Phương pháp giải bài tập điện động lực học

Trang 1

MỤC LỤC
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 1
T
0

T
0

LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 5
T
0

T
0

PHẦN I: LÝ THUYẾT .................................................................................................... 7
T
0

T
0

CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTƠ .................................................................................. 7
T
0

T
0

1.1 Hệ tọa độ: ............................................................................................................... 7
T
0

T
0

1.1.1 Hệ tọa độ cong: ............................................................................................... 7
T
0

T
0

1.1.2 Hệ tọa độ Descartes:........................................................................................ 8
T
0

T
0

1.1.3 Hệ tọa độ trụ: ................................................................................................... 8
T
0

T
0

1.1.4 Hệ tọa độ cầu ................................................................................................... 8
T

0

T
0

1.2 Gradient: ................................................................................................................. 9
T
0

T
0

1.3 Divergence và Định lí Gauss – Ôxtrogratxki: ...................................................... 10
T
0

T
0

1.3.1 Định nghĩa: .................................................................................................... 10
T
0

T
0

1.3.2 Định lí divergence( định lý Gauss- Ôxtrogratxki): ....................................... 10
T
0

T
0

1.4 Rota và định lý Stokes: ........................................................................................ 11
T
0

T
0

1.4.1 Định nghĩa: .................................................................................................... 11
T
0

T
0

1.4.2 Định lý Stokes: .............................................................................................. 12
T
0

T
0

1.5 Toán tử Laplace:................................................................................................... 12
T
0

T
0

1.6 Một số hệ thức vectơ thường gặp:........................................................................ 13
T
0

T
0

1.7 Một số hệ quả: ...................................................................................................... 13
T
0

T
0

CHƯƠNG 2 :NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ. .............. 14
T
0

Luận văn tốt nghiệp

T
0

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 2



2.1 Vectơ cường độ điện trường E : ........................................................................... 14

2.2 Vectơ cảm ứng từ B : ........................................................................................... 15
T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

2.3 Định luật bảo toàn điện tích và phương trình liên tục: ........................................ 16
T
0

T
0

2.4 Định luật Gauss cho điện trường: ........................................................................ 17
T
0

T
0

2.5 Định luật Gauss cho từ trường: ............................................................................ 17
T
0

T
0

2.6 Định luật Faraday về cảm ứng điện từ: ................................................................ 18
T
0

T
0

2.7 Định luật Ampere về lưu thông của vectơ cảm ứng từ: ....................................... 18
T
0

T

0

2.8 Hệ phương trình Maxwell trong chân không: ...................................................... 20

2.9 Vectơ cảm ứng điện D : ........................................................................................ 22

2.10 Vectơ cường độ từ trường H : ............................................................................ 23
T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

2.11 Hệ phương trình Maxwell trong môi trường vật chất: ....................................... 24
T
0

T
0

2.12 Điều kiện biên: ................................................................................................... 24

2.12.1 Điều kiện biên của B .................................................................................. 25

2.12.2 Điều kiện biên của D : ................................................................................. 26

2.12.3 Điều kiện biên của E : .................................................................................. 27

2.12.4 Điều kiện biên của H : ................................................................................. 28
T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T
0

T

0

T
0

T
0

T
0

CHƯƠNG 3: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH ........................................................................... 30
T
0

T
0

3.1 Hệ phương trinh Maxwell mô tả điện trường tĩnh: ............................................. 30
T
0

T
0

3.2 Thế vô hướng của điện trường tĩnh: ..................................................................... 30
T
0

T

0

3.3 Phương trình Poisson và phương trình Laplace: .................................................. 33
T
0

T
0

CHƯƠNG 4: TỪ TRƯỜNG DỪNG ............................................................................. 35
T
0

T
0

4.1 Hệ phương trình Maxwell mô tả từ trường dừng:................................................ 35
T
0

Luận văn tốt nghiệp

T
0

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 3



4.2 Khảo sát từ trường dừng dùng thế vectơ A : ......................................................... 35
T
0

T
0

T
0

T
0



4.2.1 Thế vectơ A .................................................................................................. 35
T
0

T
0

4.2.2 Phương trình Poisson- Phương trình Laplace: .............................................. 36
T
0

T
0



4.2.3 Nghiệm A của phương trình Poisson – phương trình Laplace: ................... 36
T
0

T
0

T
0

T
0

PHẦN HAI: BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ........................................... 40
T
0

T
0

CHƯƠNG 1: ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH. .......................................................................... 40
T
0

T
0

Dạng 1: Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường → Xác định vectơ cường độ
T
0

T
0

T
0

điện trường. ................................................................................................................ 40
T
0

Dạng 2: Áp dụng định luât Gauss cho bài toán đối xứng trụ, đối xứng cầu, đối xứng
T
0

phẳng,… → xác định vectơ cường độ điện trường,điện thế,… .................................. 45
T
0

T
0

T
0

Dạng 3: Áp dụng phương pháp ảnh điện để xác định các yếu tố trong điện trường. 50
T

0

T
0

Dạng 4: Áp dụng giải phương trình Poisson – Laplace cho các bài toán có tính đối
T
0

xứng trụ, đối xứng cầu với phân bố điện tích khối để khảo sát điện trường tĩnh. ..... 57
T
0

Dạng 5: Cho một số yếu tố trường điện để xác định sự phân bố điện tích. ............... 69
T
0

T
0

CHƯƠNG 2: TỪ TRƯỜNG DỪNG. ............................................................................ 72
T
0

T
0

Dạng 1: Áp dụng định luật Bio-Savart, nguyên lý chồng chất cho phân bố liên tục để
T
0

xác định các yếu tố của từ trường. ............................................................................. 72
T
0

Dạng 2: Áp dụng định luật Ampere về lưu thông của vectơ cảm ứng từ . Từ đó có
T
0

thể xác định các yếu tố trong từ trường. ................................................................... 75
T
0



Dạng 3: Áp dụng giải phương trình Poisson – Laplace đối với thế vectơ A cho các
T
0

T
0

T
0

bài toán có tính đối xứng cầu, đối xứng trụ để khảo sát từ trường dừng. .................. 78
T
0

Dạng 4: Áp dụng phương pháp ảnh điện để khảo sát từ trường dừng. ...................... 83

T
0

T
0

PHẦN BA: KẾT LUẬN ................................................................................................ 86
T
0

Luận văn tốt nghiệp

T
0

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 4

TÀI LIỆU THAM KHẢO:............................................................................................. 87
T
0

Luận văn tốt nghiệp

T
0

SVTH : Phạm Thị Minh Giang

Trang 5

LỜI MỞ ĐẦU
Bài tập vật lý có vai trò quan trọng trong nhận thức và phát triển tư duy của người học.
Nó giúp cho người học đào sâu và mở rộng kiến thức đã học, vận dụng kỹ năng, kỹ
xảo để giải từng loại bài tập. Vì vậy, đưa ra các dạng và phương pháp chung để giải các
dạng đó là cần thiết.
Điện động lực học là một bộ môn thuộc vật lý lý thuyết nên có nội dung vật lý và
phương pháp toán học. Điện động lực vĩ mô nghiên cứu và biểu diễn những quy luật
tổng quát nhất của trường điện từ và tương quan của nó với nguồn gây ra trường.
Và sau khi đã học môn điện động lực học, tôi nhận thấy rằng đây là môn khó, phải biết
được quy luật, bản chất vật lý và các phương pháp toán học ( phương trình, hàm số, các
toán tử,…) trong khi kiến thức về toán học còn hạn chế. Do đó, việc giải bài tập điện
động lực học sẽ gặp khó khăn. Chính vì lí do đó nên tôi chọn tên đề tài:
“ Phương pháp giải bài tập điện động lực học”.
Bài luận tập trung vào hai chương chính đó là: Điện trường tĩnh và Từ trường dừng của
Điện động lực học vĩ mô thuộc học phần Điện động lực học.
Trong bài luận này gồm hai phần:
Phần một: “Lý thuyết” – tóm tắt những nội dung lý thuyết cơ bản của hai chương
trong phạm vi nghiên cứu và chương giải tích vectơ là công cụ khảo sát Trường điện từ
và hỗ trợ cho việc giải tập. Bao gồm:
Chương 1: Giải tích vectơ.
Chương 2: Những định luật cơ bản của trường điện từ.
Chương 3: Điện trường tĩnh.
Chương 4: Từ trường dừng.
Phần hai: “Bài tập và phương pháp giải” – trình bày các phương pháp sử dụng để
giải các bài tập điện động lực và các bài tập mẫu trong hai chương nghiên cứu. Bao
gồm:

Chương 1: Điện trường tĩnh.

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 6

Chương 2: Từ trường dừng.
Với bài luận này sẽ cung cấp cho các bạn sinh viên các phương pháp giải bài tập điện
động lực cũng như là tài liệu tham khảo phục vụ trong việc học tập.

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 7

PHẦN I: LÝ THUYẾT
CHƯƠNG 1: GIẢI TÍCH VECTƠ
1.1 Hệ tọa độ:
Các đại lượng điện từ trong trường hợp tổng quát là các hàm của vị trí và thời gian.
Nếu là đại lượng vectơ, hướng của chúng có thể thay đổi trong không gian. Để xác
định vị trí, hướng trong không gian ta dùng hệ tọa độ. Tùy từng bài toán mà chúng ta
có thể sử dụng các hệ tọa độ khác nhau cho phù hợp để giải bài toán cho đơn giản và
nhanh nhất.
1.1.1 Hệ tọa độ cong:
Trong không gian 3 chiều, xét 3 họ mặt cong độc lập:

f 1 (x,y,z) = u 1 ; f 2 (x,y,z)= u 2 ; f 3 (x,y,z)= u 3
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Ba mặt u 1 = const, u 2 = const, u 3 = const cắt nhau tại điểm P. Do đó 3 thông số u 1 , u 2 ,u 3
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

xác định một điểm: P(u 1 , u 2 ,u 3 ). Và u 1 , u 2 , u 3 được gọi là tọa độ cong.
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Gọi dl 1 , dl 2 , dl 3 là những yếu tố dài trên các đường tọa độ u 1 , u 2 , u 3 . Trong trường hợp
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

tổng quát:
dl 1 =h 1 du 1
R

R

R

R

R

R

dl 2 =h 2 du 2
R

R

R

R

dl 3 =h 3 du 3

R

R

R

R

R

R

R

Hệ số h 1 , h 2 , h 3 gọi là hệ số Larmor - là hàm của các tọa độ cong. Đối với hệ tọa độ
R

R

R

R

R

R

trực giao, yếu tố dài:
dl2=dl 1 2 + dl 2 2 + dl 3 2 hay dl2 = h 1 2du 1 2 + h 2 2du 2 2 + h 3 2du 3 2
P

P

R

RP

P

R

RP

P

R

RP

2

P

P

2

 ∂x   ∂y   ∂z 
h =
 +
 +

 ∂u1   ∂u1   ∂u1 

P

R

RP

P

R

RP

P

R

RP

P

R

RP

P

R

RP

P

R

RP

2

2
1

2

2

 ∂x   ∂y   ∂z 
h =
 +
 +


 ∂u 2   ∂u 2   ∂u 2 

2

2
2

………………………………………
2

hay h i =
R

R

2

 ∂x   ∂y   ∂z 

 +
 +

∂
∂
u
u
 i   i   ∂u i 

Luận văn tốt nghiệp

2

với i= 1,2,3…

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 8

1.1.2 Hệ tọa độ Descartes:

u=
1

x=

Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ là 3 mặt phẳng: u 2=

const

y= const cắt nhau tại P(x,y,z)

u 3=

z=

const

     

Vectơ đơn vị i1 = i x , i 2 = i y , i3 = i z không thay đổi trong không gian;
        
ix =×
iy iz ; iy =×
iz ix ; iz =×
ix iy
Hệ số Larmor: h 1 = 1, h 2 = 1, h 3 = 1
R

R

R

R

R

R

Yếu tố thể tích: dV = dxdydz






Vectơ vị trí r vẽ từ gốc tọa độ đến điểm P(x,y,z): r = x ix + yiy + z iz
1.1.3 Hệ tọa độ trụ:



Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ ρ , ϕ , z cắt nhau tại P có tọa độ r ( ρ, ϕ, z )
z
        
Các vectơ đơn vị : iρ =×
iϕ iz ; iϕ =×
iz iρ ; iz =×
iρ iϕ
x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = z. Suy ra:


r

Hệ số Larmor: h 1 = 1, h 2 = r, h 3 = 1
R

R

R

R

R

M

R

O

Yếu tố thể tích: dV =ρdρdϕdz




ϕ
ρ



Vectơ vị trí xác định điểm P ( ρ , ϕ , z): r =ρ iρ + ziz

y

x

1.1.4 Hệ tọa độ cầu



Ba mặt tọa độ trực giao tương hổ r, θ, ϕ cắt nhau tại P có tọa độ r ( r, θ, ϕ )
z
  
  

 
Các vectơ đơn vị: ir= iθ × i ϕ , iθ= iϕ × i r , iϕ= ir × i θ
Vì: x = rsinθcos ϕ , y = rsinθsin ϕ , z = rcosθ
Hệ số Larmor : h 1 = 1 , h 2 = r , h 3 = rsinθ
R

R

R

R

R

θ r

R

Yếu tố thể tích: dV = r sinθdrdθd ϕ
2
P

P



Vectơ vị trí xác định điểm P(r, θ, ϕ ): r = r. i r
Luận văn tốt nghiệp

ϕ

y

x

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 9

1.2 Gradient:
Gradient là một toán tử tác dụng lên một hàm vô hướng, kết quả được một hàm vectơ –
vectơ gradient.
Ký hiệu: gradϕ = ∇ϕ

ϕ(x, y,z)
Xét trường vô hướng của hàm: ϕ(r) =
Grad của φ là vectơ có hướng mà φ tăng nhanh nhất và có độ lớn bằng đạo hàm
theo hướng đó.

Trong hệ tọa độ Descartes:

∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ 
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z

grad
=
ϕ

2

 ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ 
Độ lớn của grad φ: gradϕ =   +   +  
 ∂x   ∂y   ∂z 
2

Kí hiệu: ∇ toán tử vi phân (napla) :=
∇
R

2

∂  ∂  ∂ 
i+
j+ k
∂x
∂y
∂z

Trong hệ tọa độ cong :

=
gradϕ

1 ∂ϕ  1 ∂ϕ  1 ∂ϕ 
i1 +
i2 +
i3
h1 ∂u1
h 2 ∂u 2

h 3 ∂u 3

Áp dụng:

hρ =
1; h 2 =
hφ =
ρ; h 3 =
hz =
1
 h1 =

+ Trong hệ tọa độ trụ: 

ρ; u 2 =
φ; u 3 =
z.
 u1 =

Khi đó: grad
=
ϕ

∂ϕ 
1 ∂ϕ  ∂ϕ 
iρ +
iφ +
iz
∂ρ
ρ ∂φ

∂z

h=
1;h=
h=
r;h=
h=
rSinθ.
h=
1
r
2
θ
3
φ

+ Trong hệ tọa độ cầu: 

θ;u 3 =
φ.
r;u 2 =
 u1 =

Khi đó: grad
=
ϕ

∂ϕ  1 ∂ϕ 
1 ∂ϕ 
ir +

iθ +
iφ
∂r
r ∂θ
rSinθ ∂φ

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 10

1.3 Divergence và Định lí Gauss – Ôxtrogratxki:
1.3.1 Định nghĩa:



Cường độ của nguồn đặc trưng bởi toán tử divergence. Divergence của vectơ A tại
một điểm của trường là một Vô hướng, định nghĩa bởi biểu thức:
 
AdS
∫

∆S
divA = lim
∆V →0 ∆V




Ký hiệu: divA = ∇.A

 ∂A x ∂A y ∂A z
Trong hệ tọa độ Descartes: divA =
+
+
∂x
∂y
∂z


=
divA
Trong hệ tọa độ cong:

1  ∂ ( A1h 2 h 3 ) ∂ ( A 2 h 3h1 ) ∂ ( A 3h1h 2 ) 
+
+


h1h 2 h 3 
∂u1
∂u 2
∂u 3


Áp dụng:

hρ =

1; h 2 =
hϕ =
ρ; h 3 =
hz =
1
 h1 =

+ Trong hệ tọa độ trụ: 

ρ; u 2 =
ϕ; u 3 =
z.
 u1 =

 1 ∂
1 ∂A ϕ ∂A z
Khi đó: divA=
ρA ρ ) +
+
(
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z

h=
1;h=
h=
r;h=
h=
rSinθ.

h=
θ
ϕ
1
r
2
3

+ Trong hệ tọa độ cầu: 

r;u 2 =
θ;u 3 =
ϕ.
 u1 =


Khi đó: =
divA

∂
1 ∂ 2
1
1 ∂A ϕ
+
θ
+
r
A
.
sin

.A
.
(
)
(
)
r
θ
r 2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ

1.3.2 Định lí divergence( định lý Gauss- Ôxtrogratxki):
Thông lượng của vectơ qua mặt kín bằng tích phân khối của đive của vectơ đó.

 
divA.dV
=
A.dS
∫
∫
V

S

Định lí divergence trên cho phép thay thế tích phân thể tích bằng tích phân mặt và
ngược lại.

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 11

1.4 Rota và định lý Stokes:
1.4.1 Định nghĩa:
Ngoài toán tử divergence, toán tử rota cũng đặc trưng cho trường vectơ. Rota của vectơ


A tại một điểm là một vectơ, theo định nghĩa:


rotA.in = lim

∆S→0



Ký hiệu: rotA = ∇ × A

 
A.dl
∫
∆l

∆S


ix


∂
Trong hệ tọa độ Decates, rota được định nghĩa: rotA =
∂x
Ax


Trong hệ tọa độ cong được định nghĩa: rotA =

1
h1h 2 h 3


iy
∂
∂y
Ay


iz
∂
∂z
Az


h1 i1
∂
∂u1



h 2 i2
∂
∂u 2


h 3 i3
∂
∂u 3

h1A1

h 2A2

h 3A3

Áp dụng:

hρ =
1; h 2 =
hϕ =
ρ; h 3 =
hz =
1
 h1 =

+ Trong hệ tọa độ trụ: 

ρ; u 2 =
ϕ; u 3 =
z.

 u1 =


iρ
 1 ∂
Khi đó: rotA =
ρ ∂ρ
Aρ


ρ iϕ
∂
∂ϕ
ρA ϕ


iz
∂
∂z
Az

h=
1;h=
h=
r;h=
h=
rSinθ.
h=
1
r

2
θ
3
ϕ

+ Trong hệ tọa độ cầu: 

θ;u 3 =
ϕ.
r;u 2 =
 u1 =

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 12


ir

1
∂
Khi đó: rotA = 2
r Sinθ ∂r
Ar


riθ

∂
∂θ
rA θ


rSinθ iϕ
∂
∂ϕ
rSinθA ϕ

1.4.2 Định lý Stokes:
Lưu số của một vectơ dọc theo chu tuyến kín bằng thông lượng của rôta vectơ đó qua
mặt giới hạn bởi chu tuyến đã cho.

 
 
rotA.dS
=
A.dl
∫
∫
S

C

1.5 Toán tử Laplace:
Toán tử Laplace tác dụng lên hàm vô hướng được xác định như đivergence tác dụng
lên hàm gradient của ϕ .
Kí hiệu: ∆ toán tử Laplace

∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
Trong hệ tọa độ Decartes: =
∆ψ
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Trong hệ tọa độ cong Laplace được định nghĩa:

1  ∂  h 2 h 3 ∂ψ  ∂  h 3h1 ∂ψ  ∂  h1h 2 ∂ψ  




+

+
h1h 2 h 3  ∂u1  h1 ∂u1  ∂u 2  h 2 ∂u 2  ∂u 3  h 3 ∂u 3  
Áp dụng:
∆ψ

hρ =
1; h 2 =
hϕ =
hz =
1
ρ; h 3 =
 h1 =

+ Trong hệ tọa độ trụ: 
R

z.
ρ; u 2 =
ϕ; u 3 =
 u1 =

1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ
Khi đó:=
∆ψ
ρ
+
+
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ2 ∂ϕ2
∂z 2

h=
1;h=
h=
r;h=
h=
rSinθ.
h=
1
r
2
θ
3
ϕ

+ Trong hệ tọa độ cầu: 

r;u 2 =
θ;u 3 =
ϕ.
 u1 =

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 13

Khi đó: ∆ψ
=

1 ∂  2 ∂ψ 
1
∂ 
∂ψ 
1
∂ 2ψ
r
+
Sin
θ
+





∂θ  r 2Sin 2θ ∂ϕ2
r 2 ∂r  ∂r  r 2Sinθ ∂θ 

1.6 Một số hệ thức vectơ thường gặp:

 
A.B = A1B1 + A 2 B2 + A 3B3
        
A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) =
0

  
     
A × (B ×=
C) B(A.C) − C(B.A)
 
 
      
(A × B) × (C × D) = (A × B.D)C − (A × B.C)D
  
     
A × (B ×=
C) B(A.C) − C(A.B)
   
   
  
(A × B).(C=
× .D) (A.C)(B.D) − (B.C)(A.D)
  

  
  
A.(B × C)= B.(C × A)= C.(A × B)
1.7 Một số hệ quả:

a)grad(f + g)
= gradf + gradg
 


b)div(A + B)= divA + divB
 


c)rot(A + B)= rotA + rotB

d)grad(f.g)
= f (gradg) + g(gradf )

 
e)div(fA)
= fdivA + Agradf



 
f )rot(fA)
= gradf × A + frotA
= frotA − A × gradf
  




 
 
g)grad(A.B) = A × (rotB) + B × (rotA) + (A.grad)B + (B.grad)A

h)div(rotA) = 0
i)rot(gradf ) = 0

j)div(gradf ) =
∇ 2f =
∆f

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 14

CHƯƠNG 2 :NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ.
Trường điện từ tại mỗi điểm được đặc trưng bởi bốn đại lượng: vectơ cường độ điện




trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cường độ từ trường H , vectơ cảm ứng từ B .
Các đại lượng này là các hàm tọa độ và thời gian và chúng có liên hệ với nhau với các
điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định. Những quy luật này được

phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình liên hệ.

2.1 Vectơ cường độ điện trường E :
Là đại lượng đặc trưng cho điện trường về phương diện tác dụng lực.
Điện tích q đặt trong trường điện chịu tác dụng của lực điện. tại mỗi điểm của trường

Fe
điện, tỷ số
là một đại lượng không đổi được gọi là cường độ điện trường tại điểm
q

 Fe
1 Q 
đó. =
E
=
R o (V/m)
q
4πε o R 2
R: khoảng cách từ điện tích điểm Q đến điểm ta xét.
Thực nghiệm chứng tỏ, điện trường của một hệ điện tích điểm tuân theo nguyên lý
chồng chất điện trường của hệ điện tích bằng tổng ( vectơ) các điện trường của tổng


=
E
điện tích.



1

=
E ∑
∑
4πε
i

i

i

o

Q 
R oi
R2

Muốn tính cường độ điện trường gắn với hệ điện tích có phân bố liên tục ta phải chia
không gian có điện tích thành những ∆V đủ nhỏ, mỗi phần xem như một điện tích
điểm. Sau đó dùng nguyên lý chồng chất xác định điện trường cho cả hệ.



dQ
1 ρR o
Đối với phân bố khối:=
: mật độ điện tích khối
E ∫=
dE

dV ; với ρ =
2
∫
dV
4πε o V R
V



dQ
1 σR o
σ
=
;
với
: mật độ điện tích mặt
Đối với phân bố mặt:=
E ∫=
dE
dS
2
∫
dS
4
πε
R
o S
S

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 15


Đối với phân bố đường:=
E


dQ
λR o
1
: mật độ điện tích đường
dl ; với λ =
2
∫
dl
4πε o L R


dE
∫=
L


2.2 Vectơ cảm ứng từ B :

Là đại lượng đặc trưng cho trường từ về phương diện tác dụng lực.

Xuất phát từ định luật tương tác giữa hai phần tử dòng điện:
 
 µ  I1 dl1 × R o
o
=
dF
I 2 dl 2 ×
4π
R2
 
 µ I dl × R
Ta nhận thấy rằng: dB = o 1 1 2 o
4π
R

Chỉ phụ thuộc vào phần tử dòng điện I1 dl1 sinh ra từ trường và vị trí của điểm M tại đó


đặt phần tử dòng điện I 2 dl2 mà không phụ thuộc vào phần tử dòng điện I 2 dl2 . Và


vectơ B được gọi là vectơ cảm ứng từ do phần tử dòng điện I1 dl1 gây ra tại điểm M.

(

)

Theo thực nghiệm đã chứng tỏ, vectơ cảm ứng từ cũng tuân theo nguyên lý chồng chất:

vectơ cảm ứng từ B của nhiều dòng điện bằng tổng các vectơ cảm ứng từ do từng

  

dòng điện sinh ra: B = B1 + B2 + ... + Bn =


B
∑ i
n

i =1

do đó từ trường của một mạch kín L có dòng điện I chạy qua được tính bằng công thức:
 
 µ o I dl × R
B=
∫L R 3
4π 
 
 
dF I 2 dl2 × dB
Từ đó, ta có từ lực tác dụng lên yếu tố dòng I 2 dl2 :=
Trong trường hợp dòng điện có phân bố khối (hoặc phân bố đường) mỗi điện tích
chuyển động vạch nên đường dòng.
Vectơ mật độ dòng điện: là lượng điện tích chạy qua một đơn vị diện tích đặt vuông
góc với các đường dòng sau một đơn vị thời gian.







Vectơ mật độ dòng điện khối: j =ρv → yếu tố dòng trong phân bố khối: jdV .

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 16







Vectơ mật độ dòng điện mặt: i =σv → yếu tố dòng trong phân bố mặt: idS .

Công thứ tính B cho các phân bố như sau:
 
 µo j × R
Phân bố khối: B =
dV
4π V∫ R 3
 
 µo i × R
Phân bố mặt: B =
dS

4π ∫S R 3
Đó chính là công thức Biot - Savart.
2.3 Định luật bảo toàn điện tích và phương trình liên tục:
Một trong những định luật quan trọng nhất của điện động lực học là định luât bảo toàn
điện tích với nội dung sau: Tổng đại số các điện tích trong một hệ cô lập là không đổi.
Để xây dựng định luật bảo toàn điện tích dưới dạng vi phân ta đưa vào khái niệm mật





độ dòng: j = ρv



Trong đó : v là vận tốc của điện tích điểm mà mật độ điện tích ρ được xác định.
Lượng điện tích chảy qua mặt kín S bao quanh thể tích V trong một đơn vị thời gian



bằng thông lượng của vectơ mật độ dòng j qua S. Mặt khác, vì điện tích là bảo toàn
nên lượng điện tích này chính bằng biến thiên của Q sau một đơn vị thời gian. Nghĩa
là:

 
dQ

∫S jdS = - dt

∫

dQ d
Mà Q = ρdV nên
=
ρdV
=
dt dt V∫
V

V

 
∂ρ

∫S jdS = -V∫ ∂t dV

Do đó:

Áp dụng định luật Gauss toán học :

 

A.dS
=
divA.dV
∫
∫
S

Suy ra:

∂ρ

∫ ∂t dV

R

V

 

∂ρ
∂ρ
  ∂ρ 
j.dS
=
−
.dV
⇒
divj.dV
=
−
.dV
⇒
0
∫S
∫V ∂t
∫V
∫V ∂t
∫V  divj + ∂t  .dV =

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 17

 ∂ρ
Công thức trên đúng với mọi thể tích V cho trước, nên: divj +
=
0 (*)
∂t

Phương trình (*) là phương trình liên tục, biểu thị định luật bảo toàn điện tích.
2.4 Định luật Gauss cho điện trường:


Thông lượng của vectơ cường độ điện trường E qua một mặt kín S tỷ lệ với tổng đại số

các điện tích chứa trong mặt kín ấy.
 
1
E.dS
=
∑ Qi

∫S
εo i

Nếu phân bố là liên tục thì

∑ Q = ∫ ρ.dV . Và áp dụng định luật Gauss toán học cho
i

i

vế trái

 
E.dS
=

∫
S

V


. Ta suy ra rằng:
divE.dV
∫

V


1
divE.dV
=
∫V

∫ ρ.dV ⇒
εo V



ρ 
divE
−

dV = 0
∫V 
εo 

 ρ

ρ
= 0 ⇒ divE =
Vì đúng với mọi V nên : divE εo
εo
Ý nghĩa: Các đường sức điện xuất phát (hay tận cùng) tại các điện tích (hay nguyên

nhân sinh ra điện trường E là điện tích).
U

U

2.5 Định luật Gauss cho từ trường:

Thông lượng của vectơ cảm ứng từ B qua một mặt kín bất kỳ bằng không.
 

B.dS
=0

∫
S

Áp dụng định luật Gauss toán học, ta có:
 
=

∫ B.dS
S



divB.dV
∫=

0

V



Vì đúng với mọi V nên divB = 0
Ý nghĩa: các đường sức từ là những đường cong khép kín hay trong thiên nhiên không
U

U

tồn tại từ tích.

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 18

2.6 Định luật Faraday về cảm ứng điện từ:
Xuất phát từ định luật Faraday về cảm ứng điện từ : Nếu qua mặt S được giới hạn một
khung dây có sự biến thiên của từ thông φ theo thời gian thì trong khung dây đó sẽ xuất
hiện một suất điện động cảm ứng.
∂φ
∂t
Suất điện động cảm ứng được xem như lưu thông của vectơ điện trường theo vòng dây
ε=−

 

dẫn. Tức là: ε =
∫ E.dl
 

Và từ thông: φ = 
∫ B.dS
Khi đó, ta có:

 
∂

E.dl
= −

∫L
∂t


B.dS
∫
S

Áp dụng định lý Stoke cho vế trái, ta có:

 
E.dl
=

∫
L

 
rotE.dS
∫
S


d  
∂B 
Nếu mặt lấy tích phân không phụ thuộc vào thời gian thì: ∫ B.dS = ∫ .dS
dt S

∂t
S


 
∂
B
Vậy suy ra rằng: ∫ rotE.dS =
−∫
dS ⇒
∂t
S
S


 ∂B  

0
∫S  rotE + ∂t .dS =



∂B
Vì mặt S được chọn bất kỳ nên: rotE = −
∂t
Ý nghĩa: Từ trường biến đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy phân bố trong
U

U

không gian.
2.7 Định luật Ampere về lưu thông của vectơ cảm ứng từ:
- Trong trường hợp dòng điện không đổi, định luật dòng toàn phần được phát biểu như
sau:


Lưu thông của vectơ cảm ứng từ B dọc theo chu tuyến L tỷ lệ với tổng dòng điện
chảy qua mặt S được giới hạn bởi L.

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 19

 
B.dl
∫ = µo ∑ Ii
i

L

I i > 0 nếu chiều của dòng điện hợp với chiều của đường lấy tích phân theo quy tắc đinh
R

R

ốc thuận.



-Trong trường hợp dòng điện chảy qua diện tích S là liên tục với mật độ dòng j , thì
 
 
định luật lưu số Ampere: 
B.dl
=
μ
o ∫ j.dS
∫
L

S

Áp dụng định lý Stoke cho vế trái, khi đó ta có:
 
 
 

rotB.dS
=
μ
j.dS
⇒
(rotB
μ
o∫
o j).dS = 0
∫

∫
S

S

S



Vì mặt S được chọn tùy ý, nên rotB = µ o j



Công thức trên chỉ đúng đối với dòng điện không đổi, mật độ dòng điện dẫn là j . Đối
với dòng không đổi thì


∂ρ
= 0 , từ phương trình liên tục suy ra: divj = 0 . Điều này
∂t

chứng tỏ rằng các đường dòng dẫn không đổi khép kín, hoặc đi ra xa vô cùng, chúng
không có điểm bắt đầu hay điểm kết thúc.


∂ρ
− ≠ 0 (2.3). Chứng tỏ các đường dòng dẫn
Đối với dòng điện biến đổi: divj =
∂t
không kín.

Mà



 ∂E 
∂ρ ∂
=ε o divE =
div  ε o

∂t ∂t
 ∂t 



∂E 
Thay vào (2.3), ta có: div  j + ε o
 =0
∂t 


Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 20





 
∂E
Vectơ jtp gọi là vectơ mật độ dòng toàn phần : jtp = j + εo
. Chứng tỏ đường dòng

∂t

R

R


của vectơ jtp khép kín. Vectơ mật độ dòng toàn phần gồm vectơ mật độ dòng dẫn:

R

 
j = γE


∂E
Và vectơ mật độ dòng dịch: jd = εo
∂t

 

∂E  
Định luật Ampere thành định luật dòng điện toàn phần: 
∫L B.dl = μ o ∫S  j + ε o ∂t dS




∂E 
Suy ra: rotB = µ o  j + ε o

∂t 

Ý nghĩa: Sự biến thiên của điện trường làm xuất hiện từ trường xoáy. Từ trường xoáy
U

U

được tạo nên không chỉ bởi dòng điện dẫn mà còn bởi dòng điện dịch.
2.8 Hệ phương trình Maxwell trong chân không:
 
Các vectơ đặc trưng cho trường điện từ E , B tại mỗi điểm trong không gian và ở mỗi
thời điểm liên hệ với nhau và liên hệ với nguồn của Trường theo những quy luật xác
định được phát biểu dưới dạng toán học bởi hệ các phương trình gọi là hệ phương trình
Maxwell – Lorentz:

 ρ
Hệ phương trình dưới dạng vi phân: divE =
εo

(2.8.1)


divB = 0

(2.8.2)



∂B
rotE = −
∂t

(2.8.3)




∂E 
rotB = µ o  j + ε o

∂t 


Luận văn tốt nghiệp

(2.8.4)

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 21

Hệ phương trình dưới dạng tích phân:
  1
E.dS

= ∫ ρ.dV
∫S
εo V
 
∫ B.dS = 0
S


 
∂B 
∫L E.dl = -∫S ∂t .dS


 

∂E  
∫L B.dl = μ o ∫S  j + ε o ∂t dS

Phương trình (2.8.3) và (2.8.4) là hai định luật cơ bản của Trường điện từ. Phương
trình (2.8.1) và (2.8.2) không phải là những phương trình độc lập, chúng có thể dẫn ra
từ hai phương trình (2.8.3) và (2.8.4).
Nghĩa là:
-Lấy div hai vế phương trình (2.8.3), ta có:



 ∂B 
∂
div(rotE) = -div 
=

0
divB
=0
⇒

∂
∂
t
t





Công thức trên chứng tỏ divB không phụ thuộc thời gian, chẳng hạn tại thời điểm ban







đầu chưa thành lập trường B = 0 nên divB = 0 thì thời điểm bất kỳ khi B = 0 có giá


divB
=0
trị khác không vẫn luôn có:

-Lấy div hai vế phương trình (2.8.4), ta có:

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 22



 
∂E  
div(rotB) = div μ o  j + ε o

∂t  
 

 
∂E  
⇒ div μ o  j + ε o
 = 0
∂
t





 ∂E 
⇒ divj + div  ε o

0
=
 ∂t 
 ∂

⇒ divj +
ε o divE = 0
∂t

(

)

 ∂ρ

∂ρ
=
0 ⇔ divj =
−
Mặt khác, từ phương trình liên tục ta có: divj +
∂t
∂t
Từ đó ta có:



∂
εo divE − ρ = 0 ⇒ ε o divE − ρ= const
∂t

(

)



Ở thời điểm ban đầu khi chưa có điện tích ( ρ =0 ) , chưa có trường điện (E = 0 nên


divE = 0) , hằng số trên bằng không vậy sẽ bằng không ở bất cứ thời điểm nào:


εo divE − ρ= 0 ⇒ divE =

ρ
εo


2.9 Vectơ cảm ứng điện D :


Cường độ điện trường E phụ thuộc vào tính chất của môi trường. ( E  ε )

Khi đi qua mặt phân cách của hai môi trường thì E biến đổi đột ngột. Sự gián đoạn

này không thuận tiện đối với nhiều phép tính về điện trường. Vì vậy để mô tả điện

trường, ngoài vectơ cường độ điện trường E người ta còn dùng đại lượng vật lý khác

không phụ thuộc vào tính chất môi trường gọi là vectơ cảm ứng điện D .

Khi đặt điện môi vào điện trường, điện môi bị phân cực. mức độ phân cực điện môi

được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P


∆P (C/m2 )
P = lim
∆V →0 ∆V
R

P

P

R

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 23



 
Vectơ cảm ứng điện D được định nghĩa: D =
εo E + P
R

Đối với môi trường tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ điện trường không quá lớn,


 
vectơ phân cực P tỷ lệ với cường độ điện trường E : P = αε o E

α : hệ số cảm điện của môi trường.



 
Khi đó, vectơ cảm ứng điện D : D = εo (1 + α ) E = εE ; ε hệ số điện môi của môi trường.

2.10 Vectơ cường độ từ trường H :
Nếu ta đi từ môi trường này sang môi trường khác thì cùng với độ từ thẩm µ vectơ

cảm ứng từ B sẽ thay đổi đột ngột. Vì lẽ đó ngoài vectơ cảm ứng từ người ta còn đưa

ra vectơ cường độ từ trường H .
Khi đặt từ môi vào từ trường, từ môi bị phân cực. Mức độ phân cực từ môi được đặc

trưng bởi vectơ phân cực từ M . Vectơ phân cực từ xác định trạng thái phân cực từ tại
mỗi điểm của từ môi, chính là moment từ của một đơn vị thể tích môi bao quanh điểm
đó.


∆m
M = lim
∆V →0 ∆V

R

R

(A/m)


∆m là moment từ của từ môi thể tích ∆V .

Vectơ cường độ từ trường được định nghĩa như sau: =
H


B 
− M (A/m)
µo

µ o = 4π.107 (H/m): hằng số từ.
Đối với môi trướng tuyến tính, đẳng hướng hoặc cường độ trường từ không quá lớn,





vectơ phân cực từ: M = χ m H ; χ m là độ cảm từ của môi trường.



Khi đó, cảm ứng từ: B = µ o (1 + χ m ) H = µH ; µ độ từ thẩm của môi trường .

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 24

2.11 Hệ phương trình Maxwell trong môi trường vật chất:
Lấy trung bình các phương trình Maxwell – Lorentz để thành lập hệ phương trình


Maxwell trong môi trường vật chất; trong đó thay vì chỉ cần hai vectơ E và B thì ta


đưa thêm vào hai vectơ D và H .
Hệ phương trình dưới dạng vi phân:

  ∂D
rotH= j +
∂t


∂B
rotE = −
∂t

divB = 0

divD = ρ

Hệ phương trình dưới dạng tích phân:


 
  ∂D  
∫L H.dl = ∫S  j + ∂t dS

 
∂B 
∫L E.dl = −∫S ∂t dS
 
B.dS
=0
∫
S

 
D.dS
∫ =
S

∫ ρdV

V

2.12 Điều kiện biên:
Các thông số đặc trưng cho tính chất môi trường ε, µ, γ là những hàm số của tọa độ.
Trong cùng một môi trường, chúng là những hàm liên tục, không có những điểm nhảy
vọt .Tại mặt biên phân chia hai môi trường chất khác nhau, các đại lượng thay đổi đột

   

ngột kéo theo các vectơ đặc trưng cho trường điện từ E,D,B,H cũng thay đổi nhảy vọt
tại mặt biên. Các điều kiện xác định trạng thái các vectơ của Trường điện từ tại mặt
biên phân chia hai môi trường khác nhau gọi là điều kiện biên. Trạng thái một vectơ tại

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang


Trang 25

biên hoàn toàn xác định nếu xác định được quy luật biến đổi thành phần pháp tuyến và
thành phần tiếp tuyến của vectơ này tại biên.

2.12.1 Điều kiện biên của B


n2

S2

n

h

So
Môi trường 2
Môi trường 1

S1

( Hình 2.1)


n1


Xuất phát từ phương trình divB = 0 .Điểm khảo sát là điểm M nằm trên mặt phân cách
hai môi trường. Chọn mặt Gauss là mặt trụ chứa điểm M gồm mặt bên S b và hai đáy 𝑆1
R

R

và 𝑆2 đủ nhỏ để có thể coi vectơ trường không đổi trên mỗi đáy. Từ định luật Gauss

cho từ trường ta có:

 
 
 
 
B.dS
=
0
⇒
B.dS
+
B.dS

+
B.dS
=
0 (**)
∫
∫
∫
∫
S

Khi cho h

0 thì S b
R

S1

R

R

0 thì S 1
R

R

R

R

S2

S3

S o và S 2 S o thì
R

R

R

R

R

R

R

∫

 
B.dS = 0

Sb →0

   
=
B.dS
B2=

n 2S2 B=
B2nSo
2n S2
∫

S2

 
 
=
−
− B1nS1 =
− B1nSo
B.dS
B
1n1S1 =
∫

S1

Luận văn tốt nghiệp

SVTH : Phạm Thị Minh Giang