sự suy biến của đường cong chỉnh hình và các siêu mặt hyperbolic p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Anh Tuấn

SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT
HYPERBOLIC P-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Anh Tuấn

SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
CHỈNH HÌNH VÀ CÁC SIÊU MẶT
HYPERBOLIC P-ADIC

Chuyên ngành : Hình học và tôpô
Mã số : 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

1

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các
công trình của GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Các số liệu, kết quả nêu trong luận
văn là trung thực và chính xác.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2012

Trịnh Anh Tuấn


2

LỜI CẢM ƠN


Tôi vô cùng biết ơn
Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA đã định hướng tôi nghiên cứu về sự suy
biến của các đường cong chỉnh hình và các siêu mặt hyperbolic p-adic,
một vấn đề còn đang rất mới và được quan tâm do những ứng dụng của
nó trong nhiều lĩnh vực của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng
dẫn tôi thực hiện luận văn này.
Tôi gửi lời tri ân đến
các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán
học trong những năm học tại trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí
Minh.
gia đình và bạn bè đã chia sẻ và động viên tôi trong quá trình tôi thực hiện

đề tài.
Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Trịnh Anh Tuấn


3

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................................1
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................................2
MỤC LỤC .........................................................................................................................3
MỞ ĐẦU ...........................................................................................................................4
NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN..........................................................8
NỘI DUNG .......................................................................................................................9
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ ...................................................................................9
1.1. Trường số phức p-adic: ......................................................................................9
1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường số phức p-adic: ......................15
1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) . ............25
1.4. Đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) . Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai của
đường cong chỉnh hình:...........................................................................................32
1.5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic: ..................................................41
Chương 2: Sự suy biến của đường cong chỉnh hình và siêu mặt hyperbolic p-adic .......45

( )

2.1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trong  n  p : .................................45

( )

2.2. Các siêu mặt hyperbolic trong  3  p : .........................................................51
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.........................................................................................58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...............................................................................................59


4

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một đường cong chỉnh hình trên đa tạp xạ ảnh X được gọi là suy biến nếu
nó được chứa trong một tập con đại số thật sự của X. Vào năm 1979, M. Green
và Ph. Griffiths đã phỏng đoán rằng trong đa tạp xạ ảnh phức dạng tổng quát, mọi
đường cong chỉnh hình đều suy biến.
Cho tới bây giờ, điều phỏng đoán này vẫn chưa được chứng minh hoàn
toàn, tuy nhiên đã có một số bước tiến quan trọng. Chẳng hạn, M. Green đã
chứng minh được về sự suy biến của các đường cong khả tích trên đa tạp Fermat
với số chiều lớn. Để có được kết quả này, M. Green đã sử dụng định lý
Nevanlinna cho các đường cong chỉnh hình. Và A. M. Nadel đã chỉ ra được một
họ các siêu phẳng xạ ảnh mà trên đó điều phỏng đoán trên là đúng. Bằng cách sử
dụng kết quả về sự suy biến của các đường cong chỉnh hình, Nadel đã xây dựng
một số ví dụ chi tiết về các siêu mặt hyperbolic trong  3 . Các kỹ thuật của Nadel
đều dựa trên định lý Siu về liên thông phân hình.
Trong trường p-adic, sự suy biến của các đường cong chỉnh hình trên đa
tạp Fermat có số chiều lớn đã được trình bày chi tiết trong tài liệu tham khảo [2].
Và trong bài viết [1], Hà Huy Khoái đã chứng minh rằng “Nếu X là nhiễu của đa
tạp Fermat trong  n (  p ) có số chiều đủ lớn đối với n và với số các hệ số khác 0
trong phương trình định nghĩa f ( z ) , thì mọi đường cong chỉnh hình trên X đều
suy biến”. Chứng minh điều này cung cấp đầy đủ thông tin chính xác về vị trí của
các đường cong trong X, những thông tin này sẽ rất hữu dụng cho các ứng dụng
về sau. Và như một hệ quả của việc chứng minh này, Hà Huy Khoái đã đưa ra

5

một số ví dụ cụ thể về các mặt hyperbolic p-adic trong  3 (  p ) và về các đường
cong trong  2 (  p ) với các phần bù hyperbolic. Bên cạnh đó còn có các ví dụ cụ
thể về các mặt hyperbolic với các phần bù hyperbolic. Nhắc lại, một đa tạp X
được gọi là hyperbolic p-adic nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ  p vào X là ánh xạ
hằng. Các ví dụ này khác với các ví dụ trong tài liệu [2] (được cho bằng cách sử
dụng định lý Nevanlinna – Cartan p-adic). Trong khi số chiều của các mặt trong
[2] được chia bởi một số nguyên lớn hơn 1, số chiều này được cho tốt như trong
tất cả các ví dụ phổ biến về các mặt hyperbolic phức, số chiều d của các ví dụ
trong bài viết [1] chỉ yêu cầu không nhỏ hơn 50 cho các mặt hyperbolic với các
phần bù hyperbolic. Như trong [2], công cụ chủ yếu của [1] là hàm độ cao đã
được trình bày trong [2], [5], [6] và [7]. Hàm này có vai trò tương tự như một đa
thức đặc trưng Nevanlinna trong chứng minh của Green. Hơn nữa, độ cao của
một hàm chỉnh hình p-adic f ( z ) cung cấp thông tin về mật độ các không điểm
của f tại một điểm nào đó và mô tả cấp tăng của f ( z ) . Trong nhiều trường
hợp, ta có thể sử dụng độ cao để nghiên cứu về các hàm chỉnh hình p-adic tương
tự như sử dụng số chiều trong nghiên cứu về các đa thức phức.
Việc nghiên cứu tính suy biến của đường cong chỉnh hình và các siêu mặt trong
không gian xạ ảnh nhiều chiều là vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toán học
trên thế giới quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu Sự suy biến của
đường cong chỉnh hình và siêu mặt hyperbolic trong không gian xạ ảnh phức
p-adic làm đề tài của mình. Ở đây, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu sự suy biến
của đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) và các siêu mặt hyperbolic trong
không gian xạ ảnh  3 ( p ) đã công bố trong các công trình của Hà Huy Khoái,


6

W. Cherry, K. Masuda, J. Noguchi và A. Nadel từ 1996 đến nay, trên cơ sở đó,
xây dựng các ví dụ minh chứng trong các lớp siêu mặt cụ thể.

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu Sự suy biến của đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) và các
siêu mặt Hyperbolic trong không gian xạ ảnh  3 ( p ) .

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phức p-adic n chiều.
- Các siêu mặt hyperbolic p-adic bởi Hà Huy Khoái, W. Cherry, K.
Masuda, J. Noguchi và A. Nadel.
- Cụ thể hóa các kết quả trong một số trường hợp đặc biệt.

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo, tài liệu khoa
học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các
kết quả đã trình bày.
Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic.

5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Chương I: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1. Trường các số phức p-adic.
2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic.
3. Độ cao của hàm chỉnh hình và đường cong chỉnh hình trên
 n ( p ) .


7

4. Đường cong chỉnh hình trên  n ( p ) . Định lý cơ bản thứ nhất và
thứ hai của đường cong chỉnh hình.
5. Không gian hyperbolic, siêu mặt hyperbolic.
Chương 2: SỰ SUY BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH VÀ
SIÊU MẶT HYPERBOLIC P-ADIC
1. Sự suy biến của đường cong chỉnh hình  n ( p ) .
2. Các siêu mặt hyperbolic trong  3 ( p ) .


8

NHỮNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
κ là một trường;

κ [ 0,1] =
Oκ =
{x ∈ κ
=
A r (κ )
=
A ( r (κ )

x ≤ 1} ;

f ( z ) lim a r 0} ;
{=
n

n

{ f ( z ) baùn kính hoäi tuï ρ ≤ r};

A (κ ) = A ∞ (κ ) là tập các hàm nguyên trên κ ;
f ′ là đạo hàm bậc một của hàm f ;
R ( D ) là tập các hàm hữu tỉ h không có cực điểm trong tập D ;
H ( D ) là đầy đủ hóa của R ( D ) theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D ;

Hol ( D ) là tập các hàm giải tích địa phương trên D ;
M ( D ) là tập các hàm phân hình trên D ;
H ( D ) là tập các hàm giải tích trên D ;
g

M (κ ( 0; ρ ) ) =
 g , h ∈ A( p (κ ) , h ≡ 0  ;
h

M( p (κ ) = M (κ ( 0; ρ ) ) ;

M (  ) là tập các hàm phân hình trên  ;
O (1) là đại lượng giới nội;
log là hàm số logarit cơ số e (log := ln) .


9

NỘI DUNG
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ
Chương này trình bày các kiến thức chuẩn bị cho những nội dung ở
chương 2. Đó là các khái niệm về trường số phức p-adic; hàm chỉnh hình; hàm
phân hình; không gian hyperbolic, ...

1.1. Trường số phức p-adic:
Trước tiên, ta nhắc lại ký hiệu trường số phức, số thực và số hữu tỉ lần lượt
là ,  và  , và ký hiệu vành số nguyên là  . Nếu η là tập con của  thì ta ký
hiệu:
η + ={ x ∈η x ≥ 0} , η + ={ x ∈η x > 0}.

Với a, b sao cho a ≤ b , ta ký hiệu:
η [ a, b ] = { x ∈η a ≤ x ≤ b}.

Cho κ là trường và ký hiệu nhóm nhân κ \ {0} là κ *
Định nghĩa 1.1.1. Cho κ là trường. Một chuẩn Acsimet trên κ là hàm:
⋅ : κ → =
+

thỏa các điều kiện sau:
(1) x = 0 ⇔ x = 0,
= x y , ∀x, y ∈ κ ,
(2) xy

(3) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ κ .
Nếu thay (3) bởi điều kiện sau:
(4) x + y ≤ max{ x , y }, ∀x, y ∈ κ ,

[0, +∞ )


10

thì ⋅ thỏa mãn (1), (2), (4) gọi là chuẩn không Acsimet.

Một chuẩn ⋅ trên κ cảm sinh một hàm khoảng cách d được định nghĩa
bởi:
d ( x, y ) =x − y , ∀x, y ∈ κ .

Nếu chuẩn ⋅ không Acsimet thì metric cảm sinh d thỏa:
d ( x, y ) ≤ max {d ( x, z ) , d ( z , y )} , ∀x, y, z ∈ κ .

Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric.
Ví dụ 1.1.2. Xét hàm:
⋅ :κ → +
1 : x ∈ κ *
x  x =
0 : x = 0

Khi đó ⋅ là chuẩn không Acsimet trên κ và metric cảm sinh:
d :κ ×κ → +

( x, y )

1 : x ≠ y
 d ( x, y ) = 
0 : x = y

là một siêu metric. Metric này được gọi là metric tầm thường.
Ta xét một số đặc trưng của tôpô sinh bởi chuẩn không Acsimet thông qua
các hình cầu sau:
Với mỗi số thực dương r và một điểm x ∈ κ , ta định nghĩa quả cầu mở và
quả cầu đóng bán kính r , tâm x lần lượt là:
κ ( x;r ) =
{ y ∈ κ d ( x, y ) < r } ,

κ [x;r] =
{ y ∈ κ d ( x, y ) ≤ r } ,

và ký hiệu đường tròn:
κ x; r =
r} =
κ [ x; r ] \ κ ( x; r ) .
{ y ∈ κ d ( x, y ) =


11

Nếu ⋅ không Acsimet, tập con:
κ [ 0,1] =
Oκ =
{x ∈ κ

x ≤ 1}

là vành con của κ và được gọi là vành định giá của ⋅ .
Mệnh đề 1.1.3. Cho κ là trường định chuẩn không Acsimet. Ta có:
(1) Nếu y ∈ κ ( x; r ) thì κ ( x; r ) = κ ( y; r ) ,
(2) Hình cầu κ ( x; r ) vừa là tập mở vừa là tập đóng,
(3) Hai hình cầu mở (đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau.
Sau đây, ta sẽ trình bày sơ lược khái niệm trường số phức p-adic (xem chi
tiết ở [11]):
Giả sử p ∈  , p là số nguyên tố. Khi đó, mọi số nguyên a đều được biểu
diễn duy nhất dưới dạng:
a = p v a′ ,

trong đó p không là ước của a′ , a′ ∈  \ {0}. Với mỗi p và a , số nguyên v được
xác định duy nhất. Ký hiệu v p ( a ) = v , ta có hàm số:
v p :  \ {0} →  +=  ∩ [ 0, +∞ )
a

 vp ( a )

và v p ( 0 ) = 0 . Ta mở rộng hàm v lên  như sau:
Với x=

a
∈  , đặt:
b
v p ( a ) − v p ( b ) : x ≠ 0
vp ( x) = 
:x=0
+∞

Với mỗi số nguyên tố p , xét:


12

⋅ p :  →  ∪ {+∞}
−v
x  x p p=
=
, vôùi v v p ( x ) .

Khi đó, ⋅

p

là một chuẩn không Acsimet và được gọi là chuẩn p-adic.

Giá trị tuyệt đối thông thường trên  có thể xem là chuẩn p-adic khi p là
vô cực và được ký hiệu ⋅ ∞ :=⋅ , và hiển nhiên là Acsimet.
Mệnh đề 1.1.4. (Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương
đương với một chuẩn ⋅ p , với p là số nguyên tố hoặc p = ∞ .
Từ định lý này, suy ra rằng các chuẩn trên  hoặc là chuẩn thông thường,
hoặc là ⋅

p

với p là số nguyên tố nào đó. Vì vậy, với mỗi x ∈  * , ta có:

∏x
p ≤∞

trong đó,

∏x
p ≤∞

p

p

=1

với nghĩa là ta lấy tích x p với cả các số nguyên tố p trong  , bao

gồm cả p = ∞ .
Đầy đủ hóa của  được tạo bởi tôpô cảm sinh từ ⋅
ký hiệu là  p , và chuẩn ⋅

p

p

là một trường, được

trên  được mở rộng thành một chuẩn không

Acsimet trên  p , vẫn ký hiệu là ⋅ p và thỏa:
(i) Tồn tại phép nhúng  ⊂→  p và chuẩn cảm sinh bởi ⋅

p

trên  qua

phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  với ảnh của nó qua phép
nhúng trong  p ,
(ii)  trù mật trong  p ,
(iii)  p đầy đủ.


13

Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) (thay phép nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất).

 p được gọi là trường các số p-adic.  p còn có tính chất sau:

(iv) Với mỗi x ∈  p* , tồn tại một số nguyên v p ( x ) sao cho x p = p − v

p

( x)

,

tức là v p trong  được mở rộng lên  p . Nói cách khác, tập tất cả các giá trị của
 và  p qua ⋅

p

{

}

là trùng nhau và đó là tập p n n ∈  ∪ {0} .

Từ (iv) dễ thấy:
 r
=
 p  x;  , x ∈  p , r ∈  + .
p ( x; r )
 p

Do đó vành định giá
=

O
=
 p ( 0; p ) vừa mở vừa đóng, và được gọi là
p [ 0;1]
p

vành số nguyên p-adic, ký hiệu  p . Với mọi n ∈  + , vành  p được phủ bởi
 p  k ; p − n  =
k + p n p ( k =
0,1,..., p n − 1) .

Tức là  p compắc và do đó  p compắc địa phương. Như vậy, ta có
 p p n p ≅  p n p ,

và lớp các p n  p trong  p là các quả cầu trong tôpô p-adic. Các tập
 p =
0; p − n  p n  p ( n ∈  ) tạo thành một hệ tọa độ địa phương của 0 ∈  p . Không

gian  p không liên thông nhưng là không gian tôpô Hausdorff.
Bây giờ ta mở rộng của chuẩn p-adic trong  p trên bao đóng đại số  p của  p .
Lấy x ∈  p , khi đó x cũng thuộc mở rộng hữu hạn  p ( x ) và do đó ta có
thể định nghĩa x p bằng cách mở rộng chuẩn p-adic trên  p ( x ) , cụ thể, ta có
hàm:
⋅ :  p → + .


14

Hàm trên là một mở rộng của chuẩn p-adic trên  p , và dễ chứng minh được rằng
hàm này cũng là một chuẩn. Chuẩn trên  p vẫn được gọi là chuẩn p-adic. Tuy

nhiên,  p không đầy đủ với chuẩn này.
Đầy đủ hóa của  p ứng với tôpô sinh bởi ⋅
là  p , chuẩn ⋅

p

p

là một trường được ký hiệu

trên  p được mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên

 p , chuẩn này vẫn được ký hiệu là ⋅

p

và thỏa:

(i) Tồn tại phép nhúng  p ⊂→  p và chuẩn sinh bởi ⋅

p

trên  p qua

phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  p với ảnh của nó qua phép
nhúng trong  p ,
(ii)  p trù mật trong  p ,
(iii)  p đầy đủ.
Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) (thay phép nhúng trên bằng đẳng cấu đồng nhất).
 p gọi là trường các số phức p-adic.  p còn có tính chất sau:

(iv) Với mỗi x ∈  p* , tồn tại một số hữu tỉ v p ( x ) sao cho x p = p − v
tức là v p trong  p được mở rộng trong  p . Và ảnh của  p* qua v p là  ,
(v)  p đóng đại số nhưng không compắc địa phương.

p

( x)

,


15

1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường số phức padic:
Cho κ là trường đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet ⋅ và có
đặc số 0. Trong phần này ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm chỉnh
hình và hàm phân hình. Các khái niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, chuỗi
giống như trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet
ta có một số tính chất đặc biệt sau:
Bổ đề 1.2.1. Giả sử ( xn ) là một dãy trong κ . Dãy ( xn ) là dãy Cauchy nếu và chỉ
nếu
lim xn +1 − xn =
0.
n →∞

Chứng minh:
Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy.
Ta chứng minh điều kiện cần:
∀n, p ∈  ta có:

xn + p − xn=

xn + p − xn + p −1 + xn + p −1 − xn + p − 2 + ... + xn +1 − xn

{

≤ max xn + p − xn + p −1 , xn + p −1 − xn + p − 2 ,..., xn +1 − xn

}

Vì lim xn+1 − xn =
0 nên suy ra điều cần chứng minh. 
n →∞

Từ tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có
các tính chất sau:
Mệnh đề 1.2.2. Chuỗi

∞

∑a ,
n =0

Khi đó ta có:

n

an ∈ κ hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0 .
n →∞

∞

∑a
n =0

n

≤ max an .
n


16

=
f ( z)
Chui ly tha



a z
n =0

Mnh 1.2.3. t =

n

n

, an hi t ti z khi v ch khi lim an z n = 0 .
n

1
lim sup n an

, khi ú ta cú:

(1) Nu = 0 thỡ f ( z ) ch hi t ti z = 0 ,
(2) Nu = + thỡ f ( z ) hi t ti mi z ,
(3) Nu 0 < < + v an n 0 thỡ f ( z ) hi t khi v ch khi z ,
(4) Nu 0 < < + v an n 0 thỡ f ( z ) hi t khi v ch khi z < .
Khi ú c gi l bỏn kớnh hi t ca chui ly tha f ( z ) . Nu = thỡ
f ( z ) gi l hm nguyờn trờn .


a z

f ( z)
=
Tp cỏc chui ly tha

n =0

n

n

, an cựng vi phộp cng v nhõn hai

chui ly tha lp thnh mt vnh.
Kớ

hiu A r ( )
=
=
A ( r ( )

f ( z ) lim a r 0} ,
{=
n

n

{ f ( z ) baựn kớnh hoọi tuù r} ,

A ( ) = A ( ) l tp cỏc hm nguyờn trờn .

Ta cú: A r ( ) = A s ( ) .
sr
f ( z)
nh ngha 1.2.4. Vi=



a z
n =0

n

n

A ( ) v 0 < r < , ta nh ngha:

S hng ln nht ca f ( z ) l à ( r , f ) = max an r n v ch s ng vi s hng ln
n0

nht
l ( r , f ) max
=
=
{n an r n à ( r , f )}.
Vi r = 0 , ta nh ngha:


17

=
µ ( 0, f ) lim
=
µ ( r , f ) , υ ( 0, f ) lim+ υ ( r , f ) .
+
r →0

r →0

Từ định nghĩa của số hạng lớn nhất, ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.5. Với r > 0 , hàm µ ( r , ⋅ ) : A r (κ ) →  + thỏa mãn:
(i) µ ( r , f ) ≥ 0; µ ( r , f ) =0 ⇔ f =0 ,
µ ( r , λ f ) λ µ ( r , f ) , ∀λ ∈ κ ,
(ii) µ ( r , fg ) = µ ( r , f ) µ ( r , g ) và =

(iii) µ ( r , f + g ) ≤ max {µ ( r , f ) , µ ( r , g )} .

Khi đó µ ( r , ⋅ ) là một chuẩn không Acsimet trên A r (κ ) và:
(iv) A r (κ ) đầy đủ với chuẩn µ ( r , ⋅ ) ,
(v) Vành đa thức κ [ z ] trù mật trong A r (κ ) theo µ ( r , ⋅ ) .
Định lý 1.2.6. (Định lý Weierstrass). Với f ∈ A r (κ ) \ {0} , r > 0 tồn tại đa thức:
g ( z ) = b0 + b1 z + ... + bυ zυ với υ = υ ( r , f ) ,

và một chuỗi lũy thừa:
∞

1 + ∑ cn z n , cn ∈ κ
h( z) =
n =1

thỏa mãn:
(i) f ( z ) = h ( z ) g ( z ) ,
(ii) µ ( r , g ) = bυ rυ ,
(iii) h ∈ A r (κ ) ,
(iv) µ ( r , h − 1) < 1 và µ ( r , f − g ) < µ ( r , f ) .
Định nghĩa 1.2.7. Với U ⊂ κ là tập mở, hàm f : U → κ được gọi là khả vi tại
z0 ∈ U nếu tồn tại:


18

lim
h →0

f ( z0 + h ) − f ( z0 )
:= f ′ ( z0 ) .
h

Hàm f ′ được gọi là đạo hàm của f . Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f
khả vi tại mọi z ∈ U .
Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm f ′ như sau:
∞

Mệnh đề 1.2.8. Giả sử chuỗi f ( z ) = ∑ an z n có bán kính hội tụ ρ ≠ 0 và z ∈ κ .
n =0

Nếu f ( z ) hội tụ thì f ′ ( z ) tồn tại và f ′ ( z ) = ∑ nan z n−1 .
n ≥1

Hơn nữa, f và f ′ có cùng bán kính hội tụ ρ và thỏa mãn:
1
r

µ ( r , f ′ ) ≤ µ ( r , f ) , ∀r : 0 < r < ρ .

Mệnh đề 1.2.9. Với dãy ( zn ) ⊂ κ * , nếu zn → ∞ thì tích vô hạn
f=
( z)

∞



z 
n 


∏ 1 − z
n =1

là một hàm nguyên.
Ngược lại, nếu f là một hàm nguyên khác đa thức thì f có thể được biểu diễn
dưới dạng:
∞
z 

=
f ( z ) az m ∏ 1 − n  ,
z 
n =1 

với m > 0, a ∈ κ , zn ≠ 0, zn → ∞ và f ( zn ) = 0 .
Định nghĩa 2.10. Cho z0 ∈ κ và f ∈ κ [ z ] .
Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f khi và chỉ khi f ( z0 ) = 0 .
Điểm z0 ∈ κ được gọi là cực điểm của hàm f khi và chỉ khi lim f ( z ) = ∞ .
z → z0


19

Hệ quả 1.2.11.
Nếu f là hàm nguyên khác đa thức thì f có vô số không điểm.
Nếu f là hàm nguyên không có không điểm thì f là hàm hằng.
Tồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên.
Hệ quả 1.2.12. Giả sử f , g ∈ A (κ ) \ {0} . Nếu fg là hàm hằng thì f và g là
những hàm hằng.
Giả sử, f , g ∈ A ( d ( a, r ) ) \ {0} . Nếu fg bị chặn thì f và g là những hàm bị chặn.

Định nghĩa 1.2.13. Giả sử D là tập vô hạn trong κ , đặt R ( D ) là tập các hàm hữu
tỉ h không có cực điểm trong D . Khi đó, với mọi h ∈ R ( D ) , đặt:
h

D

= sup h ( z ) .
z∈D

Ký hiệu H ( D ) là đầy đủ hóa của R ( D ) theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên
D . Mỗi phần tử của H ( D ) được gọi là một hàm giải tích trên D . Khi đó, H ( D )

là một κ - không gian vectơ và mỗi hàm giải tích trên D là giới hạn đều của một
dãy các hàm hữu tỉ thuộc R ( D ) .
Mệnh đề 1.2.14. Với r ∈  + , ta có H (κ [ 0; r ]) = A r (κ ) .
Chứng minh:
Vì vành các đa thức κ [ z ] trù mật trong A r (κ ) nên ta suy ra:
A r (κ ) ⊂ H (κ [ 0; r ])

Ngược lại, ∀a ∈ κ \ κ [ 0; r ] , k ∈  + ta có:

( ∗)


20

 1 

=
 z−a

 1 ∞  z n 
 − ∑   
 a n =0  a  

k

k

n

 1 ∞  z
=
 −  ∑ bn   , vôùi bn ∈  + .
 a  n =0  a 

Vì a > r nên suy ra:
n

bn n  r 
n →∞
→0 .
r ≤   
n
a
a
 
k

 1 

Do đó 
 ∈ A r (κ ) , suy ra R (κ [ 0; r ]) ⊂ A r (κ )
 z−a

(∗∗) .

Mặt khác, vì µ ( r , f ) liên tục tại r nên suy ra:
sup=
f ( z ) µ ( r , f ) , ∀r : 0 ≤ r ≤ ρ .
z ≤r

Do đó ta có:
=
f κ [0;r ] µ ( r , f ) , f ∈ A r (κ ) .

Vì A r (κ ) đầy đủ với chuẩn µ ( r , ⋅ ) nên A r (κ ) cũng đầy đủ với chuẩn ⋅

κ [ 0;r ]

. Do

đó, từ ( ∗∗) ta suy ra A r (κ ) ⊃ H (κ [ 0; r ]) . Kết hợp với ( ∗) ta có điều cần chứng
minh. 
Định nghĩa 1.2.15. Cho D ⊂ κ không có điểm cô lập. Hàm f : D → κ được gọi là
giải tích địa phương nếu với mỗi a ∈ D , ∃r ∈  + , ( an ) ⊂ κ sao cho:
=
f ( z)

∞

∑ a ( z − a) ,
n =0

n

n

∀z ∈ D ∩ κ [ a; r ] .

Ký hiệu Hol ( D ) là tập các hàm giải tích địa phương trên D .
Mệnh đề 1.2.16. Nếu hàm f giải tích địa phương trên tập mở D thì nó có đạo
hàm mọi cấp trên D . Điểm z0 ∈ D là nghiệm bội q của f nếu và chỉ nếu:


21

f(

n)

( z0=)

0,

q
∀n < q và f ( ) ( z0 ) ≠ 0 .

Định lý 1.2.17. Cho r ∈  + và đặt:
∞

f ( z) =
∑ an z n ∈ A r (κ ) ,

s=
sup an r n−1 > 0 .
n ≥1

n =0

Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
(1) a1 > an r n−1 , ∀n > 1,
(2) f ( x ) − f ( y ) =x − y a1 , ∀x, y ∈ κ [ 0; r ] ,
(3) f đơn ánh trong κ [ 0; r ] và f ′ ( z ) ≠ 0, ∀z ∈ κ [ 0; r ] .
Chứng minh:

 Chứng minh (1) ⇒ ( 2 ) :
Do an r n → 0 khi n → ∞ nên từ (1) ta có:
a1 > max an r n −1
n≥ 2

Lại có:
n −1
∞


f ( x ) − f ( y ) =−
( x y )  a1 + ∑ an ∑ x j y n−1− j 
 =n 2=j 0


và x j y n−1− j ≤ r n−1 nên:
a1 > max an r
n≥ 2

n −1

≥

∞

n −1

∑a ∑ x

n
n 2=j 0
=

j

y n−1− j ,

và do đó f ( x ) − f ( y ) =
x − y a1 .
 Chứng minh ( 2 ) ⇒ ( 3) :
Do s > 0 nên f không là hàm hằng, và do đó từ (2) suy ra a1 ≠ 0 .


22

Cũng từ (2) suy ra f ( x ) ≠ f ( y ) khi x ≠ y , nghĩa là f đơn ánh trong κ [0; r ]
và cho y → x ta có f ′ ( x )= a1 ≠ 0, ∀x ∈ κ [0; r ] .
 Chứng minh ( 3) ⇒ (1) :
Do f đơn ánh trong κ [0; r ] nên f ( z ) − a0 = 0 ⇔ z = 0 . Khi đó từ định lý
Weierstrass ta có ν ( r , f ) = 1 và hiển nhiên (1) thỏa. 
Định lý 1.2.18. Cho D là tập mở trong κ và 0 ∈ D . Lấy f ∈ Hol ( D ) với f ′ ( 0 ) ≠ 0 .
Khi đó tồn tại số r ∈  + sao cho f là song ánh trong κ [ 0; r ] và f −1 giải tích toàn
cục trong f (κ [ 0; r ]) .
Bổ đề 1.2.19. Cho r ∈  + và đặt f ( z ) = ∑ an z n là chuỗi lũy thừa với các hệ số
thuộc κ . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(1) f ∈ A ( r (κ ) ,
(2) f ∈ ∩ A s (κ ) ,
s
(3) Chuỗi f hội tụ trong κ ( 0;r ) .
Định nghĩa 1.2.20. Cho D ⊂ κ không có điểm cô lập. Hàm f : D → κ ∪ {∞} được
gọi là hàm phân hình trên D nếu tồn tại một tập không quá đếm được S ⊂ D , S
không có điểm giới hạn trong D và thỏa f ∈ H ( D \ S ) .
Ký hiệu M ( D ) là tập các hàm phân hình trên D .
Định nghĩa 1.2.21. Cho D ⊂ κ không có điểm cô lập. Hàm f : D → κ ∪ {∞} được
gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu ∀a ∈ D , tồn tại r ∈  + , q ∈  + và
an ∈ κ sao cho:


23

∞

∑ a ( z − a) ,

=
f ( z)

n

n= − q

n

∀z ∈ D ∩ κ [ a; r ] .

Ký hiệu Mer ( D ) là tập các hàm phân hình địa phương trên D .
Định nghĩa 1.2.22. Cho tập mở D ⊂ κ . Một hàm f : D → κ được gọi là giải tích
tại điểm a ∈ D nếu tồn tại ρ ∈  + ∪ {∞} và an ∈ κ sao cho κ ( a; ρ ) ⊂ D ,

κ [ a; ρ ′] \ D ≠ ∅, ∀ρ ′ > ρ và thỏa:
=
f ( z)

∞

∑ a ( z − a) ,
n =0

n

n

∀z ∈ κ ( a; ρ ) .

Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f được gọi là giải tích trên D .
Ký hiệu H ( D ) là tập các hàm giải tích trên D .
Đĩa κ ( a; ρ ) được gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại a . Các hàm giải tích trong
D đều có thể có giải tích cực đại trên D . Và ta có:

H ( D ) ⊂ H ( D ) ⊂ Hol ( D ) .

Trường các phân thức của H ( D ) được ký hiệu là M( D ) . Một hàm f ∈ M ( D )
được gọi là hàm phân hình trên D . Nếu f không có điểm cực trên D thì f còn
được gọi là hàm chỉnh hình trên D .
Mệnh đề 1.2.23. Nếu f là hàm phân hình thì tồn tại g , h là các hàm chỉnh hình
sao cho:
f =

g
h

và
µ ( r, f )
=

Đặc biệt:

µ ( r, g )
, 0≤r ≤ρ.
µ ( r, h )