xnghiên cứu điều kiện sinh thái của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
−−oOo−−

ĐỖ THỊ HOÀNG LINH

NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN SINH THÁI
CỦA CÔNG CỤ TÍCH VÔ HƯỚNG
TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG 10
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán
Mã số: 601410

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


trang 2

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH. Thầy là người đã bỏ rất nhiều thời gian và
công sức hướng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lưỡng trong suốt quá trình thực hiện
luận văn. Thầy còn là người đã giúp tôi dịch các file Powerpoint đề cương luận văn
này sang tiếng Pháp để thuận tiện trong khi bảo vệ dù Thầy rất bận với công tác tại
Phòng Giáo Dục Chuyên Nghiệp tỉnh Bình Thuận và nghiên cứu khoa học.
Sự hiện diện các Thầy Cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là niềm

vinh hạnh cho tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các Thầy
Cô giáo trong hội đồng đối với luận văn của tôi.
Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cô giáo trong ngành Lý
luận và phương pháp dạy học Toán cũng như các Thầy Cô giáo ở các bộ môn khác
đã tận tâm giảng dạy chúng tôi trong suốt ba năm qua.
Tôi xin cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại Học và các phòng ban
của trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chương trình và
thủ tục bảo vệ luận văn.
Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phương pháp dạy học toán
khóa 19 đã giúp đỡ tôi, cùng tôi chia sẻ những niềm vui cũng như những khó khăn
trong suốt ba năm học vừa qua.
Cuối cùng, tôi muốn nói lời cảm ơn đến gia đình tôi, những người luôn ủng hộ,
động viên và luôn tạo những điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn
này một cách tốt nhất.
Người thực hiện đề tài
Đỗ Thị Hoàng Linh


trang 3

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SBT : Sách bài tập
SBT CB : Sách bài tập hình học 10 chương trình cơ bản
SBT NC : Sách bài tập hình học 10 chương trình nâng cao
SGK : Sách giáo khoa
SGK CB : Sách giáo khoa hình học 10 chương trình cơ bản
SGK NC : Sách giáo khoa hình học 10 chương trình nâng cao
SGV : Sách giáo viên
SGV CB : Sách giáo viên hình học 10 chương trình cơ bản

SGV NC : Sách giáo viên hình học 10 chương trình nâng cao
NXB : Nhà xuất bản
THCS : Trung học cơ sở


trang 4

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................. 2
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................. 3
MỤC LỤC ........................................................................................ 4
MỞ ĐẦU ........................................................................................... 6
1.Lý do lựa chọn đề tài và câu hỏi xuất phát .................................................... 6
2.Phạm vi lý thuyết tham chiếu ......................................................................... 9
3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của luận văn .............................................. 9
4.Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn ............................................. 10

CHƯƠNG I: VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ
HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC LỚP 10 ...................................... 13
I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10 ...... 13
I.1.1 Chứng minh công thức hình chiếu................................................................14
I.1.2 Chứng minh định lý côsin .............................................................................15
I.1.3 Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng ....................................17
I.1.4 Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ....................17
I.1.5 Góc giữa hai đường thẳng...........................................................................18
I.1.6 Kết luận ........................................................................................................20

I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động
trong giải toán hình học phẳng ........................................................................ 20
I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong giải

toán hình học phẳng 10 ................................................................................... 21
I.4 Kết luận chương I ...................................................................................... 27

CHƯƠNG II: ĐIỀU KIỆN VÀ RÀNG BUỘC CỦA “CÔNG CỤ
TÍCH VÔ HƯỚNG” TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 10 .... 29


trang 5

II.1 Nhóm 1: Chứng minh đẳng thức .............................................................. 32
II.2 Nhóm 2: Tìm quĩ tích ............................................................................... 42
II.3 Nhóm 3: Tính toán.................................................................................... 48
II.4 Nhóm 4: Chứng minh các tính chất hình học.......................................... 60
II.5 Nhóm 5: Tìm tọa độ điểm. ....................................................................... 66
II.6 Nhóm 6: Viết phương trình đường ........................................................... 74
II.7 Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện
cho trước.......................................................................................................... 77
II.8 Kết luận chương II và nêu giả thuyết ....................................................... 82

CHƯƠNG III: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ..................... 85
III.1 Mô tả thực nghiệm .................................................................................. 86
III.1.1 Đối tượng thực nghiệm ............................................................................86
III.1.2 Tiến hành thực nghiệm............................................................................86

III.2 Phân tích a-priori bài toán 1 và bài toán 2 .............................................. 88
III.2.1 Phân tích a-priori bài toán 1 .....................................................................88
III.2.2 Phân tích a-priori bài toán 2 ...................................................................101

III.3 Phân tích a – posteriori bài toán 1 và bài toán 2 ................................... 110
III.3.1 Phân tích a – posteriori bài toán 1 ........................................................110

III.3.2 Phân tích a – posteriori bài toán 2 ........................................................114

III.4 Kết luận chương III ............................................................................... 117

KẾT LUẬN .................................................................................. 119
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................... 121
PHỤ LỤC ..................................................................................... 124


trang 6

MỞ ĐẦU
1.Lý do lựa chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Phép toán lấy tích vô hướng của hai vectơ là một phép toán đặc biệt trên tập hợp
các vectơ (của mặt phẳng hoặc trong không gian). Bởi, khi lấy một vectơ nhân với
một vectơ – là những đại lượng có hướng – ta lại được kết quả là một số thực.
Ở cấp độ tri thức bác học, có rất nhiều cách định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:
  
 
a.b = a . b .cos a, b

a=
.b a1b1 + a2b2

( )

(1)




(2) =
(Với a (=
a1; b1 ) , b ( a2 ; b2 ) trong hệ trục Oxy)

(
(
(

)

  1  2  2
a.b=
a+b − a−b
4
  1  2 2 2
a.b=
a+b − a − b
2
  1 2 2  2
a=
.b
a + b − a−b
2

)
)

Hiện nay, trong chương trình hình học 10, SGK lựa chọn công thức (1) và (2) để
định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ.

Với quan điểm,“dạy toán là dạy hoạt động toán. Đối với học sinh, […] việc giải toán là hình
thức chủ yếu của hoạt động toán học” [3, trang 237]. Chính vì vậy, lời giải của một số

bài toán trong hình học 10 được chúng tôi quan tâm đến. Đặc biệt, lời giải của hai
bài toán: bài tập 23 – trang 41 SBT NC và bài tập 5 – trang 70 SGK NC .
Bài tập 23 − Trang 41 SBT NC
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =

AC
. Gọi N là trung
4

điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân. (Ở đây, chúng tôi quan

A
b
B
tâm đến chứng minh BMN là tam giác vuông)

Lời giải – Trang 61 SBT NC
   
Đặt AD = a , AB = b .


 1  1       b
Khi đó AM
=
AC
=
a + b , AN =

AD + DN =+
a
4
4
2

(

)

M

a

D

N

C


trang 7


    b 1  
1  
MN = AN − AM = a + − a + b = 3a + b
2 4
4
  1    

 2 2  
1
MB.MN=
− a + 3b 3a + b =
−3a + 3b + 8a.b = 0
16
16

(

(

)(

)

(

)

(

)

)

Vậy MB ⊥ MN […], tam giác BMN vuông […] tại đỉnh M.

Trong bài tập 5 − Trang 70 SGK NC
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là trung điểm của CD, M là trung điểm trên AC sao cho

AM =

AC
.
4

a. Tính các cạnh của tam giác BMN.
b. Có nhận xét gì về tam giác BMN?...

Lời giải – Trang 79 SGV NC
Lập hệ trục tọa độ vuông góc với gốc trùng với điểm A sao cho B = (a; 0), D = (0; a).
y
a a
a 
=
; , N  ;a 
a. Ta
có: M =
N
C
4 4
2 
D
2

BM =

2
a 10
a

 a
−
a
+
=
,


4
4
 16

2

BN =

M
A≡O

a 5
a

2
,
 − a + a =
2
2

2

MN=

B

x

2

a
a 10
a a 
 −  + a −  =
4
4
2 4 

b. Từ kết quả của câu a suy ra tam giác BMN vuông […] tại M. […]

Nhận xét
Với nội dung: “Chứng minh tam giác BMN vuông […] tại M”, bài toán trên được
trình bày hai hướng khác nhau.
 



 



Ở bài tập 23, SBT phân tích MB, MN theo các vectơ =

AD a=
, AB b , vận dụng
tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng (phép trừ) từ đó chứng
 

minh MB.MN = 0 ⇒ MB ⊥ MN.


trang 8

Bài tập 5, SGV chứng minh tam giác BMN vuông […] tại M bằng cách áp dụng
định lý Pythagore: BM 2 + MN 2 = BN 2 với độ dài của BM = MN =

a 10
a 5
, BN =
4
2

(được tính trong câu a). Nhưng để tính được độ dài các cạnh BN, BM, MN, SGV đã
trang bị hệ trục tọa độ vuông góc với gốc trùng với điểm A và từ đó suy ra tọa độ
a a
a 
của các điểm B = (a; 0), D = =
(0; a), M =
; , N  ;a  .
4 4
2








Từ lời giải của bài toán nêu trên, chúng tôi tự hỏi:
Khi cho bài toán hình học phẳng mà đề bài được phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp,
học sinh có sử dụng hay không công cụ tích vô hướng của hai vectơ để giải toán?
Nếu SGK không yêu cầu: “Tính độ dài của các cạnh trong tam giác BMN” (bài
tập 5) thì liệu học sinh có trang bị hệ trục tọa độ và vận dụng công thức (2) để
chứng minh tam giác BMN vuông tại M?
Những ghi nhận trên gợi lên ở chúng tôi nhu cầu tìm hiểu:
“Công cụ tích vô hướng của hai vectơ” (gọi tắt “công cụ tích vô hướng”) được
đưa vào trong chương trình hình học 10 với mục đích gì? Những điều kiện và ràng
buộc nào của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng lớp 10 (gọi tắt
là hình học phẳng 10)? Nó được sử dụng ra sao? Trong thực tế, những điều kiện đó
vận hành như thế nào?
Với mong muốn tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi nêu trên, chúng
tôi đã lựa chọn và tiến hành nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu điều kiện sinh thái
của công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10”.
Trong luận văn này, chúng tôi mong muốn tìm hiểu những “điều kiện” cho sự sống
“tốt đẹp” của công cụ tích vô hướng trong việc giải các bài toán hình học phẳng 10,
đặc biệt là những bài toán với đề bài được phát biểu bằng ngôn ngữ tổng hợp.
Hình học 10 chương trình cơ bản và nâng cao có phần khác nhau ở một số nội
dung được trình bày trong sách giáo khoa, về sự ưu tiên của từng chương trình thể


trang 9

hiện qua số lượng bài tập, về dạng cũng như mức độ (khó, dễ) của bài tập. Chính vì
vậy, chúng tôi sẽ nghiên cứu đề tài này ở cả 2 chương trình: cơ bản và nâng cao.

2.Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán với việc vận
dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:
- Lý thuyết nhân chủng học sư phạm: Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với một
đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
- Cách tiếp cận sinh thái học:
Theo Chevallard (1989): “Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng
rỗng: mỗi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất
định,…”. Do vậy, để có thể sống trong một thể chế, mỗi tri thức đều phải tuân theo
một số ràng buộc nào đó. Điều này kéo theo việc tri thức phải bị biến đổi, nếu
không thì nó không thể đứng vững trong thể chế. Với cách tiếp cận sinh thái học, sẽ
giúp chúng tôi làm rõ những điều kiện ràng buộc cho phép sự xuất hiện, tồn tại và
tiến triển của đối tượng O − “công cụ tích vô hướng”, những điều kiện cho phép
công cụ tích vô hướng giải toán trong thể chế dạy học toán − hình học phẳng 10.
- Lý thuyết tình huống, hợp đồng didactic.

3.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của luận văn
Câu hỏi 1 (Q 1 ): Trong sách giáo khoa hình học 10, công cụ tích vô hướng có vai
trò gì? Những tính chất và ứng dụng nào của tích vô hướng có thể được huy động
để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng?
Câu hỏi 2 (Q 2 ): Công cụ tích vô hướng có thể giải quyết những kiểu nhiệm vụ
nào trong hình học phẳng 10? Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đến việc
sử dụng công cụ tích vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10?
Câu hỏi 3 (Q 3 ): Những quy tắc hợp đồng nào chi phối đến học tập của học sinh
trong việc sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán hình học phẳng 10?

trang 10

4.Phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn
0.4.1 Phương pháp nghiên cứu
Luận văn của chúng tôi nhằm tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi nêu
trên.
Đối với câu hỏi Q 1 , do điều kiện có hạn về thời lượng và giới hạn về nội dung
của luận văn, chúng tôi không nghiên cứu sâu tích vô hướng của hai vectơ với vai
trò là công cụ xây dựng các kiến thức khác trong SGK hình học 10. Ở đây, chúng
tôi đặc biệt quan tâm tìm hiểu những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được
sử dụng để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng. Câu hỏi Q 1 được chúng tôi
trả lời trong chương I của luận văn: “Vai trò và ứng dụng của tích vô hướng trong
hình học 10”. Từ đây, chúng ta bước đầu làm rõ điều kiện sinh thái của công cụ tích
vô hướng trong giải toán hình học phẳng 10.
Với những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được trình bày trong
chương I, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật,… và qua đó
chỉ ra, những ràng buộc của chương trình đối với công cụ tích vô hướng chi phối
đến việc học của học sinh trong việc sử dụng công cụ tích vô hướng để giải toán
hình học phẳng 10. Từ những kết quả phân tích được, chúng tôi đưa ra giả thuyết
nghiên cứu trên đối tượng học sinh liên quan đến khả năng sử dụng công cụ tích vô
hướng để giải toán hình học phẳng 10. Toàn bộ phân tích này được chúng tôi trình
bày trong chương II: “Điều kiện và ràng buộc của công cụ tích vô hướng trong giải
toán hình học 10” và những kết quả trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q 2 của
luận văn.
Để trả lời câu hỏi Q 3 của luận văn đồng thời chứng minh giả thuyết được phát
biểu trong chương II, chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm trên học sinh. Qua
thực nghiệm này, nó cho chúng tôi biết học sinh có huy động công cụ tích vô hướng
để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng?. Bài toán thực nghiệm được chúng
tôi lựa chọn là bài toán mà các em đã được gặp trong chương trình hình học 10. Nó
có nhiều cách giải khác nhau. Trong những cách giải đó, lời giải của bài toán thực

nghiệm đôi khi sẽ trở nên gọn gàng hơn nếu sử dụng công cụ tích vô hướng. Nhằm


trang 11

tạo điều kiện cho học sinh có thể giải toán bằng công cụ tích vô hướng, đồng thời
cũng đảm bảo những điều kiện và ràng buộc của chương trình đối với công cụ tích
vô hướng, trong từng bài toán thực nghiệm, chúng tôi luôn có những gợi ý nhất
định, chẳng hạn: trên hình vẽ của bài toán thực nghiệm có trang bị hệ trục tọa độ và
vectơ hoặc cho trước một số lời giải và yêu cầu học sinh lựa chọn lời giải mà mình
yêu thích,…
0.4.2 Tổ chức luận văn
 Mở đầu
 Nội dung
 Chương I: Vai trò và ứng dụng của tích vô hướng trong hình học 10
Mở đầu
I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10
I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động
trong giải toán hình học phẳng
I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong giải
toán hình học phẳng 10
I.4 Kết luận chương I
 Chương II: Điều kiện và ràng buộc của công cụ tích vô hướng trong giải toán
hình học 10
Mở đầu
II.1 Nhóm 1: Chứng minh đẳng thức
II.2 Nhóm 2: Tìm quĩ tích
II.3 Nhóm 3: Tính toán
II.4 Nhóm 4: Chứng minh các tính chất hình học
II.5 Nhóm 5: Tìm tọa độ điểm

II.6 Nhóm 6: Viết phương trình đường
II.7 Nhóm 7: Tìm giá trị (hoặc điều kiện) của các tham số thỏa mãn điều kiện
cho trước


trang 12

II.8 Kết luận chương II và nêu giả thuyết
 Chương III: Nghiên cứu thực nghiệm
 Kết luận
• Tài liệu tham khảo
• Phụ lục


trang 13

CHƯƠNG I: VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ
HƯỚNG TRONG HÌNH HỌC LỚP 10
Mở đầu
Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ sự vận hành của công cụ tích
vô hướng theo hai hướng tiếp cận: vai trò của tích vô hướng trong việc chứng minh
một số tính chất và định lý của chương trình hình học lớp 10, ứng dụng của tích vô
hướng trong việc giải toán hình học 10. Cụ thể, chúng tôi mong muốn tìm ra những
yếu tố để trả lời câu hỏi sau:
Q 1 : Trong sách giáo khoa hình học 10, công cụ tích vô hướng có vai trò gì?
Những tính chất và ứng dụng nào của tích vô hướng có thể được huy động để giải
các bài toán hình học trong mặt phẳng ?
Trong luận văn này, chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phương diện “đối
tượng” của tích vô hướng mà chỉ quan tâm đến việc nghiên cứu tích vô hướng của
hai vectơ với vai trò là “công cụ”. Do đó, ở phần thứ nhất của chương này, chúng

tôi tiến hành làm rõ vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học
10 hiện hành. Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra những tính chất và ứng dụng
của công cụ tích vô hướng có thể được huy động để giải toán hình học phẳng. Với
những tính chất và ứng dụng đó, trong phần thứ ba, chúng tôi trình bày những tính
chất và ứng dụng được sử dụng giải toán hình học phẳng 10. Đồng thời, để minh
họa rõ hơn cho phần ba, ứng với mỗi tính chất và ứng dụng, chúng tôi sẽ trình bày
các ví dụ cụ thể qua lời giải của những bài toán được tác giả giới thiệu trong SGK,
SGV và SBT hình học 10 hiện hành.

I.1 Vai trò của công cụ tích vô hướng trong sách giáo khoa hình học 10
Theo SGV, có nhiều cách định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ:
  
 
a.b = a . b .cos a, b

(1)


a=
.b a1b1 + a2b2

(2) =
(Với a (=
a1; b1 ) , b ( a2 ; b2 ) trong hệ trục Oxy)

( )





trang 14

(
(
(

)

  1  2  2
(3)
a.b=
a+b − a−b
4
  1  2 2 2
a.b=
a + b − a − b (4)
2
  1 2 2  2
a=
.b
a + b − a − b (5)
2

)
)

“Các định nghĩa nêu bằng các mục (3), (4), (5) có ưu điểm là trong đó chỉ dùng độ dài của
vectơ mà không dùng đến góc, nhưng lại phải dùng đến các khái niệm tổng vectơ, hiệu vectơ và

bình phương vô hướng của các vectơ” [20, trang 57].

Trong sách giáo khoa hình học 10 hiện hành, tích vô hướng của hai vectơ được
định nghĩa bởi hai công thức (1) và (2) là một sự lựa chọn của chương trình. Sau
đây, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của công cụ tích vô hướng trong chương
trình hình học 10.
I.1.1 Chứng minh công thức hình chiếu
Công thức hình chiếu được chứng minh qua việc giải bài toán 3 trang 48 SGK NC :
 
OA, OB .
   
OA.OB = OA.OB′ ”

“Cho hai vectơ
rằng:

Gọi B′ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Chứng minh

Lời giải của SGK NC
B

O

B′

B

O

B′

A

(a)

A

(b)

 
 
 < 90o (hình a) thì OA
 OA
Nếu AOB
=
.OB OA.OB.cos
=
AOB
=
.OB ′ OA.OB ′=
.cos 0o OA.OB ′
 

 ≥ 90o (hình b) thì OA.OB =
=
′OB =
Nếu AOB
OA.OB.cos AOB
−OA.OB.cos B
−OA.OB ′

 
= OA
=
.OB ′.cos180o OA.OB ′

Từ đó, SGK NC đưa ra kết luận cho bài toán 3 như sau: Vectơ


 

 


OB′ gọi là hình chiếu

của vectơ OB trên đường thẳng OA. Công thức OA.OB = OA.OB′ gọi là công thức hình chiếu.

Nhận xét


trang 15

Công thức hình chiếu không được đề cập trong SGK CB nhưng được trình bày rất
chi tiết ở SGV CB . SGV CB và SGK NC đều sử dụng công thức (1) để chứng minh công
thức hình chiếu. Nó được đưa vào trong chương trình để chứng minh tính chất phân
  

(

)





phối của tích vô hướng: a. b + c = a.b + a.c . Tuy nhiên, nội dung của chứng minh
này khá phức tạp và theo tinh thần của chương trình: “Cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết.
[…] Những chứng minh quá phức tạp thì bỏ qua […]. Những vấn đề lý thuyết quá đi sâu, không cần
thiết thì cương quyết gạt bỏ” [20, trang 6] cho nên nó không được trình bày chính thức

trong SGK. Chúng ta có thể tìm thấy nó trong SGV NC trang 59 và SGV CB trang 55 ¾
56. Ở SGK NC , công thức hình chiếu được sử dụng trong các bài toán như là một phép
biến đổi từ tích vô hướng của hai vectơ này thành tích vô hướng của hai vectơ khác.
Chúng ta sẽ thấy rõ điều này trong các ví dụ minh họa ở các phần tiếp theo của
chương I và cả chương II của luận văn.
I.1.2 Chứng minh định lý côsin
Để tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh tham gia tích cực trong việc học bằng
cách tạo cơ hội cho học sinh tự mình xây dựng kiến thức, SGK CB và SGK NC đã có
những cách tiếp cận khác nhau đối với định lý côsin trong tam giác thường. SGK CB
và SGK NC trình bày theo hai hướng khác nhau.
Trong SGK NC , với mong muốn thay đổi cách dạy bằng cách đặt vấn đề dẫn dắt,
không muốn áp đặt định lý đó cho học sinh rồi bắt học sinh chứng minh mà muốn
học sinh có thể “tự tìm” ra công thức đó với sự giúp đỡ của thầy giáo, làm cho bài
toán xuất hiện một cách tự nhiên và cần thiết. Chính vì vậy, SGK NC xuất phát từ
định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A.
Ở SGK NC trang 53
Nếu ABC là tam giác vuông tại A thì theo định lý Pythagore ta có:
 2  2  2
2

BC
=
AC 2 + AB 2 hay BC
= AC + AB (*)

Có thể chứng minh ngắn gọn đẳng thức (*) như sau:
 2
 
BC = AC − AB

(

)

2

 2  2
   2  2
= AC + AB − 2 AC. AB = AC + AB


trang 16

Từ đây, SGK NC đưa ra câu hỏi 1: “Trong chứng minh trên, giả thuyết góc A vuông được
sử dụng như thế nào?”. Đây là câu hỏi với mong muốn giải thích vì sao

 2  2
   2  2
AC + AB − 2 AC. AB = AC + AB , đồng thời cũng là câu hỏi gợi ý cho bước chuyển

từ tam giác ABC vuông tại A sang tam giác ABC tùy ý và giải quyết hoạt động 1:
“Hãy làm tương tự như chứng minh trên, rồi đặt BC = a, CA = b, AB = c, để đi đến công thức
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA”

Trả lời hoạt động 1, SGV NC trình bày:
 2

 

 2

 2

 

 

Ta có: BC = ( AC − AB ) = AC + AB − 2. AB. AC = AC 2 + AB 2 − 2 AB. AC.cos ( AB, AC )
2

Hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A.

Ở SGK CB , định lý côsin được xây dựng thông qua việc giải quyết bài toán:
“Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A. Hãy tính cạnh BC”

Lời giải trong SGK:
 2

 

 2

 2

 

Ta có: BC 2 = BC =( AC − AB ) = AC + AB − 2 AC . AB .cos A
2

Vậy ta có BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA
nên BC=

AC 2 + AB 2 − 2 AC. AB.cos A

Từ kết quả của bài toán trên SGK suy ra định lý sau đây:
Định lý côsin
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac.cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos C

Nhận xét
Tuy với việc tiếp cận định lý theo hai hướng khác nhau nhưng SGK CB và SGK NC
đều áp dụng công thức (1) để chứng minh định lý côsin trong tam giác thường, cụ
 

 

thể đều biến đổi AB . AC = AB . AC .cosA = AB.AC.cosA. Định lý côsin trong tam
giác thường là một trong những cơ sở để mở rộng bài toán giải tam giác đã được

học trong chương trình hình học lớp 9.


trang 17

I.1.3 Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong SGK CB và SGK NC đều được xây
dựng dựa vào vectơ pháp tuyến và tính chất trực giao của hai vectơ thông qua tích
vô hướng của hai vectơ. Vì thế, chúng tôi sẽ không trình bày cách xây dựng phương
trình tổng quát của đường thẳng ở cả hai chương trình cơ bản và nâng cao. SGK NC
xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng thông qua việc giải quyết bài
toán:




“Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm I(x o ; y o ) và vectơ n ( a; b ) ≠ 0 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I,


có vectơ pháp tuyến là n . Tìm điều kiện của x và y để điểm M (x; y) nằm trên ∆”.

SGK NC trình bày lời giải như sau:




 

Điểm M nằm trên ∆ khi và chỉ khi IM ⊥ n , hay IM .n = 0 (*)

y

n





Ta có: IM = (x – x o ; y – y o ) và n = (a; b) nên (*)

∆

tương đương với a ( x − xo ) + b( y − yo ) =
0 (1)
Đây là điều kiện cần và đủ để M (x; y) nằm trên ∆.

M(x; y)

Biến đổi (1) và dạng ax + by – ax o – by o = 0 và đặt
– ax o – by o = c, ta được phương trình ax + by + c = 0

I

(a2 + b2 ≠ 0) và gọi là phương trình tổng quát của

O

x

đường thẳng ∆.

Nhận xét
SGK CB xây dựng phương trình tham số trước khi xây dựng phương trình tổng
quát của đường thẳng. Do vậy, từ phương trình tham số của đường thẳng, chúng ta
cũng có được phương trình tổng quát của đường thẳng bằng cách khử tham số t.
Tuy nhiên, SGK CB đã trình bày cách thành lập phương trình tổng quát của đường
thẳng theo một cách khác dựa trên biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vectơ
(công thức (2)) và tính trực giao của hai vectơ trong hệ trục tọa độ.
I.1.4 Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong số những mục tiêu mà chương trình đề ra, chúng tôi chú ý đến mục tiêu:
“Học sinh biết chuyển từ phương trình đường thẳng dưới dạng tham số sang […] dạng tổng
quát và ngược lại.” [5, trang 94],


trang 18

“Giáo viên có thể gợi ý để học sinh thấy rằng có thể lập phương trình tổng quát của đường
thẳng thông qua phương trình tham số của đường thẳng đó.” [20, trang 87],
“[…], giáo viên có thể hướng dẫn cho các em viết phương trình tham số khi biết phương trình
tổng quát của đường thẳng.” [20, trang 92].

Với mục tiêu như trên, việc tìm mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và
vectơ pháp tuyến của đường thẳng là một tất yếu. Vì vậy, trả lời câu hỏi: “Vì sao


vectơ u = (b; − a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình
ax + by + c = 0?” là cần thiết. Để trả lời câu hỏi trên, SGV NC đã chứng minh như sau:










Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (a; b). Vì u = (b; − a) nên u ≠ 0 và u.n = ab – ba = 0, suy






ra n ⊥ u . Vậy u là vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Nhận xét
Để tìm mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của
đường thẳng, SGK đã sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong trường hợp








đặc biệt: n ⊥ u ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0, với n = (a 1 ; a 2 ) và u = (b 1 ; b 2 ). Chính vì tìm
được mối liên hệ giữa tọa độ của vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường
thẳng mà chúng ta có thể viết được phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết

vectơ chỉ phương, đồng thời cũng có thể tìm được vectơ chỉ phương của đường
thẳng khi biết phương trình tổng quát của nó.
Ví dụ − Bài tập trang 74 SGK CB
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2;2) và B(4;3).

Lời giải


Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A, B nên có vectơ chỉ phương là AB = ( 2;1) .


Từ đó suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến là n = ( −1;2 ) .
Vậy đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là (−1).(x – 2) + 2(y – 2) = 0 hay x – 2y + 2 = 0.

Hoạt động 6, trang 74 SGK CB
Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình: 3x + 4y + 5 = 0.

I.1.5 Góc giữa hai đường thẳng
Sau khi định nghĩa số đo của góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 cắt nhau,
SGK CB khẳng định:


trang 19

Cho hai đường thẳng ∆ 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, ∆ 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0

(



)







Đặt ϕ = ∆
thì ta thấy ϕ bằng hoặc bù với góc giữa n1 và n2 trong đó n1 , n2 lần lượt là
1, ∆2
vectơ pháp tuyến của ∆ 1 và ∆ 2 .

Trong khi đó, SGK NC định nghĩa góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 thông qua
góc giữa hai vectơ chỉ phương của đường thẳng:
 

( ∆1 , ∆ 2 ) =( u, v ) nếu
( ∆1 , ∆ 2=)

180o

 

( u, v ) ≤ 90 ,
 
 
 
− ( u, v ) nếu ( u, v ) > 90 , trong đó u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆ 1 và ∆ 2 .
o

o

Như vậy, SGK CB và SGK NC đều định nghĩa góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 qua
góc giữa hai vectơ (hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của đường
thẳng). Vì vậy, việc tính số đo của góc giữa hai đường thẳng được định nghĩa thông
qua góc giữa hai vectơ (hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của đường
thẳng).
SGK CB chứng minh:

 
n .n

 

cos(∆ 1 , ∆ 2 ) = cos ( n1 , n2 ) = 1 2 =
n1 . n2

a1a2 + b1b2
a12 + b12 a22 + b22





, trong đó n1 = (a 1 ; b 1 ), n2 = (a 2 ; b 2 ) lần

lượt là vectơ pháp tuyến của ∆ 1 và ∆ 2 .

Đối với SGV NC :







Với n1 = (a 1 ; b 1 ), n2 = (a 2 ; b 2 ) lần lượt là vectơ pháp tuyến của ∆ 1 và ∆ 2 thì u1 = (b 1 ; − a 1 ),

u2 = (b 2 ; − a 2 ) lần lượt là vectơ chỉ phương của ∆ 1 và ∆ 2 .
 
Khi đó: cos ( ∆1=
, ∆ 2 ) cos u1=
, u2

(

)

 
u1.u2
 =

u1 . u2

b1b2 + a1a2
=
2
b1 + a12 . b22 + a22

 

a1a2 + b1b2
=
cos n1 , n2
a12 + b12 a22 + b22

(

)

Nhận xét
Công thức tính số đo của góc giữa hai đường thẳng có thể xem là sự nối kết của
hai định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ thông qua công thức (1) và (2). Đối với
SGK NC , việc tính số đo góc của hai đường thẳng được tính qua số đo của góc giữa
hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng. Do vậy, nó sẽ
giải quyết được những hạn chế của SGK CB trong việc chỉ tính số đo của góc giữa
hai đường thẳng được cho bởi phương tổng quát mà thôi.


trang 20

I.1.6 Kết luận
Với lựa chọn công thức (1) và (2) để định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ đã
đóng vai trò quan trọng trong chứng minh công thức hình chiếu, định lý côsin trong
tam giác thường, xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng và tính số đo
của góc giữa hai đường thẳng trong chương trình hình học 10. Nó góp phần tạo nên
sự chuyển tiếp từ việc nghiên cứu hình học bằng công cụ vectơ sang nghiên cứu
hình học bằng phương pháp tọa độ, đồng thời tạo ra nhiều ứng dụng trong giải các
bài toán hình học phẳng.

I.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động

trong giải toán hình học phẳng
Trong chương II: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng, “chương này trình bày
các tính chất cơ bản của tích vô hướng và những ứng dụng của chúng. […] Học sinh phải biết vận
dụng các kiến thức cơ bản […] để giải một số bài toán hình học […]” [19, trang 39]. Trong

phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có
thể được huy động trong giải toán hình học phẳng.
I.2.1 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để
chứng minh một tính chất của hình học phẳng
 

a) Nếu AB.CD = 0 thì AB ⊥ CD.
 2

 2

b) Nếu AB = CD thì AB = CD.

 

 

c) Trong tam giác ABC, nếu điểm H thỏa=
AH .BC 0,=
BH . AC 0 thì H là trực tâm
của tam giác ABC.

 

 

 

d) Trong tam giác ABC, nếu điểm H thỏa HA
=
.HB HB
=
.HC HC.HA thì H là trực
tâm của tam giác ABC.

 

e) Trong tam giác ABC, nếu BA.BC = AB 2 thì tam giác ABC vuông tại A.
 





f) Trong tam giác ABC, nếu AB. AC = 0 và AB = AC thì tam giác ABC vuông cân
tại A.

 

 

g) Trong tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Nếu AB. AC = 0 , AM .MB = 0 thì
tam giác ABC vuông cân tại A.

trang 21

 





h) Trong tam giác ABC, nếu AH .BC = 0 và BH cùng phương với BC thì H là chân
đường cao hạ từ đỉnh A.

 

 

i) Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau ở điểm M. Nếu MA.MB = MC.MD thì bốn
điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
j) Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác M).
 

Nếu MA.MB = MC 2 thì ∆ (hay MC) là tiếp tuyến của đường tròn (ABC).
 

k) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Nếu M thỏa mãn MA.MB = 0 thì M thuộc
đường tròn đường kính AB.
I.2.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để
tính toán trong các bài toán hình học phẳng

 
AB. AC

a) Cho tam giác ABC, góc A của tam giác ABC: CosA =
AB. AC
1  2  2   2
=
AB . AC − AB. AC
b) Diện tích tam giác
ABC: S
2

(

)

c) Với AM là đường trung tuyến của tam giác ABC:
 1
AM = AM =
2

(

 2  2
 
AB + AC + 2 AB. AC

)

 
MP.PD
d) Góc φ hợp bởi hai đường thẳng MP và PD: cos ϕ =  
MP . PD

I.2.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động để
tìm quĩ tích trong các bài toán hình học phẳng
 

a) Công thức hình chiếu: Cho hai vectơ OA, OB . Gọi B′ là hình chiếu của B trên
 

 

đường thẳng OA. Ta có: OA
=
.OB OA
=
.OB′ OA.OB′ .
 

b) Nếu AB.CD = 0 thì AB ⊥ CD.

I.3 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng trong
giải toán hình học phẳng 10
Trong những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng có thể được huy động
trong giải toán hình học phẳng được trình bày ở trên, những tính chất và ứng dụng
nào của tích vô hướng được sử dụng để giải toán hình học phẳng 10?. Để trả lời


trang 22

được câu hỏi này, chúng tôi trình bày lời giải của các bài toán có trong SGK, SGV,
SBT ở cả hai chương trình cơ bản và nâng cao minh hoạ cho các tính chất và ứng

dụng của tích vô hướng được sử dụng để giải toán hình học phẳng 10.
I.3.1 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng để chứng
minh một tính chất trong hình học phẳng 10
 

Nếu AB.CD = 0 thì AB ⊥ CD

a)

Ví dụ − Bài tập 4, trang 70 SGK NC
Trên hình vẽ 63 có vẽ hai tam giác vuông cân ABC và AB’C’ có chung đỉnh A. Gọi I và J lần
lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BB’ và CC’. Chứng minh rằng:
a. AI ⊥ CC’,…

Lời giải − SGV NC trang 78
  1    
AI .CC ′ =
AB + AB ′ . AC ′ − AC =
2
1        
=
AB. AC ′ − AB. AC + AB ′. AC ′ − AB ′. AC
2
1    
=
AB. AC ′ − AB ′. AC
2

(

B’

)(

(

I

(

B
A

)

)

(vì các góc BAC và B’AC’ là những góc vuông)

C

C

)

(

)

1

′ − AB ′. AC.cos B

′AC = 0
AB. AC ′.cos BAC
2
′ = B

′AC )
(vì AB = AC, AB′ = AC ′ và BAC

=

Vậy AI ⊥ CC’.

Ví dụ − Ví dụ 1, trang 83 SBT CB
3
Trong mặt phẳng Oxy, cho A = (4; 6), B = (1; 4), C =  7;  .

a. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.



2

Lời giải − Trang 83 SBT CB
 


9
9

Ta có AB = ( −3; −2 ) , AC =  3; −  và AB. AC = ( −3) .3 + ( −2 ) .  −  = 0
2
 2



Vậy AB vuông góc với AC và tam giác ABC vuông tại A.

b)

 2

 2

Nếu AB = CD thì AB = CD
Ví dụ − Bài tập 2.46, trang 97 SBT CB
 

 

Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vectơ AB + AC vuông góc với vectơ AB + CA . Vậy tam giác
ABC là tam giác gì?


trang 23

Lời giải – Trang 115 SBT CB
 

 

 

 

 2

 2

Theo giả thiết ta có: ( AB + AC ) . ( AB + CA) =
0 ⇔ ( AB + AC ) . ( AB − AC ) =
0 ⇔ AB − AC =
0
Ta suy ra ABC là tam giác có AB = AC (tam giác cân tại A)

 





Trong tam giác ABC, nếu AB. AC = 0 và AB = AC thì tam giác ABC vuông

c)

cân tại A.
Ví dụ − Bài tập 23, trang 41 SBT NC
Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AM =

AC

. Gọi N là trung
4

điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

Lời giải − Trang 61 & 62 SBT NC









1  1       b
AC
=
a + b , AN =
AD + DN =+
a
4
4
2
    1   1  
B Từ đó suy ra: MB = AB − AM = b − a + b = −a + 3b
4
4

    b 1  

1  
MN = AN − AM = a + − a + b = 3a + b
2 4
4
 2 2  
  1    
1
−3a + 3b + 8a.b = 0
−a + 3b 3a + b =
Ta có: MB.MN=
16
16
 2 1   2 1  2
2
  5 2
MB =
−a + 3b =
a + 9b − 6a.b = a
16
16
8



(

=
Đặt AD = a , AB = b . Khi đó: AM

b

A

)

(

(

M

a

(

)(

(

D

(

)

N

C

 2

MN=

)

)

(

(

(

)

)

(

)

)

)

)

  5 2
1   2 1  2 2
3a + b=
9a + b + 6a.=

b
a
16
16
8

(

)

Vậy MB ⊥ MN và MB = MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.

d)

 

 

Cho hai đường thẳng AB, CD cắt nhau ở điểm M. Nếu MA.MB = MC.MD thì
bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ − Bài tập 36, trang 44, SBT NC
Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng ∆ vuông góc với AB ở H (H không trùng với A
và B). Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các đường thẳng AM, AN lần
lượt cắt ∆ ở M’, N’.


trang 24

a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn (C) nào đó.

Lời giải − Trang 69 SBT NC
M′

 

 

suy ra AH . AB = AM . AM ′

H

A



′HB M
′MB 90o ,
Tứ giác HBMM’ nội tiếp được do M
=
=

M
B

Tứ

giác

HBN’N

cũng

nội

tiếp

được

do



′HB N
′NB 90o ,
N
=
=
   
suy ra AH . AB = AN . AN ′
   
Từ đó ta có: AM . AM ′ = AN . AN ′

N
N′

Suy ra M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn, ta kí

∆

hiệu đường tròn đó là (C).

Cho đường thẳng AB cắt đường thẳng ∆ ở M và một điểm C trên ∆ (C khác

e)

 

M). Nếu MA.MB = MC 2 thì ∆ (hay MC) là tiếp tuyến của đường tròn (ABC).
Ví dụ − Bài tập 38, trang 44 SBT NC
Cho đường tròn đường kính AB, H là điểm nằm giữa AB và đường thẳng ∆ vuông góc với AB tại H.
Gọi E, F là giao điểm của đường tròn và ∆. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AE và đường tròn (C) bất
kỳ qua H, B. Giả sử hai đường tròn đó cắt nhau ở M và N, chứng minh rằng AM và AN là hai tiếp
tuyến của (C).

Lời giải − Trang 70 SBT NC

E

Ta có AM = AN = AE (do M, N, E cùng thuộc
đường tròn tâm A).

B

M
A

H

Trong tam giác vuông AEB, EH ⊥ AB
 

nên=
AE 2 AH
=
. AB AH . AB
 

2
2
Từ đó suy ra AM
=
AN
=
AH . AB

Vậy AM, AN là tiếp tuyến của (C).

F
N

I.3.2 Những tính chất và ứng dụng của tích vô hướng được sử dụng để tính
toán trong hình học phẳng 10
a)

 
AB. AC
Cho tam giác ABC, góc A của tam giác ABC: CosA =
AB. AC

Ví dụ − Bài tập 2.16, trang 85 SBT CB

Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm.


trang 25

 

a. Tính AB. AC rồi suy ra giá trị của góc A.

Lời giải – Trang 103 SBT CB
 2

 

 2  2
 
= AC + AB − 2 AC. AB
  
  AC 2 + AB 2 − BC 2 82 + 52 − 72
=
AB. AC
= = 20
Do đó
2
2
 
20 1
= ⇒ A = 60o
Mặt khác =
AB. AC AB. AC

=
.cos A 5.8.cos
=
A 20 . Suy ra CosA =
40 2
2
Ta có BC
=
BC
=

( AC − AB )

2

Ví dụ − Bài tập 2.26, trang 86 SBT CB
Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; −1), B(3; 1) và C(6; 0)
a. Tính góc B của tam giác ABC.

Lời giải − Trang 107 SBT CB
 
Ta
có cos B cos
=
=
BA, BC

(

Do đó cos B =

b)

)

 


BA.BC
  với BA =( −4; −2 ) , BC =( 3; −1)
BA . BC

( −4 ) .3 + ( −2 )( −1)

=

16 + 4. 9 + 1

2
−10
 = 135o .
. Vậy B
= −
2
200

Với AM là đường trung tuyến của tam giác ABC:
 1
AM = AM =
2

( AB + AC + 2 AB. AC )
 2

 2

 

Ví dụ − Bài 14, trang 40 SBT NC
Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b.
b. Tính độ dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

Lời giải – Trang 57 SBT NC
 

Trong câu a, AB. AC=

1 2 2
(c + b − a2 )
2

b. Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên:

(

)

 2 1   2 1  2  2
 
1

AM 2 = AM =
AB + AC =
AB + AC + 2 AB. AC = ( c 2 + b2 + c 2 + b2 − a 2 =
) 14 ( 2b2 + 2c2 − a 2 )
4
4
4
1
=
2b 2 + 2 c 2 − a 2
Vậy AM
2

(

c)

)

 
MP.PD
Góc ϕ hợp bởi hai đường thẳng MP và PD: cos ϕ =  
MP . PD

Ví dụ − Bài 85, trang 51 SBT NC