tính lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Thão

TÍNH LIPSCHITZ CỦA ÁNH XẠ
ĐA TRỊ ĐA DIỆN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Thão

TÍNH LIPSCHITZ CỦA ÁNH XẠ
ĐA TRỊ ĐA DIỆN

Chuyên ngành : Toán Giải tích
Mã số
: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được nhiều giúp đỡ từ những người Thầy,
người thân và bạn bè.
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trịnh Công Diệu, người hướng dẫn khoa học, đã dành
nhiều thời gian, công sức và niềm tin để hướng dẫn tôi thực hiện luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô đã hết lòng giảng dạy tôi trong suốt
khóa học.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa toán - tin học đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá
trình tìm và nghiên cứu tài liệu.
Cảm ơn các bạn về những năm tháng cùng học tập và nghiên cứu, tôi sẽ không quên
khoảng thời gian đó.
Tôi xin dành lời cảm ơn sau cùng cho những người luôn trong tim tôi, dù họ ở bất kỳ
đâu.


Mục lục
Lời nói đầu .......................................................................................................................1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .........................................................................................2
1.1. Tập lồi đa diện và các tính chất ............................................................................2
1.2. Phép chiếu lên một tập lồi, đóng ........................................................................10
1.3. Ánh xạ đa trị và các tính chất liên tục ................................................................16
Chương 2. Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện ........................................23
2.1. Ánh xạ đa trị đa diện...........................................................................................23
2.2. Tính Lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện.............................................................25
Chương 3. Tính Lipschitz của ánh xạ affine từng khúc và ứng dụng ...........................32
3.1. Tính Lipschitz của ánh xạ affine từng khúc .......................................................32
3.2. Bài toán bất đẳng thức biến phân affine .............................................................37
Kết luận và kiến nghị .....................................................................................................47

Tài liệu tham khảo .........................................................................................................48


1

Lời nói đầu
Vai trò của giải tích đa trị trong vài thập niên gần đây đã được khẳng định thông
qua việc công nhận các ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như lý thuyết phương
trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình
suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý
và toán kinh tế. Hiện nay, rất nhiều kết quả nghiên cứu về các lĩnh vực nói trên được
viết bằng ngôn ngữ giải tích đa trị. Điều này cho thấy sức mạnh của công cụ mới này.
Cùng sự phát triển của khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu sâu các tính chất của
một lớp các ánh xạ đa trị đặc biệt được đặt ra, chẳng hạn như ánh xạ đa trị đa diện.
Robinson đã phát hiện ra một tính chất đặc biệt của lớp ánh xạ này, đó là tính
Lipschitz địa phương trên. Điều đó đã tạo nền tảng và động lực cho nhiều nghiên cứu
sau này về tính Lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện và ứng dụng của nó trong nhiều
bài toán, đặc biệt là bài toán bất đẳng thức biến phân affine.
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống về tính
Lipschitz của ánh xạ đa trị đa diện và ứng dụng của nó vào bài toán bất đẳng thức
biến phân affine, cụ thể là việc xét tính duy nhất nghiệm của bài toán này.
Luận văn gồm có ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị để làm nền tảng cho hai chương sau.
Trong đó giới thiệu các khái niệm, tính chất cơ bản của tập lồi đa diện, phép chiếu
lên một tập lồi, đóng và ánh xạ đa trị.
Chương 2 giới thiệu ánh xạ đa trị đa diện cùng các tính chất cơ bản. Sau đó đi sâu
vào trình bày tính Lipschitz của lớp ánh xạ này.
Chương 3 trình bày về tính Lipschitz của ánh xạ affine từng khúc và ứng dụng
vào bài toán bất đẳng thức biến phân affine.

2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến tập lồi đa diện, phép
chiếu lên tập lồi, đóng và ánh xạ đa trị. Nội dung được tham khảo và trích dẫn chủ yếu
ở các tài liệu [1], [2], [5], [10], [12].
Trong toàn bộ chương, nếu không nói gì thêm, ta xét không gian Euclide R n được
trang bị tích vô hướng cho bởi:

x = ( x1 , x=
2 ,..., xn ) , y
bởi tích vô hướng x =

( y1, y2 ,..., yn ) ∈ R n ,

x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn và chuẩn sinh

x12 + x22 + ... + xn2 .

1.1. Tập lồi đa diện và các tính chất
n
Định nghĩa 1.1.1. Cho S ⊂ R , ta định nghĩa:

m

=
lin S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R  ,
 i =1


m
m


=
li 1 ,
aff S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R, =
∑
=
 i 1 =i 1

m
m

=
li 1 ,
S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+ , =
conv
∑
=
 i 1 =i 1


m

=
S ∑ li si : m ∈ N , si ∈ S , li ∈ R+ 
cone
 i =1


Các tập lin S , aff S , conv S lần lượt gọi là bao tuyến tính, bao affine, bao lồi của tập
hợp S và cone S gọi là nón sinh bởi S.
Một tập S ⊂ R n được gọi là lồi nếu conv S = S. Đặc biệt, lin S , aff S , conv S là các
tập lồi với mọi S.
Số chiều của một tập lồi S là số chiều của không gian con affine aff S.
Điểm x ∈ S gọi là điểm trong tương đối của S nếu tồn tại số thực ε > 0 sao cho với
mọi y ∈ aff S , y − x < ε thì y ∈ S . Tập tất cả các điểm trong tương đối của S kí hiệu là
relint S.


3
Định nghĩa 1.1.2. Cho b ∈ R n \ {0} và β ∈ R, các tập
H1
=

x ∈ R | x, b ≤ bb
{=
} , H { x ∈ R | x, b ≥ }
n

n

2

gọi là các nửa không gian đóng cho bởi b và β .
Nhận xét 1.1.1. Các nửa không gian đóng là các tập khác rỗng, lồi và đóng.
Định nghĩa 1.1.3. Tập P ⊂ R gọi là lồi đa diện nếu P có thể biểu diễn dưới dạng
giao của hữu hạn các nửa không gian đóng.
m

Nhận xét 1.1.2. Vậy P là tập lồi đa diện có thể viết dưới dạng P =  H i , H i là các nửa
i =1

không gian đóng hay

{

1, k
P =x ∈ R n | x, bi ≤ bi , i =

}

1, k .
trong đó bi ∈ R n và βi ∈ R, i =
Ví dụ 1.1.1.

Tập lồi đa diện bị chặn

Tập lồi đa diện không bị chặn
Hình 1.1.

Định nghĩa 1.1.4. Cho
N S ( x )=

{y ∈ R

n

tập

lồi,

đóng,

khác

rỗng

S,

với

mỗi

: yT x ≥ yT z , ∀z ∈ S } được gọi là nón pháp tuyến của S tại x.

Nhận xét 1.1.3.
(i) N S ( x ) là nón lồi, đóng.

x ∈ S,

tập


4

(ii) S , S là hai tập con lồi, đóng trong R n và U là một lân cận của x ∈ R n sao cho

S  U = S  U thì N S ( x ) = N S ( x ) .

(iii) Nếu S là nón lồi, đóng thì N S ( x ) ⊂ N S ( 0 ) , ∀x ∈ S và N S ( 0 ) = S .

{

n
i
1, k
(iv) Cho tập lồi đa diện P =x ∈ R | x, b ≤ bi , i =

}

và x ∈ P. Khi đó,

NP ( x) =
cone {bi : i ∈ {1,..., k } , biT x =
bi } .

Định nghĩa 1.1.5. Cho tập lồi đa diện P =
{x ∈ R n : Ax ≤ b} với A ∈ M m×n có các vectơ
dòng là a1 ,..., am và vectơ b ∈ R m . J ( A, b ) là họ các tập chỉ số I ⊂ {1,..., m} sao cho tồn
tại x ∈ R n thỏa mãn aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1,..., m} \ I . Tập hợp có dạng
FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x ≤ b j , j ∈ {1,..., m} \ I } , I ∈ J ( A, b ) ,

gọi là mặt khác rỗng của P.
Một mặt khác rỗng FI của P gọi là mặt thật sự của P nếu FI ≠ P.
Nhận xét 1.1.4.
(i) Hai mặt FI , FJ tương ứng với hai tập chỉ số phân biệt I , J ∈ J ( A, b ) thì phân
biệt.
(ii) Với I ∈ J ( A, b ) , relint FI ={ x ∈ R n : aiT x =bi , i ∈ I , aTj x < b j , j ∈ {1,..., m} \ I } .
(iii) Nón pháp tuyến của P tại các điểm trong tương đối của mặt FI được cho bởi

công =
thức N I cone {ai : i ∈ I } với N ∅ = {0} như định nghĩa.
Từ tính chất của nửa không gian đóng, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.1. Tập lồi đa diện là tập lồi, đóng.
Tuy nhiên, không phải tập lồi, đóng nào cũng là tập lồi đa diện.


5
Ví dụ 1.1.2. Quả cầu đơn vị trong R n ( n ≥ 2 ) là tập lồi, đóng nhưng không là tập lồi đa
diện.
Định lý 1.1.1. (Định lý Minskowki - Weyl về biểu diễn của tập lồi đa diện)
Tập

con

P ⊂ Rn

khác

rỗng

là

tập

lồi

đa

diện.

Khi

đó,

tồn

v1 , v2 ,..., v p , d1 , d 2 ,..., d q ∈ R n sao cho
=
P conv {v1 ,..., v p } + cone {d1 ,..., d q }
p
q
p


n
1 .
=
λi vi + ∑ µ j d j , λi , µ j ≥ 0, ∑ λi =
x ∈ R : x =
∑
=i 1 =j 1
=i 1



Các vi , i = 1, p gọi là các điểm sinh, các d j , j = 1, q gọi là các phương sinh của P.
Các điểm sinh và phương sinh của một tập lồi đa diện không duy nhất.



− x + 2 ≤ 0



Ví dụ 1.1.3. Cho tập lồi đa diện=
P ( x, y ) ∈ R 2 : − x − 2 y + 4 ≤ 0 



Hình 1.2.

x − y − 4 ≤ 0





tại


6

=
v1
Chọn
=
P
=

0 ) , v2 (=

2,1) ; d1 ( 0,1
=
( 4,=
) , d 2 (1,1) thì

y)
{( x, =

λλ
1}
1 ( 4, 0 ) + 2 ( 2,1) + µ1 ( 0,1) + µ 2 (1,1) , λλ
1 , 2 , µ1 , µ 2 ≥ 0, λλ
1 +=
2
1 + 2 2 + µ 2 , λλ
1.
( x, y ) ∈ R 2 : xy == 4λλλ
1 , 2 , µ1 , µ 2 ≥ 0, λλ
1+ =
2
2 + µ1 + µ 2

{

}

{

Ta có thể dùng phép khử Fourier-Motzkin để chứng minh định lý trên cũng như
chuyển đổi từ dạng giao hữu hạn các nửa không gian đóng sang dạng hữu hạn sinh

như trong định lý 1.1.1. của bất kì tập lồi đa diện nào nhưng ta không đề cập đến
phương pháp này ở đây.
Qua định lý 1.1.1., ta thấy rằng ánh xạ affine có thể bảo toàn tính lồi đa diện.
Mệnh đề 1.1.2. Ảnh của tập lồi đa diện qua ánh xạ affine là tập lồi đa diện.
Chứng minh
Cho tập P =
1} với B ∈ M n× p , C ∈ M n×q là tập lồi đa diện và
{Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λi =
f : Rn → Rd
x  Mx + t
d
với M ∈ M d ×n , t ∈ R là ánh xạ affine. Đặt T là ma trận cấp ( d × p ) với mỗi cột là vectơ t.

Đặt B :=MB + T , C :=MC. Khi đó
f ( P=
)

{M ( Bλ + C µ ) + t : λ , µ ≥ 0, ∑ λ= 1}
=
1}
{Bλ + C µ : λ , µ ≥ 0, ∑ λ =
i

i

là một tập lồi đa diện. □
Hệ quả 1.1.1. Ảnh của tập lồi đa diện qua ánh xạ affine là tập lồi, đóng.
Ví dụ 1.1.4. Trong R 2 xét tập X =
A : R2 → R2

A( X ) =

{( x, y ) ∈ R

2

: x > 0, xy ≥ 1} và ánh xạ tuyến tính

cho bởi công thức A ( x, y ) = ( x, 0 ) thì X là tập lồi, đóng nhưng

{( x, 0 ) ∈ R

2

: x > 0} không phải là tập đóng.


7

Hình 1.3.

Mệnh đề 1.1.3. Tổng của hai tập lồi đa diện là một tập lồi đa diện.
Chứng minh
Cho

P=
conv {v1 ,..., v p } + cone {d1 ,..., d q } , P ' =
conv {v '1 ,..., v ' p ' } + cone {d '1 ,..., d 'q ' } .

Đặt

=
Q : conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} + cone {di , d ' j |1 ≤ i ≤ q,1 ≤ j ≤ q '} thì Q là tập lồi đa

diện. Ta sẽ chứng minh P + P ' =
Q. Hiển nhiên Q ⊂ P + P '. Ta kiểm tra bao hàm thức
ngược lại.


p

 

q

p'

q'



Lấy=
p :  ∑ λi vi + ∑ µ j d j  +  ∑ λ 'i v 'i + ∑ µ ' j d ' j  ∈ P + P '


 

=i 1 =j 1

với λi , µ j , λ 'i , µ ' j ≥ 0,

=i 1

p

=j 1



p'

∑ λλ
∑ 'i =1.
i =

=i 1 =i 1

x:
Ta cần chứng minh=

∑ λλ
i vi + ∑ 'i v 'i ∈ conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} . Giả sử tất cả
p

p'

=i 1 =i 1

các hệ số trong tổng này là dương, ta chọn hệ số nhỏ nhất giữa λλλλ
1 ,..., q , '1 ,..., 'q ' .

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là λ1.


8

''1= : '1 − 1 , ''i =: 'i , 2 ≤ i ≤ q ', η11 =: λ1 thì x − η11 ( v1 + v '1=)
Đặt λλλλλ

q

q'

∑ λλ
i vi + ∑ ''i v 'i và

=i 2=i 1

q'

q

∑ λλ
i = ∑ ''i . Tiếp tục quá trình trên hữu hạn lần, ta có biễu diễn mới của x là

=i 2=i 1

=
x

∑ η (v + v ' )

1≤i ≤ q
1≤ j ≤ q '

ij

i

j

với

∑η

1≤i ≤ q
1≤ j ≤ q '

ij

= 1. Vậy x ∈ conv {vi + v ' j |1 ≤ i ≤ p,1 ≤ j ≤ p '} . Ta suy ra

điều phải chứng minh. □
Hệ quả 1.1.2. Tổng của hai tập lồi đa diện là một tập lồi, đóng.
Tổng của hai tập lồi, đóng chưa chắc đóng. Ví dụ sau sẽ làm rõ điều này.
Ví dụ 1.1.5. Trong
=
Y

{( x, y ) ∈ R

X +=
Y

2

R2

xét

: x < 0, xy ≤ −1}

là

{( x, y ) ∈ R

2

tập
hai

X=

{( x, y ) ∈ R

tập

lồi,

2

: x > 0, xy ≥ 1}

đóng

và

nhưng

tập
tổng

: y > 0} không phải là tập đóng.

Hình 1.4.
Định lý sau nói về tính tách chặt hai tập lồi đa diện.
Mệnh đề 1.1.4. Cho P1 , P2 là các tập lồi đa diện khác rỗng, rời nhau. Khi đó, tồn tại
một siêu phẳng tách chặt chúng, nghĩa là, tồn tại a ∈ R n \ {0} , a > 0 sao cho

ay > a > az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 .
Chứng minh:


9

P1 , P2 là các tập lồi đa diện nên theo mệnh đề P1 − P2 cũng là tập lồi đa diện, do đó
đóng. Hơn nữa P1 − P2 không chứa 0 vì P1 , P2 rời nhau.
Do

đó

tồn

tại

một

siêu

phẳng

{ x : ax = µ}

với

a ≠ 0, µ > 0

sao

cho

ax > µ > 0, ∀x ∈ P1 − P2 hay ay > µ + az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 .
Vì vậy inf {ay : y ∈ P1} ≥ sup {az + µ : z ∈ P2 } > sup {az : z ∈ P2 } .
Đặt β= sup {az : z ∈ P2 } , γ= inf {ay : y ∈ P1} và α = β + γ thì β < α < γ .
2

Khi đó ay > a > az, ∀y ∈ P1 , z ∈ P2 . Vậy P1 , P2 bị tách chặt bởi siêu phẳng { x : ax = a } . □
Ví dụ sau cho ta thấy tính lồi đa diện đảm bảo cho tính tách chặt.
Ví dụ 1.1.6. Ta xét hai tập hợp như sau trong

R2 :

A = {( x, { ) Î R 2 : x £ 0} ,

1
ïì
ïü
B = í( x, y ) Î R 2 : y ³ , x > 0ý thì dễ thấy A, B là các tập lồi, đóng, tuy nhiên, không có
ïîï
ïþï
x

đường thẳng nào tách chặt chúng.

Hình 1.5.


10

1.2. Phép chiếu lên một tập lồi, đóng
Mệnh đề 1.2.1. Cho tập C ⊂ R n lồi, đóng, khác rỗng và x ∈ R n . Khi đó, tồn tại duy
nhất y ∈ C sao cho y − x ≤ u − x , ∀u ∈ C.
Chứng minh:
Xét bài toán
2
1

min  y − x : y ∈ C 
2


(*)

Ta chứng minh (*) có nghiệm duy nhất.
1
Thật vậy, đặt f x (=
y) :
y−x

2

2

thì

f x liên tục trên C.

Với c ∈ C , đặt S :=
{ y ∈ R n : f x ( y ) ≤ fc ( x )} thì S ≠ ∅ vì x ∈ S .
Khi đó, ta có thể viết lại bài toán (*) là inf { f x ( y ) : y ∈ C ∩ S } .

S compact nên C  S compact,

fx

liên tục, do đó, theo định lý Weierstrass

min { f x ( y ) : y ∈ C ∩ S } tồn tại.

Giả sử y1, y2 là hai ngiệm của (*) . Ta có:
2

1
y1 − x ) + ( y2 − x ) =
(
2

1
Đặt=
y0
( y1 + y2 ) thì
2

( y1 − x )

2

+ ( y2 − x ) −

y0 ∈ K . Khi đó,

1
1
f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) − y2 − y1
(
2
8
1
⇒ f x ( y0 ) ≤ ( f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) .
2
f x ( y=
0)

2

2

1
( y − x ) − ( y2 − x )
2 1

2


11

y1, y2 là nghiệm nên

Mặt khác, vì

f x ( y0 ) ≥ f x ( y1 ) , f x ( y0 ) ≥ f x ( y2 ) hay f x ( y0 ) ≥

1
( f ( y ) + f x ( y2 ) ) .
2 x 1

Suy ra f x ( y0 ) =1 ( f x ( y1 ) + f x ( y2 ) ) ⇒ y2 − y1 =0 ⇒ y2 =y1. □
2

Định nghĩa 1.2.1. Cho tập C ⊂ R n lồi, đóng, khác rỗng và x ∈ R n . Vectơ y ∈ C thỏa
mãn y − x ≤ u − x , ∀u ∈ C gọi là hình chiếu của x lên C , kí hiệu: PC ( x ) = y.
Cho tập C lồi, đóng, khác rỗng, ta xét các mệnh đề sau.

n
Mệnh đề 1.2.2. Cho x ∈ R , y ∈ C. Khi đó

PC ( x ) = y ⇔ x − y, u − y ≤ 0, ∀u ∈ C.
Chứng minh:

( ⇒ ) Giả

sử PC ( x ) = y, thì y là nghiệm của bài toán

( *) .

y + α ( u − y ) ∈ C với mọi α ∈ ( 0,1)
⇒ f x ( y ) ≤ f x ( y + α (u − y ))
2
1
y − x + α (u − y )
2
1
1 2
2
=
y − x + αα
y − x, u − y +
u−y
2
2

=

1 2
⇒ 0 ≤ αα
y − x, u − y +
u−y
2
1
2
⇒ 0 ≤ y − x, u − y + α u − y .
2

2

2

Cho α → 0, suy ra 0 ≤ y − x, u − y hay x − y, u − y ≤ 0, ∀y ∈ C.

( ⇐)

Lấy y ∈ C thỏa mãn x − y, u − y ≤ 0, ∀u ∈ C.

Nếu y = x thì y = PC ( x ) .

Lấy u ∈ C , suy ra


12

Nếu y ≠ x, lấy bất kì u ∈ C , ta có:
0 ≥ x − y, u − y
=

x − y, u − x + x − y

= x − y + x − y, u − x ≥ x − y − x − y x − u
2

2

⇒ x − y ≤ x − u , ∀u ∈ C.

Vậy y = PC ( x ) . □
Hệ quả 1.2.1. PC ( x1 ) − PC ( x2 ) 2 ≤ PC ( x1 ) − PC ( x2 ) , x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ R n .
Chứng minh:
Theo mệnh đề 1.2.2., ta có:
PC ( x2 ) − PC ( x1 ) , x1 − PC ( x1 ) ≤ 0 và PC ( x1 ) − PC ( x2 ) , x2 − PC ( x2 ) ≤ 0.

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được:
PC ( x1 ) − PC ( x2 ) , x2 − x1 + PC ( x1 ) − PC ( x2 ) ≤ 0
⇒ PC ( x1 ) − PC ( x2 ) − PC ( x1 ) − PC ( x2 ) , x1 − x2 ≤ 0. □
2

Từ hệ quả này, ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.2.2. Phép chiếu P lên tập lồi đóng C là liên tục Lipschitz với hệ số Lipschitz
là 1, nghĩa là
PC ( x1 ) − PC ( x2 ) ≤ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ R n .

Tính chất trên được gọi là tính không giãn của phép chiếu.
Ta trình bày công thức của phép chiếu lên vài tập lồi, đóng đơn giản.
Ví dụ 1.2.2. Phép chiếu lên quả cầu đơn vị B trong R n :
P : Rn ® B

ì
x khi x Î B
ï
ï
ï
x  P ( x) = í x
khi x Ï B
ï
ï
ï
ï
î x


13

Hình 1.6.

Thật vậy, ta kiểm tra thông qua mệnh đề 1.2.2.:
n
(Dễ thấy, P ( x) Î B với mọi x Î R ) .

x Î B :

x - P ( x ) , y - P ( x) = x - x, y - x = 0, y Î B.

x Ï B :

yÎB:

x - P ( x), y - P ( x) = x =

Vì

x
x
, yx
x

x -1
( x, y - x ) .
x

xÏ B

nên

x > 1, suy ra

x -1
>0
x

y £ 1, suy ra x, y £ x y £ x hay x, y - x £ 0.
Vậy x - P ( x) , y - P ( x) £ 0, "y Î B. □

và

yÎB

nên


14

Vớ d 1.2.3. Cho

a ẻ R n \ {0 Rn } , a ẻ R,

phộp chiu lờn na khụng gian úng

H = { x ẻ R n : x , a Ê a} :

P : Rn đ H
ỡù x khi x ẻ H
ùù
x, a - a
x P ( x) = ùớ
a khi x ẽ H .
ùù x 2
ùùợ
a

Hỡnh 1.7.
Ta cú x -

x, a - a
a

2

a , a = x, a -

x, a - a
a

2

n
a = a nờn P ( x ) ẻ H , "x ẻ R .
2

Ta kim tra õy l phộp chiu lờn H:
x - P ( x ) , y - P ( x) = x - x, y - x = 0, y ẻ H .

x ẻ H :

x ẽ H : y ẻ H :
ổ
ổ
x, a - a ữữử
x, a - a ữữử
ỗ
ỗỗ
x - P ( x ) , y - P ( x ) = x - ỗỗ x a
,
y
x
aữữ
ữ

ỗỗ
2
2
ữữ
ỗố
ữứ
a
a
ứ
ố
=
=

x, a - a
a

2

x, a - a
a

2

ổ
x, a - a ửữữ
ỗ
a, y - ỗỗ x aữữ
2
ữứ
ỗố

a
a, y -

x, a - a
a

2

aÊ0

( a, y

Ê a ).


15

Vậy x - P ( x) , y - P ( x) £ 0, "y Î H . □
Mệnh đề 1.2.3. Cho S ⊂ R n là tập lồi, đóng, khác rỗng và s ∈ S . Khi đó, ta có:
PS −1 ( =
s)

{s} + N S ( s )

Chứng minh
Ta cần chứng minh PS ( x ) = s ⇔ ( x − s ) ∈ N S ( s ) . Theo định nghĩa nón pháp tuyến,
vectơ v thuộc N S ( s ) khi và chỉ khi S ⊂ H ( s, v ) =
{ y ∈ R n : vT y ≤ vT s}. Tức là ta chứng
n
minh với mỗi x ∈ R , đẳng thức PS ( x ) = s đúng khi và chỉ khi S ⊂ H ( s, x − s ) . Ta có

PS ( x ) = s
⇔ P[ s , s '] ( x ) = s ∀s ' ∈ S
⇔ ( x − s ) s ' ≤ ( x − s ) s ∀s ' ∈ S
T

T

⇔ S ⊂ H ( s, x − s ) .

□.
Mệnh đề 1.2.4. Cho S =
b} , với A ∈ M m×n với rank A = m và b ∈ R m . Khi
{ x ∈ R n : Ax =

(

) (

I − AT ( AAT ) A z + AT ( AAT )
đó PS ( z ) =
−1

−1

) b.

Chứng minh
Theo
=

NS ( x)

mệnh

{A

T

đề

1.2.3.,

với

mỗi

z ∈ R n=
, x PS ( z ) ⇔ z ∈ { x} + N S ( x ) ,

có

y : y ∈ R m } . Vì vậy, phép chiếu PS ( z ) có thể định bởi nghiệm của phương

trình:
 z   I AT   PS ( z ) 
,

 =
 b   A 0  y


Mặt khác:

ta


16

I

A

−1
 I − AT ( AAT )−1 A
AT 

 =
−1
0 
 ( AAT ) A


(

) (

I − AT ( AAT ) A z + AT ( AAT )
Ta suy ra PS ( z ) =
−1

−1

−1
AT ( AAT ) 
.
T −1 
− ( AA ) 

) b. □

Tính chất trên chỉ ra rằng phép chiếu lên không gian con affine là một hàm affine. Ta
sẽ chứng minh phép chiếu lên tập lồi đa diện là ánh xạ affine từng khúc ở chương 3.

1.3. Ánh xạ đa trị và các tính chất liên tục
Định nghĩa 1.3.1. Cho X , Y là các tập khác rỗng, ánh xạ F : X → 2Y ( 2Y là họ tất cả
các tập con của Y ) được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y , kí hiệu là F : X  Y .
Ví dụ 1.3.1. Xét phương trình đa thức
x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an= 0, n ∈ N , ai ∈ R ( i= 1,..., n ) .
Quy tắc cho tương ứng mỗi =
vectơ a

( a1 ,..., an ) ∈ R n

với tập nghiệm, kí hiệu F ( a ) ,

của phương trình trên là một ánh xạ đa trị từ R n vào C.
Nhận xét 1.3.1. Ánh xạ đơn trị được xem là ánh xạ đa trị đặc biệt với ảnh của mỗi
điểm là tập chỉ có một phần tử.
Định nghĩa 1.3.2. Cho F : X  Y , ta định nghĩa đồ thị gph F , miền hữu hiệu dom F
và miền ảnh rge F của ánh xạ đa trị F như sau:
gph=

F

{( x, y ) ∈ X × Y : y ∈ F ( x )} ,

dom F=

và rge F =

{ x ∈ X : F ( x ) ≠ ∅} ,

{ y ∈ Y : ∃x ∈ X

sao cho y ∈ F ( x )} .

Định nghĩa 1.3.3. Cho F : X  Y , ánh xạ ngược F −1 : Y  X của ánh xạ đa trị F
được xác định bởi công thức:
F −1 ( y ) =
{ x ∈ X : y ∈ F ( x )}

( y ∈Y ).


17

{ x, − x} khi x ≥ 0
Ví dụ 1.3.2. Ánh xạ F ( x) = 
là ánh xạ đa trị từ R vào R. Ta có
khi x < 0
∅
=

F
gph

{( x, y ) ∈ R

2

} dom F = R+ ,

: y =x ,

rge F = R.

Ánh xạ ngược F −1 : R  R xác định bởi F −1 ( y ) =
{x ∈ R : x = y }

( y ∈ R ).

Tiếp theo, ta sẽ trình bày các khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X , Y là các không gian topo, F : X  Y ,
Định nghĩa 1.3.4. F gọi là nửa liên tục trên tại x Î dom F nếu với mọi lân cận V
trong Y sao cho F ( x ) Ì V , tồn tại một lân cận U của x sao cho F (U ) :=  F ( x) Ì V .
xÎU

F gọi là nửa liên tục trên nếu F nửa liên tục trên tại mọi x Î dom F .
Định nghĩa 1.3.5. F gọi là nửa liên tục dưới tại x Î dom F nếu với mọi lân cận V
trong Y sao cho

F ( x )  V ¹ Æ, tồn tại một lân cận U

của x sao cho

F ( x)  V ¹ Æ, x Î U  dom F .
F gọi là nửa liên tục dưới nếu F nửa liên tục trên tại mọi x Î dom F .
Định nghĩa 1.3.6. F gọi là liên tục tại x Î dom F nếu F vừa nửa liên tục trên vừa nửa
liên tục dưới tại điểm đó. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì F được gọi là
liên tục trên X.
Ví dụ 1.3.3. Ánh xạ đa trị
khi x < 0
{0}

F ( x) =
0
[ −1,1] khi x =

khi x > 0
{1}

từ R vào R là nửa liên tục trên nhưng không nửa liên tục dưới tại x = 0.


18

Hình 1.8.

Ví dụ 1.3.4. Ánh xạ đa trị
[ 0,1]
F ( x) = 
{0}

khi x ≠ 0
khi x = 0

từ R vào R là nửa liên tục dưới nhưng không nửa liên tục trên tại x = 0.

Hình 1.9.

Nhận xét 1.3.2.
(i) F nửa liên tục trên khi và chỉ khi với mọi V

mở trong Y

thì

F - (V ) := { x Î X : F ( x) Ì V } mở trong X .
(ii) F nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với mọi V
F -1 (V ) := { x Î X : F ( x)  V ¹ Æ} mở trong X .
Chứng minh:
(i) (Þ) Giả sử F nửa liên tục trên,

mở trong Y thì


19

Lấy x Î F - (V ) , suy ra F ( x ) Ì V . Vì F nửa liên tục trên tại x nên tồn tại một lân cận mở
U của x sao cho F ( x) Ì V , x Î U . Suy ra F ( x)  V ¹ Æ, x Î U hay U Ì F (V ). Vậy

F - (V ) mở.

(Ü)

Lấy

x Î X, V

là

mở

bất

kì

trong

Y

và

F (x ) ÌV .

Ta

có

F - (V ) = { x Î X : F ( x) Ì V } mở. Mặt khác, x Î F - (V ) nên tồn tại một lân cận U của

x sao cho U Ì F - (V ) hay F ( x) Ì V , x Î U . Vậy F nửa liên tục trên tại x bất kì. Do đó,
F nửa liên tục trên. □

(ii) Chứng minh tương tự (i). □
Định nghĩa 1.3.7. F là Lipschitz trên D ⊂ dom F nếu tồn tại α > 0 sao cho:

F ( y ) ⊂ F ( z ) + α y − z BY với mọi y, z ∈ D.
( BY là quả cầu đơn vị đóng trong Y.)
Nếu D = dom F , ta nói F là ánh xạ Lipschitz.
Định nghĩa 1.3.8. F là Lipschitz trên địa phương tại x ∈ dom F nếu tồn tại α > 0 và
một lân cận U của x sao cho:

F ( x ) ⊂ F ( x ) + α x − x BY với mọi x ∈U .
Định nghĩa 1.3.9. F là Lipschitz dưới địa phương tại x ∈ dom F nếu tồn tại α > 0 và
một lân cận U của x sao cho:

F ( x ) ⊂ F ( x ) + α x − x BY với mọi x ∈U  dom F .
Tiếp theo, ta xét các tính chất tương đương với tính Lipschitz.
n
Định nghĩa 1.3.10. Cho hai tập hợp C , D trong R . Ta nói khoảng cách excess từ C đến

D là
e ( C , D ) = sup d ( x, D )
x∈C


20

0 khi D = ∅
e ( ∅, D ) =

∞ khi D ≠ ∅

và khoảng cách Hausdoff từ C đến D là

h ( C , D ) = max {e ( C , D ) , e ( D, C )}.
Ta dễ dàng nhận thấy h ( C , D ) = h ( D, C ) nhưng e ( D, C ) có thể khác e ( C , D ) .
Hơn nữa, ta kiểm tra được
e ( C , D=
) inf {τ ≥ 0 : C ⊂ D + τ B}
và h ( C , D=
) inf {τ ≥ 0 : C ⊂ D + τ B, D ⊂ C + τ B} .
Ví dụ 1.3.5. Ta xem một minh họa khoảng cách excess và khoảng cách Hausdoff giữa
hai tập C và D qua hình sau.

Hình 1.9.
Từ định nghĩa trên, ta suy ra trực tiếp các tính chất sau.
Mệnh đề 1.3.1.

F Lipschitz trên địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại α > 0 và một lân cận U của
x sao cho: e ( F ( x) , F ( x )) £ a x - x , x Î U  dom F .


21

F Lipschitz dưới địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại α > 0 và một lân cận U của
x sao cho: e ( F ( x ) , F ( x)) £ a x - x , x Î U  dom F .
F Lipschitz

trên

D ⊂ dom F

khi

và

chỉ

khi

tồn

tại

α >0

sao

cho

h ( F ( y ) , F ( z ) ) ≤ α y − z , ∀y, z ∈ D.
Nhận xét 1.3.3. Nhờ vào mệnh đề trên, ta thấy rằng nếu với mọi x, F ( x ) là tập chỉ
gồm một phần tử, tức F là ánh xạ đơn trị thì các khái niệm Lipschitz của ánh xạ đa trị
trùng với tính liên tục Lipschitz của ánh xạ đơn trị mà ta đã biết.
Mối quan hệ giữa tính liên tục và tính Lipschitz của ánh xạ đa trị thể hiện qua mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.3.2. Cho F : X  Y , x ∈ dom F .
i) F Lipschitz trên địa phương tại x và F ( x ) đóng thì F nửa liên tục trên tại x .
ii) F Lipschitz dưới địa phương tại x thì F nửa liên tục dưới tại x .
Chứng minh
i) Giả sử F không nửa liên tục trên tại x , tức là tồn tại tập V ⊂ Y mở sao cho
F ( x ) ⊂ V và với mọi lân cận U của x luôn tồn tại x ∈ U : F ( x ) ⊄ V . Do đó, ta xây

dựng

được

dãy

{ xn } ⊂ X , xn → x

và

F ( xn ) ⊄ V , ∀n.

Suy

ra

tồn

tại

yn ∈ F ( xn ) : yn ∉ V , ∀n.
Mặt khác, F Lipschitz trên địa phương tại x nên tồn tại α > 0 sao cho:
e ( F ( xn ) , F ( x ) ) ≤ α xn − x , ∀n
⇒ d ( yn , F ( x ) ) ≤ α xn − x , ∀n
0.
⇒ lim d ( yn , F ( x ) ) =

Vì F ( x ) đóng và V mở, V ⊃ F ( x ) nên yn ∈ V khi n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với
tính chất của dãy { yn } . Vậy F nửa liên tục trên tại x .