv ∈ M ⇒ w ∈ M .
Chứng minh. Giả sử M tự do, w∈A* là một từ nào đó có u,v ∈ M sao cho uw,
wv ∈ M. Giả sử u = u1…uk, uw = v1…vt, wv = uk+1…uk+r và v = vt+1…vt+s,
trong mọi ui, vj ∈ X, với X = B(M). Khi đó uwv = u 1…ukuk+1…uk+r = v1…
vtvt+1...vt+s. Vì M được sinh tự do bởi X nên k + r = t + s, u i = vi với i = 1, 2,…
k + r. Từ đó w = uk+1…ut vì ( k ≤ t ) nên w∈ M .


12

Giả sử điều kiện trên có hiệu lực đối với M. Giả sử tồn tại một từ có hai sự
nhân tử hóa khác nhau trên X : u1u2….un = v1v2…vm (ui; vj ∈ X ). Có thể giả
thiết rằng u1≠v1, vì nếu ngược lại ta có u2….un = v2…vm, thế thì hoặc u1 là một

tiền tố của v1 hoặc v1 là một tiền tố của u1. Giả sử rằng v1 = u1w (trong trường
hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối xứng). Khi đó v 1w ∈ M
và u2u3….un = wv2v3…vm (do A* có luật giản ước). Theo giả thiết w ∈ M
nhưng điều đó mâu thuẫn vì v1 = u1w ∈B(M).Vậy M tự do.

1.1.20.Định lí. Giả sử {Mi/i∈I} là một họ các vị nhóm con tự do của A*.Khi
đó M =

IM
i∈I

i

cũng là vị nhóm con tự do của A*.

Chứng minh. Rõ ràng M là vị nhóm con của A*. Giả sử u, v, uw, vw ∈ M, thế
thì u, v, uw, vw ∈ M i, với mọi i ∈ I. Do đó w ∈ M i, ∀i ∈ I theo Định lí
1.1.19 suy ra w ∈ IM i = M. Lại theo Định lí 1.1.19, M là vị nhóm con tự do
i∈I
của A*.
Giả sử X ⊆ A* là một tập hợp con tùy ý, thế thì

I

{M|M là vị nhóm con

của A*, X ⊆ M } là một vị nhóm con của A *. Rõ ràng nó là vị nhóm con tự do
nhỏ nhất của A* chứa X. Cơ sở của giao này được gọi là bao tự do của X và
được kí hiệu là F(X). Nói riêng X* ⊆ F(X)* vì X* là một vị nhóm con và X ⊆
F(X)* .

1.1.21. Định lí khuyết. Giả sử X ⊆ A* là một tập con hữu hạn các từ, và
F(X) là bao tự do của nó. Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không phải
là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì |F(x)| ≤ |X| -1.
Chứng minh. Vì X ⊆ F(x)* nên mỗi từ u ∈ X* được viết một cách duy nhất
dưới dạng u = w1w2…wk với wi ∈ F(x). Giả sử α: X F(X) là một song ánh
sao cho α(u) = w1, nếu u ∈ w1.F(x)*. Giả thiết rằng X* khơng tự do, khi đó
tồn tại một từ w ∈ X* có hai cách nhân tử hóa trên X : w = u 1u2…un = v1v2…


13

vm (ui; vj ∈ X ), trong đó u1≠v1 (nếu u1 = v1 thì có một từ ngắn hơn u2…un với
hai cách nhân tử hóa khác nhau trên X). Thế thì α(u1) = α(v1) và như vậy α
khơng phải là đơn ánh. (Nếu α(u1) ≠ α(v1) thì từ w sẽ có hai cách nhân tử hóa
khác nhau trên F(X), mâu thuẫn với F(X)* là vị nhóm con tự do).
Bây giờ ta chỉ ra rằng α là toàn ánh, giả sử ngược lại rằng tồn tại một từ w
∈ F(X) sao cho α (u) ≠ w, với tất cả u ∈ X. Giả sử Y = (f(x)\ {w }). w*.
Khi đó X ⊆ Y* thế thì Y* tự do, vì nếu u1u2…un = v1v2…vr (ui; vj ∈ Y) trong
đó ui = y1k

i

và vj = zj w t với yi, zj ∈ F(X)\ {w} và ki, tj ≥ 0 thì
j

y1wk1 y2 wk2 ... ym wkm = z1wt1 z2 wt2 ...z r wtr và ( F(X)* tự do ) y1 = z1, k1 = t1, ym = zm, km

= tm và m = r. Nhưng khi đó ui = vi với mọi i và do đó Y* tự do.
Ta có X ⊆ Y* nhưng Y* ⊆ F(X)*, mâu thuẫn với tính cực tiểu của F(X) với

tư cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X. Điều đó kéo theo α là tồn
ánh. Vì α khơng phải là đơn ánh nên | F(X) | < | α(X) | < | X |, do đó
| F(X) | ≤ |X| - 1.

1.1.22. Định nghĩa. i) Một từ w ∈ A+ được gọi là ngun thủy nếu nó
khơng phải là lũy thừa của một từ khác, nghĩa là nếu w = u k thì k = 1, và u =
w.
ii) Hai từ u,v ∈A+ được gọi là liên hợp với nhau, nếu tồn tại các từ w 1,w2 ∈ A*
sao cho u = w1w2, v = w2w1.

1.1.23. Hệ quả. Mỗi từ u ∈ A+ là lũy thừa của một từ nguyên thủy duy nhất.
Chứng minh. Giả thiết rằng w = un = vm với các từ u,v ∈A+ nào đó, u ≠ v và
với các số nguyên m, n ≥1 nào đó. Thế thì tập hợp X = {u, v} khơng phải là
mã, vì có hai sự nhân tử hóa khác nhau trên X. Theo Định lí khuyết có | F(x) |
< | X | và do đó F(x) = {z} với một từ z ∈ A* nào đó, nhưng điều đó có nghĩa
là u, v ∈ Z* và do đó v = zs, u = zr. Nếu u, v nguyên thủy thì r = s = 1 và u = v.


14

1.1.24. Hệ quả. Hai từ u, v ∈ A* giao hoán được với nhau nếu và chỉ nếu
chúng là lũy thừa của cùng một từ.
Chứng minh. Vì uv = vu nên X = {u, v} không phải là một mã và do đó
| F(x) |< |X| = 2 nên theo chứng minh Hệ quả 1.1.23 ta có u và v là lũy thừa
của một từ z chung nào đó.

1.2. Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó tồn tại một toàn cấu
+

ψ : A+ → S với một nửa nhóm các từ A + nào đó. Thế thì S ≅ A ker(ψ ) . Khi đó
ψ được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S.
Các chữ cái trong A được gọi là các kí hiệu sinh của S, và nếu (u,v) ∈
ker(ψ) thì u = v được gọi là một hệ thức hay đẳng thức trong S.
Như vậy,
Một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh A = {a1, a2…} và các hệ thức

ℜ = {ui = vi / i∈ I}, và viết S =

a1 , a2 ,... / ui = vi (i ∈ I ) hay S = A ℜ nếu ker(ψ)

là tương đẳng nhỏ nhất của A+ chứa các hệ thức {(ui, vi) | i∈ I}.
Nói riêng ψ(ui) = ψ(vi) đối với tất cả các ui = vi trong ℜ .
Tập hợp ℜ các hệ thức được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu u =
v trong ℜ thì v = u cũng được thỏa mãn.
Cần nhớ rằng các từ w ∈ A+ không phải là các phần tử của S nhưng được
ánh xạ vào S. Chúng ta nói rằng một từ w ∈ A+ biểu diễn phần tử ψ(w) của S.
Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau
(bởi các từ khác nhau). Nếu ψ(u) = ψ(v) thì hai từ u, v biểu diễn cùng một
phần tử của S.
Giả sử S = A ℜ là một biểu diễn. Ta chỉ ra rằng có một hệ thức u = v
(nghĩa là ψ(u) = ψ(v) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy u = u 1u2u3…, uk = u các


15

từ sao cho ui+1 nhận được từ ui bằng cách thay thế nhân tử ui bởi vi đối với ui =
vi nào đó trong ℜ .
Chính xác hơn, ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ một từ u nếu
u ≡ w1u’w2 và v ≡ w1v’w2 với u’ = v’ nào đó trong ℜ .

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v (vì ℜ đối
xứng) và ψ(u) = ψ(w1) ψ(u’) ψ(w2) = ψ(w1) ψ(v’) ψ(w2) = ψ(v), nên u = v là
một hệ thức trong S.
Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u ≡ u1, u2,…,
uk = v sao cho với mọi j = 1,2,…,k-1; u j+1 là dẫn xuất trực tiếp từ u j. Thế thì
nếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có ψ(u) = ψ(v), vì ψ(u) = ψ(u1) = ψ(u2) =…=
ψ(uk-1) ψ(uk) = ψ(v) và do đó u = v là một hệ thức trong S. Nó có thể viết
thành
u ≡ u1 = u2 = …= uk ≡ v.

1.2.2. Định lí. Giả sử S =

A ℜ là một biểu diễn, với

ℜ đối xứng.Thế thì

ℜ C = {(u,v) / u = v hay v được dẫn xuất từ u}. Do đó u = v trong S nếu và chỉ
nếu v được dẫn xuất từ u.
Chứng minh. Kí hiệu ρ là quan hệ xác định bởi u ρ v nếu và chỉ nếu u = v
hoặc v được dẫn xuất từ u.
Rõ ràng i ⊆ ρ nên ρ phản xạ. Vì ℜ đối xứng nếu ρ đối xứng. Tính bắc
cầu của ρ là hiển nhiên. Vậy ρ là quan hệ tương đương.
Nếu w ∈ A+ và v được dẫn xuất từ u thì wv cũng được dẫn xuất từ wu và
vw được xuất từ uw. Vậy ρ là một tương đẳng.
Giả sử θ là một tương đẳng sao cho ℜ ⊆ θ. Giả thiết rằng v được dẫn
xuất trực tiếp bởi u : u = w1u’w2 , v = w1u’w2 và u’ = v’ trong ℜ .


16

Vì ℜ ⊆ θ nên (u’,v’) ∈ θ. Vì θ là một tương đẳng nên (w 1u’w2, w1u’w2)∈
θ hay (v,u) ∈ θ. Do đó nhờ tính bắc cầu của ρ và θ, có ρ ⊆ θ và như vậy ρ
là tương đẳng nhỏ nhất chứa ℜ , nghĩa là ℜ C = ρ .

1.2.3. Định lí. Giả sử A là một bảng chữ cái và ℜ ⊆ A+

x A+ là một quan

+
hệ đối xứng. Thế thì nửa nhóm S = A ℜC có biểu diễn

S = A | u = v với mọi (u, v) ∈ R
Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau.

1.2.4. Ví dụ. 1. Xét biểu diễn nửa nhóm sau:
S = < a,b |aa = ab,ba = aab,bbb = aba >
Trong biểu diễn này ta có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định.
S có một đẳng thức baabbaa = bbaaba, vì
u1 = baabbaa = b. aab. baa = b. ba. baa = u2
và u2 = bbabaa = bba. ba.a = bba. aba. a = bbaaab
Cũng như vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab trong S, và do đó
aaab = bab trong S.
2. Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ có tập hệ xác định là tập rỗng:
A+ = A φ .
Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm ) đều có biểu diễn.
Thật vậy, S = <A|ker(ψ)> là một biểu diễn, trong đó ψ : A+ S là tồn cấu
biểu diễn.Tuy nhiên nói chung biểu diễn này rất phức tạp. Chúng ta sẽ quan
tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn
S = A ℜ , trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và ℜ là một tập hữu hạn
các hệ thức.

17

Ở trên ta đã nói tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn ( Với tư cách là
một nửa nhóm). Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng các biểu diễn vị nhóm
mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị.

1.2.5. Định nghĩa. M =

a1 , a2 ,... | ui = vi (i ∈ I ) là một biểu diễn vị nhóm nếu

ui, vi ∈ A+, trong đó A = {a1,a2,…} là một bảng chữ cái. Trong biểu diễn vị
nhóm chúng ta có thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1, nghĩa là từ u có thể
bị xóa từ một từ khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái.

1.2.6. Ví dụ. 1. Giả sử A = <a, b|ab = ba> là một biểu diễn của vị nhóm M.
Thế thì M ≅ A ∗ ℜC trong đó A = {a,b} và ℜ = {ab = ba}. Có một tồn cấu
ψ : A* → M và M được sinh ra bởi các phần tử x = ψ(a) và y = ψ(b). Vị nhóm
M giao hốn, vì hệ thức ab = ba cho phép ta thay đổi vị trí của a và b. Nếu các
phần tử thuộc tập sinh của M giao hoán được với nhau thì M giao hốn. Do
đó ψ(a). ψ(b) = ψ(ab) = ψ(ba) = ψ(a)ψ(b) hay xy = yx. Hơn nữa, mỗi phần tử
z ∈ M có một dạng chuẩn.
Giả sử z = z1.z2…zn với zi = ψ(ai) (ai = a hoặc ai = b, thì z = ψ(a1) ψ(a2) …
ψ(an) = ψ(a1,a2…an) = ψ(akbm) =ψ(a) k ψ(b)

m

= xnym với m,k nào đó, (m≥0,

k≥0). Dó đó vị nhóm M là một vị nhóm giao hốn tự do, và có thể chỉ ra được
rằng mỗi vị nhóm giao hốn được sinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấu của M.
2. Biểu diễn vị nhóm M = < a, b|aba = 1> xác định một nhóm. Thực ra,
nhóm này đẳng cấu với (Z,+).
+

Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu diễn trên thì M ≅ A ℜC , trong
đó A = {a,b} và ℜ = {aba = 1} và giả sử ψ : A* M là toàn cấu tương ứng.
Thế thì M được sinh ra bởi các phần tử x = ψ(a) và y = ψ(b), hơn nữa ab = ba.
aba = aba.ba và do đó xy = yx. Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hốn.
Do đó mỗi phần tử z ∈ M có dạng z = ψ(ambn) với m≥ 0, n≥ 0 nào đó. Hơn


18

nữa a.ba =1 và ba.a = ab.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a, tương tự a2 là
nghịch đảo của b, b = (a,a) -1. Điều đó có nghĩa là tất cả các phần tử của M đều
có dạng z = ψ(ak) với k ∈ Z. Thế thì α : M  (Z,+) xác định bởi α(a) = -1 và
α(b) = 2 là một đẳng cấu.
3. Xác định hai ánh xạ α,β : N  N xác định bởi
khi n = 0
0
α ( n) = 
n − 1 khi n ≥ 0

; β (n) = n + 1, (n ≥ 0)

Xét vị nhóm bixyclic B = [α,β] được xác định bởi hai phép biến đổi ấy.
0

khi n = 0

Dễ thấy αβ = i và β α (n) = n − 1 khi n ≥ 0


k

k l
và từ đó β α (n) = n



khi n < k
khi n ≥ k

Giả sử A = {a,b} là một bảng chữ cái. Xác định đồng cấu ψ: A*  B bởi
ψ(a) = α, ψ(b) = β (bằng cách mở rộng tính chất ψ trở thành xác định duy
nhất bởi ảnh của các kí hiệu sinh a và b.Từ đó ψ là một toàn cấu và
B ≅ A∗

γ ∈ B là một
ker(ψ ) theo trên ab = 1 là một hệ thức trong B. Giả sử

phần tử tùy ý của vị nhóm bixyclic, γ = γ nγ n −1...γ 1 trong đó αi = α hoặc γ j = β.
Vì αβ = i nên có thể giả thiếu rằng γ j = β đối với chỉ số nào đó, thế thì γ t = β
đối với tất cả t thỏa mãn j ≤ t ≤ n. Điều đó chứng tỏ rằng γ = βkαm với k,
m ≥0, và từ đó
B = { β kα m / k , m ≥ 0 }. Hơn nữa, các phần tử này hoàn toàn khác nhau.
Nếu γ = βkαm và δ = βα s thì γ (o) = β kα m (o) = β k (o) = k
và δ (o) = β rα s (o) = β r (o) = r , và với n ≥ max{k , r}

có γ (n) = β kα m (n) = β k (n − m) = n − m − k
và δ (n) = β rα s (n) = β s ( n − s) = n − s − r . Do đó γ = δ chỉ trong
trường hợp k = r và m = s. Điều này có nghĩa là B = <a, b|ab = 1> chính là
một biểu diễn của vị nhóm.


19

Vị nhóm bixyclic có rất nhiều biểu diễn nửa nhóm. Chúng ta quan tâm đến
biểu diễn sau sau:
B = < a, b/aba = aab, a = aab,bab = abb, b = abb >

1.2.7. Định lí (Định lí Evans). Giả sử S là một nửa nhóm được sinh bởi một
tập đếm được. Thế thì S có thể nhúng được vào một nửa nhóm được sinh bởi
hai phần tử.

1.2.8. Định lí (Định lí Sierprinski). Giả sử α1, α2 …là các phép biến đổi của
tập hợp N*, khi đó tồn tại các phép biến đổi β1, β2 : N * → N * sao cho mỗi αi là
hợp thành từ hai phép biến đổi đó: αi ∈ [β1,β2].
Chứng minh.Ta định nghĩa Xn = {2n(2m-1)-1\m = 1,2,… }. Khi đó X n ∩ X m = φ
với mọi n ≠ m . Vì k ∈ Xn nếu và chỉ nếu n là lũy thừa cao nhất mà đối với nó
2n chia hết cho k + 1. Cũng như vậy,

UX

n

n ≥1

= 2 N + 1 và từ đó các tập X tạo

n

thành một sự phân hoạch của tập hợp tất cả các số nguyên dương lẻ. chẵn
Định nghĩa

β1 (n) = 2n, ( n ≥ 1 )
khi n chan
n − 1
β 2 ( n) = 
− ( k +1)
+ 2−1 ) khi n ∈ X k
α k (2

Thế thì với mọi k ≥ 1 , ta có
α k = β 22 β1k β 2 β1 vì
β 22 β1k β 2 β1 (n) = β 22 β1k β 2 (2n) = β 22 β1k (2n − 1)
= β 22 (2k (2n − 1) + 2−1 ) = β 2 (2k (2n − 1) − 1)
= α k (2− ( k +1) (2k (2n − 1) + 2 −1 )) = α k (2 −1 (2n − 1 + 1) = α k ( n).W


20

CHƯƠNG 2. ĐỘ DÀI CỰC TIỂU CỦA BIỂU
DIỄN NỬA NHÓM ĐỐI VỚI NHĨM TUYẾN
TÍNH ĐẶC BIỆT XẠ ẢNH PSL(2,P)
2.1. Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trên trường hữu
hạn PSL(n,p)
2.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trường, nhóm thương PSL(n, K) của
nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n, K) theo tâm của nó – nhóm các ma trận vơ
hướng - được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh:

21

PSL(n, k ) = SL(n, K )

C ( SL(n, K ))

Các nhóm này trên các trường hữu hạn đã được Jordan nghiên cứu từ rất
sớm (1870) và được nghiên cứu bởi Dickson vào năm 1958.
Các kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên.

2.1.2. Mệnh đề. Tập hàm phân tuyến tính
f ( x) =

ax + b
cx + d

với hệ số trên k và định thức ad - bc = 1 cùng với phép hợp thành tạo thành
một nhóm đẳng cấu với nhóm PSL(2,K).

2.1.3. Mệnh đề. Cấp của nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt PSL(n, q) bằng
n −1
1
∏ (q n − qi ),
d ( q − 1) i =0

trong đó q là ước chung của n và q -1.
Chú ý rằng mệnh đề 2.1.3 được suy ra trực tiếp từ cấp của SL(n, q) bằng
1 n −1 n

∏ (q − qi ), và cấp của C(SL(n, q)) bằng d.
q − 1 i=0

Trước khi chứng minh Định lí Jordan – Dickson, ta chứng minh kết quả
sau.

2.1.4. Bổ đề. Trong một trường K hữu hạn, phương trình x2 - y2 = a giải
được với mọi hệ số tự do thuộc K.
Chứng minh. Nếu trường K có đặc số 2 thế thì nó bao gồm tất cả các nghiệm
của phương trình z 2 − z = 0 , và do đó với mỗi a ∈ K đều chính phương. Nếu
m

đặc số của trường K khác 2, thế thì hệ phương trình x + y = a, x – y = 1 giải
được trong K. Nghiệm của nó chính là nghiệm của phương trình x2 - y2 = a.
Chú ý rằng , khi đặc số trường K khác 2, lập luận trên vẫn có hiệu lực đối với
trường K tuỳ ý ( không nhất thiết hữu hạn).


22

2.1.5. Định lí Jordan – Dickson. Đối với trường hữu hạn K tuỳ ý, nhóm
tuyến tính đặc biệt xạ ảnh PSL(n,K) đơn, trừ hai trường hợp: PSL(2,2) và
PSL(2,3).
Chứng minh. Trước hết xét trường hợp n = 2. Theo (3) các nhóm PSL(2, 2) và
PSL(2, 3) có cấp tương ứng bằng 6 và 12 do đó chúng khơng phải là nhóm
đơn (các nhóm cấp 6 hoặc đẳng cấu với (Z6, +) hoặc đẳng cấu với nhóm các
phép thế S3 do đó nhóm cấp 12 cũng khơng phải là nhóm đơn ).
Bây giờ ta giả sử K ≥ 4. Giả sử H là ước chuẩn của nhóm G = SL(2, K),
chứa tất cả các ma trận vô hướng ( ± e ) và ít nhất một ma trận a ( khơng phải
là ma trận vô hướng ). Chúng ta chứng tỏ rằng H = SL(2, K). với mỗi α ∈ K ,

kí hiệu tij (α ) = e + α eij trong đó e là ma trận đơn vị và eij là ma trận mà phần tử
dòng i, cột j bằng 1 cịn các phần tử khác đều bằng 0. Thế thì H chứa ma trận
t12 (λ ) với λ ≠ 0 nào đó. Thật vậy, trước hết giả sử a21 = 0 , nghĩa là
1
a = α

0



∗÷
÷
α÷


Nếu α 2 = 1 , thế thì tìm được ma trận t12 (λ ) trên đó chính là ma trận ± a .
2
Nếu α 2 ≠ 1 , thế thì có thể dùng giao hoán tử [ a, t12 ] = t12 (1 − α ) , trong đó tij là

ký hiệu của tij (1) .
Bây giờ giả sử a21 ≠ 0 với β khác không tuỳ ý thuộc K và * xác định đơn trị
ma trận
a β
b =  11
 a21β

∗ 
÷
−a11β 

thuộc SL(2, K) và bởi vậy H chứa ma trận
 1
c = −b aba =  β 2

 0

−1


∗ ÷
÷.
2÷
β 


23

Nếu K ≠ 5 , thế thì tồn tại β với điều kiện β 4 ≠ 1 do đó với tư cách truyền
ứng tìm được, lại có thể sử dụng giao hoán tử

[ e, t12 ] = t12 (1 − β 4 ) . Còn lại
2

trường hợp khi K = 5 . Chúng ta chọn β = 1 , khi đó c = t12 ( a (a11 + a22 )) . Nếu
21
xét ma trận

tra = a11 + a22 ≠ 0 thế thì c là truyền ứng t12 (λ ) cần tìm. Nếu

−1

bản thân tra = 0, thế thì cần thay thế a bằng ma trận a * =  a, t12  , khi đó


2
tra* = 2 + a21 ≠ 0 .

Bây giờ ta chứng minh nhóm con H chứa tất cả ma trận bắc cầu truyền
ứng, và do đó H = SL(2, K). Thật vậy, H chứa tất cả ma trận bắc cầu truyền
ứng t12 (*), bởi vì
1
ρ

0


−1


1
0÷
t (λ )  β
÷ 12

0
ρ÷




0÷

= t (λρ 2 )
÷ 12
ρ÷


t12 (λρ 2 )t12 (λσ 2 ) −1 = t12 (λ ( ρ 2 − σ 2 )).

Và ρ 2 − σ 2 chạy trên toàn bộ K với ρ , σ tuỳ ý. Cuối cùng
−1

 0 −1
 0 −1

÷ t12 (λ ) 
÷ = t21 ( −λ ) .
1 0 
1 0 

Do đó việc xét n = 2 kết thúc tại đây.
- Bây giờ ta xét trường hợp n ≥ 3 và K là một trường hợp tuỳ ý. Giả sử H là
nhóm con chuẩn tắc của SL(n, K), chứa tất cả các ma trận vô hướng và chứa
một ma trận a không phải là ma trận vô hướng nào đó. Cần chứng tỏ rằng H =
SL(n, K). Trong các tính tốn tiếp theo, mỗi ma trận w được viết dưới dạng
w=

∑w

e . Vì ma trận a khác ma trận vơ hướng, thế thì khơng giao hốn ít

rs rs

nhất với một ma trận tij . Thay thế chỉ số dòng và cột khi cần thiết, ta sẽ xem


24

rằng x = [ a, t21 ] ≠ e . Chúng ta sẽ ký hiệu y = a-1, khi đó tính tốn trực tiếp chứng

tỏ rằng

 ∗ y12 a12 K y12 a1n 

÷
M
M ÷
x=e-  M
∗ y a L y a ÷
n 2 12
n 2 1n 


- Nhóm con H chứa ma trận khác đơn vị dạng
 ∗ ∗ 

0÷
z =  ∗ ∗ ÷

÷
e÷
 *




Điều này là hiển nhiên, nếu a12 = ... = a1n = 0 . Giả sử a12 ≠ 0 chẳng hạn, khi đó
1

có thể dùng z = u −1 xu trong đó u = e − a

n

∑a e .

12 i =3

1i i

- Nhóm con H chứa ma trận khác đơn vị dạng
1

0
v=
*




0 0

÷
1 0 0÷

÷
* 1
÷
0
e÷


Thật thế:

[ z, t31 ] = e − ( z11 − 1)e31 − z13e32 ,
[ z, t32 ] = e − z21e31 − ( z22 − 1)e22 .
Nếu ít nhất một trong các giao hốn tử khác e, thì nó có thể dùng làm v.
Giả sử cả hai hốn tử bằng e.

Khi đó

0
 1


0÷
÷
z =  0
1

÷

 *



25

Nếu n =3 hay zi1 = zi 2 = 0 đối với tất cả i ≥ 4 , thế thì có thể dùng v = z .
Nếu chẳng hạn z41 , z42 khơng đồng thời bằng 0, thế thì v có thể lấy chính giao
[ z, t34 ] = e − z41e31 − z42e32 .
hốn tử
- Nhóm con H chứa ít nhất một ma trận truyền ứng bắc cầu.Thật vậy, nếu
v32 = 0 , thì có thể dùng chính v; nếu v32 ≠ 0 , thế thì có thể dùng
t21 (λ ) −1 vt21 (λ ) = e + (v31 + λ v32 )e31 + v32 e32

với λ thích hợp.

Cuối cùng, ta hãy chứng minh rằng nhóm con H chứa tất cả ma trận bắc
cầu truyền ứng và bởi vậy H = SL(n, K). Thật vậy,
f ik−1tij (λ ) f ik = tkj (λ )
f lj−1tkj (λ ) flj = tkl ( −λ )
dik ( µ ) −1 tij (λ )dik ( µ ) = tij (λµ ),

trong đó i, j, k, l đôi một khác nhau, fik = e − eii − ekk + eik − eki , dik ( µ ) là ma trận
đường chéo sao cho thành phần trên đường chéo ở dòng thứ i và thứ k là
1
, µ ≠ 0 cịn các phần tử cịn lại ( trên đường chéo ) bằng 1.
µ

W

Định lý được chứng minh.

2.2. Độ dài cực tiểu của biểu diễn nửa nhóm đối với
nhóm PSL(2, p)
2.2.1. Các định nghĩa. Giả sử A là một bảng chữ cái. Ký hiệu A+ là nửa
nhóm tự do trên A chứa tất cả các từ khơng rỗng trên A, và F(A) là nhóm tự
do của các từ đã được rút gọn trên A ∪ A−1 ∪ {ε } , trong đó A-1 là một bảng chữ
cái mà các phần tử của nó biểu diễn các phần tử của A và ε biểu diễn từ rỗng.
Một biểu diễn nửa nhóm là một cặp có thứ tự <A| ℜ >, trong đó ℜ ⊆ A+ x A+ .
Trong biểu diễn <A|R> ta gọi A là tập sinh và R là các hệ thức. Nếu cả hai A
và R hữu hạn, ta có một biểu diễn ( nửa nhóm ) hữu hạn.