một nghiên cứu didactic về đọc hình biểu diễn trong hình học không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
  

BÙI ĐỨC TƯỚC HOÀN

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
ĐỌC HÌNH BIỂU DIỄN TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
  

BÙI ĐỨC TƯỚC HOÀN

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ
ĐỌC HÌNH BIỂU DIỄN TRONG
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số:
60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân
thành và sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung vì quãng thời gian được Thầy
tận tâm chỉ dạy về mặt nghiên cứu khoa học cũng như đã động viên, giúp tôi có đủ
niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS
Lê Văn Tiến đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp thắc mắc, truyền thụ những tri thức
quý báu về Didactic Toán trong suốt thời gian hai năm của chương trình cao học
chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán.
Xin chân thành cảm ơn:
- Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường THPT Lê Quý
Đôn Quận 3 TP.HCM nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành tốt khóa học của mình cũng như đã giúp đỡ tôi trong phần thực nghiệm.
- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học,
Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán - Tin của trường Đại học Sư phạm Tp.
Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học.
Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 20 đã cùng tôi chia
sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập, nhất là chị Võ
Mai Như Hạnh, người đã động viên tinh thần và có những ý kiến đóng góp quý
báu cho luận văn của tôi.
Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người
thương yêu trong gia đình, bố mẹ, anh trai. Những người đã luôn động viên tinh
thần và là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt.
Bùi Đức Tước Hoàn

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................1
MỤC LỤC ......................................................................................................................2
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ...............................................................................4
MỞ ĐẦU ........................................................................................................................5
CHƯƠNG 1: HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH HÌNH HỌC ........................11
1.1. Hình hình học.....................................................................................................11
1.2. Hình biểu diễn của một hình hình học ...............................................................12
1.2.1. Phép chiếu song song ..................................................................................13
1.2.2. Hình biểu diễn của một hình hình học qua phép chiếu song song ..............14
1.2.3. Các yêu cầu đối với một hình biểu diễn ......................................................14
1.2.4. Hai định lí cơ bản để thành lập hình biểu diễn ............................................15
1.2.5. Hình biểu diễn đầy đủ .................................................................................16
1.2.6. Hình biểu diễn mẫu .....................................................................................18
1.2.7. Vai trò của hình biểu diễn trong dạy – học hình học không gian ...............19
1.3. Mối quan hệ giữa một hình hình học và hình biểu diễn nó ...............................19
1.3.1. Vẽ hình biểu diễn của một hình hình học bằng phép chiếu song song .......20
1.3.2. Đọc hình biểu diễn của một hình hình học bằng phép chiếu song song..........21
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 .........................................................................................23
CHƯƠNG 2: VẼ VÀ ĐỌC HÌNH BIỂU DIỄN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
PHỔ THÔNG .............................................................................................................25
2.1. Hình học không gian trong chương trình toán phổ thông ở Việt Nam..............25
2.2. Hình học không gian ở bậc THCS ở Việt Nam .................................................27
2.2.1. Tiếp cận các khái niệm, định lý, tính chất ...................................................27
2.2.2. Các tổ chức toán học ...................................................................................31
2.3. Hình học không gian ở bậc THPT ở Việt Nam .................................................33
2.3.1. Tiếp cận các khái niệm, định lý, tính chất ...................................................34
2.3.2. Các tổ chức toán học ...................................................................................45
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 .........................................................................................52

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ................................................................................55
3.1.

Giới thiệu thực nghiệm ...................................................................................55

3.2.

Bài toán thực nghiệm ......................................................................................56

3.3.

Phân tích tiên nghiệm .....................................................................................60

3.3.1.

Phân tích bài toán 1 ..................................................................................60

3.3.2.

Phân tích bài toán 2 ..................................................................................61

3.3.3.

Phân tích bài toán 3 ..................................................................................63

3.3.4.

Phân tích bài toán 4 ..................................................................................65

3.4.

Phân tích hậu nghiệm .....................................................................................67

3.4.1.

Phân tích bài toán 1 và 2 (kiểm chứng H1) .............................................67

3.4.2.

Phân tích bài toán 3 (kiểm chứng R1) .....................................................75

3.4.3.

Phân tích bài toán 4 (kiểm chứng R2) .....................................................77

KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 .........................................................................................80
KẾT LUẬN .................................................................................................................82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................84
PHỤ LỤC .....................................................................................................................86


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt
THCS
THTP
SGK
SBT
SGV

NXB
HĐ
tr

Từ đầy đủ
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông
Sách giáo khoa
Sách bài tập
Sách giáo viên
Nhà xuất bản
Hoạt động
Trang


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và những câu hỏi xuất phát
Hình học không gian là một môn học không dễ đối với nhiều học sinh bởi
vì các hình hình học trong “không gian ba chiều” nhưng lại được vẽ trên một bề
mặt phẳng thường là tờ giấy hay mặt bảng hay màn hình máy tính. Như vậy học
sinh phải tưởng tượng ra các khối không gian, nắm bắt các tính chất của hình từ
việc đọc các hình biểu diễn dựa trên các quy ước, quy tắc biểu diễn hình.
SGV Hình học 11 Nâng cao trang 42-43, NXB Giáo dục, 2009 có nhận
định: “Trước đây, học sinh phần lớn chỉ mới biết các hình trong mặt phẳng. Mỗi
hình đó đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình
dạng và có thể cả kích thước bằng hình vẽ trên mặt giấy. Mọi quan hệ như quan
hệ liên thuộc, quan hệ thứ tự, quan hệ song song … giữa các đối tượng đều được
biểu diễn một cách trực quan. Nay, trong hình học không gian, hình vẽ là những
hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ vuông góc, quan hệ bằng
nhau … của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn cho học sinh.”

Khó khăn trong việc đọc các hình vẽ biểu diễn cho hình hình học giải thích
cho nhiều sai lầm trên những sản phẩm của học sinh. Chúng tôi dựng lại một kiểu
sai lầm qua một ví dụ sau đây.
Xét bài toán: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi có các cạnh
đối không song song. Gọi E là điểm bất kì thuộc cạnh SB. Tìm giao điểm của DE
và mp(SAC).
Một học sinh giải như sau:
DE ∩ SC =
F

 F ∈ DE

 F ∈ SC , SC ⊂ ( SAC )
F
⇒ DE ∩ ( SAC ) =
Câu hỏi đặt ra là sai lầm trên xuất phát từ
đâu? Phải chăng học sinh xem (SBCD) là một mặt
phẳng?


Như vậy, trong quá trình lĩnh hội kiến thức về hình học không gian, bên
cạnh kỹ năng vẽ hình biểu diễn, học sinh còn phải có kỹ năng đọc các hình biểu
diễn. Đây là một kỹ năng không hề dễ dàng đối với học sinh vốn quen thuộc với
những quy tắc đọc hình vẽ trong hình học phẳng đã hình thành trước đó.
Từ những ghi nhận ban đầu trên đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi:
Trong dạy – học toán hình học không gian ở trường phổ thông, hình biểu
diễn của một hình không gian được xây dựng như thế nào? Những đặc trưng của
các cách xây dựng đó là gì? Có những quy tắc đọc hình biểu diễn nào hình thành
ứng với các cách xây dựng đó? Khi giải quyết các bài toán hình học không gian
học sinh sẽ vướng phải những sai lầm nào? Chúng ta có thể giải thích được những

sai lầm đó không?
Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu
đối tượng là vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng với lí do như sau:
Trong hình học không gian, đường thẳng và mặt phẳng là hai đối tượng cơ
bản. Mặt phẳng là đối tượng hoàn toàn mới đối với học sinh. Đường thẳng tuy là
đối tượng quen thuộc với học sinh trong hình học phẳng nhưng vị trí tương đối của
nó với đường thẳng khác đã thay đổi, và nhất là mối quan hệ giữa đường thẳng và
mặt phẳng là kiến thức mới đối với học sinh. SGV Hình học 11 nâng cao trang 42,
NXB Giáo dục, 2009 cũng nhận định: “Nếu như trước đây chỉ xét quan hệ giữa
điểm và đường thẳng thì nay còn có thêm mối quan hệ giữa các đối tượng đó và
mặt phẳng-một đối tượng mới. Vì vậy các mối quan hệ trở nên phức tạp hơn nhiều
và gây ra nhiều khó khăn cho học sinh”.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán để
giải quyết các câu hỏi trên.
Lý thuyết nhân chủng học giúp chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế đối
với hình biểu diễn. Đây là cơ sở để chúng tôi tìm hiểu các ảnh hưởng của nó lên
quan hệ cá nhân của học sinh đối với hình biểu diễn.


Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác
động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó, nói về
nó….Quan hệ cá nhân với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O.
Quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối với quan
hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là chủ thể của thể chế
I. ([17 tr315, 317])
Để hiểu rõ đặc trưng của quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân của học sinh
đối với hình biểu diễn, trường hợp vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng,
chúng tôi sử dụng khái niệm “tổ chức toán học” làm cơ sở để phân tích mối quan
hệ thể chế.

Mỗi tổ chức toán học là một bộ 4 thành phần [T, τ, θ, Θ], trong đó T là kiểu
nhiệm vụ đặt ra về phía người học, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T, θ là yếu tố
công nghệ giải thích cho τ, Θ là yếu tố lý thuyết giải thích θ. ([17, tr319])
Nhờ khái niệm này chúng tôi sẽ biết được những ràng buộc của thể chế đối
với tri thức đã lựa chọn.
Bên cạnh đó, một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế mặt khác để giải thích
những ứng xử của học sinh khi đọc hình biểu diễn để giải quyết các kiểu nhiệm vụ
liên quan đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, chúng tôi sử dụng
khái niệm “quy tắc hành động” và “hợp đồng dạy học”:
- Một quy tắc hành động là một mô hình nhằm giải thích và chỉ rõ những

kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ
xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học
gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh. ([17, tr81])
- Hợp đồng chi phối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục
tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm.Chính hợp đồng chỉ ra ở
từng lúc vị trí tương hỗ của các đối tác đối với nhiệm vụ phải hoàn thành và chỉ rõ
ý nghĩa sâu sắc của hoạt động đang được tiến hành, của các phát biểu hoặc
những lời giải thích. Nó là quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà mọi sự học
tập trong nhà trường phải trải qua.
Ta chỉ có thể nắm được ý nghĩa của những lối chỉ đạo cách ứng xử của
giáo viên và học sinh, rất cần cho phân tích didactic, nếu biết gắn những sự kiện


được quan sát vào trong khuôn khổ của hợp đồng dạy học để giải thích. ([17,
tr339])
Ngoài ra hệ sai lầm và khái niệm chướng ngại cung cấp cho chúng tôi một
công cụ để phân tích, giải thích những sai lầm và khó khăn của học sinh khi đứng
trước tình huống phá vỡ hợp đồng. Từ đó tìm ra mối quan hệ của những sai lầm đó
với những quy tắc hợp đồng đã đưa ra.

Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên
sinh ra (…), mà còn là hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem
lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp
nữa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất thường hay không dự đoán
được. Chúng tạo thành chướng ngại.
[…]
Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với
nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng,
nhất quán nếu không muốn nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại
thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó. ([17, tr57])
Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi trình bày lại
là:
Q1. Hình biểu diễn của một hình hình học được xây dựng như thế nào?
Những yêu cầu nào cần đặt ra ứng với cách xây dựng đó? Mối quan hệ giữa hình
hình học và hình biểu diễn nó thể hiện ra sao qua việc vẽ và đọc hình biểu diễn?
Q2. Trong thể chế dạy học hình học không gian ở bậc phổ thông, hình biểu
diễn được xây dựng như thế nào? Có những quy tắc đọc hình biểu diễn nào hình
thành do sự lựa chọn của thể chế, trường hợp ví trí tương đối của đường thẳng và
mặt phẳng?
Q3. Có những kiểu nhiệm vụ cùng với kỹ thuật tương ứng nào được thể chế
lựa chọn liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng? Sự lựa
chọn đó có ảnh hưởng như thế nào đến việc đọc hình biểu diễn của học sinh để
giải quyết các kiểu nhiệm vụ đó? Những quy tắc ứng xử nào của học sinh được
thiết lập trong thể chế? Chúng hình thành từ những ràng buộc nào của thể chế?


3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở
mục 2. Từ đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:
- Để đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi nghiên cứu những tài liệu,

tóm tắt một số kết quả đã nghiên cứu liên quan đến các vấn đề về hình biểu diễn
của một hình hình học trong không gian, nhất là cách xây dựng và những quy tắc
đọc hình biểu diễn.
- Để trả lời cho câu hỏi Q2 và Q3, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình,
nghiên cứu phần trình bày của SGK, SGV, SBT Toán ở trường phổ thông của
những cấp lớp có giảng dạy về phân môn hình học không gian liên quan đến đối
tượng tri thức đang nghiên cứu cũng như phân tích các tổ chức toán học tương ứng
sẽ giúp chúng tôi thấy được ý đồ, cách đưa tri thức này đến với học sinh, những
vấn đề liên quan đến tri thức đã được đề cập như thế nào. Từ đó chúng tôi sẽ hình
thành giả thuyết về những quy tắc đọc hình biểu diễn của học sinh, trường hợp vị
trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng như ứng xử của học sinh khi
giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
- Cuối cùng, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh để kiểm
chứng các giả thuyết đã hình thành.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm những phần sau:
* Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát, phạm vi
lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp nghiên cứu,
cấu trúc của luận văn.
* Chương 1: Hình biểu diễn của một hình hình học
Trình bày tóm tắt những công trình nghiên cứu liên quan đến hình hình học,
cách xây dựng hình biểu diễn của một hình hình học, các quy tắc vẽ và đọc một
hình biểu diễn.
* Chương 2: Mối quan hệ thể chế đối với hình biểu diễn
Tìm hiểu việc xây dựng và sử dụng hình biểu diễn trong chương trình Toán
hình học không gian ở Việt Nam, đặc biệt ở lớp 8 và lớp 11 với đối tượng là vị trí


tương đối của đường thẳng và mặt phẳng. Phân tích các tổ chức toán học liên quan
đến nội dung này. Trên cơ sở đó phán đoán những quy tắc đọc hình vẽ hình thành

nơi học sinh và những sai lầm học sinh có thể gặp phải_những sai lầm có thể giải
thích bằng công cụ didactic; từ đó hình thành các giả thuyết nghiên cứu.
* Chương 3: Thực nghiệm
Nghiên cứu thực nghiệm trên đối tượng học sinh nhằm kiểm chứng các giả
thuyết đã đưa ra.
* Kết luận: Tóm tắt những kết quả nghiên cứu đã đạt được và mở rộng hướng
nghiên cứu cho luận văn.
* Tài liệu tham khảo
* Phụ lục


CHƯƠNG 1:
HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH HÌNH HỌC
Trong chương này chúng tôi tóm tắt một số kết quả đã có về hình biểu diễn
của một hình hình học để trả lời cho các câu hỏi:
1. Hình hình học và hình biểu diễn của một hình hình học được định nghĩa
như thế nào? Giữa một hình hình học và hình biểu diễn nó có mối quan hệ gì và
thể hiện ra sao thông qua hai giai đoạn vẽ và đọc hình biểu diễn?
2. Hình biểu diễn của một hình hình học được xây dựng bằng cách nào, có
những đặc trưng gì và những yêu cầu nào được đặt ra khi xây dựng một hình biểu
diễn?
Phần này được viết dựa trên các tài liệu sau:
1. V.O.Goocđôn, M.A.Xêmenxôp-Oghiepxki, Người dịch: Nguyện Đình Điện,
Hoàng Văn Thân (1988), Giáo trình hình học họa hình, NXB Đại học và trung học
chuyên nghiệp Hà Nội.
2. B.I.Acgunốp, M.B. Ban (1974), Hình học sơ cấp (Tập 1), NXB Giáo dục, Hà Nội.
3. Hamid Chaachoua, Người dịch: Đoàn Hữu Hải, Hình học không gian – Thực
trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở.
4. Lê Thị Hoài Châu (2004), Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học
phổ thông, NXB Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh.

Trước tiên, cần phân biệt hai khái niệm hình hình học và hình biểu diễn của
một hình hình học.
1.1. Hình hình học
Hình hình học là đối tượng nghiên cứu của hình học. Hình hình học thường
được hiểu theo nghĩa là hình vẽ biểu diễn cho hình hình học đó. Đây là một cách
hiểu không chính xác vì “hình vẽ chỉ là một sự mô hình hóa, một sự cụ thể hóa các
đối tượng hình học” ([20, tr1]) giúp cho việc tri giác dễ dàng hơn. Theo Nguyễn
Mộng Hy: “Hình hình học là tập hợp khác rỗng những điểm của không gian có
chung một hay nhiều tính chất nào đó.”. Việc hiểu khái niệm hình hình học theo
nghĩa tập hợp còn giúp chúng ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến


lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H.
Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa
các đối tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức của con người.
Theo Lê Thị Hoài Châu: “Đối tượng nghiên cứu của hình học là các hình
hình học. Các hình hình học được mô tả qua những tiên đề, định nghĩa, tính chất.”
([3, tr188])
Như vậy, hình hình học là một khái niệm trừu tượng còn hình vẽ biểu diễn
cho hình hình học đó thực chất là một mô hình của nó. Mô hình đó được xây dựng
như thế nào và có những đặc trưng gì? Mô hình đó có giúp cho việc nghiên cứu
hình hình học dễ dàng hơn?
1.2. Hình biểu diễn của một hình hình học
Những hiểu biết và những phương pháp vẽ để xây dựng các hình biểu diễn
phẳng của các hình hình học đã được tích lũy dần từ thời xa xưa. Trong cả một
thời kỳ dài, phần lớn các hình biểu diễn phẳng là các hình biểu diễn trực quan.
Những quy tắc và những phương pháp riêng lẻ được tích lũy dần để xây dựng các
hình biểu diễn đã được hệ thống hóa và phát triển trong một công trình của nhà
bác học Pháp Gatspa Môngjơ (1746-1818), xuất bản năm 1799 với tên gọi
“Géomètrie descriptive”.

Có nhiều phương pháp biểu diễn một hình hình học trong không gian lên
mặt phẳng mà thực chất của các phương pháp đó là tìm cách thể hiện các yếu tố
điểm, đường thẳng, mặt phẳng của không gian ba chiều và các mối quan hệ của
chúng trên một mặt phẳng là không gian hai chiều, sao cho từ hình biểu diễn người
ta có thể hình dung được một số tính chất của hình thực. Thông thường, muốn biểu
diễn một hình nào đó người ta chiếu hình đó lên một mặt phẳng bằng phép chiếu
xuyên tâm hay phép chiếu song song; cũng có khi người ta dùng phép chiếu vuông
góc và cùng lúc chiếu vật thể đó lên nhiều mặt phẳng (để thành lập các bản vẽ kỹ
thuật). Các tấm ảnh chụp được bằng máy ảnh, các hình ảnh mà chúng ta thấy trên
màn hình vô tuyến hoặc các bản vẽ phối cảnh trong các công trình xây dựng đều
được hình thành trên lý thuyết của phép chiếu xuyên tâm. Mặc dù các hình biểu
diễn theo phương pháp phép chiếu xuyên tâm thường thỏa mãn yêu cầu trực quan
hơn so với hình biểu diễn bằng phương pháp phép chiếu song song, tuy nhiên các
tính chất của phép chiếu xuyên tâm lại phức tạp hơn các tính chất của phép chiếu
song song (xem thêm thêm phép chiếu xuyên tâm trong [18] và [22]). Chính vì có
những tính chất đơn giản hơn nhiều mà phép chiếu song song thường được sử


dụng nhiều hơn trong hình học sơ cấp. Năm 1991, Parzysz đưa ra giả thiết rằng lý
do lựa chọn phép chiếu song song để biểu diễn các hình hình học là xuất phát từ
mong muốn làm cân bằng giữa sự thấy và sự biết.
“Lý do của sự lựa chọn này đối với các hình vẽ hình học, ngoài đòi hỏi phải dễ
vẽ, còn phải được nghiên cứu dựa trên cơ sở là phép chiếu song song thực hiện một
thỏa hiệp chấp nhận được giữa sự thấy và sự biết (sự luân chuyển các tính chất)”
Cũng vậy, với những lý do trên, ở trường phổ thông chương trình chỉ hạn chế
dùng hình biểu diễn của các hình hình học trong không gian qua phép chiếu song
song.
Vậy phép chiếu song song là gì? Hình biểu diễn của một hình hình học được
xây dựng bằng phép chiếu song song như thế nào?
1.2.1. Phép chiếu song song

“Bộ máy của phép chiếu song song gồm có:
1) Một phẳng phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu
2) Một đường thẳng l không song song với mặt phẳng chiếu. Đường thẳng l
xác định phương của phép chiếu song song và được gọi là phương chiếu (hay
đường chuẩn)
Nếu l vuông góc với (P) thì ta có phép chiếu
vuông góc hay trực giao.
Hình chiếu song song (gọi tắt là hình chiếu)
của điểm A lên mặt phẳng (P) theo phương của đường
thẳng l là giao điểm A’ của mặt phẳng (P) với đường
thẳng dựng qua A song song với l.
Hình chiếu song song của hình (H) lên mặt phẳng (P) là hình gồm các hình
chiếu của tất cả các điểm thuộc (H).
Phép chiếu song song có các tính chất cơ bản sau đây:
1) Các điểm nằm trên một đường thẳng (không song song với phương
chiếu) sẽ chiếu thành những điểm của một đường thẳng.
2) Các đường thẳng song song (nhưng không song song với phương chiếu)
sẽ chiếu thành những đường thẳng cũng song song hoặc thành một đường thẳng.
3) Tỉ số các đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng
bằng tỉ số các hình chiếu của chúng.


4) Một đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu sẽ chiếu thành một đoạn
thẳng song song và bằng nó.” ([18, tr96-97])
Từ việc xây dựng bộ máy của phép chiếu song song cho phép chúng ta đi
đến định nghĩa hình biểu diễn của một hình hình học qua phép chiếu song song.
1.2.2. Hình biểu diễn của một hình hình học qua phép chiếu song song
“Hình biểu diễn song song (về sau chúng tôi gọi tắt là hình biểu diễn) của
một hình hình học H trên một mặt phẳng (α ) là hình chiếu song song H 1 của hình
H lên mặt phẳng (α ) hoặc các hình H’ đồng dạng với hình chiếu H 1 trên mặt

phẳng (α ) theo một phương chiếu song song cho trước.” ([12, tr30])
Rõ ràng, một hình hình học H sẽ có rất nhiều hình biểu diễn cho nó trên mặt
phẳng tùy theo sự lựa chọn phương chiếu. Phải chăng mọi hình biểu diễn đó đều là
những mô hình tốt cho việc nghiên cứu các tính chất của hình hình học ban đầu?
Chúng ta sẽ tiến hành tìm hiểu xem có những yêu cầu nào được đặt ra khi chọn lựa
hình biểu diễn cho một hình hình học.
1.2.3. Các yêu cầu đối với một hình biểu diễn
“Hình biểu diễn bằng phép chiếu song song của một hình không gian sẽ
được xem là đúng nếu tồn tại một bộ máy của phép chiếu song song sao cho hình
chiếu của hình không gian đó bằng (hoặc đồng dạng) với hình biểu diễn đã cho.”
([18, tr97])
Mặt khác, một hình biểu diễn không chỉ đòi hỏi là biểu diễn đúng mà còn
phải biểu diễn tốt, trực quan. Hình biểu diễn đúng và trực quan sẽ giúp tưởng
tượng đúng, hình dung đúng hình thực của chúng trong không gian. Đương nhiên,
một hình biểu diễn sẽ được xem là trực quan nếu nó gợi ra trong nhận thức một biểu
tượng đúng đắn về nguyên bản.
Tuy vậy, không phải lúc nào một hình biểu diễn đúng đều thỏa mãn yêu cầu
trực quan. Chẳng hạn, hình biểu diễn của một hình lập phương dưới dạng một hình
vuông, hoặc hình biểu diễn một đường tròn dưới dạng một đoạn thẳng là đúng nhưng
không trực quan.Hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật có thể là một hình bình
hành (nếu phương chiếu song song với một cạnh của hình hộp) hoặc cũng có thể là
là một hình lục giác có các cạnh đối song song và bằng nhau (nếu phương chiếu
song song với một đường chéo của hình hộp). Hiển nhiên các hình biểu diễn đó
đúng nhưng chưa tốt.


Hay như hình lập phương có góc BAC xấp xỉ 450 như hình 1a là một hình
biểu diễn đúng nhưng không trực quan vì các đường chéo AD’, AC’, BD’ gần như
trùng nhau. Muốn có một hình biểu diễn trực quan nên chọn góc BAC lớn hơn
hoặc bé hơn 450 như hình 1b chẳng hạn.

Hình 1a

Hình 1b

Hình chóp SABCD có đáy là hình thang và có đường cao SA mà vẽ như
hình 2a là không tốt, vẽ như hình 2b tốt hơn.

Hình 2a
Hình 2b
Hình 2a
Hình 2b
Tóm lại, có hai yêu cầu đặt ra đối với một hình biểu diễn là:
- Hình biểu diễn phải đúng. Một hình biểu diễn đúng là một hình biểu diễn bảo tồn
các tính chất không thay đổi qua phép chiếu song song.
- Hình biểu diễn phải nổi (phải có tính trực quan).Yêu cầu này giúp cho người đọc
dễ tưởng tượng lại hình thực trong không gian. Muốn thực hiện được yêu cầu này,
chúng ta phải chuẩn bị tốt vì phải lựa chọn hình vẽ sao cho thích hợp rõ ràng.
1.2.4. Hai định lí cơ bản để thành lập hình biểu diễn
Để có thể vẽ được hình biểu diễn của một hình hình học ngoài hai yêu cầu
đã nêu ở trên, người ta còn phải dựa vào hai định lí cơ bản sau đây:
“ Định lí 1:Một tam giác bất kì có thể dùng làm hình biểu diễn cho một tam
giác có dạng tuỳ ý.


Hệ quả:Một hình bình hành bất kì có thể dùng làm hình biểu diễn cho một
hình bình hành có dạng tuỳ ý (hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông và hình bình
hành bất kì).
Định lí 2 (Định lí Pohlke – Swarchtz):Một tứ giác A’B’C’D’ cùng với các
đường chéo A’C’ và B’D’ có thể dùng làm hình biểu diễn cho một tứ diện ABCD

có dạng tuỳ ý.” ([12, tr31])
(Xem thêm cách chứng minh hai định lí này trong [12, tr31-35])
Hai định lí này cung cấp một thuật toán tổng quát để biểu diễn một đa giác
hay một đa diện bất kỳ trong không gian trên mặt phẳng.
Biểu diễn đa giác phẳng: Chọn một tam giác biểu diễn cho một tam giác
nào đó trong hình hình học ban đầu. Sau đó các điểm còn lại của hình sẽ được biểu
diễn dựa vào tính chất của hình được bảo tồn qua phép chiếu song song.
Biểu diễn hình đa diện: Chọn một tứ giác cùng với các đường chéo của nó
biểu diễn cho một tứ diện nào đó trong hình hình học ban đầu. Sau đó biểu diễn
các điểm còn lại dựa vào các tính chất của hình được bảo tồn qua phép chiếu song
song.
1.2.5. Hình biểu diễn đầy đủ
Chúng ta cần phân biệt hai bài toán vẽ hình biểu diễn và dựng hình (xác
định các giao điểm, xác định giao tuyến, xác định thiết diện, v.v…). Trong khi vẽ
hình biểu diễn người ta có thể lựa chọn biểu diễn như thế nào cho thuận tiện nhất,
sao cho đạt được yêu cầu tốt của một hình biểu diễn mà không đặt nặng tính xác
định của nghiệm hình như trong bài toán dựng hình. Với quan điểm trên, chúng tôi
đưa ra khái niệm “hình biểu diễn đầy đủ” như sau:
Một hình biểu diễn là đầy đủ nếu bất kỳ một quan hệ liên thuộc nào của các
phần tử (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) của hình hình học ban đầu (hình được
biểu diễn) đều được xác định một cách duy nhất trên hình biểu diễn.
Ví dụ:
“ Cho một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) cắt nhau. Đứng về phương
diện dựng hình thì giao điểm A của a và (P) hoàn toàn được xác định vì a và (P)
đã được xác định. Nhưng về phương diện biểu diễn hình thì A có thể lấy tùy ý trên
a (hình 1). Hình biểu diễn này là một hình biểu diễn chưa đầy đủ.
Nếu cho biết thêm hình chiếu của hai điểm M, N phân biệt nào đó trên
đường thẳng a lên mặt phẳng (P) thì khi đó điểm A hoàn toàn xác định trên hình
biểu diễn. Hình biểu diễn này được gọi là hình biểu diễn đầy đủ (hình 2).”

a

a

M

A

A
P

P

Hình 1

N

M’ N’
Hình 2

“Phép chiếu song song cho ta biết thêm hình chiếu của hai điểm M, N phân
biệt trên mặt phẳng gọi là phép chiếu trong. Với các phép chiếu trong này thì mặt
phẳng (P) luôn có hình chiếu là chính nó và được gọi là mặt phẳng cơ sở.
Hình biểu diễn song song của một điểm M được gọi là đầy đủ nếu cho biết
thêm hình biểu diễn của M’ là hình chiếu của M qua phép chiếu trong trên một
mặt phẳng cơ sở (P) đã chọn nào đó. Từ đó:
Đường thẳng a được gọi là biểu diễn đầy đủ nếu ta biết hai điểm phân biệt
của nó được biểu diễn đầy đủ.
Mặt phẳng (P) được gọi là biểu diễn đầy đủ nếu biết 3 điểm không thẳng

hàng của nó được biểu diễn đầy đủ.
Một hình H được gọi là biểu diễn đầy đủ nếu mọi điểm của nó được biểu
diễn đầy đủ.
Người ta chứng minh được rằng:
Hình biểu diễn của một hình phẳng, của một hình chóp, của một hình lăng
trụ khi phương chiếu không song song với cạnh nào, đoạn nối hai điểm nào của
nó, bao giờ cũng đầy đủ.
Các bài toán tương giao giữa hai hình H 1 và R1 được hoàn toàn xác định
nếu H 1 và R1 là những hình biểu diễn đầy đủ.” ([12, tr37])
Các bài toán của hình biểu diễn đầy đủ có liên quan đến các bài toán tìm
thiết diện và các bài toán xác định vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và mặt
phẳng.
Rõ ràng về mặt sư phạm, trong một số trường hợp việc dùng hình biểu diễn
đầy đủ để minh họa các khái niệm, các tính chất, các mối quan hệ của các đối
tượng trong không gian gây ra nhiều khó khăn và đôi khi không cần thiết cho giáo
viên lẫn học sinh. Do đó, trong dạy – học, người ta thay thế các hình biểu diễn đầy
đủ bằng việc sử dụng các hình biểu diễn mẫu tuy không chính xác về phương diện


xác định hình nhưng có thể minh hoạ tốt và trực quan, chủ yếu làm nổi bật các mối
quan hệ cần tiếp cận ban đầu.
1.2.6. Hình biểu diễn mẫu
Như đã phân tích ở trên, việc sử dụng các hình biểu diễn đầy đủ là không
cần thiết nếu xét về mặt sư phạm. Trong dạy học, người ta thường sử dụng các
hình biểu diễn mẫu kết hợp với các quy ước vẽ hình biểu diễn như một mô hình
trực quan giúp cho việc tiếp cận ban đầu các khái niệm, các tính chất, các mối
quan hệ giữa các đối tượng hình học dễ dàng hơn dù rằng việc này cũng để lại
những ảnh hưởng nhất định mà chúng tôi sẽ đề cập trong chương sau.
“ Hình biểu diễn mẫu là một hình vẽ mà đối tượng được minh họa là một
hay nhiều quan hệ hình học giữa các đối tượng hình học không gian, nó được xem

là hình biểu diễn tốt hơn những hình khác cùng biểu diễn một đối tượng không
gian. Trong khi đọc hay nghe lệnh của giáo viên, học sinh nghĩ ngay đến các
hình dạng này và sử dụng chúng như khuôn rập để so sánh và hướng dẫn việc
nắm bắt các dấu hiệu.” ([20]) (phần in đậm chúng tôi muốn nhấn mạnh)
Bên cạnh đó, [1, tr88] khẳng định: “các hình biểu diễn trong SGK và các
hình vẽ của GV trên bảng trong các giờ lên lớp nhất thiết phải là ví dụ mẫu mực
về cách biểu diễn các hình (bao gồm điểm, đường thẳng, mặt phẳng) trong không
gian”.
Ví dụ: Hình biểu diễn mẫu để minh họa cho trường hợp đường thẳng cắt
mặt phẳng là hình 1 chứ không là hình 2

M

Hình 1

(α )

Hình 2

Như vậy, các hình vẽ "mẫu mực" minh họa các định nghĩa, các định lí, tính
chất, các hoạt động, bài giải của các ví dụ áp dụng có vai trò như những gợi ý chỉ
dẫn trong việc biểu diễn hình không gian và việc đọc hình vẽ của học sinh. Hình
biểu diễn mẫu có thể là một hình biểu diễn đầy đủ hoặc không đầy đủ. Hình biểu
diễn mẫu bắt buộc phải thỏa mãn yêu cầu trực quan.
Như chúng tôi đã trình bày ở trên, hình hình học chỉ có trong ý thức của
con người, được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. Hình hình học mang


tính trừu tượng. Do vậy, trong dạy học hình học không gian, đối tượng làm việc
trực tiếp chính là các hình biểu diễn trên mặt phẳng của các hình hình học. Vậy

hình biểu diễn có vai trò như thế nào trong dạy học hình học không gian?
1.2.7. Vai trò của hình biểu diễn trong dạy – học hình học không gian
“Tóm tắt, chứng tỏ và phỏng đoán là ba chức năng cơ bản của hình biểu
diễn trong dạy học hình học.” ([3, tr190])
Chức năng tóm tắt: Hình biểu diễn là sự thể hiện bằng ngôn ngữ hình ảnh
những gì được nói đến trong đề bài toán cần giải, đặc biệt trong trường hợp các giả
thuyết của đề toán khá phức tạp hay trong trường hợp đề toán có nhiều giả thuyết.
Vấn đề là biểu diễn thế nào để có một bản tóm tắt thật rõ ràng, sáng sủa,
làm nổi bật quan hệ giữa các yếu tố cho trong bài toán để nhìn rõ chúng và thuận
lợi cho việc giải bài toán đó.
Chức năng chứng tỏ: Hình biểu diễn có thể cung cấp những phản ví dụ cho
phép bác bỏ một mệnh đề nào đó. Chẳng hạn với hình biểu diễn của một hình hộp
chữ nhật ta dễ dàng tìm thấy những phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề “Trong không
gian hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau”.
Chức năng phỏng đoán: Hình biểu diễn đúng, trực quan còn có tác dụng
giúp phát hiện tính chất của hình, hình thành những phỏng đoán hoặc tìm phương
hướng giải quyết bài toán.
Ngoài ba chức năng cơ bản trên, theo chúng tôi, trên hình vẽ, học sinh có
thể thực hiện một số thao tác dựng hình phục vụ cho lời giải. Do vậy, hình vẽ cũng
thể hiện một phần của lời giải bài toán.
Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu xem giữa một hình hình học và hình biểu
diễn nó có mối quan hệ với nhau như thế nào?
1.3. Mối quan hệ giữa một hình hình học và hình biểu diễn nó
“Trong việc hình thành quan hệ giữa một đối tượng hình học không gian và
một hình vẽ biểu diễn nó, có một đối tượng khác tác động: đối tượng hình học
phẳng, phép chiếu lên mặt phẳng một đối tượng hình học không gian. Về phương
diện này A.Bessot (1993) đã trình bày một sơ đồ quan hệ được thiết lập bằng một
sự mô hình hóa hình học các đối tượng vật lý.” ([20])

Đối tượng
hình học không gian

Đối tượng
hình học phẳng

Hình vẽ
Mô hình
đối tượng hình học

Đối tượng vật lý

Mô hình
đối tượng vật lý

Các quan hệ giữa đối tượng vật lý, hình vẽ và các đối tượng hình học
Trong luận văn, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển giữa một đối tượng
hình học không gian và một hình vẽ biểu diễn đối tượng này bằng phép chiếu song
song, do đó chúng tôi xem xét sơ đồ con của sơ đồ trên trong đó hình vẽ là mô
hình của một đối tượng hình học:
Đối tượng
hình học không gian

Đối tượng
hình học phẳng

Hình vẽ
Mô hình
đối tượng hình học

Các quan hệ giữa hình vẽ với đối tượng hình học
1.3.1. Vẽ hình biểu diễn của một hình hình học bằng phép chiếu song song
Vẽ hình biểu diễn chính là bước chuyển từ đối tượng hình hình học trong
không gian (mang tính trừu tượng) sang hình biểu diễn nó.
“Bước chuyển từ một đối tượng hình học không gian được thực hiện thông
qua việc phiên dịch một số tính chất hình học của đối tượng không gian thành các
quan hệ không gian trên hình biểu diễn. Thật ra những quan hệ không gian này là
những bản dịch từ các tính chất hình học của đối tượng phẳng được chiếu từ đối
tượng không gian.” ([20])


Các tính chất hình học của hình hình học trong không gian
Phép chiếu
Các tính chất hình học của hình hình học trong mặt phẳng

Các tính chất không gian của hình vẽ
Qua phép chiếu song song, các tính chất hình học được bảo toàn: tính song
song, tính thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Cụ thể:

Tính chất hình học của hình Tính chất hình học của hình
hình học trong không gian
hình học trong mặt phẳng

Tính chất được thể hiện
trên hình biểu diễn

Các đường thẳng song song Các đường thẳng song song Các đoạn thẳng song song
Các đường thẳng cắt nhau

Các đường thẳng cắt nhau

Các đoạn thẳng cắt nhau

Các điểm thẳng hàng

Các điểm thẳng hàng

Các điểm thẳng hàng

Trọng tâm

Trọng tâm

Trọng tâm

Tỉ số giữa các độ dài

Tỉ số giữa các độ dài

Tỉ số giữa các độ dài

Như vậy, chỉ với những tính chất được bảo toàn của phép chiếu song song ở
bảng trên thì phạm vi hoạt động của hình biểu diễn sẽ bị thu hẹp đáng kể. Ngoài
những qui tắc này, những quy ước và những hình biểu diễn mẫu được sử dụng
trong dạy học sẽ cho phép mở rộng phạm vi hoạt động của hình vẽ.
1.3.2. Đọc hình biểu diễn của một hình hình học bằng phép chiếu song song
Ngược lại, những tính chất hay những quan hệ hình học có thể được rút ra
từ việc đọc hình biểu diễn của một hình hình học. Tất cả những hình biểu diễn cụ
thể có thể biểu diễn được đều là những hình biểu diễn không hoàn chỉnh. Tuy

nhiên, nếu ta sử dụng hình biểu diễn để giải các bài toán thì vấn đề giải thích các
tính chất không gian như là các tính chất hình học sẽ được đặt ra.
“Trong hình học không gian, phạm vi giải thích của một hình biểu diễn là
rất hẹp và nó hoạt động theo một logic khác với logic được dùng để giải thích một
hình biểu diễn của hình học phẳng. Từ tính chất của phép chiếu song song, chúng
tôi suy ra một số quy tắc khi đọc hình biểu diễn như sau:


-

Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường

-

thẳng không song song
Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng

-

trên hình biểu diễn thì các điểm A, B và C không thẳng hàng
Nếu điểm A’ biểu diễn một điểm A không phải là trọng tâm của một hệ
điểm (Ai’, ai) của không gian thì A không phải là trọng tâm của hệ điểm
(Ai, ai). Chẳng hạn, nếu một điểm nằm ngoài một tam giác biểu diễn một
mặt của một hình khối, ta có thể suy ra rằng nó không thuộc mặt phẳng
này.” ([20])


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Qua chương 1 chúng tôi đã trình bày lại một số khái niệm và kết quả nghiên
cứu liên quan đến hình biểu diễn của một hình hình học bằng phép chiếu song

song là cơ sở tham chiếu cho những phân tích ở chương sau. Cụ thể:
* Hình hình học là tập hợp các điểm khác rỗng trong không gian. Hình hình
học được mô tả thông qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất.
* Hình hình học là một khái niệm trừu tượng, do vậy người ta cần tới một
đối tượng khác để mô hình hoá khái niệm trừu tượng này. Đó chính là hình biểu
diễn của một hình hình học. Hình biểu diễn (bằng phép chiếu song song) của một
hình hình học là hình chiếu song song của hình hình học đó trên một mặt phẳng
theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Có hai yêu cầu đối với một hình biểu diễn, đó là: hình biểu diễn phải đúng,
nghĩa là bảo tồn các tính chất không thay đổi qua phép chiếu song song (tính song
song, tính thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài) và phải nổi, phải có
tính trực quan giúp người đọc dễ tưởng tượng ra hình hình học ban đầu.
Hình biểu diễn mẫu là hình biểu diễn thỏa mãn tốt nhất yêu cầu trực quan,
được sử dụng như là một hình mẫu điển hình để minh hoạ cho các đối tượng không
gian và mối quan hệ giữa chúng. Hình biểu diễn mẫu thường được các SGK, giáo
viên sử dụng trong dạy học hình học không gian để minh hoạ cho các khái niệm, các
định lí, tính chất. Các hình biểu diễn mẫu thường là các hình biểu diễn chưa đầy đủ.
Các bài toán tìm thiết diện, xác định vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và mặt
phẳng có hình biểu diễn thuộc phạm trù khái niệm hình biểu diễn đầy đủ. Hai khái
niệm hình biểu diễn mẫu và hình biểu diễn đầy đủ cũng giúp chúng tôi xác định các
đặc trưng của hình biểu diễn được rõ ràng khi tiến hành phân tích chương trình và
SGK ở chương sau.
* Biểu diễn một hình hình học bằng hình biểu diễn thường thể hiện một sự
mất mát thông tin vì rằng những tính chất không gian từ hình biểu diễn không thể
phản ánh đúng và đủ những tính chất hình học vốn có của các hình hình học. Mặc dù
phép chiếu song song cho phép bảo toàn nhiều tính chất (quan hệ liên thuộc, sự
song song, tỉ lệ giữa các số đo các đoạn thẳng song song) nhưng phạm vi hoạt
động của hình biểu diễn vẫn bị thu hẹp đáng kể. Do đó nhất thiết phải nhờ đến các
quy tắc vẽ và đọc hình biểu diễn để mở rộng phạm vi giải thích của hình biểu diễn
nhằm nắm bắt được đầy đủ các tính chất không gian của hình hình học từ việc

nghiên cứu hình biểu diễn nó. Vẽ hình biểu diễn chính là bước chuyển từ đối tượng