một nghiên cứu didactic về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH






Lê Thị Thùy Trang





MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG
ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN


Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 10


LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. ĐOÀN HỮU HẢI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
THƯ
VIỆN
LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Tiến sĩ Đoàn Hữu Hải, người đã dành
nhiều thời gian, công sức hướng dẫn tôi thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn những ý kiến quý báu của bà Claude Comiti, bà Annie Bessot và cô Vũ
Như Thư Hương cho đề cương luận văn được hoàn chỉnh.
Xin gửi lời tri ân đến Cô Lê Thị Hoài Châu và các Thầy Lê Văn Tiến, Thầy Trần Lương Công
Khanh, Thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, những người đã tận tâm và nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ
cho chúng tôi những kiến thức về Didactic trong những năm đại học cũng như cao học sau này.
Xin cảm ơn Ban lãnh đạo, các anh chị chuyên viên phòng Khoa học và công nghệ sau đại học đã
tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học và thời gian thực hiện luận văn. Cảm ơn các bạn, các
anh chị trong khóa Didactic 18, đã giúp đỡ, cùng nhau chia sẽ những khó khăn, kinh nghiệm trong
thời gian học ở trường.
Luận văn không thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ, góp ý kiến của Thầy Đậu Văn Duy
trường Trưng Vương, Thầy Bùi Đức Tước Hoàn trường Lê Qúi Đôn thành phố Hồ Chí Minh và các
em học sinh lớp 11A1, 11A2, 11A3 của hai trường trong phần thực nghiệm luận văn.
Cuối cùng, xin dành trọn tấm lòng của người con đối với ba mẹ, những người thân trong gia
đình và anh Trần Anh Tuấn, người đã luôn bên cạnh động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập ở thành phố.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

HHKG : Hình học không gian
HHP : Hình học phẳng
HS : Học sinh
SGK : Sách giáo khoa
SGV : Sách giáo viên
SBT : Sách bài tập
VTTĐ : Vị trí tương đối

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Kinh nghiệm giảng dạy của tôi và đồng nghiệp thường gặp một số nhận định sai lầm của học
sinh khi học HHKG lớp 11:
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung
- Hai đư ờng thẳng không song song ho ặc có điểm chung trên hình vẽ thì cắt nhau
- Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng còn lại
- Hai đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng nhìn thấy trên hình thì không đồng
phẳng
- Hai m ặt phẳng song song thì các đường thẳng chứa trong nó cũng song song…
Cuốn phương pháp dạy học môn toán có nhận định: “Do đã có một giai đoạn dài học hình học
phẳng nên việc quen tư duy theo kiểu hình học phẳng cũng là trở ngại, gây bỡ ngỡ khi học hình học
không gian. Hình học không gian gắn liền với hình biểu diễn, nhưng các nguyên tắc vẽ phối cảnh
không dễ nắm được ngay và hình biểu diễn không hoàn toàn trực quan như hình học phẳng ” [10,
tr.115]
Cũng với tinh thần này, Sách Giáo viên hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, 2009 viết: “Ở
lớp 10 và đầu lớp 11, học sinh chỉ học hình học phẳng, nay học hình học không gian sẽ gặp rất
nhiều khó khăn” [17, tr. 42]
Những quan sát có được đã gợi ra cho chúng tôi những câu các hỏi sau:
- Nguồn gốc những nhận định trên của học sinh cũng như khó khăn mà hai cuốn sách nói
đến là gì?
- Liệu chúng ta có thể giải thích được những hiện tượng đó không?
- Và nếu có thì giải quyết bằng công cụ nào?
Tuy nhiên, trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, chúng tôi chỉ dám dừng lại ở việc nghiên
cứu đối tượng là VTTĐ giữa hai đường thẳng trong dạy học HHKG ở trường phổ thông bằng phương
pháp tổng hợp. Chọn đường thẳng để nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng, xuất phát từ những lý do

sau:
- Đây là một đối tượng HS đã nghiên cứu kỹ trong HHP và được tiếp xúc nhiều trong thực tế.
Trong HHKG, mối quan hệ hai đường thẳng lại phức tạp hơn nhiều.
- Thêm nữa, việc xét mối quan hệ giữa hai đường thẳng liên quan đến một loạt các kiểu nhiệm
vụ khác như: chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, chứng minh hai mặt phẳng
song song, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng,…
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là đi tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên bằng việc nghiên cứu
chương trình HHKG mà giới hạn là VTTĐ giữa hai đường thẳng. Cụ thể hơn những câu hỏi đó là:
1. VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được các sách và chương trình toán phổ thông xây dựng
như thế nào? Các thuộc tính đặc trưng của chúng là gì? Yêu cầu của nó đối với HS?
2. Việc dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian ở trường phổ thông đã xuất
hiện những kiểu nhiệm vụ nào? Đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm?
3. Những khó khăn của HS khi tiếp xúc với đối tượng trên là gì? Có thể tìm ra nguyên nhân và
giải thích sai lầm được không?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Những vấn đề gợi ra ở trên liên quan đến việc dạy học hình học không gian ở trường phổ
thông Việt nam. Do đó, chúng tôi chọn công cụ là lý thuyết nhân chủng học (quan hệ thể chế, quan
hệ cá nhân) để tham chiếu. Tìm và giải thích những khó khăn bằng công cụ lý thuyết tình huống với
khái niệm sai lầm và chướng ngại. Cuối cùng, để thấy được những ứng xử của học sinh với một
dạng bài tập nào đó, chúng tôi sử dụng công cụ hợp đồng didactic. Cụ th
ể:
3.1. Thuyết nhân học
Công cụ cho chúng tôi biết đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày như thế nào
trong chương trình. Mối quan hệ của nó với các đối tượng khác (điểm, mặt phẳng) và với việc tiếp
thu kiến thức của HS.
Khi xuất hiện quan hệ hai chéo nhau giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng song
song đã thay đổi, buộc HS phải điều chỉnh mối quan hệ của mình với các đối tượng cho phù hợp. Hơn
nữa, đường thẳng có thể sống trong hai thể chế khác nhau (dạy học hình học phẳng và hình học không
gian) và do đó nó phải tuân theo sự ràng buộc của thể chế, phải biến đổi phù hợp với yêu cầu của thể

chế.
Việc tiếp cận các hoạt động toán học theo mô hình tổ chức
[ ]
,,,T
τθ
Θ
đã hình thành một hệ
thống các kiểu nhiệm vụ xác định. Và chúng tôi muốn tìm hiểu có bao nhiêu kiểu nhiệm vụ liên
quan, kiểu nhiệm vụ nào thường gặp,…
3.2. Sai lầm và chướng ngại
Ngoài những sai lầm mang tính cá nhân, do thiếu kiến thức thì có những sai lầm của HS khiến
chúng ta phải quan tâm vì nó không phải ngẫu nhiên được sinh ra. Những sai lầm này thuộc về kiến
thức và là biểu hiện của kiến thức.
Nghiên cứu lý thuyết tình huống đã cung cấp cho chúng tôi một công cụ để nghiên cứu sai
lầm, khó khăn của HS khi học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian, biết đâu là chướng
ngại tránh được và không tránh được.
3.3. Hợp đồng didactic
Tìm và giải thích những quy tắc hợp đồng đã hình thành trong SGK. Ứng với một tình huống
mới lạ về đường thẳng, HS có tìm cách phá vỡ hợp đồng đã hình thành trước hay không? Phản ứng
của các em như thế nào?
Trên khung lý thuyết này, các câu hỏi ban đầu được trình bày lại là:
'
1
Q
: Khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng đã được xây dựng như thế nào trong các tài
liệu trước đây?
'
2
Q
: Trong chương tr ình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm trên được đề cập

ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học có liên quan?
'
3
Q
: Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng đã ảnh hưởng
như thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành từ
cách trình bày này?
4. Phương pháp nghiên cứu
Với luận văn này, chúng tôi thực hiện đồng thời các nghiên cứu sau:
Để trả lời cho
'
1
Q
, chúng tôi nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến VTTĐ giữa hai đường
thẳng, các vấn đề về hình vẽ và qui tắc vẽ hình trong dạy học HHKG.
Nghiên cứu thể chế dạy học HHKG ở Việt nam qua việc phân tích chương trình, bộ sách giảng
dạy hiện hành gồm SGK, SGV, SBT lớp 8 và lớp 11 để trả lời cho
'
2
Q
. Việc nghiên cứu này thực hiện
trên khung l ý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu được trình bày ở phần trước. Trên cơ sở đó
hình thành giả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng, giả thuyết được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm xây dựng
ở chương 3.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm của học sinh khi tiếp thu nội dung dạy học VTTĐ giữa hai
đường thẳng trong không gian là một đề tài thiết yếu. Nó không chỉ cho phép chúng tôi hiểu một cách
sâu sắc nội dung chương trình, giải thích cho các khái niệm didactic mà còn mang lại những kinh
nghiệm bổ ích cho việc dạy học về sau.
6. Tổ chức của luận văn

Luận văn gồm những phần sau:
Mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn và ý nghĩa khoa học của đề tài.
Chương 1: Trình bày tóm t ắt những công trình nghiên cứu, các tài liệu liên quan
Chương 2: Phân tích quan hệ thể với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian
ở trường phổ thông Việt nam. Cụ thể:
VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương trình, SGK, SGV được trình bày ra sao, hệ thống
ký hiệu, quy ước, khái niệm, định nghĩa, các tính chất,…Phân tích các tổ chức toán học được xây
dựng, tổ chức nào chiếm vị trí quan trọng
Trên cơ sở này, chúng tôi sẽ tìm ra những khó khăn, sai lầm của HS có thể mắc phải. Những
sai lầm nào có thể giải thích bằng công cụ didactic. Cuối cùng hình thành giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệ m trên đối tượng là HS. P hân tích tiên nghiệm các tình
huống đã nêu, phân tích hậu nghiệm từ kết quả thu được nhằm kiểm chứng giả thuyết.
Kết luận: Tóm tắt, đánh giá các kết quả thu được, hướng nghiên cứu mở ra
Tài liệu tham khảo.

Chương 1:
NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG VÀ
HÌNH VẼ TRONG KHÔNG GIAN

1.1. Mục đích của chương
Mục đích của chương là tổng hợp các công trình nghiên cứu như: cách xây dựng VTTĐ giữa hai
đường thẳng, phép chiếu song song và hình biểu diễn của chúng trong một số giáo trình. Từ đó tạo cơ
sở lý luận cho việc phân tích chương 2.
Tài liệu mà chúng tôi sử dụng là:
- Giáo trình hình học họa hình (1988), V. O. GÔCĐÔN, M, A. XEMEXNÔP- OGHIEPXKI,
NXB Mir Maxcova (Nguyễn Đình Điện, Hoàng Văn Thân dịch)
- Elementary mathematics (1978), Translated from Russian by George Yankoisky, Mir
publishers Moscow
- Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Lê Thị Hoài Châu (2004),
Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh.
- Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp trung học cơ sở,
Hamid CHAACHOUA
- Các phép bi ến hình trong mặt phẳng (2004), Nguyễn Mộng Hy, Nxb giáo dục
1.2. Một nghiên cứu về cách xây dựng VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian
Trong cuốn Elementary mathematics thì:
Hai đường thẳng trong không gian có các vị trí tương

đối khác nhau. Chúng có thể có một điểm chung. Vì thế chúng
hoàn toàn nằm trên cùng một mặt phẳng, để tạo thành một
mặt phẳng, có thể vẽ qua ba điểm: điểm A, giao điểm của hai
đường thẳng, điểm B và C được lấy tương ứng
trên hai
đường thẳng n, m. Mặt phẳng sẽ chứa cả hai đường thẳng
vì nó có hai điểm chung với mỗi đường.

Bây giờ giả sử các đường thẳng không có bất kỳ điểm chung nào. Điều này không có nghĩa là
chúng song song, bởi vì sự xác định tính song song qui định rằng các đường thẳng phải cùng nằm
trên một mặt phẳng.
Để giải quyết câu hỏi các đường thẳng xác định vị trí như thế nào, vẽ mặt phẳng
λ
qua một
trong hai đường, m chẳng hạn, và qua một điểm A tùy ý trên đường thẳng còn lại. Hai trường hợp
có thể xảy ra:






(1) Mặt phẳng
λ
tạo thành chứa toàn bộ đường thẳng thứ hai (hình 324). Khi ấy, các đường
thẳng m và n thuộc cùng một mặt phẳng và không giao nhau, vì vậy chúng song song
(2) Mặt phẳng
λ
cắt đường thẳng tại điểm A. Khi ấy, hai đường thẳng không nằm trên một mặt
phẳng. Những đường thẳng như vậy gọi là những đường thẳng chéo nhau (hình 325)

Tóm lại: có ba trường hợp có thể có về VTTĐ của hai đường thẳng:
1. Chúng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau
2. Chúng nằm trên một mặt phẳng và song song
3. Chúng chéo nhau, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng
Như vậy, khái niệm được trình bày thông qua tình huống xây dựng mặt phẳng chứa đường
thẳng để khái quát các VTTĐ giữa hai đường thẳng mà không nêu định nghĩa của chúng. Liệu
chương trình, SGK phổ thông Việt Nam có đi theo con đường này hay chỉ nêu định nghĩa bằng cách
chỉ ra đặc trưng của khái niệm.
1.3. Phép chiếu song song và vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Phần này được viết theo Giáo trình hình học họa hình (1988)
Lấy một mặt phẳng (P) làm mặt phẳng hình chiếu. Nếu các đường thẳng chiếu là những đường
thẳng song song thì phép chiếu được gọi là phép chiếu song song. Có thể vẽ hình chiếu của một
đường bằng cách vẽ hình chiếu của một số điểm của nó. Các đường thẳng chiếu vẽ qua các điểm
này sẽ tạo thành một mặt gọi là mặt chiếu. Giao của mặt chiếu với mặt phẳng hình chiếu là hình
chiếu cần vẽ. Để xác định phép chiếu song song trước hết phải chỉ rõ hướng chiếu.
Hình chiếu song song của một điểm là giao điểm của đường thẳng chiếu, vẽ song song với
hướng đã cho, với mặt phẳng hình chiếu. Muốn có hình chiếu song song của một đường nào đó, ta
vẽ hình chiếu của một số điểm của nó rồi nối chúng lại thành một đường.
1.3.1. Những tính chất của phép chiếu song song
1. Mặt chiếu của một đường thẳng trong trường hợp chung là một mặt phẳng
2. Mỗi điểm và mỗi đường trong không gian có một hình chiếu duy nhất
3. Mỗi điểm trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi điểm của đường thẳng chiếu đi
qua nó
4. Mỗi đường trên mặt phẳng hình chiếu là hình chiếu của mọi đường của mặt chiếu đi qua nó
HÌNH 78
5. Muốn vẽ hình chiếu của đường thẳng ta chỉ cần vẽ hình chiếu hai điểm của nó
6. Nếu một điểm thuộc đường thẳng thì hình chiếu của điểm thuộc hình chiếu của đường thẳng
đó
7. Nếu đường thẳng song song với hướng chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm
8. Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ được chiếu thành

một đoạn thẳng có độ dài bằng nó
Từ hình chiếu song song của các điểm và đường ta suy ra cách vẽ hình chiếu song song của
các mặt và các vật thể
1.3.2. VTTĐ giữa hai đường thẳng qua phép chiếu song song
Đường thẳng song song: “hình chiếu của hai đường thẳng song song thì song song. Nếu các
đường thẳng AB và CD song song nhau (hình 78) thì các mặt phẳng chiếu Q và R song song và
giao của chúng với mặt phẳng hình chiếu P là các hình chiếu
,
pp p p
ab cd
song song nhau.
Nhưng, giả sử
//
pp p p
ab cd
(hình 78) thì những đường thẳng nhận chúng làm hình chiếu có thể
là không song song nhau: ví dụ đường thẳng AB không song song với
11
CD
” [26, tr. 46]
Đường thẳng cắt nhau: “nếu những đường thẳng cắt nhau thì thì các hình chiếu cùng tên của
chúng cắt nhau tại điểm là hình chiếu của giao điểm của những đường thẳng ấy. Thực vậy (hình
82), nếu điểm K thuộc cả hai đường thẳng AB và CD thì hình chiếu của K phải là giao điểm của
hình chiếu của AB và CD”.

Điều kiện ắt và đủ để khẳng định các đường thẳng cắt nhau là: “giao điểm của các hình chiếu
cùng tên cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu tương ứng (hình 83), hay trên
đồ thức không có trục chiếu (hình 84), cùng nằm trên một đường gióng”. [26, tr. 47]
Đường thẳng chéo nhau: “là những đường thẳng không cắt nhau và không song song nhau.
Hình 86 biểu diễn hai đường thẳng chéo nhau mặc dù các hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau
nhưng các giao điểm không thể nối được bằng một đường song song với các đường gióng l’l và
m’m tức là những đường thẳng ấy không cắt nhau”. [26, tr. 48]










1.4. Những vấn đề đặt ra về hình vẽ
Phần này đươc viết theo bài báo: Hình học không gian, thực trạng về việc đọc hình vẽ của học
sinh cuối cấp trung học cơ sở, Hamid CHAACHOUA
1.4.1. Vấn đề biểu thị đối tượng không gian
Xét hình vẽ là mô hình của một đối tượng HHKG. Mô hình này gồm tập hợp các tính chất
hình học được biểu diễn bởi một số tính chất không gian của hình vẽ (lĩnh vực hoạt động) và tập
hợp các tính chất không gian của hình vẽ không thể giải thích được cũng như phản ánh vào các tính
chất của đối tượng (lĩnh vực giải thích).
Các đối tượng hình học không gian vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy
hai chiều thông qua một hay nhiều phép chiếu. Trong trường hợp chỉ có một phép chiếu thì thông
tin sẽ bị thất thoát. Do đó, cần phải vận dụng một số qui tắc để đọc-hiểu và viết ra các sự thể hiện
đó, như Bkouche đã nói:
“Một tình huống không gian xuất hiện qua sự thể hiện, và sự thể hiện này biến tình huống đó

thành một hình phẳng, do vậy cần có qui tắc để giải thích, qui tắc viết và qui tắc đọc…Trong điều
kiện này, việc tiếp cận tình huống không gian thông qua trung gian sự thể hiện phẳng không còn dựa
vào sự hiển nhiên nữa như trong trường hợp hình học phẳng Vì thế cần hoàn chỉnh phương pháp
suy luận phức tạp hơn”.
Do vậy, vấn đề hình vẽ trong hình học không gian, trong quá trình dạy học bị lệ thuộc vào sự lựa
chọn phương thức thể hiện đối tượng không gian. Giữa nhiều cách thể hiện phẳng đối tượng không gian
thì phối cảnh song song cho phép “giữ lại” các tính chất (song song, trung điểm, quan hệ đo đạc các
đoạn thẳng song song) nhiều nhất.
Trong hoạt động liên hệ giữa một đối tượng hình học không gian và hình vẽ thể hiện nó có sự
can thiệp của một đối tượng khác: đó là đối tượng hình học phẳng chiếu trên một mặt phẳng của đối
tượng hình học không gian. Sơ đồ sau cho thấy tính chất phức tạp của các quan hệ được thiết lập
trong việc mô hình hóa



Hình vẽ
Mô hình đối tượng hình học
Đối tượng hình học
phẳng
Đối tượng hình học
không gian

Không gian vật lý



Mô hình hình học


Kết hợp một đối tượng HHP với một đối tượng HHKG nhờ một phép chiếu lên mặt phẳng và

hình vẽ như là sự biểu diễn vật liệu của phép chiếu này.







1.4.2. Đường thẳng qua bước chuyển từ đối tượng hình học sang hình vẽ
Bước chuyển từ đối tượng hình học không gian sang hình vẽ thể hiện nó được thực hiện thông
qua việc thể hiện một số tính chất hình học của đối tượng thành các quan hệ không gian trên hình
vẽ. Chức năng này tương đương với giai đoạn chủ thể thực hiện một hình vẽ nhằm thể hiện dữ kiện
bài toán, tùy thuộc vào lĩnh vực vận hành của hình vẽ - mô hình đối tượng hình học.
Tính chất hình học của hình không gian
Phép chiếu
Tính chất hình học của hình phẳng

Tính chất không gian của hình vẽ
Hai đường thẳng song song, hoặc cắt nhau của hình không gian qua phép chiếu trở thành hai
đường thẳng song song hoặc cắt nhau và trong không gian của hình vẽ, chúng là hai đoạn thẳng
song song hoặc cắt nhau. Như vậy, nếu dừng lại ở phối cảnh ước lệ thì lĩnh vực vận hành của hình
vẽ sẽ rất hạn chế.
1.4.3. Đường thẳng qua bước chuyển từ hình vẽ sang đối tượng hình học
Chúng ta biết rằng hình vẽ không thể bao quát hết tình huống. Tuy nhiên, nếu sử dụng hình vẽ
như mảnh đất thực nghiệm khi giải bài toán thì vấn đề giải thích các tính chất không gian như là các
tính chất hình học sẽ được đặt ra.
Hình không
gian
Đối tượng
vật chất

Hình vẽ

Các hình
phẳng
Trong HHKG, phạm vi giải thích của một hình vẽ là rất hẹp và nó hoạt động theo một logic
khác với logic được dùng để giải thích một hình vẽ của hình học phẳng. Thật vậy, khi xem xét các qui
tắc của phép phối cảnh, chúng tôi ghi nhận:
- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà cắt nhau thì các đường thẳng không song
song
- Nếu hai đoạn thẳng biểu diễn hai đường thẳng mà song song thì các đường thẳng có thể
không song song.
- Nếu ba điểm biểu diễn ba điểm A, B và C của không gian không thẳng hàng trên hình vẽ thì
các điểm A, B và C không thẳng hàng
1.5. Một số khái niệm liên quan
Đồ thức: Bản vẽ có được bằng cách gập mặt phẳng hình chiếu bằng H vào mặt phẳng hình
chiếu đứng V như từ hình 10 sang 12 gọi là đồ thức hay là bản vẽ trong hệ thống V, H. Khi đó, các
hình chiếu
'
a
và a sẽ cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường gióng của điểm A


Hình: Theo nghĩa toán học: hình là “một tập hợp điểm”.
“Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan
đến lý thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, một điểm A thuộc hình H”, …[13, tr. 5-
6]
Hình hình học
- Là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất
- Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sản phẩm của sự trừu tượng hóa các đối
tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người [18, tr. 8]

Hình vẽ
- Là biểu diễn phẳng của các hình hình học
- Là mô hình của một đối tượn g hình học. Hình vẽ không thể phản ánh đúng những tính chất
hình học vốn có đối với mọi bài toán
- Là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này, số đo giữ vai trò trung tâm
[22, tr. 8]
Theo [4, tr. 189] thì: “Với tư cách là phương tiện biểu diễn, hình vẽ là hình biểu diễn cho một
đối tượng có thể dựng được của thực tế và là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng”
Bước chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề của hình vẽ trong dạy học
được thực hiện như sau:
“Khi chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề trong trình bày hình học,
người ta đã mặc nhiên yêu cầu học sinh phải chuyển cách nhìn các hình vẽ từ cơ chế thứ nhất sang
cơ chế thứ hai. Bước chuyển này không dễ dàng nhưng nó lại thường không được dự kiến trong các
chương trình và sách giáo khoa” [4, tr. 189]
Kiến thức hình học và kiến thức không gian
Trong giảng dạy hình học, kiến thức hình học là kiến thức thuộc về toán học, nó gắn liền với các
tiên đề, định nghĩa, định lí và các phép suy luận. Còn kiến thức không gian theo Berthelot và Salin, đó
là: “những kiến thức mà hình học có thể mô tả, và chúng cho phép mỗi cá nhân cảm nhận và kiểm soát
được hệ quả của những tác động của mình lên không gian, cũng như có được trao đổi các thông tin”
[3, tr. 8]

1.6. Kết luận chương 1
Việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian qua trung gian là HHP không còn d ựa
vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trước nữa. Cần có một phương pháp suy luận để đọc, hiểu và
thể hiện nó. Nếu chọn phép chiếu song song thì:
Hai đường thẳng song song song trong không gian được thể hiện bằng hai đoạn thẳng song song
trong HHP. Tuy nhiên, trong hình vẽ, hai đoạn thẳng song song thì trong không gia n, chúng có thể
không song song.
Ngược lại nếu hai đoạn thẳng cắt nhau trên hình vẽ thì các đường thẳng trong không gian không
song song. Như vậy, tùy phương chiếu sẽ cho mô hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau:

Điều này có thể giải thích tại sao khi vẽ hình biểu diễn của tứ diện có thể có một hoặc hai cặp cạnh
đối diện song song.
Việc dùng phép chiếu song song để biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng có thể mang lại
những sai lầm do trực giác. Yêu cầu hình biểu diễn đúng theo các tính chất của phép chiếu song song
kết hợp với yêu cầu chọn hình biểu diễn trực quan.

A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
Chương 2:
NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG VỊ VỊ TRÍ
TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1. Mục đích của chương
Mục đích chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng
trong không gian ở trường phổ t hông. Chúng tôi chọn thể chế là chương trình, các sách hướng dẫn
giảng dạy, SGK toán hiện hành. Cụ thể việc dạy học HHKG trong SGK Toán 8 và Hình học 11
nâng cao. Chúng tôi chia thành hai giai đoạn. Mỗi giai đoạn ứng với một thờ i điểm đưa đối tượng
trên vào HHKG ở trường phổ thông. Trả lời những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi.
'
2
Q
: Trong chương trình, sách giáo khoa toán phổ thông Việt nam, khái niệm VTTĐ giữa

hai đường thẳng được đề cập ra sao, có những thuộc tính đặc trưng nào? Các tổ chức toán học
liên quan?
'
3
Q
: Cách trình bày của thể chế với đối tượng VTTĐ giữa hai đường thẳng ảnh hưởng như
thế nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Các qui tắc hợp đồng nào được hình thành?
2.2. Giai đoạn 1: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 8
Trong SGK 8, VTTĐ giữa hai đường thẳng được đưa vào Chương IV: Hình lăng trụ đứng –
Hình chóp đều. Theo [7, tr. 108]: “Ở chương này các tác giả chỉ giới thiệu cho HS một số vật thể
trong không gian thông qua các mô hình. Trên cơ sở quan sát HHCN, HS nhận biết được một số
khái niệm cơ bản của HHKG:
- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng
- Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo
- Hai đường thẳng song song với nhau
- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song…”
Yêu cầu của SGV: “Khi dạy HHKG, cần phải luôn liên hệ với HHP, từ đó: so sánh, mở rộng
những khái niệm, tính chất đã học trong HHP vào HHKG” [7, tr. 110]
2.2.1. Mặt phẳng và đường thẳng trong giai đoạn 1
Trên cơ sở quan sát HHCN, SGK cho HS nhận biết được một số khái niệm cơ bản của HHKG:
- Điểm như là các đỉnh của hình hộp
- Các cạnh như là đoạn thẳng
- Mỗi mặt, chẳng hạn mặt ABCD là một phần của mặt phẳng (ta hình
dung mặt phẳng trải rộng về mọi phía)
A
B
C
D
A'
B'

C
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
H. a
H. b
H. c
- Đường thẳng qua hai điểm của mặt thì nằm trọn trong mặt phẳng đó
Như vậy, theo cách trình bày của SGK thì mặt phẳng như là mặt bên, mặt đáy của hình hộp chữ
nhật nên mặt có dạng hình bình hành hay hình chữ nhật. Không xét trường hợp mặt phẳng có mô
hình biểu diễn là tam giác. Các đường thẳng chủ yếu nằm trên các mặt bên của hình hộp là các đường
quan sát được trên hình, không thấy xuất hiện các đường thẳng của mặt chéo.
2.2.2. Hình thành khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1
Qua việc quan sát hình, SGK phân biệt ba vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt a, b
như sau:
a) Cắt nhau (H.a). Chẳng hạn

'DD
và
''AD
cắt nhau ở
'D
, chúng cùng nằm trong mặt phẳng
( )
''ADD A

b) Song song (H.b). Chẳng hạn
AA'
song song với
DD'
, ký hiệu
AA '/ /DD '
, chúng cùng nằm
trong mặt phẳng
( )
AA' 'DD

c) Không cùng nằm trong một mặt phẳng nào (H.c), chẳng hạn các đường thẳng AD và
''
DC

[6, tr. 98]

Như vậy, có ba VTTĐ giữa hai đường thẳng phân biệt trong không gian được xét là cắt nhau,
song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Khi nói đến hai đường thẳng cắt nhau hay
song song, SGK đã nói rõ mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó.
Theo cách xác định mặt phẳng ở trên, liệu HS có cho rằng: “không cùng nằm trong một mặt
phẳng nào” tức là không cùng nằm tro ng một mặt bên của hình hộp hay không? Chúng tôi không
thấy có thêm câu hỏi khác để cũng cố ba vị trí tương đối trên. SGV cũng công nhận rằng hai đường
thẳng chéo nhau là “một khái niệm khó, vì vậy chỉ có thể đưa ra một mô hình để học sinh quan sát”
[7, tr. 113].
Không đề cập các tiên đề của HHKG, không định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau, hai đường
thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng mà chỉ đưa ra định nghĩa hai đường thẳng song song qua
hai đặc trưng đồng phẳng và không có điểm chung.
“Trong không gian, hai đường thẳng a và b gọi là song song với nhau nếu chúng nằm trong
cùng một mặt phẳng và không có điểm chung”
Một tính chất của nó: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba
thì chúng song song với nhau” [6, tr. 98]
Đây là một tính chất đúng trong HHP cũng như trong HHKG. Khi đưa tính chất này vào
chương trình, SGK không chú ý gì thêm, liệu HS có nhầm lẫn khi cho rằng có thể áp dụng những
tính chất trong HHP vào HHKG?
Về hai đường thẳng song song trong không gian, SGV có những lưu ý như sau:
“Trong HHP, học sinh đã được làm quen với hai đường thẳng song song với hai điều kiện. Thực
tiễn ở trường học cho thấy học sinh chỉ còn nhớ hoặc chú ý đến điều kiện thứ hai vì điều kiện thứ nhất
được xem là hiển nhiên (cùng nằm trong mặt phẳng)
…Khái niệm hai đường thẳng song song trong không gian hoàn toàn giống như khái niệm hai
đường thẳng song song trong hình phẳng (thực chất là hình phẳng), tuy nhiên trong không gian, khi
đề cập đến hai đường thẳng song song phải căn cứ vào hai tính chất đặt thù của nó: bỏ sót tính chất
thứ nhất (cùng nằm trong một mặt phẳng) sẽ dẫn đến khái niệm hai đường thẳng chéo nhau…” [7, tr.
113]
Liệu có thể giải thích chướng ngại HS mắc phải trên là do sự trình bày kiến thức của thể chế
được không?
Khi đưa ra một khái niệm mới hay một tính chất, SGK đều có ví dụ và giải thích cụ thể. Trình

tự kiến thức mà HS được học là:
Quan sát hình  nhận xét tính chất hình  khái niệm mới

củng cố
2.2.3. Các tổ chức toán học liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
Các bài tập SGK, SBT đưa ra đều sử dụng mô hình là hình hộp chữ nhật, hình lập phương,
hình lăng trụ. Không có bài tập yêu cầu chứng minh tính chất, yêu cầu vẽ hình. “Chương trình
không yêu cầu HS biểu diễn hình không gian nhưng việc qua sát hình, việc “đọc” hình là cần thiết”
[7, tr. 109]
Chúng tôi đ ã thống kê những kiểu nhiệm vụ có trong SGK và SBT như sau
1
T
: Tìm hai đường thẳng song song
2
T
: Tìm hai đường thẳng cắt nhau
3
T
: Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.
4
T
: Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng
5
T
: Tìm hai mặt phẳng song song
6
T
: Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh
Thống kê số lượng nhiệm vụ của ba kiểu nhiệm vụ
được nêu trong Bảng 2.1

KNV
1
T

2
T

3
T

4
T

5
T

6
T

SGK
9
0
0
8
2
3
SBT
1
5
5

3
2
0
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
TC
20
15
3
Bảng 2.1
Như vậy, nhiệm vụ tìm hai đường thẳng song song và hai mặt phẳng song song chiếm số lượng
lớn trong SGK. Kỹ thuật chung đối với hai dạng bài tập này là quan sát hình vẽ để nhận ra quan hệ
giữa các đối tượng. HS chưa được học các “dấu hiệu nhận biết” để áp dụng vào chứng minh như trong
HHP. Các dạng bài tập trên có thể quy về loại bài tập nhận dạng hình và đọc hình.
Hai nhiệm vụ tìm đường thẳng cắt nhau và không cùng nằm trong một mặt phẳng không được
nói đến trong SGK nhưng lại được đề cập nhiều trong SBT. Liệu những kiến thức SGK cung cấp có

đủ cho HS giải được những bài tập này không?
PHÂN TÍCH CHI TIẾT
Kiểu nhiệm vụ
1
T
: Tìm hai đường thẳng song song
Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để xác định cặp cạnh cùng nằm trong một mặt phẳng và không
có điểm chung
Công nghệ: Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian và tính chất: hai đường
thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Bài 6/SGK/Tr.100:
111 1
.ABCD ABC D
là một hình lập phương (h.81).
Quan sát hình và cho biết
a. Những cạnh nào song song với cạnh
1
CC

b. Những cạnh nào song song với cạnh
11
AD

Lời giải mong đợi: a.
11 1
AA ; ; DDBB
b.
11
; ;DBC BC A

Nhận xét
1
T
: Đây là dạng bài tập nhận dạng và đọc hình đơn giản, kỹ thuật không được nêu
trong SGK. HS không được đối diện với kiểu bài tập nhận dạng hai đường thẳng song song trong
không gian thực. Như vậy việc vận dụng kiến thức đã học vào việc nhận dạng hai đường thẳng song
song trong không gian không thuộc về trách nhiệm của HS.
Kiểu nhiệm vụ
2
T
: Tìm hai đường thẳng cắt nhau
Kỹ thuật: Quan sát hai đường có cùng nằm trên một mặt phẳng và có điểm chung hay không
Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng cắt nhau
Bài 10/SBT/Tr.107:
111 1
.ABCD ABC D
là một hình lập phương
a. Khi nối A với
1
C
và B với
1
D
thì hai đường thẳng
1
AC
và
1
BD
có cắt nhau hay không?

b.
1
AC
và
1
AC
có cắt nhau hay không?
c. Câu hỏi tương tự như câu b) với
1
BD
và
1
AA

A
B
C
D
A1
D1
C1
B1
A
B
C
D
A1
D1
C1
B1

Nhận xét: Bài tập không yêu cầu chứng minh hai đường thẳng cắt nhau mà dưới dạng câu hỏi
mở: “có, không”. Không yêu cầu giải thích câu trả lời.
Lời giải mong đợi
a. Bốn điểm
11
,, ,ABC D
thuộc một mặt phẳng. Dễ thấy
11
ABC D
là một hình bình hành
có
11
,AC BD
là hai đường chéo nên chúng cắt nhau.
b. Tương tự câu a)
11
,AC AC
là hai đường chéo của hình chữ nhật
11
ACC A
nên chúng cắt nhau
c. Không cắt nhau
Nhận xét
2
T
: Kỹ thuật và nhiệm vụ không được xây dựng trong SGK. Tình huống đưa ra có sự
xuất hiện mặt phẳng như là mặt chéo, đường thẳng là đường chéo của hình hộp, điều này không được
nói đến trong SGK. Các đường thẳng cắt nhau được giải thích là đường chéo của hình bình hành, hình
chữ nhật. Lý do hai đường thẳng không cắt nhau (ở đây là chéo nhau) lại không được giải thích. Như
vậy, HS không có trách nhiệm giải thích về sự không cắt nhau của hai đường thẳng.

Kiểu nhiệm vụ
3
T
: Tìm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng
Kỹ thuật: Quan sát hình vẽ để nhận ra các đường không cùng nằm trong một mặt phẳng và
thỏa yêu cầu bài toán
Công nghệ: Khái niệm hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng

Bài 21/SBT/Tr.109: Tìm trên hình hộp chữ nhật
111 1
.ABCD ABC D
một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh
đề sau là sai: hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng thứ ba thì song song với nhau.


Nhận xét: Bài tập xét mối quan hệ giữa tính song song và vuông góc trong không gian. Nắm
được tính chất hình hộp chữ nhật để suy ra bất kỳ hai cạnh nào của hình hộp hoặc là song song hoặc
vuông góc. Có thể tìm một đường thẳng bất kỳ, sau đó tìm hai đường thẳng còn lại vuông góc với
đường thẳng đó và không song song với nhau.
Lời giải mong đợi:
1
AA AB⊥
và
1
AA AD⊥
nhưng AB và AD không song song với nhau.
Mệnh đề sai.
Bài 7/ SBT /Tr.106: Tìm trên hình hộp chữ nhật

111 1
.ABCD ABC D
một ví dụ cụ thể để chứng tỏ mệnh đề sau đây là sai:
a. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì cũng cắt đường thẳng
kia.
b. Hai đường thẳng song song khi chúng không có điểm chung.

Nhận xét: Đây là hai tính chất trong HHP mà không đúng trong HHKG. Bài tập xét mối quan
hệ giữa tính song song và có điểm chung của hai đường thẳng.
Lời giải mong đợi
a. Chẳng hạn AB//CD và
1
BB
cắt AB nhưng nó không cắt CD. Mệnh đề a) sai
b. Chẳng hạn hai đường thẳng DC và
1
BB
không có điểm chung nhưng chúng không song
song với nhau. Mệnh đề b) sai.
Nhận xét
3
T
: Kiểu nhiệm vụ tìm hai đường thẳng không đồng phẳng không được nêu trong SGK.
SBT thể hiện qua yêu cầu tìm phản ví dụ để minh họa cho những tính chất đúng trong HHP mà không
đúng trong HHKG. Lý do đ ưa nhiệm vụ
3
t

là thỏa đáng vì nó đáp ứng yêu cầu của SGV cũng như kiến
thức của HS sau này. Nhiệm vụ cho thấy có sự so sánh mở rộng khi học HHKG liên hệ với HHP.
Tên của nhiệm vụ không được nêu một cách tường minh và kỹ thuật cũng không được trình
bày. Các mệnh đề SBT đưa ra đều rất quen thuộc đối với HS, là ba mệnh đề đúng trong HHP. Đó là:
- Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì chúng cũng cắt đường
thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng song song nếu chúng không có điểm chung
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song
Bài tập này minh họa cho một lưu ý của SGV: “Cần tránh xu hướng sai lệch: tất cả các định
lý đã học về đường thẳng song song trong hình phẳng đều đúng trong không gian” [6, tr. 113].
Nhận xét ba kiểu nhiệm vụ đầu: Qua việc phân tích bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T, chúng tôi
thấy các bài tập trong SBT có sự đa dạng trong cách xác định đường và mặt, yêu cầu cao về mức độ
vận dụng. Chúng bước đầu tạo ra sự khác biệt về kiến thức giữa HHKG và HHP.
Kiểu nhiệm vụ T đã thể hiện đầy đủ ba VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian. Việc
tìm hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng không được đề cập trong SGK nhưng có
trong SBT qua việc yêu cầu HS chỉ ra một số quan hệ trên hình vẽ mà mà các đường thẳng không
đồng phẳng phản ánh.
Kiểu nhiệm vụ
4
T
: Tìm đường thẳng song song với mặt phẳng
Kỹ thuật: Tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng đề bài
cho
A
B
C
D
E
F
G

H
P
a
b
p
q
Công nghệ: Khái niệm đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 17/SGK/Tr.105: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH
a. Kể tên các đường thẳng song song với mp(EFGH).
b. Đường thẳng AB song song với những mặt phẳng nào?
c. Đường thẳng AD song song với những đường thẳng nào

Lời giải mong đợi
a. AB; CD; AD; BC
b. (EFGH); (CDHG)
c. (BCGH); (EFGH)
Chúng tôi còn thấy bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này dưới dạng quan sát mô hình

Bài 8/SGK/Tr.100: Hình 82 vẽ một phòng ở.
Quan sát hình và giải thích vì sao:
a) Đường thẳng b song song với mp(P)?
b) Đường thẳng p song song với sàn nhà?
Nhận xét: Bài tập xuất hiện mô hình thực tế có dạng hình hộp, kèm theo yêu cầu giải thích sự
song song.
Lời giải mong đợi
a. b//a, b không thuộc (P) nên b//(P)
b. p//q, p không thuộc sàn nhà nên p song song sàn nhà
Nhận xét
4

T
: Nhiệm vụ được nêu rõ, còn dưới tên gọi tìm đường thẳng và mặt phẳng không có
điểm chung. Kỹ thuật không được xây dựng trong SGK. HS trả lời dựa vào cảm nhận trực giác. Tình
huống trong
'
1
t
có thêm tính thực tiễn, không gian tiếp xúc là mô hình sàn nhà trên mặt phẳng trang
giấy nên thể hiện tính chất hình học và tính chất không gian của hình vẽ. Trong khi SBT có đề cập
đến mặt chéo của hình lập phương. Hơn nữa, SBT thừa nhận mặt phẳng qua ba điểm.
Kiểu nhiệm vụ
5
T
: Tìm hai mặt phẳng song song
Kỹ thuật: Tìm hai đường thẳng cắt nhau thuộc một mặt phẳng và song song với mặt phẳng
còn lại hoặc tìm hai mặt phẳng không có điểm chung.
Công nghệ: Khái niệm hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng
Bài 8/SBT/Tr.106: Quan sát hình hộp chữ nhật


A
B
C
D
E
F
G
H

a) Các cặp mặt phẳng nào song song với nhau?
b) Các điểm D, H, G và C có cùng thuộc một
mặt phẳng hay không?
c) Các điểm D, H, G và F có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?
d) Câu hỏi tương tự như câu b), c) đối với các điểm A, B, G và H.
Lời giải mong đợi
a. mp(ABCD) và mp(EFGH), mp(FGCB) và mp(EHDA), mp(HGCD) và mp(EFBA)
b. Có cùng thuộc mp(DHGC)
c. Không
d. Có cùng thuộc mp(ABGH)
Nhận xét
5
T
: Tình huống đưa ra đơn giản, HS quan sát hình và trả lời bằ ng sự quan sát được
mà không giải thích lý do có sự song song này. Không xuất hiện tình huống thực tế. Bài tập còn yêu
cầu xét tính đồng phẳng của bốn điểm
Nhận xét kiểu nhiệm vụ
45
,
TT
: Đây là kiểu nhiệm vụ chiếm số lượng lớn trong ba kiểu nhiệm
vụ. Nhấn mạnh việc tìm được thẳng song song với mặt phẳng và hai mặt phẳng song song mà
không yêu cầu giải thích cho sự song song này.
Kiểu nhiệm vụ
6

T
: Vẽ thêm các cạnh để được một hình hoàn chỉnh.
Kỹ thuật: quan sát hình mẫu, dùng thước thẳng và bút kẻ thêm các đường thẳng song song
qua các điểm cho trước để tạo một hình hoàn chỉnh như ban đầu.
Công nghệ: khái niệm hai đường thẳng song song, tính chất mô hình mẫu của hình cho sẵn.







D
E
F
c)
B
C
e)
B
H
D
d)
E
F
H
A
B
G
D

a)
F
C
G
b)

Bài 20/SGK/Tr.108: Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình
97b, c, d, e để có một hình hộp hoàn chỉnh.






Nhận xét: Quan sát kỹ hình vẽ ta sẽ nhận thấy mức độ khó tăng dần theo thứ tự ở các hình b),
c), d), e). Thông thường HS có thói quen vẽ các đường thẳng song song ở dạng nằm ngang (hình.b),
sau đó thẳng đứng (hình.c), các đường thẳng song song nằm “xiên” (hình.d, e) thường khó hơn. Theo
như SGV, các hình này dành cho HS khá giỏi. Kỹ thuật giải quyết dựa vào kiến thức hình học và kiến
thức không gian.
Nhận xét
6
T
: Cho trước một hình hoàn chỉnh (hình hộp, hình lăng trụ,…) kèm theo các mô
hình của nó (thiếu các cạnh, đỉnh) và được đặt dưới các góc nhìn khác nhau. HS có trách nhiệm vẽ
thêm các cạnh để được hình vẽ ban đầu. Các đường vẽ thêm phải đảm bảo nét liền, nét đứt theo góc
nhìn. Kiểu nhiệm vụ
''
T
nhằm kiểm tra khả năng vẽ đường thẳng qua một điểm và song song với
đường thẳng cho trước. Toàn bộ hình mẫu không được vẽ trên giấy kẻ ô vuông.

2.2.4. Nhận xét về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong giai đoạn 1
Tóm lại, mục tiêu của chương là lấy mô hình hình hộp chữ nhật để bước đầu hình thành khái
niệm cho HS (con đường mô tả). Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau chưa thấy xuất hiện trong
SGK (nhưng có xuất hiện ở SGV) mà ẩn dưới tên gọi hai đường thẳng “không cùng nằm trong một
mặt phẳng nào”.

SGK không trình bày các tiên đề, chỉ đưa định nghĩa hai đường thẳng song song mà không định
nghĩa hai đường thẳng cắt nhau hay không cùng nằm trong một mặt phẳng. Liệu “hai đường thẳng
không cùng nằm trong một mặt phẳng nào” có thể dẫn đến cách hiểu hai đường thẳng không cùng nằm
trong một mặt phẳng nhìn thấy trên hình không?
Yêu cầu kiến thức chỉ dừng lại ở việc nhận biết VTTĐ giữa các đối tượng trên hình vẽ cho
sẵn. Trình bày lý thuyết bằng con đường mô tả, chú trọng quan sát. HS ghi nhận những kiến thức có
được qua việc quan sát hình vẽ. Không xuất hiện bài tập tìm hai đường thẳng không nằm trên một
mặt phẳng trong SGK, khái niệm này được trình bày một cách mờ nhạt.
Mặt phẳng được cho sẵn như là mặt bên hoặc mặt đáy của hình hộp, tức có dạng hình bình hành
hoặc hình chữ nhật, không thấy xuất hiện mặt chéo (chỉ có trong SBT). Không trình bày cách xác định
mặt phẳng. SGK không đưa ra bài tập để phát hiện sai lầm của học sinh khi áp dụng quan hệ song
song trong HHP vào HHKG.
HS không có trách nhiệm chứng minh hai đường thẳng không đồng phẳng, chứng minh sự
song song của đường và mặt. SBT đã liên hệ với HHP qua việc nêu những tính chất đúng trong HHP
mà không đúng trong HHKG. Không yêu cầu chứng minh nhưng qua các ví dụ cho HS phát hiện cũng
đã góp phần cũng cố kiến thức và thấy được sự khác nhau giữa hai mảng hình học
2.3. Giai đoạn 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong Toán 11 NC
2.3.1. Yêu cầu của chương trình
- Về kiến thức
+ Biết được khái niệm hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau
+ Biết (có chứng minh) định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng
song song mà cắt nhau thì giao tuyến của chúng sẽ song song (hoặc trùng với một trong hai đường
thẳng đó)
- Về kỹ năng

+ Xác định được VTTĐ của hai đường thẳng
+ Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song
+ Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn
giản.
Thay thế việc tìm vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dự a vào trực giác bằng việc chứng
minh VTTĐ giữa chúng. “…tư duy trực quan sẽ không đóng vai trò quan trọng như trước thay vào
đó là tư duy logic kết hợp với trí tưởng tượng không gian” [8, tr. 94].
- Vị trí
VTTĐ giữa hai đường thẳng được trình bày ở bài 2: Hai đường thẳng song song, của chương
II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Theo phân phối chương trình, chương này gồm 16
tiết.
2.3.2. Phương pháp
Về cơ bản thì chương trình HHKG 11 “bước đầu cho học sinh làm quen với phương pháp tiên
đề” [10, tr. 40]. Năm tính chất thừa nhận và ba cách xác định mặt phẳng làm cơ sở cho các su y
luận, chứng minh các định lý hay xét VTTĐ giữa các đường thẳng…Tính chất 1 và 4 liên quan trực
tiếp đến đường thẳng. Cụ thể:
Tính chất thừa nhận Ý nghĩa
1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua
hai điểm phân biệt cho trước
Đã có trong HHP, ở đây nhấn mạnh đối
với việc xác định một đường thẳng trong
không gian
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua
ba điểm không thẳng hàng cho trước
Giới thiệu đối tượng mới: mặt phẳng và
sự xác định duy nhất một mặt phẳng đi
qua ba điểm không thẳng hàng
3. Tồn tại bốn điểm không cùng nằm
trên một mặt phẳng
Khẳng định số chiều của không gian phải

lớn hơn 2 (chứng minh sự tồn tại của hình
tứ diện - bốn điểm không đồng phẳng)
4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một
điểm chung thì chúng có một đường
thẳng chung duy nhất chứa tất cả các
điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Sự xác định tính duy nhất của giao tuyến
hai mặt phẳng

5. Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã
biết của hình học phẳng đều đúng
Trong mỗi mặt phẳng được sử dụng kiến
thức đã biết của hình học phẳng
Bảng 2.2
Ba cách xác định tính duy nhất của mặt phẳng là:
- Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng
- Mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó
- Mặt phẳng qua hai đường thẳng cắt nhau.
Liệu HS có chú ý đến tính duy nhất của mặt phẳng xác định bởi các điều kiện trên khi xem xét
những bài toán liên quan đến sự đồng phẳng của đường và điểm sau này không? HS có biết vận
dụng các tiên đề này trong các lời giải khi cần thiết?
2.3.3. Hình thành khái niệm về hai đường thẳng chéo nhau, song song và cắt nhau trong
SGK Hình học 11 nâng cao
SGK hình thành khái niệm các VTTĐ giữ a hai đường thẳng phân biệt bằng con đường quy
nạp. Xuất phát từ một hình ảnh thực tế: mô hình của chiếc bàn bốn chân, từ đó trừu tượng hóa, khái
quát hóa đưa ra dấu hiệu đặc trưng và đi đến định nghĩa khái niệm. Cụ thể:
Bước 1: Hình thành biểu tượng bằng cách cho HS quan sát hình vẽ, sau đó phát hiện một số thuộc
tính bản chất của khái niệm rồi phát thảo định nghĩa khái niệm:
a. Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo
nhau (hình 49)

b. Có mặt phẳng chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng chúng đồng phẳng. Trong trường hợp này,
theo kết quả của HHP, có hai khả năng xảy ra:
i. a và b không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau (hoặc chúng song
song). Ký hiệu a//b (hình 50)
ii. a và b có m ột điểm chung duy nhất. Khi đó ta nói rằng chúng cắt nhau
iii.
(hình 51)” [18, tr. 52].