vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Tồn

VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Trường Tồn

VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10
Chuyên ngành: Lý Luận Và Phương Pháp dạy Học Môn Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải hiệu
trưởng trường TH – THCS – THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11, TP. Hồ Chí Minh, nguyên
trưởng phòng đào tạo trương Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dành
nhiều công sức hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành luận văn này
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến,
TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy,
truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức didactic toán. Xin trân trọng cảm ơn các
thầy cô khác đã tham gia giảng dạy lớp didactic toán khóa 19.
Tôi cũng chân thành cảm ơn:
* Phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi
hoàn tất chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn
* Ban giám hiệu trường TH – THCS – THPT Đại Việt, Gò Vấp TP. Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian để tôi hoàn thành khóa học
* Các bạn giáo viên đồng nghiệp: Nguyễn Thị Kim Cúc (trường THPT Bình
Sơn, Hòn Đất, Kiên Giang), Trần Nguyễn Quang Thái (trường THPT Thanh Bình I,
Thanh Bình, Đồng Tháp), Cao Bảo Đằng (trường THPT Thủ Khoa Nghĩa, Châu Đốc,
An Giang) đã hỗ trợ tôi hoàn thành bài thực nghiệm
* Các bạn cùng khóa didactic toán khóa 19 đã chia sẽ những niềm vui cũng
như những khó khăn trong suốt khóa học


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
ĐS: đại số
HH: hình học
HS: học sinh
GV: giáo viên
SBT: sách bài tập
SGK: sách giáo khoa
SGV: sách giáo viên
HHGT: hình học giải tích

THCS: trung học cơ sở
THPT: trung học phổ thông
[X, tr.Y]: tài liệu tham khảo X, trang Y
X/SBT/Y: bài tập X của SBT trang Y
X/SGK/Y: bài tập X của SGK trangY


MỤC LỤC
Trang

LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. 4
MỤC LỤC ................................................................................................ 5
MỞ ĐẦU ................................................................................................. 7
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................... 7
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 8
3. Lí thuyết tham chiếu ............................................................................................... 9
3.1.Lý thuyết nhân chủng học ............................................................................. 9
3.1.1. Quan hệ cá nhân ......................................................................................... 9
3.1.2. Quan hệ thể chế.......................................................................................... 9
3.1.3. Tổ chức toán học...................................................................................... 10
3.2. Hợp đồng didactic ...................................................................................... 11
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn .............................................. 12
4.1. Phương pháp nghiên cứu: ........................................................................... 12
4.2. Cấu trúc của luận văn ........................................................................................ 13
CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

............................................................................................................. 14
1. Hình vẽ trong dạy hình học .................................................................................. 14
1.1. Hình hình học và hình vẽ ........................................................................... 14

1.1.1. Hình hình học........................................................................................... 14


1.1.2. Hình vẽ ..................................................................................................... 15
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu .............................................. 15
2. Hình học giải tích ................................................................................................. 19
CHƯƠNG II: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG HÌNH VẼ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 10 ..................................................... 21
A. Phân tích chương trình ......................................................................................... 22
B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10 ....................................................................... 22
I. Tìm hiểu SGV ................................................................................................ 22
II. Tìm hiểu SGK ............................................................................................... 25
1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm........................................................... 25
2. Hình vẽ trong dạy - học các bài tập ............................................................... 30
CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 71
1. Mục đích ............................................................................................................... 71
2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm. .......................................................................... 71
3.1. Các chiến lược ............................................................................................ 72
3.2. Phân tích các bài toán thực nghiệm ............................................................ 72
4. Phân tích a posteriori ............................................................................................ 83
4.1. Thống kê bài toán 1 ................................................................................... 83
4.2. Thống kê bài toán 2 .................................................................................... 84
4.3. Thống kê bài toán 3 .................................................................................... 87
4.4. Phân tích bài toán 4 .................................................................................... 90
KẾT LUẬN ............................................................................................ 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 95


MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Trong chương trình toán trung học ở Việt Nam hiện hành, đã giới thiệu đầy đủ
các phương pháp để tiếp cận hình học. Ở cấp THCS phương pháp tổng hợp là duy
nhất. Đến cấp THPT, bên cạnh phương pháp tổng hợp (lớp 11 và 12) HS được giới
thiệu thêm phương pháp vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ (lớp 10, 12).
- SGV HH10 có ghi nhận sau:
”Trong chương trình Hình học 10, HS làm quen với một phương pháp tư duy
mới: tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu tính chất của các đường thẳng,
đường cong, đường elip thông qua phương trình của chúng
Việc đưa “vectơ và phương pháp tọa độ” vào chương trình Hình học lớp 10
giúp cho học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại mang tính khoa
học cao, giúp cho HS có thêm những công cụ mới để suy luận và tư duy một cách chặt
chẽ và chính xác, tránh được các hiểu lầm do trực giác mang tới”
- Trong thực tế giảng dạy bài toán: “Cho tam giác ABC biết đỉnh B(4; − 1) ,
phương trình đường cao CH : −2 x + 3 y − 12 =
0 và trung tuyến CK : 2 x + 3 y =
0 . Lập
phương trình các cạnh của tam giác ABC ” chúng tôi nhận thấy có hiện tượng sau:
+ Khi giải bài toán này, phần lớn HS đều có sử dụng đến hình vẽ. Khi được hỏi
lí do tại sao lại dùng hình vẽ vào làm bài toán này, HS cho rằng hình vẽ là cần thiết để
biểu diễn các quan hệ mà từ đó ta chỉ ra được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến. Chẳng
hạn, khai thác giả thiết về đường trung tuyến CK, hình vẽ sẽ chỉ ra hai đặc điểm của
điểm K: trung điểm của AB, giao điểm của AB và CK. Giải hệ phương trình gồm hai
phương trình của hai đường thẳng CK và AB (vừa tìm ra). Khi đó ta tìm được tọa độ
của điểm K, rồi suy ra tọa độ của A. Khi đó, viết phương trình đường thẳng AC là viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và C (tìm được ban đầu).


+ Khi trao đổi với đồng nghiệp về việc hướng dẫn giảng dạy bài toán này cho
HS chúng tôi ghi nhận được ý kiến là nên dùng hình hình vẽ để hướng dẫn HS. Theo
họ, hình vẽ sẽ mang đến cho HS yếu tố trực quan dể tiếp thu kiến thức. Tính “đại số”

trong hình học giải tích đó là mỗi đường gắn với một phương trình. Họ cũng khẳng
định là hình vẽ cũng cần thiết trong dạy hình học giải tích đặc biệt là hình học giải tích
phẳng (hình học giải tích lớp 10). Và thực tế là họ đã thành công khi gợi ý (nếu HS
làm không được khi không dùng hình vẽ) cho HS dùng một hình vẽ để phân tích bài
toán.
Như vậy, ta thấy mục đích của chương trình HH10, đặc biệt phần phương pháp
tọa độ thể chế có đưa ra một phương pháp khác để nghiên cứu HH mà không phụ
thuộc vào hình vẽ. Tuy nhiên trong quá trình dạy – học thực tế về nội dung này ta lại
thấy sự xuất hiện của hình vẽ trong bài làm của HS, trong bài giảng của GV. Từ thực
tế này làm nảy sinh một số câu hỏi: Hình vẽ là gì? Hình vẽ có vai trò như thế nào
trong dạy và học hình học? Đặc trưng khoa học luận của hình học giải tích là gì? Hình
vẽ có được thể chế đưa ra khi nghiên cứu hình học giải tích lớp 10 không? Nếu có, các
hình vẽ được các tác giả SGK lựa chọn đưa ra trong tình huống nào? Mục đích của
việc đưa ra các hình vẽ là gì? Trong quá trình đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên
tạo điều kiện cho tôi có một nghiên cứu “vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích
lớp 10”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chung của tôi trong luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi
được đặt ra ở trên. Cụ thể những câu hỏi cấu thành nên mục đích nghiên cứu đó được
trình bày như sau:
- Hình vẽ là gì? Hình vẽ có vai trò gì trong việc dạy và học hình học nói
chung?
- Đặc trưng khoa học luận của hình học giải tích là gì?
- Đâu là điều kiện ràng buộc của thể chế lên việc dạy – học hình học giải tích,
cụ thể là vai trò của hình vẽ trong dạy – học hình học giải tích lớp 10.


- Các câu hỏi này sẽ được được đề cập đến trong thể chế dạy học toán hình học
giải tích lớp 10. Chúng tôi cần sử dụng các lí thuyết sau để trả lời các các hỏi trên: lí
thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, quan hệ các nhân)

3. Lí thuyết tham chiếu
3.1.Lý thuyết nhân chủng học
3.1.1. Quan hệ cá nhân
Một đối tượng O là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân X. Quan hệ
cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), là tập hợp những tác động qua
lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó, … R(X, O)
chỉ rõ cách thức mà X biết O.
Mỗi con người là một cá nhân, ở một thời điểm xác định của lịch sử của nó, và
một tập hợp các mối quan hệ cá nhân với những đối tượng mà nó biết.
Dưới quan điểm này, học tập là sự điều chỉnh mối quan hệ của một cá nhân X
với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc quan
hệ này bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người.
3.1.2. Quan hệ thể chế
Một cá nhân X không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít
nhất một thể chế I. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải được
đặt trong một thể chế I nào đó có sự tồn tại của X. Hơn thế, giữa I và O cũng phải có
một quan hệ xác định.
Đối tượng O cũng không thể tồn tại độc lập trong bất cứ thể chế nào. Nói cách
khác, O sống trong mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn
tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) thì O
chỉ có thể phát triển nếu nó có một lý do tồn tại (raison d’être), nếu nó được nuôi
dưỡng trong những quan hệ, những ràng buộc ấy.


Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu
R(I, O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho
biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào, tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I, … Phân
tích sinh thái là một phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) ấy.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới
các ràng buộc của R (I, O).

Một câu hỏi được đặt ra là làm thế nào để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) và
quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học sẽ cung cấp cho chúng ta công
cụ để thực hiện công việc đó.
3.1.3. Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó, cũng cần thiết xây
dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm
này mà Chevallard (1998) đã đưa vào khái niệm praxeologie.
Theo Chavallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, τ , θ , Θ ],
trong đó: T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ
giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lí thuyết giải thích cho θ , nghĩa là công nghệ của công
nghệ θ .
Một praxeologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là
một tổ chức toán học (organisation mathématique).
Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một
đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán
học gắn liền với O:
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi
một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này]
phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định”


Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard Y, việc nghiên cứu các tổ chức
toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá
nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O, bởi vì:
“Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong
suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt
hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói
trên”.
Như vậy, với những công cụ của Lý thuyết nhân chủng học chúng tôi có thể
phân tích và làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam với đối tượng hình

vẽ và tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng nêu trên. Điều này
sẽ cho phép trả lời những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi đã đặt ra.
3.2. Hợp đồng didactic
Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng dạy – học là sự mô hình hóa
các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối
tượng đó. Nó là một tập hợp những quy tắc (thường không được phát biểu tường
minh) phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi thành viên, học sinh và giáo viên, về
một tri thức toán học được giảng dạy.
Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các
quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm. Chính hợp đồng chỉ ra ở từng lúc vị
trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ ý nghĩa sâu sắc
của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc những lời giải thích. Nó là
quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học tập trong nhà trường phải trải
qua.
Để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng didactic, người ta có thể tiến hành
như sau:
- Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những
thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ được gọi là
tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:


+ Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức.
+ Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó.
+ Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình
huống mà tri thức đang xét không thể giải quyết được.
+ Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ
mong đợi ở học sinh.
- Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại bằng cách:
+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học.
+ Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức.

+ Phân tích các bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong SGK.
Như vậy, việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng diadactic liên quan đến vai
trò của hình vẽ trong hình học giải tích lớp 10 sẽ cho phép chúng tôi “giải mã” các
ứng xử của học sinh và tìm ra ý nghĩa của các hoạt động mà họ tiến hành.
Tóm lại, việc đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của “Lý thuyết nhân
chủng học” và khái niệm “Hợp đồng didactic” theo chúng tôi là thỏa đáng.
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
4.1. Phương pháp nghiên cứu:
Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lưa chọn, để trả lời các câu hỏi đã đề ra,
chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau:
- Tìm hiểu một vài đặc trưng khoa học luận của hình vẽ
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu về hình vẽ trong nghiên cứu hình học
- Nghiên cứu chương trình, SGK toán HHGT10 để làm rõ mối quan hệ thể chế
đối với đối tượng hình vẽ


- Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra
hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu
4.2. Cấu trúc của luận văn
- Mở đầu: chúng tôi trình bày vài ghi nhận ban đầu, mục đích của đề tài, khung
lí thuyết tham chiếu, phương pháp và cấu trúc của luận văn
- Chương 1: chúng tôi trình bày về vai trò của hình vẽ trong dạy - học hình học.
Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày thêm một vài đặc trưng khoa hoc học luận của hình
học giải tích
- Chương 2: chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK HH10 để làm
rõ mối quan hệ thể chế với hình vẽ trong hình học giải tích. Tổng hợp kết quả chương
1, chương 2 để đề xuất giả thuyết nghiên cứu
- Chương 3: phân tích thực nghiệm: mục đích nhằm kiểm chứng tính hợp thức
của các giả thuyết nghiên cứu
- Kết luận: chúng tôi tóm tắt các kết quả đã đạt được trong chương 1, 2, 3 và

nêu lên hướng mở ra từ luận văn này


CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC.
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Mục đích của chương:Tổng hợp lại các công trình nghiên cứu về hình vẽ
trong dạy – học hình học chúng tôi sẽ tóm tắt lại các vai trò của hình vẽ trong dạy –
học hình học mà các công trình nghiên cứu trước đã chỉ ra. Bên cạnh đó, chúng tôi có
một nghiên cứu về hình học giải tích.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để tóm tắt
- Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT của PGS.TS Lê Thị Hoài
Châu
- Nghiên cứu didactique về hình vẽ trong dạy học hình học trường hợp: bước
chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở của Trần Thị Kim Nhung (luận văn thạc sĩ)
- Các chức năng của hình vẽ trong dạy học hình học không gian. Trường hợp:
các bài toán dựng hình và mối quan hệ của giáo viên đối với những bài toán này của
Abdelhamid Chaachoua, người dịch TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên
- Hình học và không gian, Đoàn Hữu Hải (bài giảng trong chương trình thạc sĩ
didactic toán, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh)
1. Hình vẽ trong dạy hình học
1.1. Hình hình học và hình vẽ
1.1.1. Hình hình học
- Hình học là một khoa học về không gian, sinh ra từ việc giải quyết những vần
đề của không gian. Mọi khái niệm cơ sở của hình học – đường thẳng, sự song song,
khoảng cách, góc, quan hệ vuông góc, … đều được hình thành từ những tình huống,
những hiện tượng rất đa dạng của không gian vật lý. [4, tr203]
- Đối tượng nghiên cứu của hình học là các hình hình học. Chúng được mô tả
qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. [4, tr.203]

- Hình hình học là tập hợp các điểm khác rỗng của không gian. Hình hình học
là một đối tượng lí tưởng, tất cả những hình vẽ cụ thể của nó có thể vẽ được chỉ là
những phép biểu diễn không hoàn chỉnh. [3 , tr.188]
1.1.2. Hình vẽ
- Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học, là hình biểu diễn phẳng của
các hình hình học. Hình vẽ là hình được vẽ cụ thể trên một tờ giấy, là bản vẽ vật chất
của các hình hình học, đối với các hình vẽ này các số đo giữ vị trí trung tâm. [15, tr.1]
- Hình vẽ không phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với bài
toán. Vị trí của hình vẽ trên tờ giấy là không thích đáng đối với bài toán hình học,
hình vẽ chỉ là một vị trí cụ thể của một đối tượng hình học [15, tr.1]
1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu
- Hình vẽ - đối tượng vật chất: hình vẽ là đối tượng nghiên cứu, người học phải
làm việc trên các hình vẽ. Ta xem hình vẽ thuộc về thế giới cảm nhận. Vai trò này
thường xuất hiện ở giai đoạn dạy và học cấp tiểu học
- Hình vẽ - mô hình: Hình vẽ dùng để biểu diễn cho một đối tượng tổng quát,
trừu tượng. Ở đây hình vẽ được xem như mô hình của đối tượng hình học.
+ Trong lĩnh vực lý thuyết, hình vẽ được xem là mô hình của đối tượng hình
học, hình vẽ cho phép nhận ra các tính chất của đối tượng hình học, trong trường hợp
này hình vẽ gắn với những tính chất của một đối tượng hình học và biểu diễn cho một
đối tượng trừu tượng, tổng quát
+ Trong lĩnh vực cảm nhận thế giới: hình vẽ được xem là mô hình của đối
tượng vật chất, trong trường hợp này hình vẽ được sử dụng như một là mô hình của
đối tượng vật chất để hình thành cho HS những tính chất của đối tượng hình học
* Trong dạy học hình học, hình vẽ giữ một vai trò nhất định “hình vẽ là những
công cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại bậc tiểu học” [29]


* Theo Trần Thị Kim Nhung hình vẽ có các vai trò sau: ” Hình vẽ tạo điều kiện
cho HS nắm tình huống học tập, hiểu được khái niệm toán học trừu tượng, giúp khám
phá, tìm ra đường lối trong quá trình giải các bài toán hình học, hình vẽ là công cụ

thích hợp để truyền đạt các tri thức hình học” [26, tr.12]
* Theo Bessot [29], hình vẽ có các vai trò sau:
- Trong học tập“ Hình vẽ tạo điều kiện cho HS nắm bắt tình huống học tập một
cách cụ thể, hầu như mang tính chất vật chất, như vậy ngay từ giai đoạn đầu tiếp cận
với hình học, HS có thể vận dụng khả năng của mình thông qua hành động. HS có
điều kiện học tập tích cực hơn thông qua việc sử dụng hình và thực hành về hình”
- Trong giải toán:”phần thì chúng minh họa cho các tình huống học tập, phần
khác chúng là điểm tựa trực giác trong quá trình nghiên cứu khi cho thấy rõ các quan
hệ hay giả thuyết về quan hệ trên một đối tượng trông thấy được, trong khi chỉ phát
ngôn thôi thì các quan hệ hay giả thuyết về quan hệ lại không được rõ ràng lắm”
* Theo Duval, trong giai đoạn nghiên cứu, hình vẽ có chức năng phát hiện.
Hình vẽ cho phép nhìn thấy và hiểu ngay vấn đề nêu trong bài toán, giúp cho việc tìm
ra lời giải bài toán: Hình vẽ được xem như công cụ khám phá để giải toán, đặc biệt
trong các bài toán chứng minh. “ Hình vẽ tạo điều kiện cho ta thấy ngay tổng thể tình
huống. Hình vẽ là phương tiện trực tiếp để giúp ta khảo sát nhiều khía cạnh của vần
đề, dự đoán kết quả của phương pháp sử dụng và chọn một lời giải” [29]
Như vậy, ta thấy hình vẽ có vai trò như một điểm tựa trực giác. Nhờ trực giác
về hình vẽ của bài toán ta đang đề cập mà phương hướng đi tìm lời giải được vạch ra.
Hình vẽ cho ta trực giác ban đầu để đi tìm lời giải cho bài toán. Với cách tiếp cận này
ta thấy hình vẽ là cần thiết cho bài toán hình học. Hình vẽ là yếu tố quan trọng trong
việc đưa ra lời giải một bài toán hình học
* Theo Abdelhamid Chaachoua [29] lại có những nghiên cứu về vai trò của
hình vẽ trong dạy – học một bài toán hình học phẳng. Ở đây, hình vẽ có các chức năng
sau:


- Chức năng của hình vẽ trong đề bài toán: Thứ nhất là minh họa cho đề bài
toán, điều này có ý nghĩa cho bài toán có giả thiết phức tạp, hay đề toán có nhiều giả
thiết. Thứ hai là thể hiện giả thiết của bài toán
- Chức năng của hình vẽ trong giải bài toán: Dự đoán kết quả và tìm đường lối

giải bài toán. Đây là chức năng đặc thù của giai đoạn phát hiện trong hoạt động giải
toán và gọi là chức năng thực nghiệm
- Chức năng của hình vẽ trong lời giải của HS:
+ Minh họa các giai đoạn: trên hình vẽ, HS thực hiện các đường kẻ phụ,
để lại dấu compa để để chỉ em đã dựng đường trung trực như thế nào chẳng hạn, ghi
số đo các cạnh, tô màu các phần trong hình ….
+ Hình vẽ trong lời giải toán: đối với mộ số dạng toán, vần đề là thực
hiện đường kẻ. Trong trường hợp này, hình vẽ là thực hiện một phần của lời giải
*Theo Parzysz [4, tr.205], thì lại có một nghiên cứu về vai trò của hình vẽ
trong dạy - học hình học không gian. Tóm tắt, chứng tỏ, phỏng đoán là ba chức năng
cơ bản của hình vẽ trong dạy –học hình học mà
Parzysz đã đề cập đến.

S

Tóm tắt: hình vẽ là một bản tóm tắt rõ ràng và
trực quan nhất cho một bài toán, nếu HS biết cách thể
hiện. Nó bộc lộ hết những giả thiết, những mối liên
hệ giữa các yếu tố, tạo điều kiện giúp HS giải toán

K

một cách dễ dàng.
Cũng lưu ý, trong hình học phẳng, ta chỉ quan

C

A

tâm đến hai đối tượng là “điểm” và “đường thẳng”,

trong khi trong hình học không gian xuất hiện thêm
một đối tượng thứ ba là “mặt phẳng”. Do đó, các mối
quan hệ trong hình vẽ của một hình không gian sẽ

H
B

Hình 1.1: Hình minh họa phản


phức tạp hơn.
Mặt khác, một đối tượng hình học trong không gian được chuyển sang hình vẽ
bằng sự phiên dịch các tính chất hình học của nó sang các quan hệ trên hình. Việc
phiên dịch này thực hiện qua các phép chiếu song song. Chính vì thế, hình vẽ chỉ giữ
lại một số tính chất của đối tượng hình học ban đầu như tính song song, tính thẳng
hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Có thể thấy, trong hình học phẳng, ta
luôn luôn vẽ được một hình chính xác với những mối liên hệ: thuộc, song song, vuông
góc, bằng nhau,… Nhưng đối với hình học không gian, điều này không phải lúc nào
cũng thực hiện được. Ví dụ, hai đường thẳng vuông góc nhau theo tính chất, nhưng
trên hình vẽ có thể là không, hai đường thẳng chéo nhau trên thực tế, nhưng trên hình,
ta lại thấy chúng cắt nhau,…
Vì vậy, để thực hiện tốt chức năng tóm tắt của hình vẽ, HS cần phải có một số
kĩ năng vẽ hình nhất định. Bên cạnh đó, việc sử dụng các phần mềm vẽ hình cũng là
một cách giúp HS tìm được những hình vẽ rõ ràng, trực quan nhất có thể.
Chứng tỏ: Trong một số trường hợp, hình vẽ có thể cung cấp cho ta các phản
ví dụ để bác bỏ một mệnh đề nào đó. Ví dụ, ta có thể bác bỏ mệnh đề “trong không
gian, đường thẳng vuông góc với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng thì vuông
góc với mặt phẳng ấy” bằng một hình vẽ. Đây là một mệnh đề mà HS hay nhầm lẫn
(phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì mệnh đề mới đúng).
Nhìn vào hình vẽ 1.1, ta thấy KH ⊥ AB, AB ⊂ ( ABC ) nhưng KH không thể

vuông góc mặt phẳng (ABC).
Phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan giúp HS phát hiện ra các tính chất của
hình và hình thành những phán đoán hoặc tìm hướng giải quyết bài toán.
Qua các công trình kể trên ta thấy hình vẽ là một đối tượng cần thiết trong quá
trình dạy – học hình học ở trường phổ thông. Hình vẽ góp phần trong việc dạy – học lí
thuyết và bài tập. Trong lĩnh vực lí thuyết thì hình vẽ minh họa cho các khái niệm.
Trong việc dạy các bài tập thì hình vẽ sẽ chỉ ra được giả thiết cho bài toán, chỉ ra tất


cả những cái mà đề bài cho và cũng chỉ ra những dự đoán về kết quả của bài toán.
Trên cơ sở này, hình vẽ sẽ chỉ ra đường lối đi tìm lời giải cho bài toán.
2. Hình học giải tích
- Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến các
đường cong, mặt cong phức tạp. Chính vì thế mà việc nghiên cứu hình học bằng
phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế, do phụ thuộc hình vẽ khi nghiên cứu.
Điều này khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một lời giải mang tính tổng
quát mà không phụ thuộc vào hình vẽ
- Và sự ra đời của hình học giải tích đã đáp ứng được các yêu cầu đó. Hình học
giải tích – sự kết hợp giữa hình học và đại số. Có hai hướng hiểu cho sự kết hợp này là
sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số.
Descartes và Fermat đều thiên về cách sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học vì hai
ông cho rằng phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học
và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học. Tư tưởng cơ bản của phương pháp
do Descartes và Fermat xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những
phương trình đại số thông qua trung gian là hệ trục tọa độ. Ta thay thế các đối tượng
và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số, rồi sau đó “dịch”
các tính chất hình học thành tính chất đại số, quy bài toán hình học về bài toán đại số.
Do đó việc giải bài toán hình học được dẫn đến việc giải một hay nhiều phương trình.
Tính toán trên các số trở thành “hạt nhân” của lời giải bài toán hình học. Phương pháp
mới này (phương pháp giải tích) xác lập mối quan hệ giữa hình học và đại số, đem lại

khả năng khái quát cho lời giải của bài toán hình học. Theo Descartes “đại số có thể
nghiên cứu những phương trình thuộc mọi dạng mà không cần quan tâm đến nghĩa
hình học của nó”
Với những ưu điểm là không phụ thuộc vào hình vẽ. Nhưng về phương diện sư
phạm ta cần quan tâm tổ chức dạy - học như thế nào để HS tiếp cận nhanh nhất và tốt
nhất. Bởi lẽ, vấn đề nghiên cứu chính của hình học là các hình hình học. Và các hình
hình học này được biểu diễn bằng các hình vẽ. Chúng đóng vai trò rất quan trọng


trong nghiên cứu hình học vì đây là điểm tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải cho bài
toán. Thế nhưng trong hình học giải tích thì lời giải mang tình tổng quát vì nó không
phụ thuộc vào hình vẽ. Khai thác yếu tố trực giác cho HS là vần đế cần thiết trong dạy
– học hình học giải tích. Làm như vậy để giúp HS vượt qua những khó khăn giữa một
bên là ngôn ngữ hình thức với một bên là biểu tượng không gian, giúp HS chú ý đến
sự kết hợp giữa ngôn ngữ hình thức và nội dung. Nếu chỉ chú ý vào khai thác một
trong hai mặt này thì sẽ gặp những khó khăn nhất định trong việc giải bài toán hình
học giải tích. Nếu không chú trọng các biểu thức hình thức thì HS thiếu kiến thức, kĩ
năng giải bài toán bằng phương pháp tọa độ. Nhưng nếu không chú ý mặt ngữ nghĩa
của nội dung thì họ sẽ gặp khó khăn trong việc dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức
đại số hóa.
Kết luận: Hình học giải tích là một bộ phận của hình học với đối tượng nghiên
cứu cũng là các đường (đường thẳng, đường tròn,…). Các đường này được nghiên
cứu một cách tổng quát thông qua phương trình của các đường, mà không cần nghiên
cứu trên các hình vẽ. Tuy nhiên xét về mặt sư phạm và tâm lí lứa tuổi của HS, bên
cạnh cung cấp cho HS một phương pháp mới nghiên cứu hình học vấn đề cần quan
tâm là HS sẽ tiếp cận các kiến thức đó như thế nào. Việc đưa hình vẽ vào nghiên cứu
HHGT ở lớp 10 là cần thiết trong hoạt động dạy - học.


CHƯƠNG II: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG

HÌNH VẼ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 10

Vần đề nghiên cứu: Ở cấp độ lớp 10, việc đưa vào lần đầu tiên “ phương pháp
nghiên cứu hình học thông qua đại số”. Nghiên cứu những đối tượng hình học và các
quan hệ của chúng mà HS đã được học trong hình học: đường thẳng, đường tròn, …,
tính song song, tính vuông góc,… HS đã quen làm việc trên các hình vẽ. Bây giờ,
người ta biểu diễn đường thẳng bằng một phương trình, biểu diễn quan hệ vuông góc
bằng một đẳng thức vectơ,… Trong những tình huống mới này, đối tượng hình vẽ có
còn xuất hiện không? SGK khai thác hình vẽ trong việc trình bày khái niệm mới, quan
hệ mới như thế nào? Khai thác hình vẽ trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ ra
sao? Hiệu ứng của việc khai thác này là gì?
Để làm sáng tỏ các vấn đề trên, chúng tôi dùng các tài liệu sau để phân tích:
- Chương trình môn toán trung học năm 2006
- SGK Toán lớp 6 (tập 1, 2)
- SGK Toán đại số lớp 7 (tập 1)
- SGK Toán hình học lớp 7 (tập 1, 2)
- SGK Toán hình học lớp 8 (tập 1, 2)
- SGK Toán đại số lớp 9 (tập 1, 2)
- SGK Toán hình học lớp 9 (tập 1, 2)
- SGK Toán hình học lớp 10
- SBT Toán hình học lớp 10
- SGV Toán hình học lớp 10


A. Phân tích chương trình
Qua tìm hiểu “chương trình giáo dục phổ thông môn toán”, nhận thấy: Đối
tượng hình vẽ không được chương trình yêu cầu trong việc tiếp thu các kiến thức về
phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, đường elip. Chúng tôi sẽ tiếp tục
nghiên cứu xem việc triển khai những yêu cầu mà chương trình qui định như thế nào?
Yếu tố hình vẽ có được các tác giả SGK quan tâm không? Nếu được quan tâm thì nó

được thể hiện cụ thể như thế nào?
B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10
I. Tìm hiểu SGV
* Theo SGV, phương pháp tọa độ được đưa vào giảng dạy nhằm mục tiêu:
-

Hiểu: đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng

-

Biết:

+ Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng. Lập
phương trình đường tròn khi biết các điều kiện xác định của nó. Nắm được định nghĩa
và lập được phương trình chính tắc của elip.
+ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng phương trình của chúng.
+ Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng.
+ Xác định được tâm và bán kính khi biết phương trình đường tròn. Xác định
được các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của nó.
+ Lập được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết tiếp điểm.
* SGV có đưa vào các hình vẽ trong hướng dẫn giảng dạy các khái niệm: liên
hệ giữa hệ số góc với vectơ chỉ phương, các trường hợp đặc biệt của đường thẳng,
hình dạng của elip. Về bài tập SGV có đưa ra các hình vẽ trong quá trình gợi ý giải
các bài tập sau: trong ôn tập chương III (bài 1; 4; 5; 7; 9; 10), ôn tập cuối năm (bài 6;
7; 9). Bên cạnh đó SGV còn đưa ra thêm hình vẽ trong phần “kiến thức bổ sung” về:


phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng, phương trình tiếp
tuyến tại một điểm thuộc đường tròn.
Với cách đưa vào các hình vẽ trong HHGT10 của SGV có thể hiểu

- Hình vẽ được thể chế chú ý khai thác trong dạy – học cả khái niệm và bài tập.
Mặc dù không gợi ý đưa vào trong mọi tình huống, mọi bài tập. Điều này được hiểu là
do khuôn khổ của một chương trình dạy học.
- Yếu tố trực quan của hình vẽ vẫn còn giá trị trong dạy – học HHGT10. Đặc
biệt là việc dạy – học các khái niệm. Chẳng hạn:
+ Khi dạy các dạng đặc biệt của đường thẳng, SGV có gợi ý như sau “hoạt
động 7 giúp HS hiểu một cách trực quan các dạng phương trình đường thẳng. Các
đường thẳng d1 , d 2 , d 3 , d 4 được thể hiện trên h.3.5”.

+ Khi gợi ý về “phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
thẳng” (trong phần bổ sung kiến thức) SGV cũng có đưa ra hình vẽ.


Hình vẽ tạo thuận lợi cho việc hình thành công thức. Nếu không có hình vẽ HS
gặp một số khó khăn sau: không định hướng được cách giải (do không biết điểm đi
qua và vectơ pháp tuyến), không trả lời đủ các kết quả của bài toán (bài toán luôn có
hai đường thẳng cần tìm là hai đường thẳng vuông góc với nhau).
- Các bài tập mà SGV đưa ra hình vẽ gợi ý trong hướng dẫn giảng dạy là các
bài tập ôn tập chương III. Đây là các bài tập mang tính tổng hợp. Các bài tâp còn lại,
với hướng dẫn của SGV đôi khi hình vẽ được hiểu là sử dụng một cách ngầm ẩn. Điều
này được hiểu: SGV có chú ý việc sử dụng hình vẽ trong dạy học các bài tập
HHGT10. Hình vẽ này tạo cho HS yếu tố trực quan trong việc đi tìm lời giải cho bài
toán. Hình vẽ cũng là một công cụ trong việc đưa ra lời giải cho bài toán. Chẳng hạn:
+ Khi gợi ý giải bài tập 4/SGK/93 SGV có đưa ra một hình vẽ.
“Cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 =
0 và hai điểm O (0; 0), A(2; 0) .
a. Tìm điểm đối xứng của O qua ∆
b. Tìm điểm M trên ∆ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất”

Hình vẽ này tạo thuận lợi cho HS trong việc định hướng lời giải cho bài toán.

Nếu không khai thác hình vẽ trong trường hợp này, HS sẽ gặp các khó khăn sau trong
việc đi tìm lời giải cho bài toán: HS không biết phải xác định đường thẳng đi qua O và
vuông góc với ∆ . Bên cạnh đó cũng không chỉ ra được điểm M cần tìm là ba điểm
O’, M, A thẳng hàng và M là giao điểm của O’A và ∆ .


Như vậy, số lượng tình huống có sử dụng hình vẽ rất phong phú từ việc dạy các
khái niệm đến hướng dẫn giải các bài tâp. Sự góp mặt của hình vẽ ở các tình huống
này cho thấy những ưu thế trong việc giới thiệu các khái niệm, hướng dẫn gợi ý giải
các bài tập của hình học giải tích.
II. Tìm hiểu SGK
1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm
1.1. Khi đưa ra các định nghĩa: vectơ chỉ phương, đường elip SGK có đưa vào
hình vẽ dẫn dắt trước khi đưa ra khái niệm. Chẳng hạn

Tình huống này được các tác giả SGK đưa vào trước khi đưa ra khái niệm
vectơ chỉ phương. Đi kèm với hoạt động sau:
1
2

“Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ là đồ thị của hàm số y = x
a/. Tìm tung độ của hai điểm M 0 và M nằm trên ∆ có hoành độ lần lượt là 2 và
6






b/. Cho vectơ u = ( 2;1) . Hãy chứng tỏ M 0 M cùng phương với u ”

Với cách xây dụng tình huống như thế này, hình vẽ này sẽ dẫn dắt HS đi vào
khái niệm vectơ chỉ phương. Hình vẽ sẽ tạo thuận lợi cho HS khi tiếp cận khái niệm
một cách trực quan. Nếu không khai thác hình vẽ trong trường hợp này sẽ gây ra khó
khăn cho HS khi tiếp cận một khái niệm mới. Vectơ chỉ phương ở đây được giới thiệu


thông qua hai vectơ cùng phương. Cụ thể, hình vẽ cho ta biết giá của u và đường