Một số phép biến đổi độc đáo để giải phương trình

1
Phương trình và hệ phương trình
A.Vấn đề lý thuyết
I/Các phép biến đổi
-Cộng trừ nhân chia lỹ thừa
-Liên hợp
ab
ab
ab
-
-=
+

33
33
22
3
ab
ab
aabb
-
-=
++

-Hằng đẳng thức
333222
()()3
abcabcabcabbccaabc++=++++ +

3333

()3()()()abcabcabbcca++=++++++

2
()()()
x
axbxabxab++=+++


II/Dạng chuẩn
-Phương trình bậc 2:
2
0axbxc++=
PP:
Tính
2
4bacD=-
và sẽ có
2
b
x
a
-±D
=

VD:
2222
2320(13)220xxyxyyxyxyy+ +=Û+-+-=
. Thấy
222
(13)4(22)(1)yyyy =+

Từ đây ta có 2 h 1
x
yxy==-
-Phương trình đẳng cấp
22
0axbxycy++=

PP:
Chia cho
2
y
sẽ quay về bậc 2 với /txy=
VD:
2
22
x
yxxy+=+. Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2

-Hệ phương trình kiểu đối xứng II
PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y)
VD.
22
22
23527
46514
xyxy
xyxy
ì
+=-+

ï
í
+=++
ï
î
. Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y)

-Hệ đối xứng loại I
PP:
Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP
VD:
333
()3030
35335
xyxySP
xySSP
+==
ìì
Û
íí
+=-=
îî


-Phương trình đối xứng
PP:
Chứng minh x=y bằng đánh giá hoặc phân tích đa thức ra nhân tử
VD:
3322
()(1)0aabbabaabbab+=+Û ++=Û=

3333
33
()
()
()
abtm
aabbabaabbL
abaabbL
=
é
ê
+=+Û>Þ+>+
ê
ê
<Þ+<+
ë

III/Phương pháp chung
-Sử dụng các biến đổi
-Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải.
-Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVTaVP³³ hoặc
xm
= là nghiệm duy nhất

IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán
1. Biến đổi trong giải toán
a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích)

2

VD1.
2
(612)210xxxx-+++£

Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau
2322
1
(612)210(6128)(22)0(2)(2)0
22
xxxxxxxxxx
x
æö
-+++£Û-+-++-£Û +£
ç÷
++
èø

VD2.
2
748773210xxx+++-=
Bấm máy đi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ đây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy
0,142857142857142857 sẽ được con 1/7. Xong rồi còn gì
( )
2
7
48777320(71)70
732
PTxxxxx
x
æö

Û+-++-=Û-++=
ç÷
++
èø

VD3.
22
1(2)22xxxxx+-=+-+
Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏ
cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm
nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử
2
27
xx


(
)
222
2
2
27(2)223(27)10
223
x
PTxxxxxxx
xx
æö
+
Û =+-+-Û =
ç÷

-++
èø

VD4.
32
236390xxxx +=
Có x=2 ngon rồi
( )
322
6
2366330(2)30
633
xxxxxx
x
æö
+ =Û =
ç÷
-+
èø

Bấm cái trong ngoặc kia giờ ra nghiệm nữa cũng x=2. Đến đâu có 3 hướng giải
·
22
6
30(3)(633)6
633
xxx
x
=Û +=
-+

mà
2x ³

· Quay lại
( )
322
6
1632480(1)20
163
xxxxxxx
xx
æö
+ + +=Û-++=
ç÷
++-
èø

· Liên hợp tiếp
2
6
410
633
x
x
+=
-+


*** Một số kĩ năng trong biến đổi liên hợp
VD5.

2
3
2112144xxx-+=-
Đặt
3
44tx=-(cho đỡ công vik thôi)
2
3
2
12
2112144(3)250
2
xxxxx
tt
æö
-+=-Û =
ç÷
++
èø

Hướng 1 biểu diển tiếp
2
1
253
2
xt-=+ thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm đi các bạn)
Hướng 2 sáng tạo hơn đi
2
12
3251

2
xx
tt
>Þ->>
++
rồi tương tự ……
VD6.
4323
341(1)
x
xx-=-+
Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì ….
64242
222
22
3333
(34)340
11
xxxxx
xxxxx
tttt
++++
-=-Û-+=
++++
. (Rất khó làm tiếp)
Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống

( )( )
(
)

222
432343222
2
21
341(1)341121
11
x
xx
xxxxxxxx
x
-+++
-=-+Û-=-++++=
++


3
(
)
( )
2
22
2
22
2
2
2
1152
212
34030
3

11
611
xx
xx
xxx
x
x
-+++
+++
æö
Þ-+=Û-+=
ç÷
èø
++
++

b/Dùng hệ số bất định để “mò” nghiệm
VD1.
432
36530xxxx-+-+=
Có
43222432
3653()()()()()
x
xxxxaxbxcxdxacxacbdxadbcxbd-+-+=++++=++++++++

Đồng nhất hệ số có
3
6
5

3
ac
acbd
addc
bd
+=-
æ
ç
++=
ç
ç
+=-
ç
=
è
Ta được
1
1
2
3
a
b
c
d
=-
æ
ç
=
ç
ç

=-
ç
=
è

Sẽ phân tích thành (
2
1
xx
-+)(
2
23
xx
-+)=0
VD2.
22
1(2)22xxxxx+-=+-+
Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử
2
27
xx



.
Ta chọn m,n sao cho:
è m=0 và n=3.

c/Các phép biến đổi thông thường
VD1.

222
324254xxxxxx+++++=++
Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng 1x ³- và 4x £-
VD2.
22
41221
x
xxxx-+=-++
(
)
(
)
(21)(21)(21)21212111210 xxxxxxxxxx-++=-++Û+ + =Þ

VD3. a/
33
3 23 2
20022003x62002x7x32001xx3 = + +-

b/
Xem HĐT

333222
()()3
abcabcabcabbccaabc++=++++ + và
3333
()3()()()abcabcabbcca++=++++++

d/Đưa về luỹ thừa cùng bậc
Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT đơn giản

222
()2ababab+=++
và
33322
()33abababab+=+++

VD1.
a/
323
1810820090(6)1793xxxx+++=Û+=
b/
(
)
3
323
3
51248640(4)4
x
xxxx+++=Û+=-

VD2.
42
283
x
xx=++

22
42422
283(2)83
44

mm
xxxxmxmxx=++Û++=++++. Để có dạng chính phương cần
2
16(2)30
4
m
m
æö
-++=
ç÷
èø
.Máy tính có m=2. Vậy thì
222
(1)(22)xx+=+


4
Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt
(
)
2
22
4151004835(23)3358xxxxx =+Û+=++