phương pháp nhánh – cận cho bài toán quy hoạch nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Thìa

PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO
BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Văn Thìa

PHƯƠNG PHÁP NHÁNH – CẬN CHO
BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trịnh Công Diệu

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy
TS.Trịnh Công Diệu, Trưởng bộ môn Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm
Tp.Hồ Chí Minh đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình hoàn
thành đề tài nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Ban giám hiệu trường, Phòng sau
đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ Chí Minh đã tạo điều
kiện thuận lợi trong việc học tập, trang bị kiến thức để có thể hoàn thành luận văn.
Bên cạnh đó, tôi xin cảm ơn các bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình và những người thân đã động viên giúp
đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả luận văn

Lê Văn Thìa


LỜI MỞ ĐẦU
Quy hoạch nguyên (hay quy hoạch rời rạc) là một hướng quan trọng của quy
hoạch toán học. Nó nghiên cứu lớp bài toán quy hoạch trong đó thêm điều kiện các
biến chỉ nhận giá trị trên tập số nguyên. Lớp bài toán này rất phổ biến trong thực tế.
Nó thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học nghiên cứu trong các lĩnh vực: kinh
tế, điều khiển, thiết kế, sinh học,… Chính trong các lĩnh vực đó các phương pháp
liên tục tỏ ra kém hiệu quả khi nghiên cứu các đối tượng không thể chia nhỏ tùy ý,
thì quy hoạch nguyên là công cụ chủ yếu nghiên cứu hiệu quả các lĩnh vực đó.
Có thể nói quy hoạch nguyên bắt đầu khai sinh lịch sử của mình từ năm
1958, khi công bố thuật toán nổi tiếng của Gomory về phương pháp cắt. Sau đó một
thời gian dài, phương pháp cắt là công cụ duy nhất để giải các bài toán quy hoạch
nguyên. Nhưng từ khi phương pháp nhánh – cận xuất hiện trong [Land – Doig
1960] và nhất là dạng hoàn thiện của nó trong [Dakin 1965], nó trở nên ưu thế rõ

rệt. Hiện nay phương pháp nhánh – cận là một trong những phương pháp chủ yếu
để giải bài toán quy hoạch nguyên. Do đó, việc tìm hiểu về phương pháp nhánh –
cận là cần thiết.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một cách chi tiết phương
pháp nhánh – cận. Các vấn đề được đề cập trong luận văn được trình bày một cách
chặt chẽ về mặt toán học.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1 “Một số kết quả của Quy hoạch tuyến tính và Giải tích lồi”
trình bày lại một số khái niệm và tính chất của Quy hoạch tuyến tính và Giải tích
lồi. Các khái niệm đối ngẫu, định lý đối ngẫu, tập lồi, tập lồi đa diện, điểm cực biên,
tia cực biên của tập lồi đa diện. Đặc biệt là các tính chất về sự biễu diễn của mỗi tập


lồi đa diện hữu tỉ qua tia cực biên và điểm cực biên của nó, sẽ là cơ sở để chứng
minh một số kết quả trong chương 2.
Chương 2 “Thuật toán nhánh – cận giải bài toán Quy hoạch tuyến tính
nguyên bộ phận” trình bày một cách chặt chẽ và chi tiết cơ sở lý luận của thuật
toán và thuật toán được minh họa bởi việc giải bài toán thực tế.
Chương 3 “Giải bài toán Quy hoạch nguyên tuyến tính trên Matlab”
trình bày lại việc dùng phương pháp nhánh – cận giải bài toán Quy hoạch nguyên
bằng ngôn ngữ Matlab. Giải một số bài toán Quy hoạch nguyên tuyến tính bằng
chương trình Matlab R2009a.
Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu tài
liệu và sắp xếp trình bày lại các kết quả nghiên cứu theo một chủ đề đặt ra. Trong
quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không
tránh khỏi những sai sót. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.


MỤC LỤC

MỤC LỤC ............................................................................................................................. 6
Chương 1 ............................................................................................................................... 1
1.1. Quy hoạch tuyến tính .................................................................................................. 1
1.2. Tập lồi - Tập lồi đa diện.............................................................................................. 9
1.3.Điểm cực biên. Tia cực biên ...................................................................................... 15
Chương 2 ............................................................................................................................. 22
2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận (Mixed Integer Linear
Programming). ................................................................................................................. 22
2.2. Thuật toán nhánh – cận giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận ........... 25
2.2.1. Cơ sở lý luận của thuật toán............................................................................... 25
2.2.2. Thuật toán nhánh – cận ...................................................................................... 31
2.3. Một số kĩ thuật được sử dụng trong thuật toán nhánh- cận ...................................... 31
2.3.1. Kĩ thuật Hậu tối ưu (Reoptimization)................................................................. 31
2.3.2. Quy tắc chọn bài toán phân nhánh và quy tắc phân nhánh ................................ 34
2.4. Ví Dụ......................................................................................................................... 34
Chương 3 ............................................................................................................................. 44
3.1. Bài toán Quy hoạch tuyến tính với Matlab .............................................................. 44
3.2. Lập trình thuật toán giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận trên Matlab
......................................................................................................................................... 47
3.3. Giải bài toán Quy hoạch tuyến tính nguyên bộ phận trên Matlab ............................ 50
KẾT LUẬN.......................................................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 54


1

Chương 1
Một số kết quả của Quy hoạch tuyến tính và
Giải tích lồi
1.1. Quy hoạch tuyến tính

Ta nhắc lại một số kết quả của quy hoạch tuyến tính mà chúng sẽ được sử
dụng để chứng minh các kết quả phía sau.
Định nghĩa 1.1.1. Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát có dạng:

f ( x)
=

n

∑c x
j =1

j

j

→ min

thỏa hệ ràng buộc:

 n
∑ aij x j (≤ =≥)bi , i = 1,..., m
 j =1
x ≥ 0 , j =
1,..., n
 j
trong đó, c j , =
=
aij , bi , i 1,...,
m; j 1,..., n là các hằng số cho trước.

Định nghĩa 1.1.2. Tập D các điểm x = ( x1 ,..., xn ) thỏa hệ các ràng buộc gọi là tập
phương án chấp nhận được của bài toán.
 Điểm x* ∈ D sao cho f ( x) ≥ f ( x*) , ∀x ∈ D được gọi là phương án tối ưu
của bài toán Quy hoạch tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.3. Bài toán Quy hoạch tuyến tính có thể phát biểu dưới dạng ma
trận như sau:

f ( x) =< c, x > → min
thỏa hệ ràng buộc:

 Ax (≤ =≥)b

x ≥ 0
trong đó, A là ma trận kích thước m × n .


2

 Phương án x = ( x1 ,..., xn ) được gọi là phương án cơ sở nếu hệ các vectơ cột

{ Aj } của ma trận A ứng với các thành phần x j > 0 ( j =
1,..., n) là độc lập tuyến
tính.

 Phương pháp đơn hình:
Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc sau:

=
f ( x)

n

∑c x
j =1

j

j

→ min

thỏa hệ ràng buộc:

 n
=
aij x j
∑
 j =1
x ≥ 0
 j

=
bi , i 1,..., m
,j=
1,..., n

Giả sử đã biết một phương án cơ sở chấp nhận được náo đó:

=
X 0 (=

xb1 a1 , x=
a2 ,..., x=
am ),
b2
bm
được xác định từ hệ vectơ cơ sở đơn vị m chiều Ab1 , Ab 2 ,..., Abm .
- Khai triển mọi vectơ điều kiện Aj ( j = 1,..., n) theo hệ vec tơ cơ sở

Ab1 , Ab 2 ,..., Abm có nghĩa là tính các hệ số x1 j , x2 j ,..., xmj , j = 1,..., n .
- Tính các hiệu Z j − c j , j =
1,..., n,
trong đó =
Z j C=
b Aj

m

∑c
i =1

x =
, j 1,..., n .

bi ij

Để tiện tính toán người ta trình bày theo bảng sau:


3

Cơ

Cb

A0

c1

… cb1

… cb 2

… cbl … ck

… cj

… cbm

… cn

sở

A1 …

Ab1 … Ab 2 …

Abl … Ak … Aj …

Abm … An

Ab1

cb1

xb1 x11 … 1

… 0

… 0

… x1k … x1 j … 0

… x1n

Ab 2

cb 2

xb 2 x21 … 0

..

… 0

… x2k … x2 j … 0

… x2n

…

… … … … …

Abl

cbl

…

Abm
Z j − cj
-

1

… …

… … … …

… 0

… 1

… … … … …

… …

… … … …

cbm xbm xbm … 0

… 0

… 0

… xmk … xmj … 1

… xmn

…

…

…

…

xbl

Z0

xb1 … 0

…

… …

… xlk … xlj
… …

…

… …

… …

… 0

… xln

… …

… …

…

Nếu Z j − c j ≤ 0 , ∀j ∈ {1, 2,..., n} thì phương án cơ sở chấp nhận được là
phương án tối ưu.

-

Nếu có một chỉ số j nào đó mà Z j − c j > 0 và hệ số xij ≤ 0 (∀i =1,..., m)
thì dạng tuyến tính Z không bị chặn trên tập phương án chấp nhận được.

-

Nếu có một chỉ số j nào đó mà Z j − c j > 0 , và Aj có ít nhất một hệ số

xij > 0 thì phương án cơ sở chấp nhận được chưa tối ưu và có thể cải thiện
được bằng cách đưa vào cơ sở vectơ có ( Z j − c j ) max > 0 . Giả sử

( Z j − c j ) max = Z k − ck > 0 , khi đó đưa vectơ Ak vào cơ sở và loại ra khỏi cơ
sở vectơ ứng với:

t = min
xik > 0

xbi
xik


4

xbi xbl
Giả=
sử t min
, do đó Abl bị loại ra khỏi cơ sở. Cơ sở mới gồm m
=
xik > 0 x
xlk
ik
vectơ: ( Ab1 ,..., Abl −1 , AK , Abl +1 ,..., Abm ) . Phần tử xlk được gọi là phần tử giải được.
Bằng phép biến đổi cơ bản và đơn giản biểu thức:

xbl
 ′
 xbi =xbi − x xik , (bi ≠ bl , l =1,..., m)

lk

 x′ = xbl

 k xlk
x

xij − lj xik , bi ≠ bl
 xij′ =
xlk


 x′ = xlj
 lj xlk
Ta biến đổi vectơ Ak về vectơ đơn vị với xlk = 1. Khi hoàn thành phép biến đổi
ta được bảng đơn hình mới và được tính theo cơ sở mới.
Quá trình tính toán tương tự được tiếp tục cho đến khi tìm được phương án tối
ưu.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử ma trận A có vectơ hàng là ai và các vectơ cột là Aj . Giả
sử bài toán gốc có cấu trúc ở bên trái trong bảng sau đây. Khi đó, bài toán đối ngẫu
được định nghĩa với cấu trúc tương ứng bên phải

Z = < c, x > → min ,

f = < b, y > → max

Với ràng buộc

Với ràng buộc

< ai , x=
> bi , i ∈ M 1

yi tự do, i ∈ M 1

< ai , x > ≤ bi , i ∈ M 2

yi ≤ 0, i ∈ M 2

< ai , x > ≥ bi , i ∈ M 2

yi ≥ 0, i ∈ M 3

x j ≥ 0, j ∈ N1

< y, Aj >≤ c j , j ∈ N1

x j ≤ 0, j ∈ N 2

< y, Aj > ≥ c j , j ∈ N 2

x j tự do j ∈ N 3

< y, A=
c j , j ∈ N3
j >

Định nghĩa 1.1.5.


5

 Cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng là cặp bài toán đối ngẫu mà trong đó
những ràng buộc trong bài toán gốc được cho bằng đẳng thức và những ràng buộc

của bài toán đối ngẫu được cho bằng bất đẳng thức.
 Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng là cặp bài toán đối ngẫu mà trong đó các
biến của hai bài toán đều không âm và các ràng buộc đều là bất đẳng thức.
Định lý 1.1.6.(Định lý đối ngẫu yếu) Cho A là ma trận cỡ m × n , b ∈  m và

c ∈ n . P =
{x ∈  n : Ax ≤ b} và Q =
{ y ∈  m : AT y =
c, y ≤ 0} . Khi đó
(i) Nếu x ∈ P và y ∈ Q thì < c, x > ≥ < b, y > .
(ii) Nếu bài toán min{< c, x >: x ∈ P} không bị chặn dưới, thì Q = ∅ .
(iii) Nếu bài toán max{< b, y >: y ∈ Q} không bị chặn trên thì P = ∅ .
Chứng minh
Giả sử ma trận A có vectơ hàng là ai (i = 1,..., m) và các vectơ cột là

Aj ( j = 1,..., n) .
(i) Ta đặt

u=
yi (< ai , x > −bi ),
i
v=
(c j − < y , A j >) x j .
j
Theo định nghĩa của bài toán đối ngẫu thì yi và < ai , x > −bi cùng dấu, còn

c j − < y, Aj > và x j cùng dấu. Do đó, ui ≥ 0, ∀i và v j ≥ 0, ∀j .
Nhận xét rằng

∑u

i

=
< y, Ax − b >,

j

=
< c − yA, x > .

i

∑v
j

Do đó,

0 ≤ ∑ ui + ∑ v j =< c, x > − < b, y > .
i

j

(ii) Nếu bài toán min{< c, x >: x ∈ P} không bị chặn dưới thì tồn tại dãy

{x k } các phương án chấp nhận được sao cho < c, x k >→ −∞ khi k → ∞ . Giả sử


6

∃y 0 ∈ Q . Khi đó, theo (i) ta có < c, x k > ≥ < b, y 0 > , ∀k . Cho k → ∞ ta được

< b, y 0 > ≤ −∞ (vô lí). Do đó, Q = ∅ .
(iii) Nếu bài toán max{< b, y >: y ∈ Q} không bị chặn trên thì thì tồn tại dãy

{ y k } các phương án chấp nhận được sao cho < b, y k >→ +∞ khi k → ∞ . Giả sử

∃x 0 ∈ P . Khi đó, theo (i) ta có < c, x 0 > ≥ < b, y k > , ∀k . Cho k → ∞ ta được
< c, x 0 > ≥ +∞ (vô lí). Do đó, P = ∅ .



Định lý 1.1.7.(Định lý đối ngẫu mạnh) Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính gốc có
nghiệm tối ưu thì bài toán quy hoạch đối ngẫu cũng có nghiệm tối ưu và giá trị
mục tiêu tối ưu bằng nhau.
Chứng minh
Ta có thể đưa cặp bài toán đối ngẫu đối xứng về cặp bài toán đối ngẫu không
đối xứng, do đó chỉ chứng minh cho cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng. Giả sử
bài toán đối ngẫu không đối xứng có phương án tối ưu nhận được bằng phương
pháp đơn hình (xem trong tài liệu tham khảo [Cảnh 2004], [Khánh – Nương 2000],
[Khánh 2002]). Hệ vectơ cơ sở tương ứng với phương án tối ưu gồm các vectơ

Ab1 , Ab 2 ,..., Abm . Đặt Ab = ( Ab1 ,..., Abm ) ma trận được thành lập từ hệ các vectơ cơ sở.
Khi đó, Aj = Ab X j . Biểu diễn D = ( X 1 ,..., X n ) ma trận được thành lập từ những hệ
số của bảng đơn hình cuối cùng. Ta có:

=
A A=
D Ab−1 A
b D;

(1.1)

=
Ab X opt A=
X opt Ab−1 A0
0;

(1.2)

=
Z min C=
Cb Ab−1 A0 ,
b X opt
trong đó

X opt

(1.3)

là phương án tối ưu của bài toán thuận. Xét vectơ

Cb D − C = ( Z1 − c1 ,..., Z n − cn ) có các tọa độ là những hiệu Z j − c j . Vì là phương án
tối ưu nên mọi hiệu Z j − c j ≤ 0,( j − 1,..., n) , do đó:

Cb D − C ≤ 0 .

(1.4)

7

Người ta chứng minh được rằng, phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu
nhận được theo công thức:

Yopt = Cb Ab−1 .

(1.5)

Thật vậy,
Xét vectơ Yopt A − C . Khi sử dụng liên tiếp các công thức (1.5), (1.1), (1.4) ta
được

Yopt A − C= Cb Ab−1 A − C= Cb D − C ≤ 0.
Do đó, Yopt A ≤ C có nghĩa là Yopt là phương án chấp nhận được của bài toán
đối ngẫu. Bây giờ tính giá trị của dạng tuyến tính f khi Y = Yopt .
−1
f (=
Yopt ) Y=
Cb A=
Cb=
X opt min Z
opt A0
b A0

(1.6)

ở đây các công thức (1.5), (1.2), (1.3) được dùng liên tiếp.
Biểu thức (1.6) chứng tỏ rằng: giá trị dạng tuyến tính của bài toán đối ngẫu
(khi Y = Yopt ), f (Yopt ) trùng với giá trị tối ưu của bài toán gốc.

Bây giờ cần chứng minh rằng: Yopt là phương án tối ưu của bài toán đối
ngẫu.
Ta có:

f (=
Y ) YA
=
YAX .
0
Một phương án chấp nhận được bất kỳ Y của bài toán đối ngẫu phải thỏa
mãn YA ≤ C , do đó:

f (Y ) ≤ CX =
Z ( X ).
Suy ra

max f (Y ) ≤ min Z ( X ).

(1.7)

Theo (1.6) với Y = Yopt thì bất đẳng thức (1.7) trở thành đẳng thức . Vì vậy Yopt là
phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.



Định lý 1.1.8.(Điều kiện độ lệch bù) Cho x là nghiệm chấp nhận được của bài
toán min{< c, x >: Ax ≤ b} và y là nghiệm chấp nhận được của bài toán


8

max{< b, y >: AT y = c, y ≤ 0} . Giả sử ma trận A có vectơ hàng là ai (i = 1,..., m) và
các vectơ cột là Aj ( j = 1,..., n) . Khi đó, x, y là nghiệm tối ưu nếu và chỉ nếu

yi (< ai , x > −bi )= 0 ∀i,
(c j − < Aj , y >) x j = 0 ∀j.
Chứng minh
Ở chứng minh định lý 1.1.6 ta đã đặt

u=
yi (< ai , x > −bi ),
i
v=
(c j − < y , A j > ) x j
j
Theo định nghĩa của bài toán đối ngẫu ta thấy rằng ui ≥ 0, v j ≥ 0 ∀i, ∀j .
Đồng thời ta cũng có

< c , x > − < b, =
y>

∑u + ∑v .
i

i

j

j

Theo định lý đối ngẫu mạnh , nếu x và y là phương án tối ưu thì

< c, x > = < b, y > . Do đó, ui = v j = 0, ∀i, ∀j . Ngược lại, nếu ui = v j = 0, ∀i, ∀j thì
< c, x > = < b, y > suy ra x, y là phương án tối ưu.



Định lý 1.1.9. (Bổ đề Farkas) Tập hợp {x : Ax
= b, x ≥ 0} là tập khác rỗng khi và
chỉ khi không tồn tại vectơ y sao cho AT y ≥ 0 và < b, y > < 0 .
Chứng minh
Theo Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ta có

min{< c, x >: Ax = b, x ≥ 0} ≤ 0 khi và chỉ khi max{< b, y >: AT y ≤ c} ≤ 0.
Chọn c = 0 , khi đó {x : Ax
= b, x ≥ 0} ≠ ∅ khi và chỉ khi không tồn tại y sao
cho AT y ≥ 0 và < b, y > < 0 .



 Thuật toán đơn hình đối ngẫu:
Thuật toán đơn hình đối ngẫu bắt đầu từ một phương án sơ sở chấp nhận
được của bài toán đối ngẫu nhưng không chấp nhận được của bài toán gốc (vì có
biến cơ sở âm). Bằng thuật toán đơn hình chuyển dần đến phương án tối ưu.
Thuật toán đơn hình đối ngẫu có thể chia thành hai giai đoạn sau:


9

- Giai đoạn 1: Không quan tâm đến sự không âm của các biến cơ sở mà thuật

toán đơn hình đưa bài toán đến một bảng đơn hình có ∀( Z j − c j ) ≤ 0 .
+ Nếu ∀xbi ≥ 0 thì ta có phương án ấy là phương án tối ưu và ngừng tính.
+ Thông thường thì phương án ấy không phải là phương án tối ưu, vì trong
các biến cơ sở vẫn còn có biến âm, chuyển sang giai đoạn 2.
- Giai đoạn 2: Khi các biến cơ sở còn biến âm ta cần khử các biến âm mà vẫn
giữ được ∀( Z j − c j ) ≤ 0 . Phương án là tối ưu khi mọi biến cơ sở đều không âm.
Giả sử xbl < 0 , khi đó ta loại vectơ Al khỏi cơ sở. Nếu trong hàng l không
có thành phần xlj < 0 thì bài toán không có phương án chấp nhận được. Nếu có một
vài xlj < 0 thì phương án có thể cải thiện được và đưa vectơ Ak vào cơ sở với k
được xác định bởi:

min

Z j − cj

xlj < 0

xlj

=

Z k − ck
.
xlk

Việc chọn như vậy các hiệu Z j − c j vẫn không dương. Quá trình tính toán
tương tự được tiếp tục đến khi nhận được phương án tối ưu.
Trong trường hợp, nếu có vài biến cơ sở xbl < 0 thì việc chọn phần tử giải
được chọn theo công thức:

min
xij < 0

Z j − cj
xij

.

Phương pháp đơn hình đối ngẫu giảm nhẹ sự biến đổi các ràng buộc và do đó
giảm kích thước bảng đơn hình, khối lượng tính toán được giảm một cách đáng kể.

1.2. Tập lồi - Tập lồi đa diện.
Định nghĩa 1.2.1.
 Cho tập X ⊂  n , tập X được gọi là tập lồi nếu với mọi x1 , x 2 ∈ X ta đều
có λ x1 + (1 − λ ) x 2 ∈ X , ∀λ ∈ (0,1) .


10

m

m

 Tổ hợp tuyến tính x = ∑ λi x với =
λi ≥ 0 ∀i 1,..,=
m , ∑ λi 1 được gọi là
i

i =1

i =1

tổ hợp lồi của các vectơ x1 ,..., x m .
 Cho tập X ⊂  n , bao lồi của X , được kí hiệu là conv( X ) là tập hợp tất
cả tổ hợp lồi của các vectơ trong X . Tức là
k

k

conv( X ) :=
{x =
1, v1 ,..., vk ∈ X }.
∑ λi vi : λi ≥ 0,∑ λi =
=i 1 =i 1

Nếu
=
x

k

∑ λ v ∈ conv( X ) là tổ hợp lồi của các vectơ v ,..., v
i =1

i i

i

k

k

∈ X thì

k

< c, x > =< c, ∑ λi vi > = ∑ λi < c, vi > ≥ min{< c, vi >: i = 1,..., k}.
=i 1 =i 1

Do đó, với bất kỳ tập X ⊂  n , c ∈  n ta luôn có

min{< c, x >: x ∈ X }= min{< c, x >: x ∈ conv( X )}.

(1.8)

Định nghĩa 1.2.2. Một tập lồi đa diện là tập hợp con của  n được xác định bởi hữu
hạn bất phương trình tuyến tính, tức là một tập lồi đa diện có dạng

P ( A, b) :=
{x ∈  n : Ax ≤ b} ,

(1.9)

trong đó A là ma trận cỡ m × n và b ∈  m .Tập lồi đa diện P được gọi là tập lồi đa
diện hữu tỉ nếu =
, i 1,..., m,=
A (aij ), aij ∈ =
j 1,..., n ; b ∈ m .
Định nghĩa 1.2.3. Cho tập lồi đa diện P ⊂  n . Tập hợp F ⊂ P được gọi là diện
của

P

nếu

F= {x ∈ P :< w, x =
> t} và

P ⊆ {x ∈  n :< w, x > ≤ t} trong đó

w ∈  n , t ∈  . Nếu F ≠ ∅ và F ≠ P thì F được gọi là diện không tầm thường.
Ta thấy rằng mỗi diện

F

của đa diện

P = P ( A, b)

có dạng

F= {x ∈  n : Ax ≤ b, < w, x >≤ t , − < w, x >≤ −t} , với một t ∈  nào đó. Do đó F
cũng là tập lồi đa diện.
Định nghĩa 1.2.4. Cho tập lồi đa diện
=
P P ( A, b) ⊆  n và M là tập chỉ số các
dòng của A . Cho I ⊆ M ta xét tập hợp

fa ( I ) :=
{x ∈ P : AI x =

bI },

(1.10)


11

trong đó AI là ma trận được thành lập từ các dòng thứ i ∈ I của ma trận A .
Khi đó fa ( I ) là diện của P và được gọi là diện cảm sinh bởi I .
Định lý 1.2.5. Cho tập lồi đa diện khác rỗng
=
P P ( A, b) ⊆  n và M là tập chỉ số
dòng của A . Tập F ⊆  n với F ≠ ∅ là diện của P nếu và chỉ nếu

F=
fa ( I ) =
{x ∈ P : AI x =
bI } với I ⊆ M .
Chứng minh
Ta có fa ( I ) là một diện của P với bất kỳ I ⊆ M . Ngược lại, nếu

F= P ∩ {x ∈  n :< c, x >= t} là diện của P thì F là tập nghiệm tối ưu của bài toán
quy hoạch tuyến tính

max{< c, x >: Ax ≤ b}

(1.11) .

Theo định lý đối ngẫu mạnh, ta có bài toán quy hoạch đối ngẫu của (1.11)

min{< b, y >: AT y = c, y ≥ 0} cũng có nghiệm tối ưu y * và thỏa < b, y* >= t . Đặt

=
I : {i : yi * > 0} . Theo điều kiện độ lệch bù, những nghiệm tối ưu x * của bài toán
(1.11) thỏa Ai x*= bi , ∀i ∈ I . Vậy F = fa ( I ) .



Định nghĩa 1.2.6. (tập tương đương) Cho tập lồi đa diện
=
P P ( A, b) ⊆  n , S ⊆ P .
Khi đó ta gọi eq ( S ) := {i ∈ M : Ai x = bi , ∀x ∈ S } là tập tương đương của S .
Nhận xét: Cho S , S ' là hai tập con của tập lồi đa diện P . Nếu S ⊆ S ' thì

eq ( S ) ⊇ eq ( S ') . Như vậy, với S là tập con khác rỗng của tập lồi đa diện P , nếu F
là diện của P chứa S thì eq ( F ) ⊆ eq ( S ) . Thêm nữa là fa (eq ( S )) sẽ là diện của P
và chứa S . Do đó, ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2.7. Cho tập lồi đa diện
=
P P ( A, b) ⊆  n và S là tập con khác rỗng
của P . Diện nhỏ nhất chứa S của P là fa (eq ( S )) .
Hệ quả 1.2.8.
(i) Tập lồi đa diện P = P ( A, b) không có bất kỳ diện không tầm thường nào
khi và chỉ khi eq ( P ) = M , trong đó M là tập chỉ số các dòng của A .


12

(ii) Nếu Ax < b thì x không chứa trong bất kỳ diện không tầm thường nào
của P .

Định nghĩa 1.2.9.
k

Tổ hợp affine của các vectơ v1 ,..., vk ∈  n là tổ hợp tuyến tính x = ∑ λi vi sao
i =1

k

cho

∑λ
i =1

i

= 1.

Cho tập X ⊆  n , bao affine của X được định nghĩa là

aff ( X =
) : {=
x

k

k

∑ λ v : ∑ λ=

i i

=i 1 =i 1

i

1, v1 ,..., vk ∈ X } .

Hệ vectơ v1 ,..., vk ∈  n được gọi là độc lập affine nếu
k

∑λ
i =1

i

k

∑λ v
i =1

i i

= 0 và

= 0 thì ta suy ra λ1= λ2= ...= λk= 0 .

Bổ đề 1.2.10. Các mệnh đề sau tương đương
(i)

Hệ vectơ v1 ,..., vk ∈  n là độc lập affine.

(ii)

Hệ vectơ v2 − v1 ,..., vk − v1 ∈  n là độc lập tuyến tính.

(iii)

v  v 
Hệ vectơ  1  ,...,  k  ∈  n +1 là độc lập tuyến tính.
1  1 

Định nghĩa 1.2.11. Vectơ x ∈ P =
P ( A, b) được gọi là điểm trong tương đối của tập
lồi đa diện nếu nó không thuộc bất kỳ diện không tầm thường nào của đa diện P .
Bổ đề 1.2.12. Cho F là một diện của tập lồi đa diện P ( A, b) và x ∈ F . Khi đó x
là điểm trong tương đối của F khi và chỉ khi eq ({x }) = eq ( F ) .
Chứng minh
Gọi G là diện nhỏ nhất của F chứa x . Khi đó, x là điểm trong tương đối của F
khi và chỉ khi F = G . Theo mệnh đề 1.2.7 ta có G = fa (eq ({x })) . Vậy x là điểm
trong tương đối của F khi và chỉ khi fa (eq ({x })) = F . Suy ra x là điểm trong
tương đối của F khi và chỉ khi eq ({x }) = eq ( F ) .




13

Do đó, ta có định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.2.11 là :

x ∈P =
P ( A, b) là điểm trong tương đối của P nếu eq ({x }) = eq ( P ) .

Bổ đề 1.2.13. Cho P = P ( A, b) là tập lồi đa diện khác rỗng. Khi đó, tập hợp các
điểm trong tương đối của P cũng khác rỗng.
Chứng minh
Đặt M = {1,..., m} là tập chỉ số các dòng của A .

I := eq ( P ) và J := M \ I .
Khi đó, nếu J = ∅ thì I = M . Theo hệ quả 1.2.8 (i) ta có tập lồi đa diện P
không có bất kỳ diện không tầm thường nào. Do đó, bất kỳ điểm nào của P cũng là
điểm trong tương đối.
Nếu J ≠ ∅ thì với mỗi j ∈ J ta tìm được x j ∈ P sao cho Ax j ≤ b và Aj x j < b j .
Do P là tập lồi nên y :=

1
∑ x j (trong đó | J | là số phần tử của J ) cũng thuộc
| J | j∈J

P . Do đó, AJ y < bJ và AI y = bI suy ra eq ({ y}) = eq ( P ) . Ta được đpcm.



Định nghĩa 1.2.14. Số chiều của tập lồi đa diện P ⊆  n (kí hiệu là dim P ) là số bé
hơn một đơn vị so với số lớn nhất các vectơ độc lập affine trong P . Ta có

dim ∅ = −1 .
Định lý 1.2.15. (Định lý về số chiều) Cho F ≠ ∅ là một diện của tập lồi đa diện

P ( A, b) ⊆  n . Khi đó, ta có dim F= n − rankAeq ( F ) .
Chứng minh
Theo kết quả của Đại số tuyến tính, ta có

=
n rankAeq ( F ) + dim ker Aeq ( F )

, trong đó ker Aeq ( F ) là không gian nghiệm của hệ

phương trình thuần nhất có ma trận hệ số là Aeq ( F ) .
Do đó, ta chỉ cần chứng minh dim ker Aeq ( F ) = dim F . Để cho gọn ta đặt

=
I : eq
=
( F ); r : dim ker
=
AI ; s : dim F .


14

“ r ≥ s ”: Chọn s + 1 vectơ độc lập affine x 0 , x1 ,..., x s ∈ F . Suy ra theo bổ đề
1.2.10

hệ

vectơ

x1 − x 0 ,..., x s − x 0

là

độc

lập

tuyến

tính

và

AI ( x j − x 0 ) = bI − bI = 0 , j = 1,..., s . Suy ra r ≥ s .
“ r ≤ s ”: Vì F ≠ ∅ nên s ≥ 0 . Do đó ta cũng giả thiết r ≥ 0 . Do F ≠ ∅
Theo bổ đề 1.2.13 tồn tại một điểm trong tương đối x ∈ F mà theo bổ đề 1.2.12 ta
có eq ({
=
x }) eq
=
( F ) I . Vậy với J := M \ I ta có AI x = bI và AJ x < bJ .
Đặt {x1 ,..., x r } là cơ sở của ker AI . Khi đó, do AJ x < bJ ta có thể tìm được

bI với k = 1,..., r . Suy ra
ε > 0 sao cho AJ ( x + ε x k ) < bJ và AI ( x + ε x k ) =
x + ε x k ∈ F với k = 1,..., r .
Các vectơ ε x1 ,..., ε x r là độc lập tuyến tính , theo bổ đề 1.2.10 x , ε x1 + x ,..., ε x r + x
là những vectơ độc lập affine trong F . Suy ra r ≤ s .



Định lý 1.2.16. (Hoffman - Kruskal) Cho
=
P P ( A, b) ⊆  n là tập lồi đa diện. Khi

đó, tập khác rỗng F ⊆ P là diện nhỏ nhất của P khi và chỉ =
khi F {=
x : AI x bI }
với I ⊆ M ( M là tập chỉ số các dòng của A ) và rank AI = rank A .
Chứng minh
“⇒”: Gọi F diện khác rỗng nhỏ nhất của P . Khi đó, theo định lý 1.2.5 và
mệnh đề 1.2.7 ta có F = fa ( I ) , trong đó I = eq ( F ) . Đặt J := M \ I , ta có

=
F {x=
: AI x bI , AJ x ≤ bJ }

(1.12) .

Ta cần chứng minh F = G , trong đó

=
G {=
x : AI x bI }

(1.13) .

Theo (1.12) ta có F ⊆ G . Giả sử tồn tại y ∈ G \ F . Khi đó, tồn tại j ∈ J sao
cho

=
AI y bI , Aj y > b j

(1.14) .

Do F ≠ ∅ nên theo bổ đề 1.2.13 tồn tại điểm trong tương đối của F , ta gọi
điểm đó là x . Ta xét điểm z (τ ) =
x +τ ( y − x) =
(1 − τ ) x + τ y .


15

Ta thấy rằng AI z (τ ) =(1 − τ ) AI x + τ AI y =(1 − τ )bI + τ bI =bI , vì x ∈ F và y
thỏa (1.14). Hơn nữa, AJ z=
(0) AJ x < bJ , vì J ⊆ M \ I .
Vì AJ . y > b j nên ta có thể tìm được τ ∈  và j0 ∈ J sao cho Aj0 z (τ ) = b j0 và

AJ z (τ ) ≤ bJ . Suy ra, τ ≠ 0 và F ' =
{x ∈ P : AI x =
bI , Aj0 x =
b j0 } là là một diện chứa
trong F (vì x ∈ F \ F ' ). Điều này mâu thuẫn với cách chọn F . Suy ra F = G .
Ta cần chứng minh thêm rank AI = rank A . Thật vậy, nếu rank AI < rank A ,
thì tồn tại j ∈ J =
M \ I sao cho Aj không là tổ hợp tuyến tính của các dòng trong

AI . Suy ra , ta có thể tìm được vectơ w ≠ 0 sao cho AI w = 0 và Aj w > 0 . Với θ > 0
thích hợp ta có y=: x + θ w thỏa (1.14) và theo như trên ta có thể xây dựng được
F ' ⊂ F và F ' ≠ F . Điều này mâu thuẫn.

“⇐”: Nếu
=
F {=
x : AI x bI } theo hệ quả 1.2.8 thì F không có bất kỳ diện

không tầm thường nào. Và do F ⊆ P nên
: AI x bI , AJ x ≤ b j } là diện nhỏ
F {x=
=
nhất của P . 
Hệ quả 1.2.17. Tất cả các diện nhỏ nhất của tập lồi đa diện P = P ( A, b) đều có
cùng số chiều là n − rank A .

1.3.Điểm cực biên. Tia cực biên
Định nghĩa 1.3.1. Điểm x ∈ P =
P ( A, b) được gọi là điểm cực biên của P nếu

x = λ x + (1 − λ ) y với x, y ∈ P và 0 < λ < 1 ta suy ra x= y= x .
Định lý 1.3.2. Cho
=
P P ( A, b) ⊆  n là tập lồi đa diện và x ∈ P . Khi đó các mệnh
đề sau là tương đương:
(i) {x } là 0-diện của P (diện có số chiều là 0).
(ii) Tồn tại một vectơ c ∈  n sao cho x là nghiệm tối ưu duy nhất của quy
hoạch tuyến tính min{< c, x >: x ∈ P} .
(iii) x là điểm cực biên của P .
(iv) rank Aeq ({ x }) = n .
Chứng minh


16

“(i) ⇒ (ii)”: Vì x là diện của P nên tồn tại bất phương trình < w, x > ≥ t sao
cho P ⊆ {x :< w, x > ≥ t} và {x } =
P ∩ {x :< w, x > ≥ t} =

{x ∈ P :< w, x > =
t} . Do đó,
x là nghiệm duy nhất của quy hoạch tuyến tính min{< c, x >: x ∈ P} với c := w .

“(ii) ⇒ (iii)”: Cho x là nghiệm duy nhất của quy hoạch tuyến tính

min{< c, x >: x ∈ P} . Nếu x = λ x + (1 − λ ) y với x, y ∈ P và 0 < λ < 1 thì ta có
< c, x > =
λ < c, x > + (1 − λ ) < c, y > ≥ λ < c, x > + (1 − λ ) < c, x >=
< c, x > .
Suy ra < c, x > =< c, y > =< c, x > . Vì x là nghiệm duy nhất nên x= y= x .
“(iii) ⇒ (iv)”: Đặt I := eq ({x }) . Nếu rank AI < n thì tồn tại y ∈  n \ {0} sao
cho AI y = 0 . Khi đó, với ε > 0 đủ nhỏ ta có x :=x + ε y ∈ P và y :=x − ε y ∈ P (vì

x
Aj x < b j , ∀j ∉ I ). Nhưng =

1
1
x + y , điều này mâu thuẩn với giả thiết x là
2
2

điểm cực biên của P .
“(iv) ⇒ (i)”: Đặt I := eq ({x }) . Theo (iv) ta có AI x = bI phải có nghiệm duy
nhất lá x . Do đó, {x } =
{x : AI x =
bI } =
{x ∈ P : AI x =
bI } . Theo định lý 1.2.5 ta có

{x } là 0-diện của P .



Hệ quả 1.3.3. Tập lồi đa diện khác rỗng
P P ( A, b) ⊆  n có ít nhất một điểm cực
=
biên khi và chỉ khi rank A = n .
Chứng minh
Theo hệ quả 1.2.17 diện khác rỗng nhỏ nhất của P có số chiều là 0 khi và
chỉ khi rank A = n . 
Định nghĩa 1.3.4. Cho P là tập lồi đa diện. Khi đó, nón lùi xa char.cone( P ) được
định nghĩa là: char.cone( P=
) : {r : x + r ∈ P , ∀x ∈ P} .
Mỗi r ∈ char.cone( P ) được gọi là tia của P . Tia r của P được gọi là tia
cực biên nếu không tồn tại tia r1 , r 2 của P sao cho r1 ≠ θ r 2 , ∀θ ∈  +

r = λ r1 + (1 − λ )r 2 , λ ∈ [0,1] .


17

Nhận xét: ta thấy rằng nếu P ≠ ∅ thì 0 ∈ char.cone( P ) , và nếu P = ∅ thì

char.cone( P ) = ∅ . Vậy ta có char.cone( P ) = ∅ khi và chỉ khi P = ∅ .
Bổ đề 1.3.5. Cho P = P ( A, b) là tập lồi đa diện khác rỗng. Khi đó,

char.cone
=

( P ) {x : Ax ≤ 0} .
Chứng minh
Nếu Ay ≤ 0 thì ∀x ∈ P , ta có A( x + y ) = Ax + Ay ≤ Ax ≤ b . Do đó,
x + y ∈ P . Vậy y ∈ char.cone( P ) .

Đảo lại, với

y ∈ char.cone( P ) , ta có Ai y ≤ 0 nếu tồn tại x ∈ P sao cho

=
J { j : Aj x < b j , ∀x ∈ P} . Ta cần chỉ ra rằng AJ y ≤ 0 J . Thật vậy, giả
Ai x = bi . Đặt
sử

Aj y > 0 , j ∈ J , lấy một điểm trong tương đối

x ∈P

và ta xét

z=
x + λ y , λ ≥ 0 . Khi đó, chọn λ > 0 một cách hợp lý ta có thể tìm được j ' ∈ P
sao cho
=
Aj ' z b j ' , AJ z ≤ bJ và AI z ≤ bI . Điều này mâu thuẫn với j ' ∈ J .



Nhận xét: Ta thấy rằng nón lùi xa của P cũng là một tập lồi đa diện và nó
có một điểm cực biên đó là vectơ 0. Thậy vậy, giả sử r ≠ 0 là điểm cực biên của

char.cone( P ) . Khi đó, A.r ≤ 0 và từ r ≠ 0 ta có r ≠
r≠

1
r ∈ char.cone( P ) và
2

1 1
1 3
3
=
r
( r ) + ( r ) , điều này mâu thuẫn với giả
r ∈ char.cone( P ) . Nhưng
2 2
2 2
2

thiết r là điểm cực biên của char.cone( P ) . Do đó, cùng với hệ quả 1.3.3 ta có
mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.3.6: Cho tập lồi đa diện
=
P P ( A, b) ≠ ∅ . Vectơ không là điểm cực biên
của char.cone( P ) khi và chỉ khi rank A = n .
Định lý 1.3.7: Cho
=
P P ( A, b) ⊂  n là một tập lồi đa diện khác rỗng. Khi đó các
mệnh đề sau là tương đương:
(i) r là tia cực biên của P .

(ii) {θ r : θ ∈  + } là 1-diện của char.cone
=
( P ) {x : Ax ≤ 0} .
(iii) r ∈ char.cone( P ) \ {0} và với
=
I : {=
i : Ai r 0} ta có rank AI= n − 1 .


18

Chứng minh
Đặt
=
I : {=
i : Ai r 0} .
“(i)⇒(ii)”: Gọi F là diện nhỏ nhất của char.cone( P ) chứa tập {θ r : θ ∈  + } .
Theo mệnh đề 1.2.7 ta có

F=
{x ∈ char.cone( P ) : AI x =
0 I } và eq ( F ) = I . Nếu dim F > 1 , thì theo định lý về
số chiều 1.2.15 ta có rank AI < n − 1 . Do đó, Tập nghiệm của hệ AI x = 0 I chứa
vectơ r1 độc lập tuyến tính với r . Với ε > 0 đủ nhỏ ta có r ± ε r1 ∈ char.cone( P ) ,
vì=
AI r 0,=
AI r1 0 và AM \ I r < 0 . Nhưng ta có r =

1
1

(r + ε r1 ) + (r − ε r1 ) , điều này
2
2

mâu thuẫn với giả thiết r là tia cực biên.
Do đó, dim F = 1 . Vì r ≠ 0 , tập không bị chặn {θ r : θ ∈  + } chứa trong F
cũng có số chiều bằng 1. Vậy
=
F {θ r : θ ∈  + } là 1-diện của char.cone( P ) .
“(ii)⇒(iii)”: Áp dụng định lý số chiều 1.2.15 cho char.cone( P ) ta suy ra

rank AI= n − 1 . Do {θ r : θ ∈  + } có số chiều là 1 nên r ≠ 0 .
“(iii)⇒(i)”: Theo kết quả của đại số tuyến tính ta có tập nghiệm của hệ

AI x = 0 I có số chiều bằng 1. Do AI r = 0 và r ≠ 0 nên với y thỏa AI y = 0 ta có

=
y θ r ,θ ∈  .
Giả sử r = λ r1 + (1 − λ )r 2 với r1 , r 2 ∈ char.cone( P ) . Khi đó,

0 I = AI r= λ AI r1 + (1 − λ ) AI r 2 ≤ 0 I


≤0I

≤0I

j
Suy ra A=
0=

, j 1, 2 . Do đó r1 = θ r 2 . Vậy r là tia cực biên.
Ir

Định lý 1.3.8. Cho P = P ( A, b) là một tập lồi đa diện khác rỗng có ít nhất một điểm
cực biên. Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính min{< c, x >: x ∈ P} có hàm mục tiêu
không bị chặn dưới trên P thì tồn tại một tia cực biên r của P sao cho

< c, r > < 0 .
Chứng minh
Xét bài toán max{− < c, x >: x ∈ P} .


19

Theo định lý đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính thì tập hợp

{ y : AT y =
−c, y ≥ 0} phải là tập rỗng. Theo bổ đề Farkas, tồn tại r sao cho Ar ≥ 0
và − < c, r > < 0 .
Đặt r ' := − r suy ra Ar ' ≤ 0 và < c, r ' > < 0
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

max{− < c, x >: Ax ≤ 0, − < c, x >≤=
1} max{− < c, x >: x ∈ P '}

(1.15) .

Vì rank A = n nên P ' cũng là tập lồi đa diện có ít nhất một điểm cực biên.
Thêm nữa là P ' ≠ ∅ vì

r'
∈ P ' . Do ràng buộc − < c, x >≤ 1 suy ra
− < c, r ' >

(1.15) có nghiệm tối ưu. Dễ dàng suy ra được giá trị tối ưu của (1.15) là 1 đạt
được tại x =

r'
.
− < c, r ' >

Do nghiệm tối ưu của bài toán (1.15) đạt được tại điểm cực biên của
nên r* :
P ' ⊆ char.cone( P )=

r'
∈ char.cone( P ) .
− < c, r ' >
< c, r* >= −1

Suy ra

(1.16) .

A 
Đặt I {=
=
i : Ai r* 0} . Theo định lý số chiều 1.2.15 ta có rank  I  = n (vì
c 
theo định lý 1.3.2 {r*} là 0-diện của tập lồi đa diện P ' ).

Nếu rank AI= n − 1 , thì theo định lý 1.3.7 ta có r * là tia cực biên của P .
Nếu rank AI = n , thì theo định lý 1.3.2 ta có r * là điểm cực biên của

char.cone( P ) , mâu thuẫn với mệnh đề 1.3.6.



Định lý 1.3.9. Cho P = P ( A, b) là tập lồi đa diện khác rỗng và rank A = n (tức là P
có ít nhất một điểm cực biên). Khi đó,

P=
{x ∈  n : x =
1, λk ≥ 0, µ j ≥ 0}
∑ λk x k + ∑ µ j r j , ∑ λk =
k∈K

j∈J

(1.17)

k∈K

trong đó, x k , k ∈ K là các điểm cực biên của P và r j , j ∈ J là các tia cực biên của
P.