nhóm siêu giải được hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chân Đức

NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Chân Đức

NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người
đã gợi mở đề tài mới, tận tình hướng dẫn và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực
hiện luận văn, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
1. Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy trong tổ Đại số, khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giảng dạy giúp tôi nâng cao trình độ chuyên
môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học.
2. Ban lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học trường đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
này.
3. Các bạn lớp Đại số khóa 22 đã luôn cùng tôi chia sẻ giải quyết các vấn đề trong
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và bạn bè đã luôn bên
cạnh, quan tâm và giúp đỡ tôi mọi mặt để hoàn thành tốt khóa học.

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN....................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 5
CHƯƠNG 2: NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC TIÊU CHUẨN NHÓM SIÊU GIẢI
ĐƯỢC HỮU HẠN ..................................................................................................... 19
2.1. Nhóm siêu giải được...................................................................................................19
2.2. Một số đặc trưng của nhóm siêu giải được hữu hạn ..............................................31
2.3. Tiêu chuẩn bổ sung để nhóm hữu hạn là siêu giải được ........................................40

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 48

2


BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Ký hiệu

Ý nghĩa

H ≤G

H là nhóm con của G

H
H là nhóm con thực sự của G

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của G

H char G

H là nhóm con đặc trưng của G

[ x, y ]

Hoán tử của x và y , được xác định [ x, y ] = x −1 y −1 xy

G ' = [G , G ]

Nhóm con các hoán tử của G (đạo nhóm của G)

H ×K

Tích trực tiếp của H và K

[G : H ]

Chỉ số của nhóm con H trong G

G

Cấp, lực lượng, số phần tử của G

Z (G )

Tâm của nhóm G

CG ( H )

Tâm hóa tử của H trong G

NG ( H )

Chuẩn hóa tử của H trong G.

H G , CoreG ( H )

Lõi của H trong G.

Aut (G )

Nhóm các tự đẳng cấu của G

φ (G )

Nhóm con Frattini của nhóm G

F (G )

Nhóm con Fitting của G

Hx

x −1Hx .

3


MỞ ĐẦU
Lý thuyết nhóm xuất hiện từ lâu như là một lĩnh vực quan trọng trong Toán học nói
chung và Đại số nói riêng. Sự ra đời của nó tạo nên một bước ngoặt lớn trong sự phát triển
của Đại số và có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết số, hình học, topo,…Một loạt các cấu
trúc nhóm ra đời như nhóm Aben, nhóm cyclic, nhóm polycyclic, nhóm giải được, nhóm
lũy linh,…Trong số đó, một lớp nhóm tựa như nhóm giải được, nhưng xây dựng dựa vào
một dãy các nhóm con chuẩn tắc, với mỗi nhân tử là nhóm cyclic đó là nhóm siêu giải được.
Nhóm siêu giải được hữu hạn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả cấu trúc
của nhóm hữu hạn. Đã có khá nhiều kết quả đẹp, thú vị về nhóm siêu giải được hữu hạn.

Các kết quả về nhóm siêu giải được hữu hạn đến nay vẫn còn là vấn đề thời sự và thu hút sự
chú ý của nhiều nhà Toán học. Chính vì vậy, tìm hiểu về tính chất các nhóm siêu giải được
hữu hạn, cũng như điều kiện đủ để một nhóm hữu hạn là siêu giải được vẫn là vấn đề cần
thiết trong lý thuyết nhóm. Luận văn nghiên cứu về nhóm siêu giải được, gồm hai chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Gồm các kiến thức cần thiết về nhóm con tối đại, tối tiểu, nhóm con đặc trưng, nhóm
con Sylow, nhóm giải được, nhóm lũy linh, nhóm con π − tựa chuẩn tắc, …cùng các kết
quả để phục vụ cho chương 2.
Chương 2. Nhóm siêu giải được – Tiêu chuẩn nhóm siêu giải được hữu hạn
Gồm 3 phần chính: Phần 2.1. Giới thiệu nhóm siêu giải được và các tính chất của nó
Phần 2.2. Giới thiệu một số đặc trưng, các tiểu chuẩn nhóm siêu giải được đã biết
Phần 2.3. Đưa ra một số tiêu chuẩn để một nhóm hữu hạn là siêu giải được.
Những tiểu chuẩn mới này dựa theo các bài báo [5],[6],[7] của Srinivasan và Asaad.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức, kỹ năng còn nhiều
hạn chế, nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, luận văn rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp quý báu của quý Thầy - Cô để được hoàn chỉnh hơn. Một lần nữa xin chân
thành cảm ơn quý Thầy – Cô.

4


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.

Nhóm con tối đại, nhóm con tối tiểu
Cho G là nhóm, H < G

H gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N ≤ G sao cho H < N < G .
H gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ 1 và không tồn tại K ≤ G sao cho 1 < K < H .
1.2.

Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn, H ≤ G . Nếu [G : H ] là một số nguyên tố thì H là nhóm con

tối đại của G.
1.3.

Định lý ([1, Định lý 3.6, trang 27],[3, Định lý 1.6.10, trang 36])
a) Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G. Kí hiệu L(G) là tập

hợp tất cả các nhóm con của G và L(H,G) là tập hợp tất cả các nhóm con của G chứa H. Khi
đó tương ứng S  S H là một song ánh từ L(H,G) và L( G H ). Hơn nữa, nếu kí hiệu
S * = S H và T * = T H với H ≤ S , T ≤ G thì

i) T ≤ S ⇔ T * ≤ S * và [ S : T ] =  S * : T * 
ii) T  S ⇔ T *  S * và S T  S * T *
b) Cho G là nhóm hữu hạn, p là ước nguyên tố nhỏ nhất của G và H ≤ G với

[G : H ] = p . Khi đó
1.4.

H G.

Định nghĩa (nhóm con chuẩn tắc tối đại, tối tiểu)
Cho G là nhóm, H  G .

i) H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H < G và không tồn tại N  G sao cho

H < N < G.
ii) H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H < G và không tồn tại K  G sao cho

1< K < H .

5


1.5.

Định lý
Nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cyclic là một nhóm Aben hữu hạn. Đặc biệt,

nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm cylic cấp p (với p là một số nguyên tố) là một nhóm
Aben cấp p − 1 .
1.6.

Định lý ([3, Định lý 1.3.13, trang 15])
Cho H, K là các nhóm con của nhóm G. Khi đó
=
HK

=
H,K
KH khi và chỉ khi

HK ≤ G .
1.7.

Định lý ([3, Định lý 1.4.4, 1.4.5 trang 19])
i) Cho G là nhóm, H , K  G . Khi đó H ∩ K  G và H H ∩ K ≅ HK K .
ii)

(G K ) ( H
1.8.

Cho

G

là

nhóm,

H,K  G ,

K⊂H .

Khi

đó

H K G K

và

K) ≅ G H .

Định nghĩa (Nhóm con đặc trưng) ([1, trang 43])
Cho G là nhóm, H ≤ G , H gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu với mọi

f ∈ Aut (G ) thì f ( H ) = H . Kí hiệu H char G.
1.9.

Định lý ([1, Mệnh đề 8.2, trang 43])
Cho G là nhóm và H , K ≤ G . Khi đó ta có

i) 1 char G, G char G.
ii) Nếu f ( H ) ≤ H , ∀f ∈ AutG thì H char G.
iii) Nếu H char G thì H  G .
iv) Nếu H char K, K char G thì H char G.
v) Nếu H char K, K  G thì H  G .
vi) Nếu H ≤ K ≤ G và H char G, K H char G H thì K char G.

6


1.10.

Định nghĩa ( Phần bù )
Cho G là nhóm, K , Q ≤ G . Q gọi là phần bù của K trong G nếu G = KQ và

K ∩Q =
1.
1.11.

Định lý ([3, 9.1.2, trang 253])
Nếu K là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G sao cho

([G : K ] , K ) = 1 thì K có phần bù

trong G.
1.12. p–nhóm, p–nhóm con Sylow, p–nhóm con Hall, nhóm con Hall

1.12.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố. Ta định nghĩa
i) G được gọi là p–nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p
ii) Nhóm con H của G được gọi là p–nhóm con của G nếu H là p–nhóm
iii) Nhóm con H của G được gọi là p–nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong
tập các p–nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
1.12.2. Định lý Sylow ([3, Định lý 1.6.16, trang 39])
Cho G là nhóm hữu hạn, p \ G là số nguyên tố. Khi đó
i) Luôn tồn tại p–nhóm con Sylow của G.
ii) Mọi p–nhóm con của G đều nằm trong một p–nhóm con Sylow nào đó.
iii) Nếu n là số các p–nhóm con Sylow của G thì n ≡ 1(mod p )
1.12.3. Hệ quả
Cho G là nhóm cấp mp n với (m, p ) = 1 , p là số nguyên tố. Khi đó
i) Với mỗi 0 ≤ k ≤ n , luôn tồn tại p–nhóm con P của G có cấp là p k .

7


n ≡ 1(mod p )
ii) Nếu n là số các p–nhóm con Sylow của G thì 
n \ m
iii) H là p–nhóm con Sylow duy nhất của G ⇔ H  G
1.12.4. Định nghĩa (ước Hall)
Cho k , n ∈  . Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k là ước của n và
 n
 k,  = 1.
 k

1.12.5. Định nghĩa (Nhóm con Hall)
Cho G là một nhóm hữu hạn. Một nhóm con H của G có cấp là một ước Hall của G được

gọi là một nhóm con Hall của G, (nghĩa là ( H , [G : H ]) = 1 ).
1.12.6. Định nghĩa ( π –nhóm, p–nhóm)
Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố. Khi đó, nếu n là số tự nhiên có tất cả
các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π − số. Đặt π ' là phần bù của π
trong tập hợp tất cả các số nguyên tố. Dễ thấy, nếu a là một π − số và b là một π '− số thì

( a, b) = 1 .
Nếu G là nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π − số thì G được gọi là một π −
nhóm.
Nhóm con H của G gọi là π –nhóm con của G nếu H là π –nhóm.
Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta kí hiệu p–số thay cho π − số và p '− số
thay cho p − số. Khi đó rõ ràng một π –nhóm chính là một p–nhóm.
1.12.7. Định nghĩa ( π –nhóm con Hall)
Cho G là một nhóm hữu hạn. Một π − nhóm con H của G thỏa mãn [G : H ] là một

π '− số được gọi là π − nhóm con Hall của G.

8


Nếu π là tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì π − nhóm con Hall của G chính là p–
nhóm con Hall của G.
1.12.8. Định lý ( Schur – Zassenhaus) ([3, Định lý 9.1.2, trang 253])
Cho N là nhóm con chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn G. Giả sử N = n và G N = m
là nguyên tố cùng nhau, khi đó G chứa nhóm con cấp m và hai nhóm con cấp m tùy ý của
G đều liên hợp nhau.
1.12.9.Định lý
Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại một nhóm con K của G sao
cho G H ≅ K .
Chứng minh.

Do H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G nên ( H , G H ) = 1 . Áp dụng Định lý
1.12.8 sẽ tồn tại nhóm con K của G sao cho=
K G
H
=

( H , K ) = 1 nên

G
nên K H = G . Vì
H

H ∩K =
{1} . Từ đó ta có G = HK . Mặt khác HK H ≅ K H ∩ K nên

G H≅K.

1.13. Định nghĩa (số mũ, nhóm p–đóng nghiêm ngặt)
i) Nhóm G gọi là nhóm có số mũ là n nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

g n = 1, ∀g ∈ G .
ii) Cho p là số nguyên tố. Nhóm G gọi là nhóm p–đóng nghiêm ngặt nếu tồn tại duy nhất H
là p–nhóm con Sylow của G và G H là nhóm Aben có số mũ là ước của p − 1 .
1.14.

Định nghĩa (Hoán tử)
Cho G là nhóm. Với g1 , g 2 ∈ G . Ta gọi [ g1 , g 2 ] = g1 g 2 g1−1 g 2−1 là một hoán tử của G.

Với g1 , g 2 ,..., g n ∈ G , ta có [ g1 , g 2 ,..., g n ] = [ g1 , g 2 ,..., g n −1 ] , g n  .

9


Nhóm con sinh bởi tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con hoán tử của G. Kí
hiệu G ' = [G , G ] .
Xem G (0) = G , G (1) = G ' . Ta định nghĩa quy nạp : G ( n ) = G ( n−1) , G ( n−1)  , ∀n ≥ 1 .
1.15. Định lý ([1, Định lý 2.16, trang 22])
i) G '  G
ii) Cho H  G . Khi đó G H là nhóm Aben khi và chỉ khi G ' ≤ H .
1.16. Định nghĩa (lõi, chuẩn hóa tử, tâm hóa tử)
Cho G là nhóm, H ≤ G . Khi đó ta định nghĩa
i) Với mỗi g ∈ G , nhóm con H g = g −1Hg gọi là nhóm con liên hợp với H trong G.
ii) CoreG ( H ) = H G = ∩ H g gọi là lõi của H trong G.
g∈G

iii) N G ( H ) =
H } gọi là chuẩn hóa tử của H trong G.
{g ∈ G | H g =
iv) CG ( H ) =

{g ∈ G | h

v) Z (G )= CG (G )=

g

:= g −1hg = h, ∀h ∈ H } gọi là tâm hóa tử của H trong G.

{ g ∈ G | gx=

xg , ∀x ∈ G} gọi là tâm giao hoán của nhóm G.

1.16.1. Mệnh đề (tính chất nhóm con đặc trưng)
Cho G là nhóm. Khi đó ta có
i) Nếu H  G thì CG ( H )  G
ii) Nếu H char G thì CG ( H ) char G.
iii) Nếu A ≤ G thì A  N G ( A) .
iv) Nếu A ≤ G , B  A thì A  N G ( B ) .
1.16.2. Định lý
10


Cho G là nhóm, H ≤ G . Khi đó H G là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G chứa trong
H.
1.16.3. Định lý ([3, Định lý 5.2.14, trang 136])
Cho G là nhóm, H  G , P là p–nhóm con Sylow của H. Khi đó G = HN G ( P ) .
1.17. Định lý (p–nhóm con Sylow chuẩn tắc là nhóm con đặc trưng)
Cho G là một nhóm. P là một p–nhóm con Sylow của G, P  G . Khi đó P char G.
Chứng minh.
P là p–nhóm con Sylow của G, giả sử P = p n , ∀f ∈ Aut (G ) ta có f ( P ) là p–nhóm
con Sylow của f (G ) = G nên theo định lý Sylow P và f ( P ) liên hợp, suy ra
−1
∃x ∈ G : x −1Px =f ( P ) , nhưng do P  G nên
=
P x=
Px f ( P ) . Vậy, P char G.

1.18. Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn cấp p1α1 p2α 2 ... pnα n , K ≤ G . Nếu mọi pi − nhóm con Sylow

Pi của G, i = 1, n đều là nhóm con của N G ( K ) thì K  G .
Chứng minh.
Ta đã có N G ( K ) ≤ G . Với mỗi i = 1, n , ta có Pi ≤ N G ( K ) ⇒ Pi \ N G ( K ) mà

Pi = piαi nên N G ( K ) chia hết cho piαi .
Do các pi , ∀i =1, n là nguyên tố cùng nhau nên N G ( K ) chia hết cho p1α1 p2α 2 ... pnα n = G ,
suy ra N G ( K ) = G do đó K  G .
1.19. Định lý (Định lý Burnside về phần bù chuẩn tắc) ([9], trang 52)
Cho G là nhóm hữu hạn, P là p–nhóm con Sylow của G thỏa P ≤ Z ( N G ( P ) ) . Khi đó
tồn tại K  G sao cho G = PK và P ∩ K =
1.
1.20. Định lý ([3, Định lý 1.6.13, trang 38])
11


Giả sử H là một nhóm con của nhóm G. Khi đó CG ( H )  N G ( H ) , hơn nữa

N G ( H ) CG ( H ) đẳng cấu với một nhóm con của Aut ( H ) .
1.21. Định nghĩa (tựa chuẩn tắc, π –tựa chuẩn tắc)
i) Cho H, K là các nhóm con của G, ta nói H giao hoán với K nếu HK = KH
ii) Cho H, K là các nhóm con của G. Ta nói H tựa chuẩn tắc trong K nếu nó giao hoán với
mọi nhóm con của K.
iii) Nhóm con H ≤ G gọi là π –tựa chuẩn tắc trong G nếu nó giao hoán với mọi nhóm con
Sylow của G.
Nhận xét. Định nghĩa này tương đương: Một nhóm con H của G gọi là π − tựa chuẩn tắc
trong G nếu HK ≤ G với mọi K là p–nhóm con Sylow của G, p ∈ π (G ) : tập các ước
nguyên tố của G
1.21.1.Định lý ([3, Định lý 1.3.14, trang 15])
Giả sử H, K, L là các nhóm con của một nhóm và K ⊆ L . Khi đó

( HK ) ∩ L = ( H ∩ L ) K .
Hơn nữa, nếu H giao hoán với K thì H , K ∩ L =

H ∩ L, K .

1.21.2. Định lý (theo Kegel, [10])
i) Nếu H ≤ K ≤ G và H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc trong G thì H là nhóm con π − tựa
chuẩn tắc trong K.
ii) Nếu H là nhóm con Hall π − tựa chuẩn tắc trong G thì H  G
iii) Nếu N ≤ H ≤ G và N  G thì H là nhóm con π − tựa chuẩn tắc trong G khi và chỉ khi

H N là nhóm con π − tựa chuẩn tắc trong G N .
1.22. Định nghĩa (p–nhóm Aben sơ cấp)
Cho p là một số nguyên tố và G là một p–nhóm hữu hạn. Khi đó G được gọi là p–
nhóm Aben sơ cấp nếu G ≅  p ×  p × ... ×  p
12


Nhận xét: Một p–nhóm hữu hạn G là p–nhóm Aben sơ cấp nếu G là nhóm Aben thỏa điều
kiện x p = 1, ∀x ∈ G .

1.23. Định lý
Cho N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của nhóm hữu hạn G. Nếu N là một p–nhóm
Aben sơ cấp ( tức là x p = 1, ∀x ∈ N ) thì N = p khi và chỉ khi G CG ( N ) là nhóm Aben có
số mũ là ước của p–1.
1.24. Định nghĩa
i) Dãy các nhóm con của G: 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G sao cho Gi  Gi +1 , ∀=
i 0, n − 1 gọi là
dãy chuẩn tắc của G.
ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G nếu có thêm điều

kiện Gi  G , ∀i =0, n .
iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử

Gi +1 Gi , ∀=
i 0, n − 1 của dãy đều là nhóm đơn.
iv) Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với H , K  G , và H K là nhóm
con chuẩn tắc tối tiểu của G K .
Dãy chuẩn tắc của nhóm G gọi là dãy cơ bản của G nếu tất cả các nhân tử của dãy
đều là nhân tử cơ bản của G.
1.25. Nhóm giải được
1.25.1. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Aben, nghĩa là nó có một dãy

=
G sao cho Gi +1 Gi , ∀=
chuẩn tắc 1 G=
i 0, n − 1 là nhóm Aben.
0  G1  ...  Gn
1.25.2. Tính chất ([3, Định lý 5.1.1, 5.1.2, 5.4.3, trang 121, 122, 148])
13


i) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được, nhóm thương của nhóm giải được là
nhóm giải được
ii) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được
iii) Cho H  G . Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi H và G H là nhóm giải được.
iv) Tích trực tiếp của hữu hạn các nhóm giải được là nhóm giải được
v) Cho H, K là các nhóm con chuẩn tắc và giải được của G, khi đó HK là nhóm giải được.
vi) Cho G là nhóm giải được hữu hạn. Khi đó mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số
trong G là lũy thừa của một số nguyên tố.

1.25.3. Định lý ([1, Định lý 8.14, trang 49])
Mọi p–nhóm hữu hạn đều là nhóm giải được.
1.25.4. Định lý ([3, Định lý 5.1.2, trang 122])
Cho G là nhóm giải được hữu hạn. Khi đó G có một dãy hợp thành với các nhân tử là
nhóm có cấp nguyên tố.
1.25.5. Mệnh đề ([1, Bổ đề 11.11, trang 71])
Nếu H , K ≤ G sao cho [G : H ] và [G : K ] là nguyên tố cùng nhau thì G = HK và

[G : H ∩ K ] =
[G : H ][G : K ] .
1.25.6. Định lý (P.Hall) ([4, Định lý 4.1, trang 231])
Cho G là nhóm giải được. Khi đó:
i) G có một π − nhóm con Hall
ii) Bất kì hai π − nhóm con Hall nào cũng liên hợp với nhau
iii) Mọi π − nhóm con của G đều chứa trong một π − nhóm con Hall.
1.25.7. Định lý (P.Hall) ([4, Định lý 4.5, trang 233])
14


G là một nhóm hữu hạn giải được khi và chỉ khi G có một p '− nhóm con Hall với
mọi p là ước nguyên tố của G .
1.26. Nhóm polycyclic
1.26.1. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là polycyclic nếu nó có một dãy cyclic, nghĩa là nó có một dãy

=
G sao cho Gi +1 Gi , ∀=
chuẩn tắc 1 G=
i 0, n − 1 là nhóm cylic.
0  G1  ...  Gn

Nhận xét. Hiển nhiên, một nhóm polycyclic là nhóm giải được.
1.26.2. Định lý ([3, Định lý 5.4.12, trang 152])
Một nhóm là polycyclic nếu và chỉ nếu nó là nhóm giải được và thỏa điều kiện tối
đại.
1.27. Nhóm lũy linh (Nilpotent)
1.27.1. Định nghĩa
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, nghĩa là nó có một dãy

G thỏa mãn Gi +1 Gi ≤ Z ( G Gi ) ,
các nhóm con=
chuẩn tắc 1 G=
0  G1  ...  Gn
∀=
i 0, n − 1 .

Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G, gọi là lớp lũy linh của G.
Nhận xét.
– Nhóm có lớp lũy linh bằng 0 là nhóm {1}
– Mọi nhóm Aben đều là nhóm lũy linh, hơn nữa nhóm có lớp lũy linh lớn nhất bằng 1 là
nhóm Aben.
– Nhóm lũy linh là nhóm giải được.
1.27.2. Định lý ([3, Định lý 5.1.3, trang 122])
Nếu G là một p–nhóm hữu hạn thì G là nhóm lũy linh.

15


1.27.3. Định lý ([3, Định lý 5.1.4, trang 122])
Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó:
i) Nếu N ≤ G thì N là nhóm lũy linh

ii) Nếu N  G thì G N là nhóm lũy linh
iii) Tích trực tiếp của hữu hạn các nhóm lũy linh là nhóm lũy linh.
1.27.4. Định lý ( [3, Định lý 1.6.8, trang 41])
Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một p–nhóm con Sylow của G. Khi đó:
i) Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G thì H = N G ( H )
ii) Nếu N  G thì P ∩ N là p–nhóm con Sylow của N và PN N là một p–nhóm con Sylow
của G N .
1.27.5. Định lý ([3, Định lý 5.2.4, trang 130])
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó những phát biểu sau là tương đương
i) G là nhóm lũy linh
ii) Mọi nhóm con của G là á chuẩn tắc
iii) G thỏa điều kiện chuẩn hóa tử, nghĩa là G thỏa điều kiện sau: nếu H < G thì

H < NG ( H ) .
iv) Mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc
v) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó.
1.27.6. Định lý (nhóm con Sylow nhóm lũy linh là chuẩn tắc)
Cho G là nhóm lũy linh hữu hạn. Nếu P là p–nhóm con Sylow của G thì P là p–nhóm
con Sylow duy nhất của G (tức P  G ).
Chứng minh.
16


Đặt H = N G ( P ) , theo Mệnh đề 1.27.4 ta có N G ( H ) = H . Do đó theo Mệnh đề 1.27.5

) H= G
(iii) ta phải có H = G (vì nếu H < G thì H < N G ( H ) mâu thuẫn). Suy ra N G ( P=
hay P  G .
1.27.7. Định nghĩa (dãy tâm giảm)
Nhóm con γ i (G ) của nhóm G được định nghĩa quy nạp như sau: γ 1 (G ) = G ,

γ n+1 (G ) = [γ n (G ), G ]
Dãy tâm giảm của G được định nghĩa là dãy G = γ 1 (G ) ≥ γ 2 (G ) ≥ ...
Nhận xét. i) γ=
2 (G )

=
;G]
[G

G'

ii) γ i +1 (G ) ≤ γ i (G ), ∀i
iii) γ i (G ) γ i +1 (G ) ≤ Z ( G γ i +1 (G ) ) , ∀i
1.27.8. Định nghĩa (dãy tâm tăng)
Dãy tâm tăng của G được định nghĩa là dãy 1 = ζ 0 (G ) ≤ ζ 1 (G ) ≤ ζ 2 (G ) ≤ ... , trong đó

ζ 0 (G ) = 1 , ζ n+1 (G ) ζ n (G ) = Z ( G ζ n (G ) ) .
1.27.9. Định lý ([3, 5.1.9, trang 125])
G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi dãy tâm giảm của G đạt tới 1 sau hữu hạn bước khi
và chỉ chi dãy tâm tăng đạt tới G sau hữu hạn bước.
1.28. Nhóm con Fratini
Cho G là nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi
là nhóm con Frattini của G. Kí hiệu: φ (G ) .
Nhóm con Fratini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kì. Nếu G là nhóm vô hạn
không có nhóm con tối đại thì ta quy ước φ (G ) = G .
1.29.

Định lý ([3, Định lý 5.2.13, trang 135])
17

i) Cho G l nhúm. Khi ú (G ) char G, do ú (G ) G
ii) Cho G l nhúm hu hn, N G . Khi ú ( N ) (G ) .
1.30.

Nhúm con Fitting
Nhúm con sinh bi tt c cỏc nhúm con chun tc ly linh ca nhúm G gi l nhúm

con Fitting ca G. Kớ hiu: F (G ) .
Nhn xột:
i) Nu G l nhúm hu hn thỡ F(G) l ly linh, hn na nú nhúm con ly linh chun tc ln
nht v duy nht ca G.
ii) F(G) G .
iii) Nu G l nhúm hu hn thỡ G luụn cú nhúm con Fitting v F(G) char G.
1.30.1. Mnh ([3, 5.2.9, trang 133],[8, 7.4.4, 7.4.9, trang 167,168] )
Cho G l nhúm hu hn. Khi ú:
i) (G ) F (G ) .
ii) F ( G (G ) ) = F (G ) (G ) .
iii) F (G ) = {CG ( H K ) | H K laứ nhaõn tửỷ cụ baỷn cuỷa G}
1.30.2. nh lý ([2, nh lý 0.10], [8, nh lý 7.4.7, trang 167])
Cho G l nhúm gii c hu hn. Khi ú
i) Nu M l nhúm con chun tc ti tiu ca G thỡ M l mt pnhúm con chun tc Aben s
cp ca G.
ii) CG ( F (G )) F (G ) .
iii) Nu (G ) = 1 thỡ F(G) l tớch trc tip ca cỏc nhúm con Aben chun tc ti tiu ca G.

18

CHƯƠNG 2: NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC TIÊU CHUẨN NHÓM
SIÊU GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN
2.1. Nhóm siêu giải được
2.1.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G

1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn−1 ≤ Gn = G , ở đó Gi  G, ∀i =1, n và

tất cả các nhân tử Gi +1 Gi ,

∀=
i 0, n − 1 là nhóm cyclic gọi là dãy siêu giải được của G.

G được gọi là siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được.
2.1.2. Ví dụ
i) Cho G là nhóm cyclic. Khi đó G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là

1≤ G.
ii) S3 là nhóm siêu giải được
Thật vậy, S3 có một dãy chuẩn tắc {e} ≤ A3 ≤ S3 . Rõ ràng, {e}  S3 , A3  S3 , S3  S3 . Hơn
nữa, ta có: S3 A3 = 2 ⇒ S3 A3 là nhóm cyclic. A3 {e} = 3 ⇒ A3 {e} là nhóm cyclic. Suy
ra {e} ≤ A3 ≤ S3 là dãy siêu giải được của S3 và do đó S3 là siêu giải được.
iii) Nhóm A4 (nhóm các phép thế chẵn bậc 4) không phải là nhóm siêu giải được.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh A4 không có một nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm
cyclic nên A4 không có dãy siêu giải được, nghĩa là ta sẽ chỉ ra mọi nhóm con cyclic của

A4 đều không chuẩn tắc.
Các nhóm con cyclic của A4 chỉ có thể là H = (a b)(c d ) , K = (a b c) , với
a, b, c, d ∈ {1, 2,3, 4}

Nhận xét rằng: ∀σ ∈ A4 , ta có: σ (ij )σ −1 = (σ (i ) σ ( j ) ) , với i, j ∈ {a, b, c, d }

19


=
σ (a c b) ∈ A4 , =
– Chọn
ta có: σ H σ −1
=
(σ (a ) σ (b))(σ (c) σ (d )

–
=

σ (b c d ) ∈ A4
Chọn=

=
σ
(a b)(c d )σ −1

σ (a b)σ −1σ (c d )σ −1

(c a )(b d ) ≠ H , nên H không chuẩn tắc trong A4

,

ta

có:

= σ (a ) σ (b) σ (c)

σ Kσ −1 = σ (a b c)σ −1

(a c d ) ≠ K , nên K không chuẩn tắc trong A4

Như vậy mọi nhóm con cyclic của A4 đều không chuẩn tắc trong A4 . Do đó, A4
không có nhóm con chuẩn tắc thực sự là nhóm cyclic. Vậy A4 không là nhóm siêu giải
được.
2.1.3. Định lý
Cho G là nhóm siêu giải được, H ≤ G , N  G . Khi đó, H và G N đều là các nhóm
siêu giải được.
Chứng minh.
G là nhóm siêu giải được nên có dãy siêu giải được 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G
 Chứng minh H là nhóm siêu giải được. Xét dãy các nhóm con của H.

1 = H ∩ G0 ≤ H ∩ G1 ≤ ... ≤ H ∩ Gn = H (*)
Ta có: H ∩ Gi  H ∩ Gi +1 , ∀=
i 0, n − 1 )
i 0, n − 1 (do Gi  Gi +1 , ∀=

H ∩ Gi  H , ∀i (do Gi  G , ∀=
i 0, n − 1 ). Cho nên (*) là dãy các nhóm con chuẩn tắc của
H. Hơn nữa:

( H ∩ Gi +1 ) ( H ∩ Gi ) =( H ∩ Gi +1 ) ( ( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi ) ≅ ( H ∩ Gi +1 ) Gi

Gi

Mà ( H ∩ Gi +1 ) Gi Gi ≤ Gi +1 Gi là nhóm cyclic nên ( H ∩ Gi +1 ) ( H ∩ Gi ) là nhóm cyclic,
nên (*) là dãy siêu giải được của H và do đó H là siêu giải được.
 Chứng minh G N là nhóm siêu giải được.
Ta có: N , Gi  G ⇒ Gi N  G , ∀=
i 0, n − 1
i 0, n − 1 ⇒ Gi N  Gi +1 N , ∀=
20


Suy ra, (Gi N ) N  G N và (Gi N ) N  (Gi +1 N ) N , ∀i . Do đó ta có dãy các nhóm con

N : 1 (G0 N ) N ≤ G1 N N ≤ ... ≤ Gn=
N N G / N (**)
chuẩn tắc của G=
Ta có: ( (Gi +1 N ) N ) ( (Gi N ) N ) ≅ Gi +1 N Gi N =
( Gi +1 (Gi N ) ) Gi N ≅ Gi +1 (Gi +1 ∩ Gi N ) . Mà

Gi +1 (Gi +1 ∩ Gi N ) ≅ ( Gi +1 Gi ) ( (Gi +1 ∩ Gi N ) Gi ) , hơn nữa Gi +1 Gi là nhóm cyclic nên

( Gi +1

Gi ) ( (Gi +1 ∩ Gi N ) Gi ) là cyclic ⇒ ( (Gi +1 N ) N ) ( (Gi N ) N ) là cyclic. Vậy, G N là

nhóm siêu giải được.
2.1.4. Nhận xét
Nếu N  G , N và G N đều là các nhóm siêu giải được thì G có thể không là nhóm
siêu giải được.
Chẳng hạn xét nhóm G = A4 .
Xét nhóm con Klein, V = {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} của A4 , kiểm tra trực tiếp được V

là nhóm con Aben và V  A4 . Ta có: A4 V cấp 3, nên A4 V là nhóm cyclic và do đó siêu
giải được.

V là nhóm siêu giải được vì nó có dãy siêu giải được 1 ≤ (12),(34) ≤ V
Vậy, ta có V và A4 V là nhóm siêu giải được, nhưng rõ ràng A4 không là nhóm siêu giải
được theo Ví dụ 2.1.2 (iii).
2.1.5. Định lý
Ảnh đồng cấu của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm siêu giải được, f : G → L là một toàn cấu nhóm từ G lên
một nhóm L nào đó. Ta chứng minh f (G ) = L là nhóm siêu giải được.
Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy siêu giải được

1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G .
L f (G=
) f (Gn ) ≥ f (Gn−1 ) ≥ ... ≥ f (G=
1 (*)
Xét dãy =
0)
21


Do Gi  Gi +1 , ∀=
i 0, n − 1 (1)
i 0, n − 1 nên f (Gi )  f (Gi +1 ), ∀=
Tương tự ta có f (Gi )  f (G ) = L, ∀=
i 0, n − 1 (2)
Với mỗi i, xét đồng cấu nhóm ϕ : Gi +1 Gi → f (Gi +1 ) f (Gi ) , xi +1Gi  f ( xi +1 ) f (Gi ) . Ta có

Im ϕ = f (Gi +1 ) f (Gi ) nên ϕ là toàn cấu, suy ra ϕ ( Gi +1 Gi ) = f (Gi +1 ) f (Gi ) , mà Gi +1 Gi
là nhóm cyclic nên f (Gi +1 ) f (Gi ) là nhóm cyclic (3)

Từ (1), (2), (3) ta có (*) là dãy siêu giải được của L, và do đó L là siêu giải được.
2.1.6. Định nghĩa
Cho G là nhóm. Nếu N  G , N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các
số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic (gọi là dãy G–siêu giải
được ) thì N được gọi là nhóm G–siêu giải được.
2.1.7. Mệnh đề
i) Mọi nhóm cyclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G–siêu giải được.
ii) Nếu G là nhóm G–siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được.
Chứng minh. i) Giả sử N  G , N là nhóm cyclic. Ta có dãy G–siêu giải được của N là

1  N nên N là nhóm G–siêu giải được.
ii) Hiển nhiên, do G là G –siêu giải được nên G có dãy các nhóm con chuẩn tắc với các số
hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm cyclic do đó G có dãy siêu giải
được.
2.1.8. Định lý
Nếu N  G , N là G–siêu giải được và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm
siêu giải được.
Chứng minh. G N là nhóm siêu giải được ⇒ G N có dãy siêu giải được

=
1 N N
= G0 N ≤ G1 N ≤ ... ≤ Gn N
= G N
22


N là G–siêu giải được nên N có dãy G–siêu giải được 1 = N 0 ≤ N1 ≤ ... ≤ N m = N
Vì Gi N  G N , ∀i =0, n nên Gi  G , ∀i =0, n . Xét dãy các nhóm con chuẩn tắc của G:

1 N 0  N1  ...  N m= N= G0  G1  ...  G=

=
G (*)
n
Ta có: Gi +1 Gi ≅ ( Gi +1 N ) ( Gi N ) , ∀=
i 0, n − 1 là nhóm
i 0, n − 1 . Mà ( Gi +1 N ) ( Gi N ) , ∀=
cyclic nên Gi +1 Gi , ∀i =0, n là nhóm cyclic. Do vậy, (*) dãy siêu giải được của G và G là
nhóm siêu giải được.
2.1.9. Hệ quả
Cho N  G , nếu N là nhóm cyclic và G N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm
siêu giải được.
Chứng minh. N là nhóm cyclic ⇒ N là nhóm G–siêu giải được (Mệnh đề 2.1.7). Theo
Định lý 2.1.8 ta có G là nhóm siêu giải được.
2.1.10. Định lý
Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó N  G khi và chỉ khi N là một số hạng trong
một dãy siêu giải được của G.
Chứng minh.
( ⇒ ) G là nhóm siêu giải được, N  G ⇒ G N là nhóm siêu giải được ⇒ G N có dãy siêu

1 N N
= N 0 N ≤ N1 N ≤ ... ≤ N n N
= G N.
giải được: =
Vì N i N  G N , ∀i =0, n nên N i  G , ∀i =0, n .
Ta có: N i +1 N i ≅ ( N i +1 N ) ( N i N ) , ∀=
i 0, n − 1 , mà

( Ni +1

N ) ( N i N ) là nhóm

=
G là
Như vậy, N N=
cyclic nên N i +1 N i , ∀=
i 0, n − 1 là nhóm cyclic.
0  N1  ...  N n
một dãy các nhóm con giữa G và N với các số hạng là các nhóm con chuẩn tắc của G và

N i +1 N i , ∀=
i 0, n − 1 là nhóm cyclic. Xét dãy: 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gm = G là một dãy siêu giải

23