phương pháp toán tử fk tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2d trong từ trường đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Nguyễn Thị Hồng Lanh

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK TÌM NGHIỆM
SỐ CHÍNH XÁC CHO BÀI TOÁN EXCITON 2D
TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
MÃ SỐ: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013

1


Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân,tôi
đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè:
- Trước hết tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên Bộ môn Vật lý lý
thuyết trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt
những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong quá trình thực hiện luận văn.
- Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm – giáo
viên hướng dẫn luận văn này – người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn.

- Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ tôi trong suốt thời gian học
cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.
- Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng khoa học đã xét duyệt và
cho những nhận xét vô cùng quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình xây dựng từ phía thầy cô,
bạn bè.
Xin chân thành cảm ơn!

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2013.

2


MỤC LỤC
Chương 1: TỔNG QUAN VỀ EXCITON .....................................................................10
1.1 Exciton ...................................................................................................10
1.1.1 Lịch sử .......................................................................................10
1.1.2 Khái niệm ...................................................................................11
1.1.3 Phân loại .....................................................................................13
1.1.4 Tính chất .....................................................................................15
1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường .........16
1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường ...........................16
1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm ..18
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK .................................................................21
2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải.............................21
2.2 Phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ nguyên tử, phân tử ...............30
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK .................................................................35
GIẢI BÀI TOÁN EXCITON 2D ..................................................................................35
TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU ........................................................................................35

3.1 Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường ......35
3.2 Kết quả...................................................................................................41
3.2.1 Nghiệm chính xác bằng số .........................................................41
3.2.2 Ý nghĩa các số lượng tử k, m ......................................................45
Phụ lục 1: ..........................................................................................................49
Đưa toán tử Hamilton của exciton về dạng không thứ nguyên ........................49
Phụ lục 2: Toán tử sinh-hủy một chiều ..........................................................51
Phụ lục 3: Xây dựng sơ đồ vòng lặp tìm nghiệm bậc không .........................53
1


Phụ lục 4: Chứng minh các toán tử tạo thành đại số kín ...............................55
Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử

{

}

Sˆ = exp −τ ( Mˆ + + Mˆ + Nˆ ) ........57

Phụ lục 6: Tìm bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán exciton ...............................59
Phụ lục 7: Các thành phần ma trận của toán tử Hamilton .............................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 65

2


DANH MỤC HÌNH ẢNH, ĐỒ THỊ
Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit ............................................11
Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn. ..................................11

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa X 0 , exciton âm X − và exciton
dương X + ..............................................................................................12
Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel. ...........................................14
Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl. ...................................................14
Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton. .......................................16
Hình 2.1 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi
điều hòa ứng với trạng thái cơ bản n = 0 ..............................................28
Hình 2.2 Tốc độ hội tụ của năng lượng về nghiệm chính xác của dao động tử phi
điều hòa ứng với trạng thái kích thích n = 4 .........................................29
Hình 3.1 Các mức năng lượng của exciton được vẽ ứng với các giá trị khác nhau
của từ trường..........................................................................................44
Hình 3.2 Các mức năng lượng của exciton được vẽ trong vùng từ trường có

γ ≤ 1. .....................................................................................................45

3


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản n = 0 của dao động tử phi
điều hòa ....................................................................................................26
Bảng 2.2 Phương pháp toán tử FK cho trạng thái kích thích n = 4 của dao động tử
phi điều hòa .............................................................................................27
Bảng 3.1 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

m 0 ) ứng với các giá trị khác nhau của từ
trạng thái cơ bản 1s=
( k 0,=
trường .......................................................................................................42
Bảng 3.2 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho

trạng thái kích thích 2 p − ( k = 0, m = −1 )................................................42
Bảng 3.3 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho
trạng thái kích thích 3 d − ( k = 0, m = −2 )...............................................43
Bảng 3.4 Năng lượng chính xác tính bằng phương pháp toán tử FK của exciton cho
trạng thái kích thích 5 d − ( k = 2, m = −2 ). .............................................43
Bảng 3.5 Giá trị các số lượng tử ứng với các trạng thái khác nhau. ........................46

4


MỞ ĐẦU
1. Cùng với sự phát triển của khoa học, vật lý cũng có những bước phát triển mới.
Các thiết bị đo đạc được chế tạo ngày càng tinh vi và chính xác hơn, nhiều phương
pháp giải các bài toán lượng tử được tìm ra; kết quả lý thuyết ngày càng tiến gần
hơn đến kết quả thực nghiệm. Một trong những phương pháp cho phép tìm nghiệm
số chính xác đó là phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu
của giáo sư Feranchuk và Komarov ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng (xem công
trình [2] và các tài liệu trích dẫn). Phương pháp này thường được gọi là phương
pháp toán tử FK (viết tắt tên hai giáo sư Feranchuk và Komarov). Phương pháp toán
tử FK được xây dựng trên cơ sở kế thừa những ưu điểm của phương pháp lý thuyết
nhiễu loạn và phương pháp biến phân, đồng thời tận dụng những ưu thế của biểu
diễn đại số trong cơ học lượng tử để tiện lợi trong quá trình tính toán. Phương pháp
này đã được áp dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường và được áp dụng
trong nhiều công trình như [2], [3], [5], [10].
Ý tưởng chính của phương pháp toán tử FK dựa trên tư tưởng của lý thuyết
nhiễu loạn là tách toán tử Hamilton thành hai phần: phần chính có nghiệm chính xác
và phần còn lại là nhiễu loạn, tuy nhiên khác với lý thuyết nhiễu loạn ở chỗ việc
phân chia toán tử Hamilton không dựa vào yếu tố vật lý mà đơn thuần dựa vào hình
thức của các toán tử trong toán tử Hamilton. Qua các công trình đã áp dụng, phương

pháp toán tử FK thể hiện ưu điểm nổi bật là đơn giản hóa quá trình tính toán. Việc
tính các tích phân phức tạp được thay thế bằng các phép tính đại số đơn giản thể
hiện qua bài toán dao động tử điều hòa, phi điều hòa, exciton trung hòa, exciton
trong từ trường…[1], [2], [7], [9].
Hiện nay khoa học kỹ thuật phát triển, các nhà vật lý ngày càng quan tâm
đến các hệ thấp chiều và các vật liệu kích cỡ nano bằng các phương pháp như kỹ
thuật nuôi cấy tinh thể (Molecular Beam Epitaxy, viết tắt là MBE), kết tủa hơi kim
loại hóa hữu cơ (Metal Organic Chemical Vapor Deposition, viết tắt là MOCVD)
[9], [12]. Trong các mô hình thấp chiều tạo ra từ thực nghiệm, loại tinh thể nhiều
5


lớp bán dẫn GaAs/Al x Gs 1-x As được sử dụng nhiều nhất do nó thỏa mãn yêu cầu
nghiêm ngặt khi cấy ghép và dễ dàng thay đổi tính chất và nồng độ của từng loại hạt
tải điện khi thay đổi chỉ số x. Trong tinh thể này, vùng GaAs đóng vai trò như hố
thế và vùng Al x Gs 1-x As đóng vai trò như bức tường thế. Chuyển động của điện tử bị
giới hạn và được xem như chuyển động trong không gian hai chiều.
Sự xuất hiện những mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán dẫn đã chứng
tỏ sự tồn tại của exciton, một trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống. Exciton
nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý vì nhiều lí do. Đầu tiên, exciton tồn
tại trong bán dẫn và chất cách điện mà không tồn tại trong kim loại, người ta đã tìm
thấy exciton trong các tinh thể halogen kiềm (vào những năm 30), tinh thể phân tử
(vào những năm 40), tinh thể bán dẫn (vào những năm 50) và cả trong các tinh thể
ion, tinh thể khí hiếm và một số liên kết đất hiếm. Thứ hai, quang phổ exciton
thường có cấu trúc rõ nét và cho phép nghiên cứu lý thuyết một cách chi tiết. Thứ
ba, lý thuyết exciton không đơn giản có thể hiểu được bằng cách áp dụng lý thuyết
nguyên tử hay sơ đồ vùng Block và exciton có sơ đồ năng lượng giả Hydro [5],
[15]. Nghiên cứu cho thấy nhiều hiệu ứng quang điện xảy ra đặc biệt khi có sự tồn
tại của exciton trong bán dẫn khi có từ trường ngoài như hiệu ứng Stark, sự thay đổi
tính dẫn điện, hiệu ứng tách vạch Zeeman trong từ trường [18], [12]. Phổ năng

lượng và hàm sóng của exciton trong từ trường chính vì vậy cần được tính toán với
độ chính xác ngày càng cao. Exciton hai chiều (2D) trong từ trường là một đối
tượng nghiên cứu quan trọng cả thực nghiệm lẫn lý thuyết [5], [15], [13], [16], [9].
Trong công trình [16], bài toán exciton trong từ trường được giải bằng
phương pháp biến phân kết hợp với phân tích theo chuỗi 1/N, còn trong công trình
[15] đã dùng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn có tính tới tiệm cận hàm sóng. Cả
hai công trình này đều cho các kết quả chính xác đến bảy chữ số thập phân với các
trạng thái cơ bản 1s cũng như các trạng thái kích thích 2p –, 3d –. Có thể thấy là việc
tăng độ chính xác bằng số và áp dụng cho các trạng thái kích thích cao hơn không
phải dễ dàng. Vì vậy việc giải tìm nghiệm số chính xác của bài toán với độ chính
xác cao hơn không những cho trạng thái cơ bản mà còn các trạng thái kích thích với
độ chính xác cao chính có ý nghĩa quan trọng. Ngoài ra, bài toán này còn được giải
bằng phương pháp toán tử FK trong công trình gần đây [10].
6


Trong phương pháp toán tử, khi biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử
sinh hủy, đối với các bài toán mà thành phần tương tác có dạng đa thức của các biến
số động lực, ví dụ như bài toán dao động tử phi điều hòa, thì việc vận dụng tương
đối đơn giản. Đối với các bài toán hệ nguyên tử có tương tác Coulomb có chứa biểu
thức tọa độ ở mẫu, để có thể áp dụng phương pháp, cần phát triển thêm. Trong công
trình [10] sử dụng phép biến đổi Levi-Civita đã khắc phục được khó khăn trên và đã
tìm được nghiệm số chính xác đến 20 chữ số thập phân. Phép biến đổi Levi-Civita
cho phép đưa các bài toán đang xét về dạng bài toán dao động tử phi điều hòa. Bài
toán này đã được giải bằng phương pháp toán tử FK và có kết quả chính xác. Tuy
nhiên, khi áp dụng phép biến đổi này, năng lượng E không còn là trị riêng của toán
tử Hamilton nữa, mà nó trở thành một thành phần của toán tử này. Khi đó ta sử
dụng một trị riêng hình thức Z với giá trị không đổi, và năng lượng E được xác định
thông qua phương trình Z ( E ) = hằng số.
Đối với các bài toán như exciton trung hòa, việc giải phương trình gián tiếp

như vậy có thể thực hiện được. Tuy nhiên, đối với các bài toán phức tạp hơn như
bài toán exciton âm, việc xác định năng lượng một cách gián tiếp như vậy không
thuận lợi bằng việc giải trực tiếp, đặc biệt là khi xây dựng giải thuật để tìm nghiệm
số. Trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để đưa phần tọa
độ ra khỏi mẫu số, phương pháp toán tử FK vẫn áp dụng được một cách hiệu quả
mà không cần phải thông qua một biến hình thức nào khác, mặc dù khối lượng tính
toán ban đầu sẽ tăng lên đáng kể so với việc sử dụng phép biến đổi Levi-Civita.
Phép biến đổi Laplace đã được áp dụng cho bài toán exciton âm [4] và bài toán
exciton trung hòa [7], nhưng chưa được áp dụng cho bài toán exciton trung hòa
trong từ trường. Bài toán này đã có kết quả chính xác bằng số khi sử dụng phép biến
đổi Levi-Civita. Để so sánh phép biến đổi Laplace với phép biến đổi Levi-Civita, tôi
sử dụng phép biến đổi Laplace cho bài toán exciton 2D trong từ trường và thực hiện
đề tài: “Phương pháp toán tử FK tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton
2D trong từ trường đều”.
2. Mục tiêu của luận văn là áp dụng phương pháp toán tử FK kết hợp với phép
biến đổi Laplace tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton hai chiều trong từ

7


trường đều. Căn cứ vào mục tiêu đã đề ra, luận văn gồm có những nội dung cơ bản
sau:
-

Tìm hiểu tổng quan về exciton.

-

Tìm hiểu phương pháp toán tử FK và các vấn đề khi áp dụng phương pháp
này cho các bài toán hệ nguyên tử, phân tử.

-

Tìm nghiệm số chính xác cho bài toán exciton trung hòa trong từ trường
cho trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích.

Phương pháp nghiên cứu:
-

Tìm kiếm tài liệu, đọc, phân tích, tổng hợp.

-

Tính toán để xây dựng phương trình Schrödinger cho exciton 2D trong từ
trường.

-

Sử dụng ngôn ngữ lập trình Fortran để tìm nghiệm số chính.

3. Cấu trúc luận văn gồm có ba chương
Chương 1: Tổng quan về exciton
Trong chương này, tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện exciton, một
trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống; phân loại và tính chất của exciton. Sự
tồn tại của exciton đã làm xuất hiện các mũi nhọn trong phổ hấp thụ của chất bán
dẫn. Khi có mặt từ trường exciton thể hiện một số tính chất như: hiệu ứng Hall, sự
giao thoa của các mức lượng tử, sự tách vạch từ trường, hiện tượng ngưng tụ Bose.
Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên kết của exciton dưới tác
động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất của các chất bán dẫn, có ý
nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính chất định sẵn, đây chính là

mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay. Do đó, việc giải phương trình
Schrödinger cho exciton trong từ trường để xác định phổ năng lượng của exciton
trong từ trường với độ chính xác cao là cần thiết. Để bắt đầu công việc nghiên cứu
thì tôi đã xây dựng lại phương trình Schrödinger cho exciton trung hòa 2D trong từ
trường đều.
Chương 2: Phương pháp toán tử FK
Trong chương này tôi giới thiệu lại phương pháp toán tử FK và các bước
giải cơ bản thể hiện thông qua bài toán dao động tử phi điều hòa. Phương pháp toán
tử có ưu điểm nổi bật là đơn giản quá trình tính toán nên được áp dụng trong nhiều
8


công trình. Tuy nhiên, phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử, phân tử cũng
gặp phải một số vấn đề khó khăn như: thế tương tác Coulomb chưa biến động lực ở
mẫu, dạng chuẩn của toán tử, xây dựng bộ hàm sóng cơ sở, cách chọn tham số ω .
Từ đó mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới về phương pháp toán tử.
Chương 3: Phương pháp toán tử FK giải bài toán exciton 2D trong từ trường
đều
Đây là phần trọng tâm của luận văn, tôi áp dụng phương pháp toán tử kết
hợp với phép biến đổi Laplace giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Kết quả
là nghiệm số chính xác cho bài toán, xác định được năng lượng của exciton ở trạng
thái cơ bản và một số trạng thái kích thích trong từ trường với cường độ bất kỳ. Các
kết quả tính toán được đưa ra với độ chính xác đến hai chữ số thập phân đối với
trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đến năm hoặc bảy chữ số thập phân. Các
kết quả được so sánh với các công trình [10].
4. Phần kết luận sẽ trình bày các kết quả đạt được từ việc áp dụng phương pháp
toán tử cho bài toán exciton hai chiều trong từ trường đều và hướng phát triển tiếp
theo của đề tài.
5. Phần phụ lục là các tính toán chi tiết cho các công thức trong nội dung luận văn.

9


Chương 1:

TỔNG QUAN VỀ EXCITON

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về quá trình phát hiện ra exciton,
khái niệm, phân loại và tính chất của exciton. Sau đó xây dựng lại phương trình
Schrödinger cho exciton trung hòa hai chiều trong từ trường.

1.1 Exciton
1.1.1 Lịch sử
Năm 1907, phổ hấp thụ đầu tiên của exciton đã được Becquerel tìm thấy
trong thực nghiệm ở tinh thể khí hiếm, và vào năm 1929 do Obreimov và De Haas
tìm ra trong tinh thể phân tử [13].
Năm 1931, khái niệm exciton được đề xuất lần đầu tiên bởi Yakov
Frenkel, khi ông mô tả sự kích thích của các nguyên tử trong một mạng tinh thể của
chất cách điện. Ông đề xuất rằng trạng thái kích thích này sẽ có thể di chuyển giống
như hạt trong mạng tinh thể mà không có sự dịch chuyển điện tích. Vào thời điểm
đó, việc mô tả các dải năng lượng trong tinh thể dựa trên sơ đồ Bloch, rút ra từ
phương pháp Hartree-Fock, chưa xét đến sự tương quan của các electron [17], [14].
Năm 1937, một mô hình exciton khác được đề xuất bởi hai nhà khoa học
Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott.
Exciton này giống như nguyên tử Hydro và tồn tại trong chất bán dẫn.
Năm 1951, lần đầu tiên Gross đã phát hiện một quang phổ giống Hydro bao
gồm các vạch hấp thụ hẹp khi nghiên cứu tinh thể đồng (I) oxit (hình 1.1). Gross và
các đồng nghiệp đã phát hiện ra một số tính chất khác thường của exciton trong điện
trường và từ trường, vai trò của exciton trong việc hình thành khả năng phát quang
và quang dẫn [17], [14].

Năm 1958, Lampert dự đoán sự tồn tại của các cấu trúc exciton mang điện
[11]. Khái niệm exciton được sử dụng rộng rãi trong những quá trình vật lý (như
hiện tượng quang điện, sự hình thành các khuyết tật bức xạ, sự phát quang…) trong
tinh thể, polymer và cả vật liệu sinh học. Thực nghiệm đã xác nhận sự tồn tại của
exciton trong chất bán dẫn, tinh thể của phân tử, chất cách nhiệt và ion [17], [14].

10


Phổ năng lượng của exciton âm cũng được quan sát sau đó vào những năm
90 trong giếng lượng tử pha tạp khi sự chênh lệch mật độ giữa điện tử và lỗ trống
rất lớn.

Hình 1.1 Quang phổ của exciton trong đồng (I) oxit,
hiển thị các phần của quang phổ nhìn thấy được màu vàng cam [17].
1.1.2 Khái niệm
Trong bán dẫn thông thường, độ sai khác năng lượng E g giữa dải dẫn và dải
hóa trị ở vào khoảng năng lượng kéo dài từ vùng hồng ngoại tới vùng ánh sáng khả
kiến. Một photon có năng lượng ω > Eg có thể kích thích một điện tử trong dải
hóa trị nhảy lên dải dẫn và để lại trong dải hóa trị một lỗ trống thể hiện như một
điện tích dương. Sau đó, electron trong vùng dẫn hút lỗ trống nó tạo ra bởi lực
Coulomb. Lực hút này tạo ra một sự cân bằng năng lượng ổn định. Khi đó, electron
và lỗ trống không biểu hiện như là những hạt mang điện tự do nữa mà “hành xử”
như chúng là một cặp hạt không thể tách rời. Người ta gọi trạng thái liên kết giữa
electron và lỗ trống trong trường hợp này được xem như là một giả hạt gọi là
exciton [2], [17].

Hình 1.2 Các mức năng lượng của exciton trong bán dẫn [2].

11

Các quan sát cho thấy có nhiều dạng exciton. Khi sự kết hợp xảy ra giữa
một điện tử và một lỗ trống ta có exciton trung hòa X 0 . Khi hai điện tử kết hợp với
một lỗ trống thì exciton có điện tích âm gọi là exciton âm X − . Và cũng có trường
hợp khi hai lỗ trống kết hợp với một điện tích tạo ra một exciton dương X + . Trong
giới hạn luận văn này chỉ đề cập đến exciton trung hòa. Khi ta nói exciton thì được
hiểu là exciton trung hòa.
-

+

-

-

+

-

X−

X0

+

+

X+

Hình 1.3 Có 3 dạng exciton: exciton trung hòa X 0 , exciton âm X −
và exciton dương X + .
Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó có
bán kính lớn hơn và năng lượng liên kết nhỏ hơn. Tương tự như vậy các exciton
dương hay âm cho ta hình ảnh ion phân tử H 2+ hay nguyên tử Heli.
Các exciton tương đối bền vững và có thời gian sống vào khoảng vài trăm
ps đến ns. Do hiệu ứng màn chắn của thế tương tác Coulomb trong chất bán dẫn và
khối lượng hiệu dụng nhỏ của điện tử và lỗ trống. Cho nên mỗi exciton có năng
lượng liên kết nhỏ hơn và kích thước của nó khác nhiều so với nguyên tử Hydro.
Trong một số trường hợp, kích thước của các exciton có thể từ vài angstrom đến vài
ngàn angstrom và thậm chí gấp hàng ngàn lần hằng số mạng (xem công trình [4] và
các tài liệu trích dẫn).

12


1.1.3 Phân loại
Exciton thể được chia làm hai loại, tùy thuộc vào các tính chất của vật liệu
đang xét.
∗ Trong chất cách điện
Hằng số điện môi của chất cách điện rất lớn nên điện tử và lỗ trống tương
tác với nhau ở khoảng cách phân tử. Các exciton tồn tại trong chất cách điện có bán
kính nhỏ, gần bằng kích thước ô sơ cấp. Loại exciton này được gọi là exciton
Frenkel, đặt theo tên của J. Frenkel (còn gọi là exciton phân tử hay exciton bán kính
nhỏ). Do kích cỡ nhỏ, tương tác Coulomb lớn và ít bị ảnh hưởng bởi truờng mạng
nên năng luợng liên kết của nó lớn (trung bình 1.5 eV). Exciton Frenkel thường
được tìm thấy trong các tinh thể halogenua kim loại kiềm và trong các tinh thể hữu
cơ phân tử bao gồm các phân tử thơm, chẳng hạn như polycyclic hydrocarbon
thơm và hydrocarbon thơm đa vòng.
∗ Trong chất bán dẫn

Trong chất bán dẫn, điện tử và lỗ trống vẫn tương tác với nhau nhưng các
điện tử có thể tương tác tự do khắp không gian mạng, còn các lỗ trống tương ứng
cũng có thể di chuyển giữa các nút mạng. Vì vậy, exciton có bán kính lớn rất nhiều
lần hằng số mạng tinh thể. Mô hình exciton này được đề xuất bởi hai nhà khoa học
Nevill Francis Mott và Gregory Wannier, được gọi là exciton Wannier-Mott (còn
gọi là exciton bán kính lớn hay exciton lớn). Năng luợng liên kết của exciton
thuờng nhỏ hơn nhiều so với năng lượng của Hydro (mức trung bình là 0.1 eV)
[17]. Exciton loại này thuờng được tìm thấy trong tinh thể đồng hóa trị. Exciton
Wannier-Mott thường được tìm thấy trong các tinh thể bán dẫn có khe năng lượng
nhỏ và hằng số điện môi cao, nhưng cũng đã được xác định trong chất lỏng, chẳng
hạn như chất lỏng xenon.

13


Hình 1.4 Exciton Mott-Wannier và exciton Frenkel.
Trong những năm gần đây có nhiều nghiên cứu về chất bán dẫn có cấu trúc
giới hạn vì tính ứng dụng của chúng trong các thiết bị điện tử và quang điện tử. Phát
triển gần đây trong công nghệ cấu trúc nano đã cho phép một để nghiên cứu “hành
vi” của điện tử và các tạp chất trong bán hai chiều (giếng lượng tử) [15], [16]. Bán
dẫn GaAs/GaAsAl được quan tâm nghiên cứu vì cấu trúc đặc biệt của nó. Đáy vùng
dẫn GaAsAl cao hơn so với đáy vùng dẫn của GaAs cho nên phần bù vùng dẫn tạo
thành một bức tường thế. Đối với điện tử, hệ bán dẫn này tạo thành một thế năng có
dạng các bức tường thế và hố thế nối tiếp nhau như trong hình sau:

Hình 1.5 Dạng thế của bán dẫn GaAs/GaAsAl [5].
Trong các thiết bị kích cỡ nano, các lớp bán dẫn đủ mỏng và bức tường thế
có thể xem là cao vô hạn. Lúc này ta có một hệ khí điện tử chuyển động tự do trong
không gian hai chiều trên bề mặt lớp bán dẫn GaAs. Thực nghiệm quan sát được
phổ năng lượng gián đoạn của khí điện tử. Điều này chỉ có thể giải thích bởi sự tồn

tại một cấu trúc có trạng thái liên kết là exciton, di chuyển tự do hai chiều trong bán
14


dẫn. Exciton đã được phát hiện rất lâu nhưng đến nay exciton vẫn được đặc biệt
quan tâm nghiên cứu. Vì việc nghiên cứu phổ năng lượng của exciton cho ta nhiều
thông tin về tính chất quang, tính chất điện của bán dẫn, đặc biệt là khi các chất này
được đặt trong từ trường. Các thông tin về tính chất quang, điện, năng lượng liên
kết của exciton dưới tác động của trường ngoài góp phần làm rõ hơn các tính chất
của các chất bán dẫn, có ý nghĩa trong việc tạo ra các cấu trúc thấp chiều với tính
chất định sẵn, đây chính là mục tiêu hàng đầu của công nghệ vật liệu hiện nay. Các
nghiên cứu này có những ứng dụng đặc biệt quan trọng trong việc thiết kế các hệ
thấp chiều kích cỡ nano. Ngoài GaAs, hiện nay nghiên cứu được mở rộng với các
chất liệu bán dẫn khác (InAs/GaSb, InGaAs/InP, GaN, SiO2…) [5].
1.1.4 Tính chất
-

Chỉ có mặt trong bán dẫn hoặc điện môi. Exciton trung hòa tham gia vận

chuyển năng lượng nhưng không tạo ra dòng điện.
-

Về mặt cấu trúc exciton trung hòa giống như nguyên tử Hydro, tuy nhiên nó

có bán kính lớn hơn và năng luợng liên kết nhỏ hơn.
-

Việc tạo ra các mức exciton trong vùng cấm (exciton Mott-Wannier) rất

giống với việc tạo ra các mức tạp trong bán dẫn. Ở mức cơ bản năng lượng liên kết

exciton trùng với mức năng lượng tạp chất donor nhóm V hoặc các bán dẫn nguyên
tố nhóm IV như Si, Ge (cỡ 0.005eV).
-

Không phải chỉ có một mức exciton mà có cả một dải các mức exciton gián

đoạn. Phổ hấp thụ exciton là phổ gián đoạn, gồm một dải các vạch như phổ hấp thụ
của Hydro.
-

Sự tồn tại của exciton đuợc chứng tỏ trong thực nghiệm qua việc phát hiện

một vùng phổ hấp thụ gần bờ hấp thụ cơ bản về phía bước sóng dài với các mũi
nhọn (peak) hấp thụ (ở nhiệt độ thấp) mà không làm thay đổi nồng độ hạt dẫn. Phổ
vạch dạng giống như nguyên tử Hydro đã được phát hiện trong các bán dẫn có vùng
cấm rộng như CdS, HgI 2 , CdI 2 , CuO 2 ,...[2].

15


Hình 1.6 Thực nghiệm chứng tỏ sự tồn tại của exciton [2].

1.2 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường
1.2.1 Toán tử Hamilton của exciton trong từ trường
Toán tử Hamilton cho điện tử và lỗ trống trong từ trường:
1  ˆ e   1 * 2 2
 pe − Ae  + me ωc re
2me* 
c  2
2

Hˆ=

1  ˆ e   1 * 2 2
e2
,
p
A
m
r
Z
ω
+
+
+
−
h
h
c h
 h
2mh* 
c  2
ε re − rh
2

(1.1)

trong đó: số hạng thứ nhất và ba là động năng của điện tử và lỗ trống,
số hạng thứ hai và bốn là động năng chuyển động xoáy ốc dưới tác dụng
của từ trường,

số hạng thứ năm là thế năng tương tác giữa điện tử và lỗ trống,

với A là thế vectơ của từ trường.
Khi có từ trường, toán tử động lượng của hạt lúc này là pˆ +

q 
A (với q là điện tích
c

của hạt), vì vậy chúng ta cần khai triển các số hạng thứ nhất và ba của toán tử
Hamilton (1.1) và rút gọn. Tiếp theo, ta đưa toán tử Hamilton của bài toán về hệ quy
chiếu khối tâm để thuận lợi cho quá trình tính toán. Sau đó, đưa toán tử Hamilton về
dạng không thứ nguyên.

16


2

e 

Tìm  pˆ e − Aˆe  :
c 


(

2

)

e 
e 
e2  2

2

pˆ e − Ae pˆ e + pˆ e Ae + 2 Ae .
 pˆ e − Ae  =
c 
c
c



Mà pˆ e =−i∇ e , Aˆe =A nên


 ∂
∂
∂
Aˆe pˆ e = − Aei∇ = −i  Ax + Ay + Az  ,
∂y
∂z 
 ∂x


∂
∂
∂ 

pˆ e Aˆe =−i∇ Ae =−i  Ax + Ay + Az  =−idiv Ae .
∂y
∂z 
 ∂x
Suy ra
2
 e 2 2
e ˆ 
e 

2
ˆ
ˆ


p
−
A
=
p
−
−
A
i
∇
−
i
div
A + 2 Aˆe ,
e

e
e
e
 e
c 
c
c


(

)

2

e ˆ 
ei 
ei
e2 ˆ 2
1 
1
2
Ae 
pˆ e +
Ae∇ e +
div Ae +
Ae .
 pˆ e − =
c 
2me* 

2me*
2me*c
2me*c
2me*c 2

e2

e2 ˆ 2
Ae .
Do 2 rất nhỏ nên bỏ qua số hạng
2me*c 2
c



ei
Chọn Ae sao cho div Ae = 0 ; nên số hạng
div
Ae = 0 .
2me*c

1 
e 
1
ei 
2
ˆ
ˆ
p
−

A
=
p
+
Ae∇ e .
e
e
 e
2me* 
c 
2me*
2me*c
2

Suy ra

 1  

Mặt khác A =  r , B  nên khi B = (0, 0, B ) thì
2
  
i j k
 1  
1
1  1 
 r=
, B 
=
A
x y=

z
Byi − Bxj
2
2
2
2
0 0 B
1
1
0,
⇒ Ax =By; Ay =
− Bx; Az =
2
2

17


do đó
ie 
i e  ∂
∂
∂
=
( Ae∇ e )
A
+ Ay + Az 
*
*  x
2me c

2me c  ∂x
∂y
∂z 
=

ieB  ∂
∂  eB ˆ
y −x=
Lz .

* 
2me c  ∂x
∂y  2me*c

Suy ra
2

e 
eB ˆ
1 
1
pˆ − Aˆe  =
pˆ e 2 +
Lz .
*  e
*
c 
2me 
2me
2me*c

Tương tự, ta có:
2

1 
e 
1
eB
pˆ + Aˆ h  =
pˆ h 2 + * Lˆz .
*  h
*
2mh 
c  2mh
2mh c

Vậy toán tử Hamilton của điện tử và lỗ trống:
Hˆ =

1
1 2 eB  1
1  
2
ˆ
ˆ
+
+
+
p
p


 Lz
e
h
2me*
2mh*
2c  me* mh* 
e2
1
1
+ me*ωc 2 re 2 + mh*ωc 2 rh 2 − Z
.
ε re − rh
2
2

1.2.2 Toán tử Hamilton của bài toán đối với hệ quy chiếu khối tâm
Chuyển hệ tọa độ ( re , rh ) sang hệ tọa độ ( r , R ) với:

me*re + mh* rh
r=
re − rh , R = *
,
me + mh*
m* m*
M =+
me* mh* , µ =* e h * .
me + mh
Chiếu hai biểu thức trên lên trục x, ta có:

me* xe + mh* xh
x =−
xe xh , X = *
.
me + mh*
Đổi biến

∂
∂ ∂x
∂ ∂X ∂ me* ∂
= +
=+
,
∂xe ∂x ∂xe ∂X ∂xe ∂x M ∂X
∂
∂ ∂x
∂ ∂X
∂ mh* ∂
=
+
=
− +
,
∂xh ∂x ∂xh ∂X ∂xh
∂x M ∂X
18

(1.2)

2

 me*  ∂ 2
me* ∂
∂2
∂2
,
=  
+2
+
∂xe 2  M  ∂X 2
M ∂X ∂x ∂x 2
2

 mh*  ∂ 2
mh* ∂
∂2
∂2
.
=
=
−
2
+
 
2
2
∂xh 2
M
∂

X
M
∂
X
∂
x
∂
x
 
Suy ra

2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
− *
−
=
−
−
.
2me ∂xe 2 2mh* ∂xh 2
2 M ∂X 2 2 µ ∂x 2
Tương tự đối với trục y:

2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
− *

−
=
−
−
.
2me ∂ye 2 2mh* ∂yh 2
2 M ∂Y 2 2 µ ∂y 2
Suy ra

−

2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
2 ∂ 2
−
=
−
−
.
2me* ∂re2 2mh* ∂rh2
2M ∂R 2 2 µ ∂r 2

Toán tử Hamilton ở (1.2) được viết lại như sau:
2

 2 ∂ 2
2 ∂ 2  1
e2
1  eB  2 eB ˆ

2 2
.
−
−
+
+
+
−
ω
µ
Hˆ =
M
R
r
L
Z

c
z
 2µ c 
2
2 
∂
∂
M
R
µ
r
µ
c

ε
r
2
2
2
2
2





(1.3)

eB
Đặt Ωc = , ta có:
µc
pˆ R2
pˆ 2 1
eB ˆ
e2
1 Ω 
.
Lz − Z
+ r + M ωc 2 R 2 + µ  c  r 2 +
2M 2µ 2
2  2 
2µ c
εr
2

Hˆ =

(1.4)

Tách toán tử Hamilton ở (1.4) thành hai phần:
-

Hˆ R
=

pˆ R2 1
+ M ωc 2 R 2 . Thành phần này đặc trưng cho chuyển động của
2M 2

khối tâm có khối lượng M, có dạng giống toán tử Hamilton của dao động tử điều
hoà và đã tìm được nghiệm [1].
pˆ r2 1  Ωc  2 eB ˆ
e2
ˆ
. Thành phần Hˆ r đặc trưng cho
Hr = + µ   r +
Lz − Z
εr
2µ 2  2 
2µ c
2

-

chuyển động tương đối của electron và lỗ trống trong trường thế Coulomb với khối
lượng rút gọn µ .

19


Đưa thành phần toán tử Hamilton Hˆ r về dạng không thứ nguyên ta được:

1  ∂2
iγ
∂2  γ 2
Hˆ =
−  2 + 2  + ( x2 + y 2 ) −
2  ∂x ∂y  8
2

 ∂
1
∂ 
x − y −Z .
r
∂x 
 ∂y

(1.5)

(xem phụ lục 1)
Phương trình Schrödinger cho điện tử và lỗ trống trong từ trường được viết như sau:

 1  ∂2

1
iγ  ∂
∂2  γ 2 2
∂ 
2
E (r ) .
 −  2 + 2  + ( x + y ) −  x − y  − Z  Ψ (r ) =
2  ∂y
r
∂y  8
∂x 
 2  ∂x

(1.6)

Ở đây, E là năng lượng liên kết giữa electron và lỗ trống, đơn vị của năng
lượng là hằng số Rydberg hiệu dụng R* = µ e4 / 2 2ε 2 , đơn vị độ dài là bán kính
Bohr hiệu dụng a* = ε  2 / e2 µ . Cường độ từ trường không thứ nguyên γ được xác
định bằng biểu thức: γ = ωc / 2 R* , trong đó ωc = eB / µ c là tần số chuyển động
xoáy ốc với B là cường độ từ trường; µ , ε lần lượt là khối lượng rút gọn hiệu dụng
của cặp electron-lỗ trống và hằng số điện môi; Z là số điện tích của lỗ trống, trong
trường hợp exciton ta có Z = 1 . Trong công trình này ta xét trong miền thay đổi
rộng của γ từ miền từ trường yếu đến từ trường mạnh.

20


Chương 2:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK

Trong chương này tôi giới thiệu sơ lược về phương pháp toán tử. Các bước
giải một bài toán bằng phương pháp toán tử được thể hiện qua bài toán đơn giản là
dao động tử điều hòa. Khi áp dụng phương pháp toán tử FK cho bài toán hệ phân tử,
nguyên tử chúng ta cũng cần lưu ý một số vấn đề như: toán tử Hamilton chứa biến
động lực ở mẫu, dạng chuẩn của toán tử, cách xây dựng bộ hàm sóng cơ sở và cách
chọn tham số tự do để tốc độ hội tụ của bài toán là tối ưu.

2.1 Giới thiệu về phương pháp toán tử và các bước giải
Những ý tưởng đầu tiên về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm
1979. Phương pháp toán tử FK được ứng dụng thành công cho nhiều bài toán khác
nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn và lý truyết trường [2], [5]. Qua các
nghiên cứu và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể, phương pháp toán tử FK đã thể
hiện một số ưu điểm như sau:
-

Chỉ sử dụng các tính toán thuần đại số. Toán tử Hamilton của bài toán được
đưa về các toán tử sinh hủy nên chúng ta không cần tính các tích phân phức
tạp. Vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán trên biểu tượng như
Matlab, Mathematica,... để tự động hóa quá trình tính toán.

-

Cho phép xét các hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì.

-

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền
thay đổi tham số trường ngoài.
Các bước giải một bài toán bằng phương pháp toán tử FK được trình bày

qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa. Ta xét bài toán dao động phi điều hòa
với toán tử Hamilton có dạng sau:

1 d2 1 2
ˆ
H=
−
+ x + λ x4 ,
2
2 dx 2

(2.1)

với hệ số phi điều hòa λ > 0 . Bài toán này có dạng chuyển động trong hố thế và có
các mức năng lượng gián đoạn.

21


Bước một: Chuyển Hˆ về dạng Hˆ (aˆ + , aˆ , λ , ω ) , với toán tử aˆ + (toán tử
sinh), aˆ (toán tử huỷ) được định nghĩa như sau:

aˆ =
aˆ + =

ω

i 
xˆ + pˆ  =


2
ω 

ω


xˆ − pˆ  =

2
ω 

i

ω

1 d 
,
x+

2
ω dx 

(2.2)

ω

1 d 
.
x−


2
ω dx 

Ở đây, ω là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán.
Dễ dàng tính được hệ thức giao hoán

 aˆ , aˆ +  = aa
ˆ ˆ + − aˆ + aˆ = 1.

(2.3)

(xem phụ lục 2)
Hệ thức (2.3) giúp chúng ta đưa các toán tử về dạng chuẩn, nghĩa là toán tử sinh
nằm ở phái bên trái, toán tử hủy nằm ở phía bên phải. Từ đây về sau ta xem đó là
dạng chuẩn của toán tử (xem mục 2.2).

1

=
x
(aˆ + + aˆ )

2ω

.

d
ω


=
(aˆ + − aˆ )
 dx
2

Và

(2.4)

Để thuận lợi cho các tính toán đại số sau này, ta được biểu thức toán tử Hamilton
(2.1) về dạng chuẩn như sau:
2
2
1+ ω2
1− ω2  2
3λ
+
ˆ
ˆ + ( aˆ + )  + 2  2 ( aˆ + aˆ ) + 2aˆ + aˆ + 1
=
H
a
2aˆ aˆ + 1) +
(
 4ω 

4ω
4ω 
4
3

2
λ
+ 2  aˆ 4 + ( aˆ + ) + 4 ( aˆ + ) aˆ + 4aˆ + aˆ 3 + 6 ( aˆ + ) + 6aˆ 2  .

4ω 

(2.5)

Bước hai: Tách toán tử Hamilton ở phương trình (2.5) thành hai thành phần
như sau:
+ Phần thứ nhất là Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ, λ , ω ) chứa các toán tử trung hòa, nghĩa là các
số hạng chứa số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:
1+ ω2
3λ
Hˆ 0OM
2aˆ + aˆ + 1) +
=
(
4ω
4ω 2

(

 2 aˆ + aˆ


22

)

2

+ 2aˆ + aˆ + 1 .


(2.6)


+ Phần còn lại là Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) .
Trong lý thuyết nhiễu loạn, ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần
ˆ Hˆ + Vˆ dựa vào yếu tố vật lý; trong đó thành phần Hˆ có nghiệm của bài toán
H
=
0
0

dao động tử điều hòa và thành phần Vˆ được xem là nhiễu loạn liên quan đến tương
tác trường ngoài. Phương pháp lý thuyết nhiễu loạn được áp dụng với điều kiện
Vˆ << Hˆ 0 ứng với những giá trị λ phù hợp. Đối với phương pháp toán tử, việc tách

toán tử Hamilton chỉ dựa trên hình thức của các số hạng chứ không dựa vào ý nghĩa
vật lý của bài toán thể hiện ở chỗ λ không chỉ có trong phần nhiễu loạn Vˆ mà có cả
trong phần Hˆ 0 .Vì vậy, phương pháp này có thể áp dụng cho các dạng hệ vật lý
khác nhau. Ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: phần chính

Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) chỉ chứa các toán tử trung hòa nên có nghiệm chính xác mà chúng
ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) đóng vai trò
“nhiễu loạn”. Hệ số trường ngoài λ có mặt trong cả phần chính và phần nhiễu loạn.
Toán tử Hamilton không phụ thuộc vào tham số ω , nên ω được gọi là tham số tự
do. Phần chính và phần nhiễu loạn phụ thuộc vào tham số tự do ω và ω có vai trò

điều chỉnh Vˆ OM ( aˆ + , aˆ , λ , ω ) để đảm bảo điều kiện lý thuyết nhiễu loạn Vˆ << Hˆ 0 .
Bước ba: Tìm nghiệm gần đúng bậc không bằng cách giải phương trình:
0
0
0
Hˆ 0OM ( aˆ + aˆ , λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) .

(

(2.7)

)

Toán tử Hˆ 0OM aˆ + aˆ , λ , ω giao hoán với toán tử aˆ + aˆ , nên nghiệm của (2.7) là:

n(ω ) =

( aˆ )
n!

1

+ n

0 ,

(2.8)

aˆ (ω ) 0 0;=
0 0 1.

với nghiệm cơ bản:=
aˆ + aˆ n = n n .

Ta chứng minh được:
Từ đó, ta có:

=
E
(0)
n

1+ ω2
3λ
n H=
n
( 2n + 1) + 2 ( 2n 2 + 2n + 1) .
4ω
4ω
OM
0

23

(2.9)