một số phép biến đổi trong toán ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN-TIN.


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG
TOÁN ỨNG DỤNG

GVHD: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG.
SVTD: HUỲNH LÊ THANH TÙNG.
MSSV: K33101256
KHÓA HỌC: 2007-2012.

TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
KHOA TOÁN-TIN.


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG
TOÁN ỨNG DỤNG
CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG
SVTH: HUỲNH LÊ THANH TÙNG
MSSV: K33101256
KHÓA HỌC: 2007-2012

TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012.


PHẦN MỞ ĐẦU
Nhiều bài toán trong thực tiễn cuối cùng được dựa trên sự phản hồi của một hệ thống
đối với tín hiệu nhập là hàm hình sin. Điều thuận tiện nằm ở chỗ là khi hệ tuyến tính được
điều khiển bởi một hàm Aeiωt sự phản hồi của nó có cùng dạng. Điều này cho phép chúng ta
biểu diễn một hàm biến thực F(t) đã cho như một chồng chất các hàm hình sin. Giải tích
Fourrier, thể hiện qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nghiên cứu sự phân tích một
hàm thành các hàm hình sin này.
Khi hàm F là hàm tuần hoàn, có chu kì L, và thoả điều kiện liên tục nhất định, ta có sự
phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier
∞

F (t ) =

∑ce

n = −∞

với hệ số được xác định bởi

ìnπ t / L

n

,

L /2

1
cn =
F (t )e-ìn2π t / L dt.
L − L∫/2
Phép biến đổi Fourier nhanh là một thuật toán có hiệu quả dùng để xấp xỉ các hệ số này.
Nếu F là không tuần hoàn nhưng |F| là khả tích (và các điều kiện liên tục được thỏa)
thì sự phân tích có dạng
∞

F (t ) =

∫ G(ω )e

iωt

dω ,

−∞

trong đó G là phép biến đổi Fourier của F, xác định bởi
∞
1
− iωt
G (ω ) =
∫ F (t )e dt.

2π −∞
Phép lấy đạo hàm “trực tiếp” (nghĩa là, đạo hàm theo từng số hạng hoặc dưới dấu tích
phân) của cả hai biểu diễn trên có thể được xem xét trong nhiều tình huống, và vì phép lấy
đạo hàm này chung quy chỉ là phép nhân với iω, nên việc giải một số phương trình vi phân
thường được đơn giản hóa bàng việc sử dụng giải tích Fourier.
Các phép biến đổi khác, đặc biệt là phép biến đổi Laplace, phép z- biến đổi- được
phát triển với cùng một đối tượng: sự phân tích các hàm tùy ý thành chồng chất các dạng cơ
bản nhằm có sự thuận tiện cho một công việc phân tích đặc biệt.
Khi xử lý điều kiện ban đầu và các tình huống nhất thời thật tiện lợi nếu ta dùng phép
biến đổi Laplace của F
∞

L { F } ( s ) = ∫ F (t )e − st dt.
0

Phép biến đổi Laplace có thể đồng nhất với phép biến đổi Fourier của một hàm số mà
“bật lên” tại t = 0 [ nghĩa là, F(t)=0 khi t<0], với iω được thay thế bởi s. Tác dụng của điều
kiện ban đầu được thể hiện trong công thức các đạo hàm F ( n ) (t ) :
(n)
L { F=
} (s) s n L {F } (s) − s n−1F (0) − s n−2 F ′(0) − ... − F (n−1) (0)

nên phép biến đổi Laplace là công cụ thích hợp cho việc giải bài toán giá trị ban đầu. Một
tiện ích khác của phép biến đổi Laplace là khả năng của nó trong việc xử lý những hàm
không khả tích nhất định. Có công thức nghịch đảo để phục hồi F(t) từ L{F}(s), nhưng dùng
các bảng biến đổi Laplace thường tiện lợi hơn.
Phép z-biến đổi là công cụ đóng vai trò của phép biến đổi Fourier/Laplace trong các
trường hợp mà tập dữ liệu là rời rạc. Nó có liên hệ với lý thuyết về chuỗi Laurent, mà nhiều
tính chất của nó được suy ra từ lý thuyết này.

Một phép biến đổi, tên là phép biến đổi Hilbert, liên hệ mật thiết với các phép biến
đổi khác cả về lý thuyết lẫn ứng dụng mặc dù nó không nhằm vào đối tượng đặc biệt nào của
sự phân tích hàm
Khi các điểm bất thường của các tích phân Cauchy xuyên qua chu tuyến của chúng,
dáng điệu của các tích phân này bị gián đoạn với những bước nhảy được dự đoán bởi các
công thức Sokhotskyi-Plemelj. Trong trường hợp chu tuyến là đường thẳng thực ta có công
thức biến đổi Hilbert, liên kết phần thực và phần ảo của hàm dưới dấu tích phân.
Trong toán học việc áp dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác nhau
mang lại những thuận lợi về mặt tính toán. Lĩnh vực áp dụng của các phép biến đổi ta nghiên
cứu ở đây có thể vượt ra ngoài lớp các hàm chỉnh hình nhưng chúng ta tự hạn chế trong lớp
hàm này vì nó sẽ giúp ta đưa ra các tính chất chủ yếu rõ ràng hơn. Một số kết quả khác được
phát biểu bỏ qua chứng minh vì chúng vượt quá giới hạn này
Nội dung chính của luận văn trình bày một số đặc điểm của các phép biến đổi nêu trên
bao gồm 5 chương
Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 1: Phép biến đổi Fourier
Chương 2 Phép biến đổi Laplace
Chương 3 Phép z- biến đổi
Chương 4 Tích phân Cauchy và phép biến đổi Hilbert
Kỳ bảo vệ khóa luận tốt nghiệp này là bước đi cuối trên con đường đại học, để đạt được
thành quả như ngày hôm nay, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán tin
trường đại học sư phạm TP.HCM đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức trong suốt
khóa học. Qua hơn 4 năm theo học, thầy cô đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức
thiết thực làm hành trang cho em vững tin hơn khi bước vào nghề.
Em xin bày tỏ chân thành đến thầy Nguyễn Văn Đông đã nhiệt tình hướng dẫn, tạo
điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình.
Qua thời gian dịch thuật tài liệu toán bằng tiếng anh đã giúp em tăng cường thêm vốn từ vựng
chuyên ngành toán vốn còn thiếu sót của mình, từ đó giúp em tích lũy thêm những kiến thức
mới có tính thời đại của toán học, để có được điều đó là nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy

Nguyễn Văn Đông đã hướng dẫn em tận tình, bố cục lại một bài luận văn cho em để làm sao
chi tiết súc tích hơn ngắn gọn hơn.
Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này mặc dù em đã cố gắng rất nhiều nhưng
do bước đầu làm quen với phương pháp làm khóa luận nên chắc hẳn không tránh khỏi thiếu
sót, em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô ở Khoa để em nhận thức
được một cách sâu sắc hơn về bài luận văn và giúp em hàn gắn những những kiến thức còn
thiếu sót, trang bị thêm cho em những kiến thức mới để giúp em hiểu về những ứng dụng của
nó trong cuộc sống.
Thành phố Hồ Chí Minh mùa tốt nghiệp tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện
HUỲNH LÊ THANH TÙNG


CHƯƠNG 0

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

0.1 Hàm chỉnh hình tuần hoàn
Định nghĩa 0.1 Giả sử a, b ∈  hoặc a = −∞ , b = ∞ . Tập hợp
2π z


< b
Tω (a, b) :=
 z ∈  : a < Im
ω


được gọi là một dải xác định bởi ω , a, b . Ac-gu-men của ω xác định hướng của dải (xem
hình 0.1)

 2π 
Im 
z = 2
 1+ i 

Im z = 1

π
4

0

−2

π

 2π 
Im 
z = 0
 1+ i 

0

Im z = −1

ω=
2π , a =
−1. b =
1

1 + i, a =
0, b =
2
ω=

Hình vẽ 0.1
Chẳng hạn ta có Tω (−∞, b) , b ∈  là một nửa mặt phẳng mở, Tω (−∞, ∞) = 
Mệnh đề 0.2 Ánh xạ h : T1 (a, b) → Ae− b ,e− a (0) , z  w = e 2π iz là một ánh xạ song chỉnh
hình, ở đây Ae− b ,e− a (0) ký hiệu hình vành khăn tâm O bán kính trong là e − a , bán kính ngoài là
e−b

Trường hợp đặc biệt h(T1 (a, ∞)) =

{w ∈  : 0 < w < e } , h() =  \ {0}
−a

Định nghĩa 0.3 Hàm f được gọi là tuần hoàn với chu kỳ ω , hoặc được gọi là ω tuần hoàn trong G nếu
f (z + ω) =
f ( z ) với mọi z ∈ G
Tổng quát hơn
f ( z + nω ) =
f ( z ) với mọi z ∈ G , mọi n ∈ 
Định lý 0.4 Với mọi hàm chỉnh hình 1- 1 tuần hoàn f trên G = T1 (a, b) có đúng một
hàm chỉnh hình F trên hình vành khăn A := Ae− b ,e− a (0) sao cho f ( z ) = F (e 2π iz ) với mọi
z ∈G

0.2 Định lý khai triển Laurent
Cho r , R ∈  ∪ {∞} với 0 ≤ r < R . Tập con mở

Ar , R ( z0 ) := { z ∈  : r < z − zo < R}

được gọi là hình vành khăn tâm z0 , bán kính trong r và bán kính ngoài R. Khi R < ∞ thì

A0, R ( z0 ) = B ( z0 , R ) \ { z0 } là một đĩa thủng và A0,∞ (0) là  \ {0} .


Định lý 0.5 (Định lý khai triển Laurent) Nếu f là hàm chỉnh hình trong hình vành
khăn A = Ar , R ( z0 ) thì f được khai triển trong A thành chuỗi duy nhất có dạng
f ( z=
)

+∞

+∞

∑ ak ( z − zo )k + ∑ bk ( z − zo )− k ( r < z − zo < R ) (0.1)

=
k 0=
k 1

Chuỗi này hội tụ chuẩn tắc trong A về f. Hơn nữa,
1
f (η )
1
f (η )
ak =
dη , bk =
dη (0.2)
k +1

∫
∫


2π i Sρ (η − zo )
2π i Sρ (η − zo )− k +1
với mọi r < ρ < R , . k ∈ 
+∞

∑ c (z − z )

Chuỗi hàm dạng (0.1) đôi khi còn được viết dưới dạng

k = −∞

ck =

k

o

k

, với

1
f (η )
dη , k = 0, ±1, ±2,... và được gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của z∫

2π i Sρ (η − zo )k +1

z0 hay chuỗi Laurent tại z0 .
Lưu ý rằng khi f chỉnh hình trên đĩa z − z0 < R thì các hệ số bk cho bởi (0.2) bằng 0
nên khi đó ta có (0.1) là khai triển Taylor của f.
Định lý 0.6 Nếu các hệ số cn của chuỗi

+∞

∑ c (z − z )

k = −∞

0 ≤ lim n c− n = r < R =
n →∞

k

o

1

k

(0.3) thỏa mãn

≤∞

lim n cn
n →∞

thì chuỗi (0.3) hội tụ chuẩn tắc trong hình vành khăn A = Ar , R ( z0 ) về hàm f là hàm chỉnh
hình trong hình vành khăn A . Các hệ số của chuỗi (0.3) này được xác định bởi công thức
1
f (η )
cn =
dη , n = 0, ±1 ,…
∫

2π i Sρ (η − zo )n +1
với r < ρ < R . Chuỗi (0.3) không hội tụ tại bất kỳ điểm nào thuộc  \ A .
0.3 Hàm điều hòa - Bài toán Dirichlet trên đĩa
Định nghĩa 0.7 Cho U là tập con mở của  . Hàm f : U →  được gọi là hàm điều

∂2 f ∂2 f
hòa nếu f ∈ C (U ) và ∆=
f
+ = 0 trên U .
∂x 2 ∂y 2
2

Định lý 0.8 Nếu hàm=
f ( z ) u ( x, y ) + iv( x, y ) là hàm chỉnh hình trong tập mở khác
rỗng D của  thì u , v là những hàm điều hòa
Khi đó u, v được gọi là liên hợp điều hòa của nhau
Định lý 0.9 Cho G là một miền đơn liên. Nếu u điều hòa trên G thì tồn tại f chỉnh
hình trên G sao cho u = Ref. Hơn nữa, các hàm f như vậy chỉ sai khác nhau một hằng số.
Định nghĩa 0.10 Cho miền G ⊂  và ϕ : ∂G →  là hàm liên tục. Bài toán Dirichlet
đặt ra là tìm một hàm điều hoà f trên G sao cho lim =
f ( z ) ϕ (ω ) ∀ω ∈ ∂G .
z →ω

Định lý 0.11 ( Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định nghĩa trên và
miền G bị chặn thì có không quá một hàm f thoả mãn bài toán Dirichlet.
Định nghĩa 0.12 a) Hàm P : B(0,1) × ∂B(0,1) →  xác định bởi:
 ζ + z  1− z
P(=
z , ζ ) Re  =
z <=
1, ζ 1)

2 (
ζ − z  ζ − z
được gọi là nhân Poisson.
b) Nếu ∆ =B(ω , ρ ) và ϕ : ∂∆ →  là hàm liên tục thì ta gọi hàm P∆ϕ : ∆ →  xác
2

1
định bởi: P∆ϕ ( z )
=
2π

2π

 z −ω

∫ P 
0



, eiθ ϕ (ω + ρ eiθ )dθ ( z ∈ ∆) là tích phân Poisson.
ρ


Định lý 0.13 (Định lý sự tồn tại nghiệm) Với các giả thiết nêu trong định nghĩa trên
cho trường hợp =
ω 0,=
ρ 1,=
E B(0,1) ta có:
a. PEϕ là hàm điều hoà trên E .
b. Nếu ω0 ∈ ∂E thì lim PEϕ ( z ) = ϕ (ω0 ) .
z →ω0

Hơn nữa f = PEϕ là nghiệm bài toán Dirichlet trên E .
Định lý 0.14 (Công thức tích phân Poisson đối với nửa mặt phẳng) Nếu
f = φ + iψ là hàm chỉnh hình trên miền chứa trục thực và nửa mặt phẳng trên và f(z) bị chặn
trên miền đó thì các giá trị của hàm điều hòa φ trong nửa mặt phẳng trên được cho theo các
giá trị của nó trên trục thực bởi
+∞
y
φ (ξ , 0)dξ
=
φ ( x, y )
( y > 0)
∫
π −∞ (ξ − x )2 + y 2
0.4 Sử dụng thặng dư tính tích phân
Xét những đường cong Jordan đóng C0 , C1 ,..., C p với các tính chất sau đây
IntC0 ⊃ IntC j ; j =1,...,p , IntC j ∩ IntCk =
∅ nếu j ≠ k

p

thì IntC0 \  IntC j được gọi là một compact Jordan xác định bởi C0 , C1 ,..., C p (xem hình
j =1

0.2) . Nếu ta chỉ có một đường cong C0 thì Int C0 cũng được gọi là compact Jordan xác
định bởi C0 .

C0
K

C1

Hình vẽ 0.2

C2


Với K là một compact Jordan như trên ta đặt ∂K + = C0+ + C1− + ... + C p− ,
Định lý 0.15 (Định lý thặng dư trên một compact Jordan) Cho f chỉnh hình trên
một lân cận mở Ω của compact Jordan K trừ một số điểm a1 ,..., am ∈ K . Khi đó ta có :
m

∫

∂K +

f ( z )dz = 2iπ ∑ r e s[ f , a j ]
1

c

Định nghĩa 0.16 Với mọi hàm f liên tục trên ( −∞, +∞ ) giới hạn lim ∫ f ( x)dx được
c →∞

gọi là giá trị chính (Cauchy) của tích phân f trên ( −∞, +∞ ) ký hiệu là
+∞

−c

c

p.v. ∫ f ( x)dx := lim ∫ f ( x)dx
c →∞

−∞

+∞

Nhận xét rằng nếu tồn tại

∫

+∞

f ( x)dx thì

−∞

∫

−∞

−c

+∞

f ( x)dx = p.v. ∫ f ( x)dx
−∞

Bổ đề 0.17 Nếu f có một cực điểm đơn tại z = c và Tr là cung tròn (hình vẽ 0.3) được
Tr : z = c + reiθ

xác định bởi

(θ1 ≤ θ ≤ θ 2 ) ,

lim ∫ f ( z )=
dz i (θ 2 − θ1 ) res[ f , c]

thì

r → 0+

Tr

Suy ra với nửa đường tròn định hướng âm S r (hình vẽ 0.4) ta có
lim

r → 0+

Tr

∫ f ( z )dz =

−iπ res[ f , c]

Sr

r
Sr

θ 2 − θ1
c

-ρ

c-r

c

c+r

ρ

Hình 0.4

Hình 0.3

Bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) Cho f là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên {Imz

> 0} trừ một số hữu hạn điểm bất thường a1 ,..., an . Gọi γ =
{=z Reit , t ∈ [0, π ]} . Giả sử
R
lim µ R = 0 ,với µ R = max f ( z ) . Khi đó với mọi số thực dương α ta có
z∈γ R

R →∞

lim ∫ eiα z f ( z )dz = 0

R →∞

Ví dụ 0.19
Hàm

γR

+∞

eix
dx
x
−∞

Tính I = p.v. ∫

eix
liên tục trên toàn trục thực ngoại trừ x = 0. Do đó
x

ρ ix
 − r eix

e
I lim  ∫
dx + ∫ dx 
=

ρ →∞ 
x
x
r

r → 0+  − ρ

eiz
có một cực điểm đơn tại gốc nhưng chỉnh hình ở các điểm khác.
z
Xét đường cong đóng bao gồm
ρ eiθ ,θ ∈ [ 0, π ] , S r− : z =
c − reiθ , θ ∈ [ 0, π ] (hình vẽ 0.5)
[− ρ , −r ],[r , ρ ] , Cρ+ : z =
Xét hàm f ( z ) :=

Cρ+

Sr

−ρ

-r

ρ

r

Hình 0.5
Vì không có điểm bất thường nằm trong đường cong đóng này ta có
ρ
 −r
 eiz
 ∫ + ∫ + ∫ + ∫  dz =0
 − ρ S − r C+  z
r
ρ


ρ ix
− r ix
iz
e
e
e
eiz
dx
dx
dz
+
=

−
−
nghĩa là
∫ x
∫r x
∫ z
∫ z dz
−ρ
S−
C+
r

Vì lim max
ρ →∞ z∈Cρ

ρ

eiz
1
dz = 0
= 0 nên theo bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) lim ∫
ρ →∞ + z
z
C
ρ

Theo bổ đề 0.17 có

lim+

e

e
−iπ res  , 0  =
−iπ
dz =
z
− z


S

+∞

ix

r →0

∫

iz

iz

r

e
I p=
dx iπ 
=

.v. ∫
x
−∞

Vậy

0.5 Phép biến đổi Mobius
Định nghĩa 0.20 Ánh xạ xác định
bởi ω ( z )
=

az + b
a
, ad-bc ≠ 0 với ω (∞) = ,
cz + d
c

d
c

ω (− ) =
∞ được gọi là hàm phân tuyến tính (còn được gọi là ánh xạ Mobius) từ  ∞ đến
∞
Định lý 0.21 Ánh xạ Mobius
a) là một song ánh giữa  ∞ và  ∞
b) bảo toàn đường tròn trong  ∞
c) bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn trong  ∞


Ví dụ 0.22 Tìm ánh xạ Mobius biến hình tròn đơn vị z < 1 thành hình tròn đơn vị

ω < 1 sao cho z = z0 biến thành tâm của hình tròn ω < 1
Giải: Giả sử ω = ω ( z ) là phép biến đổi cần tìm, ω ( zo ) = 0 với zo < 1 . Bởi vì zo và

1
1
đối xứng nhau qua đường tròn z = 1 nên theo định lý 0.21 có ω ( ) = ∞ . Hàm cần tìm
zo
zo
z − zo
z − zo
z − zo
có dạng
.
ω ( z ) A=
Azo=
B
=
1
1
1
z
z
z
z
−
−
o
o
z−

zo
Lấy z sao cho z = 1 thì ω ( z ) = 1 . Viết z = eiϕ có

eiϕ − zo
eiϕ − zo
1 B=
=
B
=
B
zo eiϕ − 1
eiϕ zo − e − iϕ
nghĩa là B = eiα , suy ra ω ( z ) = eiα

z − zo
trong đó α ∈  được chọn tùy ý. 
z zo − 1


CHƯƠNG 1

PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Nhiều bài toán về kĩ thuật cuối cùng được dựa trên sự phản hồi (response) của một hệ
thống đối với một phần nhập (input) là hàm hình sin. Một cách tự nhiên, tất cả những tham số
trong tình huống như vậy là thực, và những mô hình có thể được phân tích bằng cách dùng kĩ
thuật đối với biến thực. Tuy nhiên, việc sử dụng những biến phức có thể làm cho việc tính
toán đơn giản hơn nhiều và giúp ta có sự hiểu biết sâu sắc hơn về vai trò của những tham số
khác nhau. Phần nhập có dạng Aeiωt có các công dụng sau
1. Tính cô đọng của ký hiệu: Một biểu thức thực như α cos(ωt + φ ) + β sin(ωt +ψ ) có

thể được biểu diễn đơn giản là Re( Aeiωt )
2. Việc lấy đạo hàm phần nhập này chung quy chỉ là phép nhân với iω
3. Phần phản hồi đều đặn của hệ thống đối với phần nhập này sẽ có cùng dạng, Beiωt
với B là một hằng số phức
Vì các lý do trên sẽ rất có ích nếu hàm phần nhập tổng quát F (t ) có thể được biểu
diễn là một tổng các hàm hình sin. Khi đó ta có thể xác định phần xuất bằng cách tìm phần
phản hồi đối với mỗi thành phần hình sin (vốn làm cho bài toán dễ dàng hơn), sau đó cộng
các phản hồi này lại với nhau ( nhắc lại rằng sự chồng chất nghiệm là được phép đối với hệ
tuyến tính)
Giải tích Fourrier, thể hiện thông qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nhằm
cho sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này.
Mục 1.1 dành trình bày về chuỗi Fourier, mục 1.2 trình bày về phép biến đổi Fourrier
1.1. Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn)
Mục tiêu chính của mục này là thiết lập sự biểu diễn một hàm biến thực nhận giá trị
phức F(t) như là tổng các hàm hình sin dạng eiωt , khi F(t) là hàm tuần hoàn có chu kỳ L,
nghĩa là F =
(t ) F (t + L) với mọi t.
Trong phần 1.1.1 ta chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi các hàm hình sin
mà sự hội tụ của chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier.
Trong phần 1.1.2 ta xác định một điều kiện đặc biệt mà chuỗi Fourier của F sẽ hội tụ
đến F , nêu một kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng khai triển Laurent, nêu một chứng minh công
thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị qua cách tiếp cận bằng kĩ thuật chuỗi
Fourier
Phần 1.1.3 trích dẫn một vài kết quả về sự hội tụ tổng quát hơn của chuỗi Fourier nằm
ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình (định lý 1.4, 1.6, 1.7). Vận dụng lý thuyết này chúng ta nêu
một số ví dụ cách tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn và sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán
phương trình vi phân tuyến tính.
1.1.1

Giả sử L = 2π . Chúng ta cần tìm các số phức cn sao cho:

F (t ) =

∞

∑ce

n = −∞

int

(1.1)

n

Giả sử chuỗi trong (1.1) hội tụ đều đến F(t) khi −π ≤ t ≤ π và do đó đúng với mọi t. Cho số
nguyên m cố định chúng ta có thể nhân hai vế (1.1) với e − imt để được
F (t )e − imt =

∞

∑ce

n = −∞

n

i ( n−m )t

,

(1.2)


lại hội tụ đều, từ đó F (t )e − imt là hàm liên tục và có thể được lấy tích phân theo từng số hạng.
Lấy tích phân (1.2) trên [ −π , π ] ta có
π

∫π F (t )e

− imt

dt =

π

∞

∑c ∫e
π

n = −∞

−

i ( n−m )t

n

dt ,

(1.3)

−

 ei ( n − m ) t π
 = 0, khi n ≠ m
i ( n−m )t
i ( n − m) −π
e
dt
=

∫−π
 π
khi n m
π,
=
t −π 2=
π

Tuy nhiên, do

π

1
cm =
2π

ta có

∫π F (t )e

− imt

dt ,

(1.4)

−

khi chuỗi (1.1) hội tụ đều.
Ta đưa ra khái niệm chuỗi Fourrier của hàm F
Định nghĩa 1.1 Nếu F có chu kì 2π và khả tích trên [ −π , π ] , chuỗi hình thức
∞

∑ce

n = −∞

n

int

với hệ số cho bởi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của F; các số cn được gọi là hệ

số Fourier của F.
Tổng quát hơn, nếu F(t) có chu kì L, chuỗi Fourier là chuỗi

∞

∑ce

n = −∞

n

in2π t / L

với hệ số

L /2

1
F (t ).e − in2π t / L dt
L − L∫/2
Chúng ta vừa chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi (1.1) mà sự hội tụ của
chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier.
1.1.2 Bây giờ chúng ta hãy xác định xem dưới những điều kiện nào của F chuỗi
Fourier sẽ hội tụ đến F. Ta xét một trường hợp đặc biệt sau
Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên hình vành khăn A chứa đường tròn đơn vị. Khi đó
f có thể biểu diễn bởi chuỗi Laurent:

Fourier cn =

∞

f ( z ) = ∑ an z n

(z ∈ A)

(1.5)

−∞

Chúng ta quan tâm đặc biệt đến giá trị của f trên đường tròn đơn vị mà trên đó chuỗi
hội tụ đều. Biểu diễn tham số của đường tròn này cho bởi z = eit , −π ≤ t ≤ π , kí hiệu
F (t ) := f (eit ) và viết lại chuỗi (1.5) như là chuỗi Laurent
F (t ) =

∞

∑ae

n = −∞

int

(1.6)

n

Nhận xét rằng hàm F(t) có chu kì 2π , và (1.6) là sự phân tích của F thành chuỗi hình
sin hội tụ đều. Vì thế (1.6) là chuỗi Fourier của F(t). Hệ số trong (1.5) được cho bời:
1
f (ξ )
an =
. ∫ n +1 d ξ
2π i z =1 ξ
Bằng cách tham số hóa ta có
π

=
an
phù hợp với (1.4).

1
1
=
f (eit )e − it ( n +1)ieit dt
∫
2π i −π
2π

π

∫π F (t )e

−

− int

dt


Chúng ta vừa chỉ ra rằng chuỗi Fourier của một hàm số F hội tụ đều đến F trong
những trường hợp mà giá trị của F(t) trùng với giá trị của một hàm chỉnh hình f(z) với z = eit .
Ta nêu và chứng minh sau đây một định lý khái quát hơn
Định lý 1.2 Cho f là hàm chỉnh hình và ω - tuần hoàn trên dải G = Tω (a, b) . Khi đó f
có thể được khai triển thành chuỗi Fourier duy nhất

f ( z) =

2π i

∞

∑ceω

n = −∞

nz

n

(1.7)

hội tụ chuẩn tắc về f trong G. (Sự hội tụ là đều trong mọi dải con Tω (a ', b ') của Tω (a, b) với
a < a ' < b ' < b ). Ngoài ra, với mọi điểm d ∈ G ta có
2π i
−
nς
1
ω
(
)
cn
f
e
d ς , n ∈  (1.8)
ς

=
∫

ω [ d ; d +ω ]

Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp ω = 1 . Theo định lý 0.4 có duy nhất một hàm
chỉnh hình F trên A := {w ∈  : e − a < w < e − b } sao cho f ( z ) = F (e 2π iz ) . Hàm F có khai triển
Laurent trong A là
F ( w) =

∞

∑cw

n = −∞

n

n

1
F (ς )ς − n −1d ς , n ∈ 
2π i ∫S
trong đó S là đường tròn tâm O nằm trong A. Điều này khẳng định sự tồn tại của khai triển
(1.7). Các khẳng định tính duy nhất và tính hội tụ chuẩn tắc nêu ở đây suy ra từ tính duy nhất
và tính hội tụ chuẩn tắc của chuỗi Laurent (định lý 0.5).
1
Giả sử đọan [d ; d + 1] được tham số hóa bởi ς (t ) =
d+
t , t ∈ [0; 2π ] và đường tròn S được

2π
tham số hóa bởi=
ς (t ) qeit , t ∈ [0; 2π ] với=
q : e 2π id ∈ A . Ta có

với

=
cn

2π

−n
1
=
cn =
f (ς (t )) ( qeit ) dt
∫
2π 0

∫

f (ς )e −2π inς d ς

[ d , d +1]

Do đó (1.8) đúng 
Ví dụ sau đây nêu kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng cách khai triển Laurent
Ví dụ 1: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
F (t ) = e 2cos t

Giải: Đầu tiên chúng ta phải tìm một hàm chỉnh hình f(z) mà trùng với giá trị của hàm
1
( z+ )
eit + e − it
z
nên =
F(t) khi z thuộc đường tròn đơn vị. Do cos t =
F (t ) e=
: f ( z ) khi z = eit
2
Vì thế chuỗi Fourier của F có thể nhận được từ chuỗi Laurent cho f. Ta có
1
1
( z+ )
 ∞ z m  ∞ z − l 
z z
z
e=
e=
.e  ∑  ∑

m !  l 0 l ! 
=
 m 0=
và ta có thể nhân các số hạng của các chuỗi này. Số hạng liên quan tới z n trong kết quả nhận
zm
z −l
được từ tổng của các tích của các số hạng
với
mà m − l =n . Do đó

l!
m!


e

 1
 z+ 
 z

=

∞

n

n = −∞

Như vậy chuỗi Fourier của F là:



1



F (t ) =

với

cn =





∞

∑ce

n = −∞

∞

1

∑ z  ∑ m! . ( m − n )! 
int

n

1

∑ m!( m − n )!.

m= n

Mệnh đề 1.3 Giả sử F (t ) = f (eit ) với f là hàm chỉnh hình. Khi đó ta có thể lấy đạo
hàm theo từng số hạng của chuỗi Fourier của F.
hạng:

Chứng minh: Ta biết rằng chuỗi Laurent (1.5) có thể được đạo hàm theo từng số

∞
df ( z )
(1.9)
= ∑ n.an .z n −1
dz
n = −∞
df df dz df it
.
.ie
Với z = eit , đạo hàm hàm hợp cho = =
dt dz dt dz
Thay vào (1.9) và đồng nhất f (eit ) với F (t ) ta có
∞
d
dF (t )
f=
(eit ) = ∑ nan ei ( n −1)t ieit ,
dt
dt
n = −∞
∞
dF (t )
tức là
= ∑ inan eint
dt
n = −∞
phù hợp với việc đạo hàm theo từng số hạng của (1.6) 

Như một minh họa khác nói lên sự phong phú của cách tiếp cận này sau đây chúng ta
trình bày công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị. Vì tính đúng đắn của
công thức được khẳng định (xem 0.10-0.13) chúng ta trình bày một cách hình thức mà không
lo lắng về lý luận chặt chẽ của mỗi chi tiết.
Cho một hàm số thực U (θ ) liên tục có chu kì 2π chúng ta tìm một hàm u(z) điều hòa
trong miền z < 1 và tiến đến giá trị U (θ ) khi z → eiθ ; Nói một cách khác, chúng ta muốn

giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng U (θ ) có một khai triển
Fourier
π
∞
∞ 

1
inθ
=
=
U (θ ) ∑
cn e
U (φ )e − inφ dφ .einθ ,

∑
∫
n = −∞
n = −∞  2π −π

(ở đây ta đã sử dụng công thức (1.4)). Nếu kết hợp các số hạng đối với n và –n, ta có
π
π
∞

1
1
U (θ ) =
U (φ )dφ + ∑
U (φ ) ( ein (θ −φ ) + e − in (θ −φ ) )dφ
∫
∫
2π −π
n =1 2π −π
π

π

∞
1
1
(
)
2
U
φ
d
φ
=
+
∑
∫
∫ U (φ ) cos n(θ − φ )dφ ,
2π −π
n =1 2π −π

Bây giờ ta sử dụng công cụ được các nhà toán học gọi là tổng Abel-Poisson để tính tổng
chuỗi. Đầu tiên chúng ta giới thiệu biến tạm r để được hàm g (r , θ ) :

π

π

1
2 ∞
(
)
g (r , θ ) :=
U
φ
d
φ
+
U (φ )r n cos n(θ − φ )dφ (1.10)
∑
∫
∫
2π −π
2π n =1 −π


∞

1 + 2∑ r n cos n(θ − φ )

Nhận xét rằng chuỗi

(1.11)

n =1

hội tụ đều theo φ khi 0 ≤ r < 1 . Vì thế nó có thể được nhân với U (φ ) và lấy tích phân theo
từng số hạng. Ta có thể viết phương trình (1.10) như sau
π
∞
1


(
)
1
2
+
φ
g (r ,θ ) =
U
r n cos n(θ − φ ) dφ , (1.12)

∑
∫
2π −π
n =1


Nhận xét rằng chuỗi (1.11) thật ra là phần thực của chuỗi
∞

∞

1 + 2∑ r n einθ e − inφ =
1 + 2∑ z n e − inφ ,

(1.13)

n 1=
n 1
=
it

là một chuỗi lũy thừa theo z = re . Vì chuỗi này hội tụ trong z < 1 và nó xác định một hàm
chỉnh hình trong đĩa đơn vị, dẫn đến phần thực của nó (chuỗi (1.9)) là một hàm điều hòa. Vì
U (φ ) là hàm thực nên ta có g (r , θ ) là phần thực của hàm chỉnh hình và vì thế g là một hàm
điều hòa theo z = reiθ khi r < 1. Thay một cách hình thức r = 1 trong (1.12) ta có chuỗi
Fourier của U (θ ) , do vậy chúng ta nhận được rằng chuỗi (1.12) như là nghiệm của bài toán
Dirichlet, nghĩa là,=
u ( z ) u=
(reiθ ) g (r , θ ) là một hàm điều hòa trong miền z < 1 và tiệm
cận đến U (θ ) khi z → 1 . Cuối cùng, bằng cách chứng minh đẳng thức
2

2

2
2
eiθ − reiφ
ζ + z  ζ − z

1− r2
n
1 + 2∑ r cos n=
(θ − φ ) Re =
(1.14)
=
=

2
2
1 − 2r cos(θ − φ ) + r 2
ζ −z
n =1
ζ − z 
eiθ − reiφ
∞

và dùng (1.12) ta đi đến công thức Poisson:
π
U (φ )
1− r2
u (reiθ ) =
dφ
∫
2π −π 1 − 2r cos(θ − φ ) + r 2
biểu diễn một hàm số điều hòa trong đĩa đơn vị theo “ các giá trị biên” của nó. 
1.1.3 Như vậy với các giả thiết về tính chỉnh hình đẳng thức sau đúng
F (t ) =

∞

∑ce

n = −∞

int

(1.15)

n

khi
π

1
(1.16)
cn =
F (t )e − int dt ∀n
2π −∫π
Tuy nhiên không điều nào trong (1.15) hoặc (1.16) chỉ ra rằng rằng sự cần thiết của
tính chỉnh hình của F. Thật vậy, các hệ số của (1.16) có thể được tính với mọi hàm khả tích F.
Vậy chúng ta cần tìm hiểu tại sao tính đúng đắn của (1.15) xoay quanh tính chỉnh hình? Có
định lý hội tụ tổng quát hơn nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình. Chúng ta chỉ trích dẫn một
vài kết quả này mà bỏ qua chứng minh.
2
Định lý sau đây chỉ đòi hỏi tính khả tích của F , nhưng nó trả giá bằng sự hội tụ yếu
hơn nhiều

Định lý 1.4: Nếu tích phân

π

∫π F (t )

2

dt tồn tại, thì chuỗi Fourier xác định bởi (1.15)

−

và (1.16) tồn tại và hội tụ đến F theo nghĩa
π

lim

N →∞

∫

−π

Sử dụng định lý trên ta có kết quả sau

F (t ) −

2

N

∑ce

n= − N

n

int

dt =
0


Mệnh đề 1.5 Nếu F
hệ số Fourier:

khả tích trong [ −π , π ] thì ta có đồng nhất thức Parseval cho

2

π

∫π

F (t ) dt = lim 2π
2

N →∞

−

N

∑

n= − N

2

cn , (1.17)

Chứng minh: Ta có
π

∫

F (t ) −

−π

π

2

N
N


int  
dt
F
(

t
)
c
e
F
(
t
)
cn e − int  dt
=
−
−
∑
∑
∑
n


∫
−N
−N
−N
n=
n=
n=


−π 
N

cn e

int

N

N

Vì liên hợp của F (t ). ∑ cn e − int là F (t ). ∑ cn .eint vế phải trở thành:
n= − N

n= − N

π

∫

F (t ) dt − 2 Re
2

π

N

∑ ∫
cn

F (t )e − int dt +

−N

n=
−π

−π

π

N
 N
− int 
int  
c
e
n
  ∑ cn e  dt
∫−π  n∑
=
−N
−N
  n=


N

(1.18)

Từ biểu thức hệ số Fourier (1.16), có thể viết số hạng thứ hai là −2(2π ) ∑ cn . Số hạng thứ
2

n= − N

ba có thể được khai triển, nhưng chúng ta phải đổi một trong những chỉ số để tránh nhầm lẫn;
khi đó số hạng này trở thành
N

π

N

∑c ∑ c ∫e
π

i ( n−m )t

n
m
−N
−N
n=
m=
−

dt = 2π

N

∑ c .c

n n
−N

n=

Như vậy chúng ta đã chỉ ra rằng
π

∫π

F (t ) −

∑

π

2

N

cn e

dt =∫ F (t ) dt − 2π
2

int

N

∑

cn

2

−N
−N
n=
n=
−π

−

Theo định lý 1.4 , vế trái tiến gần 0 khi N → ∞ . Do đó
π

∫π

F (t ) dt − lim 2π
2

N →∞

−

N

∑

n= − N

cn =
0

2

Định lý hội tụ Fourrier tiếp theo sau đây có giá trị trong các áp dụng của lĩnh vực kĩ
thuật, định lý xét hàm F là hàm tuần hoàn trơn từng khúc, vì trong thực tế chẳng hạn việc
đóng ngắt mạch điện có thể sinh ra các hàm không liên tục, như là hàm bậc thang tuần hoàn
minh họa trong hình 1.1

1

−2π

−π

π

0

2π

-1

Hình 1.1. Hàm bậc thang tuần hoàn
Sau đây ta chỉ hạn chế xét các hàm tuần hoàn F với hữu hạn sự gián đoạn trong một
chu kì. Đặc biệt chúng ta giả sử rằng F có chu kì 2π và chia khoảng [ −π , π ] thành hữu hạn
khoảng nhỏ bởi:
−π = τ 0 < τ 1 < τ 2 < ... < τ n −1 < τ n = π


Định lý 1.6 Giả sử F tuần hoàn và trơn từng khúc trong khoảng [ −π , π ] . Khi đó
chuỗi Fourier của F hội tụ đến F(t) tại tất các điểm t mà F liên tục và hội tụ đến

1
 F (τ j +) + F (τ j −)  tại tất cả các điểm gián đoạn τ j
2
của nó

Ví dụ 2: Tính chuỗi Fourier của hàm bậc thang trong hình 1.1, và khảo sát tính hội tụ
Giải: Hệ số Fourier được cho bởi

1
cn =
2π

π

0

1
1
− int
− int
∫−π F (t )e dt =2π −∫π ( −1)e dt + 2π

Vì thế chuỗi Fourier là

khi n = 0
0,

− int
n
∫0 (1) e dt = i ( −1) − 1


, khi n ≠ 0
πn


π

{

}

 ( −1)n − 1  int
(1.19)
 e (n ≠ 0)
∑
π n = −∞  n 
Theo định lý 1.6, nó hội tụ đến +1 khi 0 < t < π , đến -1 khi −π < t < 0, và đến 0 khi t = 0 và
t =π 
∞

i

Khi ta sử dụng giải tích Fourier được sử dụng để giải hệ tuyến tính các phương trình vi phân,
câu hỏi tự nhiên xuất hiện là liệu chuỗi Fourier có thể được đạo hàm theo từng số hạng hay
không. Kết quả sau chứa đựng số lớn các trường hợp mà các kỹ sư quan tâm.
Định lý 1.7 Giả sử F có khai triển Fourier F (t ) =

∞

∑ce

n = −∞

theo từng số hạng

∞

∑ inc e

n = −∞

n

int

n

int

(1.20) và chuỗi đạo hàm

(1.21) hội tụ đều trên [ −π , π ] . Khi đó
∞

∑ inc e

n = −∞

int

n

=

d ∞
cn eint
∑
dt n = −∞

Ví dụ 3: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
t
F (t ) = sin
2

5

và khảo sát tính hội tụ của chuỗi này
Giải: Nhận xét rằng F có chu kì 2π . Hệ số Fourier được cho bởi
π

5

1
t
sin e − int dt.
cn =
∫
2π −π
2
Tích phân này có thể được tính khi sử dụng đồng nhất thức sau

5
5
1
sin 5 θ = sin θ − sin 3θ + sin 5θ
8
16
16
Với một số tính toán ta tìm được chuỗi Fourier của F(t)
 240 


∞
 π 
(1.22)
eint
∑
2
4
6
n = −∞ 225 − 1036n + 560n − 64n
Và theo định lý 1.6, nó hội đến F(t). Đạo hàm theo từng số hạng ta có


 240 
in 

 π 
(1.23)
eint
∑

2
4
6
n = −∞ 225 − 1036n + 560n − 64n
∞
2.240
ta thấy chuỗi này hội tụ đều. Vì vậy (1.23)
Bằng cách so sánh với chuỗi (hội tụ) ∑
5
n =1 64π n
biểu diễn F’(t). Hơn nữa lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi (1.23) và so sánh kết quả với
∞
2.240
ta có
∑
4
n =1 64π n
∞

−n 2 (240 / π )
eint
∑
2
4
6
225
1036
n
560
n

64
n
−
+
−
n = −∞
Lấy đạo hàm từng số hạng thêm hai lần nữa dẫn đến chuỗi Fourier cho F(3)(t) và F(4)(t). Thật
15
ra có thể kiểm tra được hàm F(t) là khả vi liên tục cấp 4 (Đạo hàm cấp 5 nhảy từ −
đến
4
15
khi t tăng qua 0, ±2π , ±4π ,... ) 
+
4
F ''(t ) =

∞

Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi
phân tuyến tính .
Ví dụ 4 Tìm một hàm số f thoả mãn phương trình vi phân
d 2 f (t )
df (t )
F (t ),
+2
+ 2 f (t ) =
2
dt
dt

(1.24)

ở đây F là hàm tuần hoàn “răng cưa” được mô tả bởi
2t

−1 − π , khi − π ≤ t ≤ 0,
F (t ) := 
−1 + 2t , khi 0 ≤ t ≤ π

π

−2π

1

π

−π

2π

-1
Hình 1.2. Hàm răng cưa
Giải: Trước tiên ta chỉ ra cách tìm một nghiệm của một phương trình đơn giản hơn
d 2 (t )
dg (t )
eiωt , (1.25)
+2
+ 2 g (t ) =

2
dt
dt
ở đây “hàm bắt buộc” ở vế phải được thay thế bằng một hàm hình sin đơn giản. Phương trình
(1.25) có một nghiệm dạng g (t ) = Aeiωt . Để tìm A, chúng ta thay biểu thức này vào phương
trình (1.25) và có
−ω 2 Aeiωt + 2iω Aeiωt + 2 Aeiωt =
eiωt ,
Chia cho eiωt có


(−ω 2 + 2iω + 2) A =
1,
Giải phương trình này tìm A, ta tìm được
eiωt
(1.26)
g (t ) =
−ω 2 + 2iω + 2
là nghiệm phương trình (1.25)
Tiếp theo ta khai triển hàm F(t) đã cho thành chuỗi Fourier. Dùng công thức (1.16) ta
có
π
0
π
1
1 
2t  − int
1 
2t  − int
− int

cn
F
(
t
)
e
dt
1
e
dt
=
=
−
−
+


 −1 + e dt
∫
∫
∫
2π −π
2π −π 
2π 0 
π 
π 
khi n = 0
0,

= 2

n
 π 2 n 2 {(−1) − 1} khi n ≠ 0
∞
2 {(−1) n − 1} int
Vì thế
(1.27)
F (t ) = ∑
e ,
π 2n2
n ≠ 0, n = −∞
theo định lý 1.6. Bây giờ chúng ta lý luận như sau: chúng ta có (1.27) biểu diễn F(t) như là
một tổ hợp tuyến tính, mặc dù vô hạn, của các hàm hình sin, và có (1.26) biểu thị một nghiệm
đối với một hàm hình sin đơn giản. Do tính tuyến tính, chúng ta kết luận rằng nghiệm của
phương trình đã cho là tổ hợp tuyến tính của các nghiệm hình sin, nghĩa là
∞
2 {(−1) n − 1}
eint
(1.28)
f (t ) = ∑
π 2n2
−n 2 + 2in + 2
n ≠ 0, n = −∞
là nghiệm của (1.24). Thật vậy (1.28) thỏa mãn (1.24) theo từng số hạng. Bằng cách so sánh
 8 
chuỗi (1.28) với chuỗi hội tụ ∑  2 4  ta kết luận rằng chuỗi (1.28) hội tụ và nó có thể
π n 
được đạo hàm theo từng số hạng hai lần. Vì phương trình (1.24) không có đạo hàm cao hơn
hai nên phương trình được giải 
Công thức (1.14) về hệ số trong chuỗi Fourier đôi khi được xem như là phép biến đổi
Fourier hữu hạn (phép biến đổi Fourier vô hạn được xem xét trong mục 1.2). Sự tính toán

hiệu quả của phép biến đổi này là rất quan trọng trong ứng dụng kĩ thuật. Nhưng trong thực
hành người ta thường tính tích phân bằng giá trị số vì những lý do sau:
1. F(t) có thể được biết thông qua dữ liệu được đo - không có công thức
2. Ngay cả khi một công thức được cho đối với F(t), có thể không có biểu thức dạng đóng
cho tích phân không xác định.
π
F (t ) − int
Bây giờ khi n cố định, tổng Rieman xấp xỉ tích phân ∫
e dt có dạng
2π
−π
t −t
t −t
t −t
S n , N F (τ 1 )e − inτ1 1 0 + F (τ 2 )e − inτ 2 2 1 + ... + F (τ N )e − inτ N N N −1 ,
=
2π
2π
2π
ở đây −π = t0 < t1 < t2 < ... < t N = π và t j −1 ≤ τ j ≤ t j . Ta hãy chọn phân hoạch để có N
2π j
;và chúng ta hãy chọn điểm τ j là đầu mút bên trái của
N
khoảng tương ứng , τ j = t j −1 . Khi đó tổng có thể viết gọn lại

khoảng bằng nhau, cho t j =−π +

− in ( −π +

2π j

)

i 2π nj
N −1
N
−
2π j e
S n=
F (−π +
)
= ∑ Aj e N ,
∑
,N
N
N
=j 0=j 0
N −1

(1.29)


2π j einπ
. Khi N tăng, tổng S n,N hội tụ đến hệ số c n ; vì vậy sai số sẽ
)
N N
được kiểm soát khi chọn N lớn. Dĩ nhiên, các giá trị lớn hơn của N cũng dẫn đến nhiều nỗ lực
tính toán hơn. Để đánh giá chỉ một hệ số c n bằng (1.29) đòi hỏi thực hiện N phép nhân, và khi
ta tính phép biến đổi Fourier với N hệ số như thế ta tính tổng cộng N2 phép nhân. Trong ứng
dụng ta thường muốn lấy N đến nhiều ngàn, và thuật toán của dạng này là quá phức tạp về

mặt tính toán. Tuy nhiên bằng cách nhóm số hạng một cách khéo léo trong (1.29), công việc
có thể đơn giản đáng kể.
Giả sử, chẳng hạn với N=16, để tính toán, S 1,16 có dạng
ở đây Aj := F (−π +

=
S1,16

15

−

i2π j

Aj e 16
∑=

15

∑ Aj e

−

iπ j
8

.

=j 0=j 0

 − ijπ

Các giá trị số của e 8 : j = 0,1, 2,...,15 là hoàn toàn thừa (nhìn trong bảng 1.3).


Để tính toán S1,16 thật ra chỉ cần thực hiện 3 phép nhân phức

S1,16 = A0 − A8 − i ( A4 − A12 )
+ .924[ A1 − A7 − A9 + A15 − i ( A3 + A5 − A11 − A13 )]
+ .707[ A2 − A6 − A10 + A14 − i ( A2 + A6 − A10 − A14 )]
+ .383[ A3 − A5 − A11 + A13 − i ( A1 + A7 − A9 − A15 )]
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

−

ijπ

e 8
1.000
.924
.707
.383
-.383
-.707
-.924
-1.000
-.924
-.707
-.383
.383
.707
.924

-.383i
-.707i
-.924i
-1.000i
-.924i
-.707i
-.383i
+.383i
+.707i
+.924i
+1.000i

+.924i
+.707i
+.383i

Bảng 1.3 Các giá trị số của {e − ijπ /8 : j = 0,1, 2,...,15}
Nếu chúng ta thực hiện sự tiết kiệm giống nhau cho 16 giá trị của S n,16 , số phép nhân
có thể giảm từ 162=256 đến 16x3=48
Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là thuật toán mà thực hiện có hệ thống sự sắp xếp lại
các số hạng trong tính toán (1.29). Sự xuất hiện FFT vào những năm cuối thập niên 60 thế kỷ
20 là mốc lịch sử lớn trong giải tích hiện đại và quá trình xử lý tín hiệu. Đối với giá trị của N


có dạng 2m, tổng số phép nhân đòi hỏi cho N giá trị của S n,N là giảm xuống còn
Nm  N 
=   log 2 N
2
2
1.2. Phép biến đổi Fourier
Chúng ta tiếp tục tìm hiểu sự phân tích một hàm tùy ý thành các hàm dạng hình sin.
Ta đã thấy cách một hàm tuần hoàn có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier, bây giờ ta tìm
một sự biểu diễn tương tự cho hàm không tuần hoàn.
Phần 1.2.1 nêu một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L qua phép biến
đổi Fourier, nêu công thức biến đổi ngược(nghịch đảo) Fourier
Phần 1.2.2 nêu một số định lý khẳng định các điều kiện mà phép biến đổi Fourier tồn
tại (định lý 1.8) , nêu một số ví dụ về cách tìm phép biến đổi Fourier của các hàm trơn từng
khúc trên một khoảng bị chặn
Phần 1.2.3 trình bày ví dụ minh họa việc sử dụng các phép biến đổi Fourier trong
việc giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính
1.2.1 Giả sử F (t ), −∞ < t < ∞ là một hàm không tuần hoàn, khả vi liên tục. Nếu ta
 L L

chọn một khoảng dạng  − ,  ta có thể biểu diễn F(t) bởi một chuỗi Fourier khi t nằm
 2 2
trong khoảng này:
in2π t
∞
L
L
(1.30)
F (t ) ∑ cn e L , − < t < ,
=
2
2
n = −∞
với hệ số cho bởi
L /2
in2π t
−
1
L
(1.31)
(
)
cn =
F
t
e
dt (n = 0, ±1, ±2,...)
L − L∫/2
Thật ra chuỗi trong (1.31) xác định một hàm tuần hoàn FL (t ), −∞ < t < ∞, trùng với F(t) trên

 L L
khoảng  − ,  ; Xem hình 1.4 (Chú ý rằng FL (t ) có thể không liên tục mặc dù F(t) là
 2 2
trơn).
F(t)

-L

−

L
2

L
2

t

L

FL (t )

-L

−

L
2

•

•

•
L
2

L

Hình 1.4. Mô hình tuần hoàn của F(t).

t


Như vậy ta có một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L. Nếu bây giờ
cho L → ∞ , có vẽ hợp lý khi đoán rằng lúc đó ta có biểu diễn hình sin của F(t) với mọi t.
Chúng ta hãy tìm hiểu điều này.
in2π t
∞
( n + 1) − n  2π
(1.32)
Đặt
FL (t ) = ∑ g n e L . 
L
n = −∞
L /2
in2π t
−
cn L 1
L

với
(1.33)
(
)
=
gn =
F
t
e
dt
∫
2π 2π − L /2
Viết ωn =

n 2π
, ta có
L

FL (t )
=

∞

∑ G (ω )e ω (ω
i

n = −∞

L

nt

n

− ωn ),

n +1

(1.34)

ở đây hàm GL (ω ) được xác định bởi
GL (ω ) :=

1
2π

L /2

∫

F (t )e − iωt dt ,

ω ∈

(1.35)

− L /2

Khi L tiến ra vô cùng, GL (ω ) tiến tự nhiên đến hàm G (ω ) mà được biết như là biến đổi
Fourier của F:

∞
1
(1.36)
G (ω ) :=
F (t )e − iωt dt.
∫
2π −∞
Hơn nữa, vì ∆ωn := ωn +1 − ωn tiến đến 0 khi L → ∞ và vì dãy ωn nhận giá trị từ −∞ đến +∞ ,
nên đẳng thức (1.34) được xem như tổng Riemann đối với tích phân
∞

∫ G(ω )e

iωt

dω

−∞

Vì thế ta có đẳng thức

∞

F (t ) =

∫ G(ω )e

iωt

dω

(1.37)

−∞

đối với hàm không tuần hoàn F, khi G được xác định bởi (1.36). Biểu thức (1.37) được gọi là
công thức biến đổi ngược(nghịch đảo)Fourier.
Các đẳng thức (1.36) và (1.37) là các công thức đóng vai trò cốt yếu của lý thuyết
biến đổi Fourier. (1.37) được xem như một tổng mở rộng các hàm hình sin tổng quát, được
tổng trên một lực lượng continum các chu kì ω . Khi đó (1.36) được xem là các hệ số,
G (ω )d ω , trong tổng.
Ví dụ 5: Tìm biến đổi Fourier và công thức nghịch đảo Fourier của hàm số
1
F (t ) = 2
t +4
Giải: Nhận xét rằng
1
1
=
F (t ) =
2
t + 4 ( t − 2i )( t + 2i )
là hàm chỉnh hình trong  ngoại trừ tại các cực điểm t = ±2i . Chúng ta sẽ dùng định lý
thặng dư để tính phép biến đổi Fourier, thể hiện tích phân suy rộng qua giá trị chính
(Cauchy):
∞
1
e − iωt
G (ω ) =
p.v. ∫ 2

dt ,
2π
t +4
−∞
Nếu ω ≥ 0 , đóng kín nửa vòng tròn ở nửa mặt phẳng dưới ta có


 e − iωt

1
e − iωt e −2ω
−i lim
= (ω ≥ 0).
G (ω ) = ( −2π i ) Re s  2
; −2i  =
t →−2 i t − 2i
2π
4
t +4

Tương tự khi ω < 0 , đóng kín nửa vòng tròn ở nửa mặt phẳng trên ta có
 e − iωt
 e 2ω
1
=
G (ω )
; 2i 
(ω < 0)
( 2π i ) Re s  2 =
2π

t +4  4
G (ω ) =

Ngắn gọn, ta viết

e

−2 ω

.
4
Để kiểm tra công thức nghịch đảo Fourier ta tính
∞

∫ G(ω )e

iωt

dω =

∞

∫

e

−2 ω

.eiωt d ω.

4
Do tính đối xứng, phần ảo bị triệt tiêu, và tích phân này bằng
−∞

−∞

∞

it
1
1
e
e −2ω iωt
e( −2+ )ω
iωt
Re
2.Re
Re
.
e
d
e
d
ω
ω
=
=
=
2
∫−∞ 4

∫0 4
2
−2 + it ω =0 t + 4
∞

−2 ω

∞

∞

−2 ω

e
1
Vì vậy
.eiωt d ω. (1.38) 
= ∫
2
t + 4 −∞ 4
1.2.2 Cũng như trong trường hợp chuỗi Fourier có nhiều định lý khẳng định các điều
kiện mà với các điều kiện này các biểu diễn tích phân Fourier (1.36) và (1.37) đúng. Một định
lý rất có ích trong ứng dụng là định lý áp dụng với các hàm trơn từng khúc. Lưu ý rằng giá trị
chính của tích phân được yêu cầu trong định lý sau để bảo đảm phép biến đổi nghịch đảo hội
tụ tại các điểm gián đoạn.
∞

∫

Định lý 1.8 Giả sử F(t) trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn và

Khi đó phép biến đổi Fourier, G(ω), của F tồn tại và
 F (t )
∞

iωt
p.v. ∫ G (ω )e d ω =  F (t +) + F (t −)
−∞

2


F (t ) dt tồn tại.

−∞

 tuc
khi F lien


 lien
 tuc
khi F khong


Ví dụ 6 Tìm biến đổi Fourier của hàm
khi − π ≤ t ≤ π
1
F (t ) = 
khi t < −π hay t > π
0

(hình 1.5), và xác nhận công thức nghịch đảo Fourier.

1

−π
Hình 1.5 Hàm F(t)
Giải: Ta có

π

t


π

1
sin ωπ
.
=
G (ω ) =
(1)e−iωt dt
∫
2π −π
ωπ
Theo định lý 1.8 ta có

1,
khi t < π
∞


sin ωπ iωt
p=
e d ω 0,
.v. ∫
khi t > π
(1.39)
ωπ
−∞
1

khi t = ±π
2
Để xác nhận điều này, ta viết lại vế trái của (1.39) là
∞ iω (π + t )
1
e
− eiω ( −π +t )
(1.40)
p.v.
dω
∫
2π i −∞
ω
Xét ví dụ 0.19 chương 0 ta có
∞ ix
e
p.v. ∫
dx = iπ
x
−∞

Với phép đổi biến x = Cω , tích phân trên được tổng quát thành
∞ iCω
khi C > 0
iπ
e
p.v. ∫
dω = 
khi C < 0
ω
−iπ
−∞
Dĩ nhiên,
∞
1
p.v. ∫ dx = 0
x
−∞
Vì vậy chúng ta nhận được:
1
Nếu t < −π , thì (1.40) trở thành
 −iπ − ( −iπ )  =0;
2π i 
1
1
Nếu t = −π , thì (1.40) trở thành
0 − ( −iπ )  = ;
2π i
2
1
Nếu −π < t < π , thì (1.40) trở thành

iπ − ( −iπ )  =1;
2π i 
1
1
Nếu t = π , thì (1.40) trở thành
[iπ − 0] =;
2π i
2
1
Nếu π < t , thì (1.40) trở thành
0;
[iπ − iπ ] =
2π i

Ví dụ 7: Tìm biến đổi Fourier của hàm số
sin t khi t ≤ 6π ,
F (t ) = 
khi t < −6π hay t > 6π
0
(hình 1.6) và xác nhận công thức nghịch đảo


1

−6π

−4π

2π

−2π

4π

-1

6π

Hình 1.6 Gợn sóng kéo dài hữu hạn
Giải: Ta có
G (ω )
=

6π

1
i sin 6πω
=
( sin t ) e−iωt dt
∫
2π −6π
π (1 − ω 2 )

Do F(t) liên tục khắp nơi, theo công thức nghịch đảo
∞
i sin 6πω iωt
∫−∞ π (1 − ω 2 )e dω = F (t )

(1.41)

Xác nhận điều này ta viết lại vế trái :
∞ iω ( 6π + t )
∞ iω 6π t
iω 6π t
iω 6π t
i
e
− e (− + )
−1 e ( + ) − e ( − + )
.
.
d
p
v
=
ω
∫
∫ (ω − 1)(ω + 1) dω
2iπ −∞
2π −∞
(1 − ω 2 )
(bởi vì các điểm bất thường bỏ được là ω = ±1 )
Bây giờ tích phân
∞
ω π
−1
ei ( 6 + t )
p.v.
∫ (ω − 1)(ω + 1)dω
2π −∞

có thể được tính bằng cách dùng kĩ thuật đường cong lõm. Khi t ≥ −6π ta sử dụng chu tuyến
như trong hình 1.7(a) và có
∞
eiω (6π +t )
−1
−1
p.v.
dω
=
(π i ) {Re s ( −1) + Re s (1)}
∫
2π −∞ (ω − 1)(ω + 1)
2π
 sin ( 6π + t ) sin t
.
=
=

2 
2
2
Tương tự khi t ≤ −6π chúng ta dùng chu tuyến như trong hình 1.7(b) và có
∞
−1
−1
eiω ( 6π +t )
sin t
p.v.
d ω = ( −π i ) {Re s ( −1) + Re s (1)} =−
.

∫
2π −∞ (ω − 1)(ω + 1)
2π
2
=

−i  e (

2  −2

− i 6π + t )

+

e(

i 6π + t )