giảng dạy các thuật toán tìm ước chung lớn nhất với sự giúp đỡ của máy tính cầm tay

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TÔN NỮ KHÁNH BÌNH

GIẢNG DẠY CÁC THUẬT TOÁN TÌM
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI SỰ
GIÚP ĐỠ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TÔN NỮ KHÁNH BÌNH

GIẢNG DẠY CÁC THUẬT TOÁN TÌM
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI SỰ
GIÚP ĐỠ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những dòng đầu tiên trong luận văn này để gửi lời tri ân sâu sắc
đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người Thầy đã rất tận tình hướng dẫn và cực kì
kiên nhẫn trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Không chỉ là một người dẫn
đường, Thầy còn cho tôi niềm tin thúc đẩy tôi vượt qua những trở ngại trong thời
gian qua. Xin gửi đến Thầy lòng biết ơn sâu sắc.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn của mình đến PGS. TS. Lê Thị
Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến và Quý Thầy, Cô ở trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy những kiến thức hết sức quý báu
trong suốt quá trình học Cao học. Bên cạnh là cơ sở lý thuyết cho luận văn, những
kiến thức mới này thật sự hữu ích cho việc giảng dạy của tôi. Dù lời cảm ơn này
đến muộn nhưng tôi vẫn xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã rất tâm huyết vì
học viên.
Xin cảm ơn bạn Trần Đỗ Duy Thức, bạn Nguyễn Bích Hoàng Anh về những
tài liệu rất có giá trị mà các bạn đã giúp đỡ cũng như sự quan tâm, động viên từ xa
của hai bạn. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến Cô Nguyễn Thị Anh Đào, Cô Tô
Thị Hoàng Lan, bạn Trần Đắc Mỹ Hạnh, bạn Bùi Thanh Hà, bạn Đặng Quốc Sỹ đã
nhiệt tình giúp đỡ cho phần thực nghiệm. Cảm ơn các bạn đồng nghiệp, phụ huynh
và các em học sinh thân thương ở trường Đinh Thiện Lý đã quan tâm, khích lệ tôi
trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Bích
Hoa, một người đi trước, một người chị và đồng thời là một người bạn đã luôn lắng
nghe và chân tình giúp đỡ.
Cuối cùng, xin gửi đến Ba Mẹ và gia đình lòng biết ơn chân thành vì đã luôn
ở bên lo lắng, động viên, chia sẻ và luôn là chỗ dựa tin cậy trong những lúc khó
khăn, căng thẳng nhất.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 1
MỤC LỤC ........................................................................................................................ 2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ................................................................................. 3
PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 4
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 4
2. Khung lý thuyết tham chiếu ..................................................................................... 5
3. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................... 6
4. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 6
CHƯƠNG I. CÁC KỸ THUẬT TÌM ƯCLN CỦA HAI SỐ NGUYÊN ........................ 8
1. Dựa vào định nghĩa ( τ 1 ) .......................................................................................... 9
2. Chọn trong các ước của số nhỏ ( τ 2 ) ...................................................................... 10
3. Phân tích ra thừa số nguyên tố ( τ 3 ) ....................................................................... 11
4. Thuật toán Euclide ( τ 4 ) ......................................................................................... 11
5. Dùng máy tính cầm tay ( τ 5 ) .................................................................................. 14
6. Kết luận chương I .................................................................................................. 16
CHƯƠNG II. ƯCLN TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG ............................... 17
1. Phân tích chương trình ........................................................................................... 17
2. Phân tích sách giáo khoa ........................................................................................ 18
3. Kết luận chương II ................................................................................................. 33
CHƯƠNG III. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA NƯỚC NGOÀI TRÊN CƠ SỞ
SO SÁNH VỚI SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 6 ............................................................ 36
1. Tổng quan về chương trình .................................................................................... 36
2. Về phần bài học ..................................................................................................... 37
3. Về phần bài tập ...................................................................................................... 47
4. Kết luận chương III ................................................................................................ 50
CHƯƠNG IV. THỰC NGHIỆM ................................................................................... 52
1. Giả thuyết nghiên cứu ............................................................................................ 52
2. Dự kiến thực nghiệm ............................................................................................. 53
3. Kết quả thực nghiệm ở lớp 6 ................................................................................. 60

4. Kết quả thực nghiệm ở lớp 10 ............................................................................... 69
6. Tổng hợp kết quả thực nghiệm .............................................................................. 77
KẾT LUẬN .................................................................................................................... 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................................. 87
PHỤ LỤC ....................................................................................................................... 90


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt

Từ viết đầy đủ

HS

Học sinh

GV

Giáo viên

THCS

Trung học cơ sở

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

SH

Số học

TRR

Toán rời rạc

ĐSĐC

Đại số đại cương

HDMTCT

Hướng dẫn sử dụng máy tính cầm tay

PA

Sách Pre-Algebra

ƯCLN

Ước chung lớn nhất

BCNN

Bội chung nhỏ nhất

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số nguyên là một bài
toán rất thông dụng và đã xuất hiện từ rất lâu đời. Bài toán này xuất phát từ việc
người ta đo đạc các độ dài thông qua một số đơn vị đo đã có, mà sâu xa hơn là tìm
cách quy đổi các đơn vị đo khác nhau về cùng một đơn vị tạm gọi là đơn vị chung.
Khoảng 300 năm trước Công nguyên, Euclide đã trình bày một thuật toán mà sau
này gọi là thuật toán Euclide để giải quyết vấn đề này, đặc biệt ở mệnh đề 1-2
(quyển 7) và mệnh đề 2-3 (quyển 10) trong bộ Elements. Các con số được đề cập
trong thuật toán này đại diện cho độ dài của đoạn thẳng, cho diện tích hay thể tích
nên có giá trị dương. Ngày nay, ta có thể áp dụng thuật toán này cho các số nguyên
âm và mở rộng thành một tiên đề để xây dựng tập hợp số thực.
Xuất phát từ một thực tế mà chúng tôi thấy trong quá trình giảng dạy: Khi
HS được yêu cầu tìm ƯCLN(29 844, 13 644), hầu hết các em đều có thể làm đến
kết quả sau:
29 844 = 22. 32. 829
13 644 = 22. 32. 379
Như vậy, phải chăng cách tìm ƯCLN chỉ dựa trên việc phân tích ra thừa số
nguyên tố? (Trong khi ta biết thuật chia Euclide cũng được dùng khá phổ biến trong
việc tìm ƯCLN.)
Tuy nhiên, khi giáo viên (GV) hỏi HS có chắc chắn 829 và 379 là số nguyên
tố hay không thì hầu hết HS không trả lời được. Dường như việc kiểm tra một số có
phải là số nguyên tố hay không không được HS quan tâm dù HS tìm ƯCLN theo
cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Một câu hỏi nữa xuất hiện trong những câu trả lời của HS khi được hỏi: tìm
ƯCLN(6; 12). Thay vì nhận ra 6 là ước của 12 nên nó chính là ƯCLN(6; 12) thì HS
lại phân tích hai số này thành thừa số nguyên tố rồi mới có thể trả lời được câu hỏi.

Như vậy, chúng tôi hồ nghi rằng hình như lúc nào HS cũng sử dụng cách phân tích
ra thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN của hai số tự nhiên.
Mặt khác, HS đã được sử dụng máy tính cầm tay từ lớp 6. Bên cạnh việc
giúp HS khi thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, máy tính còn có thể giúp
HS tìm được ƯCLN của hai số nguyên nhờ vào khả năng đơn giản phân số của nó.
Với mong muốn giới thiệu với HS về kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên bằng
máy tính cầm tay, chúng tôi cố gắng xây dựng một tình huống didactic, qua đó có
thể giới thiệu với học sinh về thuật toán Euclide, một thuật toán cổ xưa nhưng có rất
nhiều ứng dụng trong nhiều ngành nghề hiện nay.
Tuy nhiên, do áp lực quá lớn từ công việc ở trường đang công tác và thời
gian thực hiện luận văn có hạn, chúng tôi nhận thấy việc xây dựng một đồ án
didactic vượt quá khả năng của mình. Do đó, chúng tôi giới hạn nghiên cứu của
mình trong việc nghiên cứu về đối tượng ƯCLN trong chương trình Việt Nam cũng
như tìm hiểu về các cách tìm ƯCLN cùng với cơ sở lý thuyết của chúng.

2. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán để giải
quyết các câu hỏi nêu trên.
Xuất phát từ yêu cầu tìm hiểu đối tượng ƯCLN của hai số nguyên trong
chương trình môn Toán lớp 6, chúng tôi chọn khung lý thuyết Nhân học. Với việc
xem mỗi hoạt động của con người như là việc thực hiện một nhiệm vụ t thuộc kiểu
T, với kỹ thuật τ tương ứng, cùng với công nghệ θ cho phép giải thích τ hay có
khi sinh ra τ và lý thuyết của công nghệ, ký hiệu là Θ. Một khối [T/ τ / θ / Θ] trong
môn toán được gọi là một tổ chức toán học. Qua đó, chúng tôi sẽ tìm hiểu xem kỹ
thuật nào xuất hiện nhiều nhất trong thể chế? Vì sao?
Bên cạnh đó, lý thuyết chuyển hóa sư phạm đã chỉ ra: “vấn đề hợp pháp của
các đối tượng tri thức được dạy: tri thức được dạy được hợp pháp hóa như thế nào?
Tri thức tham chiếu nào? Cái gì quyết định sự hiện diện của tri thức này, mà không
phải là tri thức khác?”. Nhờ đó, chúng tôi có thể giải đáp được phần nào lí do của sự

vắng mặt thuật toán Euclide trong chương trình toán lớp 6, cũng như thúc đẩy


chúng tôi tìm hiểu sâu hơn về nguồn gốc cũng như tính đúng đắn của các kỹ thuật
liên quan đến kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN của hai số tự nhiên.

3. Mục đích nghiên cứu
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi sẽ tập trung vào đối tượng
ƯCLN và kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN vì nó dường như là kiểu nhiệm vụ quan
trọng nhất gắn với đối tượng này.
Sau khi tham chiếu khung lý thuyết ở trên, những câu hỏi ban đầu được
chuyển thành câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1. Liên quan đến kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN, những kỹ thuật nào xuất
hiện trong các giáo trình đại học? Những yếu tố công nghệ nào giải thích cho
các kỹ thuật này?
Q2. Trong những kiểu nhiệm vụ trên, kỹ thuật nào còn tồn tại, kỹ thuật nào
mất đi trong chương trình phổ thông? Kiểu nhiệm vụ này có ứng dụng gì
trong chương trình phổ thông?

4. Phương pháp nghiên cứu
Trên cơ sở các câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra, chúng tôi xác định các phương
pháp nghiên cứu sau:
Đối với câu hỏi Q1, để tìm hiểu về nguồn gốc và phần chứng minh của các
kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ T – tìm ƯCLN, chúng tôi sẽ tham khảo các
giáo trình về Đại số đại cương, toán rời rạc và Số học ở bậc Đại học.
Kết quả của những nghiên cứu này sẽ được trình bày ở chương I của luận
văn: “Các kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên”.
Liên quan đến các tổ chức toán học xoay quanh việc tìm ƯCLN và sự
chuyển hóa sư phạm của tri thức, cũng như các ứng dụng của đối tượng ƯCLN
trong chương trình phổ thông, chúng tôi tiến hành nghiên cứu sách giáo khoa môn

toán hiện hành của lớp 6, 7, 8 (riêng chương trình toán 6 gồm có sách bài học và bài
tập); sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán Trung học
cơ sở và sách giáo khoa môn Tin học lớp 10 hiện hành. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ


tham khảo thêm sách Pre-Algebra của Mỹ dành cho bậc trung học để đối chiếu.
Chương II - ƯCLN trong chương trình phổ thông và chương III – Phân tích sách
giáo khoa nước ngoài trên cơ sở so sánh với sách giáo khoa toán 6 sẽ trình bày kết
quả của phần này.
Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi sẽ thiết lập các câu hỏi trong đó có các tình
huống để HS bộc lộ quy tắc hành động của mình. Những phân tích tiên nghiệm và
hậu nghiệm cho thực nghiệm này sẽ được trình bày trong chương IV: “Thực
nghiệm”
Như vậy, cấu trúc của luận văn gồm các phần sau:
Phần mở đầu
Chương I: Các kỹ thuật tìm ƯCLN của hai số nguyên.
Chương II: ƯCLN trong chương trình phổ thông.
Chương III: Phân tích sách giáo khoa nước ngoài trên cơ sở so sánh
với sách giáo khoa Toán 6.
Chương IV: Thực nghiệm
Chương V: Kết luận.


CHƯƠNG I. CÁC KỸ THUẬT TÌM ƯCLN CỦA HAI SỐ
NGUYÊN
Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu về một số kỹ thuật tìm ƯCLN xuất
hiện trong các giáo trình đại học và các sách chuyên khảo nhằm làm cơ sở để phân
tích chương trình phổ thông. Các tác phẩm mà chúng tôi lựa chọn như sau:
Hoàng Chúng (1997), Số học. Bà chúa của toán học, NXB Giáo dục.
Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.

Nguyễn Hữu Anh (2010), Toán rời rạc, NXB Lao động xã hội.
Nguyễn Văn Trang (Chủ biên), Nguyễn Trường Chấng, Nguyễn Thế Thạch,
Nguyễn Hữu Thảo (2008), Hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính CASIO fx
570MS, NXB Giáo dục.
Bài toán tìm ƯCLN được nghiên cứu rất sớm trong lĩnh vực số học. Chính vì
vậy chúng tôi chọn phân tích quyển sách chuyên khảo của Hoàng Chúng (1997).
Quyển sách này không dùng để giảng dạy ở bậc đại học nhưng được nhiều giáo
viên tham khảo để giảng dạy, đặc biệt là dạy cho các học sinh giỏi. Bằng việc trình
bày một số vấn đề cơ bản của số học thông qua những bài toán cổ, quyển sách này
phù hợp với trình độ học sinh khá giỏi toán cấp 2 và 3.
Khái niệm ƯCLN được mở rộng, có lẽ ở mức độ đầu tiên, trong lĩnh vực đại
số và được giảng dạy tại các Khoa Toán của các trường Đại học Sư phạm và Khoa
học tự nhiên. Chính vì vậy, chúng tôi chọn phân tích giáo trình Đại số đại cương
của TS. Mỵ Vinh Quang (1999).
Chúng ta cũng biết, khái niệm ƯCLN được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực
công nghệ thông tin và như vậy, chúng tôi sẽ phân tích một giáo trình toán rời rạc
của Nguyễn Hữu Anh (2010). Quyển sách này được dùng làm giáo trình cho sinh
viên ngành Toán và ngành Công nghệ thông tin của Đại học Khoa học Tự nhiên TP
HCM.
Bên cạnh đó, máy tính cầm tay (MTCT) được cho phép sử dụng chính thức
trong chương trình phổ thông hiện hành (chính xác là cho bậc THCS và THPT).


Như vậy, các thuật toán tìm ƯCLN bằng máy tính bỏ túi có thể xuất hiện. Bằng
cách chọn loại MTCT đang được sử dụng phổ biến hiện nay, chúng tôi sẽ phân tích
các thuật toán tìm ƯCLN trong quyển sách chuyên khảo hướng dẫn sử dụng loại
máy này và hướng dẫn cách sử dụng chúng để giải các bài toán trong chương trình
phổ thông với lưu ý rằng chúng được xuất bản bởi Vụ Trung học phổ thông của Bộ
giáo dục và đào tạo. Vì thế, chúng có nhiều ảnh hưởng lên chương trình và SGK
phổ thông hiện hành.

Để thuận tiện cho việc trích dẫn, chúng tôi tạm kí hiệu các giáo trình này lần
lượt là [SH], [ĐSĐC], [TRR] và [HDMTCT].
Đầu tiên chúng ta sẽ mô hình hoá kiểu nhiệm vụ chính cần nghiên cứu là:
T : Tìm ƯCLN của hai số nguyên khác không cho trước
Chúng ta đã biết việc tìm ƯCLN của ba số nguyên trở lên được dựa trên việc
tìm ƯCLN trong các ƯCLN của mỗi cặp số trong các số đã cho. Do đó, trong
chương này, chúng tôi chỉ tập trung vào kiểu nhiệm vụ là tìm ƯCLN của hai số
nguyên khác 0 cho trước.
Chúng tôi sẽ không phân tích từng tác phẩm nhưng sẽ phân tích theo từng kĩ
thuật tìm thấy trong các tác phẩm này vì chúng có thể trùng nhau. Ngoài ra, chúng
tôi cũng cố gắng làm rõ mối liên hệ của các kĩ thuật này trên phương diện các yếu
tố lí thuyết giải thích chúng.

1. Dựa vào định nghĩa ( τ 1 )
Tên gọi ƯCLN xuất phát từ định nghĩa của nó và bản thân tên gọi này cũng
đã miêu tả chính xác bản chất của nó.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp
các ước chung của các số đó.
[Sách giáo khoa Toán 6, trang 54]
Định nghĩa này được công nhận và sử dụng trong tất cả các tác phẩm mà
chúng tôi đã tham khảo. Thậm chí, trong một số tài liệu như ĐSĐC hay TRR, các


tác giả sử dụng kí hiệu ƯCLN mà không nêu ra định nghĩa, như một cách mặc
nhiên công định nghĩa này.
Kỹ thuật này có các bước làm hoàn toàn dựa trên định nghĩa. Ta có thể tóm
tắt các bước làm của kỹ thuật τ 1 như sau:
• Tìm tập hợp tất cả ước chung của hai số.
• Chọn số lớn nhất trong tập hợp các ước chung đó.
θ1 : kỹ thuật τ 1 không chỉ dựa trên định nghĩa của ƯCLN của hai hay nhiều

số mà còn dựa trên cơ sở: tập hợp các ước chung của hai hay nhiều số là tập hợp có
hữu hạn phần tử.
Điều này xuất phát từ việc mỗi số nguyên chỉ có hữu hạn ước: Nếu a là ước
của b thì ta có a ≤ b , mà tập hợp N thì không thể giảm vô hạn. Ngoài ra, tập hợp N
là tập hợp được sắp thứ tự tốt. Do đó, với hai phần tử bất kì trong tập hợp các ước
chung, ta luôn tìm được số lớn hơn. Vì thế, ta luôn tìm được số lớn nhất trong tập
hợp này.

2. Chọn trong các ước của số nhỏ ( τ 2 )
Theo như tên gọi, kỹ thuật này đặc biệt hữu dụng với các số có 1 hoặc 2 chữ
số, những số quen thuộc có thể nhẩm nhanh các ước. Do ƯCLN trước hết phải là
ước chung, tức là nó phải là ước của tất cả các số đã cho nên ta có thể chọn lấy số
nhỏ nhất trong số đó và tìm tất cả các ước của nó. Sau đó, lần lượt thử xem từng
ước đó có là ước của các số còn lại không cho đến khi thử đến ước lớn nhất của số
vừa chọn. ƯCLN là số lớn nhất thỏa trong quá trình đó. Tất nhiên, việc thử chọn
này thường đi kèm với nhận xét về tính chia hết của các số đã cho.
Ví dụ, để tìm ƯCLN(22, 33, 77), ta không cần thử ước là 2 được vì chắc
chắn 33 và 77 không chia hết cho nó. Với ví dụ này, ta có thể nhẩm ngay
ƯCLN(22, 33, 77) là 11 mà không cần tính toán nhiều.
Kỹ thuật này được dựa trên định nghĩa của ƯCLN. Bên cạnh đó, quan hệ thứ
tự toàn phần của tập hợp số tự nhiên và tính duy nhất của ƯCLN cũng là cơ sở lý
thuyết cho kỹ thuật này.


3. Phân tích ra thừa số nguyên tố ( τ 3 )
Thuật toán này dựa vào một định nghĩa khác của ƯCLN(a, b): Đó là tích của
những thừa số nguyên tố chung của a và b.
Cơ sở lý thuyết θ 3 của kỹ thuật τ 3 là định lý cơ bản của Số học:
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố

một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
[SH, tr 64]
Định lý này được chứng minh dựa trên 2 định lý nhỏ hơn:
“Mọi số lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.” và “Mọi số lớn
hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất.”
Việc chứng minh những định lý này cơ bản dựa vào nguyên lý quy nạp toán
học. Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ không trình bày phần chứng minh
của các định lý này.
Lý thuyết cho công nghệ θ 3 là Số học.

4. Thuật toán Euclide ( τ 4 )
Được Euclide tìm ra và trình bày trong quyển Elements vào thế kỷ thứ 3
trước công nguyên, đây là thuật toán lâu đời nhất để tìm ƯCLN nhưng rất hiệu quả.
Đây gần như là giải thuật duy nhất dùng trong lập trình tin học hay máy tính cầm
tay với thời gian tính toán kết quả rất nhanh. Donald Knuth đã đưa ra nhận định sau
về thuật toán Euclide:
Thuật toán Euclide là ông tổ của mọi thuật toán vì nó là một thuật
toán phi thường và cổ xưa nhất còn tồn tại đến ngày hôm nay.
“The Euclidean algorithm is the granddaddy of all algorithms,
because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the
present day.”
Donald Knuth (1981), The Art of Computer Programming, Vol.2:
Seminumerical Algorithms, ấn bản thứ 2, tr 318.


Thuật toán như sau:
Nếu b là ước của a, đặt r 0 = b. Nếu không, ta thực hiện lần lượt
các phép chia có dư số:
a = bq1 + r1

, 0 ≤ r1 ≤ b

b = r1q2 + r2

, 0 ≤ r2 ≤ r1

r1 = r2 q1 + r3

, 0 ≤ r3 ≤ r2

………………………………….
rk = rk +1qk + 2 + rk + 2

, 0 ≤ rk + 2 ≤ rk +1

………………………………….
Do b > r1 > r2 > ... > rk > ... ≥ 0 , thuật toán sẽ ngưng lại sau một số
hữu hạn bước.
Gọi rn +1 là dư số đầu tiên bằng không. Ta có:
rn − 2 = rn −1qn + rn

, 0 ≤ rn ≤ rn −1

rn −1 = rn qn +1 + 0

[…]
rn là ước số chung lớn nhất của a và b.

[TRR, tr 106]
Thuật toán này dựa trên hai mệnh đề sau:

a = bp ⇒ ƯCLN(a; b) = b
a = bp + r (r ≠ 0) ⇒ ƯCLN(a; b) = ƯCLN(b; r)

Thuật toán Euclide có thể mô tả bằng sơ đồ sau:


[SH, tr 12]
Thuật toán này được chứng minh trong tài liệu [TRR] bằng phương pháp quy
nạp toán học. Đó là công nghệ θ 4 của τ 4 . Tìm hiểu sâu hơn, τ 4 được xây dựng và
chứng minh một cách hoàn chỉnh hơn dựa trên tính chất đặc trưng của vành
Euclide: tồn tại ánh xạ δ sao cho:
δ : N* → N
r →r

Trong phần chứng minh thuật toán được trình bày trong [ĐSĐC, tr 117], r là
số dư trong phép chia của số tự nhiên a cho số tự nhiên b. Tính chất của ánh xạ này
làm cho thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên
không thể giảm vô hạn. Do đó, Đại số đại cương chính là lý thuyết tham chiếu của
công nghệ θ3 .
Một biến thể khác của thuật toán này là: Với hai số tự nhiên a, b, trong đó
a>b thì ta có: ƯCLN(a, b) = ƯCLN(a – b, b).
Với cách làm này, ta không phải thực hiện phép chia mà thay vào đó là phép
trừ qua lại giữa các số, cho đến khi nào ta được cặp số bằng nhau. Do đó, kĩ thuật
này đơn giản hơn do việc thực hiện phép trừ dù sao cũng dễ hơn việc thực hiện
phép chia, đặc biệt là với các đa thức. Kỹ thuật này cũng được trình bày ở trang 48
và 49 trong sách giáo khoa môn Tin học lớp 10 hiện hành.


Ví dụ: Để tìm ƯCLN của 108 và 30, ta làm như sau:
108 = 30. 3 + 18

Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18)
30 = 18. 1 + 12
Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18) = ƯCLN(18; 12)
18 = 12. 1 + 6
Suy ra: ƯCLN(108; 30) = ƯCLN(30; 18) = ƯCLN(18; 12) = ƯCLN(12; 6)
Mà 12 chia hết cho 6 nên 6 là ƯCLN(108; 30)

5. Dùng máy tính cầm tay ( τ 5 )
Những thuật toán ở trên có thể đều cần đến máy tính cầm tay để quá trình
tính toán nhẹ nhàng hơn nhưng ở thuật toán này, máy tính cầm tay giúp ta tìm được
ƯCLN một cách trực tiếp chứ không chỉ là một công cụ tính toán. ƯCLN của hai số
được tìm ra dựa trên chức năng đơn giản phân số của máy tính và định nghĩa của
phân số tối giản: Đó là phân số có ƯCLN của tử và mẫu là 1, hay tử và mẫu là hai
số nguyên tố cùng nhau. Để đơn giản phân số, máy tính đã được lập trình để chia tử
và mẫu cho ƯCLN của chúng. Theo đó, với mỗi phân số nhập vào, máy tính đều
đơn giản đến dạng tối giản. Ứng dụng này được lập trình thành vòng lặp dựa trên
thuật toán Euclide.
Bên cạnh đó, dựa vào định nghĩa của phân số tối giản và tính duy nhất của
dạng phân tích thành thừa số nguyên tố, khi đơn giản phân số thì tử và mẫu đơn
giản cho nhau những thừa số chung. Ta tìm được ƯCLN là tích của những thừa số
chung đó. Có thể tóm tắt kỹ thuật này như sau:
• Nhập a và b thành dạng phân số
số này, ví dụ thành

a
rồi dùng máy tính đơn giản phân
b

c
.

d

• ƯCLN(a, b) = a : c hay ƯCLN(a, b) = b : d
Việc sử dụng máy tính đã đơn giản các công đoạn tính toán của HS và cho
kết quả xuất hiện nhanh chóng. Trong [HDMTCT, tr 65] có đưa ra một ví dụ minh


họa với 2 số 209865 và 283935 thì kết quả theo các bước hướng dẫn xuất hiện chỉ
trong khoảng chưa đầy 1 phút, nhanh hơn nhiều so với việc tính tay. Từ đó, việc tìm
ƯCLN của 3 số tự nhiên trở lên có thể được thực hiện bằng cách tìm ƯCLN của
từng cặp và chọn ra số nhỏ nhất trong các ƯCLN của từng cặp đó. Quan trọng hơn,
việc sử dụng máy tính còn giúp HS tránh được bước kiểm tra một số có phải là số
nguyên tố không, vốn là bước khó nhất trong thuật toán phân tính thành thừa số
nguyên tố.
Tuy nhiên, máy tính chỉ thực hiện chính xác các phép tính trong giới hạn là
±1 ở chữ số thứ 10 nên với những trường hợp vượt quá giới hạn này, kết quả của
máy tính không còn chính xác nữa.
Ví dụ: Với yêu cầu tìm ƯCLN(987 654 321; 123 456 789), dựa vào dấu hiệu
chia hết cho 9, ta biết rằng 2 số này có ước chung là 9 nên ƯCLN của chúng sẽ lớn
hơn hay bằng 9. Tuy nhiên, khi nhập vào máy tính phân số

987654321
, máy tính
123456789

không thể xuất kết quả ở dạng phân số mà màn hình chỉ hiện ra số thập phân
8,000000073 là thương của phép chia. Như vậy, để tìm ƯCLN của 2 số này, ta phải
thực hiện thêm các bước: tìm số dư của phép chia bằng cách tính hiệu của
987654321 – 8. 123456789 = 9. Theo thuật toán Euclide, ta có:
ƯCLN(987654321; 123456789) = ƯCLN(123456789; 9) = 9

Kết quả này dễ thấy qua dấu hiệu chia hết cho 9, hoặc thực hiện phép chia
trên máy tính cũng cho thấy kết quả là số nguyên.
Dù vậy, nếu xét trong chương trình toán 6 hiện hành, rõ ràng, việc sử dụng
máy tính sẽ thuận tiện và dễ dàng hơn cho học sinh.
Do được lập trình dựa vào thuật toán Euclide nên thuật toán này cùng với kỹ
thuật τ 3 và những lập trình khác của máy tính chính là công nghệ của τ 5 và lý
thuyết của công nghệ là Đại số đại cương.


6. Kết luận chương I
Từ những kỹ thuật được nêu ở trên, chúng tôi có sơ đồ sau:
một phần công nghệ

τ 1 : Dựa vào định nghĩa
τ 2 : Chọn trong các ước của số nhỏ

τ 3 : Phân tích thành thừa số nguyên tố
τ 4 : Thuật toán Euclide

τ 5 : Dùng máy tính cầm tay

Một phần
công nghệ cho τ 5

Trong các kỹ thuật trên, τ 3 và τ 4 đóng vai trò là công nghệ cho τ 5 . Thực
chất, các kỹ thuật trên còn dựa trên định nghĩa của ƯCLN, hay ta có thể nói τ 1
chính là một phần công nghệ của tất cả các kỹ thuật.
Từ các kỹ thuật để tìm ƯCLN được nêu ở trên, chúng tôi đặt lại câu hỏi
nghiên cứu như sau:
Trong tổ chức toán học xoay quanh kiểu nhiệm vụ T – Tìm ƯCLN của các

số nguyên thì những kỹ thuật nào xuất hiện trong dạy học ở trường phổ thông?
Những kỹ thuật nào được thể chế ưu tiên hơn?


CHƯƠNG II. ƯCLN TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ
THÔNG
1. Phân tích chương trình
Đối tượng ƯCLN xuất hiện trong chương trình phổ thông ở chương trình các
lớp sau:
Vị trí của đối tượng ƯCLN

Môn

Khối

Toán

6

Toán

7

Tìm ƯCLN là một công cụ để giải quyết các kiểu nhiệm vụ khác

Toán

8

trong chương trình Toán 7 và 8.

Tin

10

ƯCLN là đối tượng nghiên cứu chính và T – tìm ƯCLN là kiểu
nhiệm vụ tương ứng.

Thuật chia Euclide để tìm ƯCLN được giới thiệu trong phần mở
đầu về thuật toán.

Do đó, trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa môn Toán
lớp 6 để làm rõ các tổ chức toán học xoay quanh đối tượng ƯCLN vì ước chung
lớn nhất được trình bày lần đầu tiên và chủ yếu trong chương trình môn toán lớp 6.
Sang học kì hai, HS được học về các số hữu tỉ và các phép toán trên số hữu
tỉ. Trong đó, “Rút gọn phân số” là một bài học riêng ở §4 và đây được xem một
nhiệm vụ cơ bản trong mỗi bài thực hiện phép tính liên quan đến phân số. Kỹ thuật
được Sách giáo khoa giới thiệu là đơn giản tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của
chúng. Rút gọn phân số cũng là yêu cầu trọng tâm trong kì thi giữa học kì hai.
Lên đến lớp 7, tập hợp số hữu tỉ và các phép toán trên số hữu tỉ được nhắc lại
một lần nữa ở những bài đầu tiên. Trong đó, sách giáo khoa không hề nhắc lại cách
rút gọn phân số, xem như HS đã biết.
Bên cạnh đó, chương trình Toán 8 cũng sử dụng ƯCLN như một công cụ để
giúp đặt thừa số chung trong kiểu nhiệm vụ phân tích đa thức thành nhân tử. Dù
không được nêu ra thành một kỹ thuật chính thức trong sách giáo khoa nhưng để rút


được thừa số chung của các đơn thức trong đa thức, HS phải vận dụng ƯCLN. Vì
thế, chúng tôi cũng sẽ nghiên cứu sách giáo khoa Toán lớp 7 và 8.
Ngoài ra, dùng ƯCLN để đơn giản phân số cũng là một trong những thuật

toán cơ bản trong lập trình. HS làm quen với lập trình ở môn Tin học lớp 10. Trong
đó, đơn giản phân số được giới thiệu như là một ví dụ điển hình về lập trình dựa
trên thuật toán. Để làm rõ vị trí và vai trò của kiểu nhiệm vụ tìm ƯCLN trong môn
Tin học, chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách giáo khoa ở lớp 10 của môn này.

2. Phân tích sách giáo khoa
Trong phần này, chủ yếu chúng tôi sẽ phân tích sách giáo khoa Toán lớp 6 vì
ở cấp lớp này, HS làm quen với bài toán tìm ƯCLN lần đầu tiên. Bên cạnh đó, để
có cái nhìn tổng thể về vai trò, vị trí của bài toán tìm ƯCLN của hai số nguyên
trong chương trình môn Toán ở bậc trung học cơ sở (THCS), chúng tôi tham khảo
sách Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức và kỹ năng môn Toán Trung học cơ sở
song song với việc tham khảo sách giáo khoa môn toán lớp 7, 8.
Ngoài ra, do bài toán tìm ƯCLN cũng là một vấn đề cơ bản khi viết thuật
toán nên nó cũng xuất hiện trong chương trình môn tin học ở lớp 10. Do đó, chúng
tôi cũng sẽ phân tích sách giáo khoa này.
Để tiện trích dẫn và tránh rườm rà khi cần dẫn chứng, chúng tôi tạm viết tắt
các giáo trình trên lần lượt thành SGK 6.1, SBT 6.1, SGK 6.2, SBT 6.2, SGV 6.1,
SGV 6.2, SGK 7.1, SGV 7.1, SGK 7.2, SGV 7.2, SGK 8.1, SGV 8.1, SGK Tin 10.
2.1.

Phần bài học

Để việc nghiên cứu được toàn diện và mang tính hệ thống, ngoài việc phân
tích tiết 17 – Ước chung lớn nhất, chúng tôi cũng sẽ phân tích các kiến thức ở
những tiết trước đó làm nền tảng cho bài học này.
2.1.1. SGK 6
2.1.1.1.

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi đến với bài học về ƯCLN ở tiết 17, HS được làm quen với một số
kiến thức chuẩn bị, lần lượt ở các tiết:


§11. Dấu hiệu chia hết cho 2, 5.
§12. Dấu hiệu chia hết cho 3, 9.
§13. Ước và bội.
§14. Số nguyên tố. Hợp số. Bảng số nguyên tố.
§15. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
§16. Ước chung. Bội chung.
Như vậy, HS được học về các dấu hiệu chia hết – một căn cứ để xác định
một số là hợp số hay số nguyên tố. Bên cạnh đó, HS được cung cấp định nghĩa của
ước và bội, cách tìm tập hợp ước và bội của một số ở tiết 13. HS cũng được giới
thiệu thế nào là hợp số, thế nào là số nguyên tố qua bài học ở tiết 14. Đến tiết 15 –
Phân tích một số ra thừa số nguyên tố, HS được học cách phân tích một số ra thừa
số nguyên tố. Đây là bài học rất quan trọng trong việc cung cấp kiến thức chuẩn bị
cho bài ƯCLN, đặc biệt là đối với cách tìm ƯCLN bằng việc phân tích một hợp số
ra thừa số nguyên tố. Ở bài học này, SGK 6.1 hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ
dạng cây và theo cột dọc.
Tuy nhiên, để xác định một số có là số nguyên tố hay không, hay nói một
cách khác là khi nào ta dừng việc phân tích này lại thì SGK 6.1 không trình bày
trong phần bài học. Phần hướng dẫn chỉ xuất hiện trong phần đọc thêm sau tiết 14.
KIỂM TRA MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ
Để kết luận số a là số nguyên tố (a > 1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không
chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a. Như vậy:
29 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5.
67 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7.
127 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11.
173 là số nguyên tố vì nó không chia hết cho 2; 3; 5; 7; 11; 13.
[SGK 6.1, tr 48]

SGK 6.1 cũng đã có bài 123 trang 48 để dẫn dắt cho bài tập dạng này trước
phần đọc thêm.
Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà bình phương của nó không
vượt quá a, tức là a ≥ p2.
a

29

67

49

127

173

253

p

Trước đó, SGK 6.1 cũng có yêu cầu HS xác định số nào là số nguyên tố, số
nào là hợp số như các bài 115, 116, 117, 120 ở trang 47:
115. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
312; 213; 435; 417; 3311; 67.
116. Gọi P là tập hợp các số nguyên tố. Điền kí hiệu ∈, ∉, ⊂ vào ô vuông
cho đúng:
83

P, 91

P, 15

N, P

N.

117. Dùng bảng số nguyên tố ở cuối sách, tìm các số nguyên tố trong các số
sau: 117; 131; 313; 469; 647.
118. Tổng (hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a) 3. 4. 5 + 6. 7

b) 7. 9. 911 – 2. 3. 4. 7

c) 3. 5. 7 + 11. 13. 17

d) 16 354 + 67 541

120. Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố: 5* ; 9* .
[SGK 6.1, tr 47]
Ở những bài tập này, HS chỉ cần căn cứ vào các dấu hiệu chia hết cho 2; 3;
5; 9 là có thể xác định ngay số đó có là số nguyên tố hay không. Thậm chí, đối với
bài 117, SGK 6.1 chỉ cần HS tra cứu ở bảng số nguyên tố ở cuối sách. Riêng đối với


bài 118, HS có thể nhận xét dựa vào tính chẵn lẻ và dấu hiệu chia hết cho 5 hoặc
tính các tổng (hiệu) ra là thấy ngay các tổng (hiệu) trên là hợp số.
Như vậy, cách trình bày của SGK 6.1 cho thấy: kiểm tra một số có là số
nguyên tố hay không không phải là nhiệm vụ trọng tâm mà chương trình nhắm đến.

Các bài tập của dạng bài này cũng chỉ dựa trên các dấu hiệu chia hết đã học.
2.1.1.2.

Bài học ƯCLN

Về nội dung và mục tiêu cho phần kiến thức này được đưa ra trong Sách giáo
viên Toán 6 là:
_ Học sinh hiểu được thế nào là ƯCLN của hai hay nhiều số, thế nào là hai
số nguyên tố cùng nhau, ba số nguyên tố cùng nhau.
_ Học sinh biết tìm ƯCLN của hai hay nhiều số bằng cách phân tích các số
đó ra thừa số nguyên tố, từ đó biết cách tìm các ước chung của hai hay
nhiều số.
_ Học sinh biết tìm ƯCLN một cách hợp lí trong từng trường hợp cụ thể,
biết vận dụng tìm ước chung và ƯCLN trong các bài toán thực tế đơn giản.
[SGV 6.1, tr 77]
Bắt đầu bài học ở tiết 17, SGK 6.1 cho HS tìm hiểu ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm tập hợp các ước chung của 12 và 30.
Ta lần lượt tìm được: Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Vậy ƯC(12; 30) = {1; 2; 3; 6}
Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của 12 và 30 là 6. Ta nói 6 là ước
chung lớn nhất (ƯCLN) của 12 và 30, kí hiệu
ƯCLN(12, 30) = 6.
[SGK 6.1, tr 54]
Đi từ các ước chung của 12 và 30 rồi chọn số lớn nhất trong tập hợp các ước
chung đó, SGK 6.1 đưa ra định nghĩa về ƯCLN như sau:


Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp
các ước chung của số đó.

[SGK 6.1, tr 54]
Qua cách dẫn dắt vào bài học cũng như thông qua định nghĩa, HS sẽ nghĩ
ngay đến kỹ thuật dựa trên định nghĩa. Tuy nhiên, câu hỏi SGK 6.1 đặt ra ngay từ
đầu bài học: “Có cách nào tìm ước chung của hai hay nhiều số mà không cần liệt kê
các ước của mỗi số hay không?” cho thấy rằng kỹ thuật dựa trên định nghĩa không
phải là kỹ thuật được chương trình hướng HS đến.
Thay vào đó, SGK 6.1 hướng dẫn cho HS một kỹ thuật khác để tìm ƯCLN.
Kỹ thuật đó được trình bày minh họa qua ví dụ:
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN(36; 84; 168)
Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố:
36 = 22. 32
84 = 22. 3. 7
168 = 23. 3. 7
Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ
nhỏ nhất của 3 là 1. Khi đó:
ƯCLN(36; 84; 168) = 22. 3 = 12
[SGK 6.1, tr 55]
Ngay sau đó, SGK 6.1 trình bày kỹ thuật dưới dạng bài học: nội dung kỹ
thuật được in đậm và đóng khung:
Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba
bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ
nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
[SGK 6.1, tr 55]


Phần trình bày trên của SGK 6.1 thể hiện rõ: kỹ thuật tìm ƯCLN thông qua
việc phân tích các số ra thừa số nguyên tố được thể chế ưu tiên. Ta có thể nhận thấy

các bước của kỹ thuật này được minh họa một cách rõ ràng qua Ví dụ 2.
Tuy nhiên, cả ví dụ hay phần bài học đều không được SGK 6.1 giải thích vì
sao kỹ thuật này giúp ta tìm được ƯCLN. Ở ví dụ 2, SGK 6.1 cũng không so sánh
ƯCLN vừa tìm được với ƯCLN có được từ cách làm bằng định nghĩa để chỉ ra cho
HS thấy tính đúng đắn của thuật toán.
Thế nhưng, đối với các số nguyên tố cùng nhau thì ở bước hai, HS không thể
nào chọn ra được các thừa số nguyên tố chung. Do đó, kỹ thuật phân tích ra thừa số
nguyên tố không phải là giải pháp cho mọi trường hợp. Mặt khác, nếu trong các số
đã cho để tìm ƯCLN, nếu tồn tại một số là ước của tất cả các số còn lại thì HS cũng
không cần dùng đến kỹ thuật này. Trong hoạt động 2, HS có thể thấy ngay điều này:
Tìm ƯCLN(8, 9); ƯCLN(8; 12; 15); ƯCLN (24; 16; 8)
[SGK 6.1, tr 55]
Đây là dụng ý của SGK 6.1 nhằm dẫn dắt HS đến các trường hợp đặc biệt
được nêu trong Chú ý ngay sau đó:
Chú ý:
Nếu các số đã cho không có thừa số nguyên tố nào chung thì ƯCLN
của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên
tố cùng nhau.
Ví dụ: 8 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau; 8; 12; 15 là ba số
nguyên tố cùng nhau.
Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì
ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Ví dụ: ƯCLN(24; 16; 8) = 8
[SGK 6.1, tr 55]