Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



NGUYỄN TẤT THẮNG





GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC
VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU





LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC









HÀ NỘI-2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN TẤT THẮNG





GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC
VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

Chuyên ngành: Hình học và tôpô
Mã số: 62.46.10.01


LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC



HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH. Hà Huy Vui
TS. Phó Đức Tài



HÀ NỘI-2011
Mục lục
Mục lục 1
Mở đầu 3

1 Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với
thớ một chiều 12
1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn của các
cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều . . . . . . . . . 17
2 Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một mặt đại số và của ánh xạ đa
thức từ C
n
vào C
n−1
22
2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt . . . . . . . 35
2.3 Tô pô của thớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Tô pô của hàm hữu tỷ hai biến phức 45
3.1 Các giá trị rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
3.2.1 Tiêu chuẩn thông qua đặc trưng Euler . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Điều kiện Malgrange và điều kiện M-tame . . . . . . . . 62
3.2.3 Điều kiện Fedoryuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Phụ lục: Tập giá trị rẽ nhánh của ánh xạ đa thức 70
Kết luận 79
Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 80
Tài liệu tham khảo 81
2
Mở đầu
Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các đa tạp đại số có thể chia thành hai
mảng đề tài:
(i) Nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh;

(ii) Nghiên cứu các đa tạp affine.
Thành tựu cơ bản của các nghiên cứu về mảng đề tài thứ nhất là lý thuyết Lef-
schetz. Bằng cách khảo sát các Lefschetz pencil, cụ thể là thông qua việc mô tả tô
pô của thớ tổng quát và mô tả các toán tử đơn đạo quanh các thớ đặc biệt - mà ở
đây chính là các thớ có kỳ dị, các tính chất tô pô của các đa tạp xạ ảnh đã được hiểu
khá rõ ([10], [38], [36]).
Với mảng đề tài thứ hai, như nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đã nhận xét, tình
hình là rất khác. Còn nhiều câu hỏi về các đa tạp affine và các ánh xạ đa thức vẫn
chưa có câu trả lời, ngay cả cho trường hợp hai biến.
Cái tương tự của Lefschetz pencil trong trường hợp affine là phân thớ Milnor
toàn cục. Từ một kết quả rất tổng quát của R. Thom ([43]), nếu f là một ánh xạ đa
thức từ một tập đại số không kỳ dị V vào không gian C
k
thì f xác định một phân
thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
ngoài một tập đại số B của không gian đích C
k
.
Đó là phân thớ Milnor toàn cục. Do tính không compact của không gian C
n
, ở đây
xuất hiện một hiện tượng mà ta không gặp khi nghiên cứu Lefschetz pencil, đó là
hiện tượng kỳ dị ở vô hạn. Một thớ f
−1
(t
0
) là thớ đặc biệt không chỉ vì nó chứa một
điểm kỳ dị, mà còn do ánh xạ f không xác định một phân thớ tầm thường trong
mọi lân cận của điểm vô hạn của thớ f

−1
(t
0
). Bởi vậy, ngoài các giá trị tới hạn, tập
3
B còn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn.
Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu các tính chất tô pô
của các tập đại số affine, một trong những bài toán đầu tiên cần phải giải quyết là
Đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn.
Mặc dù trong khoảng gần 30 năm trở lại đây rất nhiều nhà toán học đã nghiên
cứu bài toán này, nhưng cho đến nay đây vẫn còn là một bài toán mở. Ngay cả khi
V là toàn bộ C
n
và f là ánh xạ đa thức từ C
n
vào C, người ta vẫn chưa biết cách trả
lời, ngoại trừ đối với một ít trường hợp đặc biệt mà ta sẽ liệt kê dưới đây.
Khi V = C
2
và k = 1, tức là f là một đa thức hai biến phức, các giá trị tới hạn tại
vô hạn được đặc trưng theo nhiều cách khác nhau. Đầu tiên là kết quả của Hà Huy
Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) và M. Suzuki ([42]), nói rằng giá trị t là giá trị tới hạn
tại vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f
−1
(t ) khác đặc trưng Euler
của thớ tổng quát. Sau đó Hà Huy Vui ([44]) đưa ra khái niệm số mũ Lojasiewicz
tại vô hạn của thớ và chứng minh ba điều kiện sau là tương đương:
(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;
(ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f
−1

(t ) nhỏ hơn 0;
(iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f
−1
(t ) nhỏ hơn −1.
Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu điều kiện
Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn.
Khi V = C
n
, n > 2 và k = 1, trong [30] M. Tibar chỉ ra rằng tiêu chuẩn thông
qua đặc trưng Euler nói chung không còn đúng. Cũng bằng các ví dụ cụ thể, L.
Paunescu và A. Zaharia ([32]) đã chứng tỏ rằng các đặc trưng thông qua số mũ
Lojasiewicz như trong trường hợp hai biến là không còn đúng.
A. Parusinski đã thực hiện được một bước đột phá khi tìm cách khai thác được
một ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C
2
vào C, đó là tất cả các đa thức
hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Trong [24], với giả thiết đa thức f : C
n
→ C
chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, A. Parusinski đã chứng minh được rằng
ba điều kiện sau là tương đương:
4
(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;
(ii) đặc trưng Euler của thớ f
−1
(t ) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát;
(iii) số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f
−1
(t ) nhỏ hơn −1.
Luận án này tìm cách khai thác một ưu điểm khác của trường hợp các ánh xạ

từ C
2
vào C: thớ tổng quát có chiều phức bằng một. Trong luận án này chúng tôi
nghiên cứu các cấu xạ từ M vào N, với M, N là các tập đại số không kỳ dị và
dimM = dimN + 1. Điểm chung của các ánh xạ này với các đa thức hai biến là thớ
tổng quát đều là các đường cong. Với điều kiện này ta hy vọng rằng các kết quả của
trường hợp C
2
vào C có thể mở rộng được cho lớp các ánh xạ đang xét.
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các ánh xạ trong các tình huống sau:
1. Các ánh xạ đa thức từ C
n
vào C
n−1
;
2. Hạn chế của một đa thức trên một mặt đại số không kỳ dị trong C
n
;
3. Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức là các ánh xạ có dạng
f
g
: C
2
\{g = 0} → C
với f, g là những đa thức hai biến phức.
Một nội dung khác của luận án là đưa ra mối quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn
tại vô hạn của một ánh xạ đa thức với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá
trị mà tại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame.
Luận án gồm 3 Chương và 1 Phụ lục.

Chương 1 gồm hai phần. Trong phần đầu, chúng tôi giới thiệu bài toán đặc trưng
các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết. Kết quả
chính của Chương 1 được trình bày trong phần thứ hai. Theo định lý của Hà Huy
Vui - Lê Dũng Tráng và M. Suzuki, có thể đặc trưng các giá trị tới hạn của đa thức
hai biến thông qua một bất biến tô pô là đặc trưng Euler. Kết quả chính của chương
này nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ
là một chiều thì một giá trị t
0
là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi địa
phương tại t
0
thì F xác định một phân thớ tầm thường tô pô. Như vậy, nếu F là một
5
cấu xạ có thớ một chiều (phức) thì về bản chất, bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn
tại vô hạn của F vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F
cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.
Kết quả chính của Chương này được trình bày trong bài báo [28]. Định lý chính
của Chương là như sau:
Định lý (xem Định lý 1.2.1). Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ C
n
là các
tập đại số phức không kỳ dị sao cho dimM = dimN + 1 và t
0
∈ N là một giá trị
chính qui của F. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(i) t
0
là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t
0
và một

vi phôi Φ : F
−1
(D) → F
−1
(t
0
) × D sao cho sơ đồ
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1
(t
0
) × D
pr
2

D
giao hoán.
(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t
0
, tức là tồn tại lân cận D của t
0
và một
đồng phôi Φ : F

−1
(D) → F
−1
(t
0
) × D sao cho sơ đồ
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1
(t
0
) × D
pr
2

D
giao hoán.
Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các ánh xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp sau:
(a) F = (F
1
, F
2
, . . . , F

n−1
) : C
n
→ C
n−1
là một ánh xạ đa thức;
(b) F = g
|V
là hạn chế của hàm đa thức g : C
n
→ C lên V, trong đó V ⊂ C
n
là
một mặt đại số không kỳ dị, tức là V = {x ∈ C
n
: g
1
(x) = g
2
(x) = ··· = g
n−2
(x) = 0}
là tập đại số không kỳ dị và dim
C
V = 2.
Cho t
0
là một giá trị chính qui của F. Khi đó, với mọi t đủ gần t
0
thớ F

−1
(t ) là
một tập đại số phức một chiều không kỳ dị.
6
Hàm tuyến tính L : C
n
→ C được gọi là một phép chiếu tốt đối với t
0
nếu tồn tại
lân cận đủ nhỏ D của t
0
sao cho với mọi t ∈ D ta có
i) ánh xạ hạn chế L
t
: F
−1
(t ) → C là riêng và
ii) số d
L
(F
−1
(t )) := #L
−1
t
(A), trong đó A là một giá trị chính qui của L
t
, không
phụ thuộc vào t.
Các kết quả chính của Chương là:
Định lý (xem Định lý 2.1.7). Cho F = (F

1
, F
2
, . . . , F
n−1
) : C
n
→ C
n−1
là một ánh
xạ đa thức. Cho t
0
là một giá trị chính qui của F. Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt
đối với t
0
. Khi đó, t
0
là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của
thớ F
−1
(t
0
) lớn hơn đặc trưng Euler của thớ tổng quát.
Định lý (xem Định lý 2.1.8). Cho F = g
|V
: V → C là hạn chế của g lên V, trong
đó V ⊂ C
n
là một mặt đại số không kỳ dị và g là một đa thức n biến. Cho t
0

là một
giá trị chính qui của F. Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t
0
. Khi đó, t
0
là
giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F
−1
(t
0
) lớn hơn đặc
trưng Euler của thớ tổng quát.
Các Định lý này cho phép mô tả sự thay đổi tô pô giữa thớ tổng quát và thớ ứng
với kỳ dị tại vô hạn.
Cho V là một tập con của C
n
. Ta định nghĩa một phép gắn k đoạn lên V là một
ánh xạ liên tục φ: U := ∪
i=1, ,k
[a
i
, b
i
] → C
n
thỏa mãn
• φ((a
i
, b
i

)) vi phôi với (0, 1),
• φ(a
i
) = φ(a
1
) với mọi i,
• với mọi a  b ta có φ(a)  φ(b) hoặc a, b ∈ {a
i
, i = 1, , k},
• φ(U) ∩ V = {φ(b
1
), . . . , φ(b
k
)}.
Đặt V

= V ∪ φ(U). Ta nói rằng V

nhận được từ V bởi một phép gắn k đoạn
thẳng.
7
Định lý (xem Định lý 2.3.7). Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong
hai trường hợp (a) hoặc (b). Cho t
0
là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F. Giả sử
rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t
0
. Khi đó, sai khác một tương đương đồng luân
thì thớ tổng quát F
−1

(t ) nhận được từ thớ đặc biệt F
−1
(t
0
) sau s phép gắn, trong đó
s là số điểm tới hạn của L
t
chạy ra vô hạn khi t → t
0
.
Cũng trong chương này chúng tôi đưa ra các ví dụ chứng tỏ các tiêu chuẩn thông
qua các số Lojasiewicz của một giá trị tới hạn tại vô hạn mặc dù đúng với trường
hợp ánh xạ từ C
2
vào C, nhưng sẽ không còn đúng với các trường hợp (a) và (b).
Nội dung của Chương 2 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([33], [34]).
Trong Chương 3 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại
vô hạn của các hàm hữu tỷ hai biến phức.
Cho P: C
n
→ C là một ánh xạ đa thức và z ∈ C
n
là một điểm kỳ dị cô lập của
P. Khi đó, số Milnor của P tại z được định nghĩa là
µ
z
(P) := dim
C
O
z

/(
∂P
∂x
1
, . . . ,
∂P
∂x
n
),
với O
z
là vành các chuỗi lũy thừa hội tụ tại z và (
∂P
∂x
1
, . . . ,
∂P
∂x
n
) là iđêan sinh bởi
∂P
∂x
1
, . . . ,
∂P
∂x
n
.
Cho F =
f

g
: C
2
\ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong đó f, g ∈ C[x, y] không
có nhân tử chung khác hằng. Theo Định lý phân thớ Thom hàm hữu tỷ F cũng là
một phân thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
bên ngoài một tập hữu hạn B(F) ⊂ C.
Đặt A(F) := {(x, y) ∈ C
2
: f (x, y) = g(x, y) = 0}. Ký hiệu K
0
(F) là tập các giá
trị chính qui của F và K
1
(F) là tập hợp các giá trị t
0
∈ C \ K
0
(F) sao cho tồn tại
p ∈ A(F) để µ
p
( f − t
0
g)  µ
p
( f − tg) với mọi t khác và đủ gần t
0
.
Ta có

Định lý (xem Định lý 3.1.10). Cho F =
f
g
: C
2
\ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ.
Giả sử deg f > deg g. Khi đó
B(F) = K
0
(F) ∪ B
∞
(F) ∪ K
1
(F).
8
Định lý (xem Định lý 3.2.9). Cho F =
f
g
: C
2
\{g = 0} → C là một hàm hữu tỷ, trong
đó f, g ∈ C[x, y] không có nhân tử chung khác hằng. Giả sử t
0
∈ C\(K
0
(F)∪K
1
(F))
sao cho deg( f − t
0

g) = max{deg f, deg g}. Khi đó, hai khẳng định sau là tương
đương:
(i) t
0
∈ B
∞
(F);
(ii) tồn tại tập compact K ⊂ C
2
, sao cho
χ(F
−1
(t
0
) \ K) > χ(F
−1
(t ) \ K)
với mọi t đủ tổng quát.
Định lý (xem Định lý 3.2.10). Cho F =
f
g
: C
2
\ {g = 0} → C là một hàm hữu tỷ,
trong đó f, g ∈ C[x, y] và không có nhân tử chung khác hằng.
Cho t
0
∈ C \(K
0
(F) ∪ K

1
(F)) thỏa mãn
deg( f −t
0
g) = deg
x
( f − t
0
g) = max{deg f, deg g}.
Khi đó t
0
∈ B
∞
(F) khi và chỉ khi χ({f − t
0
g = 0}) > χ({f − tg = 0}), với mọi t đủ
tổng quát.
Hàm hữu tỷ F được gọi là thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t ∈ C nếu không
tồn tại dãy {x
k
}
∞
k=0
⊂ C
n
, x
k
→ ∞, mà F(x
k
) → t và x

k
·grad F(x
k
) → 0. Tương
tự, hàm F được gọi là thỏa mãn điều kiện M-tame tại t ∈ C nếu không tồn tại các
dãy {λ
k
}
∞
k=0
⊂ C và {x
k
}
∞
k=0
⊂ C
n
mà x
k
→ ∞, F(x
k
) → t và grad F(x
k
) = λ
k
x
k
.
Định lý (xem Định lý 3.2.18). Cho hàm hữu tỷ F =
f

g
: C
2
\ {g = 0} → C, trong đó
f, g ∈ C[x, y] và deg f > deg g. Cho t
0
∈ C \ (K
0
(F) ∪ K
1
(F)). Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) t
0
∈ B
∞
(F);
(ii) F không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t
0
;
(iii) F không thỏa mãn điều kiện M-tame tại t
0
.
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [29].
9
Trong phần Phụ lục chúng tôi đưa ra một quan hệ giữa tập các giá trị tới hạn tại
vô hạn với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị mà tại đó ánh xạ không
thỏa mãn điều kiện M-tame.
Cho F : C
n

→ C
m
là một ánh xạ đa thức. Nhắc lại rằng B
∞
(F) là tập các giá trị
tới hạn tại vô hạn và K
0
(F) là tập các giá trị tới hạn của F.
Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : C
n
→ C
m
đặt ν(A) := inf
{ω∈C
m
:ω=1}
Aω. Ký
hiệu K
∞
(F) là tập hợp các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại một dãy x
l
→ ∞ thỏa mãn
F(x
l
) → t và x
l
 · ν(dF(x
l
)) → 0. Các phần tử của K
∞

(F) được gọi là các giá trị
tới hạn tiệm cận của F.
Ánh xạ F được gọi là M-tame tại t ∈ C
m
nếu không tồn tại dãy {p
k
}
∞
k=1
sao cho
p
k
 → ∞, F(p
k
) → t và rank








J(F)
p
k









≤ m,
trong đó J(F) là ma trận Jacobi của F. Ký hiệu M
∞
(F) là tập hợp các giá trị t ∈ C
m
mà F không là M-tame tại t.
Định lý (xem Định lý A.2). Cho F : C
n
→ C
m
là một ánh xạ đa thức. Khi đó
B(F) ⊆ K
0
(F) ∪ M
∞
(F) ⊆ K
0
(F) ∪ K
∞
(F).
Cho đa thức f (x) =

β∈Z
n
≥0
c

β
x
β
. Ký hiệu supp( f ) = {β | c
β
 0}. Đa diện Newton
Γ
−
( f ) được định nghĩa là bao lồi của tập {(0, 0, . . . , 0)} ∪ supp( f ) ⊂ R
n
. Ký hiệu
Γ( f ) là hợp của các mặt đóng của Γ
−
( f ) mà không chứa (0, 0, . . . , 0) ∈ R
n
. Với mỗi
mặt γ đặt
f
γ
=

β∈γ
c
β
x
β
.
Gọi supp( f ) là tổ hợp lồi của tập supp( f ) \ {0}. Một mặt đóng ∆ của supp( f ) được
gọi là xấu nếu:
(i) gốc tọa độ thuộc không gian affine nhỏ nhất chứa ∆, và

(ii) tồn tại một siêu phẳng H = {x ∈ R
n
: a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
= 0}, sao cho:
(ii
a
) tồn tại i và j để a
i
· a
j
< 0, và
10
(ii
b
) H ∩ supp( f ) = ∆.
Về mặt hình học, điều kiện (ii
a
) có nghĩa là siêu phẳng H có điểm chung với R
n

+
.
Ta ký hiệu B( f ) là tập hợp các mặt xấu của
supp( f ).
Cho F = (F
1
, F
2
, . . . , F
m
) : C
n
→ C
m
là một ánh xạ đa thức. Ánh xạ F được gọi
là không suy biến (theo đa diện Newton) nếu
{a : rank(J((F
i
)
γ
i
)(a) < m} ∩ (C
∗
)
n
= ∅
với mọi i = 1, . . . , n và với mọi mặt đóng γ
i
của Γ(F
i

).
Giả sử ∆ = (∆
1
, ∆
2
, . . . , ∆
m
), trong đó ∆
i
∈ B(F
i
), ∀i = 1, . . . , m. Ký hiệu Σ

0
(F
∆
)
là tập hợp tất cả các giá trị (F
1
∆
1
(z
0
), F
2
∆
2
(z
0
), . . . , F

m
∆
m
(z
0
)) ∈ C
m
mà z
0
∈ (C
∗
)
n
và
rank(J((F
i
)
γ
i
)(z
0
)) < m. Đặt
Σ
∞
(F) := ∪
∆∈B(F
1
)×B(F
2
)× ×B(F

m
)
Σ

0
(F
∆
).
Khi đó, ta có
Định lý (xem các định lý A.6 và A.7). Cho F = (F
1
, F
2
, . . . , F
m
) : C
n
→ C
m
là một
ánh xạ đa thức không suy biến. Khi đó
M
∞
(F) ⊂ Σ
∞
(F) ∪

∪
m
i=1

{t ∈ C
m
: t
i
= F
i
(0, 0, . . . , 0)}

và bởi vậy
B
∞
(F) ⊂ Σ
∞
(F) ∪

∪
m
i=1
{t ∈ C
m
: t
i
= F
i
(0, 0, . . . , 0)}

.
Trong bao hàm thức trên B(F) là một tập rất khó đặc trưng, trong khi Σ
∞
(F)

được xây dựng một cách khá tường minh thông qua những tính chất tổ hợp của đa
thức.
11
Chương 1
Giá trị tới hạn t ại vô hạn của các cấu xạ
giữa các t ập đại số phức với thớ một chiều
Chương này bắt đầu bằng việc nhắc lại các kết quả đã biết về bài toán đặc trưng
các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ phức. Một điều đáng chú ý là trong tất
cả các trường hợp đã biết, các giá trị tới hạn tại vô hạn đều được đặc trưng qua một
bất biến tô pô là số Euler. Kết quả chính của Chương là Định lý 1.2.1, nói rằng nếu
F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì một
giá trị t
0
là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi F xác định một phân thớ
tầm thường tô pô trong một lân cận nào đó của t
0
. Như vậy về bản chất, đối với cấu
xạ có thớ một chiều (phức), bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn vẫn còn
là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên
tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.
1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn
Trong mục này, ta giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của
các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết.
Định nghĩa 1.1.1. Cho M
1
, M
2
là các đa tạp trơn và F : M
1
→ M

2
là một ánh xạ
khả vi. Ánh xạ F được gọi là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
nếu với
12
mọi t ∈ M
2
, tồn tại lân cận D của t và vi phôi Φ : F
−1
(D) → F
−1
(t ) × D sao cho sơ
đồ sau giao hoán
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1
(t ) × D.
pr
2

D
Định nghĩa 1.1.2. Cho M
1

⊂ C
n
và M
2
⊂ C
m
là các tập đại số. Ánh xạ F : M
1
→
M
2
được gọi là một cấu xạ nếu tồn tại một ánh xạ đa thức h : C
n
→ C
m
, sao cho
F(a) = h(a) với mọi a ∈ M
1
.
Định lý 1.1.3 (Thom, [43]). Cho M, N ⊂ C
n
là các tập đại số không kỳ dị và
F : M → N là một cấu xạ. Khi đó, tồn tại tập đại số A ⊂ N với dimA < dimN sao
cho ánh xạ hạn chế
F : M \ F
−1
(A) → N \ A
xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
.

Ký hiệu B(F) là tập nhỏ nhất trong các tập A nói trên. Các phần tử của B(F)
được gọi là các giá trị rẽ nhánh của F.
Ví dụ 1.1.4. Cho F : C
2
→ C, (x, y) → xy. Khi đó (0, 0) là điểm tới hạn duy nhất
của F và giá trị tới hạn tương ứng là F(0, 0) = 0. Ta thấy F
−1
(0)  C ∪ C và
F
−1
(t )  C
∗
đối với t  0. Do đó 0 ∈ B(F).
Hơn nữa F là một phân thớ tầm thường địa phương trên D := C \ {0} với phép
tầm thường hóa
Φ : F
−1
(D) → F
−1
(t ) × D
(x, s/x) → (x, t/x, s),
trong đó t  0 tùy ý.
Vậy B(F) = {0}.
Ví dụ 1.1.5 (xem [5]). Xét F : C
2
→ C, (x, y) → x
2
y − x. Dễ thấy F không có điểm
tới hạn. Ta sẽ chứng tỏ rằng B(F) = {0}.
Thật vậy, kiểm tra rằng F

−1
(0)  CC
∗
. Trong khi đó, nếu t  0 thì F
−1
(t ) đồng
phôi với C
∗
và F là tầm thường địa phương tại t.
13
Vậy B(F) = {0}.
Nhận xét 1.1.6. Ở Ví dụ 1.1.5, với R đủ lớn tập F
−1
(t ) ∩B
R
của F
−1
(t ) với quả cầu
đóng B
R
đồng phôi với F
−1
(0) ∩ B
R
nhưng F
−1
(t ) \ B
R
và F
−1

(0) \ B
R
có số thành
phần liên thông khác nhau. Ở đây, sự khác biệt về tô pô giữa F
−1
(t ) và F
−1
(0) "xảy
ra" trong lân cận của điểm vô hạn.
Định nghĩa 1.1.7 ([22]). Cho M
1
⊂ C
n
, M
2
⊂ C
m
là các tập đại số không kỳ dị,
F : M
1
→ M
2
là một cấu xạ và t
0
∈ M
2
.
(i) Ta nói rằng t
0
là một giá trị chính qui tại vô hạn của F nếu tồn tại một tập

compact K trong C
n
và tồn tại lân cận D của t
0
trong M
2
sao cho ánh xạ hạn chế
F : F
−1
(D) \ K → D
xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
.
(ii) Giá trị t
0
được gọi là giá trị tới hạn tại vô hạn của F nếu t
0
không phải là giá
trị chính qui tại vô hạn của F.
Ta ký hiệu K
0
(F) là tập các giá trị tới hạn và B
∞
(F) là tập các giá trị tới hạn tại
vô hạn của F. Khi đó
B(F) = K
0
(F) ∪ B
∞
(F).

Nói cách khác, tập các giá trị rẽ nhánh bao gồm:
(i) các giá trị tới hạn của F;
(ii) các giá trị tới hạn tại vô hạn của F.
Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các cấu xạ F : M → N giữa các tập đại số
không kỳ dị, theo một nghĩa nào đó, là nghiên cứu phân thớ
F : M \ F
−1
(B(F)) → N \ B(F).
Bởi vậy, một trong những vấn đề đầu tiên cần được giải quyết là:
Bài toán 1.1.8. Đặc trưng các giá trị t
0
∈ B
∞
(F)?
14
Cho tới nay đây vẫn còn là một bài toán mở. Ta chỉ có câu trả lời cho một số
trường hợp riêng.
Định lý 1.1.9 ([42], [45]). Cho F : C
2
→ C là một ánh xạ đa thức và t
0
là một
giá trị chính qui của F. Khi đó t
0
∈ B
∞
(F) khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ
F
−1
(t

0
) khác đặc trưng Euler của thớ F
−1
(t ) với mọi t đủ tổng quát.
Định nghĩa 1.1.10 ([8]). Cho F : C
n
→ C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu

K
∞
(F)
là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {x
k
}
∞
k=0
⊂ C
n
, x
k
→ ∞, thỏa mãn
F(x
k
) → t và grad F(x
k
) → 0. Ta nói rằng F thoả mãn điều kiện Fedoryuk
tại t nếu t 

K
∞

(F).
Định nghĩa 1.1.11 ([41]). Cho F : C
n
→ C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu K
∞
(F) là
tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại dãy {x
k
}
∞
k=0
⊂ C
n
, x
k
→ ∞, thỏa mãn F(x
k
) → t
và x
k
 · grad F(x
k
) → 0. Ta nói F thoả mãn điều kiện Malgrange tại t nếu
t  K
∞
(F).
Định nghĩa 1.1.12 ([20]). Cho F : C
n
→ C là một ánh xạ đa thức. Ký hiệu M
∞

(F)
là tập các giá trị t ∈ C sao cho tồn tại các dãy {λ
k
}
∞
k=0
⊂ C và {x
k
}
∞
k=0
⊂ C
n
thỏa mãn
x
k
→ ∞, F(x
k
) → t và grad F(x
k
) = λ
k
x
k
. Tương tự, ta nói F thoả mãn điều kiện
M-tame tại t nếu t  M
∞
(F).
Định lý 1.1.13 ([44, 12]). Cho F : C
2

→ C là một đa thức hai biến phức. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương:
(i) t
0
∈ B
∞
(F);
(ii) t
0
∈

K
∞
(F);
(iii) t
0
∈ K
∞
(F);
(iv) t
0
∈ M
∞
(F).
Nhận xét 1.1.14. Bằng các ví dụ cụ thể, M. Tibar ([30]), L. Paunescu và A. Zaharia
([32]) chỉ ra rằng các Định lý 1.1.9 và 1.1.13 nói chung không còn đúng đối với các
đa thức F : C
n
→ C, n ≥ 3. Tuy nhiên, Parusinski ([24]) đã chứng tỏ rằng các định
lý đó vẫn còn đúng đối với các đa thức "chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn".

15
Cho F : C
n
→ C là một đa thức bậc d, F = F
d
+ F
d−1
+ ··· + F
0
, trong đó F
j
là
thuần nhất bậc j. Đặt
F(x
0
, x
1
, . . . , x
n
) := x
d
0
F

x
1
x
0
,
x

2
x
0
, . . . ,
x
n
x
0

và
X := {(x, t) ∈ P
n
× C | F(x) − tx
d
0
= 0}.
Ký hiệu H
∞
:= {x
0
= 0} là siêu phẳng tại vô hạn của P
n
. Khi đó, tập các điểm kỳ dị
của X là A × C, với
A := {x ∈ H
∞
|
∂F
d
∂x

1
= ··· =
∂F
d
∂x
n
= F
d−1
= 0}.
Định nghĩa 1.1.15 ([24]). Ta nói rằng F chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn nếu A là một
tập hữu hạn.
Nhận xét 1.1.16. Nếu F là một đa thức hai biến, thì F chỉ có kỳ dị cô lập tại vô
hạn.
Định lý 1.1.17 ([24]). Cho F : C
n
→ C là một đa thức và t
0
là một giá trị chính qui
của F. Giả sử F chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn. Khi đó, các khẳng định sau là tương
đương:
(i) Giá trị t
0
là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F;
(ii) χ( F
−1
(t
0
))  χ(F
−1
(t )), với mọi t khác và đủ gần t

0
;
(iii) t
0
∈ K
∞
(F).
Với mỗi không gian véc tơ X và Y ta ký hiệu L(X, Y) là tập các ánh xạ tuyến tính
từ X vào Y.
Định nghĩa 1.1.18 ([26]). Với mỗi A ∈ L(C
n
, C
m
) ta định nghĩa
ν(A) := inf
φ=1
A
∗
(φ),
trong đó A
∗
∈ L((C
m
)
∗
, (C
n
)
∗
) là toán tử liên hợp của A và φ ∈ (C

m
)
∗
.
16
Định nghĩa 1.1.19 ([15, 26, 13]). Cho F : C
n
→ C
m
là một ánh xạ đa thức. Giá trị
t
0
∈ C
m
được gọi là một giá trị tới hạn tiệm cận của F nếu tồn tại một dãy x
l
→ ∞
sao cho F(x
l
) → t và x
l
 ·ν(dF(x
l
)) → 0. Ký hiệu K
∞
(F) là tập các giá trị tới hạn
tiệm cận của F.
Đặt K(F) := K
0
(F) ∪K

∞
(F). Ta gọi K(F) là tập các giá trị tới hạn suy rộng của
F.
Nhận xét 1.1.20. Khi m = 1, các khái niệm giá trị tới hạn tiệm cận và giá trị tới
hạn suy rộng trong định nghĩa trên trùng với các khái niệm được nêu ra trong Định
nghĩa 1.1.11.
Định lý sau chứng tỏ rằng giá trị tới hạn tại vô hạn của F được chứa trong tập
các giá trị tới hạn suy rộng của F.
Định lý 1.1.21 ([9, 13, 26]). Cho ánh xạ đa thức F : C
n
→ C
m
. Khi đó
B(F) ⊆ K(F).
1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô
hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một
chiều
Cho F : M → N là một cấu xạ, trong đó M, N ⊂ C
n
là các tập đại số không kỳ
dị và dim
C
M = dim
C
N + 1.
Trong mục này, ta sẽ đưa ra một nhận xét về bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn
của F. Kết quả chính của mục này là
Định lý 1.2.1. Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ C
n
là các tập đại số phức

không kỳ dị sao cho dim
C
M = dim
C
N + 1 và t
0
∈ N là một giá trị chính qui của F.
Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
17
(i) t
0
là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t
0
và một
vi phôi Φ : F
−1
(D) → F
−1
(t
0
) × D sao cho sơ đồ
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1

(t
0
) × D
pr
2

D
giao hoán.
(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t
0
, tức là tồn tại lân cận D của t
0
và một
đồng phôi Φ : F
−1
(D) → F
−1
(t
0
) × D sao cho sơ đồ
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1
(t

0
) × D
pr
2

D
giao hoán.
Nhận xét 1.2.2. Khi F là một đa thức hai biến phức, theo Định lý 1.1.9, có thể phân
biệt được thớ tổng quát của F với thớ tại các giá trị tới hạn tại vô hạn thông qua một
bất biến tô pô đơn giản là đặc trưng Euler. Khi F là một cấu xạ giữa các tập đại số
phức và thớ tổng quát là một chiều, Định lý 1.2.1 chỉ ra rằng, về bản chất, bài toán
đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm
thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi
các ánh xạ khả vi.
Cho ánh xạ liên tục h : X → Y. Một đồng luân của h là một ánh xạ liên tục
H : X × [0; 1] → Y, sao cho H(x; 0) = h(x) với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.3. Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phân thớ, hay một
cách tương đương, có tính nâng đồng luân, nếu với mọi đa diện X và với bất kỳ ánh
xạ liên tục h : X → E, mọi đồng luân Φ của π ◦ h nâng được thành một đồng luân
của h, tức là, tồn tại đồng luân H của h để lược đồ sau giao hoán:
E
π

X × [0; 1]
H
99
Φ
//
B.
18

Định nghĩa 1.2.4 ([17]). Cho X, Y là các không gian tô pô. Hai đồng luân
H, H

: X × [0; 1] → Y
được gọi là có cùng mầm nếu chúng đồng nhất bằng nhau trong một lân cận của
X × {0}.
Định nghĩa 1.2.5 ([17]). Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập
đồng luân, hay có tính nâng mầm đồng luân, nếu với mọi đa diện X và mọi ánh xạ
liên tục h : X → E, mỗi mầm đồng luân của π ◦ h đều nâng được thành mầm đồng
luân của h.
Định nghĩa 1.2.6 ([17]). Ánh xạ liên tục π : E → B được gọi là một phép ngập
đồng luân địa phương nếu với mọi x ∈ E tồn tại lân cận U(x) ⊂ E sao cho ánh xạ
hạn chế π
|U(x)
là một phép ngập đồng luân từ U(x) lên π(U(x )).
Định nghĩa 1.2.7. Ánh xạ khả vi f : V
1
→ V
2
được gọi là một phép ngập nếu với
mọi x ∈ V
1
, ánh xạ vi phân d f
x
: T
x
V
1
→ T
f (x)

V
2
là một toàn ánh.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra khi nào một ánh xạ mở là một phép
ngập đồng luân.
Bổ đề 1.2.8 ([17], Bổ đề 6). Cho ánh xạ mở π : E → B. Giả sử π là một phép ngập
đồng luân địa phương. Khi đó π là một phép ngập đồng luân.
Bổ đề 1.2.9. Cho ánh xạ khả vi f : V
1
→ V
2
, trong đó V
1
và V
2
là các đa tạp trơn.
Giả sử f là một phép ngập. Khi đó f là một phép ngập đồng luân.
Chứng minh. Vì f là một phép ngập, nên f là ánh xạ mở và địa phương tại mọi
điểm x ∈ V
1
, có thể coi f như là một phép chiếu. Do đó, tồn tại một lân cận U của
x để f
|U
là một phép ngập đồng luân. Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.8, f là một phép ngập
đồng luân. 
Định nghĩa 1.2.10. Ánh xạ liên tục f : X → Y được gọi là một tương đương đồng
luân yếu nếu các ánh xạ cảm sinh lên các nhóm đồng luân
f
∗
: π

∗
(X) → π
∗
(Y)
là các đẳng cấu.
19
Bổ đề 1.2.11 ([17], Hệ quả 15). Cho lược đồ giao hoán các ánh xạ liên tục
E
π

h
//
E

,
π


B
trong đó π và π

là các toàn ánh. Giả sử π và π

là các phép ngập đồng luân. Khi đó,
nếu h
b
:= h
|π
−1
(b)

: π
−1
(b) → π

−1
(b) là tương đương đồng luân yếu với mọi b ∈ B và
π

là một phân thớ thì π là một phân thớ.
Bổ đề chính mà ta sử dụng trong mục này là như sau.
Bổ đề 1.2.12 ([17], Hệ quả 32). Cho ánh xạ khả vi π : E → B, trong đó E, B là các
đa tạp trơn và dim
R
E = dim
R
B + 2. Giả sử π thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) π là một toàn ánh;
(ii) π là một phân thớ;
(iii) π là một phép ngập.
Khi đó, π là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C
∞
.
Chứng minh Định lý 1.2.1. (i) ⇒(ii): Hiển nhiên.
(ii) ⇒(i): Giả sử F là tầm thường tô pô địa phương tại t
0
, tức là tồn tại một lân
cận D của t
0
và một đồng phôi Φ : F
−1

(D) → F
−1
(t
0
) ×D, sao cho lược đồ sau giao
hoán:
F
−1
(D)
F
''
Φ
//
F
−1
(t
0
) × D.
pr
2

D
Vì t
0
là giá trị chính qui của F, nên không mất tính tổng quát có thể giả sử
F
|F
−1
(D)
: F

−1
(D) → D
là một phép ngập. Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.9, ánh xạ hạn chế F
|F
−1
(D)
là một phép
ngập đồng luân.
20
Thêm nữa, với mọi t ∈ D ánh xạ hạn chế
Φ
|F
−1
(t)
: F
−1
(t ) → F
−1
(t
0
) ×{t}
là một đồng phôi, do đó là một tương đương đồng luân yếu. Áp dụng Bổ đề 1.2.11
ta có F
|F
−1
(D)
là một phân thớ.
Mặt khác, ánh xạ khả vi F : F
−1
(D) → D là một phép ngập toàn ánh. Theo giả

thiết ta có dim
C
M = dim
C
N + 1. Bởi vậy thớ của F có chiều thực bằng 2. Vậy theo
Bổ đề 1.2.12 F là tầm thường địa phương lớp C
∞
tại t
0
. 
Định lý 1.2.13. Cho cấu xạ F : M → N, trong đó M, N ⊂ C
n
là các tập đại số
phức không kỳ dị và dim
C
M = dim
C
N + 1. Cho t
0
∈ N là một giá trị chính qui của
F. Khi đó, t
0
là giá trị chính qui tại vô hạn nếu và chỉ nếu tồn tại một quả cầu đủ
nhỏ D có tâm là t
0
sao cho với mọi t ∈ D phép nhúng của thớ F
−1
(t ) vào F
−1
(D) là

một tương đương đồng luân yếu.
Chứng minh của Định lý dựa trên
Bổ đề 1.2.14 ([17], Hệ quả 13). cho π : E → B là một phép ngập đồng luân và là
một toàn ánh. Nếu phép nhúng của mỗi thớ của π vào E là một tương đương đồng
luân thì π là một phân thớ.
Chứng minh Định lý 1.2.13. Giả sử t
0
là giá trị chính qui tại vô hạn của F. Khi đó
tồn tại một lân cận D của t
0
sao cho ánh xạ hạn chế F
|F
−1
(D)
là tầm thường địa
phương lớp C
∞
. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử D là quả cầu tâm tại t
0
. Dễ
dàng kiểm tra được rằng phép nhúng của mỗi thớ F
−1
(t ) vào F
−1
(D) là một tương
đương đồng luân yếu.
Để chứng minh điều ngược lại, giả sử D là quả cầu tâm tại t
0
để phép nhúng của
mọi thớ F

−1
(t ) vào F
−1
(D) là một tương đương đồng luôn yếu. Theo Bổ đề 1.2.14
ánh xạ F : F
−1
(D) → D là một phân thớ. Khi đó, theo Bổ đề 1.2.12, F xác định
một phân thớ tầm thường trên D. 
21
Chương 2
Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một
mặt đại số và của ánh xạ đa thức từ C
n
vào
C
n−1
Trong chương này ta nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn
của các cấu xạ cho trong hai trường hợp sau:
(a) F = (F
1
, F
2
, . . . , F
n−1
) : C
n
→ C
n−1
là một ánh xạ đa thức khác hằng;
(b) F = g

|V
là hạn chế của ánh xạ đa thức g : C
n
→ C lên mặt đại số không kỳ dị
V ⊂ C
n
, tức là V = {x ∈ C
n
: g
1
(x) = g
2
(x) = ··· = g
n−2
(x) = 0} là tập đại số
không kỳ dị và dim
C
V = 2.
Ta biết rằng đối với hàm đa thức f : C
2
→ C một giá trị t
0
là giá trị tới hạn tại
vô hạn của f nếu và chỉ nếu
(i) (điều kiện qua đặc trưng Euler) χ( f
−1
(t
0
))  χ( f
−1

(t )) với mọi t đủ tổng quát
(Định lý 1.1.9), hoặc
(ii) (điều kiện qua số Lojasiewicz) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ tại t
0
nhỏ hơn
0, hoặc nhỏ hơn −1, hay một cách tương đương, f không thỏa mãn điều kiện
Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange tại t
0
(Định lý 1.1.13).
22
Điểm chung giữa các ánh xạ F ở (a), (b) và các đa thức hai biến là thớ của chúng
là các đường cong. Bởi vậy, hy vọng rằng có thể mở rộng được các kết quả trong
trường hợp đa thức hai biến cho các cấu xạ đang xét. Hai vấn đề được quan tâm
trong Chương này là:
(1) Mở rộng kết quả về điều kiện qua đặc trưng Euler của bài toán đặc trưng các
giá trị tới hạn tại vô hạn trong trường hợp đa thức hai biến cho các lớp cấu xạ
đang xét;
(2) Đối với các ánh xạ đa thức từ C
n
vào C
n−1
, tìm một tương tự cho kết quả về
điều kiện qua số Lojasiewicz để một giá trị cho trước là giá trị tới hạn tại vô
hạn.
Các kết quả chính của chương này bao gồm:
(i) Nếu tồn tại "phép chiếu tốt đối với giá trị t
0
", thì t
0
là giá trị tới hạn tại vô hạn

của F khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F
−1
(t
0
) khác đặc trưng Euler của
thớ tổng quát. Kết quả này có thể xem là sự mở rộng của Định lý 1.1.9 sang
các tình huống (a) và (b).
Mặt khác, các ví dụ chứng tỏ rằng kết quả đó không còn đúng khi không tồn
tại phép chiếu tốt, ngay cả khi thớ của cấu xạ có chiều bằng một.
(ii) Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng không có một mở rộng tự nhiên cho các đặc trưng
thông qua số Lojasiewicz của các giá trị tới hạn tại vô hạn cho các ánh xạ đa
thức từ C
n
vào C
n−1
.
(iii) Trong trường hợp tồn tại phép chiếu tốt, mô tả cơ chế tạo nên sự thay đổi về tô
pô của thớ đặc biệt so với thớ tổng quát.
2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn
Nội dung của mục này là đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề (1) và (2) được nhắc
tới ở trên. Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại khái niệm và một số kết quả liên quan tới
bậc của ánh xạ và bội nghiệm của một hệ phương trình giải tích.
23