SKKN các PHƯƠNG PHẤP TÍNH TÍCH PHÂN

CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

LỜI NÓI ðẦU
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học,
tích phân ñược ứng dụng rộng rãi như ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay,
nó còn là ñối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết
phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học...
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo
ñược phổ biến trong tất cả các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ
hai trong chương trình học ðại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh.
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tảng
trong những năm học ðại cương của ðại học.
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số,
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích
phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân.
Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Nhân dịp

này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trang 1


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

MỤC LỤC
Lời nói ñầu

1

Mục lục

2

I.

Nguyên hàm:

I.1.

ðịnh nghĩa nguyên hàm

3

I.2.

ðịnh lý

3

I.3.

Các tính chất của nguyên hàm

3

I.4.

Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung

4

II.

Tích phân:

II.1. ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh

5

II.2. Các tính chất của tích phân

5

II.3

Tính tích phân bằng phương pháp phân tích

5

Bài tập ñề nghị 1

9

Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số

10

II.4

II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1
ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1

13

Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1

14

Bài tập ñề nghị số 2

14

Bài tập ñề nghị số 3

15

Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

16

II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2

16

Bài tập ñề nghị số 5

21

Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông

22

Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

22

II.5. Phương pháp tích phân từng phần

III.

10

23

Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

28

Kiểm tra kết quả tích phân bằng máy tính CASIO fx570-MS

29

Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân

30

Bài tập ñề nghị số 8: 100 BTñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng

34

Phụ lục

40
Trang 2


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu với mọi
x∈K

F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ðỊNH LÝ:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì:
a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó.
b) Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K ñều có thể viết dưới dạng
F(x) + C với C là một hằng số.
Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một
nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C tùy ý.
Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và

ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh)
Vậy:

∫ f(x)dx = F(x)+C ( C ∈ ℝ )

VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 +C

b) ∫ sinxdx = - cosx +C

c)

1

∫cos x dx =tanx +C
2

I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM:
1)

'

( ∫ f(x)dx ) = f(x)

2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx

(a ≠ 0 )

3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C

VD3: a)

∫ (5x

4

- 6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C

b) ∫ 6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C

Trang 3

CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP

1/ ∫ du = u + C

1/ ∫ dx = x + C
2/ ∫ x α dx =

x α +1
+C
α +1

dx
= ln x + C
x
4/ ∫ e x dx = e x + C

3/ ∫

5/ ∫ a x dx =

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP

2/ ∫ uα du =

( α ≠ -1)

3/ ∫

(x ≠ 0)

uα +1
+C
α +1

( α ≠ -1)

du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u

4/ ∫ eu du = eu + C

ax
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

5/ ∫ au du =

au
+C

lna

( 0 < a ≠ 1)

6 / ∫ cosx dx = sinx + C

6/ ∫ cosu du = sinu + C

7/ ∫ sinx dx = -cosx + C

7/ ∫ sinu du = - cosu + C

π
dx
du
π
= ∫ (1+ tan 2 x ) dx = tanx + C (x ≠ + k π ) 8/ ∫
= ∫ (1+ tan2u ) du = tanu + C (u ≠ + kπ )
2
2
cos x
2
cos u
2
dx
du
9/ ∫
= ∫ (1 + cot 2 x ) d x = -cotx + C (x ≠ k π )
9/ ∫
= ∫ (1+ cot 2u ) du = -cotu + C (u ≠ kπ )

2
2
sin x
sin u
8/ ∫

CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP:

1/ ∫

1
dx = 2 x + C
x

2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α

1/ a m . a n = a m+n

(x ≠ 0)

1 ( ax + b )
a
α +1

CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA:

α +1

+ C (a ≠ 0)

am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a

3/

m

1

1
1
3/ ∫
dx = ln ax + b + C (a ≠ 0)
ax + b
a
1
4/ ∫ e ax+b dx = e ax +b + C (a ≠ 0)
a
kx
a
5/ ∫ a kx dx =
+ C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1)
k.lna
1

6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
1
7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
8 / ∫ tanx dx = - ln cosx + C (x ≠

2/

π
2

9/ ∫ cotx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )

+ kπ )

a = am ;

n
m

an = a m

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC:

1/ sin2 x =

1
(1- cos2x )

2

2/ cos2 x =

1
(1+cos2x )
2

b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1
cos ( a - b ) + cos ( a + b ) 
2
1
2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 
2
1
3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 
2

1/ cosa.cosb =

Trang 4


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

II. TÍCH PHÂN:

II.1. ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH:
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K,
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi là tích phân từ
a ñến b của f(x). Ký hiệu:
b

b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b)- F(a)
a

a

II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN:
a

1/

∫ f (x )dx = 0

a
a

2/

b

∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx

b

b

3/

a
b

∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx

a
b

4/

a
b

b

∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx

a
b

5/

(k ≠ 0)

a
c

a
b

∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

a

a

với c∈(a;b)

c
b

6 / Nếu f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 .
a
b

b

a

a

7 / Nếu f (x ) ≥ g(x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .
b

8 / Nếu m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) .
a

t

9 / t biến thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là một nguyên hàm của f (t ) và G (a ) = 0
a

II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
b

Chú ý 1: ðể tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1f1(x ) + ... + km fm (x )
a

Trong ñó: ki ≠ 0 (i = 1,2, 3,..., m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3,..., m ) có trong bảng nguyên
hàm cơ bản.
VD4: Tính các tích phân sau:
Trang 5


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
2

1) I = ∫(3x - 4x +3)dx =(x - 2x +3x)
2

3

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

2

2

-1

-1

= (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12
Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/
trong bảng nguyên hàm.
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2) I = ∫
dx
2
x
1
Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên
hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4
và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm.
2
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2 4
2
⇒ I= ∫
dx
=
(3x
-6x
+
4

+ )dx
∫1
x2
x x2
1

4 2
= (x 3 -3x 2 + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2
x 1
2

x 2 -5x +3
3) I = ∫
dx
x +1
0
Nhận xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng
nguyên hàm, trước hết phân tích phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng
tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/ trong bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung.
2 2
2
x -5x +3
9 

⇒ I= ∫
dx = ∫  x − 6 +
 dx
x
+1
x

+1

0
0 
 x2
2
=  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10
2
0
1

4) I = ∫ e x (2xe-x +5 x e-x -e-x ) dx
0

Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp
dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm.

 2 5x
1 4
⇒ I = ∫ e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x +
-x  =
ln5  0 ln5

0
0
1

1

x

-x

x -x

-x

x

π
4

π

2
5) I = ∫(4cosx +2sinx - 2 )dx =(4sinx - 2cosx - 2tanx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2
cos x
0
0

Nhận xét: Câu 5 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/
trong bảng nguyên hàm.
Trang 6


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π

8

6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x)
0

8

= - 2 -3 + 2 = -1- 2

0

Nhận xét: Câu 6 trên ta cũng chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ ,
7/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung.
π
12

7) I =

2
∫ sin (2x -

0

π
4

)dx

Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng
nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xem u 2 = sin 2(2x -

π

) (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp).
4
Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các
công thức bổ sung.
π

π

π

1 12 
π 
1 12
⇒ I = ∫ sin (2x - )dx = ∫  1 - cos(4x - ) dx = ∫ (1 - sin4x )dx
4
2 0
2 
2 0
0
12

2

π

π


π
1
1
1 π 1
=  x + cos4x  12 =  + cos
2
4
2  12 4
3

0

 1
 π
1
1
 - 2 0 + 4 cos0  = 24 - 16




π
16

8/ I =

∫ cos6x.cos2xdx

0

Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết phải biến ñổi lượng giác biến
ñổi tích thành tổng rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm
phần các công thức bổ sung.
π

π

16

16

1
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx =
2
0

=


1 1
1
cos8x
+
cos4x
dx
=
sin8x

+
sin4x
(
)


∫
2 8
4

0

π
16
0

 1 1
1 1
π 1
π  11
1
2 1
sin
+
sin
−
sin
0
+
sin

0
=
+
1+ 2

=




2 8
2 4
4  2 8
4
8  16
 2  8

(

)

2

9) I =

∫x

2

-1dx

-2

Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng
học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp
với tính chất 5/ của tích phân ñể khử giá trị tuyệt ñối.
Trang 7


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
2

⇒ I=

∫x

-1
2

-1dx =

-2

∫ (x

1

2

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

2

-1 )dx − ∫ ( x 2 -1 ) dx + ∫ ( x 2 -1 ) dx

-2

-1

1

x
 -1  x
 1 x
2
=  -x  − -x  + -x  = 5
3
 -2  3
 -1  3
1
3

3

3

3

3x +9
dx
x

4x
-5
2
Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện phép chia ña thức ñược như câu 2 và 3,
mặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x +1) nên ta tách biểu thức
3x+9
A
B
4
1
=
+
=
trong dấu tích phân như sau: 2
(phương pháp hệ số
x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1
bất ñịnh)
3
3
3
3x +9
1 
 4
⇒ I= ∫ 2
dx = ∫ 
dx = ( 4ln |x -5 |-ln |x +1 |) 2
x - 4x -5
x -5 x +1 
2
2

4
= 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln
27
10) I = ∫

2

Chú ý 2: ðể tính I = ∫

a'x + b'
dx
ax 2 + bx + c

(b2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau:

TH1: Nếu b2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có sự phân tích ax 2 +bx + c = a(x +
⇒ I= ∫

b 2
)
2a

b
ba'
ba'
)+ b' b'
dx
dx
2a
2a dx = a'

2a
+
∫
∫
b
b
a x+ b
a
a(x + )2
(x + )2
2a
2a
2a

a'(x +

TH2: Nếu b2 - 4ac > 0 ⇒ ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . Ta xác ñịnh A,B sao cho
A+ B = a'
a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) , ñồng nhất hai vế ⇒ 
Ax1 + Bx 2 = -b'
1 A(x - x1 )+ B(x - x 2 )
1
A
B
I= ∫
dx = ∫(
+
)dx .
a
(x - x1 )(x - x 2 )

a x - x 2 x - x1

Trang 8


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Chú ý 3:
TH1: ðể tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:
(x - a1 )(x -a2 )...(x -an )

A1
A2
An
P(x)
=
+
+ ...+
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 )
(x -an )

TH2: ðể tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:

(x -a1 ) (x -a2 )k ...(x -an )r
m

A1
A2
Am
P(x)
=
+
+
...+
+ ...
(x - a m )
(x -a1 )m(x -a2 )k ...(x -an )r (x - a 1 ) m (x - a 2 ) m -1
P(x)
dx với P(x) và Q(x) là hai ña thức:
TH3: ðể tính I = ∫
Q(x)

* Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x).
* Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì tìm cách ñưa về các dạng trên.
Nhận xét: Ví dụ 4 trên gồm những bài tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có
thể áp dụng ngay bảng công thức nguyên hàm ñể giải ñược bài toán hoặc với những phép
biến ñổi ñơn giản như nhân phân phối, chia ña thức, ñồng nhất hai ña thức, biến ñổi tích
thành tổng...Qua ví dụ 4 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm vững phép tính
tích phân cơ bản.
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 1: Tính các tích phân sau:
1

1) I = ∫(x x + 2x 3 + 1)dx

0

2

2x 2 x + x 3 x - 3x + 1
2) Ι = ∫
dx
2
x
1

0

x 3 -3x 2 -5x +3
3) I = ∫
dx
x
2
-1

5) I =

2

4) I =

∫ (x

+ x - 3 ) dx
2

-2

π

π

6

12

∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx

2

6) I =

0

∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx
0

π

16

7) I =

∫ cos

2

4

2xdx

8) I =

∫x

2

+ 2x -3 dx

-2

0
4

dx
9) I = ∫ 2
x -5x +6
1
2

1

10) I = ∫
0

dx
x +1+ x

x + 2x +6
11) I = ∫
dx
(x - 1)(x - 2)(x - 4)

x 2 +1
12) I = ∫
dx
(x -1)3 (x +3)

xdx
13) I = ∫ 4
x -6x 2 +5

x 7 dx
14) I = ∫
(1+ x 4 )2
Trang 9


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ:
II.4.1. Phương pháp ñổi biến số loại 1:
b

Ta có chú ý: Tích phân

∫ f(x)dx

chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a và b mà

a

không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân. Tức là:
b

b

b

a

a

a

∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ...
Trong một số trường hợp tính tích phân mà không tính trực tiếp bằng công thức hay
qua các bước phân tích ta vẫn không giải ñược. Ta xét các trường hợp cơ bản sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I =

2
2

dx
2 -x2

∫
0

Phân tích: Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn
bằng phép biến ñổi bình phương hai vế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn bậc hai về
2
2
dạng A 2 , khi ñó ta sẽ liên tưởng ngay ñến công thức: 1-sin x = cos x = cosx , do ñó:

π π

ðặt x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ; 
 2 2
ðổi cận:

x=

2
2
π
⇒ 2sint =
⇒t =
2
2
6

x =0 ⇒
π

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

6
2cost.dt
2cost.dt
π
π
6
=∫
= ∫ dt = t =
( vì t ∈ 0;  ⇒ cost > 0 )
2
2
6
 6
2 -2sin t 0 2(1-sin t) 0
0

6

6

⇒ I= ∫
0

Trong VD trên khi ta thay ñổi như sau: I =

2

∫
0

ñược kết quả I =

π
2

. Kết quả trên bị sai vì hàm số f (x) =

dx
. Học sinh làm tương tự và
2 -x2

1
không xác ñịnh khi x= 2 .
2-x2

Do ñó khi ra ñề ở dạng trên Giáo viên cần chú ý: hàm số f (x) xác ñịnh trên [a;b]
6
2

2) I =

∫

3 - x 2 dx

0

Trang 10


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
π π
ðặt x = 3 sint ⇒ dx = 3 costdt , t ∈ - ; 
 2 2

ðổi cận:

x=

6
6
π
⇒ 3sint =
⇒t =
2
2
4

x =0 ⇒
π

4

⇒I = ∫
0

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

34
3
1
4
3 π 1 
3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  + 
20
2 2
24 2

0
0
4

2

2

β

a) Khi gặp dạng

∫
α

β

2

∫
α

2

a - x dx hay

dx
(a > 0)
a2 - x 2
π π

ðặt x = a.sint ⇒ dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2
2
2
2

2
2
( ðể biến ñổi ñưa căn bậc hai về dạng A 2 , tức là: a -a sin x = a cos x =a. cosx )

π π

x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2

ðổi cận:

π π

x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2
π π

π π

Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0
 2 2
 2 2
β

⇒ ∫ a - x dx =
2

α

β'

∫
α

β'

a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , hạ bậc cos2t.
2

2

2

α'

'

β

hay

2

β'
β'
dx
a.costdt
=∫
= ∫ dt
a 2 - x 2 α ' a 2 -a 2sin 2 t α '

∫

α

ðến ñây, công thức nguyên hàm không phụ thuộc vào biến số nên ta tính ñược tích
phân theo biến số t một cách dễ dàng. Ở ñây ta cần lưu ý: Biểu thức trong dấu tích phân
này là hàm số theo biến số t ñơn ñiệu trên [α;β].
Ta mở rộng tích phân dạng trên như sau:
β

b) Khi gặp dạng

∫
α

β

a 2 -u 2(x)dx hay

∫
α

dx
(a > 0)
a 2 -u 2(x)

π π
ðặt u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2

ðổi cận:

π π

x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2
π π

x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2
Trang 11


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
6
2+
2

VD6: Tính tích phân sau: I =

∫

GV: NGUYỄN DUY KHÔI
6
2+
2

-x 2 + 4x -1 dx . Ta có: I =

2

∫

3 - (x -2 ) dx
2

2

π π

ðặt x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2
ðổi cận:

x = 2+

6
2
π
⇒ sint =
⇒t =
2
2
4

x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

4

⇒ I=

4

3 - 3sin 2 t . 3cost.dt = ∫ 3cos 2 t.dt

∫
0

0

π

3 4
3
1

= ∫ (1+ cos2t ).dt =  t + sin2t 
20
2
2

2

VD7: Tính tích phân sau: I = ∫
0

π
4

0

=

3 π 1 
+
2  4 2 

dx
dx
2+x 2

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không sử dụng
phương pháp hệ số bất ñịnh như ví dụ 4.10 và không phân tích biểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
ðặt: x = 2tant ⇒ dx = 2. (1+tan 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
x = 2 ⇒ 2tant = 2 ⇒ t =

ðổi cận:

x =0 ⇒
π
4

⇒ I= ∫

0

π
4

2tant = 0 ⇒ t = 0
π

2.(1+tan2t )dt 4 2
2 4
2π
= ∫ dt =
t =
2
2+2tan t
2
2
8
0
π

0

β

dx
(a > 0)
+x2
Nhận xét: a2 + x2 = 0 vô nghiệm nên ta không phân tích biểu thức trong dấu tích
phân ñược như chú ý 2 và chú ý 3.

 π π
2
ðặt x = a.tant ⇒ dx = a. (1+ tan t )dt , t ∈  - ; 

c) Khi gặp dạng

∫
αa

2

 2 2

ðổi cận:

 π π
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = α ⇒ t = α’ ∈  - ; 
 2 2

Trang 12


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Ta xét ví dụ tương tự tiếp theo:

1+ 2

VD8: Tính tích phân sau: I =

∫
1

dx
x -2x+3
2

Nhận xét: Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta phân tích mẫu số

ñược thành: a2 + u2(x).
1+ 2

Ta có: I =

∫
1

1+ 2
dx
dx
=
2
2
∫
x -2x+3
1 2+ ( x -1)

 π π
ðặt x -1= 2tant ⇒ dx = 2.(1+tan 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2

ðổi cận:
x = 1+ 2 ⇒ tant = 1 ⇒ t =
x = 1 ⇒ tant = 0
π
4

⇒I= ∫
0

π
4

⇒t= 0

π

2.(1+tan2t )dt 4 2
2
= ∫ dt =
t
2
2+2tan t
2
2
0

π
4

=

0

2π
8

Vậy:
β

dx
(a > 0)
+u 2 (x )
Với tam thức bậc hai a 2 +u 2 (x ) vô nghiệm thì

d) Khi gặp dạng

∫
αa

2

 π π
ðặt u(x) = a.tant ⇒ u'(x)dx = a. (1+tan 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
 π π

ðổi cận:
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2
 π
x = α ⇒ t = α’ ∈   2

2
π
; 
2

Tóm lại: Phương pháp ñổi biến số dạng 1:
ðịnh lý: Nếu
1. Hàm số x = u(t) có ñạo hàm liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [α;β].
2. Hàm số hợp f [u(t)] ñược xác ñịnh trên ñoạn [α;β].
3. u(α) = a, u(β) = b.
b

thì

β

∫ f(x)dx = α∫ f [u(t) ]u'(t).dt
a

Trang 13


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

Từ ñó ta rút ra quy tắc ñổi biến số dạng 1 như sau:
B1: ðặt x = u(t) (với u(t) là hàm có ñạo hàm liên tục trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñịnh trên
[α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñịnh α , β
β

β

b

B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t)
α

a

α

= G( β ) -G (α )

Một số dạng khác thường dùng phương pháp ñổi biến số dang 1:
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa a 2 - b2 x 2 hay
ta thường ñặt x = sint
b
a 2 -b 2 x 2
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa b2 x 2 - a 2 hay

ta thường ñặt x =
bsint
b2 x 2 - a 2
1
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa 2
ta thường ñặt x = tant
2 2
b
a +b x
a
* Hàm số trong dấu tích phân chứa x(a - bx) ta thường ñặt x = sin 2t
b
BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 2: Tính các tích phân sau:
1
1
x2
2
1) I = ∫ x 1 - x dx
2) I = ∫
dx
2
0
0 4 - 3x
1

3) I = ∫
0
3
2

5) I =

∫

1

2

x

dx

3 + 2x - x 2

4) I =

x2 - 1
dx
x

∫
1
1

x +1
dx
x(2 - x)

dx

0 x + x +1

6) I = ∫

Hướng dẫn: Câu 4: ðặt x =

1
sint

2

Câu 5: ðặt x = 2sin 2t

π
VD9: Chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên 0;  thì
 2
π

π

2

2

0

0

∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx

Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau :
π

π

4

sin 4x
1) I = ∫
dx
4
4
sin
x
+
cos
x
0
2

2) I = ∫ ln(1+ tanx)dx
0

Giải
π
2

VT =

∫ f (sinx )dx

0

ðổi cận x = 0 ⇒ t =

ðặt x =

π
2

;x=

π
2

π
2

- t ⇒ dx = -dt .

⇒t =0
Trang 14


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
2

 π

⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm)
2

π 
0
0

2

Áp dụng phương pháp trên ñể tính các tích phân sau :
π

sin 4x
1) I = ∫
dx
4
4
0 sin x + cos x
2

π

ðặt x =

2

- t ⇒ dx = -dt .

ðổi cận x = 0 ⇒ t =
sin 4(

0

I= - ∫
π

2

sin 4(
π

⇒ 2I =

π

π
2

π
2

2

⇒t =0
π

- t)

π
4

2
cos t
cos 4x
dt
=
∫ sin 4t + cos 4t
∫ sin 4x + cos 4x dx
0
0
2

π

- t)+ cos 4(

2

π

;x=

2

dt =
- t)
π

π

2
sin x
cos x
π
π
dx
+
dx
=
∫ sin 4x + cos 4x
∫ sin 4x + cos 4x
∫ dx = 2 ⇒ I = 4 .
0
0
0
4

2

4

2

π

4

2) I = ∫ ln(1+ tanx)dx

0

ðặt x = π - t ⇒ dx = -dt
4

ðổi cận x = 0 ⇒ t =

π
4

;x=

π
4

⇒t =0

π

π

π

π

4
4
1-tant
⇒ I =- ∫ ln[1+tan( -t)]dt = ∫ ln(1+
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tant)]dt =ln2. ∫ dt - I

4
1+tant
π
0
0
0
0

4

4

⇒2 I =

πln2
4

⇒I =

π.ln2
8

BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 3: Tính các tích phân sau:
1)

π

π

2

2

n
n
∫ sin xdx = ∫ cos xdx

0

HD: ðặt x =

0

π
2

-t .

a

2) Cho I =

∫ f(x)dx . CMR:

-a
a

a) I = 2 ∫ f(x)dx nếu f(x) là hàm số chẵn.
0

b) I = 0 nếu f(x) là hàm số lẻ.
Trang 15


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI
b

b
f(x)
3) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì ∫ x
dx = ∫ f(x)dx .
a
+
1
-b
0
2

2x 2 + 1
Áp dụng: Tính I = ∫ x
dx .
2
+
1
-2
π

4) Chứng minh rằng: ∫ xf(sinx)dx =

0

π

Áp dụng: Tính I =

ππ
2

∫ f(sinx)dx (HD: ðặt x = π - t )

0

xsinx

∫ 4+ sin 2 x dx .

0

BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 4: Tính các tích phân sau: (Các ñề tuyển sinh ðại học)
a) I =

2
2

∫
0
2

1

x2
1- x 2

dx

c) I = ∫ x 2 4 - x 2 dx

(ðH TCKT 1997)

b) I = ∫

(ðH T.Lợi 1997)

d) I = ∫ x 2 a 2 - x 2 dx (ðH SPHN 2000)

1- x 2

1
2

1

1

dx

∫x
-1

(ðH Y HP 2000)

0

3
2

g) I = ∫

2 3

0
a

0

e) I =

(1- x ) dx

dx

(1+ x )

2 2

(ðH TCKT 2000)

f) I = ∫
0

(ðH N.Ngữ 2001)

h) I =

dx
(ðH T.Lợi 2000)
x + 4x 2 +3
4

2

∫x
2
3

dx
x 2 -1

(ðH BKHN 1995)

II.4.2. Phương pháp ñổi biến số loại 2: (Dạng nghịch)
b

Nếu tích phân có dạng ∫ f u(x)  u'(x)dx
a

ðặt: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
ðổi cận:

x = b ⇒ u2 = u(b)
x = a ⇒ u1 = u(a)

u2

⇒ I = ∫ f (u )du
u1

a) Một số dạng cơ bản thường gặp khi ñổi biến số loại 2:(Dạng nghịch)
Trong một số trường hợp tính tích phân bằng phương pháp phân tích hay tính tích
phân bằng tích phân ñổi biến số loại 1 không ñược nhưng ta thấy biểu thức trong dấu tích
phân có chứa:
1. Lũy thừa thì ta thử ñặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa
cao nhất.
2. Căn thức thì ta thử ñặt u bằng căn thức.
Trang 16


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

3. Phân số thì ta thử ñặt u bằng mẫu số.
4. cosx.dx thì ta thử ñặt u = sinx.
5. sinx.dx thì ta thử ñặt u = cosx.
6.

dx
hay (1 + tg2x)dx thì ta thử ñặt u = tgx.
2

cos x

7.

dx
hay (1 + cotg2x)dx thì ta thử ñặt u = cotgx.
2
sin x

8.

dx
và chứa lnx thì ta thử ñặt u = lnx.
x

VD 10: Tính các tích phân sau:
1

3
5 2
1. a) I = ∫(x +1) x dx
0
3
2
2
ðặt: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx =

du
3

ðổi cận:
x

0

1

u

1

2

2

du 1 2 5
u6 2 2 6 16 7
⇒ I= ∫u
= ∫ u du =
=
=
3
3
18
18
18
2
1
1
1

5

π
2

b) I = ∫(1+sinx )3 .cosx.dx

(Tương tự)

0

2

2. a) I = ∫ 4+3x 2 .12x.dx
0

ðặt: u = 4+3x 2 ⇒ u 2 = 4+3x 2
⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu

ðổi cận:
x

0

2

u

2

4

4

4

4u 3
⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u .du =
3
2
2
2

2

b) I = ∫ 1+2x .x .dx
2

0

3

4

4.43 4.2 3 224
=
=
3
3
3

2
2

(HD: I = ∫ x 2 . 1+2x 2 .xdx )
0

Trang 17


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”
u2 -1
ðặt u = 1+2x 2 ⇒ u 2 = 1+2x 2 ⇒ x 2 =

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

2

⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx =
1

x2
dx
1+7x 3

c) I = ∫ 3
0

udu
...
2

ðặt u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3
u 2du
⇒ 3u du = 21x dx ⇒ x dx =
7
2

2

2

ðổi cận:
x

0

1

u

1

2

2

u2
12
1u 2 2 2 2 12 3
du = ∫ udu =

=
=
7u
71
14 1 14 14 14
1

⇒I = ∫

1

x3

3.a) I = ∫

1

x 2 .x
dx
2
x
+
1
0

dx

Ta có: I = ∫

x

0

1

u

1

2

x 2 +1
ðặt u = x 2 + 1 ⇒ x 2 = u - 1
du
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx =
2
ðổi cận:
0

2

2
u -1
12
1
1
1
du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 )
2u
2 1 u

2
2
1
1

⇒ I= ∫
2

x2
dx
x 3 +2

b) I = ∫
1

(HD: ðặt u = x 3 +2 )

π
6

4.a) I = ∫ sin 4x.cosx.dx

ðặt: u = sinx ⇒ du = cosx.dx

0

ðổi cận:
x

0

u

0

1
2

 u5 
⇒ I = ∫ u du =  
5 
0
4

π
6
1
2
1
2

0

=

1
160
Trang 18

CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π

sinx
dx
1+3cosx
0
2

b) I = ∫

(HD: ðặt u = 1+3cosx )

π
2

c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx

(HD: ðặt u = 1+3sinx )

0

π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx

0
2

5.a) I = ∫

(ðề ðH khối A – 2005)

π

π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
Ta có I = ∫
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2

ðặt u = 1+3cosx ⇒ u 2 = 1+3cosx ⇒ cosx =
⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

u2 -1
3

-2udu

3

ðổi cận:
x

0

u

2

π
2

1

 u2 -1
 -2udu 
2
+1 

1 
3
2
 3 


⇒I = ∫
dx =
=

(2u
9∫

u

2

2

2

+ 1 )du

1

 2 2  2.2 3
2  2u 3
2.13  34
+
u
=
+
2
-1 =


9  3
3
1 9 3

 27

Nhận xét: ðối với những bài chứa căn thức, học sinh có thể ñặt u bằng biểu thức
trong dấu căn, nhưng sau khi ñổi biến thì tích phân mới vẫn còn chứa căn thức nên việc
tính tiếp theo sẽ phức tạp hơn (tức là học sinh phải ñưa về xα). Ví dụ: Cách 2 của câu 5
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

(ðề ðH khối A – 2005)

π

π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
Ta có I = ∫
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0

0
2

ðặt u = 1+3cosx ⇒ cosx =

u -1
3

⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

-du
3
Trang 19


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

ðổi cận:
x

0

u

4

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
2

1

-du 
 u -1
+1 
2
1 4 (2u+1 )
3
3 


⇒I = ∫
du = ∫
du
1

9

u

4

u

1

4
4
1

− 
1  1  12
1 4
14

2
= ∫ 2 u +
=
2u + u  =  u u + 2 u 
9 1
u  9 ∫1 
1
 9 3
1  32
4  34
= 
+ 4- -2  =
9 3
3  27

Nhận xét: Rõ ràng cách giải 2 ñặt u bằng biểu thức trong căn thấy phức tạp hơn so
với cách 1.
π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

π

(ðH khối B – 2005)

(tanx +1 ) dx
2

4

6.a) I = ∫

ðặt: u = tanx +1 ⇒ du =

2

cos x

0

ðổi cận:
x

0

u

1

dx
cos 2 x

π
4

2

 u3  2 8 1 7
 = - =
3 1 3 3 3

2

⇒ I = ∫ u 2du = 
1

π
4

tan 2 x - 3tanx +1
dx
b) I = ∫
cos 2 x
0

(HD: ðặt u = tanx )

π

ecotx
7.a) I = ∫ sin 2 x dx
π
2

4

ðặt: u = cotx ⇒ du =
ðổi cận:
x
u

-dx
sin 2x

π

π

4

2

1

0

0

1

1

1

0

0

⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1
Trang 20


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
2

3cotx +1
dx
sin 2 x

∫

b) I =

p
4
e3

8.a) I =

(HD: ðặt u = 3cotx +1 )

1+lnx.dx
x

∫
1

ðặt u = 1+lnx ⇒ u 2 = 1+lnx ⇒ 2udu =

dx
x

ðổi cận:
x

1

e3

u

1

2

2

2

⇒ I = ∫ u.2udu = 2 ∫ u 2du =
1

1

2u 3
3

2

=
1

2.2 3 2.13 14
=
3
3
3

e7

lnx.3 1+lnx
dx
∫1

x

b) I =

ðặt u = 3 1+lnx ⇒ u 3 = 1+lnx ⇒ u 3 - 1= lnx ⇒ 3u 2du =

dx
x

ðổi cận:
x

1

e7

u

1

2

 u7 u 4  2
 2 7 2 4  300
⇒ I = ∫ (u -1 ).u.3u du = 3 ∫ (u -u )du = 3  -  = 3  -  =
7
7 4 1
7 4 
1
1

2

2

3

2

6

3

BÀI TẬP ðỀ NGHỊ 5:
1. Tính các tích phân sau:
π
2

a) I = ∫ (5sinx -1 ) cos 3 x.dx
3

2

b) I = ∫ 1+ 2x 2 .x 3 .dx
0
π

0
p
2

sinx
dx
1+3cosx
0

d) I = ∫

p
4

f) I = ∫ cos 5 x.dx
0
4

1+3sinx .cosxdx

0

i) I = ∫(1+sin2x )3 .cos2x.dx
0

π

π

p
2

0

∫

k) I =

sin2x
∫0 1+cos 2 x dx

e tanx + 1
∫0 cos 2 x dx
4

2

sinx - sin 3 x .dx

1+ 26x

dx

3

π

2

h) I =

0

∫

3

0
π

g) I = ∫ sin x.cos x.dx

j) I =

0

e) I = ∫ sin 4x.cosx.dx

6

3

∫

x2

6

π
2

1

c) I =

l) I =

2. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tốt nghiệp)

Trang 21


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π
2

2

a) I = ∫ sin 5 x.dx (TNTHPT Năm 93-94)

x2

b) I = ∫

0

dx (TNTHPT Năm 95-96)

x3 + 2

1

π
2

∫

c) I =

2

∫

2
x + 2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I = cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99)
2

3

0

1

π

π

6

2

e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01)

f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05)

0

0

3. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học)
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

∫

a) I =

(ðH khối A – 2005)

π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

(ðH khối B – 2005)

π
2

c) I = ∫ (esinx +sinx )cosxdx

(ðH khối D – 2005)

0

π

sin2x
dx
cos x + 4sin 2 x
0
ln5
dx
e) I = ∫ x
e + 2e -x -3
ln3
2

d) I =

∫

(ðH khối A – 2006)

2

(ðH khối B – 2006)

1

f) I = ∫(x -2)e 2xdx

(ðH khối D – 2006)

0

4. Tính các tích phân sau: (Các dạng khác)
13

a) I =

∫
0

e7

lnx.3 1+lnx
g) I = ∫
dx

x
1

0

1+e x

e3

1
e) I = ∫ 3
dx
1 x 1+lnx

e7

dx

c) I = ∫

0

2sin2x +3sinx
d) I = ∫
dx
6cosx - 2
0

1

dx
0 1+ x +1

b) Ι = ∫ x x +1.dx

p
3

k) I = ∫

1

3

dx
3
2x +1

e4

h) I =

f) I =

1

5
3

ln5

∫

x +1
.dx
x -1

i) I = ∫

e -1

l) I =

1+lnx .dx
x.lnx

∫

1
5
4

∫ x.lnx.ln(lnx) dx

e

m) I = ∫

e x - 1 dx

0

3

0

(x +1)
x
dx (HD: t = xe )
x
x(1+ xe )

5. Tính các tích phân sau: (Các ñề thi tuyển sinh ðại học)
1) I =

7

∫
0

1

3

x dx
1+ x 2

(ðH T.Mại 1997);

2) I = ∫x5 (1-x3 ) dx (ðH KTQD 1997)

6

0

π

sin 3 x
dx (ðH QGHN 1997);
1+cos 2 x
0
2

3) I = ∫

1

4) I = ∫
0

xdx
(ðHQGTPHCM 1998)
2x +1

Trang 22


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

π

π

2

6) I = ∫cos2x (sin4x+cos 4x ) dx (ðHBKHN 98)

5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98);
0

0

7
3

1

x +1
7) I = ∫ 3
dx (ðH GTVT 1998);
3x +1
0

dx
e +1
0

8) I = ∫

x

(ðH QGHN 1998)

π

π

2

sin2x
dx (ðHQGTPHCM 1998)
1+cos 4x
0

9) I = ∫ sin 3 xcosxdx (ðH DLHV 1998);

10) I = ∫

0

π

π

2

sin 4x
dx (ðH GTVT 1999)
4

4
sin
x
+cos
x
0
2

11) I = ∫ sin2x (1+ sin 2 x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫
3

0
1

dx
(ðH Cñoàn 2000);
2x
e
+3
0

13) I = ∫

14) I =

ln2

∫
0

e 2xdx
e x +1

(ðH BKHN 2000)

π
4

2

sin4x
dx
dx (ðH CThơ 2000); 16) I = ∫
4
4
3
sin x +cos x
0
1 x ( x +1 )

15) I = ∫
π

(ðH NNghiệp 2000)

π
6

2

sin x
dx (ðH Huế 2000);
6
6
cos
x
+
sin
x
0

17) I = ∫

2

18) I = ∫
0

cosx
dx (ðHNN1-KB 01)
sinx + cosx

π
2

dx
4
1 x ( x +1 )

19) I = ∫

1

2

20) Ι = ∫ cos 2 xsin2xdx (ðH NL HCM 2001)

(ðH Aninh 2001)

0
3

21) I = ∫ x

5

0

x7
1- x dx (ðH Luật HCM 2001); 22) I = ∫
dx (CðSPNtrang 2002)
1+ x 8 - 2x 4
2
3

π

π
2

23) I = ∫

0

(

3

2 3

25) I =

∫

5

)

4

1- 2sin 2 x
dx (ðHCð khối B 2003)
1+
sin2x
0

cosx - 3 sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫

dx
x x2 + 4

1

(ðH-Cð khối A 2003); 26) I = ∫ x 3 1- x 2 dx (ðH-Cð khối D 2003)
0

II.5. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
ðịnh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a;b] thì:

hay
hay

b

∫ u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x) ]

b

a

a

b

∫ u(x).dv = [u(x).v(x) ]

b

a

a

b

b

b

a

a

a

b

− ∫ v(x).u'(x).dx
a

b

− ∫ v(x).du
a

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du
Trang 23


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI

a) Phương pháp tính tích phân từng phần:
b

b

a

a

Bước 1: Biến ñổi I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ) f2 ( x ) dx
u = f1 ( x )
du = df1 ( x )
⇒

Bước 2: ðặt 
v = ∫ f2 ( x ) dx (v là một nguyên hàm của f2(x) )
dv = f2 ( x ) dx
b

b

Bước 3: Tính I = u.v - ∫a v.du
a

Chú ý: Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau:
+ Chọn phép ñặt dv sao cho dễ xác ñịnh ñược v
+

b

∫a vdu phải dễ xác ñịnh hơn

b

∫ udv
a

b) Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần:
Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
Dạng 1: P ( x ) sin(nx).dx ; P ( x )cos(nx).dx ; P ( x ) .enxdx ; P ( x ).a nxdx ta nên ñặt:
u = P(x)

nx
nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx

Dạng 2: P ( x )lnx.dx ; P ( x ) loga x.dx ta nên ñặt:
u = lnx hay u = loga x

dv = P(x)dx

Dạng 3: a x sin(nx)dx hay e xcos(nx)dx hay a xcos(nx)dx hay a xcos(nx)dx thì
phải sử dụng tích phân từng phần ñến hai lần.
VD 11: Tính các tích phân sau:
π
3

1. I = ∫(3x -1)cos3xdx
0



ðặt:

du = 3dx
u = 3x -1

⇒

1
v = sin3x
dv = cos3xdx

3
π

π

π

3
3
2
⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3
3
3
0
0
0
3

1

2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx
0

Trang 24


CHUYÊN ðỀ: “CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUYỄN DUY KHÔI



dx
u = ln(x +1)
du =
x
+1
ðặt: 
⇒

2
dv =(2x +1)dx
v = x + x = x(x + 1)
1

1

x2
1
1
⇒ I = (x + x)ln(x +1) 0 - ∫ xdx = 2ln2 = 2ln2 - = - +ln4
2 0
2
2
0
1

2

1

2
2x
3. I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004)
0

du = (8x - 2)dx

u = 4x 2 - 2x -1
⇒

ðặt: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx


2

1
⇒ I = (4x - 2x - 1). e 2x
2
2

1
A =(4x - 2x -1). e 2x
2

1

2

1

1
- ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β
2
0 0
1
1
= e2 +
2
2

du = 4dx
u = 4x - 1
⇒ 

ðặt: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx
2


1

Β = ∫(4x - 1)e dx
2x

0

1
⇒ ( 4x -1 ) e 2x
2

0

1

1

1

3
1
− ∫ 2e 2x dx = e 2 + -e 2x

2
2
0
0

1

0

1
3
= e2 +
2
2

⇒ I = A - Β = -1

Nhận xét: Ví dụ trên là dạng 1 của tích phân từng phần ∫ P ( x ) .enxdx do ñó hướng

học sinh ñặt u = P(x) nhưng do P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính tích phân từng phần
hai lần. Tù ñó rút ra nhận xét chung cho học sinh: Nếu P(x) là ña thức bậc k thì tính tích
phân từng phần k lần.
π
4
x
2
4. I = ∫ 4e cos xdx
0

Nhận xét: Dạng 3 của tích phân từng phần là tích phân có dạng

∫ e sin(nx)dx
x

nhưng biểu thức trong dấu tích phân của ví dụ trên chứa cos 2 x do ñó hạ bậc ta sẽ ñưa tích
phân về ñúng dạng 3.
π

π

π

π

4

4

4

4

π
4

I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x.dx = I1 + I2
x

0

2

x

0

x

0

x

0

0

Ta có:
Trang 25