t nhóm giải được hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đỗ Hoàng Hải

T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đỗ Hoàng Hải

T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN
Chuyên ngành:

Đại số và lí thuyết số

Mã số:

60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

, tôi đã nhận được sự

hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn . Với lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:
Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư
phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và thực hiện bảo vệ luận văn.
PGS. TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ , dạy bảo, và
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập . Luận văn được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi xin được
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị
những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn.
Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động
viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn.


MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Bảng kí hiệu dùng trong luận văn
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..........................................................................2
1.1. Nhóm, nhóm con ...................................................................................................2
1.2. Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử và tâm ..........................................................................4
1.3. p-nhóm, π-nhóm, p’-nhóm, p-nhóm con Sylow, nhóm con Hall ..........................4
1.4. Nhóm giải được .....................................................................................................6
1.5. Nhóm siêu giải được .............................................................................................7
1.6. Nhóm lũy linh .......................................................................................................8
1.7. Hoán tử, nhóm con hoán tử, nhóm con dẫn xuất ..................................................9
1.8. Dãy chuẩn tắc, nhân tử cơ bản, dãy cơ bản.........................................................11
1.9. Hệ Sylow, System Normalizer ............................................................................12
1.10. Phép tự đẳng cấu lũy thừa .................................................................................12
1.11. Nhóm con abnormal, nhóm con pronormal ......................................................12
Chương 2. T -NHÓM HỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC ......................................................13
2.1. T -nhóm ..............................................................................................................13
2.2. H -nhóm con .......................................................................................................13
2.3. T -nhóm hữu hạn siêu giải được ........................................................................20
2.4. NSN -nhóm .......................................................................................................25
KẾT LUẬN ..................................................................................................................31
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................32


BẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

H ≤G

H là nhóm con của G

H
H là nhóm con thực sự của G

H G

H là nhóm con chuẩn tắc của G

G:H

Chỉ số của nhóm con H trong G

G

Cấp, lực lượng, số phần tử của G

Z (G )

Tâm của nhóm G

CG ( H )

Tâm hóa tử của H trong G

NG ( H )

Chuẩn hóa tử của H trong G

xy

y −1 xy

Hx

x −1 Hx

G ′ = [G , G ]

Nhóm con dẫn xuất của G

CoreG ( H ) , H G

Lõi của H trong G


1
LỜI MỞ ĐẦU
Như đã biết, tính chuẩn tắc của các nhóm con trong một nhóm không có tính bắc
cầu. Nhóm nhị diện D8 là một ví dụ điển hình. Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú
vị là “Khi nào thì tính chuẩn tắc của các nhóm con trong một nhóm có tính bắc cầu?
Các nhóm đó có những tính chất gì?” Người ta gọi những nhóm mà tính chuẩn tắc của
nhóm con có tính bắc cầu là T-nhóm.
Các T-nhóm này có nhiều tính chất thú vị và thu hút được sự quan tâm, nghiên
cứu của nhiều nhà toán học, chẳng hạn như W. Gaschutz, D.J.S Robinson, T.A. Peng,
Rose… Đặc biệt, gần đây đã có những kết quả mới thú vị về các T-nhóm giải được.
Bởi vậy tôi quyết định chọn đề tài là “T-nhóm giải được hữu hạn” để làm luận văn
thạc sĩ. Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo On finite solvable groups in
which normality is a transitive relation của các tác giả Mariagrazia Bianchi, Anna
Gillio Berta Mauri, Marcel Herzog và Libero Verardi.
Luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm nhằm phục vụ cho
chương sau.
Chương 2 là tổng hợp các kết quả về một số đặc trưng mới của các T-nhóm giải

được hữu hạn và các T-nhóm siêu giải được hữu hạn. Trình bày các khái niệm về Nnhóm, H * -nhóm, P-nhóm, nghiên cứu các N-nhóm, H * -nhóm, P-nhóm hữu hạn.
Khái niệm về nhóm hữu hạn mà mọi nhóm con hoặc chuẩn tắc hoặc tự chuẩn hóa, mô
tả đặc trưng của chúng.
Do kiến thức còn hạn hẹp và thời gian thực hiện không được nhiều, luận văn chắc
chắn không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Tôi rất mong nhận được sự
góp ý của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này.
TP.HCM, ngày 27 tháng 8 năm 2014
Đỗ Hoàng Hải


2

Chương1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nhóm,nhóm con
1.1.1. Nhóm hữu hạn
Nhóm G là nhóm hữu hạn nếu số phần tử của nó là hữu hạn.
1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc
Nhóm con N của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu N thỏa thêm
điều kiện chuẩn tắc: ∀g ∈ G , ∀n ∈ N thì g −1ng ∈ N (hoặc gng −1 ∈ N ).
Kí hiệu N  G .
1.1.3. Nhóm con tối đại,nhóm con tối tiểu
(1) Cho G là nhóm, H < G .
Hđược gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N ≤ G sao cho

H < N Hđược gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ 1 và không tồn tại K ≤ G sao
cho 1 < K < H .
(2) Cho G là nhóm, H  G .
H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H < G và không tồn tại N  G
sao cho H < N < G .

H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H < G và không tồn tại K  G
sao cho 1 < K < H .
1.1.4. Nhóm con á chuẩn tắc
Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại
dãy=
các nhóm con H H=
G.
0  H1  ...  H n
1.1.5. Lõi của một nhóm con
1.1.5.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G.
Tập hợp CoreG ( H ) = H G là nhóm con sinh bởi hợp tất cả các nhóm con chuẩn
tắc của G chứa trong Hđược gọi là lõi của H trong G, với quy ước nếu trong G không
tồn tại nhóm con như trên thì H G = 1 .
1.1.5.2. Định lí
Cho G là một nhóm, H là nhóm con của G. Khi đó H G là nhóm con chuẩn tắc tối
đại của G chứa trong H.


3

1.1.6. Nhóm Dedekind
Cho G là một nhóm. G được gọi là nhóm Dedekind nếu mọi nhóm con của G đều
chuẩn tắc trong G.
1.1.7. Phần bù
1.1.7.1. Định nghĩa
Cho H là một nhóm con của nhóm G. Một nhóm con K được gọi là phần bù của
H trong G nếu G = HK và H  K = 1 .
1.1.7.2. Định lí
Nếu K là nhóm con chuẩn tắc của nhóm hữu hạn G sao cho ( G : K , K ) = 1 thì

K có phần bù trong G[6, 9.1.2].
1.1.8. Chỉ số của một nhóm con
1.1.8.1. Định nghĩa
Cho G là nhóm và H ≤ G . Lực lượng của tập hợp lớp trái (phải) của H trong G
được gọi là chỉ số của H trong G và viết G : H .
1.1.8.2. Định lí
Cho G là nhóm hữu hạn H ≤ G ,. Nếu G : H là một số nguyên tố thì H là nhóm
con tối đại của G.
Chứng minh
Giả sử G là nhóm hữu hạn, H ≤ G và G : H = p với p là số nguyên tố.
Giả sử tồn tại nhóm con K của G thỏa H < K < G .

:H G:K ⋅ K:H .
Khi đó G=
Mà G : K và K : H khác 1 do H ≠ K , K ≠ G nên G : H không là số nguyên tố,
mâu thuẫn với giả thuyết.
Vậy H là nhóm con tối đại của G. ■
1.1.9. A -nhóm
Cho G là một nhóm. G được gọi là A -nhóm nếu G giải được và mọi nhóm con
Sylow của G đều abel.


4

1.2. Tâm hóa tử,chuẩn hóa tử vàtâm
1.2.1. Tâm hóa tử
Cho G là một nhóm và ∅ ≠ H ≤ G .
Khi đó CG ( H ) =

{g ∈ G | hg =

gh, ∀h ∈ H } ≤ G và được gọi là tâm hóa tử của H trên G.

1.2.2. Tâm của một nhóm
Cho G là một nhóm. Tâm của G kí hiệu là Z ( G ) =

{a ∈ G : ag =

ga, ∀g ∈ G} .

Nhận xét: Z ( G )  G .
1.2.3. Chuẩn hóa tử
Cho G là một nhóm và ∅ ≠ H ≤ G .
Khi đó N G ( H ) =
H } được gọi là chuẩn hóa tử của H trên G.
{g ∈ G | H g =
Nhận xét:

N G ( H ) ≤ G và H  N G ( H ) .
Nếu K ≤ G sao cho H  K thì K ≤ N G ( H ) .
1.3. p-nhóm,π-nhóm,p’-nhóm,p-nhóm con Sylow,nhóm con Hall
1.3.1. p-nhóm,p-nhóm con Sylow
(1) Cho p là số nguyên tố. Một nhóm hữu hạn được gọi là p-nhóm nếu cấp của nó
là một lũy thừa của p.
(2) Cho G là một nhóm hữu hạn cấp p m với ( p, m ) = 1 và p là số nguyên tố.
a

a

Một nhóm con của nhóm G có cấp là p được gọi là p-nhóm con Sylow.

(3) Cho A, B là hai nhóm con của nhóm G. A được gọi là liên hợp với
B ⇔ ∃g ∈ G : A = B g .
1.3.2. Định lí Sylow
Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó:
(1) Mỗi p-nhóm con của G đều chứa trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.
Đặc biệt, do 1 là một p-nhóm con nên p-nhóm con Sylow luôn tồn tại.
(2) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.


5

(3) Nếu n p là số p-nhóm con Sylow của G thì n p là ước của n và n p ≡ 1( mod p ) [6,
1.6.16].
1.3.3. Bổ đề Frattini
Cho G là một nhóm hữu hạn và H  G . Khi đó nếu P là một p-nhóm con Sylow
của H thì G = H . N G ( P ) [1, 7.3, tr.33].
1.3.4. Bổ đề Frattini tổng quát
Cho G là một nhóm và H  G . Giả sử K ≤ H là một nhóm thỏa mãn tính chất:
“mọi nhóm K ′ ≤ H liên hợp với K trong G đều liên hợp với K trong H”. Khi đó
G = HN G ( K ) [1, 7.4, tr.33].

1.3.5. Định lí
Cho P là một p-nhóm con Sylow của G.
(1) Nếu N G ( P ) ≤ H ≤ G thì H = N G ( H ) .
(2) Nếu N  G thì P  N là một p-nhóm con Sylow của N và PN / N là một pnhóm con Sylow của G / N [6, 1.6.18].
1.3.6. p’-nhóm
Cho p là số nguyên tố. Một nhóm hữu hạn được gọi là p’-nhóm nếu cấp của nó
nguyên tố cùng nhau với p.
1.3.7. π-nhóm
Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố. Khi đó nếu n là một số tự nhiên có

tất cả các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π-số.
Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π-số thì G được gọi là một
π-nhóm.
1.3.8. Nhóm con Hall
1.3.8.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm hữu hạn. Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con Hall
của G nếu H và G / H nguyên tố cùng nhau.
1.3.8.2. Định lí
Nếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại nhóm con K của G sao
cho G / H ≅ K .


6

Chứng minh
Do H là nhóm con Hall của G nên ( H , G / H ) = 1 .
Theo Định lí 1.1.7.2, ∃K ≤ G thỏaK là phần bù của H trong G.
Suy ra G =
HK ⇒ G / H ≅ K . ■
1.3.8.3. Định lí P.Hall
Cho G là một nhóm hữu hạn giải được có cấp n và k | n, ( k , n / k ) = 1 . Khi đó
(1) G chứa ít nhất một nhóm con cấp k.
(2) Hai nhóm con cấp k bất kì trong G đều liên hợp với nhau.
(3) Nếu k ′ | k thì mọi nhóm con cấp k ′ của G đều chứa trong một nhóm con cấp
k[1, 11.7, tr.54].
1.3.9. p ′ -nhóm con Hall
Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp ap m , với ( a, p ) = 1
thì một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p ′ -nhóm con Hall của G.
1.4. Nhóm giải được
1.4.1. Định nghĩa

Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con

=
1 G=
G thỏa điều kiện Gi +1 / Gi là nhóm aben ∀i .
0  G1  ...  Gn
Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy aben.
1.4.2. Tính chất
Cho nhóm G, N là nhóm con của G. Ta có các khẳng định sau:
(1) Nếu G giải được thì N giải được.
(2) Nếu G giải được, N  G thì G / N giải được.
(3) Nếu N  G , N và G / N giải được thì G giải được[6, 5.1.1].
1.4.3. Định lí
Tích hai nhóm con chuẩn tắc giải được là giải được[6, 5.1.2].
1.4.4. Định lí
Mọi p-nhóm G hữu hạn đều giải được[1, 8.14, tr.40].
1.4.5. Định lí
Cho G là một nhóm hữu hạn và giả sử với mỗi số nguyên tố p, tồn tại một p ′ nhóm con Hall của G. Khi đó G giải được[6, 9.1.8].


7

1.5. Nhóm siêu giải được
1.5.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G:

1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G trong đó Gi +1 Gi là nhóm cyclic được gọi là dãy cyclic chuẩn
tắc.
Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc.
1.5.2. Các tính chất của nhóm siêu giải được

1.5.2.1. Mệnh đề
Cho G là nhóm siêu giải được H ≤ G , N  G . Khi đó:
(1) H là nhóm siêu giải được.
(2) G / N là nhóm siêu giải được.
(3) Nếu A1 , A2 ,..., An là nhóm siêu giải được thì A1 × A2 × ... × An là nhóm siêu giải
được.
1.5.2.2. Mệnh đề
(1) Nhóm siêu giải được thỏa mãn điều kiện max.
(2) Nhóm lũy linh hữu hạn sinh là nhóm siêu giải được[6, 5.4.6].
1.5.2.3. Mệnh đề
Một nhóm là siêu giải được nếu và chỉ nếu nó có một chuỗi cyclic chuẩn tắc mà
những nhân tử có cấp vô hạn hoặc cấp nguyên tố.
1.5.2.4. Mệnh đề
Một nhóm siêu giải được có một nhóm con chuẩn tắc cyclic cấp nguyên tố hoặc
vô hạn.
1.5.2.5. Định lí
Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó :
(1) Với mọi H ≤ G , H có một nhóm con có chỉ số trong H là p với mỗi p là ước
nguyên tố của H .
(2) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow
chuẩn tắc S và S có phần bù T trong G.


8

1.6. Nhóm lũy linh
1.6.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm, dãy tâm là dãy các nhóm con chuẩn tắc của
G 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G thỏa Gi +1 / Gi ⊂ Z ( G / Gi ) ∀=
i 0, n − 1 .

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm.
Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G được gọi là lớp lũy linh của G.
1.6.2. Tính chất
(1) Mọi nhóm abel đều là nhóm lũy linh.
(2) Mọi nhóm lũy linh đều là nhóm giải được [1, 9.14, tr.45].
1.6.3. Định lí
Mọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh[6, 5.1.3].
1.6.4. Định lí
Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó:
(1) Nếu N ≤ G thì N là nhóm lũy linh.
(2) Nếu N  G thì G / N là nhóm lũy linh.
(3) Nếu A, B là nhóm lũy linh thì A × B là nhóm lũy linh[6, 5.1.4].
1.6.5. Định nghĩa
Nhóm G thỏa điều kiện chuẩn hóa nếu mọi nhóm con thực sự của nhóm G đều
thực sự nằm trong chuẩn hóa tử của nó.
1.6.6. Định lí
Mọi nhóm lũy linh đều thỏa điều kiện chuẩn hóa[1, 9.16, tr.45].
1.6.7. Hệ quả
Nếu G là nhóm lũy linh và H là nhóm con tối đại của G thì H chuẩn tắc trong
G[1, 9.17, tr.46].
1.6.8. Mệnh đề
Mọi nhóm con của nhóm lũy linh đều á chuẩn tắc[1, 9.19, tr.46].
1.6.9. Định lí
Nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp của các nhóm con
Sylow của nó[1, 9.22, tr.48].


9

1.6.10. Định lí

Đối với nhóm hữu hạn G, những điều kiện dưới đây tương đương:
(1) G lũy linh;
(2) Mọi nhóm con của G đều á chuẩn tắc;
(3) G thỏa điều kiện chuẩn hóa;
(4) Mọi nhóm con tối đại của G đều chuẩn tắc;
(5) G là tích trực tiếp của những nhóm con Sylow của nó[1, 9.26, tr.49].
1.6.11. Định lí
Cho G là nhóm lũy linh hữu hạn. Nếu P là p-nhóm con Sylow của G thì P là pnhóm con Sylow duy nhất của G hay P  G .
Chứng minh
Đặt H = N G ( P ) . Theo Định lí 1.3.5 (1) ta có N G ( H ) = H . Khi đó H = G .
Thật vậy, giả sử H < G . Do G lũy linh nên G thỏa điều kiện chuẩn hóa. Suy ra

H < N G ( H ) : mâu thuẫn.
Vậy N G ( P=
) H= G ⇒ P  G . ■
1.7. Hoán tử,nhóm con hoán tử,nhóm con dẫn xuất
1.7.1. Hoán tử
Cho G là một nhóm và
được gọi là hoán tử của

x1 , x2 ,... là các phần tử của G. Phần tử [ x1 , x2 ] = x1−1 x2−1 x1 x2

x1 và x2 . Tổng quát hơn, một hoán tử có chiều dài n ≥ 2 được

định nghĩa như sau:

[ x1 ,..., xn ] = [ x1 ,..., xn−1 ], xn 
Với quy ước [ x1 ] = x1 .




Kí hiệu [ x,n y ] =  x, y ,..., y  .



n



1.7.2. Định lí
Cho x, y , z là các phần tử của một nhóm. Khi đó:
(1) [ x, y ] = [ y , x ]

−1


10

(2) [ xy , z ] = [ x, z ] [ y , z ] và [ x, yz ] = [ x, z ][ x, y ]
y

(

−1
(3)  x, y  = [ x, y ]

y −1

)

(

−1

y

−1
và  x , y  = [ x, y ]

z

z

x −1

)

−1

x

−1
−1
−1
(4)  x, y , z   y , z , x   z, x , y  = 1 [6, 5.1.5].

1.7.3. Nhóm con hoán tử
Cho
của X 1 và

X 1 , X 2 ,... là là các tập con khác rỗng của nhómG. Khi đó nhóm con hoán tử
X 2 là

[ X 1 , X=
[ x1 , x2 ] | x1 ∈ X 1 , x2 ∈ X 2
2]
Tổng quát hơn, khi n ≥ 2
 X 1 ,..., X n  =   X 1 ,..., X n −1  , X n 

Do  x, y  =  y , x 

−1

nên  X 1 , X 2  =  X 2 , X 1  .





Kí hiệu:  X ,n Y  =  X , Y ,...,Y  .



n



Ta định nghĩa:

X 1X 2 =

x1x2 | x1 ∈ X 1 , x2 ∈ X 2 .

Nhận xét: Nếu X là tập con và H là nhóm con của một nhóm thì

X ⊆ X H  X,H .
1.7.4. Định lí
Cho X là một tập con và K , H là nhóm con của một nhóm. Khi đó:
(1) X K = X , [ X , K ] .
(2) [ X , K ] = [ X , K ] .
K

K
(3) Nếu K = Y thì [ X , K ] = [ X , Y ] .
HK
(4) Nếu H = X và K = Y thì [ H , K ] = [ X , Y ] [6, 5.1.6].

1.7.5. Nhóm con dẫn xuất
1.7.5.1. Định nghĩa
Cho

nhómG.

G G ' =
=
G, G 

Nhóm

con

sinh

bởi

tập

tất

cả

các

hoán

 x, y  | x, y ∈ G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G.

tử

của


11

1.7.5.2. Định lí
(1) G ′  G .
(2) Cho H  G . Khi đó G / H là nhóm abel khi và chỉ khi G ′ ≤ H .
Chứng minh

x ab ∈ [G, G ]
ta có b a −1 x −1a x ∈ [G , G ] . Do đó x −1a =
(1) ∀a ∈ [G , G ] và x ∈ G =
Vậy [G , G ]  G .
(2) Do G / H là nhóm abel nên
∀x, y ∈ G : xyH =
yxH

⇔ ∀x, y ∈ G : x −1 y −1 xy ∈ H
⇔ G′ ≤ H . ■

1.7.6. Định lí
Nếu N  G và N , G / N ′ giải được thì G giải được[6, 5.2.10].
1.8. Dãy chuẩn tắc,nhân tử cơ bản,dãy cơ bản
1.8.1. Dãy chuẩn tắc
Cho G là một nhóm. Một dãy các nhóm con của G: 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G sao
cho Gi  Gi +1 được gọi là dãy chuẩn tắc của G.
1.8.2. Dãy các nhóm con chuẩn tắc
Cho G là một nhóm. Một dãy các nhóm con của G: 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G sao
cho Gi  G được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G.
1.8.3. Nhân tử cơ bản
Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H / K với H , K  G và

H / K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / K .
1.8.4. Dãy cơ bản
Một dãy chuẩn tắc của G: 1 = G0 ≤ G1 ≤ ... ≤ Gn = G mà các nhân tử Gi +1 / Gi là
nhân tử cơ bản của G được gọi là dãy cơ bản trong G.


12

1.9. Hệ Sylow,System Normalizer
1.9.1. Hệ Sylow
1.9.1.1Định nghĩa
Cho G là một nhóm hữu hạn và gọi p1 , p2 ,..., pk là các ước nguyên tố phân biệt
của G . Giả sử rằng Qi là một pi′ -nhóm con Hall của G. Khi đó tập {Q1 , Q2 ,..., Qk }
được gọi là một hệ Sylow của G.
1.9.1.2. Tính chất
Một nhóm hữu hạn G có một hệ Sylow khi và chỉ khi G giải được.
1.9.2. System Normalizer
1.9.2.1. Định nghĩa
Cho {Q1 , Q2 ,..., Qk } là một hệ Sylow của nhóm hữu hạn giải được G. Nhóm con
k

N =  N G (Qi )
i =1

được gọi là một system normalizer của G.
1.9.2.2. Định lí
Trong một nhóm giải được hữu hạn, các system normalizer lũy linh và bất kì hai
system normalizer đều liên hợp với nhau[6, 9.2.4].
1.10. Phép tự đẳng cấu lũy thừa
Một tự đẳng cấu của nhóm G mà tất cả các nhóm con đều bất biến qua nó được
gọi là một phép tự đẳng cấu lũy thừa.
1.11. Nhóm con abnormal, nhóm con pronormal
1.11.1. Nhóm con abnormal
Nhóm con H của nhóm G được gọi là abnormal trong G nếu x ∈ H , H x với
mọi x ∈ G .
1.11.2. Nhóm con pronormal
Nhóm con H của nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g ∈ G ,

tồn

tại

u∈ H,H g

sao

cho

Hg = Hu

.


13

Chương 2. T -NHÓM HỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC
2.1. T -nhóm
2.1.1. Định nghĩa T -nhóm, Cp -nhóm, T -nhóm
(1) Một nhóm G được gọi là T-nhóm nếu mọi nhóm con á chuẩn tắc của G đều
chuẩn tắc trong G.
(2) Một nhóm hữu hạn G là một Cp -nhóm (với p là một số nguyên tố) nếu mọi
nhóm con củap-nhóm con Sylow P của G đều chuẩn tắc trong N G ( P ) .
(3) Một nhóm G được gọi là T -nhóm nếu tất cả nhóm con của G đều là T-nhóm.
2.1.2. Định lí
Cho G là một nhóm hữu hạn, khi đó các mệnh đề sau đây tương đương:
(1) G là một T-nhóm giải được;
(2) G là một T-nhóm siêu giải được;
(3) G là một T -nhóm;

(4) G có tính chất Cp với mọi số nguyên tố p;
(5) với mọi số nguyên tố p, các p-nhóm con của G thì pronormal trong G.
Chứng minh
Trong [7], Gaschutz chứng minh mệnh đề (1) và (2) tương đương.
Robinson trong [5] đã chứng minh mệnh đề (1), (3), (4) tương đương.
Cũng trong [5], Rose đã chỉ ra (4) và (5) tương đương.
Trong [3], Peng chỉ ra một cách độc lập rằng (1) và (5) tương đương.
Vậy (1), (2), (3), (4), (5) tương đương. ■
2.2. H -nhóm con
2.2.1. Định nghĩa H -nhóm con, H ( G )
Cho G là một nhóm. Một nhóm con H của G được gọi là một H-nhóm con của G nếu

N G ( H )  H g ≤ H (*) với mọi g ∈ G .
Tập hợp tất cả H-nhóm con của G được kí hiệu là H ( G ) .


14

Dễ thấy rằng các p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn, các nhóm con chuẩn
tắc và tự chuẩn hóa của một nhóm bất kì thỏa tính chất (*).
2.2.2. Định nghĩa N ( G ) , P ( G ) , L ( G ) , M ( G ) , SN ( G ) , N -nhóm, P -nhóm,

H * -nhóm
Cho G là một nhóm.
(1) N(G) là tập hợp tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G.
(2) L(G) là tập hợp tất cả các nhóm con của G.
(3) P(G) là tập hợp tất cả các p-nhóm con của nhóm hữu hạn G, với mọi số
nguyên tố p.
(4) M(G) là tập hợp các nhóm con tối đại của G.
(5) SN(G)là tập hợp các nhóm con tự chuẩn hóa của G.

(6) Nhóm G được gọi là N-nhóm nếu H ( G ) = N ( G ) .
(7) Nhóm G được gọi là H * -nhóm nếu H ( G ) = L ( G ) .
(8) Nhóm G được gọi là P-nhóm nếu P ( G ) ≤ H ( G ) .
Ta có M ( G ) ⊂ N ( G )  SN ( G ) ⊂ H ( G ) ⊂ L ( G ) .
2.2.3. Bổ đề
Cho G là một nhóm và N , H ≤ G .
(1) Nếu N ≤ H và N  G thì H ∈ H ( G ) khi và chỉ khi H / N ∈ H ( G / N ) .
(2) Nếu H ≤ N và G = N G ( H ) N thì H ∈ H ( N ) kéo theo H ∈ H ( G ) .
Chứng minh
(1) Lấy g ∈ G .
Ta có N G / N ( H / N ) = N G ( H ) / N .Thật vậy:

gN ∈ N G / N ( H / N ) ⇔ ( H / N )

⇔ gN ( H=
/ N)

gN

=
H/N

=
gH
( H / N ) gN ⇔

Hg

⇔ g ∈ N G ( H ) ⇔ gN ∈ N G ( H ) / N .
Khi đó H ∈ H ( G ) ⇔ N G ( H )  H g ≤ H

15
⇔ ( NG ( H )  H g ) / N ≤ H / N

⇔ NG ( H ) / N  H g / N ≤ H / N
⇔ NG/N ( H / N )  ( H / N )

gN

≤H/N

⇔ H / N ∈ H (G / N ) .
(2) Lấy g ∈ G và H ∈ H ( N ) .
Do G = N G ( H ) N nên g = kn với k ∈ N G ( H ) , n ∈ N .
g
kn
=
H=
Dễ thấy H

( kn )

−1

H ( kn
=
) n −1k −1 Hkn .

Do k ∈ N G ( H ) nên k −1 Hk = H .

⇒ H g= n −1 Hn= H n
Khi đó
g
n
N=
N=
NG ( H )  ( H n  N )
G (H )  H
G (H )  H

= N G ( H=
)  N  H n N N ( H )  H n ≤ H do H ∈ H ( N )
⇒ H ∈ H (G ) . ■

2.2.4. Mệnh đề
Cho G là một nhóm hữu hạn và π là tập gồm các số nguyên tố.
(1) Nếu H là một π-nhóm con Hall của G thì H ∈ H ( G ) .
(2) Nếu N , K  G , K ≤ N thì ảnh ngược S trong G của mỗi nhóm con Sylow

S / K của N / K thuộc vào H ( G ) . Đặc biệt, mọi nhóm con Sylow của một nhóm con
chuẩn tắc của G thuộc vào H ( G ) .
(3) Nếu N , K  G , K ≤ N và N / K giải được thì ảnh ngược H trong G của mọi
π-nhóm con Hall H / K của N / K thuộc vào H ( G ) . Đặc biệt, mọi nhóm con Hall
của một nhóm con chuẩn tắc giải được của G thuộc vào H ( G ) .


16

Chứng minh

(1) Giả sử H là mộtπ-nhóm con Hall của G. Khi đó ( H , G / H ) = 1 .
Lấy g ∈ G . Đặt K = H g  N G ( H ) .
Ta có K là π-nhóm con của N G ( H ) .
Hơn nữa H  N G ( H ) ≤ G nên ( N G ( H ) / H ) | ( G / H ) .

(

)

Suy ra H , N G ( H ) / H = 1 .
Do đóH là mộtπ-nhóm con Hall của N G ( H ) .
Mặt khác H  N G ( H ) nên HK ≤ N G ( H ) . Vì HK =

H⋅K
H K

nên HK là π-

nhóm con của N G ( H ) .
Mà H ⊂ HK và H là π-nhóm con Hall của N G ( H ) nên HK = H .

H.
Suy ra K ≤ HK =
Vậy H ∈ H ( G ) .
(2) Theo (1), do S / K là nhóm con Sylow của N / K nên S / K ∈ H ( N / K ) .
Ta có G / K là nhóm hữu hạn, N / K  G / K , S / K là nhóm con Sylow của
N / K nên theo bổ đề Frattini ta có G / K = N G / K ( S / K )( N / K ) .

Áp dụngBổ đề 2.2.3 (2),do G / K = N G / K ( S / K )( N / K ) và S / K ∈ H ( N / K )
nên S / K ∈ H ( G / K ) .

Áp dụng Bổ đề 2.2.3 (1) ta được S ∈ H ( G ) .
(3) Theo (1), do H / K là π -nhóm con Hall của N / K nên H / K ∈ H ( N / K ) .
Do N / K giải được nên theo 1.3.8.3 thì mọi π -nhóm con Hall của N / K đều
liên hợp.
Theo Bổ đề Frattini tổng quát (1.3.4) thì G / K = N G / K ( H / K )( N / K ) .


17
Tương tự (2), áp dụng Bổ đề 2.2.3 (2), do G / K = N G / K ( H / K )( N / K ) và

H / K ∈ H ( N / K ) nên H / K ∈ H ( G / K ) .
Áp dụng Bổ đề 2.2.3 (1) ta được H ∈ H ( G ) . ■
2.2.5. Hệ quả
Cho G là một nhóm hữu hạn và S là p-nhóm con Sylow của G.
(1) Nếu N  G thì S  N và SN thuộc H ( G ) .
(2) Nếu G siêu giải được thì S có một dãy cơ bản Σ mà các thành phần
thuộc H ( G ) .
(3) Nếu G giải được thìScó một dãy chuẩn tắc với các nhân tử abel, có các thành
phần thuộc H ( G ) .
Chứng minh
(1) Vì S  N là p-nhóm con Sylow của N và N  G nên theo Mệnh đề 2.2.4 (2)
ta có S  N ∈ H ( G ) .
Vì SN / N là p-nhóm con Sylow của G / N nên theo Mệnh đề 2.2.4 (1) ta có
SN / N ∈ H ( G / N ) .

Áp dụng Bổ đề 2.2.3 (1) ta có SN ∈ H ( G ) .
(2) Do G hữu hạn nên G luôn có dãy cơ bản

1 = N 0 ≤ N1 ≤ ... ≤ N n = G
với N i  G , ∀i và N i +1 / N i là nhân tử cơ bản của G.

Khi đó chuỗi
=
1 S  N 0 ≤ S  N1 ≤ ... ≤ S  =
N n S (*)
có S  N i  S và ( S  N i +1 ) / ( S  N i ) là nhân tử cơ bản của S.

( S  N ) / ( S  N ) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của
i +1

i

S / ( S  Ni ) .

Theo (1) thì S  N i ∈ H ( G ) .
Vậy chuỗi Σ thu được bằng cách loại bỏ các thành phần giống nhau của chuỗi (*).
(3) Do G giải được nên G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử abel

=
1 N=
 N1  ...  N n G .
0


18

Ta có N i +1 / N i là nhóm abel.
Khi đó chuỗi

=
1 S  N 0 ≤ S  N1 ≤ ... ≤ S  =

Nn S
có S  N i  S  N i +1 và ( S  N i +1 ) / ( S  N i ) là nhóm abel.■
* Nếu G giải được thì Hệ quả 2.2.5 cũng đúng nếu S là nhóm con Hall của G.
2.2.6. Bổ đề
Cho G là một nhóm và H ∈ H ( G ) . Nếu H ≤ K ≤ N G ( H ) thì N G ( K ) ≤ N G ( H ) .
Chứng minh
Lấy g ∈ N G ( K ) .Khi đó H , H g ≤ K ≤ N G ( H ) .
Mặt khác do H ∈ H ( G ) nên N G ( H )  H g ≤ H

⇒Hg ≤ H ⇒Hg =
H

⇒ g ∈ NG ( H ) ⇒ NG ( K ) ≤ NG ( H ) . ■
2.2.7. Định lí
Cho G là một nhóm và H ∈ H ( G ) .
(1) N G ( N G ( H ) ) = N G ( H ) , do đó N G ( H ) ∈ H ( G ) .
(2) Nếu H  K ≤ G thì H  K .
(3) Nếu N  G và N ≤ N G ( H ) thì N G ( HN ) = N G ( H ) và HN ∈ H ( G ) .
Chứng minh
(1) Áp dụng Bổ đề 2.2.6 với K = N G ( H ) .
Ta có H ∈ H ( G ) , H ≤ K ≤ N G ( H ) nên N G ( K ) ≤ N G ( H )
hay N G ( N G ( H ) ) ≤ N G ( H ) ⇒ N G ( N G ( H ) ) =
NG ( H ) .
Hơn nữa N G ( N=
NG ( H )  NG ( H ) ≤ NG ( H ) .
G ( H ))  NG ( H )
g

g

Suy ra N G ( H ) ∈ H ( G ) .

=
 H 1  ...  H n K là dãy chuẩn tắc giữa H và K.
(2) Giả sử H H=
0
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo độ dàincủa dãy.


19

Với n = 1 thì H  K .
Giả sử n > 1 và H  H n −1  K .
Khi đó H ≤ H n −1 ≤ N G ( H ) .
Áp

dụng

bổ

đề

2.2.6,

do

H ∈ H (G )

và

H ≤ H n −1 ≤ N G ( H ) nên

N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H ) .
⇒ K = H n ≤ N G ( H n −1 ) ≤ N G ( H )
⇒H K
Vậy theo quy nạp thì H  K .
(3) Dễ thấy N G ( H ) ≤ N G ( HN ) .Thật vậy:

g ∈ N G ( H ) ⇒ gHg −1 =
H
−1
−1
gHg −1 gNg=
HN
⇒ gHNg=

⇒ g ∈ N G ( HN ) ⇒ N G ( H ) ≤ N G ( HN ) .
Mặt khác H ≤ HN ≤ N G ( H ) nên theo Bổ đề 2.2.6 thì N G ( HN ) ≤ N G ( H )
Vậy N G ( HN ) = N G ( H ) .
−1
1
=
gHg −=
gNg −1 H g N do N  G .
Với g ∈ G thì =
( HN ) gHNg
g

N G ( HN )  ( HN ) = N G ( H )  ( H g N )
g

=

H ) N )  ( H N ) ( N ( H )  H ) N ≤ HN
( N (=
g

G

g

G

⇒ HN ∈ H ( G ) . ■
2.2.8. Bổ đề
Cho G là một nhóm và H , K , N là nhóm con của G thỏa H ∈ H ( G ) , H ≤ K và

N  G . Khi đó ta có:
(1) Nếu N ≤ N G ( H ) thì HN / N ∈ H ( G / N ) .
(2) H ∈ H ( K ) .


20

Chứng minh
(1) Áp dụng Định lí 2.2.7 (3), do H ∈ H ( G ) , N  G và N ≤ N G ( H ) nên

HN ∈ H ( G ) .
Theo

Bổ

đề

2.2.3

(1),

do

N ≤ HN , N  G

và

HN ∈ H ( G )

nên

HN / N ∈ H ( G / N ) .
(2) Lấy k ∈ K
Dễ thấy N K ( H ) ≤ N G ( H ) .

H , suy ra a ∈ N G ( H ) .
Thật vậy với a ∈ N K ( H ) thì a ∈ G , H =
a

Ta có N K ( H )  H k ≤ N G ( H )  H k .
Do k ∈ G, H ∈ H ( G ) nên N G ( H )  H k ≤ H

⇒ NK (H )  H k ≤ H ⇒ H ∈ H (K ) . ■

2.3. T -nhóm hữu hạn siêu giải được
2.3.1. Định lí
Cho G là một nhóm.
(1) Nếu G lũy linh thì H ( G ) = N ( G ) .
(2) Nếu G hữu hạn thì G lũy linh khi và chỉ khi H ( G ) = N ( G ) .
(3) Nếu G lũy linh thì H ( G ) = L ( G ) khi và chỉ khi G là nhóm Dedekind. Đặc
biệt, nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn có cấp lẻ và H ( G ) = L ( G ) thì G abel.
Chứng minh
(1) Nếu G lũy linh thì theo Mệnh đề 1.6.8, mọi nhóm con của G đều á chuẩn tắc.
Xét H ∈ H ( G ) . Khi đó H á chuẩn tắc trong G.
Áp dụng Định lí 2.2.7 (2), do H  G và H ∈ H ( G ) nên H  G .

N (G ) .
⇒ H ∈ N (G ) ⇒ H (G ) =
(2) Điều kiện cần:
Theo (1) ta đã có nếu G lũy linh thì H ( G ) = N ( G ) .