so sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường trung học phổ thông việt nam và úc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH TẤN

SO SÁNH VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM
HÀM SỐ BẬC HAI Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ ÚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH TẤN

SO SÁNH VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM
HÀM SỐ BẬC HAI Ở TRƯỜNG TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ ÚC
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh năm 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những
trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Bùi Minh Tấn


LỜI CẢM ƠN

 Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS.
Nguyễn Ái Quốc, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn này.
 Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê
Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ
Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình truyền đạt những kiến
thức về Didactic Toán mà tôi chưa được tiếp cận ở bậc đại học. Nhờ đó, chúng
tôi có những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu trong luận văn của
bản thân.
 Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn cùng khóa 23, những người bạn
đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.
 Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc những người thân yêu trong gia
đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.

Bùi Minh Tấn

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
T
4

4T

CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ
BẬC HAI ........................................................................................................................ 6
T
4

4T

1.1. Khái niệm Hàm số bậc hai trong giáo trình Úc ........................................................ 7
T
4

T
4

1.1.1. Mục tiêu dạy học trong SGT Úc .....................................................................7
T

4

4T

4T

T
4

1.1.2. Đồ thị và phép biến đổi đồ thị trong SGT ......................................................8
T
4

4T

4T

T
4

1.1.3. Khái niệm HSBH trong SGT Úc ..................................................................12
T
4

4T

4T

T
4

Kết luận ...................................................................................................................26
T
4

4T

1.2. Khái niệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam ..................................................................27
T
4

T
4

1.2.1. Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành .......................................27
T
4

T
4

1.2.2. SGK Toán 9 tập 2 .........................................................................................30
T
4

4T

1.2.3. Phân tích SGK Toán 10 CB ..........................................................................35
T
4

T
4

1.2.4. Phân tích SGK Toán 10 NC..........................................................................45
T
4

T
4

Kết luận..........................................................................................................................52
T
4

4T

CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................... 55
T
4

T
4

2.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................55
T
4

4T

2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm ......................................................................55
T
4

T
4

2.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................56
T
4

4T

2.3.1. Bài toán 1 ......................................................................................................56
T
4

4T


2.3.2. Bài toán 2 ......................................................................................................60
T
4

4T

2.3.3. Bài toán 3 ......................................................................................................62
T
4

4T

2.4. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................................72
T
4

4T

2.4.1. Phân tích hậu nghiệm bài toán 1 ...................................................................72
T
4

T
4

2.4.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 2 ...................................................................74
T
4

T
4

2.4.3. Phân tích hậu nghiệm bài toán 3 ...................................................................76
T
4

T
4

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 78

T
4

4T

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 87
PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 88


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CB

: Ban cơ bản

GTNN

: Giá trị nhỏ nhất

GTLN

: Giá trị lớn nhất

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

HSBH

: Hàm số bậc hai

KNV

: Kiểu nhiệm vụ

MTĐT

: Máy tính có phần mền hỗ trợ vẽ đồ thị

NC

: Ban nâng cao

GT

: Giáo trình

SGK

: Sách giáo khoa

SGV

: Sách giáo viên

SBT

: Sách bài tập

Tr.

: Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Tổng hợp kiểu nhiệm vụ phép biến đổi đồ thị - bài tập ................................ 11
T
4

T
4

Bảng1.2. Thống kê kiểu nhiệm vụ về khái niệm HSBH ................................................. 21
T
4

T
4

Bảng1.3. Thống kê KNV về vai trò công cụ HSBH trong GT ....................................... 27
T
4

T
4

Bảng 1.4. Thống kê kiểu nhiệm vụ trong SGK Toán 9-2 ...............................................35

T
4

T
4

Bảng1.5. Thống kê kiểu nhiệm vụ về vẽ đồ thị trong SGK Toán 10 CB........................43
T
4

T
4

Bảng 1.6. Thống kê so sánh kiểu nhiệm vụ trong 2 thể chế .......................................... 54
T
4

T
4

Bảng 2.1. Thống kê các chiến lược trong câu a) bài toán 1 của HS............................. 72
T
4

T
4

Bảng 2.2. Thống kê các chiến lược trong câu b) bài toán 1 của HS............................. 72
T
4

T
4

Bảng 2.3. Thống kê chiến lược trong bài toán 2 của HS .............................................. 74
T
4

T
4

Bảng 2.4. Thống kê các chiến lược trong bài toán 3 của HS ........................................ 76
T
4

T
4


1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Ghi nhận thứ nhất:
U

Khái niệm hàm số là một trường hợp riêng của khái niệm ánh xạ, nó giữ vị
trí quan trọng trong việc học Toán ở bậc phổ thông. Trong chương trình Toán 10 cơ
bản và nâng cao dành hẳn một chương trình bày về “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc
hai”. Từ đó, ta thấy được vai trò quan trọng của hàm số trong chương trình giảng
dạy Toán ở Việt Nam hiện nay. Đối với khái niệm hàm số bậc hai được giảng dạy ở

2
bậc trung học cơ sở với dạng đơn giản nhất y = ax và bậc trung học phổ thông với

dạng y = ax 2 + bx + c . Ở lớp 9, học sinh được học khái niệm hàm số bậc hai trong
chương IV Hàm số y = ax 2 . Phương trình bậc hai một ẩn, gồm các bài sau: Nội
dung Bài 1. Hàm=
số y ax 2 ,(a ≠ 0) với mục tiêu cần đạt:
− HS thấy được trong thực tế có những hàm số dạng y = ax 2 .
− HS biết cách tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến
số.
− HS nắm vững các tính chất của hàm số y = ax 2 .
[SGV Toán 9-2, tr.32]
Nội dung Bài 2. Đồ thị của hàm số y = ax 2 với mục tiêu:
2
− Biết được dạng của đồ thị của hàm số y = ax và phân biệt được chúng

trong trường hợp a > 0, a < 0.
− Nắm vững các tính chất của đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với
tính chất của hàm số.
− Vẽ được đồ thị.
[SGV Toán 9-2, tr.35]
Đến lớp 10, khái niệm HSBH được trình bày trong chương II. Hàm số bậc
nhất và bậc hai với mục tiêu: “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”. Trong


2
SGK Toán 10 nâng cao, đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c được xây dựng trên
đồ thị hàm số bậc hai đơn giản y = ax 2 bằng phép tịnh tiến đồ thị trong bài học. Sau
đó, SGK trình bày cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c dựa vào các đặc
điểm sau:

Xác định đỉnh của parabol;

−

− Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol;
− Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của
parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối
xứng);
− Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các
điểm đó lại.
[SGK Toán 10 NC, tr.56]
Đối với SGK Toán 10 CB cũng trình bày nội dung phép tịnh tiến đồ thị hàm
số y = ax để thu được đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c trong “bài đọc thêm”.
2

2

HS được học cách vẽ đồ thị HSBH nối hữu hạn điểm đặc biệt của đồ thị (hay còn
gọi là lưới các điểm).
Trong hội thảo về phương pháp dạy học do viện khoa học Giáo dục tổ chức
tại Quảng Ninh, Nguyễn Huy Đoan đã trình bày những điều đáng suy nghĩ trong
chương trình và SGK Toán Việt Nam về: “Biến đổi đồ thị hàm số. Trong SGK
Toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song
với trục tọa độ và cũng được đề cập hết sức đơn giản trong Đại số 10 Nâng cao.
Biến đổi đồ thị, còn gọi là biến đổi hàm số, là vấn đề được SGK các nước đặc biệt
quan tâm. Họ dành một chương nói về biến đổi hàm số tuyến tính, trong đó có mô
tả phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ [....]. Vấn đề này được nhắc lại khi
nói về hàm số bậc hai...” 1. Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận trong chương trình Toán
0F
P

P

Việt Nam vai trò của phép biến đổi đồ thị thể hiện ở điểm sau: “Ở lớp dưới, HS đã
được học đầy đủ về hàm số y = ax và y = ax 2 ; chỉ bằng phép tịnh tiến đồ thị,
P

1

www.hocthenao.vn/2013/11/13

P


3
tương ứng ta có ngay đồ thị của hàm số y = ax + b và y = ax2 + bx +c...”. Như
P

P

chúng ta đã biết, theo quan điểm của Didactic Toán thì mỗi tri thức của một thể chế
để sống được trong thể chế ấy, tri thức phải tuân theo một số ràng buộc nào đó.
Điều đó kéo theo tri thức phải bị biến đổi, nếu không thì nó không thể đứng vững
trong thể chế. Theo trường phái Didactic Toán và việc Nguyễn Huy Đoan đưa ra
hạn chế trong SGK khiến chúng tôi nảy sinh vấn đề: Lý do của việc SGK Toán 10
Việt Nam lựa chọn trình bày phép tịnh tiến chỉ ở mức độ đơn giản, nó có khác biệt
gì so với SGK của một số quốc gia trên thế giới (đặc biệt là Úc)? Qua việc trình bày
trong SGK Việt Nam, học sinh hiểu như thế nào về phép tịnh tiến trong nghiên cứu
đồ thị HSBH? Và học sinh có thể vẽ đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến hay không?
 Ghi nhận thứ hai

U

Trong chương trình và SGK Toán Cơ bản 10 giảng dạy nội dung HSBH đề
ra mục tiêu như sau: “Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai”
[SGV Toán 10 CB, tr.58]. Từ đó, chúng tôi nhận thấy HS Việt Nam học khái niệm
HSBH chỉ để vẽ đồ thị của HSBH. Trong luận văn của tác giả Phạm Hải Dương:
“Một nghiên cứu Didactic về PTBH chứa tham số ở lớp 9, 10” năm 2011 đã đưa ra
giả thuyết và kiểm chứng mặt hạn chế về vai trò công cụ của đồ thị HSBH như sau:
“Vai trò công cụ của phương pháp đồ thị mờ nhạt trong việc giải PTBH chứa tham
số ở lớp 10”. Chúng tôi tự hỏi: Ngoài hạn chế về đối tượng công cụ của đồ thị
HSBH, thì vai trò khái niệm HSBH gắn liền với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất có được trình bày trong SGK Việt Nam hay không?
Từ những điều trên, chúng tôi tìm hiểu nội dung dạy học trong SGK các
nước có nền giáo dục tiên tiến hay các trường quốc tế tại Việt Nam thì chúng tôi
nhận thấy mục tiêu giảng dạy của họ không chỉ trình bày ở việc vẽ đồ thị, mà họ
còn sử dụng đồ thị như là công cụ để giải quyết các bài toán liên quan đến HSBH.
Dựa trên sự tham chiếu chương trình Toán của Úc, chúng tôi có câu hỏi đặt ra: SGK
Úc quan tâm đến vai trò công cụ của đồ thị HSBH để làm gì? Vấn đề mô hình các
bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến HSBH trình bày như thế
trong SGK Úc?. Liệu rằng HS Việt Nam có gặp khó khăn khi giải quyết các bài
toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất này không?.


4
Từ những ghi nhận trên, tôi quyết định chọn đề tài luận văn của mình nghiên
cứu theo hướng: “So sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường
trung học phổ thông Việt Nam và Úc” để có cái nhìn rõ hơn những tồn tại trong
việc dạy học khái niệm HSBH trong trường Phổ thông Việt Nam. Trong khuôn khổ
của luận văn, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu về đồ thị của hàm số bậc hai và vai trò
công cụ của đồ thị hàm số bậc hai.

2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
Cơ sở lý thuyết dành cho nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi
Didactic Toán, cụ thể là Lý thuyết nhân chủng học. Ngoài ra, chúng tôi lựa chọn
thực hiện luận văn theo quan điểm so sánh như sau:
Khi nghiên cứu một đối tượng O nào đó, nhà nghiên cứu phải thực hiện phân
tích, xem xét đối tượng O đó dưới cái nhìn khoa học luận, tức là trở về tìm hiểu
lịch sử hình thành đối tượng O đó. Tuy nhiên, trong khuôn khổ hạn chế về tài liệu,
việc tìm kiếm các nguồn tài liệu gốc về lịch sử tri thức Toán sẽ trở nên hết sức khó
khăn.
Theo Chevallard 1996, “Từ thể chế này sang thể chế khác, mối quan hệ thể
chế với đối tượng O thường hay thay đổi: nếu I ≠ I’, ta thường có
R ( I , O) ≠ R ( I ', O) , điều này cũng tương tự khi mà đối tượng O được xét trong I và

I’ thuộc về cùng một công trình – chẳng hạn một đối tượng toán học”.
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu của mình theo quan điểm so sánh giữa hai
thể chế nhằm mục đích :
− Việc tiếp cận và hình thành cách vẽ đồ thị của HSBH trong hai thể chế.
− Vai trò công cụ của đồ thị HSBH trong mỗi thể chế và những khó khăn của
học sinh Việt Nam.
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận văn nghiên cứu của tôi nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi sau:
CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và
Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền
với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ khái niệm HSBH được trình bày như thế nào
trong hai thể chế?


5
CH2: Sự ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam ảnh hưởng như thế nào đến quan
hệ cá nhân HS với phép tịnh tiến đồ thị của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c ?

CH3: Mối quan hệ thể chế Việt Nam đối với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
HSBH ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của HS?
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu
như sau:
Một là, chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Úc giảng dạy cho các học sinh các
trường quốc tế, trong đó có Việt Nam. Bộ SGK này có tính phổ biến rộng rãi nhiều
quốc gia trên thế giới nên chúng tôi lựa chọn nó làm cơ sở tham chiếu so sánh. Bên
cạnh đó, chúng tôi lựa chọn phân tích chương trình SGK Toán 9, SGK Toán 10 hiện
hành. Qua việc phân tích hai bộ SGK của Úc và Việt Nam, chúng tôi nhận thấy
được sự khác biệt của hai thể chế cũng như những ràng buộc của thể chế đối với
khái niệm HSBH. Từ đó giúp chúng tôi tìm được câu trả lời cho CH1. Vấn đề này,
chúng tôi trình bày trong chương 1. Nghiên cứu quan hệ thể với khái niệm hàm số
bậc hai.
Từ sự khác biệt trong việc dạy – học khái niệm HSBH ở Việt Nam so với Úc
sẽ giúp chúng tôi đặt ra những giả thuyết nghiên cứu.
Hai là, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình
huống. Cuối cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với
phân tích tiên nghiệm và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu. Vấn đề này được
chúng tôi trình bày trong chương 2. Nghiên cứu thực nghiệm.


6
CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM
SỐ BẬC HAI
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu nhằm mục đích tìm câu trả lời cho
câu hỏi CH1 sau:
CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và
Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền
với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ của khái niệm HSBH được trình bày như thế

nào trong hai thể chế?
Để đạt được mục tiêu đó, chúng tôi lựa chọn các bộ SGK hiện hành của Việt
Nam gồm:
− Toán lớp 9 tập 2
− Toán lớp 10 NC hiện hành
− Toán lớp 10 CB hiện hành
Ngoài ra, chúng tôi lựa chọn phân tích một bộ GT của Úc dành giảng dạy
cho HS các trường quốc tế, trong đó có Việt Nam, để làm cơ sở tham chiếu so sánh
trong luận văn. Bộ GT Úc có tên Mathemactic for the international students:
Mathematics Higher Level (HL), sở dĩ chúng tôi lựa chọn bộ này với lý do:
“Chương trình tú tài quốc tế IBDP 2 đã được cấp cho hàng ngàn HS tại 145 quốc gia
F
1
P

P

trên thế giới.[…]. Với chương trình IBDP, học sinh không thể phụ thuộc vào việc
học thuộc lòng mà phải hoàn toàn "động não". Các em được dạy không cần phải
học như một người máy và ghi nhớ tất cả những gì đã học, các em phải tự mình đưa
ra phương pháp học hiệu quả nhất (dưới sự tư vấn và hướng dẫn của các thầy cô) và
thích nghi, rèn luyện các kỹ năng học tập mới” 3. Như vậy, GT được biên soạn dành
F
2
P

P

cho HS – SV các trường quốc tế và mang tính giáo dục: “lấy học sinh làm trung
tâm”, được nhiều nước lựa chọn giảng dạy theo chương trình giáo dục của Úc.

2
3

IBDP là viết tắt của International Baccalaureate Diploma Programme
Học chủ động với chương trình tú tài quốc tế [www.vnexpress.net, phát hành năm 2014]


7

1.1. Khái niệm Hàm số bậc hai trong giáo trình Úc
1.1.1 Mục tiêu dạy học trong giáo trình Úc
GT được sử dụng cho HS các trường quốc tế theo khóa học hai năm của
Mathemtics HL. Đó là một trong các khóa học nằm trong chương trình tú tài quốc
tế của Diploma. GT được phát triển phi lợi nhuận, được tham khảo ý kiến với nhiều
giáo viên giàu kinh nghiệm của chương trình toán học International Baccalaureate
(IB).
Trong phần giới thiệu của GT, chúng tôi nhận thấy mục tiêu giảng dạy hướng
đến hình thành cho HS các kỹ năng sau:
Một là, nâng cao khả năng tự học, tìm hiểu khám phá các khái niệm toán học
qua việc tương tác với đĩa CD kèm theo GT: “Sự kết hợp của GT và tương tác trên
Student CD sẽ gợi động cơ học tập, thúc đẩy sự phát triển toán học của HS”.
Hai là, giúp HS nhận thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống hàng
ngày: “Một số bài tập được thiết kế nhằm hình thành kỹ năng, cố gắng xây dựng
tình huống trong bối cảnh có vấn đề, để HS có thể nhìn thấy được sự hữu ích hàng
ngày và các ứng dụng thực tế của toán học mà họ đang nghiên cứu…”
Ba là, ứng dụng công nghệ thông tin trong việc học tập của HS, “Việc sử
dụng máy tính đồ họa và phần mền máy tính trong cuốn sách giúp học sinh nhận
thức được tầm quan trọng, ứng dụng và sử dụng công nghệ thích hợp.[…]. Nó vai
trò quan trọng như là học sinh làm việc với một cây bút và giấy với các phần mền

HS sử dụng máy tính hoặc máy tính đồ họa, hoặc sử dụng một bảng tính hoặc gói
đồ họa trên máy tính”.
Với mục tiêu nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành một phân tích về phép biến đổi đồ thị
trong chương 6 của GT với mục đích xem xét:
− Cách tiếp cận phép biến đổi đồ thị hàm số trong GT Úc
− Các tổ chức toán học với phép biến đổi đồ thị HSBH
− Vai trò của phép biến đổi đồ thị HSBH thể hiện như thế nào với nội dung
khái niệm HSBH?


8
1.1.2. Đồ thị và phép biến đổi đồ thị trong GT
GT Úc được chia làm 30 chương, trình bày các kiến thức về Đại số và Giải
tích. Với mục tiêu đề ra trong nghiên cứu nên chúng tôi lựa chọn phân tích các
chương 6. Đồ thị và biến đổi hàm số, chương 7. Phương trình và Hàm số bậc hai,
chúng tôi lựa chọn phân tích những mục trình bày liên quan đến khái niệm HSBH.
Ở chương 6, nội dung về đồ thị hàm số được chia làm các phần như sau:
A. Họ các hàm số
Nghiên cứu: Họ các hàm số
B. Các tính chất về hàm số
C. Phép biến đổi đồ thị
D. Phép biến đổi hàm số
E. Hàm phân thức đơn giản
F. Phép biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối
Trong chương 6, GT Úc trình bày về vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp. GT Úc
nhấn mạnh việc sử dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp.
Chúng tôi nhận thấy có hoạt động 3, 4 được trình bày nội dung HSBH được cho
2
dạng y = ax sau:

Đối với hoạt động 3, Xét đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ:

1 2
1
y=
x2 , y =
2x2 , y =
x ,y =
− x2 , y =
−3 x 2 , y =
− x2
2
5

=
y ax 2 , a ≠ 0 ”
Nhận xét về hàm số có dạng
Đối với hoạt động 4, “Xét đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ:

y = x 2 , y = ( x − 1) 2 + 2, y = ( x + 1) 2 − 3, y = ( x − 2) 2 − 1 và các hàm số
khác có dạng y =( x − h) 2 + k theo sự lựa chọn của bạn. Nhận xét về hàm
số có dạng trên.
[GT, tr.108]
Đối với hoạt động 3, chúng tôi cho rằng GT mong muốn HS nhận biết hình dạng
của đồ thị hàm số y = ax 2 khi hệ số a thay đổi với trường hợp a > 0 và a < 0.


9
Đối với hoạt động 4, chúng tôi thấy rằng HS sẽ nhận biết được vị trí
đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy của đồ thị hàm số có dạng y =( x − h) 2 + k so với

đỉnh O(0, 0) parabol của hàm số y = x . Từ hai hoạt động trên, ta nhận thấy GT đã
2

bước đầu rèn luyện cho HS kỹ năng đọc thông tin đồ thị của HSBH, tức là HS có
thể nhận xét được các đặc điểm của đồ thị HSBH về bề lồi, bề lõm của parabol khi
hệ số a thay đổi, tọa độ của đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy .
Trong phần C. Phép biến đổi đồ thị, GT đã trình bày mối liên hệ giữa hàm số

y = f ( x) với các hàm số có dạng sau:
− y = f(x) + b

− y = f(kx)

− y = f(x – a)

− y = -f(x)

− y = pf(x)

− y = f(-x)

Chúng tôi nhận thấy GT Úc đã xuất phát tiến trình dạy học định lí từ các hoạt
động cụ thể để HS có thể rút ra những thuộc tính bản chất về mối liên hệ giữa hai đồ
thị và đưa ra các kết luận. Như vậy, ta thấy rằng tiếp cận khái niệm toán học Úc
theo quan điểm thực nghiệm toán học 4 và quan điểm này không được trình bày
F
3
P

P

trong nội dung khái niệm HSBH ở Việt Nam.
Chúng tôi chỉ phân tích các tổ chức toán học về phép biến đổi đồ thị có dạng
sau:
− y = f(x - a)
− y = f(x) + b
− y = f(x - h) + k
KNV T motaUc1 : Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị
R

R

của hàm số y = f(x) + b
Kỹ thuật t motaUc1 :
Cách 1: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và y = f(x) + b bằng phần mền máy
tính hoặc MTĐT.

Thực nghiệm toán học được hiểu là việc sử dụng công nghệ tính toán trong nghiên cứu toán học.
Máy tính cung cấp cho nhà toán học “phòng thí nghiệm”, trong đó học có thể tiến hành các thực
nghiệm: phân tích các ví dụ, kiểm tra các ý tưởng mới hoặc tìm các quy luật. [Nguyễn Đăng Minh
Phúc, Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mền hình học động , tr.101]
4


10
Dựa vào đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = f(x) + b , đưa kết luận về phép
tịnh tiến giữa hai đồ thị HSBH y = f(x) và hàm số y = f(x) + b.
Cách 2: Không vẽ đồ thị, dựa vào hằng số b
− Với b > 0 thì ta kết luận đồ thị hàm số y = f(x) + b thu được bằng cách dịch
chuyển đồ thị hàm số y = f(x) lên trên b đơn vị.

− Với b < 0 thì ta kết luận đồ thị hàm số y = f(x) + b thu được bằng cách dịch
chuyển đồ thị hàm số y = f(x) xuống dưới b đơn vị.
Công nghệ:
Đối với hàm số y = f (x) + b, sự thay đổi dấu của b sẽ ảnh hưởng đến sự dịch
chuyển của đồ thị của y = f (x) theo chiều dọc b đơn vị nếu:
− b > 0 nó di chuyển lên trên
− b < 0 nó di chuyển xuống dưới.
[GT, tr.113]
Ví dụ minh họa cho KNV:
Bài 1. a Vẽ đồ thị của hàm số f ( x) = x .
2

b Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị hàm số:

y x +2
• y = f(x) + 2, i.e., =
2

y x −3
• y = f(x) – 3, i.e., =
2

c Nhận xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và y = f(x) + b nếu:
i b> 0

ii b < 0.
[GT, tr. 111]

KNV TmotaUc2: Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số
R

R

y = f(x – a)
Kỹ thuật t motaUc 2 :
Cách 1: Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = f(x – a)
Dựa vào hình vẽ của hai đồ thị để đưa ra kết luận về phép tiến giữa hai đồ thị
của hàm số y = f(x) và y = f(x – a).
Cách 2: không vẽ đồ thị, dựa vào hằng số a


11
− Khi a > 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển
đồ thị của y = f(x) về phía bên phải a đơn vị.
− Khi a < 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển
đồ thị của y = f(x) về phía bên trái a đơn vị.
Công nghệ:
“Đối với hàm số y = f (x – a), sự thay đổi dấu a ảnh hưởng đến sự dịch
chuyển của các đồ thị của y = f (x) theo chiều ngang với a đơn vị
− Nếu a > 0, nó di chuyển về bên phải
− Nếu a < 0, nó di chuyển bên trái”
[GT, tr .113]
Ví dụ minh họa cho KNV:
Bài 3 a Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị: f ( x) = x 2 , y = f(x – 3) và
y = f(x + 2)
b Nhận xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và
y = f(x – a) nếu:
i. a > 0

ii. a < 0.

[GT, tr.111]

Tóm lại, Ở chương 6 này, thể chế Úc nhằm hình thành cho HS kỹ năng từ đồ
thị của một hàm số cơ bản cho trước thực hiện phép biến đổi đồ thị trên đến một vị
trí khác trên mặt phẳng tọa độ thì ta sẽ nhận được một hàm số mới tương ứng với đồ
thị đó. Do đó, phép biến đổi đồ thị còn gọi là phép biến đổi hàm số, tức là thiết lập
hàm số mới từ hàm số đã biết nhờ phép biến đổi đồ thị.
Kiểu nhiệm vụ

Ví dụ - bài tập

T motaUc1 : Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ

5

R

R

thị của hàm số y = f(x) + b
T motaUc2 : Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ
R

R

4

thị của hàm số y = f(x-a)
Bảng 1.1. Tổng hợp kiểu nhiệm vụ phép biến đổi đồ thị - bài tập
Việc trình bày đồ thị của HSBH ở chương này không nhằm mục đích xây

dựng đồ thị HSBH y = ax + bx + c từ đồ thị hàm số y = ax bằng các phép biến
2

2


12
đổi đồ thị. HS chỉ hình thành kỹ năng mô tả mối liên hệ giữa các đồ thị HSBH bằng
các phép biến đổi thị qua các KNV T motaUc1 , T motaUc2 . Vấn đề đặt ra, phép biến đổi
R

R

R

R

đồ thị có được nhắc lại trong nội nung bài học khái niệm HSBH không? Nếu có,
nhằm mục đích gì?. Trong phần phân tích tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm ra câu trả lời.
1.1.3. Khái niệm HSBH trong GT Úc
Ở chương 7, khái niệm HSBH được trình bày với các nội dung:
2
A. Kí hiệu hàm số f : x → ax + bx + c

B. Đồ thị hàm số bậc hai
Nghiên cứu 1: Vẽ đồ thị y =a ( x − a )( x − β )
Nghiên cứu 2: Vẽ đồ thị y = a ( x − h) 2 + k
C. Đưa về dạng bình phương
D. Phương trình bậc hai
E. Công thức bậc hai

F. Nghiệm phương trình bậc hai bởi công nghệ
G. Vấn đề nghiệm bậc hai
H. Đồ thị bậc hai
I. Biệt thức
J. Tìm biểu thức bậc hai từ đồ thị
K. Giao điểm của đồ thị hàm số
L. Mô hình hóa hàm bậc hai
Trong phần này, chúng tôi lựa chọn các mục A, B, C, F, H, J, K, L nơi mà
đối tượng HSBH được cụ thể hóa, làm rõ các tổ chức toán học khái niệm HSBH
làm cơ sở so sánh với chương trình Toán Việt Nam xoay quanh các vấn đề sau:
− Cách tiếp cận đồ thị HSBH
− Vai trò công cụ của khái niệm HSBH
Trong bộ GT này, dạng biểu thức giải tích của HSBH được chia làm 3 dạng:
dạng cắt: y =α ( x − α )( x − β ) , dạng đỉnh: y = a ( x − h) 2 + k , dạng tổng quát:

y = ax 2 + bx + c . Đối với HSBH dạng
=
y ax 2 , a ≠ 1 không được trình bày trong
chương này, mà nó chỉ được giới thiệu ở mục hoạt động 3, chương 6:


13
3. “Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số sau:

1 2
1
y=
x2 , y =
2x2 , y =
x ,y =

− x2 , y =
−3 x 2 , y =
− x 2 . Nhận xét các
2
5
hàm số trên dạng
=
y ax 2 , a ≠ 0 ”. [GT, tr.108]
Qua hoạt động trên, GT nhằm giúp cho HS thấy được ý nghĩa của hệ
số a < 0: bề lõm của parabol quay xuống

, a > 0: bề lõm của parabol quay lên

khi vẽ trên cùng hệ trục tọa độ so với hàm số y = x 2 .
GT nhận xét HSBH là một hàm đa thức và trình bày một cách sơ lược về
lịch sử hình thành của khái niệm HSBH trong phần “chú thích lịch sử”.
Mở đầu, HSBH dạng đơn giản y = x chỉ trình bày trong phần giới thiệu nội
2

dung về: đồ thị là parabol, đỉnh của parabol, được vẽ từ bảng giá trị trong phần ghi
chú sau: “Điều quan trọng là chúng ta có thể vẽ đồ thị của y = x 2 từ bảng giá trị
được cho trước” [GT, tr.123]. Chúng tôi nhận thấy GT không trình bày về các tính
chất hàm số của hàm số y = x 2 . GT Úc trình bày HSBH ở phần B với 2 dạng:
y =a ( x − a )( x − β ) và y = a ( x − h) + k .
2

Vậy GT đã tiếp cận khái niệm hàm số và cách vẽ đồ thị HSBH hai dạng trên như
thế nào?. Chúng tôi tiến hành một phân tích về khái niệm HSBH trình bày trong GT
để tìm câu trả lời thỏa đáng.
Đầu tiên, GT đưa ra định nghĩa và kí hiệu về HSBH như sau:

2
Trong phần A, ký hiệu hàm số f : x → ax + bx + c

GT đưa ra định nghĩa về hàm số bậc hai như sau:
“Tương tự hàm tuyến tính, với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ một giá trị
của y có thể tìm bằng cách thay vào phương trình hàm số”.
[GT, tr.123]
Sau đó, GT đưa ra ví dụ:
“Nếu y = 2 x − 3 x + 5 , và x = 3 thì y= 2.3 − 3.3 + 5= 14
2

2

Do đó, cặp số (3, 14) thỏa mãn hàm số y = 2 x − 3 x + 5 ”
2

[GT, tr.123]


14
Như vậy, khái niệm HSBH được định nghĩa trực tiếp dạng tổng quát

y = ax 2 + bx + c dựa trên lý thuyết tập hợp, việc trình bày trong GT để nhằm mục
đích rèn luyện HS kỹ năng tính giá trị của HSBH thay vào biểu thức giải tích. Tuy
nhiên, HSBH không đề cập đến mối liên hệ giữa các đại lượng như: tính biến thiên,
tính chẳn lẻ của hàm số không được trình bày trong GT.
Một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm HSBH sau:
T TinhUc : Tính giá trị hàm số y = ax 2 + bx + c
R

R

KNV con T TinhUc1 :Tính giá trị hàm số y = ax 2 + bx + c tại x 0
R

R

R

Kỹ thuật: Thay giá trị x 0 vào biểu thức HSBH
R

R

Khi đó: y0 = ax02 + bx0 + c
Công nghệ: Khái niệm hàm số
KNV con T TinhUc2 : Xét điểm M(x 0 ,y 0 ) thuộc đồ thị của HSBH
R

R

R

R

R

R

Kỹ thuật: Bước 1: Đặt y1 := ax02 + bx0 + c

Bước 2: Nếu y 0 = y 1 thì M thuộc đồ thị HSBH
R

R

R

R

y0 ≠ y1 thì M không thuộc đồ thị HSBH.
Công nghệ: Định nghĩa đồ thị hàm số.
Trong phần B vẽ đồ thị HSBH đưa ra nghiên cứu về hai dạng
y =a ( x − a )( x − β ) và y = a ( x − h) + k . Ở đây, HS theo học chương trình
2

Diploma đã biết sử dụng các phần mền máy tính để vẽ đồ thị hàm số, tức là máy
tính điện tử được xem như là công cụ hữu ích cho HS trong việc học vẽ đồ thị của
hàm số.
Trong phần nghiên cứu 1 về đồ thị của HSBH dạng y =a ( x − a )( x − β ) ,
chúng tôi gọi là dạng cắt trục hoành. Bởi vì khi dựa vào biểu thức giải tích thì chúng
ta khẳng định được đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ α , β . Một
lần nữa, GT đã đưa ra các hoạt động dưới sự trợ giúp của công nghệ thông tin và
được khẳng định như sau: “Để nghiên cứu này đạt hiệu quả tốt nhất là sử dụng
“graphing package” hoặc máy tính đồ thị”. [GT, tr.125]
Trong phần này GT đưa ra 4 hoạt động như sau:
1. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:


15

−( x − 1)( x − 3)
y=
( x − 1)( x − 3), y =
2( x − 1)( x − 3), y =
1
− ( x − 1)( x − 3)
y=
−3( x − 1)( x − 3) và y =
2

b. Tìm giá trị cắt trục x của các hàm số trong câu a
c. Nhận xét ý nghĩa hình học của a trong hàm số y = a(x – 1)(x – 3)
2. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

y = 2( x − 1)( x − 4), y = 2( x − 3)( x − 5), y = 2( x + 1)( x − 2)
=
y 2 x( x + 5) và y =2( x + 2)( x + 4)

b. Tìm giá trị cắt trục x của các hàm số trong câu a.
c. Nhận xét ý nghĩa hình học của α , β trong hàm số y = 2(x - a)(x -β).
3. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

y=
2( x − 1) 2 , y =
2( x − 3) 2 , y =
2( x + 2) 2 , y =
2x2
b. Tìm giá trị cắt trục x của mỗi hàm số trong câu a

y 2( x − α )

c. Nhận xét về ý nghĩa hình học của α trong=

2

4. Điền vào chổ trống sau:
Nếu hàm bậc hai có dạng phân tích các nhân tử y =a ( x − a )( x − β )
nó………….. trục x tại……………..

y a( x − a )
Nếu hàm bậc hai có dạng tích các nhân tử =

2

thì

nó…………..cắt trục x tại…………
[GT, tr.125]
Qua 4 hoạt động trên, chúng tôi nhận thấy hoạt động 1 ngầm ẩn cho HS biết
được hình dạng đồ thị HSBH khi mà giá trị hệ số a thay đổi. Hoạt động 2 và 3 nhận
biết về các giá trị α , β cắt trục Ox của parabol y =a ( x − a )( x − β ) . Hoạt động 4 là
rút ra kết luận tổng quát về hình dạng parabol của hàm số y =a ( x − a )( x − β ) . Như
vậy, ta thấy rằng cách trình bày trong GT tiếp cận dựa vào công nghệ và theo con
đường quy nạp trường hợp cụ thể, tức là “xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như
vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, trừu tượng hóa và
khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm [….] hay một sự hiểu
biết trực giác về khái niệm tùy theo yêu cầu của chương trình”.


16
Tương tự, trường hợp hàm số có dạng y = a ( x − h) + k , GT cũng trình bày

2

các hoạt động và rút ra kết luận theo con đường quy nạp.
Cuối cùng, GT đưa ra cách vẽ đồ thị HSBH có dạng y =a ( x − a )( x − β ) như sau:
“Nếu chúng ta có HSBH dạng y =a ( x − a )( x − β ) thì chúng ta dễ
dàng vẽ đồ thị này dựa vào:
• Cắt trục x ( α và β )
• Trục đối xứng ( x =

α +β
2

)

α + β
• Tọa độ của đỉnh 
,f
2


α + β

 2





• Cắt trục y ( khi cho x = 0)”.
[GT, tr.126]

Qua đó, HS có thể hình thành cho bản thân khả năng tự đánh giá, rút ra kết
luận về tri thức cần tiếp thu và không bị áp đặt việc học một cách máy móc.
Đối với dạng y = a ( x − h) 2 + k , ta có cách vẽ như sau:
“Vẽ đồ thị dạng này dựa vào:
• Trục đối xứng (x = h)
• Tọa độ của đỉnh (h,k)
• Cắt trục y (khi cho x = 0).”
[GT, tr.127]
Như vậy, GT Úc vận dụng công nghệ thông tin vào hỗ trợ tiếp cận vẽ đồ thị
HSBH và HS nêu nhận xét về đỉnh, cắt trục hoành, trục đối xứng. Ngoài ra, chúng
tôi không tìm thấy chứng minh đồ thị HSBH là parabol bằng công cụ giải tích cũng
như phép tịnh tiến. HS nhận biết trực giác về đồ thị của HSBH là đường cong
parabol qua các hình vẽ trong MTĐT. Chúng tôi nhận thấy có xuất hiện các tổ chức
toán học sau:
KNV T VeUc1 : Vẽ đồ thị của hàm số dạng y =a ( x − a )( x − β )
R

R

Kỹ thuật:
• Xác định cắt trục Ox ( α và β )


17
• Trục đối xứng ( x =

α +β
2

)

 α + β  α + β 
• Tọa độ của đỉnh 
,f

 2 
 2

• Cắt trục Oy ( khi cho x = 0)
• Nối các điểm đặc biệt với nhau.
Minh họa ví dụ sau:
Vẽ đồ thị của hàm số y = 2( x + 1)( x − 3) .
Giải: Hàm số y = 2( x + 1)( x − 3) cắt trục x tại -1 và 3,
Trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm giữa các điểm cắt trục x,
=
x

−1 + 3
= 1
2

Khi x = 1, y = 2(2)(-2) = -8, đỉnh là (1, -8)
Khi x = 0, y = 2(1)(-3) = -6, cắt trục y là -6. Đồ thị

[GT, tr.126]
KNV con T VeUc1.1 : Chọn hàm số y =a ( x − a )( x − β ) tương ứng với đồ thị của
R

R

hàm số đó
Kỹ thuật:
Dựa vào hệ số a, nếu a > 0 thì parabol có dạng
dạng

;a < 0 thì parabol có

.

Xác định các điểm A(α ,0), B ( β ,0) của đồ thị hàm số y =a ( x − a )( x − β )
cắt trục Ox.