Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
I - PHẦN MỞ ĐẦU
1) Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến
thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các
môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán
còn giúp học sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho
học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư
tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân.
Ở trường trung học cơ sở, trong dạy học Toán: cùng với việc hình thành
cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí; thì việc dạy học
giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung
tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh trung
học cơ sở, có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việc học
toán. Do đó việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải
toán là rất cần thiết và không thể thiếu được.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường trung học cơ sở tôi
đi sâu nghiên cứu nội dung chương trình và qua thực tế dạy học tôi thấy: trong
chương trình Toán trung học cơ sở "Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất" rất đa dạng, phong phú và thú vị, có một ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh ở bậc học này nhất là các em trong đội tuyển. Ở trung học
cơ sở học sinh chưa có các công cụ giải toán cao cấp để giải các bài toán này.
Chính vì vậy, các bài toán cực trị đại số ở trung học cơ sở không theo quy tắc
hoặc khuôn mẫu nào cả, nó đòi hỏi người học phải có một cách suy nghĩ logic
sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách logic có hệ
thống.
2) Mục đích của đề tài:
1
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Trên thực tế giảng dạy đội tuyển Toán 9 những năm qua tôi nhận thấy:
phần “ Các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất" là một trong những

phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trường trung học cơ sở.
Thế nhưng thực trạng học sinh trường chúng tôi và những trường tôi đã từng dạy
là: học sinh không có hứng thú với loại toán này, bởi lẽ các bài toán tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số ở trường trung học cơ sở không
theo một phương pháp nhất định nên các em rất lúng túng khi làm toán này, các
em không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Hầu hết học sinh rất ngại
khi gặp các bài toán cực trị và không biết vận dụng để giải quyết các bài tập
khác.
Thực trạng đó khiến tôi luôn băn khoăn suy nghĩ: "Làm thế nào để học sinh
không thấy ngại và có hứng thú với loại toán này". Với trách nhiệm của người
giáo viên tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn phần này.
3) Phạm vi đề tài:
Đề tài này đề cập đến đối tượng học sinh khá giỏi khối 9.
4) Phương pháp nghiên cứu:
Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy của bản
thân và của một số đồng nghiệp; qua sự tìm tòi thử nghiệm, được sự giúp đỡ của
các bạn đồng nghiệp. Đặc biệt là những bài học sau những năm ở trường sư
phạm.
2
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
II - PHẦN NỘI DUNG
1) Cơ sở lý luận.
Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài
toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, giúp các em học tốt hơn. Đồng thời
hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát
hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động
thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học luôn mong muốn làm được những việc
đạt kết quả cao nhất, tốt nhất.
1.1) Lý thuyết cơ bản về dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất :
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào

đó xác định. Nếu với bộ giá trị của các biến (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S mà ta có: P(x
0
,
y
0
, z
0
) ≥ P(x, y, , z) hoặc P(x
0
, y
0
, z
0
) ≤ P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z)
lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
) trên miền S.
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x

0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực
đại tại (x
0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmax tại (x
0
, y
0
, z
0
) .Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ
nhất tại (x
0
, y
0
, z
0
)
∈
S còn gọi là P đạt cực tiểu tại (x

0
, y
0
, z
0
) hoặc Pmin tại
(x
0
, y
0
, z
0
) .
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của
P trên miền S.
1.2. Nguyên tắc chung tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
Tìm cực trị của một biểu thức trên một miền xác định nào đó là vấn đề rộng
và phức tạp, nguyên tắc chung là:
*) Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác
định S, ta cần chứng minh hai bước:
3
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
- Chứng tỏ rằng P ≥ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S
- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
*) Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trên miền xác định
S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng P ≤ k (với k là hằng số) với mọi giá trị của các biến trên
miền xác định S

- Chỉ ra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức.
Chú ý rằng không được thiếu một bước nào trong hai bước trên.
Ví dụ : Cho biểu thức A = x + (x – 2)
Một học sinh tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A như sau:
Ta có x ≥ 0 ; (x – 2) ≥ 0 nên A ≥ 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0.
Lời giải trên có đúng không?
Giải:
Lời giải trên không đúng. Sai lầm của lời giải trên là mới chứng tỏ rằng A
≥
0 nhưng chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức
không xảy ra, vì không thể có đồng thời:
x = 0 và (x – 2) = 0 .
Lời giải đúng là:
A = x + (x – 2) = x + x – 4x + 4 = 2x – 4x + 4
= 2(x – 2x + 1) + 2 = 2(x – 1) + 2
Ta có: (x – 1) ≥ 0 , ∀x

⇒
2(x – 1) + 2 ≥ 2 ∀ x
4
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:

⇒
A ≥ 2 ∀x
Do đó A = 2 ⇔ x = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 2 với x = 1.
1.3 Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị của một biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất của bất đẳng thức, các cách chứng minh bất đẳng thức.

b) Sử dụng thành thạo một số bất đẳng thức quen thuộc:
* a ≥ 0, tổng quát: a ≥ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* – a ≤ 0, tổng quát: – a ≤ 0 (k nguyên dương)
Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0
* ≥ 0 (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* – ≤ a ≤ . (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = 0)
* + ≥ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ ab ≥ 0)
* – ≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a≥ b≥ 0 hoặc a ≤ b≤ 0)
* a + ≥ 2 ,∀a >0 và a + ≤ – 2 , ∀ a <0
* ≥ ≥ ab ; ∀a,b (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0
⇒
≤ (Xảy ra dấu đẳng thức ⇔ a = b)
2)Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Thực trạng khi nhận chuyên môn phân công dạy đội tuyển toán 9 ở những
tiết đầu tiên tôi cảm thấy cách học của đa số học sinh trong đội tuyển nắm kiến
thức rất thụ động mang nhiều tính sách vở.
5
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Để Thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức
phát vấn trắc nghiệm rút ra một hiện tượng nổi bật học sinh trả lời rõ ràng mạch
lạc nhưng mang tính chất học vẹt chấp hành đúng nguyên bản, quá trình dạy để
kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra một số ví dụ thì học
sinh lúng túng không biết thực hiện như thế nào.
Qua việc khảo sát việc nắm bắt dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức” trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi lớp 9 đầu HK I năm
học 2011 - 2012
Số HS
điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5

SL % SL % Sl % SL %
15 01 6,7% 2 13,3% 5 33,3% 7 46,7%
Sau khi kiểm tra tôi thấy số học sinh chưa năm được kiến thức dạng này
dẫn tới kết quả thấp 7em chiếm tỉ lệ 46,7% ;số học sinh nắm phương pháp còn
mơ hồ kết quả chưa cao 5 em chiếm tỉ lệ 33,3%, một số học sinh nắm phương
pháp và biết phân dạng nhưng kỹ năng còn chậm 2em chiếm tỉ lệ 13,3% ;1em
thực sự có hứng thú với dạng toán này (có năng lực suy luận, tư duy sáng tạo),
chiếm tỉ lệ 6,7% .
Xuất phát từ những khó khăn của học sinh và qua thực tế giảng dạy tôi tìm
tòi nghiên cứu và đã mạnh dạn đưa ra các giải pháp sau:
3) Các giải pháp:
Thông qua các bài toán trong sách giáo khoa (sách tham khảo) tôi tiến
hành phân loại thành một số dạng cơ bản nhất về các bài toán cực trị trong đại
số ở trung học cơ sở rồi hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết
để giải từng dạng toán đó. Sau đây là một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất thường gặp :
6
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A(x) = x– 4x+1
Trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kỳ.
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi về
dạng A(x)
≥
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến và chỉ ra trường hợp xảy ra
đẳng thức
Lời giải: A(x) = x – 4x + 1

= x – 2.2x + 1
= (x – 2.2x + 4) – 3
= (x – 2) – 3
Với ∀x: (x – 2) ≥ 0 nên ta có:
A(x) = (x – 2) – 3 ≥ –3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng –3 khi x =2
Đáp số: A(x) nhỏ nhất = – 3 với x =2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B(x) = – 5x– 4x + 1
Trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kỳ
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa
B(x) về dạng B(x)
≤
k (k là hằng số) với mọi giá trị của biến khi đó giá trị lớn
nhất của B(x)= k và chỉ ra khi nào xảy ra đẳng thức
7
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Lời giải: B(x) = – 5x – 4x + 1
= –5(x + x) +1
= –5 [ x + 2. x + ()
2
– () ] + 1
= –5[(x + ) – ] + 1
= –5(x + ) + + 1
= –5(x + ) +
Với mọi giá trị của x: (x + ) ≥ 0 nên –5(x + ) ≤ 0
suy ra: B(x)= –5(x + ) + ≤
Vậy B(x)đạt giá trị lớn nhất khi B(x)= , khi x =
Đáp số: B(x) lớn nhất = với x = –

Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax + bx + c
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a > 0
Tìm giá trị lớn nhất của P nếu a < 0
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của P ta cần phải biến đổi sao
cho P = a.A(x) + k . Sau đó xét với từng trường hợp a > 0 hoặc a <0 để tìm giá
trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.
Lời giải:
P = a(x+ x) + c
= a( x + 2.x. + ) + c –
= a(x + ) + k với k = c –
Do (x + ) ≥ 0 nên:
8
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
+ Nếu a > 0 thì a(x + ) ≥ 0 do đó P ≥ k
+ Nếu a < 0 thì a(x + ) < 0 do đó P ≤ k
Vậy khi x = thì P có giá trị nhỏ nhất bằng k (nếu a > 0)
hoặc giá trị lớn nhất bằng k (nếu a < 0)
DẠNG 2: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT,GIÁ TRI LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC BẬC CAO:
Ví dụ 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x+ x + 1)
Hướng dẫn giải:
(?) Ta nhận thấy A = (x + x + 1) ≥ 0, nhưng giá trị nhỏ nhất của A có phải
bằng 0 hay không? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A ≥ 0 nhưng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0
vì: x+ x +1 ≠ 0
Do đó Amin  (x+ x +1) min
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x + x +1? và tìm giá trị nhỏ nhất của A?

Trả lời: Ta có x+ x +1 = x + 2x. + – + 1
= (x+ ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của x + x + 1 bằng với x = –
Trả lời: Giá trị nhỏ nhất của A bằng () = với x = –
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x – 6x + 10x – 6x + 9
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: - Hãy viết biểu thức dưới dạng A(x) + B(x) ≥ 0
9
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
- Xét xem xảy ra dấu đẳng thức khi nào? Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức bằng bao nhiêu?
Lời giải: x – 6x + 10x – 6x + 9 = x – 2.x.3x + (3x) + x – 2x.3 +3
= (x – 3x) + (x –3) ≥ 0
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi:
x – 3x = 0 x = 0 x = 0
 x – 3 = 0  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 0 với x = 3
DẠNG 3: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = +
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối do đó chúng ta phải nghỉ
tới các khoảng nghiệm và định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức.
A Nếu A ≥ 0
=
– A Nếu A ≤ 0
Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta tính giá trị của A trong các

khoảng nghiệm. So sánh các giá trị của A trong các khoảng nghiệm đó để tìm ra
giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải
+ Trong khoảng x < 2 thì = – (x – 2) = 2 – x
10
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
= – (x – 5) = 5 – x

⇒
A = 2 – x + 5 – x = 7 – 2x
Do x < 2 nên –2x > – 4 do đó A = 7 – 2x > 3
+ Trong khoảng 2 ≤ x ≤ 5 thì = x – 2
= – (x – 5) = 5 – x
⇒
A = x – 2 + 5 – x = 3
+ Trong khoảng x > 5 thì = x – 2
= x – 5
⇒
A = x – 2 + x –5 = 2x – 7
Do x > 5 nên 2x > 10 do đó A = 2x – 7 > 3
So sánh các giá trị của A trong các khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ nhất
của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
Đáp số: A = 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
Cách 2: Ta có thể sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối của một tổng nhỏ
hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A.
Lời giải: A = += +
Ta có: + ≥ ≥ 3
≥ 0
A = 3   (x – 2)(5 – x) ≥ 0

≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 3 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 5
11
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
DẠNG 4: BÀI TOÁN TÌM GTNN, GTLN CỦA PHÂN THỨC CÓ
TỬ LÀ HẰNG SỐ, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của M =
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Sử dụng tính chất a ≥ b, ab >0
⇒
≤ hoặc theo quy tắc so sánh hai
phân số cùng tử, tử và mẫu đều dương.
Lời giải:
Xét M = = =
Ta thấy (2x – 1) ≥ 0 nên (2x – 1) + 4 ≥ 4
Do đó: ≤
Trả lời: Vậy M lớn nhất bằng khi 2x – 1 = 0 => x =
Đáp số: M lớn nhất = với x =
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
Hướng dẫn giải:
Ta có: B = = – = –
Vì (x – 1) ≥ 0 => (x + 1) + 3 ≥ 3
=> ≤ => – ≥ –
Vậy B nhỏ nhất bằng – khi x – 1 = 0 => x =1
Đáp số: M nhỏ nhất = – với x = 1
Chú ý: Khi gặp dạng bài tập này các em thường mắc sai lầm lập luận
rằng M (hoặc B) có tử là hằng số nên M (hoặc B) lớn nhất (nhỏ nhất) khi mẫu
nhỏ nhất (lớn nhất)
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức

Mẫu thức x – 3 có giá trị nhỏ nhất là – 3 khi x = 0
12
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Nhưng với x = 0 thì = – không phải là giá trị lớn nhất của phân thức
Chẳng hạn với x = 2 thì = 1 > –
Như vậy từ –3 < 1 không thể suy ra – >
Vậy từ a < b chỉ suy ra được > khi a và b cùng dấu .
DẠNG 5: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Cách 1:
Gợi ý: Hãy viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x + 1, rồi đổi biến bằng
cách viết A dưới dạng tổng các biểu thức là lũy thừa của . Từ đó tìm giá trị
nhỏ nhất của A.
Lời giải: Ta có: x + x + 1 = (x + 2x + 1) – (x +1) + 1
= (x +1) – (x +1) + 1
Do đó A = – + = 1 – +
Đặt y = khi đó biểu thức A trở thành: A = 1 – y + y
Ta có: A = 1 – y + y = y – 2.y. + ( ) +
= (y– ) + ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi và chỉ khi:
y – = 0 ⇒ y= hay =

⇔
x + 1 = 2

⇔
x = 1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x = 1
Cách 2:

13
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Gợi ý: Ta có thể viết A dưới dạng tổng của một số với một biểu thức
không âm. Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Lời giải:
A = = =
A =
A = +
A = + [] ≥
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng khi x – 1=0 ⇒ x =1
Đáp số: A nhỏ nhất = khi x =1
DẠNG 6: BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA
MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ DẠNG ≥ 0 (HOẶC
≤ 0)
Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M(x) = (Với x ∈ R)
Hướng dẫn giải:
Gợi ý: Từ M(x) = ta có:
M(x) = =
(?) Ta có thể chia cả tử thức và mẫu thức của biểu thức cho x + 2x + 3
được không? Vì sao?
Trả lời: Vì x + 2x + 3 = x + 2x + 1 + 2 = (x+1) > 0 với mọi giá trị của
x. nên sau khi chia cả tử và mẫu cho x + 2x + 3 ta được M(x) = 3 +
(?) Bài toán xuất hiện điều gì mới?
Trả lời: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
(?) Hãy tìm giá trị lớn nhất của từ đó suy ra giá trị lớn nhất của M(x)
Trả lời: Vì (x+1) ≥ 0 Với ∀ x
14
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
Nên (x+1) + 2 ≥ 2 với ∀ x
Do đó ≤

Từ đó ta có: M(x) = 3 + ≤ 3 + = 3
Dấu “=” xảy ra khi x+1= 0 hay x = 1
Vậy giá trị lớn nhất của M(x) = 3 khi và chỉ khi x= –1
Đáp số: M(x) Lớn nhất = 3 với x = –1
4) Kết quả nghiên cứu:
Qua một năm thực hiện tôi thấy các em đã hiểu rõ và rèn luyện được một
số kỹ năng quan trọng trong việc giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất. Học sinh dần dần chú trọng khi giải toán chứ không lúng túng như
trước.Quá trình rèn luyện khả năng tư duy đã giúp các em không những phân
dạng được mà còn nắm bắt được phương pháp phù hợp để giải từng dạng. Chính
vì thế mà trong học tập của học sinh do bản thân tôi phụ trách hầu hết các em
nắm chắc kiến thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Kết quả khảo sát cuối
năm việc nắm đề tài này trên đối tượng 15 học sinh khá giỏi ban đầu tôi nhận
thấy đã 10 hs chiếm tỉ lệ 66,7% đã năm chắc chuyên đề tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất (biết phân dạng và tìm ra phương pháp phù hợp), 5 em chiếm tỉ
lệ 33,4 % biết thực hiện nhưng còn chậm (Bước đầu đã biết định hướng được
dạng và phương pháp nhưng còn thụ động và chậm, đang cần sự gợi ý) .
KẾT QUẢ CỤ THỂ
Số HS điểm 9 - 10 điểm 7 - 8 điểm 5 - 6 điểm dưới 5
SL % SL % Sl % SL %
15 03 20 % 7 46,7% 5 33,4% 0 0 %
III - PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
15
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
1) Kết luận
Với đề tài “ Rèn kỹ năng cho học sinh khá giỏi lớp 9 biết phân dạng và
tìm lời giải cho bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất” Tôi đã cố gắng hệ
thống một số dạng cơ bản nhất về các bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
trong chương trình toán nâng cao 9. Trong mỗi giờ dạy tôi có đưa ra cơ sở lí
thuyết và những ví dụ trong mỗi ví dụ đó có gợi ý và hướng dẫn học sinh cách

giải và những chú ý cần thiết để khi gặp các ví dụ khác các em có thể giải được.
Các dạng bài tập đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm
giúp cho học sinh có những kiến thức cơ bản về giải bài toán cực trị trong đại số
thcs. Bên cạnh đó tôi còn đưa ra các ví dụ là các bài toán tổng hợp các kiến thức
và kĩ năng tính toán, khả năng tư duy ở cấp học này, qua đó làm cho các em say
mê hứng thú học tập bộ môn Toán.
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy vẫn còn một số học sinh bỡ ngỡ trong
quá trình giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, lập luận chưa
có căn cứ, suy diễn chưa hợp logic dẫn tới lời giải còn sai.
2) Đề xuất,đề nghị: Không
Mặc dù có rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian không nhiều, do trình độ
năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn hạn chế nên trong cách trình bày
không tránh khỏi những sơ xuất thiếu sót . Rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp
ý của các thầy, cô và bạn đồng nghiệp để tôi có thể rút kinh nghiệm trong quá
trình giảng dạy của mình trong thời gian sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG
Cẩm Thủy, ngày 26 tháng 03 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác
( Ký và ghi rõ họ tên)
16
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
…… Bùi Tiến Dũng
PHỤ LỤC
1 - Kinh nghiệm dạy và học toán (Vũ Hữu Bình)
2 - Phương pháp giảng dạy môn Toán (Nguyễn Hữu Thảo)
3 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1, tập 2 (Bộ giáo dục)

4 - Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1, tập 2 ( Vũ Hữu Bình )
5 - Các dạng toán điển hình 9 tập 1, tập 2 ( ThS. Lê Đức )

17
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
18
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
MỤC LỤC
Nội dung: Trang
I – PHẦN MỞ ĐẦU:
1) Lý do chọn đề tài: 1
2) Mục đích của đề tài: 1
3) Phạm vi của đề tài: 2
4) Phương pháp nghiên cứu: 2
II – PHẦN NỘI DUNG:
1) Cơ sở lý luận. 3
2) Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 5
3) Các giải pháp 5
4) Kết quả nghiên cứu 13
III - PHẦN KẾT LUẬN:
1) Kết luận 15
2) Đề xuất, đề nghị 15

PHỤ LỤC 16
19
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:
ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA
HĐKH TRƯỜNG

20
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA
HĐKH PGD HUYỆN CẨM THỦY
21
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:

22
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:







ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA
HĐKH SỞ GD & ĐT TỈNH THANH HÓA

23
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Email:






















24