Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Duyên

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hồng Duyên

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cô Khoa
Toán – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư
phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn thành chương trình học và luận văn
này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Thị Hoài Châu.
Luận văn này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Cô.
Tôi cũng xin trân trọng cám ơn:
- PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã bỏ công từ Pháp sang Việt Nam
để góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc trong nghiên cứu
Didactic Toán cho chúng tôi.
- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại Trường Cao đẳng Sư phạm Sóc Trăng
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận
văn này.
- Các thành viên trong lớp Didactic Toán khóa 19 đã giúp đỡ tôi trong suốt
khóa học.
Nguyễn Thị Hồng Duyên


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
Chương 1: SỰ CẦN THIẾT CỦA VIỆC CHUYỂN ĐỔI HỆ THỐNG BIỂU
ĐẠT MỘT HÀM SỐ .................................................................................................5
1.1. Tầm quan trọng của mỗi hệ thống biểu đạt một hàm số ..................................5
1.1.1. Hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị hàm số bằng biểu thức giải tích hay
công thức) ............................................................................................................5
1.1.2. Hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ)..........6
1.1.3. Hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số) ................................8

1.1.4. Hệ thống biểu đạt bằng lời ........................................................................8
1.2. Sự cần thiết phải thực hiện việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt một hàm số ....9
1.2.1. Trong tự nhiên và trong kỹ thuật ...............................................................9
1.2. 2. Trong kinh tế...........................................................................................12
1.2.3. Trong toán học: ........................................................................................14
1.3. Kết luận ..........................................................................................................16
Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI SỰ CHUYỂN ĐỔI HỆ THỐNG
BIỂU ĐẠT MỘT HÀM SỐ ....................................................................................18
2.1. Phân tích chương trình ĐS-GT bậc THPT hiện hành ...................................19
2.1.1. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 10 ..............19
2.1.2. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 11 .............21
2.1.3. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 12 .............22
2.2. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong sách giáo khoa Giải tích 12 ..................24
2.2.1. Phân tích chương I ...................................................................................24
2.2.2. Phân tích chương II..................................................................................36
2.3. Phân tích các đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học từ năm 2006 đến nay ......48
2.4. Kết luận .........................................................................................................53


Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..............................................................55
3.1. Mục tiêu của thực nghiệm ..............................................................................55
3.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm..............................................................55
3.3. Các bài toán thực nghiệm ...............................................................................55
Bài toán 1: ..........................................................................................................55
Bài toán 2: ..........................................................................................................55
Bài toán 3: ..........................................................................................................55
3.4. Phân tích các bài toán .....................................................................................56
3.5. Phân tích a priori ............................................................................................56
3.5.1. Biến và các giá trị của biến ......................................................................56
3.5.2. Các chiến lược và lời giải có thể quan sát được ......................................57

3.6. Phân tích a posteriori ......................................................................................61
3.7. Tổng kết thực nghiệm.....................................................................................65
KẾT LUẬN ..............................................................................................................66
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
BT

Bài tập

BBT

Bảng biến thiên

CT

Công thức

ĐT

Đồ thị

GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

HTBĐ

Hệ thống biểu đại

HĐ

Hoạt động

NXB

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập Giải tích 12

SGV ĐS10

Sách giáo viên Đại số 10

SGV ĐS>11

Sách giáo viên Đại số & Giải tích 11

SGV GT12

Sách giáo viên Giải tích 12

THPT

Trung học phổ thông

tr.

Trang

VD

Ví dụ


MỞ ĐẦU
1. VẤN ĐỀ ĐẶT RA VÀ CÂU HỎI BAN ĐẦU
■ Chúng tôi bắt đầu với mối quan tâm đặc biệt đến hàm số - mảng nội dung dạy
học xuất hiện xuyên suốt trong chương trình Toán THPT ở Việt Nam. Riêng ở lớp
12, thời lượng giảng dạy nội dung này chiếm 51.3% chương trình giải tích 12. Bên
cạnh đó, bài toán Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cũng luôn có mặt trong
tất cả các đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển sinh vào cao đẳng, đại học hằng
năm.
Liên quan đến mảng nội dung dạy học quan trọng này, chúng tôi chú ý đến một kết
quả nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga trong đề tài Dạy học hàm số ở trường
phổ thông (2003): “Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải
tích. Vì vậy, họ gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số
xuất hiện dưới dạng bảng số hay đồ thị”.
Một điều nữa mà chúng tôi ghi nhận được qua nghiên cứu sơ lược chương trình
Toán THPT là chuyển đổi từ công thức sang đồ thị chiếm ưu thế. Chuyển đổi này
xuất hiện trong hai kiểu nhiệm vụ: Vẽ đồ thị hàm số cho bởi biểu thức y = f ( x) và
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số cho bởi biểu thức y = f ( x) .

Trong khi đó, một hàm số có thể được biểu diễn dưới ít nhất bốn hình thức: phát
biểu bằng lời, bảng số, đồ thị, biểu thức giải tích (công thức) và việc chuyển đổi từ
cách biểu diễn này sang cách biểu diễn khác sẽ cho phép học sinh hiểu rõ hơn hàm
số đang xem xét. Hơn thế, biết chuyển đổi linh hoạt giữa cách biểu diễn còn là một
kỹ năng cần thiết trong việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề của thực tế
hay của các khoa học khác.
Từ những ghi nhận trên, vấn đề đặt ra cho chúng tôi là: Sự chuyển đổi hệ thống biểu
đạt được thực hiện ra sao trong dạy học hàm số ở trường phổ thông? Cách tổ chức
thực hiện đó có hình thành cho học sinh kỹ năng chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong
việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề thực tế hay không? Đi tìm câu trả lời
cho câu hỏi này, theo chúng tôi là thực sự cần thiết. Mặt khác, chúng tôi chọn khách
thể nghiên cứu là học sinh lớp 12 vì đây là đối tượng đã tiếp thu đầy đủ các nội


dung được giảng dạy ở THPT để khảo sát một hàm số. Do đó, chúng tôi xác định
nghiên cứu đề tài: Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học hàm số ở lớp
12.
2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
2.1. Hệ thống biểu đạt
Liên quan trực tiếp đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi là khái niệm hệ thống biểu
đạt. Douady (1986) giải thích khái niệm này như sau:
“Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ này:
những vạch, những ký hiệu, những hình vẽ, … Chúng là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị
[…] Các đối tượng có thể là một, nhưng mối liên hệ giữa chúng và cách trình bày chúng sẽ
không giống nhau […]. Ta nói rằng, chúng được biểu đạt bằng những hệ thống khác nhau
hay những ngôn ngữ khác nhau.” (Trích theo [4], tr. 43).

Về tầm quan trọng của việc thay đổi hệ thống biểu đạt, trong [4], tác giả Lê Thị Hoài
Châu nói rõ :
“Nhìn lại lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta sẽ nhận thấy rằng trong nhiều

trường hợp, để giải quyết một vấn đề nhà nghiên cứu đã phải thay đổi cách nhìn về nó, trình
bày nó từ góc độ khác, đặt nó trong phạm vi khác – ít nhất cũng khác một phần. Điều đó cho
phép đưa ra những câu hỏi mới và gợi ra việc sử dụng những công cụ vốn không được nghĩ
đến lúc đầu.
[…] Sự thay đổi này không chỉ quan trọng với nhà nghiên cứu mà còn cần thiết cho việc học
của học sinh. […]. Sự thay đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt cho phép đưa ra những phỏng
đoán, kiểm tra các chiến lược giải quyết, tạo thuận lợi cho sự hình thành tri thức. Nó còn là
một động lực cho việc học.
[…] Dạy cho học sinh biết chuyển từ phạm vi này sang phạm vi kia, biết khai thác nhiều hệ
thống biểu đạt khác nhau cho cùng một đối tượng chính là góp phần thực hiện dạy học theo
quan điểm tích hợp. Nó giúp học sinh nắm kiến thức sâu hơn và góp phần phát triển tư duy
linh hoạt cho họ” ([4], tr. 43)

2.2. Thuyết nhân học trong didactic. Hợp đồng didactic
Chúng tôi đặt nghiên cứu này trong phạm vi didactic Toán, cụ thể là các khái niệm
quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, quan hệ thể chế đối với một đối
tượng tri thức và tổ chức toán học và khái niệm hợp đồng didactic (xem [16]).


Dưới đây, chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý
thuyết của mình.
Trả lời cho câu hỏi “Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt được thực hiện ra sao trong
dạy học hàm số ở trường phổ thông?” chính là làm rõ những gì mà các noosphere
mong muốn hay quy định người học biết về sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt thông
qua chương trình và SGK.
Mặt khác, những yếu tố trả lời cho câu hỏi “Cách tổ chức thực hiện đó có hình
thành cho học sinh kỹ năng chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong việc sử dụng hàm số
để nghiên cứu các vấn đề thực tế hay không?” sẽ được tìm thấy qua nghiên cứu
quan hệ cá nhân của học sinh lớp 12 đối với sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt một
hàm số.

Trong phạm vi didactic Toán, những công cụ để thực hiện được hai điều trên là các
khái niệm tổ chức toán học và hợp đồng didactic.
Như vậy, việc chúng tôi sử dụng các khái niệm trên của Thuyết nhân học trong
didactic và Lý thuyết tình huống là hoàn toàn thỏa đáng.
3. TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Trong khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi phát biểu các câu hỏi
nghiên cứu như sau:

Q1 : Về mặt tri thức, tại sao lại cần chuyển hệ thống biểu đạt một hàm số?
Q 2 : Chương trình Toán THPT và SGK đã đưa vào những hệ thống biểu đạt nào,
sử dụng chúng ra sao, đặc biệt là đã tính đến như thế nào việc thiết lập sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số?

Q3 : Sự lựa chọn của SGK có giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của
mỗi hệ thống biểu đạt hàm số cũng như có hình thành được cho học sinh kỹ năng
chuyển đổi hệ thống biểu đạt một cách linh hoạt trong việc sử dụng hàm số để giải
quyết các kiểu nhiệm vụ của thể chế hay không?


4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Để trả lời cho câu hỏi Q1 , chúng tôi tìm hiểu những vấn đề thực tế, những hiện
tượng trong tự nhiên và trong các khoa học có quá trình biến thiên là một hàm số để
tìm những bài toán làm nảy sinh nhu cầu chuyển đổi từ hệ thống biểu đạt này sang
hệ thống biểu đạt kia. Kết quả nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 1.
Tham chiếu vào những kết quả thu được ở chương 1, chúng tôi sẽ tiến hành làm rõ
những gì mà các noosphere mong muốn hay quy định người học biết về sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt thông qua chương trình và SGK. Cụ thể, chúng tôi sẽ nghiên
cứu tổng quan chương trình Toán THPT và nghiên cứu chi tiết SGK hiện hành và
một số đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học từ năm 2006 đến nay. Kết quả của ba
phân tích này được trình bày ở chương 2.

Nghiên cứu thực hiện ở chương 2 nhằm tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi

Q 2 . Ngoài ra, nó cũng cho phép chúng tôi đưa ra được những giả thuyết liên quan
đến câu hỏi Q3 .
Tính thỏa đáng của những giả thuyết này sẽ được chúng tôi kiểm chứng thông
qua một nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh lớp 12. Phần này được chúng tôi
trình bày ở chương 3.


Chương 1:

SỰ CẦN THIẾT CỦA VIỆC CHUYỂN ĐỔI
HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT MỘT HÀM SỐ
Mở đầu
Trong phần mở đầu của luận văn chúng tôi đã đưa vào khái niệm hệ thống biểu đạt
của một đối tượng với tư cách là phương tiện để biểu thị đối tượng đó.
Xét trường hợp đối tượng hàm số - khái niệm cho phép nghiên cứu quan hệ phụ
thuộc lẫn nhau giữa hai (hay nhiều) đại lượng. Sự phụ thuộc này có thể được biểu
đạt dưới ít nhất là bốn hình thức: bằng một (hay nhiều) công thức, bằng đồ thị, bằng
bảng số và bằng lời. Để nói một cách ngắn gọn, chúng tôi sẽ gọi chúng là các hệ
thống biểu đạt đại số, hình học, số và lời.
Nếu như một hàm số có thể biểu diễn được bằng cả bốn cách nói trên thì sẽ có ích
nếu chúng ta đi từ một cách biểu diễn này sang một cách biểu diễn khác để có
những góc nhìn khác nhau về hàm số đó, hiểu rõ hơn hàm số đang xem xét, hay để
sử dụng nó vào việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn hoặc của các khoa học khác.
Với chương này, trước hết chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ tầm quan trọng, lợi thế cũng
như điểm bất tiện (nếu có) của mỗi hình thức biểu thị hàm số. Sau đó, chúng tôi sẽ
phân tích sự cần thiết của việc chuyển đổi linh hoạt từ hình thức này sang hình thức
kia trong nghiên cứu và sử dụng hàm số.
1.1. Tầm quan trọng của mỗi hệ thống biểu đạt một hàm số

1.1.1. Hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị hàm số bằng biểu thức giải tích hay
công thức)
+ Biểu đạt cô đọng và chính xác mối tương quan hàm.
+ Chỉ rõ phải thực hiện các phép tính nào với x (biến số) để tìm y(x) (giá trị tương
ứng của hàm số).


+ Tính toán, biến đổi trên biểu thức giải tích để chỉ ra các tính chất của hàm số (như
tính liên tục, tính đơn điệu, khả vi,…) một cách chặt chẽ, logic. Đặc biệt, có thể
dùng công cụ của giải tích để nghiên cứu các tính chất này.
Ví dụ như: đối với hàm diện tích S của hình tròn có bán kính R thì cách biểu diễn
thuận tiện nhất chính là công thức đại số S = π R 2 , mặc dù ta cũng có thể lập một
bảng các giá trị hay vẽ đồ thị tương ứng (một nửa parabol vì R chỉ nhận giá trị
dương).
1.1.2. Hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ)
+ Phản ánh trực quan dáng điệu định tính của hàm số. Tức là, nhìn vào đồ thị
chúng ta nhanh chóng xác định được một số tính chất của hàm số : liên tục hay gián
đoạn, có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hay không, và bằng khoảng bao nhiêu?
có bao nhiêu giao điểm với đồ thị khác?
Ví dụ: Gia tốc a của mặt đất được đo bởi máy ghi địa chấn trong suốt một trận động
đất là một hàm số của thời gian t. Cách biểu diễn thuận tiện nhất của hàm số này
chính là đồ thị. Chẳng hạn như hình ảnh dưới đây mô tả gia tốc của mặt đất trong
trận động đất Northridge tại Los Angeles vào năm 1994.

[Nguồn: Calculus, James Stewart]
Rõ ràng, nhìn vào hình ảnh này chúng ta nhận biết được ngay tính chất của trận
động đất.


Tuy nhiên, cơ sở cho việc chúng ta đọc được tính chất của đồ thị chính là những

chứng minh chặt chẽ được thực hiện ở hệ thống biểu đạt đại số.
+ Tìm được giá trị (đúng hay gần đúng) của hàm tại một số điểm.
+ Tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, bất phương trình, hệ phương trình,
hệ bất phương trình.
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình cos x = x chính xác đến hai chữ số thập phân.
Việc tìm nghiệm gần đúng bằng đồ thị (sử dụng phần mềm vẽ đồ thị trên máy tính)
được thực hiện như sau:

(a)

(b)

(c)

Hình (a) cho thấy phương trình có duy nhất một nghiệm, nằm giữa 0 và 1. Phóng to
hình chữ nhật trên đoạn [0; 1], ta thu được hình (b) và thấy được nghiệm nằm giữa
0,7 và 0,8. Tiếp tục phóng to hình chữ nhật trên đoạn [0,7; 0,8] được hình (c). Lúc
này, thang đo trên trục x là 0,01. Hình (c) cho chúng ta nghiệm của phương trình
chính xác đến hai chữ số thập phân là 0,74.
+ Chứng minh dựa trên đồ thị.
Ví dụ: Chứng minh sự tồn tại của
Theo định nghĩa, kí hiệu

2 dựa trên đồ thị hàm số y = x 2 .
2 chỉ số dương có bình phương bằng 2:

Có thể chứng minh sự tồn tại của

( 2)

2

= 2.

2 như sau: Xét hàm số

=
y x 2 (0 ≤ x < +∞) . Hàm số này liên tục trong khoảng

[ 0; ∞ ) và đồng biến ngặt trong khoảng ấy. Vì vậy
đồ thị G của hàm số (đường parabol) có dạng như hình 2.
Trên trục Oy lấy điểm A với tung độ y = 2 và vạch qua A
đường thẳng vuông góc với Oy, cắt G ở một điểm
(duy nhất) B nào đó. Điều này được suy ra từ tính liên tục của G và sự kiện tung độ
của điểm biến thiên trên G tăng ngặt, tiến tới

+∞ cùng với hoành độ của điểm đó. Từ


điểm B, ta hạ đường vuông góc với Ox, cắt Ox ở điểm C. Đoạn thẳng OC có độ dài
bằng

2 . (trích theo [10], tr.360-361).

1.1.3. Hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số)
+ Được sử dụng khi miền xác định gồm hữu hạn các trị số. Từ bảng, ta tra ngay
được giá trị hàm nên nó tiện lợi khi sử dụng như bảng giá cả các mặt hàng, bảng kết
quả xổ số. Các bảng logarit, bảng lượng giác,…giúp ích rất nhiều trong lĩnh vực
thiên văn.
Ví dụ: giá cước thư chuyển phát nhanh EMS nội tỉnh theo trọng lượng w là hàm số

C(w). Theo quy định của Bưu điện Việt Nam năm 2009, giá cước được cho trong
bảng sau:

Ta có thể vẽ đồ thị hàm số này nhưng rõ ràng trong thực tế người ta chỉ cần dùng
bảng số.
+ Là công cụ tiện lợi để ghi lại kết quả của các nghiên cứu thực nghiệm các quá
trình, hiện tượng biến thiên.
Tuy nhiên, nếu muốn biết giá trị của hàm tại một giá trị ngoài bảng cũng như muốn
biết quy luật phát triển của chúng thì cần phải thực hiện sự chuyển đổi, tức là tìm
công thức hàm xấp xỉ tốt nhất bảng số có được.
1.1.4. Hệ thống biểu đạt bằng lời
Hàm số còn được biểu đạt với cách phát biểu bằng lời. Chẳng hạn, ta xét các ví dụ
sau:


“Ví dụ 1: Xét hàm số f : * → {0,1, 2, ..., 9} ⊂  với f ( n ) là chữ số thập phân thứ n trong
cách viết số π trong hệ thập phân.
Ví dụ 2: Xét hàm số g : * →  \ {0,1} với g ( n ) là số nguyên tố thứ n.” (Trích theo [9]).

Về tính ưu việt của hệ thống biểu đạt bằng lời, trong [9], tác giả Trần Lương Công
Khanh nói rõ:
“Rõ ràng trong hai ví dụ trên, cách biểu đạt bằng lời là cách biểu đạt tối ưu vì hiện nay toán
học chưa tìm được cách biểu đạt nào khác đối với f và g. Giả sử sẽ tìm được biểu thức giải
tích của f và g trong tương lai, cách biểu đạt bằng lời vẫn là cách biểu đạt gọn nhất. Điều
này cũng cho thấy tồn tại những hàm số mà ta không thể thực hiện sự chuyển đổi hệ thống
biểu đạt.”

Như vậy, từ vai trò của mỗi hệ thống biểu đạt, chúng ta thấy rằng: tuỳ mục đích sử
dụng mà người ta cần biểu diễn hàm số ở các hệ thống biểu đạt khác nhau.
Để thấy rõ hơn sự cần thiết phải thực hiện sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt hàm số,

sau đây chúng tôi sẽ trình bày những bài toán, vấn đề thực tế làm nảy sinh nhu cầu
sử dụng hàm số và thực hiện chuyển đổi hệ thống biểu đạt.
1.2. Sự cần thiết phải thực hiện việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt một hàm số
1.2.1. Trong tự nhiên và trong kỹ thuật
Trong tự nhiên và trong kỹ thuật, để nghiên cứu các hiện tượng, các chuyển động,
các quá trình, … mà trong đó có sự biến thiên của một đại lượng này theo một đại
lượng khác, nhà nghiên cứu thường tiến hành thực nghiệm, quan sát, đo đạc bằng
dụng cụ riêng. Kết quả thực nghiệm, quan sát đó thường được ghi lại thành bảng số
hoặc bằng hình ảnh biểu diễn sự biến thiên đó. Để đưa ra những dự đoán về xu
hướng phát triển hoặc những kết luận về quy luật biến thiên của chúng, người ta
tiến hành mô hình hóa toán học. Một trong các mô hình toán học này là công thức
liên hệ giữa các đại lượng biến thiên – hàm số.
• Bài toán khảo sát chuyển động của vật ném xiên [Nguồn: Sách giáo khoa Vật
lí 10 nâng cao, tr80-81]: Khảo sát chuyển động của vật được ném xiên (ném lên từ


mặt đất với vận tốc ban đầu v0 hợp với phương ngang một góc α ). Trong chuyển


động này, tầm bay cao 1 và tầm bay xa 2 của vật được quan tâm để ứng dụng vào
trong thi đấu các môn thể thao như đẩy tạ, phóng lao,....
Thế bằng cách nào người ta tính được các tầm bay này? Những yếu tố nào có thể
ảnh hưởng đến chúng? Ảnh hưởng như thế nào?
Cách khảo sát: Chọn hệ toạ độ Oxy cho vật bị ném xiên (gốc O trùng với điểm xuất
phát của vật, trục Oy hướng lên, gốc thời gian là thời điểm ném vật). Khi đó,
chuyển động của vật đã được mô hình toán học. Và bằng kiến thức vật lí, toán,
người ta tìm được:
- Phương trình chuyển động của vật theo thời gian t:
x = (v0 cos α )t
=

y (v0 sin α )t −

(1)
gt 2
2

(2)

- Quỹ đạo của vật là một parabol có phương
trình y
=

−g
x 2 + (tan α ) x
2
2v cos α
2
0

(3)

Dựa vào đồ thị của hàm số (3), bằng thị giác ta thấy được vị trí mà vật đạt tới độ
cao cực đại chính là đỉnh I của parabol (hay giá trị lớn nhất của hàm), vị trí mà vật
tiếp xúc mặt đất (điểm rơi) chính là giao điểm N của parabol với trục hoành Ox.
Tuy nhiên để tính được chính xác chúng bằng bao nhiêu, người ta phải chuyển sang
công thức (3) và khảo sát nó. Cụ thể:
- Tìm giá trị lớn nhất của hàm số (3), ta được OI= H=

v02sin 2α
;

2g

- Giải phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (3) và trục Ox,
chọn nghiệm khác 0 (gốc toạ độ), ta được:
ON= L=

1
2

v02sin2α
.
g

Độ cao cực đại mà vật đạt tới.
Khoảng cách giữa điểm ném và điểm rơi (cùng trên mặt đất).


Dựa vào kết quả này, ta thấy: vì H và L tỉ lệ thuận với vo , α nên nếu muốn đạt thành
tích càng cao (H và L càng lớn) thì ta cần điều chỉnh vận tốc ban đầu và góc ném
phù hợp.
Vận dụng điều này, một giáo viên ở Anh, Danny Brooks, đã được ghi vào sách
Guinness vì ném bóng xa nhất thế giới (50 mét). Anh đã sử dụng kỹ thuật đặc biệt 3
để tạo đà cho quả bóng vút bay.
• Mô hình toán học của sự tăng trưởng dân số tự nhiên:
Bằng thống kê, các nhà dân số có bảng dân số thế giới trong thế kỷ 20 như sau:
Năm
Dân số
(triệu)

1900

1910

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

1650

1750

1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080

[Nguồn: Calculus, James Stewart]
Chú ý rằng, bảng này chính là một tương quan hàm số P(t). Tuy nhiên, chỉ dựa vào
bảng dữ liệu, nhà nghiên cứu không thể đưa ra dự đoán về số dân ở một thời điểm
nào đó trong tương lai, chẳng hạn vào năm 2025, dân số sẽ là bao nhiêu?
Ta có thể mô tả bảng dữ liệu trên mặt phẳng toạ độ bởi những điểm rời rạc như sau:

Dựa vào hình dạng của mà các điểm rời rạc mang lại, ta thấy rằng sự tăng dân số
này có xu hương tiếp tục tăng. Và người ta nghiên cứu được nó thường tăng tự
nhiên theo hàm số mũ. Do đó, bằng phương pháp xấp xỉ hàm (chủ yếu là phương
pháp bình phương bé nhất), chúng ta tìm được công thức cụ thể của hàm số P(t).
P = (0.008079266).(1.013731)t
3

Kỹ thuật nhào lộn trên không trước khi ném bóng

(4)


Từ (4) chúng ta dễ dàng tính được số dân ở một thời điểm nào đó trong tương lai.

• Khảo sát tốc độ dòng chảy của máu trong một mạch máu [Nguồn: Calculus,
James Stewart]
Khi xem xét dòng chảy của máu trong một mạch máu, chẳng hạn như tĩnh mạch
hay động mạch, chúng ta có thể mô hình hình dạng của mạch bởi một ống hình trụ
với bán kính R và chiều dài l được minh hoạ bởi hình sau:

Bởi vì có sự ma sát với thành ống, vận tốc của máu đạt giá trị lớn nhất dọc theo trục
đối xứng của ống và giảm dần khi khoảng cách r tăng lên và bằng 0 tại thành ống.
Mối liên hệ giữa vận tốc v và r được tìm ra bởi nhà vật lý học người Pháp JeanLouis-Maire vào năm 1840.
Mối liên hệ được phát biểu như sau:
=
v

P
( R 2 − r 2 ) , trong đó η là độ kết dính của
4η l

máu và P là áp suất của ống. Nếu P và l là những hằng số thì v là một hàm số của r
với miền xác định là đoạn [ 0; R ] .
1.2. 2. Trong kinh tế
Những yêu cầu phát triển của kinh tế đã làm nảy sinh vấn đề tìm quyết định tối ưu 4.
Vấn đề này được mô hình hoá toán học thành bài toán quy hoạch toán học hay bài
toán tối ưu. Mô hình này thể hiện mối liên quan giữa các đối tượng được khảo sát
dưới dạng hàm mục tiêu cùng một hệ các điều kiện ràng buộc (hệ các phương trình
hoặc bất phương trình). Tuỳ theo mục tiêu mong muốn đạt được mà chúng ta khảo
sát hàm mục tiêu tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của nó với các ràng buộc.
Chẳng hạn ta có bài toán quy hoạch tuyến tính 5 sau đây
4
5

Quyết định hành động sao cho có lợi nhất theo những mục đích xác định.
Là bài toán quy hoạch toán học mà tất cả các hàm có mặt trong đó đều là các hàm tuyến tính.


Bài toán lập kế hoạch sản xuất (trích theo [1], tr.11):
Một cơ sở sản xuất dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này
được chế tạo từ ba nguyên liệu I, II và III. Số lượng đơn vị dự trữ của từng loại
nguyên liệu và số lượng đơn vị từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra một đơn
vị sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng dưới đây:
Loại nguyên
liệu

Nguyên liệu
dự trữ

Số đơn vị nguyên liệu cần dùng cho việc
sản xuất một đơn vị sản phẩm
A
B

I

18

2

3

II

30

5

4

III

25

1

6

Hãy lập kế hoạch sản xuất, tức là tính xem cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm
mỗi loại để tiền lãi thu được là lớn nhất, biết rằng bán một đơn vị sản phẩm A thu lãi
ba trăm nghìn đồng, bán một đơn vị sản phẩm B thu lãi hai trăm nghìn đồng.

Giải quyết bài toán:
Gọi x, y lần lượt là số lượng đơn vị sản phẩm A và B cần sản xuất, gọi f là số tiền lãi
thu được. Khi đó, bài toán trên được mô hình thành hàm mục tiêu f = 3x +2 y với
những ràng buộc là: x, y ≥ 0; 2 x + 3 y ≤ 18; 5 x + 4 y ≤ 30; x + 6 y ≤ 25 .
Bằng ngôn ngữ toán học, bài toán lập kế hoạch sản xuất trên được phát biểu thành:
2 x + 3 y ≤ 18;
 5 x + 4 y ≤ 30

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x, y) = 3x + 2y với các ràng buộc: 
 x + 6 y ≤ 25
 x, y ≥ 0

Đến đây, để giải quyết được bài toán, ta dùng phương pháp đồ thị (tức là thực hiện
sự chuyển đổi bài toán về phạm vi hình học).
- Lần lượt vẽ các đường thẳng ở hệ ràng buộc, dựa vào dấu của bất phương trình
tìm được tập phương án của bài toán là tứ giác OABC (như hình vẽ).


- Vẽ đồ thị hàm số f(x, y) = 3x + 2 y, tức là ta vẽ họ các đường thẳng 6 vuông góc với


vectơ n = (3; 2) . Chẳng hạn ta vẽ đường mức đi qua đỉnh A của tứ giác.

- Tịnh tiến đường mức theo hướng mũi tên xác định trên hình vẽ (làm tăng dần giá
trị hàm mục tiêu). Phương án tối ưu tìm được là đỉnh C(6; 0) và f = 18.
Quay trở lại trả lời cho bài toán thực tế ban đầu: để thu được lợi nhuận cao nhất thì
chỉ sản xuất 6 sản phẩm A, không sản xuất sản phẩm B.
Ngoài ra, trong kinh tế cũng nghiên cứu các hàm như hàm tổng giá trị (total cost),
hàm nhu cầu (demand functon), hàm lợi tức (revenue function), hàm lợi nhuận
(profit function),... Xuất phát từ các điều kiện ban đầu (chi phí hoạt động, bảo
dưỡng, thuê mướn, giá vật liệu thô, lao động,...), các hàm số này thường được xấp
xỉ bởi một đa thức.
1.2.3. Trong toán học:
Trong nội tại toán học cũng tồn tại những vấn đề cần phải thực hiện sự chuyển đổi
hệ thống biểu đạt mới giải quyết được hoặc đơn giản hoá cách giải quyết.

6

Trong Quy hoạch tuyến tính, các đường thẳng này được gọi là các đường mức.


• Vấn đề dự đoán nghiệm: Với những phương trình mà việc giải chúng hoặc

để dự đoán xem có nghiệm hay không (không cần tính chính xác nghiệm) ở phạm
vi đại số gặp khó khăn, người ta chuyển sang bài toán tương giao giữa hai đường
cong để giải quyết. Ở đây, hai đường cong tức là hai đồ thị của hai hàm số ở hai vế
của phương trình. Chẳng hạn ta có bài toán: Tìm m để phương trình
2 x 3 − 9 x 2 + 12 x =
m có 6 nghiệm phân biệt. [Câu 1, Đề thi tuyển sinh đại học khối

A năm 2006]
Rõ ràng việc giải bài toán này ở phạm vi đại số sẽ khó khăn hơn nhiều so với cách
chuyển đổi sau đây:
- Đặt (C): y = 2 x3 − 9 x 2 + 12 x , (d ) : y = m bài toán trở thành: Tìm m để đồ thị (C)
cắt đường thẳng (d ) tại 6 điểm phân biệt.
- Chuyển hai hàm số trên sang cách biểu diễn
trực quan hình học: vẽ đồ thị (C) và đường
thẳng (d ) trên cùng một hệ trục toạ độ.
- Dựa vào đồ thị, thấy ngay khoảng giá trị của
tham số m thoả yêu cầu bài toán là: ( 4;5 ) .
• Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f ( x) và các
x 0;=
x a;=
x b (a < b) .
đường thẳng=
b

Khi đó: S = ∫ f ( x)dx
a

Ta có công thức Newton – Lebniz:=
S

b

)dx
∫ f ( x=
a

hàm của hàm số f ( x) .

F (b) − F (a ) , với F(x) là nguyên


Như vậy, bài toán trên được giải quyết khá dễ dàng nếu chúng ta biết được công
thức của đường cong y = f ( x) . Trong trường hợp đường cong không có phương
trình cho trước thì chúng ta phải giải quyết bài toán này như thế nào?
Cách giải quyết: Đặt đường cong vào hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, chúng ta lập
được bảng giá trị của hàm số trong đoạn [a; b] như sau:
x
y

x0
y0

x1
y1

x2
y2

…
…

xn
yn

b−a
n

trong đó x0 =
a, xk =+
x0 kh (h = , k =
0,1,.., n)
Xuất phát từ việc có thể xấp xỉ hàm f ( x) trên đoạn [a; b] từ bảng giá trị cho trước
bởi đa thức nội suy Lagrange Ln ( x) , ta có:=
S

b

∫

b

f ( x)dx ≈
=
S*

a

∫ L ( x)dx
n

(*)

a

Tích phân S * được tính gần đúng theo công thức hình thang mở rộng:
y 
y
*
S=
h  0 + y1 + ... + yn −1 + n 
2 
 2

1.3. Kết luận
Sự phụ thuộc lẫn nhau là mối quan hệ phổ biến của mọi sự vật, hiện tượng. Chính vì
thế mà hàm số là một trong những công cụ toán học cho phép mô hình hoá nhiều
vấn đề cần giải quyết của thực tế hay của các khoa học khác. Theo các ví dụ trích
dẫn ở trên, chúng tôi thấy rằng người ta thường thực hiện sự chuyển đổi hệ thống
biểu đạt theo sơ đồ dưới đây để mô hình hàm các bài toán thực tế.


Câu trả lời cho bài
toán thực tế

Bài toán thực tế được phát biểu bằng lời
Quan sát, đo đạc
Thực nghiệm
Kết quả quan sát, thực nhiệm được ghi lại
dưới dạng bảng số, đồ thị,…

Khái quát hoá
Xấp xỉ
Công thức hàm số

Khảo sát

Những tính chất
của hàm số

Sau khi đã tìm được câu trả lời cho bài toán thực tế, tuỳ theo mục đích sử dụng tiếp
theo đó mà kết quả nghiên cứu có thể được biểu đạt bằng công thức, hoặc bảng các
giá trị rời rạc hoặc đồ thị, biểu đồ,…
Tóm lại: Xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu bản chất chung, quy luật phát triển chung
của các hiện tượng, sự vật, người ta phải trừu tượng hoá, khái quát hoá từ nhiều cái
riêng. Tư duy trừu tượng hoá, khái quát hoá ở đây mà chúng tôi muốn đề cập đến là
tư duy hàm trong quá trình mô hình các vấn đề thực tế thành hàm số để khảo sát tìm
cách giải quyết. Có thể nói quá trình mô hình hàm là quá trình thực hiện sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số.
Như vậy, để học sinh thấy được sự cần thiết phải chuyển đổi hệ thống biểu đạt một
hàm số, chúng ta cần thực hiện hai điều:
 Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của mỗi hệ thống biểu đạt.
 Đưa ra những bài toán, những vấn đề thực tế có chứa đựng mối quan hệ hàm
và nhu cầu cần chuyển đổi từ hệ thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt kia.
Trên cơ sở này, chúng tôi tiến hành phân tích xem cách trình bày của sách giáo
khoa có thực hiện được hai điều trên hay không. Phân tích này được chúng tôi trình
bày ở chương tiếp theo của luận văn.


Chương 2:

SỰ CHUYỂN ĐỔI HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT HÀM SỐ
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT
Mục tiêu của nghiên cứu được trình bày ở chương này là làm rõ những gì mà các
noosphere mong muốn hay quy định người học biết về sự chuyển đổi hệ thống biểu
đạt thông qua chương trình và SGK nhằm đi tìm câu trả lời cho hai câu hỏi :
Q 2 : Chương trình Toán THPT và SGK đã đưa vào những hệ thống biểu đạt nào, sử
dụng chúng ra sao, đặc biệt là đã tính đến như thế nào việc thiết lập sự chuyển đổi
hệ thống biểu đạt một hàm số?
Q 3 : Sự lựa chọn của SGK có giúp cho học sinh thấy được tầm quan trọng của mỗi
hệ thống biểu đạt hàm số cũng như có hình thành được cho học sinh kỹ năng
chuyển đổi hệ thống biểu đạt một cách linh hoạt trong việc sử dụng hàm số để giải
quyết các kiểu nhiệm vụ của thể chế hay không?
Như đã nói ở phần mở đầu, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích khái quát chương trình
Toán THPT và phân tích chi tiết sách Giải tích 12 hiện hành theo quan điểm Thuyết
Nhân học trong didactic. Ngoài ra, khởi nguồn từ một ghi nhận thực tế là tất cả các
đề thi toán, dù là thi tốt nghiệp THPT hay thi tuyển sinh đại học - cao đẳng, đều có
một câu hỏi bắt buộc liên quan đến đối tượng hàm số, chúng tôi sẽ nghiên cứu
chúng. Do khuôn khổ có hạn của luận văn, chúng tôi chỉ chọn phân tích một số đề
thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng trong 5 năm gần đây (tức là kể từ kỳ thi 2006).
Phân tích của chúng tôi dựa trên phân tích những tài liệu sau:
• Chương trình giáo dục phổ thông Môn Toán (Ban hành kèm theo Quyết định số
16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 05/05/2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo),
NXB Giáo dục, năm 2006.
• Giải tích 12, Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), NXB Giáo dục, năm 2006.
• Bài tập Giải tích 12, Vũ Tuấn (chủ biên), NXB Giáo dục, năm 2006.


• Sách giáo viên Giải tích 12, Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), NXB Giáo dục, năm
2006.
• Các đề thi tuyển sinh cao đẳng, đại học từ năm 2006 đến nay.

2.1. Phân tích chương trình Đại số - Giải tích bậc THPT hiện hành
Hàm số là một trong những nội dung quan trọng của chương trình Đại số - Giải tích
THPT hiện hành, được học chính thức ở cả 03 lớp: 10, 11 và 12.
Trong phần phân tích này, chúng tôi cố gắng trả lời một phần của câu hỏi Q 2 , tức là
trả lời câu hỏi: “Chương trình Toán THPT đã đưa vào những hệ thống biểu đạt nào,
sử dụng chúng ra sao, đặc biệt là đã tính đến như thế nào việc thiết lập sự chuyển
đổi hệ thống biểu đạt một hàm số?”.
2.1.1. Các hệ thống biểu đạt hàm số trong chương trình Toán lớp 10
Chương trình Đại số 10 dành một chương để ôn tập và bổ sung các khái niệm cơ
bản về hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ,
xét chiều biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số đã học.
Yêu cầu đặt ra đối với học sinh sau khi học xong chương này là:
+ Nắm vững khái niệm tập xác định và biết tìm tập xác định của một hàm số cho
bằng công thức.
+ Nắm vững các khái niệm đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, hàm số lẻ, biết lập
bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: hàm bậc nhất, hàm hằng y = b , hàm

y = x , hàm bậc hai.
Tuy khái niệm hàm số đồng biến hoặc nghịch biến cũng như hàm số chẵn, hàm số
lẻ không phải là những khái niệm khó và đều được trình bày ở lớp 9. Nhưng
chương trình lớp 10 vẫn trình bày lại định nghĩa các khái niệm này theo con đường
quy nạp - cho học sinh quan sát các đồ thị của vài hàm số cụ thể để rút ra tính chất.
Điều này được chỉ rõ ở SGV ĐS10 như sau:
Khái niệm đồng biến, nghịch biến được đưa ra bắt đầu từ nhận xét trực
giác về đồ thị của hàm số y = x 2 trong các khoảng (−∞; 0) và (0; + ∞) .