phân loại các đại số lie toàn phương giải được đến 6 chiều và chiều toàn phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Bình

PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN
PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU
VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Bình

PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI
ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành : Hình học và tôpô
Mã số

: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. Lê Anh Vũ
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Lê
Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc đến quý Thầy. Quý Thầy đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi tiếp xúc với
các nguồn tài liệu quý trong và ngoài nước, giảng giải và chỉ dẫn tận tình,
đầy trách nhiệm cho tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Hơn nữa, Thầy đã
dành nhiều thời gian và công sức để đọc và chỉnh sửa luận văn cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán trường Đại Học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý Thầy Cô tổ Hình học. cũng như
quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 21 trường Đại học sư phạm thành
phố Hồ Chí Minh đã cung cấp những kiến thức chuyên môn cần thiết cho tôi
để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Ban phản biện đã đọc và
cho tôi nhiều nhận xét, đánh giá bổ ích về luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ chức Hành chính,
Phòng Sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính trường Đại học sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ cùng toàn
thể các đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn những ý kiến trao đổi từ các bạn đồng nghiệp
trong Seminar định kì của nhóm nghiên cứu chuyên ngành Hình học - Tôpô
trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.
Luận văn không thể hoàn thành nếu thiếu sự chia sẻ, khích lệ, động viên
của gia đình tôi. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn của mình đến gia đình.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2012

Tác giả
Nguyễn Văn Bình


4

Bảng chỉ dẫn các kí hiệu



End(V )
Mat(n)
gl (n)
sl ( n )

o( n )
so(2n)

Tập hợp các số tự nhiên
Trường số thực
Trường số phức
Không gian các toán tử tuyến tính trên không gian vector V
Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường 
Đại số Lie các ma trận vuông cấp n trên trường số phức
Đại số Lie các ma trận vuông cấp n có vết bằng 0 trên trường số
phức
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp n trên trường số phức thỏa
mãn X t = − X
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa
 0 In 

mãn X t J + JX =
0 với J = 
 , I n là ma trận đơn vị cấp n
 In 0 

Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n + 1 trên trường số phức
1 0 0 
so(2n + 1)
t
thỏa mãn X J + JX =
0 với J =  0 0 I n  , I n là ma trận đơn vị
0 I 0 
n


cấp n
Đại số Lie các ma trận X vuông cấp 2n trên trường số phức thỏa
 0 In 
sp(2n)
mãn X t J + JX =
0 với J = 
 , I n là ma trận đơn vị cấp n
0
−
I
 n

Der( A)
Đại số các ánh xạ đạo hàm trên A
Rad(g)

Căn của đại số Lie g
Span( A)
Không gian con nhỏ nhất chứa A
tr( A)
Vết của ma trận A
dim(g)
Chiều của không gian vector g
d q (g)
Chiều toàn phương của đại số Lie toàn phương g
Tổng trực tiếp
⊕
⊥
Tổng trực tiếp trực giao
⊕

∧ 3 (g* )
dup(g)
rank( A)
Ker( A)
Im( A)
Cen(g)

Không gian các 3-dạng phản xứng trên g*
Số dup của một đại số Lie toàn phương không giao hoán
Hạng của ma trận A
Hạt nhân của toán tử tuyến tính A
Ảnh của toán tử tuyến tính A
Không gian các centromorphism của g

5
Cen I (g)
det( A)

Không gian các centromorphism khả nghịch của g
Định thức của ma trận A


6

Mở đầu
Trong luận văn các không gian vector chủ yếu được xét trên trường số phức

 và hữu hạn chiều.
Nghiên cứu về các đại số Lie, đặc biệt là những nghiên cứu về các đại số
Lie nửa đơn, là một lĩnh vực nghiên cứu rộng trong toán học và có nhiều ứng
dụng trong vật lí. Một trong những công cụ hữu hiệu được sử dụng khá nhiều
trong nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn là dạng Killing nhờ các tính chất đối
xứng, bất biến và không suy biến của nó. Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan trong
bài toán phân loại các đại số Lie nói rằng g là một đại số Lie nửa đơn nếu và
chỉ nếu dạng Killing không suy biến trên g × g . Do đó người ta đặt ra một câu
hỏi rằng, cho một đại số Lie g (không nhất thiết nửa đơn), liệu có tồn tại một
dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, bất biến và không suy biến giống
như dạng Killing trên g hay không? Trong trường hợp tồn tại một dạng song
tuyến tính như thế thì g được gọi là một đại số Lie toàn phương.
Đại số Lie toàn phương đã được nghiên cứu từ lâu nhưng gần đây mới được
quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện nhiều công cụ dành cho các đại số Lie toàn
phương [6], [14], [16], [17] cũng như người ta thấy mối liên hệ của chúng với
một số bài toán vật lí (xem [13] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Bản thân
khái niệm đại số Lie toàn phương và các công cụ của nó hoàn toàn có thể tổng

quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toàn phương (xem [5]) hoặc áp
dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác (xem [2], [6] và một số tài liệu
trích dẫn trong đó). Chú ý rằng, các đại số Lie toàn phương vẫn được xem xét
trong trường hợp vô hạn chiều [14].
Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại số Lie toàn phương theo
hướng quen thuộc, đó là nghiên cứu các đại số Lie toàn phương thấp chiều.
Cách tiếp cận này có lợi điểm ở chổ có thể xem xét nhiều khái niệm khá phức
tạp của lớp các đại số Lie toàn phương trên những ví dụ cụ thể ở chiều thấp và
sau đó tổng quát trở lại các khái niệm đó. Một lợi điểm khác là thông qua việc
phân loại hoặc nghiên cứu các tính chất đáng chú ý trên các đại số Lie toàn


7
phương thấp chiều, chúng ta hi vọng sẽ phát hiện nhiều lớp con đặc biệt của
lớp các đại số Lie toàn phương cũng như tìm thấy những công cụ nghiên cứu
mới. Do đó chúng tôi cố gắng trình bày đầy đủ các khái niệm với nhiều ví dụ,
các chứng minh được diễn giải chi tiết và các tính toán được mô tả cụ thể.
Kết quả phân loại đến 4 chiều trong trường hợp giải được đã được thực
hiện trong [18] nhưng ở đây chúng tôi sẽ tiến hành chứng minh lại kết quả đó
bằng một cách ngắn gọn hơn nhờ áp dụng Phân tích Witt (xem [9]) và một kết
quả trong [17]. Hơn nữa, kết quả này chúng tôi cũng kiểm chứng thông qua
phương pháp mở rộng kép, một phương pháp khá hiệu quả trong nghiên cứu
các đại số Lie toàn phương. Trường hợp này có thể xem như là ví dụ cơ bản
đầu tiên cho các trường hợp còn lại trong các chương tiếp theo.
Đối với việc phân loại trường hợp giải được 5 chiều, công việc này đã
được thực hiện trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Trường hợp này đã
được phân loại trong [11] bằng công cụ mở rộng kép. Hơn nữa chúng tôi cũng
áp dụng chính phương pháp đó để phân loại các đại số Lie toàn phương cơ
bản rút gọn và thu được kết quả giống như trong [17] khi sử dụng những ứng
dụng của các đại số Lie phân bậc và tích super-Poisson. Qua cách làm của

chúng tôi, độc giả có thể thấy những hạn chế của phương pháp sử dụng Phân
tích Witt và do đó đòi hỏi phải sử dụng phương pháp phân loại tốt hơn, chẳng
hạn bằng mở rộng kép, nếu muốn phân loại trong trường hợp số chiều lớn hơn
5.
Cho đến nay, phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6 chiều
vẫn là một bài toán mở. Bằng cách áp dụng các kết quả từ mở rộng kép trong
[13] và [15] kết hợp với kết quả phân loại các quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie
cổ điển o(m) trong [10] và [11], chúng tôi chứng minh được rằng trong
trường hợp bất khả phân, các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều vẫn
còn là mở rộng kép một chiều của một đại số giao hoán và do đó ta nhận được
một phân loại gồm 3 họ đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều bất khả
phân. Phân loại này đúng đến đẳng cấu đẳng cự. Kiểu mở rộng kép của một
đại số Lie giao hoán là kiểu mở rộng kép đã được phân loại hoàn toàn. Các đại


8

số Lie toàn phương thu được từ kiểu mở rộng kép này được gọi là các đại số
Lie toàn phương kì dị.
Trong luận văn này chúng tôi trình bày thêm một cách tiếp cận khác đến
các đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3-dạng liên kết với
chúng. Từ phân loại 3-dạng liên kết này trong các không gian đến 5 chiều
chúng tôi cũng chứng minh được rằng mọi đại số Lie toàn phương giải được
không giao hoán đến 6 chiều đều là các đại số Lie toàn phương kì dị. Kết quả
này trùng với kết quả thu được từ phương pháp mở rộng kép.
Một trong những đặc trưng lí thú trong nghiên cứu các đại số Lie toàn
phương là tính toán chiều toàn phương của chúng, tức là tính toán chiều của
không gian sinh bởi các dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến trên một đại
số Lie toàn phương cho trước. Cho đến nay, công thức tổng quát cho chiều
toàn phương đối với một đại số Lie toàn phương bất kì vẫn là bài toán mở.

Người ta chỉ mới tính toán công thức một cách chính xác cho chiều toàn
phương của lớp các đại số Lie đơn, lớp các đại số Lie rút gọn và lớp các đại số
Lie toàn phương kì dị hoặc chỉ thu được các chặn dưới và chặn trên của chiều
toàn phương trong trường hợp tổng quát (xem [4], [11] và một số tài liệu trích
dẫn trong đó). Trong Chương 3, chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết cách
tính chiều toàn phương của một đại số Lie toàn phương và áp dụng nó cho các
đại số Lie toàn phương thu được từ phân loại trên. Kết quả chúng tôi nhận
được là công thức tường minh cho từng đại số.
Vì nội dung luận văn chỉ khảo sát bài toán phân loại các đại số Lie giải
được đến 6 chiều và tính chiều toàn phương của chúng nên luận văn của
chúng tôi có tên là “Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 6
chiều và chiều toàn phương”.
Phần nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương. Chương đầu
tiên dành chủ yếu để giới thiệu những định nghĩa và một số kết quả cơ bản
trên đại số Lie và đại số Lie toàn phương. Vì đại số Lie toàn phương là đối
tượng xuất hiện rất tự nhiên từ việc tổng quát trường hợp đại số Lie nửa đơn
với dạng Killing nên chúng tôi chỉ tập trung giới thiệu những tính chất đặc


9
biệt của dạng Killing và một số kết quả quen thuộc liên quan đến đại số Lie
nửa đơn liên quan đến việc tổng quát hóa này. Đối với đại số Lie toàn
phương, chúng tôi chỉ giới thiệu những kiến thức cần thiết liên quan đến việc
phân loại các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán chiều toàn
phương. Chương thứ hai chủ yếu dành để khảo sát các đại số Lie toàn phương
cơ bản và tiến hành phân loại lại bằng phân tích Witt. Chương thứ ba trình bày
chi tiết của việc phân loại và tính toán chiều toàn phương của các đại số Lie
toàn phương đến 6 chiều. Chúng tôi cũng trình bày thêm cách tiếp cận đến các
đại số Lie toàn phương thấp chiều thông qua 3-dạng liên kết với chúng. Phần
cuối của luận văn là một số kết luận và kiến nghị.

10

Chương 1
Mở đầu về đại số Lie và đại số Lie toàn phương
1.1 Đại số Lie
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1 Cho g là một không gian vector trên trường  . Ta nói g
là một đại số Lie nếu trên g được trang bị phép toán (gọi là tích Lie)

[.,.]: g × g → g
( X ,Y )  [ X ,Y ]
thỏa mãn các điều kiện sau:
i)

Phép toán [.,.] là một ánh xạ song tuyến tính;

ii) Phép toán [.,.] là phản xứng, tức là [ X , X ] = 0 với mọi X ∈ g ;
iii) [ X ,[Y , Z ]] + [Y ,[ Z , X ]] + [ Z ,[ X , Y ]] =
0 với mọi X , Y , Z ∈ g
(đồng nhất thức Jacobi).
Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian vector g .
1.1.2 Đại số Lie con và các ideal
Định nghĩa 1.2 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con A của g
được gọi là một đại số Lie con của g nếu [ X , Y ] ∈ A với mọi X , Y ∈ g .
Định nghĩa 1.3 Cho đại số Lie g . Một không gian vector con I của g
được gọi là một ideal của g nếu [ X , Y ] ∈ I với mọi X ∈ g, Y ∈ I .
Cho đại số Lie g ta kí
hiệu [g, g] {[ X , Y ] | X , Y ∈ g} được gọi là đại số

=
dẫn xuất của đại số Lie g và là một ideal của g . Kí hiệu

Z (g) = { X ∈ g|[ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g} là ideal tâm của g .
Định nghĩa 1.4 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu
( 2)
(n)
=
g(1) [g, g], g=
[g(1) , g(1) ],…, g=
[g( n −1) , g( n −1) ] . Khi đó đại số Lie g được

gọi là giải được nếu tồn tại m ∈   {0} sao cho g( m ) = {0} .


11
Định nghĩa 1.5 Cho đại số Lie g trên trường  . Ta kí hiệu
1
2
n
g=
[g, g], g=
[g, g1 ],…, g=
[g, gn−1 ] . Khi đó đại số Lie g được gọi là lũy

linh nếu tồn tại m ∈  \ {0} sao cho gm = {0} .
Định nghĩa 1.6 Cho g1 và g2 là hai đại số Lie trên trường  . Khi đó ánh
xạ tuyến tính ϕ : g1 → g2 được gọi là một đồng cấu đại số Lie nếu bảo toàn
tích Lie, tức là ϕ ([ X , Y ]) = [ϕ ( X ),ϕ (Y )] , với mọi X , Y ∈ g1 .
Cho đại số Lie g . Ta kí hiệu Rad(g) là ideal giải được lớn nhất của g .

Định nghĩa 1.7 Một đại số Lie g ≠ {0} là nửa đơn nếu nó không có một
ideal giải được khác {0} (hay Rad(g) = {0} ).
Định nghĩa 1.8 Một đại số Lie không giao hoán g là đơn nếu nó không có
một ideal nào ngoài {0} và g .
1.1.3 Dạng Killing
Định nghĩa 1.9 Cho đại số Lie g trên trường số phức  . Dạng Killing
trên g là một ánh xạ song tuyến tính, đối xứng xác định bởi

=
κ
( X , Y ) : tr(adX  adY ), ∀X , Y ∈ g.
Bổ đề 1.10
a)

Nếu φ : g → g là một tự đẳng cấu đại số Lie của g thì

κ (φ ( X ),φ (Y )) = κ ( X , Y ) ;
b)

Dạng Killing thỏa mãn tính chất

κ ([ X , Y ], Z ) = κ ( X ,[Y , Z ]) ;
c)

Nếu I là một ideal của g thì thu hẹp của κ trên I cũng

là một dạng Killing.
Chứng minh. Trước hết ta nhắc lại một tự đẳng cấu φ : g → g sẽ bảo toàn
tích Lie. Ta có ad(φ ( X ))(Y ) = [φ ( X ), Y ] nên

ad(φ ( X ))(Y ) =
[φ ( X ), Y ] =
φ[ X ,φ −1 (Y )] =
(φ °ad( X )°φ −1 )(Y ).
Ngoài ra,

ad(φ ( X ))°ad(φ (Y )) =
φ °ad( X )°φ −1 °φ °ad(Y )°φ −1 =
φ °ad( X )°ad(Y )°φ −1 .


12

Ta đã biết vết của các ma trận tương đương thì bằng nhau vì vậy

tr(ad(φ ( X ))°ad(φ (Y )))tr(φ °ad( X )°ad(Y )°φ −1 )tr(ad( X )°ad(Y )).
Ta sẽ chứng minh vết của phép biến đổi tuyến tính

ad([ X , Y ])°ad( Z ) − ad( X )°ad([Y , Z ]) =
0 . Ta có thể viết

(ad( X )°ad(Y ) − ad( Z )°ad( X ))°ad( Z ) − ad( X )°(ad(Y )°ad( Z ) − ad( Z )°ad(Y ))
= ad( X )°(ad( Z )°ad(Y )) − (ad(Y )°ad( X ))°ad( Z ).
Từ tr( AB − BA) =
0 , nên phép biến đổi tuyến tính trên có vết bằng 0.
Nếu I là ideal của g . Từ [ I , g] ⊂ I một biểu diễn phụ hợp thương của I
trên g / I là tầm thường. Ngoài ra với X , Y ∈ I ta có

κ g ( X , Y )= trg (ad( X )°ad(Y ))= trg (ad( X )°ad(Y )) + trg/ I (ad( X )°ad(Y ))= κ I ( X , Y ).
□

Định lí 1.11 (Định lí Engel)
Cho V là một không gian vector. Giả sử L là một đại số Lie con của

gl (V ) thỏa mãn mọi phần tử của L là một phép biến đổi tuyến tính lũy linh
của V . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L được biểu diễn
bằng một ma trận tam giác trên nghiêm ngặt.
Định lí 1.12 (Định lí Lie)
Cho V là một không gian vector phức n − chiều và L là một đại số Lie con
giải được của gl (V ) . Khi đó tồn tại một cơ sở của V để mọi phần tử của L
được biểu điễn bởi một ma trận tam giác trên.
Mệnh đề 1.13 Nếu g ⊂ gl (V ) là một đại số Lie con thỏa mãn tr( XY ) = 0
với mọi X , Y ∈ g thì [g, g] là lũy linh.
Định lí 1.14 (Tiêu chuẩn Cartan thứ nhất)
Đại số Lie g là giải được nếu và chỉ nếu κ (g,[g, g]) = 0 .


13
Chứng minh. Xét ad(g) = g / Z ( g) , trong đó

Z (g) = {a ∈ g|[ X , Y ] = 0, ∀Y ∈ g} là tâm của g . Hiển nhiên κ (g,[g, g]) = 0
suy ra κ ([g, g],[g, g]) = 0 , nên tr( XY ) = 0 với mọi

X , Y ∈ [ad(g),ad(g)] =
ad([ g, g]) . Từ Mệnh đề 1.13
[[ad(g),ad(g)],[ad(g),ad( g)]] là lũy linh, nên ad(g) giải được. Nên tồn tại
một số r ∈ * sao cho ad(g)( r ) = 0 , nên g( r ) ⊂ Z (g) . Do đó g( r +1) = 0 nên g
là giải được.
Ngược lại, theo Định lí Lie 1.12 ta có thể chọn một cơ sở thích hợp để mọi
phần tử X ∈ g thì ad( X ) là một ma trận tam giác trên. Ngoài ra mọi phần tử

của ad([g, g]) đều là tổ hợp tuyến tính của các phần tử có dạng

ad( X )°ad(Y ) − ad( X )°ad(Y ) với X , Y ∈ g nên là ma trận tam giác trên
nghiêm ngặt. Do đó hiển nhiên ta có tr(ad( X )°ad(Y )) =
0 với mọi

X ∈ g, Y ∈ [g, g] .
Định lí 1.15 (Tiêu chuẩn Cartan thứ hai)
Đại số Lie được gọi là nửa đơn nếu và chỉ nếu dạng Killing của nó là
không suy biến.
Chứng minh. Nếu g không là nửa đơn khi đó tồn tại một ideal không giao
hoán I ≠ 0 . Chọn X ∈ I , X ≠ 0 . Ta cần ad( X ) là hạt nhận của dạng Killing.
Thật vậy, với Y ∈ g là một phần tử bất kì. Từ I là một ideal, ad(Y )°ad( X )
biến g thành I và ad( X )°ad(Y )°ad( X ) biến g thành 0 . Ta có

0 , nên ad(Y )°ad( X )
ad(Y )°ad( X )°ad(Y )°ad( X ) =
0 hay (ad(Y )°ad( X )) 2 =
là lũy linh. Mà vết của một phép biến đổi lũy linh bằng 0. Do đó

(Y , X ) tr(ad(Y )°ad( X )) với mọi Y ∈ g .
κ=
Ngược lại, Nếu dạng Killing của g là suy biến, hạt nhân là một ideal khác
0. Thật vậy, nếu X ∈ g thỏa κ ( X , Y ) = 0, ∀Y ∈ g thì

κ ([ Z , X ], Y ) = κ ( X ,[ Z , Y ]) theo Bổ đề 1.10 (ii). Gọi ideal này là I . Theo Bổ
đề 1.10 (iii) dạng thu hẹp của g tới I là dạng Killing của I , vì vậy dạng


14

Killing của I là 0. Theo tiểu chuẩn Cartan thứ nhất thì I là giải được và vì
vậy g là không nửa đơn.

1.2 Đại số Lie toàn phương
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.16 Cho một không gian vector phức g . Một dạng song tuyến
tính B : g →  . Được gọi là
i) đối xứng nếu B( X , Y ) = B(Y , X ) với mọi X , Y ∈ g ;
ii) không suy biến nếu B( X , Y ) = 0 với mọi Y ∈ g thì X = 0 ;
iii) bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu
B([ X , Y =
], Z ) B( X ,[Y , Z ]), ∀X , Y , Z ∈ g.

Một đại số Lie g trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính đối xứng, không
suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương. Đại số Lie toàn
phương thường được kí hiệu là (g, B) .

1.2.2 Các ví dụ về đại số Lie toàn phương
Ví dụ 1.17 Trong 3 với tích Lie là tích có hướng, dạng toàn phương là
tích vô hướng.
Ví dụ 1.18 Cho g = Span{ X , Y } trong đó tích Lie cho bởi [ X , Y ] = 0 . Dạng
song tuyến tính đối xứng B cho bởi B( X , Y ) = 1 , các trường hợp còn lại bằng
0.
Ví dụ 1.19 Cho g = Span { X , P, Q, Z } trong đó tích Lie cho bởi
[ X , P] =
P,[ X , Q] =
−Q,[ P, Q] =
Z , các trường hợp còn lại tầm thường. Dạng

song tuyến tính đối xứng B cho bởi B=
( X , Z ) B=
( P, Q) 1 , các trường hợp còn
lại bằng 0.
Ngoài ra trong phần phân loại cũng chỉ ra các ví dụ về các đại số Lie toàn
phương giải được 5, 6 chiều.

1.2.3 Một số kết quả về đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.20 Cho đại số Lie toàn phương (g, B) và V là một không
gian vector con của g , khi đó ta định nghĩa thành phần trực giao của g là


15
V ⊥ = { X ∈ g| B ( X , Y ) = 0, ∀Y ∈ V }.

Theo [6] cho V ,W là các không gian vector con của g . Khi đó ta có các
tính chất sau:
a) g⊥ = 0 ;
b) Nếu V ⊂ W thì V ⊥ ⊃ W ⊥ ;
c) (V + W ) ⊥ =V ⊥ ∩ W ⊥ và (V ∩ W ) ⊥ ⊃ V ⊥ + W ⊥ ;
d) (V ⊥ )⊥ = V và dimV + dimV ⊥ =
dimg .
Một phần tử X ∈ g được gọi là tự đẳng hướng nếu B( X , X ) = 0 . Một không
gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu B( X , Y ) = 0 với
mọi X , Y ∈ V . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V ⊂ V ⊥ .
Ta có một số tính chất khá lí thú của các đại số Lie toàn phương như sau:
Mệnh đề 1.21 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. Định nghĩa ánh
xạ φ : g → g* , φ ( X )(Y ) = B( X , Y ) với g* là không gian đối ngẫu của g . Khi đó φ
là một đẳng cấu, đồng thời biểu diễn phụ hợp và đối phụ hợp của g tương
đương với nhau bới φ .

Chứng minh. Giả sử g là một đại số Lie trên g được trang bị một tích vô
hướng bất biến B . Biểu diễn phụ hợp ad và đối phụ hợp ad* được định nghĩa
như sau:
ad : g → End(g) v?i ad( X )(Y ) =
[ X , Y ] và
ad* : g → End(g* ), ad* ( X )( f ) =− f °ad( X )

Cho φ : g → g* là ánh xạ được xác định bởi φ ( X ) = B( X ,.) . Do B không suy
biến nên φ là một đẳng cấu. Hơn nữa ta có
(φ °ad( X )(Y )) Z =
B([ X , Y ], Z ) =
(ad* ( X )°φ (Y )) Z , ∀X , Y , Z ∈ g.
− B(Y ,[ X , Z ]) =

Điều đó chứng tỏ φ °ad(=
X ) ad* ( X )°φ , ∀X ∈ g , nghĩa là ad và ad* là tương
đương.
□
Nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số
Lie toàn phương bất khả phân nhờ phân tích sau:


16

Mệnh đề 1.22 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương.
a) Nếu I là một ideal của g . Khi đó I ⊥ cũng là một ideal của g .
Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I × I không suy biến thì thu hẹp của
B trên I ⊥ × I ⊥ cũng không suy biến, [ I , I ⊥ ] = {0} và
I ∩ I ⊥ ={0}, g =I ⊕ I ⊥ .

b) Nếu Z (g) là tâm của g thì Z (g) ⊥ = [g, g] và
dimZ (g) + dim[g, g] =
dimg.

Chứng minh.
a) Nếu I là một ideal của g . Lấy A ∈ I ⊥ , X ∈ g , ta có
([ A, X ], Y ) B=
( A,[ X , Y ]) 0 với mọi Y ∈ I (do I là ideal của g ). Do đó
B=
[ A, X ] ∈ I ⊥ . Suy ra I ⊥ là một ideal của g .

Giả sử B |I ×I không suy biến. Lấy X ∈ I ⊥ thỏa mãn B( X , I ⊥ ) = 0 thì X ∈ I và
B( X , I ) = 0 . Do B |I × I không suy biến nên X = 0 . Suy ra B |I ⊥ × I ⊥ không suy

biến.
Nếu I , I ⊥ là các ideal của g thì B=
([ I , I ⊥ ], X ) B=
( I ,[ I ⊥ , X ]) 0 với mọi X ∈ g
và do B không suy biến trên g nên [ I , I ⊥ ] = {0} .
Nếu X ∈ I ∩ I ⊥ thì B( X , I ) = 0 . Do B không suy biến trên I nên X = 0 . Do
đó I ∩ I ⊥ =
{0} .
Ta có {0} =I ∩ I ⊥ =( I ⊥ ) ⊥ ∩ I ⊥ =( I ⊥ ⊕ I ) ⊥ , suy ra 0⊥ =
(( I ⊥ ⊕ I ) ⊥ ) ⊥ =
I⊥ ⊕ I
hay g= I ⊕ I ⊥ .
b) Nếu
X ∈ Z (g) ⇔ [ X , g] ={0} ⇔ B([ X , g], g) =0 ⇔ B( X ,[g, g]) =0 ⇔ X ∈ [g, g]⊥ . Nên

dimg .

Z (g) = [g, g]⊥ và dimZ (g) + dim[g, g] =

□
Nếu thu hẹp của B trên I × I không suy biến thì ta gọi I là một ideal
không suy biến của g và g= I ⊕ I ⊥ . Vì tổng trực tiếp là tổng trực tiếp trực
⊥

giao nên ta dùng kí hiệu sau: g= I ⊕ I ⊥ .


17
Định nghĩa 1.23 Một đại số Lie toàn phương g là bất khả phân nếu g
⊥

phân tích thành hai ideal g= g1 ⊕ g2 thì g1 = {0} hoặc g2 = {0} .
Định nghĩa 1.24 Cho (g, B) và (g′, B′) là hai đại số Lie toàn phương. Ta
nói (g, B) và (g′, B′) đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie
A : g → g′ thỏa mãn
B′( A( X ), A(Y=
)) B( X , Y ), ∀X , Y ∈ g.

Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy,
A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự.

Chú ý rằng, tính chất đẳng cấu và tính chất đẳng cấu đẳng cự không tương
đương nhau, ví dụ: Cho g = o(3) và κ là dạng Killing. Khi đó A là tự đẳng cấu
đại số Lie của g nếu và chỉ nếu A ∈ O(g) . Do đó (g, κ ) và (g, λκ ) là không
đẳng cấu đẳng cự khi λ ≠ 0 .
Sau đây chúng tôi giới thiệu một cách phân tích khác được đưa ra trong
[17], gọi là phân tích rút gọn. Phân tích này cho phép ta chuyển bài toán

nghiên cứu các đại số Lie toàn phương về bài toán nghiên cứu các đại số Lie
toàn phương có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn (sai khác một ideal tâm không
suy biến).
Mệnh đề 1.25 ([17])
Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó tồn tại
một ideal tâm z và một ideal l ≠ {0} sao cho
⊥

i) g= z ⊕ l, ở đây ( z, B |z×z ) và (l, B |l×l ) là các đại số Lie toàn phương và l
không giao hoán.
ii) Tâm Z (l) của l là tự đẳng hướng hoàn toàn, tức là Z (l) ⊂ [l, l] , và
dim( Z (l )) ≤

1
dim(l ) ≤ dim([l, l ]).
2

iii) Cho g′ là một đại số Lie toàn phương và A : g → g′ là một đẳng cấu đại
số Lie. Khi đó
⊥

g= z′ ⊕ l′


18

ở đây z′ = A( z) thuộc tâm, l′ = A( z) ⊥ , Z (l′) tự đẳng hướng hoàn toàn, l và l′
đẳng cấu với nhau. Hơn nữa, nếu A là một đẳng cấu đẳng cự thì l và l′ đẳng
cấu đẳng cự.
Định nghĩa 1.26 Một đại số Lie toàn phương g khác {0} được gọi là một

đại số Lie rút gọn nếu tâm tự đẳng hướng hoàn toàn.
Từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác định
trên g, ta dễ dàng chứng minh được [g, g] = Z (g) ⊥ . Do đó Z (g) tự đẳng hướng
hoàn toàn khi và chỉ khi Z (g) ⊂ [g, g] .
Sau đây chúng tôi xin giới thiệu phân tích Witt được trình bày trong [9]
như sau:
Mệnh đề 1.27 Cho V là một không gian vector phức được trang bị một
dạng song tuyến tính không suy biến B . Giả sử U là một không gian con tự
đẳng hướng hoàn toàn của V . Khi đó tồn tại một không gian con tự đẳng
hướng hoàn toàn W và một không gian con F không suy biến của V sao cho
⊥

= dimU , F
= (U ⊕ W ) ⊥ và V = F ⊕(U ⊕ W ) .
dimW

1.2.4 3-dạng trên một đại số Lie toàn phương
Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương không giao hoán. Khi đó dạng
song tuyến tính B sẽ xác định một 3-dạng I ∈ Λ 3 (g* ) như sau:
I ( X , Y=
, Z ) : B([ X , Y ], Z ), ∀X , Y , Z ∈ g.

Ta gọi I là 3-dạng liên kết với (g, B) . Gọi {.,.} là móc super-Poisson trên
đại số các dạng phản xứng trên ∧(g* ) . Theo [17] thì 3-dạng I thỏa mãn
{I , I } = 0 .

Ngược lại, cho một không gian vector toàn phương (g, B) và một 3-dạng
I ∈ Λ 3 (g* ) khác 0 thỏa mãn {I , I } = 0 thì có một cấu trúc đại số Lie toàn

phương không giao hoán trên g sao cho I là 3-dạng liên kết với g (xem

[17]).
Kí hiệu VI = {α ∈ g* |α ∧ I = 0} . Khi đó số dup của một đại số Lie toàn
phương không giao hoán g được định nghĩa bởi


19
dup(g) := dim(VI ),

trong đó I là 3-dạng liên kết với g .
Mệnh đề 1.28 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán và I
là 3-dạng liên kết với g . Khi đó
a)

dup(I ) ∈ {0,1,3} và dim([g, g]) ≥ 3 .

b)

I khả phân nếu và chỉ nếu dim([g, g]) = 3 .

Định nghĩa 1.29 Cho g là một đại số Lie toàn phương không giao hoán.
a)

g được gọi là đại số Lie toàn phương thông thường nếu

dup(g) = 0 .

b)

g được gọi là đại số Lie toàn phương kì dị nếu dup(g) ≥ 1 .

c)

g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 1 nếu dup(g) = 1 .

d)

g là một đại số Lie toàn phương kì dị loại 3 nếu dup(g) = 3 .

Mệnh đề 1.30 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị. Khi đó g là rút
gọn nếu và chỉ nếu g là bất khả phân.
Các đại số Lie toàn phương kì dị có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm mở
rộng kép (sẽ được định nghĩa trong phần tiếp theo) thông qua định lí sau.
Định lí 1.31
a)

Mọi đại số Lie toàn phương kì dị loại S1 là giải được và là

một mở rộng kép.
b)

Đại số Lie toàn phương là kì dị và giải được khi và chỉ khi là

một mở rộng kép.
1.2.5 Mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.32 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. Ánh xạ tuyến
tính D : g → g được gọi là một đạo hàm của g nếu
D([ X ,=
Y ]) [ D( X ), Y ] + [ X , D(Y )], ∀X , Y ∈ g.

Nếu thêm điều kiện

B( D( X ), Y ) =
− B( X , D(Y )), ∀X , Y ∈ g

thì ta nói D là một đạo hàm phản xứng của g .


20

Ta kí hiệu Dera (g) là không gian các đạo hàm phản xứng của g , hiển nhiên
nó là đại số con của đại số Der (g) chứa các đạo hàm của g .
Chú ý 1.33 Từ tính chất bất biến của dạng song tuyến tính, các đạo hàm
trong của một đại số Lie toàn phương đều là đạo hàm phản xứng. Tuy nhiên
điều ngược lại không đúng.
Định nghĩa 1.34 (xem [14] và [16]) Cho (g, B) là một đại số Lie toàn
phương và C là một đạo hàm phản xứng của g . Trên không gian vector
g =g ⊕ e ⊕ f

ta định nghĩa phép toán [ X , Y ]g =
[ X , Y ]g + B(C ( X ), Y ) f ,[e, X ] =
C ( X ) và
[ f , g] = 0 với mọi X , Y ∈ g .

Khi đó g trở thành một đại số Lie, hơn nữa g còn là một đại số Lie toàn
phương với dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến B được xác định
B=
(e, e) B (=
f , f ) B=
(e, g) B=
( f , g) 0 , B ( X , Y ) = B ( X , Y ) và B (e, f ) = 1 với mọi

X , Y ∈ g . Trong trường hợp này, ta gọi g là Mở rộng kép của g bởi C .

Người ta còn gọi g là mở rộng của g bởi đại số Lie một chiều thông qua
đạo hàm C . Trường hợp mở rộng kép bởi một đại số Lie nhiều chiều có thể
tìm thấy trong [16]. Tuy nhiên mở rộng kép một chiều là đủ để nghiên cứu
trong trường hợp giải được bởi kết quả như sau (xem [12], [14] hoặc [16]).
Mệnh đề 1.35 Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương giải được không
giao hoán n chiều. Khi đó g là mở rộng kép một chiều của một đại số Lie
toàn phương giải được n − 2 chiều.
Chú ý 1.36 Một trường hợp đặc biệt của mở rộng kép một chiều là khi g
giao hoán. Khi đó C là một ánh xạ phản xứng thuộc đại số o(g) và tích Lie
trên g được định bởi [e, X ] = C ( X ) và [ X , Y ] = B(C ( X ), Y ) f với mọi X , Y ∈ g .
Trường hợp này ta gọi g một cách đơn giản là một mở rộng kép. Các mở
rộng kép đã được phân loại trong [11].
Mệnh đề 1.37 (xem Mệnh đề 2.3 trong [11] trang 16)


21
Mọi mở rộng kép của một không gian vector toàn phương bằng đạo hàm
phản xứng khác 0 đều là đại số Lie toàn phương giải được kì dị.
Mệnh đề 1.38
Cho g là một mở rộng kép của q bởi C với q là một đại số

i)

Lie giao hoán thì
=
[ X , Y ] B( f , X )C (Y ) − B ( f , Y )C ( X ) + B (C ( X ), Y ) f , ∀X , Y ∈ g,

ii)

trong đó C = ad(e) . Hơn nữa f ∈ Z (g) và C |q = C .

iii)

Cho g′ là một mở rộng kép của q bởi C ′ = λC , λ ∈ , λ ≠ 0 thì

g và g′ là đẳng cấu đẳng cự.

Chứng minh.
i)

Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

ii)

Ta có g =⊕
q (e ⊕ f ) =
g′ . Kí hiệu [.,.]' là tích Lie trên g′ .

⊥

Định nghĩa A : g → g′ với
A( f ) λ=
f , A(e)
=

1

λ

e và A |q = idq thì

A([e=
, X ]) C=
( X ) [ A(e), A( X )]′ và A([ X , Y ]) = [ A( X ), A(Y )]′ với mọi

X , Y ∈q . Vì vậy A là một đẳng cấu, đẳng cự.

□
Chú ý 1.39 Cho g là một đại số Lie toàn phương kì dị và giải được. Xem g
như là một mở rộng kép của hai không gian vector toàn phương q và q′ :
⊥

⊥

g = (e ⊕ f ) ⊕ q and g = (e′ ⊕ f ′) ⊕ q′.

Cho C = ad(e) |q và C ′ = ad(e′) |q′ . Từ đó id g hiển nhiên là một đẳng cấu đẳng
cự, tồn lại một đẳng cự A : q → q′ và một số λ ∈ , λ ≠ 0 thỏa mãn
C ′ = λ AC A −1 .

Bổ đề 1.40 Cho V là một không gian vector toàn phương thỏa mãn
⊥

V = (e ⊕ f ) ⊕ q′ với e,f đẳng hướng và B (e, f ) = 1 . Cho g là một đại số Lie

toàn phương kì dị và giải được với dimg = dimV thì tồn tại một ánh xạ phản
xứng C ′ : q′ → q′ thỏa mãn V được xem như là một mở rộng kép của q′ bởi C ′
và đẳng cấu đẳng cự với g .

22

Chứng minh. Xem [11] trang 21.

□

i
Trong phần tiếp theo chúng tôi kí hiệu  s (n + 2) là tập hợp lớp các đại số

Lie giải được chia theo quan hệ tương đương là hai đại số Lie giải được được
gọi là tương đương nhau nếu có một phép đẳng cấu đẳng cự giữa chúng.
1
Ngoài ra chúng tôi cũng kí hiệu 
(o(n)) là tập hợp các O(n) -quỹ đạo của

không gian xạ ảnh 1 (o(n)) của o(n) với tác động cảm sinh từ tác động phụ
hợp của O(n) lên o(n) . Khi đó ta có mệnh đề sau (xem [11] trang 22).
1
 s (n + 2) .
Mệnh đề 1.41 Tồn tại một song ánh θ : 
(o(n)) → 
i

Mệnh đề 1.42 (xem [13]) Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương và
C = ad g ( X 0 ) là một đạo hàm trong của g . Khi đó mở rộng kép g của g bởi C

là khả phân.
Chứng minh. Trên g ta định nghĩa phép toán

[ X , Y ]g =
[ X , Y ]g + B ([ X 0 , X ], Y ) f ;[e, X ] =
[ X 0 , X ] và [ f , g] =
0.

Khi đó e − X 0 ∈ Z (g) . Nghĩa là g khả phân vì B(e − X 0 , f ) =
1 và f ∈ Z (g) .
′

Mệnh đề 1.43 (xem [15]) Cho g và g lần lượt là các mở rộng kép của g
ad g ( X ) với một X
bởi các đạo hàm trong phản xứng D và D'. Nếu D − D′ =
′

nào đó thuộc g thì g và g đẳng cấu đẳng cự.
Mệnh đề 1.44 Cho (g, B) là đại số Lie kim cương. Khi đó mọi đạo hàm
phản xứng của g đều là đạo hàm trong.
Chứng minh. Giả sử g = SpanZ , P, Q, X với tích Lie được xác định:
[ X , P] =
P,[ X , Q] =
−Q,[ P, Q] =
Z , dạng song tuyến tính đối xứng được cho bởi
B=
( X , Z ) B=
( P, Q) 1 , các trường hợp khác bằng 0. Gọi D là một đạo hàm

phản xứng của g . Lưu ý rằng Z (g) = Z là không gian con ổn định với D , tức
là D( Z (g)) ⊂ Z (g) . Do đó ta có thể giả sử D=
( Z ) xZ , x ∈  . Vì D phản xứng
nên ta có:

B( D( X ), Z ) =
− B ( X , D( Z )) =
− B ( X , xZ ) =
− x.


23
Do đó ta có thể giả sử D( X ) =
− xX + yP + zQ + wZ , x, y, z , w ∈  . Do [g, g]
cũng là một không gian con ổn định đối với D nên ta có thể viết:
D( P) = aP + bQ + cZ và D(Q) = a′P + b′Q + c′Z

với a, b, c, a′, b′, c′ ∈  .
Ta có
=
D( P) D=
([ X , P]) [ D( X ), P] + [ X , D( P)] . Suy ra x= b= 0 và c = − z .
Một cách tương tự đối với D(Q) , ta nhận được c′ = − y và a′ = 0 .
Dựa vào tính chất phản xứng của D , ta có B( D( X ), X ) = 0 , hay w = 0 .
Tương tự B( D( P), Q) = − B( P, D(Q)) , suy ra a = −b′ . Do đó ta có ma trận của D
đối với cơ sở { X , P, Q, Z } là:
0
0 0
y a
0
D=
 z 0 −a

0 −z − y

0
0 
0

0

D ad g (aX − yP + zQ) và do đó D là một đạo hàm trong
Dễ dàng thấy được =

của g .
□
Chú ý 1.45 Từ kết quả này cộng với Mệnh đề 1.42 cho ta kết quả là mọi
mở rộng kép của đại số Lie kim cương đều khả phân.
Dưới đây là một số ví dụ về mở rộng kép của một đại số Lie toàn phương.
Ví dụ 1.46 Cho q = SpanX , Y là đại số Lie toàn phương giải được 2 chiều,
theo Mệnh đề 3.1.1 a) q phải giao hoán (nghĩa là [ X , Y ]q = 0 ). Trên q ta định
nghĩa dạng toàn phương B′ : q × q →  thỏa mãn B′( X , Y ) = 1 , các trường hợp
còn lại tầm thường. Ta sẽ tiến hành mở rộng kép bằng đạo hàm phản xứng
1 0 
C=
.
0 −1

Đặt g =q ⊕ e ⊕ f và định nghĩa tích Lie trên g như sau:
[ X ,Y ] =
[ X , Y ]q + B′(C ( X ), Y ) f =
f ,[e, X ] =
C( X ) =
X ,[e, Y ] =
C (Y ) =

−Y , các

trường hợp còn lại tầm thường. Dạng song tuyến tính trên g được xác định


24

B=
( X , Y ) B=
(e, f ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này ta thu

được đại số Lie toàn phương (đại số Lie kim cương).
Ví dụ 1.47 Cho q = SpanX , Y , Z là đại số Lie toàn phương giao hoán 4 chiều
(nghĩa là [U ,V ]q = 0 với mọi U ,V ∈ q ). Trên q ta định nghĩa dạng toàn phương
′( X , Z ) B=
′(Y , Y ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Ta sẽ tiến hành mở rộng
B=

kép bằng đạo hàm phản xứng
0 1 0 
=
C 0 0 −1 .
0 0 0 

Đặt g =q ⊕ e ⊕ f và định nghĩa tích Lie trên g toán như sau:
[Y , Z ] =
[Y , Z ]q + B′(C (Y ), Z ) f =
f ,[e, Y ] =
C (Y ) =
X ,[e, Z ] =

C (Z ) =
−Y , các

trường hợp còn lại bằng 0. Dạng song tuyến tính trên g được xác định
B(=
X , Z ) B=
(Y , Y ) B=
(e, f ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này

ta thu được đại số Lie toàn phương cơ bản 5 chiều.
Ví dụ 1.48 Cho q = SpanX , Y , Z , T là đại số Lie toàn phương giao hoán 4
chiều (nghĩa là [U ,V ]q = 0 với mọi U ,V ∈ q ). Trên q ta định nghĩa dạng toàn
′( X , T ) B=
′(Y , Z ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Ta sẽ tiến hành
phương B=

mở rộng kép bằng đạo hàm phản xứng
0
0
C=
0

0

1 0
0 0
0 0
0 −1

0

0 
.
0

0

Đặt g =q ⊕ e ⊕ f và định nghĩa tích Lie trên g như sau:
[Y , Z ] =
[Y , Z ]q + B′(C (Y ), Z ) f =
f ,[e, Y ] =
C (Y ) =
X ,[e, Z ] =
C (Z ) =
−T , các

trường hợp còn lại bằng 0. Dạng song tuyến tính trên g được xác định
B=
( X , T ) B=
(Y , Z ) B=
(e, f ) 1 , các trường hợp còn lại bằng 0. Với kết quả này

ta thu được đại số Lie toàn phương cơ bản 6 chiều.


25
1.2.6 Chiều toàn phương
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày một đặc trưng của đại số Lie toàn
phương đó là chiều toàn phương, chiều toàn phương của một đại số Lie toàn
phương g được kí hiệu là d q (g) . Đó là số chiều của  (g) không gian các dạng
song tuyến tính đối xứng và bất biến trên g . Cũng liên quan đến vấn đề này

chúng ta sẽ tìm hiểu thêm centromorphism của g , centromorphism đóng vai
trò trung tâm trong việc tính chiều toàn phương của g .
Cho (g, B) là một đại số Lie toàn phương. Mỗi dạng song tuyến tính đối
xứng B' trên g xác định được một đồng cấu D : g → g thỏa mãn
B′( X , Y ) = B( D( X ), Y ) với mọi X , Y ∈ g . D là một ánh xạ đối xứng (đối với B ),

nghĩa là B( D( X ), Y ) = B( X , D(Y )) với mọi X , Y ∈ g .
Bổ đề 1.49
a)

B' bất biến khi và chỉ khi D thỏa mãn
D([ X =
, Y ]) [ D( X =
), Y ] [ X , D(Y )], ∀X , Y ∈ g.

b)

B' không suy biến khi và chỉ khi D khả nghịch.

Chứng minh.
a) Lấy X , Y , Z ∈ g , ta có
=
B′([ X , Y ], Z ) B=
( D([ X , Y ]), Z ), B′( X ,[Y , Z ]) B( D( X ),[Y , Z ]).

b) Do B bất biến nên B( D( X ),[Y , Z ]) = B([ D( X ), Y ], Z ) và B không
suy biến nên B' bất biến khi và chỉ khi D([ X , Y ]) = [ D( X ), Y ] , tương tự ta
chứng minh được D([ X , Y ]) = [ X , D(Y )] .
c)

Giả sử B' không suy biến. Với một phần tử X thuộc g thỏa mãn

D( X ) = 0 thì B( D( X ), g) = 0 . Nên có một B′( X , g) = 0 , suy ra X = 0 và D

khả nghịch. Ngược lại, nếu D khả nghịch thì B′( X , g) = 0 , dẫn tới
B( D( X ), g) = 0 . Do B không suy biến nên D( X ) = 0 . Vậy X = 0 và B'

không suy biến.
□