vai trò công cụ của khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN HOÀNG

VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN HOÀNG

VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM
HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: DIDACTIC TOÁN
Mã số: 60.14.10
Người hướng dẫn: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn độc lập. Những
trích dẫn trong luận văn là hoàn toàn chính xác.


MỤC LỤC
Lời cam đoan .............................................................................................................. 1
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 6
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................. 6
2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 7
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu ............................. 7
4. Tổ chức của luận văn ....................................................................................... 9
Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI
NIỆM HÀM SỐ ....................................................................................................... 11
1.1.

Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm ............................. 11

1.1.1. Cơ chế công cụ ........................................................................................ 11
1.1.2. Cơ chế đối tượng ..................................................................................... 11
1.1.3. Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm .................................... 12
1.2.

Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ ........... 12

1.2.1.

Thời cổ đại ........................................................................................... 12

1.2.2.

Thời trung đại ....................................................................................... 13

1.2.3.

Thế kỷ 16 - 17 ...................................................................................... 14

1.2.4 Thế kỷ 18 .................................................................................................. 17
1.2.5

Nửa đầu thế kỷ 19 ............................................................................... 21

1.2.6

Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay ................................................................. 23

1.3.

Kết luận chương 1 ....................................................................................... 25

Chương 2: PHÂN TÍCH QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ NHÌN
TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ ........................................................................ 28
2.1.

Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn từ lớp 1 đến lớp 6 ........ 28

2.2.

Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 7 đến lớp 9 ............ 32

2.3.

Hàm số và vai trò công cụ của nó trong giai đoạn lớp 10 đến lớp 12 ........ 39

2.4. Tóm tắt tiến trình giảng dạy hàm số và vai trò công cụ của nó trong chương
trình Toán phổ thông ............................................................................................. 46
2.5.

Kết luận chương 1-2 và giả thuyết nghiên cứu .......................................... 48

Chương 3 THỰC NGHIỆM ..................................................................................... 49


3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 49
3.2. Đối tượng thực nghiệm .................................................................................. 49
3.3. Xây dựng đồ án thực nghiệm ........................................................................ 49
3.4. Biến tình huống, biến didactic của các bài toán thực nghiệm ....................... 50
3.5.

Phân tích tiên nghiệm và ảnh hưởng của biến đến các chiến lược ............. 51

3.6.

Dự tính tiến trình dạy học ........................................................................... 53

3.7

Phân tích hậu nghiệm.................................................................................. 54

3.7.1 Ghi nhận tổng quát ................................................................................... 55

3.7.2 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ..................................................... 55
3.8. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 56
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 59
PHỤ LỤC ................................................................................................................. 62


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Nhiều công trình nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học cho thấy “ trong
quá trình nảy sinh và tiến triển của mình, hầu hết các khái niệm của toán học đều
xuất hiện (trong lịch sử) trước hết như một công cụ ngầm ẩn để giải quyết các vấn
đề nào đó, sau đó chúng mới là đối tượng nghiên cứu của toán học. Khi đã có vị trí
chính thức của một khái niệm toán học nó lại được sử dụng như một công cụ tường
minh để giải quyết các vấn đề khác” 1. Nói cách khác, chúng thường nảy sinh và
tiến triển theo tiến trình : Công cụ → Đối tượng → Công cụ.
Rõ ràng rằng sự xuất hiện theo tiến trình này của một khái niệm toán học cho
phép giải thích rõ “nghĩa” của khái niệm (lí do nảy sinh khái niệm, đặc trưng của
các tình huống gắn liền với sự nảy sinh đó,…).
Điều này có còn đúng với các khái niệm toán học được giảng dạy trong
chương trình toán phổ thông ?
Có sự tương đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận một khái niệm trong
chương trình toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử?
Làm thế nào xây dựng các tình huống giảng dạy cho phép một khái niệm toán
học xuất hiện trước hết với vai trò công cụ, trước khi định nghĩa và nghiên cứu về
nó?
Trên đây là một số câu hỏi lôi cuốn sự quan tâm đặc biệt của chúng tôi. Tuy
nhiên, trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, việc tìm câu trả lời đòi hỏi chúng tôi
phải hạn chế nghiên cứu của mình vào một khái niệm ở một cấp độ chương trình cụ
thể và một số mặt nghiên cứu xác định.

Với định hướng đó, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm hàm số trong
chương trình toán ở trường phổ thông (từ lớp 1 đến 6 và từ lớp 7 đến lớp 12 phần
đại số), từ góc độ vai trò công cụ của nó với các lí do sau đây :
- Đó là một trong các khái niệm chiếm vị trí quan trọng nhất của chương trình.
1

Nguồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003


Đặc biệt, nó xuất hiện ngay từ bậc tiểu học (chẳng hạn, ngầm ẩn qua các bảng
tương ứng).
- Nó thường được sử dụng như công cụ để nghiên cứu nhiều khái niệm toán
học khác trong chương trình.
- Ở Việt Nam, quán triệt “Quan điểm hàm” hay “Tư duy hàm” thường được
khuyết khích nhấn mạnh trong dạy học toán ở trường phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu
trên đối với trường hợp khái niệm hàm số, mà chúng tôi cụ thể hóa như sau :
- Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của mình, khái niệm hàm số đã xuất hiện
theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công cụ của khái niệm hàm số thể
hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái niệm hàm số xuất hiện với vai
trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ?
- Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số
xuất hiện theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số xuất hiện, vai trò
công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương đồng và khác biệt nào của
tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ thông so với tiến
trình tương ứng của nó trong lịch sử ?
- Làm thế nào xây dựng tình huống giảng dạy để khái niệm hàm số xuất hiện
trước hết với vai trò công cụ, trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu ?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của
mình trong phạm vi của Didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm
của Lý thuyết tình huống như: khái niệm tình huống dạy học, biến didactic, đồ án
didactic để thiết kế tình huống dạy học, phân tích a priori và a posteriori tình huống.
Sử dụng các khái niệm của Lý thuyết nhân chủng học như: tổ chức toán học, quan
hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế
với khái niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Ngoài ra, khái niệm Hợp đồng


didactic được sử dụng để giải thích các ứng xử của học sinh trong tình huống thực
nghiệm.
Chúng tôi xem khái niệm hàm số trong một số giáo trình đại học hiện nay
như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học để tham chiếu.
Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
của mình như sau:
Q 1 : Từ những công trình nghiên cứu về lịch sử hình thành khái niệm hàm số đã có,
khái niệm hàm số đã xuất hiện theo tiến trình nào ? Trong tiến trình đó, vai trò công
cụ của khái niệm hàm số thể hiện ra sao ? Những tình huống nào cho phép khái
niệm hàm số xuất hiện với vai trò công cụ ? Đặc trưng của những tình huống này ?
Q 2 : Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, khái niệm hàm số
được đưa vào giảng dạy có theo tiến trình nào? Trước và sau khi khái niệm hàm số
được giảng dạy, vai trò công cụ của khái niệm này thể hiện ra sao? Có sự tương
đồng và khác biệt nào của tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình
toán phổ thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử ?
Q 3 : Làm thế nào xây dựng một đồ án didactic để giảng dạy khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ
lệ nghịch bằng cách vận dụng vai trò công cụ (ngầm ẩn) của khái niệm hàm số
trước khi hàm số được định nghĩa và nghiên cứu trong chương trình toán phổ
thông?
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp
nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN KHÁI NIỆM
HÀM SỐ TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ
NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ KHÁI NIỆM
HÀM SỐ NHÌN TỪ GÓC ĐỘ VAI TRÒ CÔNG CỤ
XÂY DỰNG ĐỒ ÁN DẠY HỌC ĐỂ KHÁI NIỆM TỈ
LỆ THUẬN BẰNH CÁCH VẬN DỤNG CÔNG CỤ
CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ


Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau:
+ Trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học luận lịch sử hình khái niệm hàm
số nhìn từ góc độ vai trò công cụ trên cơ sở phân tích, tổng hợp một số công trình
đã có về nghiên cứu lịch sử khái niệm hàm số để trả lời câu hỏi Q 1 chúng tôi nêu ở
trên.
+ Tiếp theo chúng tôi thực hiện một phân tích thứ hai là phân tích mối quan
hệ thể chế với khái niệm hàm số (nhìn từ góc độ vai trò công cụ). Chúng tôi sẽ tiến
thành phân tích sách giáo khoa toán hiện hành để trả lời câu hỏi Q 2 .
+ Trên cơ sở các phân tích trên chúng tôi nghiên cứu xây dựng các công đoạn
dạy học khái niệm tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch bằng việc vận dụng công cụ của khái
niệm hàm số. Chúng tôi xây dựng đồ án - Phân tích apriori tình huống - Thực
nghiệm đồ án và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với
phân tích a priori.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương:
+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn
đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu
và cấu trúc của luận văn.
+ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khoa học luận khái niệm
hàm số từ góc độ vai trò công cụ. Cụ thể là phân tích tiến trình xuất hiện của các
khái niệm hàm số qua các thời kì, tương ứng với các khái niệm đó chúng tôi xem

xét vai trò công cụ của nó, và các tình huống dẫn đến khái niệm này.
+ Chương 2 là sự phân tích bộ SGK Toán của Việt Nam (từ lớp 1 đến lớp 12)
nhìn từ góc độ vai trò công cụ. Với mục đích phân tích: phân tích tiến trình tiếp cận
khái niệm hàm số trong sách giáo khoa ; xem xét vai trò công cụ (ngầm ẩn – tường


minh) của khái niệm này trước và sau khi sách giáo khoa đưa ra định nghĩa. Từ đó,
chúng tôi đối chiếu tiến trình tiếp cận khái niệm hàm số trong chương trình toán phổ
thông so với tiến trình tương ứng của nó trong lịch sử.
+ Chương 3 xây dựng đồ án, phân tích apriori tình huống, thực nghiệm đồ án
và phân tích a posteriori các dữ kiện thu thập được, đối chiếu với phân tích a priori.
+ Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1,
2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận
văn.


Chương 1: PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN VAI TRÒ CÔNG
CỤ CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ
Mục tiêu của chương
Phần đầu của chương này chúng tôi trình bày cơ chế hoạt động của khái
niệm: cơ chế đối tượng, cơ chế công cụ 2. Từ đó, dựa trên một số tài liệu về lịch sử
toán học đã có chúng tôi tiến hành phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái
niệm hàm số nhìn từ góc độ vai trò công cụ của nó. Chúng tôi phân tích, xem xét
các tình huống, các bài toán dẫn đến khái niệm hàm số mà khái niệm hàm số được
vận dụng như một công cụ để giải quyết tình huống, bài toán.
1.1. Cơ chế hoạt động và hình thức thể hiện của khái niệm
R.Douady phân biệt ba cơ chế hoạt động khác nhau của khái niệm toán học: cơ
chế “Đối tượng”, cơ chế “Công cụ ngầm ẩn” và cơ chế “Công cụ tường minh”.
1.1.1. Cơ chế công cụ
Ta nói, một khái niệm hoạt động dưới dạng Công cụ khi nó được sử dụng một

cách ngầm ẩn hay rõ ràng như một phương tiện để giải quyết một bài toán, một vấn
đề.
Ta nói đến Công cụ rõ ràng đối với các khái niệm được vận dụng bởi chủ thể
và chủ thể có thể trình bày, giải thích việc dùng chúng.
Ta nói đến Công cụ ngầm ẩn đối với các khái niệm được vận dụng ngầm ẩn
bởi chủ thể và chủ thể không thể trình bày hay giải thích việc dùng này.
1.1.2. Cơ chế đối tượng
Ở cấp độ tri thức khoa học, một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng, theo
nghĩa một đối tượng văn hóa có vị trí trong cơ cấu tổ chức rộng hơn, đó là tri thức
khoa học ở một thời điểm đã cho, được thừa nhận bởi xã hội, chúng là đối tượng
nghiên cứu của các nhà toán học.

2

Nguồn: Lê Văn Tiến - Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông - NXB ĐHSP 2003


Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động
dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được định nghĩa, được
khai thác các tính chất,…)
1.1.3. Các hình thức thể hiện khác nhau của khái niệm
Theo Yves Chevallar (1991), một khái niệm toán học có thể thể hiện dưới ba
hình thức sau đây:
Khái niệm tiền toán học (protomathématique) : không tên, không định nghĩa,
hoạt động như một công cụ ngầm ẩn.
Khái niệm gần toán (paramethématique) : có tên, không có định nghĩa. Chúng
là những khái niệm công cụ của hoạt động toán học. Nói chung, chúng không phải
là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học.
Khái niệm toán học: chúng vừa là đối tượng nghiên cứu vừa là công cụ được
vận dụng để giải quyết các vấn đề. Chúng có tên và được định nghĩa ( theo nghĩa

chặt chẽ, hay theo kiểu quy ước, mô tả, kiến thiết,…)
Chú ý: Các cơ chế hoạt động và các hình thức thể hiện của một khái niệm chỉ
có tính chất tương đối. Việc phân biệt phải căn cứ vào cấp độ, nơi, thời gian, phạm
vi toán học,….
1.2. Phân tích khoa học luận khái niệm hàm số nhìn từ góc độ công cụ
1.2.1. Thời cổ đại

Trong thời cổ đại người Babylon đã lập và sử dụng bảng bình phương,
bảng căn bậc hai, bảng lập phương, bảng căn bậc ba, bảng bộ ba số
Pythagore. Người Hy Lạp thì có bảng Sin ….

Bảng bình phương của người Babylon


Rõ ràng trong các bảng này xác định sự tương ứng một - một: ứng với một số
tự nhiên có bình phương tương ứng của nó, theo chiều ngược lại ứng với một
số, có căn bậc hai (dương) của nó tương ứng. Theo toán học hiện đại những
bảng này xác định một hàm số từ  đến  . ET Bell đã viết năm 1945: “Sẽ
không nói quá khi cho rằng, người Babylon cổ đại, với thiên hướng về hàm số; một
hàm số được định nghĩa là một bảng hay một sự tương ứng”.
Tại hội thảo R.E.M 1995, Annie Bessot viết: “các khái niệm về hàm số không
có chỗ trong toán học Hy Lạp.” Còn J J O'Connor và E F Robertson khẳng định
“Chúng tôi phải từ chối các đề nghị cho rằng khái niệm hàm số có mặt trong toán
học Babylon ngay cả khi chúng ta thấy rằng họ đã nghiên cứu các hàm số cụ thể.”
Công cụ ngầm ẩn của khái niệm hàm số trong thời kì này thể hiện trong việc
sử dụng các bảng này. Ứng với một số tự nhiên có căn bậc hai, căn bậc ba tương
ứng của nó. Theo chiều ngược lại, ứng với một số tự nhiên có bình phương, lập
phương tương ứng của số đó.
1.2.2. Thời trung đại
Theo PGS. TS Lê Thị Hoài Châu:“Đây là thời kỳ mà người ta tìm cách định

lượng một số hiện tượng hay một số đại lượng như vận tốc, nhiệt độ, mật độ…Các
quy luật của hiện tượng tự nhiên bắt đầu được nghiên cứu như những luật kiểu hàm
số” 3.
Youschkevitch đã viết , “ Năm 1350 Oresme đã mô tả các quy luật tự nhiên
như sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác” 4. Chẳng hạn,
N.Oresme (1323 -1382) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động theo thời
gian bằng hình học như sau:

Vận tốc
…

Thời gian
3
4

Tạp chí toán tin - 2002
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept- P 1


Và liên quan đến vận tốc Oresme đã đưa ra một phép chứng minh bằng hình học
cho kết quả sau: trong một khoảng thời gian xác định, một vật chuyển động nhanh
dần đều sẽ đi được một quãng đường bằng với quãng đường vật thứ hai chuyển
động đều với vận tốc bằng trung bình cộng các vận tốc ở hai đầu mút của vật thứ
nhất. Oresme đã chứng minh như sau:

C
G
B

F

A

Đường nằm ngang AB biểu diễn cho thời gian, đường thẳng đứng AC biểu diễn cho
vận tốc tức thời, F là trung điểm AC biểu diễn cho vận tốc chuyển động đều thì diện
tích tam giác ABC là quãng đường vật chuyển động nhanh dần đều đi được, diện
tích hình chữ nhật AFGH là quãng đường vật chuyển động đều đi được, và diện tích
hai hình này bằng nhau.
Nếu gọi a là gia tốc của vật thứ nhất, gốc thời gian tại A thì trục AC biểu diễn
vận tốc tức thời v = at . Hay trục AC là biểu diễn hình học của hàm vận tốc theo
thời gian t , tương ứng với thời gian t B ta có vận tốc v C tương ứng. Trong chứng
minh trên còn thể hiện ngầm ẩn công thức tính quãng đường vật chuyển động nhanh
dần đều đi được S (t ) =

1
1
1
AB. AC = AB × AF = t × at = at 2 , và hàm S(t) được
2
2
2

biểu diễm ngầm ẩn bằng diện tích tam giác ABC hay diện tích hình chữ nhật
ABGF.
Trong thời kỳ này hàm số vẫn chưa xuất hiện, chưa được định nghĩa, hàm số
xuất hiện ngầm ẩn, sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả bằng lời, bằng
hình học. Và hàm số được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn để giải thích hay
chứng minh một hiện tượng Vật lý và quy luật của các hiện tượng tự nhiên.
1.2.3. Thế kỷ 16 - 17

“Với sự ra đời của ngành Đại số Viète (Viète 1540-1603) đã cho phép ghi một
biểu thức bao gồm cả các đại lượng đã biết và chưa biết. Chính sự ra đời của
ngành đại số hiện đại này đã ảnh hưởng rất lớn đến quá trình hình thành khái niệm
hàm số trong toán học” 5.
Trong thời điểm này, những nghiên cứu về chuyển động của Galileo cho thấy
Ông đã hiểu rất rõ về mối quan hệ giữa các biến. Galileo nhấn mạnh rằng “toán học
là công cụ thích hợp nhất để nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên”. Theo Ông, để
nghiên cứu một hiện tượng, nhất định cần phải đo lường số lượng, xác định quy
luật, và phải được mô tả một cách đơn giản nhất có thể bằng toán học. Năm 1638
Galileo nghiên cứu hai đường tròn đồng tâm O, đường tròn lớn hơn (C’) có bán
kính gấp 2 lần bán kính đường tròn nhỏ (C). Các công thức quen thuộc cho chu vi
của (C’) gấp hai chu vi của (C). Tuy nhiên với điểm P bất kỳ trên (C) nối OP cắt
(C’) tại duy nhất một điểm P’. Cho thấy Galileo đã xây dựng một “hàm số” : một
điểm trên (C ) tương ứng với duy nhất một điểm trên (C’). Tương tự, nếu lấy điểm
Q bất kỳ trên (C’), nối QO cũng cắt (C ) tại duy nhất một điểm Q’. Một lần nữa
Galileo lại có một “hàm số”: một điểm trên (C’) ứng với một điểm trên (C ).

O

P

P’

Q’
Q
Qua đó cho thấy Galileo đã chứng minh hai đường tròn trên có cùng số điểm, mặc
dù chu vi của (C’) gấp hai chu vi của (C). Hay hàm số được vận dụng như một công
cụ ngầm ẩn để chứng minh hai đường trong trên có cùng “lực lượng” điểm.
Cùng thời với Galileo, Descartes đã giới thiệu đại số trong hình học trong cuốn
La Géométrie. Ông nói “ Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng đối với

5

Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM


đường y ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta
có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ đó ta mô tả được
đường cong mong muốn”. Trong mô tả trên tương ứng mỗi giá trị của “đường y” ta
có tương ứng giá trị của “đường x”, chính sự tương ứng đó mô tả một đường cong.
Vì vậy, có thể nói khái niệm hàm số đã xuất hiện ngầm ẩn bằng đường cong hình
học.
Newton (1642-1727) đã sử dụng khái niệm hàm số dưới dạng cơ học và hình
học. Trong tác phẩm “phép tính vi phân và các chuỗi vô hạn” Ông đã chọn thời gian
là một khái niệm phổ biến và giải thích những biến phụ thuộc như là những đại
lượng sinh ra từ đó theo một cách thức liên tục. Và cũng trong tác phẩm này
Newton đã cho thấy làm thế nào “hàm số” có thể được khai triển thành chuỗi vô
hạn, do đó cho phép sự can thiệp của các quá trình vô hạn trong tính toán. Ông đã
sử dụng thuật ngữ "fluent" để chỉ các biến độc lập, "relata quantitas" để chỉ ra các
biến phụ thuộc và "genita" để chỉ kết quả thu được từ bốn phép tính cơ bản của số
học.
Leibniz (1646-1716), là người đầu tiên đã sử dụng từ hàm số để mô tả những
vấn đề rất chung về sự phụ thuộc của các đại lượng hình học như tiếp tuyến và pháp
tuyến vào hình dạng của đường cong. , Leibniz viết vào tháng 8 năm 1673: “…
dạng khác của đường, mà theo hình đã cho biểu diễn một hàm số nào đó” . Ông
cũng đưa vào các thuật ngữ “ biến số”, “hằng số” , “tham số”, “tọa độ”.
Trong một bức thư của Johann Bernoulli (1667- 1727) gửi cho Leibniz ngày
02 tháng 9 năm 1694 Bernoulli đã diễn tả một hàm số như là “… một đại lượng
được hình thành từ biến số và hằng số theo một cách nào đó”. PGS.TS Lê Thị Hoài
Châu đã nhận xét về định nghĩa hàm số của Bernoulli như sau: “ Trong chiều sâu
của định nghĩa chưa thật hoàn chỉnh ấy là ý tưởng biểu diễn hàm số bằng một công

thức giải tích. Nhưng dường như không phải Bernoulli đã hiểu rằng hàm số còn là
một cái gì đấy khác với những biểu thức giải tích được biết đến ở thời điểm đó.”


Một trong những phát minh gây chấn động trong giới khoa học Anh trong thế
kỷ này là phát minh của Jonh Napier (1550 – 1617) về logairt. Bảng logarit các số
từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số sau dấu phẩy 6 . Chính bảng logarit này đã
giúp các nhà “khoa học” lúc bấy giờ tiết kiệm rất nhiều thời gian trong tính toán và
nghiên cứu thiên văn.
Tóm lại trong thế kỷ 16 – 17 khái niệm hàm số đã được mô tả ngầm ẩn bằng
hình học, bằng đường cong hình học. Đến cuối thế kỉ 17 Johann Bernoulli đã định
nghĩa hàm số, nhưng định nghĩa này thiếu chính xác, “ý tưởng của định nghĩa là
hàm số được cho bằng biểu thức giải tích” 7. Hàm số được sử dụng như một công cụ
ngầm ẩn để chứng minh toán học (chứng minh hai đường tròn có bán kính khác
nhau nhưng có cùng “lực lượng điểm”), mô tả đường cong hình học, xác định hệ số
góc của tiếp tuyến của đường cong tại một điểm, tìm logarit qua bảng tính của
Nepier,…
1.2.4 Thế kỷ 18
Trong tác phẩm Introductio in analysin infinitorum xuất bản năm 1748, trong
lời giới thiệu Euler nhấn mạnh “toán học giải tích là một ngành khoa học tổng quát
về biến số và các hàm số của nó”. Và Ông đã đưa ra định nghĩa hàm số: “ Hàm số
của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được hình thành theo một
cách nào đó từ biến số và hằng số” 8. Euler không định nghĩa “biểu thức giải tích”
nhưng có thể hiểu “biểu thức giải tích” bao gồm các phép toán đại số, phép lấy căn,
chuỗi số, hàm số mũ, logarit, lượng giác, đạo hàm, tích phân. Euler cũng phân chia
hàm số thành các loại khác nhau như hàm số đại số, hàm số siêu việt. Ví dụ các hàm
siêu việt: hàm số mũ, hàm số logarit…Và Ông cho rằng tất cả các hàm siêu việt cần
được nghiên cứu bằng cách khai triển nó thành chuỗi (nhưng phải chứng minh trong

6

Nguồn : Nguyễn Cang – Lịch sử Toán học
Nguồn : Lê Thị Hoài Châu – Tạp chí Toán Tin 2002 ĐHSP TP.HCM
8
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
7


từng trường hợp cụ thể). Euler còn đưa ra định nghĩa hàm số liên tục là hàm “chỉ
bểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích” 9.
Một trong trong những bài toán nổi tiếng ở thế kỷ 17- 18 là bài toán Basel:
∞
1 1
1
1
Tính tổng của chuỗi 1 + 2 + 3 + ... + 2 + ... =
được Jakob Bernoulli giới
∑
2
2 3
n
n =1 n

thiệu từ năm 1689. Bài toán trên đã thu hút và đã làm tốn rất nhiều công sức của các
nhà Toán học đương đại. Euler đã vận dụng hàm số để giải bài toán Besel như sau:

sin x
sin x
x2 x4 x6
=−

1
+ − + ....
Euler dùng khai triển hàm
tại x = 0 :
x
x
3! 5! 7!
Ông lưu ý rằng

(1)

sin x
= 0 khi x =
±π ; ±2π ; ±3π ; ±4π .... , do đó
x

sin x  x  x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
=
1 − 1 + 1 −
1 +
1 − 1 + 1 −
1 +
 ...
x

 π  π  2π  2π  3π  3π  4π  4π 
 x 2 
x 2 
x 2 
x2 
= 1 − 2 1 − 2 1 − 2 1 −
... (2)
2 
4
9
16
π
π
π
π





Hệ số chứa x2 của đẳng thức trên là (−1 −

1 1 1
1
− − ...) 2
4 9 16 π

(3)

Ông lập luận rằng hệ số chứa x2 ở (1) và (2) phải bằng nhau, do đó ta được:

1 1 1
1 −1
1 1 1
π2
(−1 − − − − ...) 2=
⇒ 1 + + + + ...=
4 9 16
π
3!
4 9 16
6
Nhận xét: Euler đã vận dụng công thức khai triển hàm sinx tại x= 0 của Newton , và
tính toán hình thức trên biểu thức vô hạn. Sử dụng phương pháp đồng nhất thức của
hai đẳng thức bằng nhau (1) và (2) được kết quả (−1 −
9

Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept

1 1 1
1 −1
− − − ...) 2 = .
4 9 16
3!
π


Một trong các vấn đề gây tranh cãi nhiều trong thời gian này đó là bài toán
Vibrating-String: Một dây đàn hồi có hai đầu cố định là 0 và l , nó được làm biến
dạng thành một số hình dạng ban đầu, sau đó nó được thả ra cho dao động. Vấn đề

đặt ra là xác định một hàm số mô tả hình dạng của chuỗi tại thời gian t.

l
0
Để hiểu được các cuộc tranh luận xung quanh vấn đề chuỗi dao động, đầu
tiên chúng ta phải đề cập đến “tín điều” (article of faith) của toán học ở thế kỷ 18:
“Nếu hai biểu thức giải tích đồng nhất trên một khoảng thì chúng đồng nhất trên
mọi khoảng” 10.
Năm 1747, d'Alembert đưa ra lời giải như sau: Ông cho rằng giao động của
2
d2y
2 d y
(*)( a là
dây rung được biểu diễn các phương trình vi phân từng phần 2 = a
∂t
∂x 2

hằng số). Phương trình (*) được gọi là wave equation, với các điều kiện biên

=
y (0, t ) 0;=
y (l , t ) 0

dy
( x) và
0
và điều kiện ban =
đầu: y ( x,0) f=
t =0
∂t

Ông đã giải phương trình vi phân từng phần và tìm được:

y ( x, t ) =

ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
, với ϕ là hàm tùy ý .
2

,0) f=
( x) ϕ ( x) trên (0; l )
Từ đó y ( x=

ϕ ( x + 2l ) =
ϕ ( x) và ϕ (− x) =
ϕ ( x)

10

Nguồn: Evolution of the Function Concept: A Brief Survey


Do vậy ϕ xác định trên (0; l ) và biểu diễn hình dạng ban đầu của dây rung, ϕ là
hàm liên tục và là hàm tuần hoàn lẻ với chu kì 2l . D'Alembert cho rằng hàm ϕ ( x)
(cũng như f(x)) phải là một biểu thức giải tích, do đó nó phải cho bằng công thức .
Hơn nữa biểu thức giải tích thỏa phương trình wave equation và phải khả vi cấp hai.
Năm 1748, Euler đã viết một bài báo về bài toán này, trong đó ông hoàn toàn
đồng ý với d'Alembert giải pháp mà d'Alembert đưa ra, nhưng khác với d'Alembert
về giải thích của mình. Euler lập luận rằng giải pháp d'Alembert's không “tổng
quát”, Ông khẳng định rằng với thực nghiệm cho thấy khi cho các giá trị t khác

nhau vào phương trình y ( x, t ) =

ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
ta được hình dạng của dây
2

rung, ngay cả khi hình dạng ban đầu của dây rung không được biểu diễn bằng một
đơn công thức giải tích (biểu thức đơn). Nhìn nhận theo quan điểm vật lý, Euler lập
luận rằng hình dạng ban đầu của chuỗi có thể được cho:(a) hoặc bởi nhiều công
thức khác nhau trên khoảng con của khoảng (0; l ) ; (b)hoặc bằng cung tùy ý được vẽ
(bằng tay). Nhưng cả hai loại hàm số (a) và (b) là không liên tục (theo quan điểm
toán học lúc đó), vì vậy giải pháp của d'Alembert's không tổng quát.
Năm 1753, Daniel Bernoulli đưa ra lời giải: Phương trình của chuỗi rung:

nπ x
nπ at
y ( x, t ) = ∑ bn sin
.cos
,0) f=
( x)
,vì vậy y ( x=
l
l
n =1
∞

∞

∑ b sin
n =1

n

nπ x
, với f ( x) là
l

hàm bất kì biểu diễn hình dạng ban đầu của dây rung.
Cả Euler và d'Alembert đều không chấp nhận giải pháp của Bernoulli, họ cho
rằng giải pháp của Bernoulli là “ấu trĩ” vì theo “ tín điều” toán học lúc bấy giờ thì
∞

f ( x) và

∑ b sin
n =1

n

∞

khoảng. Mà

∑ b sin
n =1

“ấu trĩ”.

nπ x
l

n

đồng nhất trên (0; l ) nên nó phải đồng nhất trên mọi

nπ x
là hàm tuần hoàn lẻ, do đó kết luận f ( x) là hàm tùy ý là
l


Cuộc tranh luận kéo dài đến vài năm sau, có cả sự tham gia của Lagrange
nhưng không giải quyết được vấn đề. Nguyên nhân do quan niệm “hàm số” phải là
biểu thức giải tích. Như A Brief Survey đã viết “tuy rằng cuộc tranh luận không

có hồi kết, nhưng nó có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển mở rộng khái
niệm hàm số”11.
Tóm lại: Hàm số trong giai đoạn này được định nghĩa là biểu thức giải tích.
Trong giai đoạn này hàm số được sử dụng như một công cụ để tính tổng của chuỗi
vô hạn, để nghiên cứu các vấn đề của vật lý,…
1.2.5 Nửa đầu thế kỷ 19
Trong các tác phẩm của Euler và Lagrange, một hàm số được gọi là liên tục
nếu nó được biểu diễn bằng duy nhất một biểu thức giải tích (biểu thức giải tích
đơn), một hàm là không liên tục nếu nó được cho bằng hai hay nhiều biểu thức giải
tích (hàm hỗn hợp). Tuy nhiên Cauchy đã chỉ ra rằng định nghĩa trên là thiếu chính
xác và đưa ra phản ví dụ sau:=
y

 x khi x ≥ 0
, theo định nghĩa liên tục
=

x2 
−
x
x
khi
<
0


của Euler và Lagrange thì hàm số này vừa liên tục vừa gián đoạn, liên tục khi viết
 x khi x ≥ 0
. Cauchy cho rằng nghịch lý này
y = x 2 ; gián đoạn khi viết y = 
−
x
x
khi
<
0


sẽ biến mất khi các định nghĩa cũ được thay bằng định nghĩa mới: "Khi các biến
được cho cùng nhau, nếu giá trị của một trong các biến được cho, ta có thể tính
được giá trị của tất cả các biến còn lại. Thường thì các biến phụ thuộc vào một biến
nào đó, khi đó biến này gọi là biến độc lập, và đại lượng phụ thuộc vào biến độc
lập được gọi là hàm số của biến này” 12. Định nghĩa này được Cauchy giới thiệu
năm 1821, trong tác phẩm Cours d'anlyse.

11
12

Nguồn: Evolution of the Function Concept: A Brief Surve
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept


Trong tác phẩm Théorie analytique de la Chaleur xất bản năm 1822, Fourier
đã định nghiã hàm số như sau: “ Nói chung, một hàm số f(x) đại diện cho một loạt
các giá trị hoặc tung độ của các giá trị được cho. Với vô số giá trị của đường
ngang x, ứng với vô số giá trị f(x) của đường thẳng đứng. Tất các các giá trị bằng
số, số dương hoặc âm, hoặc số không. Chúng tôi cho rằng giá trị tung độ không bắt
buộc phải có cùng quy luật, chúng có thể hình thành bằng bất cứ cách nào, và với
mỗi giá trị của biến được cho thì có duy nhất một giá trị f(x)” 13. Rõ ràng định nghĩa
hàm số của Fourier đã không còn phụ thuộc vào biểu thức giải tích, và trong định
nghĩa trên đã nhấn mạnh đến tự tương ứng.
Năm 1837, Dirichlet đưa ra định nghĩa hàm số: “ y là hàm số của biến x, xác
định trên khoảng a < x < b, nếu mọi giá trị của biến x trong khoảng này có tương
ứng một giá trị của biến y. Ngoài ra nó không phụ thuộc vào sự tương ứng được
thiết lập.” 14 . Và Ông cũng đưa ra định nghĩa hàm sồ liên tục : “Gọi a , b là hai giá
trị cố định, x là một đại lượng biến thiên giữa a và b. Nếu tương ứng với mỗi x đều
có một giá trị xác định y = f(x), và y biến thiên một cách liên tục khi chính x biến
thiên một cách liên tục từ a đến b, thì ta nói y là một hàm số liên tục trên khoảng
này. Theo quan điểm hình học, nếu xem x và y như là hoành độ và tung độ của một
điểm, sao cho với mỗi giá trị của x thuộc khoảng được xét đều tương ứng với một
và chỉ một giá trị của y, thì sự liên tục của hàm số sẽ xảy ra khi đường cong là liền
nét trong một khoảng” 15
Trong bài báo xuất bản năm 1829 Dirichlet đã đưa ra một ví dụ một hàm xác
0
định trên đoạn [0 ;1] không liên tục tại mọi điểm: f ( x) = 
1

Nếu x là số vô tỉ
Nếu x là số hữu tỉ

(hàm Dirichlet). Đây là một hàm số đầu tiên không cho bằng biểu thức giải tích, và
cũng không phải là một đường cong; Đây cũng là một hàm số không liên tục tại mọi
điểm ( theo nghĩa liên tục của Dirichlet); Minh họa một hàm số như là một quy tắc
tùy ý.
13

Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
15
Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept
14


Năm 1838 Lobachevsky định nghĩa hàm số: “ Một hàm số của x là một số
được cho với mỗi x và biến đổi dần dần cùng với x. Giá trị của hàm số có thể được
cho bằng một biểu thức giải tích, hoặc bằng một điều kiện làm phương tiện để thử
tất cả các số và chọn một trong chúng, hoặc cuối cùng, sự phụ thuộc có thể tồn tại
nhưng còn chưa được biết” 16. Rõ ràng theo định nghĩa này thì hàm Dirichlet không
là hàm số vì f(x) không biến đổi dần dần cùng với x.
Khái niệm hàm số liên tục được ứng dụng trong việc chứng minh phương trình
bậc cao có nghiệm trên một khoảng. Như trong giáo trình Toán của Viện Toán, và
trong nhiều giáo trình đại học trình bày định lý Bolzano – Cauchy: “ Nếu f liên tục
trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì có ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0” .
Tóm lại: Trong nửa đầu thế kỷ 19 các nhà toán học quan tâm nhiều đến hàm số liên
tục. Chính định nghĩa hàm số liên tục đã dẫn đến mâu thuẫn, và để khắc phục mâu
thuẫn này các nhà toán học đã đưa ra định nghĩa mới. Như định nghĩa của Fourier
đã bắt đầu nhấn mạnh đến sự tương ứng phụ thuộc. Khái niệm hàm số liên tục được

sử dụng như một công cụ để chứng minh phương trình bậc cao có nghiệm trong một
khoảng.
1.2.6 Nửa cuối thế kỷ 19 đến nay

Năm 1874 đánh dấu sự ra đời của lý thuyết tập hợp được khởi sướng
bởi Cantor (1845-1918). Chính sự ra đời của lý thuyết tập hợp này khái niệm
hàm số đòi hỏi phải được mở rộng để ứng dụng trong khoa học và thực tiễn,
người ta bắt đầu định nghĩa hàm số dựa trên ánh xạ của hai tập.
Năm 1917 Caratheodory đã định nghĩa hàm số “ là sự tương ứng giữa tập A
và tập số thực”.
Trong tập một của bộ “cơ sở giải tích và lý thuyết tập hợp” của Bourbaki
xuất bản năm 1939 khái niệm hàm số đã được định nghĩa như sau: “Cho E và F là
16

Nguồn: J J O'Connor and E F Robertson - The function concept


hai tập hợp phân biệt hoặc không. Quan hệ gữa phần tử x thuộc E với một phần tử
y thuộc F gọi là quan hệ hàm nếu với mỗi x thuộc E tồn tại một và chỉ một phần tử
y của F có quan hệ với x. Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi thao tác kết
hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x. Ta nói y là giá
trị của hàm đối với phần tử x, và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho”.
Định nghĩa của Schwatz (Sinh ở Paris năm 1915):
“ Giả sử E và F là hai tập hợp, ta gọi là một ánh xạ từ E vào F hay một hàm
xác định trong E và lấy giá trị trong F khi tất cả các tương ứng f theo đó mỗi phần
tử x của E được đặt với một phần tử kí hiệu là f(x) của F.
f
→ F có nghĩa: f là ánh xạ từ E vào F. E gọi là tập nguồn và F
Kí hiệu E 

được gọi là tập đích của ánh xạ”.
Định nghĩa hàm số trong giáo trình toán cao cấp (A1) của TS Vũ Gia Tê:
“Cho X là một tập không rỗng của  . Một ánh xạ f từ X vào  gọi là một
hàm số một biến

f :X →

x  f ( x)
X gọi là tập xác định của hàm sô, f(X) gọi là tập giá trị của f. Đôi khi ký hiệu

=
y f ( x), x ∈ X , x gọi là đối số, y gọi là hàm số”
Định nghĩa hàm số trong giáo trình giải tích 1 của TS Đinh Thế Lục (chủ
biên) – Viện Toán học:
“Cho X, Y là hai tập khác rỗng của tập số thực  . Phép ứng f từ X vào Y
gọi là hàm số trên X.
Ta viết y = f ( x) có nghĩa y là giá trị (trong Y) ứng với x (trong X).


Người ta gọi x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc hay giá trị
của của hàm số f tại x.
Tập X gọi là miền xác định của hàm số f

{y / ∃x ∈ X : y= f ( x)} được gọi là miền giá trị (hay tập ảnh) của
Tập R =
f
hàm f. Miền giá trị không nhất thiết phải bằng toàn bộ Y”.
Ngày nay Toán học có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Như João Pedro
Ponte 17 viết: “ Ngày nay Toán học không chỉ dành riêng cho khoa học Vật lý như
trong quá khứ. Toán học đã được vận dụng trong nhiều lĩnh vực. Nó trở thành một

công cụ cho việc nghiên cứu các hiện tượng và tình trạng của khoa học sinh học,
khoa học con người và xã hội, kinh doanh, truyền thông, kỹ thuật và công nghệ.
Toán học có chức năng mô tả, giải thích dự đoán và kiểm soát”.
1.3. Kết luận chương 1
Phần kết luận chương 1 chúng tôi tóm tắt trong bảng sau:
Giai

Cơ chế hoạt động của

Hình thức

Đặc trưng của

Phương tiện

đoạn

khái niệm

thể hiện của

khái niệm

biểu diễn

khái niệm
+ Công cụ ngầm ẩn thể
hiện trong việc thiết lập
Cổ đại

+ Phụ thuộc

bảng tương ứng của một + Không có ngầm ẩn

+ Bảng số

số với căn bậc hai, căn tên, không có + Biến thiên
bậc ba… của số đó

định nghĩa

ngầm ẩn

+ Không là đối tượng

+ Tương ứng

nghiên cứu

ngầm ẩn

+ Công cụ ngầm ẩn thể
hiện trong việc mô tả,
17

+ Phụ thuộc

Centro de Investigação em Educação da Faculdade de Ciências University of Lisbon

+ Bằng lời