Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN XUÂN TÍNH

Chuyên ngành:

Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán.

Mã số:

60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN

Với tất cả sự chân thành, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
tập thể giảng viên didactique toán của trường Đại học Sư phạm TP.HCM,
đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung,
TS. Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và xin chân thành
cảm ơn PGS.TS Claude COMITI - nguyên phó viện trưởng Viện Đại học đào
tạo giáo viên (IUFM) Grenoble, PGS.TS Annie BESSOT - nguyên trưởng
nhóm DDM Trung tâm nghiên cứu Leibniz, TS Alain BIREBENT - giảng
viên cao cấp trường Đại học MENDÈS (Grenoble) là những người mang lại
cho chúng tôi những tri thức quý báu, đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
chúng tôi hoàn thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm
TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học
tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 19
chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những
ngày vui buồn trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực
cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể Giáo viên trường
THPT Nguyễn Thái Học – Khánh Hòa đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
chúng tôi tham gia khóa học và giúp đỡ chúng tôi thực nghiệm.
Xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình tôi
đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn.
Với thời gian còn hạn chế, chắc chắn luận văn này không tránh khỏi
nhiều khiếm khuyết, chúng tôi kính mong các Thầy giáo, Cô giáo và các
đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng được trong thực tiễn.
TÁC GIẢ


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

CB

Cơ bản

đpcm

Điều phải chứng minh

ĐS & GT

Đại số và Giải tích

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NC

Nâng cao

NXB

Nhà xuất bản

NXBGD

Nhà xuất bản Giáo dục

PPQNTH

Phương pháp quy nạp toán học

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

T CM

Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiên n

.

T DĐ

Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi
công thức truy hồi.

T DĐCM

Dự đoán tính chất của dãy số và chứng
minh tính chất đó bằng PPQNTH.

tr

Trang

VP

Vế phải

VT

Vế trái


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các từ viết tắt

Mục lục

MỞ ĐẦU

Trang

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................ - 1 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu ..................................... - 2 3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu ......................................... - 2 4. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... - 4 -

CHƯƠNG I
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN
CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC
I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học ...................... - 5 I.1.1

Các phương pháp suy luận .................................................................... - 5 -

I.1.2

Phương pháp quy nạp toán học ........................................................... - 12 -

I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH ........................................................... - 13 I.2.1

Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX) ........ - 13 -

I.2.2 Giai đoạn sau khi đã định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N
(Thế kỷ XIX) ..................................................................................................... - 17 I.3 Các hình thức của nguyên lý quy nạp toán học ............................................. - 19 I.3.1

Hình thức cổ điển của phương pháp quy nạp toán học ........................ - 19 -

I.3.2

Các hình thức khác của phép quy nạp toán học ................................... - 24 -


CHƯƠNG II
PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
II.1

Phép quy nạp toán học trong chương trình môn toán ở THPT .............. - 33 -

II.2

Phép quy nạp toán học trong SGK ......................................................... - 34 -

II.3

Kết luận .................................................................................................. - 48 -

CHƯƠNG III
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
THỰC NGHIỆM A Ở HỌC SINH
III.1

Hình thức và đối tượng thực nghiệm ...................................................... - 52 -

III.2

Phân tích tiên nghiệm (A priori) các câu hỏi thực nghiệm ..................... - 52 -

III.3

Phân tích hậu nghiệm (A Posteriori) các câu hỏi thực nghiệm............... - 63 -

III.4

Kết luận ................................................................................................... - 70 -

THỰC NGHIỆM B Ở GIÁO VIÊN
III.5

Mục tiêu thực nghiệm ............................................................................ - 71 -

III.6

Phân tích những câu trả lời thu được từ GV.......................................... - 73 -

III.7

Kết luận.................................................................................................. - 78 -

KẾT LUẬN CHUNG................................................................................. - 79 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................... - 82 PHỤ LỤC ................................................................................................... - 84 -


-1-

MỞ ĐẦU
1.

Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong cuộc sống lao động, sinh hoạt và học tập người ta thường suy

luận và đánh giá những hoạt động của mình, thông thường những suy luận đó
là suy luận diễn dịch và suy luận quy nạp. Suy luận diễn dịch (suy diễn) là áp
đặt một vấn đề chung cho một trường hợp cụ thể. Cách suy luận này diễn ra
thường ngày, xuất phát từ kinh nghiệm thực tế của con người. Trong khoa
học, toán học là khoa học tư duy đòi hỏi tính logic và tính chính xác cao.
Toán học được xây dựng chủ yếu trên các tiền đề và bằng con đường suy
diễn. Tuy nhiên phép suy diễn không phải là con đường duy nhất của tư duy
khoa học nói chung và toán học nói riêng. Trên con đường khám phá, tìm tòi
chân lý, nhiều nhà khoa học đã bắt đầu từ những trường hợp cụ thể, trường
hợp đặc biệt của các đối tượng trên một tập hợp nào đó để rồi đưa ra những
kết luận tổng quát với mọi đối tượng trên tập hợp đó. Kết luận được tìm ra có
thể đúng hoặc có thể sai rồi họ lại sáng tạo những phương pháp chứng minh
để khẳng định một kết luận là đúng. Một trong những cách làm trên của các
nhà toán học là phép chứng minh quy nạp toán học. Nhờ phép chứng minh
đó mà lý thuyết số trong khoa học toán học đã cho ra biết bao định lý, tính
chất, công thức, hệ quả toán học đáng quý và ngay cả trong hình học, đại số,
giải tích…cũng vậy.
Ở trường trung học phổ thông (THPT), việc dạy học phép chứng minh
quy nạp toán học giúp học sinh (HS) lĩnh hội kiến thức một cách chủ động,
hứng thú và khơi gợi ở người học sự tò mò muốn vươn lên trong học tập.
Trong thực tế giảng dạy phép chứng minh quy nạp toán học, HS không hiểu
nhiều về mối quan hệ giữa các bước của phương pháp chứng minh này, các
bước chứng minh chỉ mang tính hình thức, và nhiều HS không hiểu tại sao
phải thực hiện các bước đó. Trong bước quy nạp, khi chứng minh mệnh đề
“A(k) ⇒ A(k+1)” đúng ∀k ≥ 1 , nhiều HS cho rằng chỉ cần chứng minh cho
những k ≥ 2 vì chúng đã kiểm tra mệnh đề đúng với k =1, trong khi sách giáo
khoa (SGK) yêu cầu chứng minh với k≥1.


-2Xuất phát từ những ghi nhận nêu trên, chúng tôi chọn: “Nghiên cứu

didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học
toán ở trường trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn này.
Mong muốn của chúng tôi là tìm hiểu, nghiên cứu và trả lời các câu
hỏi sau:
-

Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?

-

Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?

-

Có những hình thức khác nhau nào của phép chứng minh quy nạp toán
học?

2.

Phạm vi lý thuyết tham chiếu và câu hỏi nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi đặt trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán.
Cụ thể là:
1.

Tổng hợp các nghiên cứu đã có về phép chứng minh quy nạp toán
học ở khía cạnh khoa học luận để làm rõ các câu hỏi ban đầu.

2.

Vận dụng lý thuyết nhân chủng học của didactic để phân tích mối

quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học.

3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích tổng quát của luận văn này là tìm những yếu tố trả lời cho
các câu hỏi ban đầu. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của
mình trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu trên nhằm làm rõ đặc trưng
khoa học luận của phép quy nạp toán học, những lựa chọn của thể chế. Quan
sát và thực nghiệm để làm rõ những đặc trưng đó và ảnh hưởng đến việc dạy
và học của GV và HS. Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi như sau:


-3-

Q1. Những đặc trưng khoa học luận của phép chứng minh quy nạp toán
học là gì? Phép chứng minh quy nạp toán học được giới thiệu trong thể
chế THPT với mục đích gì? Dưới những hình thức nào? Các kiểu bài tập
nào liên quan?
Q2 Trong mối quan hệ thể chế đối với phép chứng minh quy nạp toán
học thì các tính chất đặc trưng nào xuất hiện? Những tính chất đặc trưng
nào không được tính đến?
• Chúng tôi tiến hành tổng hợp một số tài liệu về phép chứng minh quy
nạp toán học, các công trình nghiên cứu đã công bố, chỉ ra được đặc
trưng, vai trò và ý nghĩa của nó trong giải toán.
• Sau đó, chúng tôi thực hiện phân tích thể chế, bằng cách phân tích
chương trình và SGK, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, chúng tôi cố
gắng tìm hiểu sự lựa chọn của thể chế ở đối tượng phép chứng minh
quy nạp toán học và tác động của nó đến quá trình dạy học.
• Phân tích SGK, nêu rõ các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng
phép chứng minh quy nạp toán học, xem xét SGK, SBT có những
kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật nào được ưu tiên. Chúng tôi cũng sẽ tìm

hiểu quan niệm của GV và HS về đối tượng này, ảnh hưởng của cách
trình bày của SGK, SGV đến các quan niệm đó.
• Tổng hợp từ các phân tích đó cho phép chúng tôi hình thành các giả
thuyết nghiên cứu về đối tượng này.
• Việc tiến hành thực nghiệm cho phép chúng tôi kiểm chứng các giả
thuyết nêu ra. Chúng tôi sẽ thực hiện thực nghiệm đối với hai chủ thể
GV và HS thông qua bộ câu hỏi thực nghiệm.


-44. Cấu trúc của luận văn
Chương I: Phần tổng hợp và phân tích các đặc trưng của phép chứng minh
quy nạp toán học trình bày trong một số công trình nghiên cứu liên quan. Từ
đó chỉ ra vai trò và ý nghĩa của phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy
học toán.
Chương II: Phần phân tích thể chế, nghiên cứu chương trình, phân tích SGK
và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, phân tích các tổ chức toán học liên quan
đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học.
Chương III: Phần thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết, thực hiện trên hai
đối tượng GV và HS. Chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm dưới dạng
bộ các câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng của các giả thuyết, gồm
phiếu thực nghiệm cho GV và phiếu thực nghiệm cho HS.
Phần kết luận.
Trình bày kết luận chung, những việc chưa làm và hướng mở ra của luận
văn.


-5-

CHƯƠNG I
ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN

CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC
Mục tiêu của chương
Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp một số công trình khoa học luận và
lịch sử về phép quy nạp toán học nhằm làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này
trong quá trình phát sinh và tiến triển của nó. Cụ thể, bằng cách tham khảo một số
nguồn tài liệu của các tác giả: Hoàng Chúng [2]; G.Pôlia, Hoàng Chúng (dịch) [15];
Michal Walicki [16]; V.Battie [17], chúng tôi cố gắng tìm những yếu tố để trả lời
các câu hỏi tri thức luận cần nghiên cứu sau đây:
 Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?
 Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?
 Phép quy nạp toán học có các hình thức khác nhau nào?
Phép quy nạp toán học đuợc dịch ra từ tiếng Anh là mathematical induction,
tiếng Pháp gọi là raisonnement par récurrence đây là một thuật ngữ toán học, một
số tác giả dịch là phương pháp chứng minh quy nạp toán học, có tác giả dịch là
phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. Vì có
nhiều thuật ngữ tương tự nhau nên có thể dẫn đến hiểu nhầm giữa đối tượng này với
suy luận quy nạp, tư duy quy nạp,…nhưng sau khi xem xét kỹ thì chúng khác với
phép quy nạp toán học. Trong chương trình môn toán phổ thông hiện hành ở Việt
Nam, người ta gọi đối tượng đó là phương pháp quy nạp toán học vì vậy trong
luận văn này chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ phương pháp quy nạp toán học (viết tắt là
PPQNTH) thay cho tên gọi phép chứng minh quy nạp toán học như trong tên đề tài
đã ghi. Trong chương này, chúng tôi cũng sẽ làm rõ phương pháp suy luận là gì?
Suy luận quy nạp là gì? Sự khác nhau giữa suy luận quy nạp so với PPQNTH?
I.1

Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học
I.1.1 Các phương pháp suy luận
Theo Hoàng Chúng ([2], tr.107): Phương pháp suy luận là quá trình
suy nghĩ để từ một hay nhiều phán đoán đã có rút ra phán đoán mới. Phán

-6đoán đã có gọi là tiền đề của suy luận, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận.
Tiền đề có thể gồm một hay nhiều phán đoán. Suy luận nào mà tiền đề gồm
một phán đoán gọi là suy luận trực tiếp. Nếu tiền đề có nhiều phán đoán ta
có suy luận gián tiếp. Căn cứ vào bản chất sự liên hệ giữa tiền đề và kết
luận, có thể chia ra thành hai loại suy luận: suy luận diễn dịch và suy luận
quy nạp.
Ví dụ Từ một tiền đề A suy ra mệnh đề B: A ⇒ B là suy luận trực tiếp;
“Mệnh đề kéo theo” là mệnh đề dạng A ⇒ B (chỉ sai khi A đúng và B
sai). "Phép kéo theo": A ⇒ B là phương pháp suy luận để từ một mệnh
đề A, suy ra mệnh đề B sao cho A ⇒ B là đúng là suy luận gián tiếp.
Một trong những đặc trưng làm cho toán học khác biệt với các ngành
khoa học khác là việc xây dựng hệ thống lý thuyết bằng con đường suy diễn.
Điều đó có nghĩa là mọi kết quả trong toán học đều là hệ quả logic của một
số tiền đề. Theo Michal Walicki ([16], tr.2): Thông qua các cuộc thảo luận
về chính trị và triết học, các nhà tư tưởng dần dần nâng cao các con đường
lý luận khác nhau. Các nhà triết học nghiêm túc không tin tưởng vào các nhà
ngụy biện, lo lắng về nguy cơ trái đạo đức từ các cuộc tranh cãi của các nhà
ngụy biện, Plato(1) đã cố gắng chống lại chúng bằng cách lao vào các cuộc
thảo luận về đạo đức và tuyên bố rằng đã có một logic mạnh mẽ là phép biện
chứng. Tuy nhiên sự phát triển của “lý luận chính xác” lên tới đỉnh điểm tại
Hy Lạp cổ đại với Aristotle( 2), người đưa vào giảng dạy các categorical
forms (hình thức rõ ràng tuyệt đối) và Syllgisms (tam đoạn luận) một cách hệ
thống và khá đầy đủ trong bộ Organon.
Aristotle được xem là bậc thầy của phép biện chứng và phép suy luận
logic. Ông đã định nghĩa “tam đoạn luận” là ngôn ngữ mà trong đó, nếu một
cái gì đó được giả định, thì tất yếu rút ra một cái gì đó khác hẳn với cái đã

(1)
(2)

Plato –Triết gia Hy Lạp (khoảng 427 – 347 trước Công nguyên)
Aristotle –Triết gia Hy Lạp (khoảng 384 – 322 trước Công nguyên)


-7cho, là một phương thức lập luận logic đi từ hai tiền đề đến một kết luận. Ví
dụ như ở các sách logic thường dẫn:
Con người không bất tử,
Socrates là một con người.
Socrates không bất tử.
Ngoài khái niệm của phép tam đoạn luận, ngày nay, người ta còn biết
đến Aristotle về phép suy luận diễn dịch là suy luận theo những quy tắc tổng
quát, bằng những quy tắc đó từ những tiền đề đúng ta rút ra những kết luận
chắc chắn đúng. Tuy nhiên, phép suy diễn không là con đường duy nhất của
tư duy khoa học kể cả tư duy toán học.
Vào những năm đầu của thế kỷ XVII, Francis Bacon(3) đã đưa ra một
phương pháp tiếp cận khác về kiến thức, khác với Aristotle. Ông cho rằng để
đạt được kiến thức mới phải đi từ thông tin riêng đến kết luận chung, gọi là
suy luận quy nạp. Suy luận kiểu này cho phép chúng ta dùng những tiền đề
riêng – là những kiến thức đã được chấp nhận, như là phương tiện để đạt
được kiến thức mới. Suy luận quy nạp xuất phát từ sự quan sát và kiểm
nghiệm những trường hợp riêng để đi đến những kết luận mang tính quy luật
cho trường hợp tổng quát. Cách suy luận quy nạp không đảm bảo để tiến
hành kết luận trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, chứng minh bằng suy luận
quy nạp là một cách chứng minh rất hữu hiệu trong toán học. Euler(4) là bậc
thầy của nghiên cứu suy luận quy nạp trong toán học, nhờ quy nạp ông đã có
những phát minh quan trọng về các chuỗi số vô hạn, trong lý thuyết số và
trong các lĩnh vực khác của toán học: ông đã quan sát, phỏng đoán táo bạo và
xác nhận sáng suốt một kết quả mới. Theo G.Polia ([15], tr.118): Euler là
người duy nhất về một phương diện, ông cố gắng trình bày cẩn thận, tỉ mỉ

rành mạch các lý lẽ quy nạp thuộc vấn đề nào đó, ông đã viết: “Trong thực
tế, nhiều tính chất số học của các số đã được biết, đều được tìm ra bằng
phương pháp quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn của
chúng được chứng minh chặt chẽ. Cũng có nhiều tính chất quen thuộc với
(3)
(4)

Francis Bacon – Nhà khoa học thực nghiệm hiện đại người Anh (1561 – 1626)
Leonhard Euler – Nhà Toán học Thụy Sỹ (1707 – 1783)


-8chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được. Chỉ có con
đường quan sát và tư duy quy nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân
lý”. Như vậy phương pháp quy nạp, tư duy quy nạp của Euler trích trên đây
chính là suy luận quy nạp.
Trong suy luận quy nạp có hai loại: suy luận quy nạp hoàn toàn và suy
luận quy nạp không hoàn toàn.


Suy luận quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng
quát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Để
chứng minh ∀x ∈ X,A(x) ta có thể sử dụng một trong các định lý sau:
 A(a1 )
 A(a )

Định lý 1 Nếu X={a 1 , a 2 , …,a n } thì  2 ⇒ ∀x ∈ X,A(x)
...
 A(an )

Định lý 1 sử dụng khi tập X là hữu hạn và có số phần tử ít. Nếu số

phần tử của X nhiều thì trong thực hành việc xét tất cả các trường hợp
thường là khó khăn.
Ví dụ: Chứng minh rằng mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân
tích thành tổng của hai số nguyên tố.
Lời giải 4 =2+2

6 =3+3

8 =3+5

10=3+7

12=5+7

14=7+7

16=3+13

18=7+11

20=7+13 22=11+11

24=11+13

26=13+13

28=11+17

30=13+17.

Từ đó suy ra mọi số chẵn thuộc {4;6;8;…30} đều có thể phân tích
thành tổng của hai số nguyên tố.

Định lý 2

∀x ∈ X 1 , A( x)
∀x ∈ X , A( x)

2
Nếu X=  X k thì 
⇒ ∀x ∈ X,A(x)
k =1
...
∀x ∈ X n , A( x)
n

Định lý 2 chỉ sử dụng được khi tập X có thể phân thành các tập con
mà trong mỗi tập con việc chứng minh tính chất A(x) là đơn giản.
Như vậy, ở định lý 2 nếu tập X khó phân thành các tập con thì việc
chứng minh bằng suy luận quy nạp hoàn toàn sẽ gặp khó khăn. Theo


-9Michal Walicki ([16], tr.43): Cho tập hợp X, một vấn đề rất điển hình là
để thấy rằng tất cả các phần tử của X thỏa ∀x ∈ X: A(x), làm thế nào
người ta có thể cố gắng chứng minh như vậy. Một trường hợp đặc biệt là
khi X là hữu hạn và chỉ có vài phần tử - trong trường hợp này, chúng ta
có thể bắt đầu chứng minh A(x) cho mỗi x riêng biệt.
Ví dụ:

Chứng minh rằng ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y

Lời giải

Xét các trường hợp sau:

.

Trường hợp 1: x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ x + y ≥ 0 ta có: x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x + y
(đúng với dấu đẳng thức)
Trường hợp 2: x ≤ 0, y ≤ 0 ⇒ x + y ≤ 0 ta có:
x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ − x − y (đúng với dấu đẳng thức)

Trường hợp 3: x ≥ 0, y < 0, x + y ≥ 0 ta có:
x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ x − y ⇔ 2 y ≤ 0 (đúng, dấu “=” không xảy ra)

Trường hợp 4: x ≥ 0, y < 0, x + y < 0 ta có:
x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ x − y ⇔ 2 x ≥ 0

(đúng, dấu “=” xảy ra khi x=0)
Trường hợp 5: x < 0, y ≥ 0, x + y ≥ 0 ta có:
x + y ≤ x + y ⇔ x + y ≤ −x + y ⇔ 2x ≤ 0

(đúng, dấu đẳng thức không xảy ra)
Trường hợp 6: x < 0, y ≥ 0, x + y < 0 ta có:
x + y ≤ x + y ⇔ −( x + y ) ≤ − x + y ⇔ 2 y ≥ 0

(đúng, dấu “=” xảy ra khi y=0)
Vì có thể xảy ra một trong các trường hợp trên mà trong mỗi trường
hợp bất đẳng thức đều đúng nên bất đẳng thức đúng ∀x, y ∈ R .
Phép suy luận quy nạp hoàn toàn còn có các tên gọi khác như:

Phương pháp quy nạp đầy đủ, phương pháp vét cạn, phương pháp xét các
trường hợp, phương pháp phân khoảng. Do lịch sử, trong tên gọi của
phương pháp trên có thuật ngữ “quy nạp” nhưng thực chất đó là một


- 10 trong các phương pháp suy diễn, vì đã dựa trên một số quy tắc tổng quát
của logic, quy tắc này cho phép chúng ta chia trường hợp tổng quát ra
thành một số hữu hạn các trường hợp riêng và dùng suy diễn để xét riêng
từng trường hợp.


Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận
được rút ra dựa trên một số trường hợp riêng. Bằng các kí hiệu logic ta
có thể diễn đạt phép quy nạp không hoàn toàn như sau:
Cho X là một tập hợp nào đó, A(x) là một mệnh đề chứa biến xác định
trên X, gọi a 1 , a 2 , …, a n là những phần tử của X. Khi đó:
n

quy nap
∧ A(ak ) (quan sát và kiểm nghiệm) →
∀x ∈ X,A(x)

k =1

(1)

Mệnh đề chứa biến (1) là một phỏng đoán quy nạp. Nó có thể đúng
hoặc có thể sai. Để chứng minh (1) đúng ta phải dựa vào kết quả đã biết
là đúng trước đó và các suy luận logic đúng. Tức là phải chứng minh
bằng phương pháp suy diễn. Để chứng minh (1) sai ta chỉ cần chỉ ra một

phản ví dụ, tức là chỉ ra ∃x 0 ∈ X,A(x 0 ) sai , nói cách khác là chứng minh
mệnh đề phủ định của (1) là ∃x ∈ X,A(x) .
Ví dụ: Khi nghiên cứu về tập các số nguyên tố P, nhà toán học
22 + 1 = 5 ∈ P
1

22 + 1 = 17 ∈ P
2

Fermat

(5)

đã dựa trên một số trường hợp cụ thể như:

22 + 1= 257 ∈ P
3

+ 1 65537 ∈ P
22 =
4

và đi đến khẳng định 22 + 1∈ P, ∀n ∈ N kết luận này không đúng vì
n

Euler đã chỉ ra một phản ví dụ là 22 + 1 641 .
5

Theo Michal Walicki ([16], tr.43): Một tình trạng phổ biến hơn là X
có các yếu tố vô hạn. Cho X = {2i: i∈ Z}, x∈X. Khi đó, theo định nghĩa

của X, có một số i∈ Z sao cho x=2i là một số chẵn. Tất nhiên, trong hầu
hết các trường hợp, các mối quan hệ giữa định nghĩa của X và cái chúng
ta muốn chứng minh là không đơn giản. Và một câu hỏi được đặt ra:
(5)

Pierre Fermat–Nhà toán học Pháp (1601-1665)


- 11 "Làm thế nào để đảm bảo rằng chúng ta kiểm tra cho tất cả các phần tử
của X và chúng ta có thể làm điều đó trong thời gian hữu hạn (vì nếu
không thì sẽ không bao giờ kết thúc việc chứng minh)?" Ý tưởng của
chứng minh bằng PPQNTH trả lời cụ thể cho câu hỏi này. Nó cho chúng
ta thấy phải tìm một thứ tự có cơ sở của các phần tử của X và sau đó tiến
hành theo mẫu sau: có người trình bày báo cáo cho phần tử nhỏ nhất và
sau đó tiến tới các phần tử lớn theo trật tự. Bí quyết là đảm bảo rằng các
bước hữu hạn của chứng minh là cần thiết để kết luận sẽ đúng với tất cả
các phần tử của X.
“A more common situation is that X has infinitely many elements. Let X = {2i:
i∈Z} and show that each x ∈ X is an even number. Well, this is trivial by the way
we have defined the set. Let x be an arbitrary element of X. Then, by definition of
X, there is some i ∈ Z such that x = 2i. But this means precisely that x is an even
number and, since x was assumed arbitrary, the claim holds for all x ∈ X. Of
course, in most situations, the relation between the definition of X and the property
we want to prove isn’t that simple. Then the question arises: “How to ensure that
we check the property for all elements of X and that we can do it in finite time
(since otherwise we would never finish our proof)?” The idea of proof by
mathematical induction answers this question in a particular way. It tells us that we
have to find some well-founded ordering of the elements of X and then proceed in
a prescribed fashion: one shows the statement for the minimal elements and then
proceeds to greater elements in the ordering. The trick is that the strategy ensures

that only finitely many steps of the proof are needed in order to conclude that the
statement holds for all elements of X”.

Tóm lại, phương pháp suy luận quy nạp là một phương pháp tư duy dùng
để tìm tòi, dự đoán các kết luận mới, không là một chứng minh chặt chẽ. Suy
luận quy nạp hoàn toàn là một phương pháp chứng minh các tính chất của một
tập hữu hạn và luôn cho kết luận đúng. Kết luận của suy luận quy nạp hoàn
toàn chỉ khái quát được những trường hợp đã biết, chứ không đề cập đến các
trường hợp chưa biết. Vì thế, suy luận quy nạp hoàn toàn tuy đầy đủ, chắc
chắn nhưng nó không mang lại điều gì mới so với những điều nêu ra trong tiền
đề. Suy luận quy nạp không hoàn toàn có thể dẫn đến kết luận đúng hoặc sai.
Trong suy luận quy nạp không hoàn toàn, tập hợp đang xét thường là tập hợp
vô hạn, do vậy không thể là suy luận quy nạp hoàn toàn được.


- 12 I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học
Theo G.Polia ([15], tr.5) định nghĩa nguyên lý quy nạp như sau:
Về giả thuyết chỉ cần biết hai điều:
•

Nó đúng với n = 1;

•

Nếu nó đúng đối với n thì cũng đúng cả đối với n + 1.
Khi đó giả thuyết đúng đối với tất cả các số nguyên dương n: nó đúng
với 1, vậy cũng đúng với 2; nó đúng với 2, vậy cũng đúng với 3;…Ở
đây có một biện pháp chứng minh vô cùng quan trọng, ta có thể gọi nó
là “sự chuyển từ n sang n + 1”, nhưng thường thường người ta gọi nó
là “phương pháp quy nạp toán học”.

PPQNTH là một phương pháp chứng minh chặt chẽ trong toán học, sử

dụng nguyên lý quy nạp nhằm chứng minh các hàm mệnh đề A(n) đúng với
mọi số tự nhiên n (hoặc tổng quát hơn, với mọi phần tử thuộc một tập hợp vô
hạn đếm được). PPQNTH không phải là phương pháp suy luận quy nạp.
Theo G.Polia thì “PPQNTH là một tên gọi rất không đạt của một phép
chứng minh” và theo ông thì “Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quan
hệ hợp tác với suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: PPQNTH là một
phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minh
các mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trình
suy luận quy nạp không hoàn toàn nào đó”.
Tóm lại, suy diễn là loại suy luận trong đó tư tưởng đi từ nguyên lý chung
đến kết luận riêng biệt. Suy luận quy nạp là suy luận mà trong đó tư tưởng đi từ
hiểu biết riêng biệt, cụ thể đến nguyên lý chung. Còn PPQNTH là phép suy luận đặc
biệt trong đó mệnh đề cần chứng minh có thể được dự đoán từ một suy luận quy
nạp.
Chúng tôi sẽ điểm qua một vài thời điểm tiến triển lịch sử của PPQNTH
trong đoạn tiếp theo.


- 13 I.2 Điểm qua vài nét lịch sử về PPQNTH
Trong toán học, PPQNTH được xem là một phương pháp chứng minh
nhiều khẳng định liên quan đến tập vô hạn đếm được, có dạng hàm mệnh đề:
“A(n), ∀ n ≥ k; n, k ∈ N”. Chúng tôi chia lịch sử PPQNTH thành hai giai
đoạn phát triển với các quan niệm khác nhau: giai đoạn chưa có định nghĩa
số tự nhiên N và giai đoạn có định nghĩa số tự nhiên N.
I.2.1

Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước thế kỷ XIX)
a. Lý luận bằng tính chất giảm vô hạn của Fermat (1621)

Theo nghiên cứu của V.Battie (2003): Fermat đã khám phá ra tính

chất giảm vô hạn khi chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông
Pythagoras(6) có diện tích là một số chính phương”. Trong chứng minh của
mình Fermat sử dụng phép chứng minh phản chứng theo tiến trình sau: Giả
sử tồn tại tam giác thỏa điều kiện → luôn chỉ ra được một tam giác thỏa
mãn: có cạnh huyền nhỏ nghiêm ngặt hơn cạnh huyền của tam giác ban đầu

→ mâu thuẫn với tính chất: mọi dãy giảm nghiêm ngặt các số tự nhiên đều
hữu hạn. V.Battie hình thức hóa phương pháp này như sau: […] Cho tập hợp
S, t : S → N là một ánh xạ. Ta giả sử rằng với mọi phần tử x của S, tồn tại y
trong S sao cho t(y) < t(x). Ta kết luận rằng S = ∅ (V.Battie [17], tr.37).
Tính chất giảm vô hạn chính là một phát biểu tương đương của tính sắp thứ
tự tốt(7) của N - tính chất cơ sở của PPQNTH. Chúng ta có thể tìm thấy trong
nghiên cứu của V.Battie chứng minh bài toán “Không tồn tại tam giác vuông
Pythagoras có diện tích là một số chính phương” bằng một lý luận tương
đương mà thực chất là phép phủ định của PPQNTH.
Tóm lại, phương pháp dựa trên tính chất giảm vô hạn của Fermat
hoàn toàn tương đương với PPQNTH. Nói cách khác, nếu ta dùng tính giảm
(6)
(7)

Tam giác vuông Pythagoras–Các cạnh của tam giác vuông này đều là số nguyên.
Tính sắp thứ tự tốt–Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất.
Thật vậy, giả sử X là một tập hợp không rỗng của những số tự nhiên và X không có phần tử nhỏ nhất.
Gọi B là một tập hợp các số tự nhiên xác định bởi: ∀n ∈ N , n ∈ B và ∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X . Ta thấy 0 ∈ B , vì
nếu không thì số 0 sẽ là số nhỏ nhất trong X, điều này trái với giả thiết đã nêu ở trên.
Giả sử

n∈B

ta có

∀m ∈ N , m ≤ n ⇒ m ∉ X , như vậy

n + 1∉ X , vì nếu không thì n + 1 sẽ là số nhỏ nhất trong X

trái với giả thiết.
Theo tiên đề quy nạp toán học ta có với mọi số tự nhiên thuộc B, thì X là tập hợp rỗng (vô lý).


- 14 vô hạn để chứng minh rằng một mệnh đề nào đó liên quan đến các số nguyên
dương là không thể xảy ra thì tương đương với việc mệnh đề phủ định của nó
thỏa mãn một tập vô hạn các số nguyên dương. Tuy nhiên, trong giảng dạy
toán ở THPT hiện nay chỉ có PPQNTH được chọn.
b. Chứng minh bằng nguyên lý quy nạp toán học của Pascal( 8)
(1653)
Nguyên lý quy nạp toán học được Pascal sử dụng lần đầu tiên trong
sách chuyên luận về tam giác số học (ngày nay chúng ta gọi là tam giác
Pascal). Tam giác Pascal là một bảng hai chiều mà thuật toán xây dựng bảng
này cho phép dễ dàng tính toán số tổ hợp Cnr+1 căn cứ vào công thức truy hồi:
n
0
với mọi n ∈ N, C=
C=
1 và với mọi n và r khác không với r < n ta có
n
n

Cnr+1 = Cnr −1 + Cnr .

n; r

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10 10

5

1

6

1

6

15 20 15

6

1

7

1

7

21 35 35 21

7

1

8

1

8

28 56 70 56 28

8

1

9

1

9

36 84 126 126 84 36

9

1

10

1

10

45 120 210 252 210 120 45

10

10

1

Khi ta tính một hệ số trong tam giác Pascal, ta phải áp dụng quy tắc
truy hồi bằng cách dựa vào hai số đã tìm được ở cạnh đáy trên. Phép tính như
vậy dựa vào công thức tường minh mà ngày nay chúng ta có thể viết như sau:
(8)

Blaise Pascal–nhà Toán học Pháp (1623-1662)


- 15 Cnr =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
. Trong các tài liệu lịch sử chúng tôi tham khảo,
1.2.3....r

không cho biết Pascal đã làm như thế nào để rút ra quy tắc đó và chúng ta có
thể giả định rằng ông đã rút ra nó từ suy luận quy nạp trên các trường hợp
đặc biệt. Tuy nhiên, điều quan trọng là Pascal đã đưa ra một cách chứng
minh xuất sắc cho quy luật của mình, bằng ngôn ngữ hiện đại, người ta mô tả
lại phương pháp chứng minh của Pascal như sau:
Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong
trường hợp r=0. Tuy vậy, ta quy ước rằng khi r=0: Cn0 = 1 . Trường hợp r=n
thì công thức không mất ý nghĩa và ta có: Cnn =

n(n − 1)(n − 2)...2.1
đó là một
1.2.3....(n − 1)n

kết quả đúng. Như vậy, ta chỉ cần chứng minh công thức chỉ đối với 0tức là ở bên trong tam giác Pascal, ở đó công thức truy hồi có thể chứng
minh được.
Mặc dù mệnh đề đang xét có trong vô số trường hợp riêng, ta có thể
chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề:
• Bổ đề thứ nhất khẳng định rằng mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất
(hiển nhiên).
• Bổ đề thứ hai khẳng định như sau: nếu mệnh đề đúng với một đáy
tùy ý (đối với giá trị r=n tùy ý) thì sẽ đúng cả với đáy tiếp theo của nó
(đối với r=n+1).
Từ hai bổ đề đó, suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề với mọi giá trị
của n. Thật vậy, do bổ đề thứ nhất mệnh đề đúng với n=1, theo bổ đề thứ hai
nó đúng với n=2, và tiếp tục theo bổ đề thứ hai nó đúng với n=3, … và tới vô
hạn.
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh bổ đề thứ hai. Theo cách phát biểu
của bổ đề đó, ta giả thiết rằng công thức của ta đúng với đáy thứ n, nghĩa là

đối với giá trị tùy ý của n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với
r=1,2,…,n). Đặc biệt, đồng thời với cách viết:

Cnr =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 1)
1.2.3...r


- 16 Ta cũng có thể viết (với r ≥ 1 ):

Cnr −1 =

n(n − 1)(n − 2)...(n − r + 2)
1.2.3...(r − 1)

Cộng hai đẳng thức đó và áp dụng công thức truy hồi ta được:

n(n − 1)...(n − r + 2)  n − r + 1 
.
Cnr+1 =Cnr + Cnr −1 =
+ 1
1.2....(r − 1)
r


=

n(n − 1)...(n − r + 2) n + 1 ( n + 1) n( n − 1)...( n − r + 2)
=

.
1.2.3...r
1.2...(r − 1)
r

Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị
n nào đó kéo theo tính chất đúng đắn của nó với n+1, chính điều này được
khẳng định trong bổ đề thứ hai. Như vậy ta đã chứng minh được công thức
đó.
Tóm lại, những điều nói trên cho thấy chứng minh của Pascal là sự
vận dụng lần đầu tiên một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, về sau
chúng ta gọi đó là PPQNTH. PPQNTH được Pascal sử dụng để chứng minh
các công thức liên quan đến phép đếm số tổ hợp. Công thức này phụ thuộc
vào số tự nhiên n, có thể phát biểu như một hàm mệnh đề A(n), ∀ n ≥ k;
n, k ∈ N.
c. Phương pháp quy nạp thực nghiệm của Bernoulli(9) (1713)
Bernoulli và Laplace(10) là một trong những nhà toán học đầu tiên đặt
nền móng cho việc nghiên cứu xác suất. Sau khi định nghĩa khái niệm biến
ngẫu nhiên (từ sự ngẫu nhiên trong trò chơi gieo súc sắc), Bernoulli đã
nghiên cứu một phép thử nhẫu nhiên, trong đó một biến ngẫu nhiên chỉ có
một trong hai kết quả loại trừ lẫn nhau: kết quả thứ nhất được gọi là thành
công (chúng ta có thể gán giá trị biến là 1) có xác suất p, kết quả còn lại được
gọi là thất bại (gán giá trị biến là 0) có xác suất sẽ là q = 1 – p. Ông đã phát
minh ra một luật phân phối xác suất nổi tiếng mà ngày nay ta gọi là phân
phối nhị thức để tính xác suất của k lần thành công trong n lần thử
Prob{B=k}=C n kpkqn-k. Bernoulli đã không sử dụng PPQNTH một cách đầy
(9)
(10)

Johann Bernoulli–nhà Toán học Thụy Sỹ (1667–1784)

Pierre-Simon Laplace–nhà toán học và nhà thiên văn học người Pháp (23 tháng 3 năm 1749 – 5 tháng 3 năm 1827)


- 17 đủ như Pascal, ông chỉ ra một số trường hợp cụ thể khi chuyển từ n sang
n+1.
PPQNTH trong trường hợp của Bernoulli cho thấy phương pháp
chứng minh này chưa được trình bày tường minh trong cộng đồng các nhà
toán học lúc bấy giờ. Nói cách khác nó chưa phát triển thành một khái niệm
toán học nhưng chỉ đang tồn tại ở giai đoạn cận toán học.

I.2.2 Giai đoạn sau khi đã định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N
(Thế kỷ XIX)
Dãy số tự nhiên 0, 1, 2,... không có số tận cùng. Thật vậy, nếu có một
số tự nhiên n nào đó, thì ngay sau nó đã có thể viết số tự nhiên n+1. Ta nói
rằng đó là một tập hợp vô hạn. Việc chuyển từng bước liên tiếp từ n đến n+1
để sinh ra dãy số tự nhiên vô hạn là cơ sở của một trong những lập luận quan
trọng nhất và điển hình nhất của toán học – nguyên lý quy nạp toán học.
Khoảng cuối thế kỷ XIX, PPQNTH bắt đầu được định nghĩa và sử
dụng một cách tường minh nhờ vào sự định nghĩa chính thức tập hợp số tự
nhiên N. Chúng ta không thể phủ nhận rằng chính nhờ việc sử dụng
PPQNTH trong những chứng minh cụ thể, chẳng hạn của Fermat, Pascal hay
Bernoulli… đã chỉ ra các tính chất đặc trưng của tập hợp N – các tính chất sẽ
được sử dụng để định nghĩa tập hợp các số tự nhiên.
a. Hoàn thiện hệ thống số thực của Dedekind(11) (1888)
Bằng phương pháp tiên đề Dedekind định nghĩa tập hợp N độc lập với
Peano (1889) với mục đích hoàn thiện hệ thống số thực mà ông đã xây dựng
bằng nhát cắt trên Q vào năm 1872. Từ đó Dedekind định nghĩa chính thức
nguyên lý quy nạp bao gồm việc chứng minh hai điểm sau đây cho một tính
chất dựa trên mọi số tự nhiên:

(11)

Richard Dedekind–nhà Toán học Đức (1831–1916)


- 18 • Tính chất P thỏa bởi số 1;
• Nếu tính chất P thỏa bởi một số tự nhiên n nào đó thì nó cũng phải
thỏa với số tự nhiên liền kề, nghĩa là số tự nhiên n+1.
Nếu hai điểm trên được hợp thức ta kết luận rằng tính chất P đúng với
mọi số tự nhiên. Đến đây người ta có thể hình thức hóa phương pháp này
như sau:
P1
∀n( Pn ⇒ Pn+1 )
∀n.Pn

Điều đó làm cho tiên đề của PPQNTH là một tiên đề rất khác biệt
với các tiên đề khác chi phối các số tự nhiên. Trong lý thuyết tập hợp nguyên
tắc này không phải là một tiên đề, trong trường hợp này n + 1 là sự kế thừa
của n. Ngày nay, PPQNTH được tiến triển thành nhiều hình thức tương
đương để thuận tiện sử dụng trong các trường hợp khác nhau của nhu cầu
chứng minh.
b. Định nghĩa N bằng hệ tiên đề của Peano(12) (1889)
Peano định nghĩa tập hợp số tự nhiên N bằng hệ thống tiên đề sau đây:
i. 1 là một số tự nhiên;
ii. Mọi số tự nhiên n đều có số “liền sau”, số đó cũng là số tự nhiên
được kí hiệu là n+1. Khi đó n gọi là số “liền trước” số n+1, số liền
trước số n kí hiệu là n – 1.
iii. Số 1 không phải là số liền sau của bất cứ số tự nhiên nào;
iv. Hai số tự nhiên có cùng số liền sau thì bằng nhau;
v. Nếu một tập hợp X các số (tự nhiên) có chứa số 1 và chứa số k tùy

ý và chứa cả k+1 thì X=N. (Tiên đề quy nạp)
Trong lịch sử phát triển của số học, tập số tự nhiên được coi là
gồm cả số “không” (kí hiệu là 0), khi đó số 0 là số tự nhiên đầu tiên. Nếu
0 ∈ X và ( k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X ) thì mọi số tự nhiên ở trong X. Tiên đề quy

nạp toán học trên đây chính là cách phát biểu toán học cho nhận xét sau đây:

(12)

Josseppe Peano-nhà Toán học Ý (1858 – 1932)


- 19 vì 0 ∈ X nên số tiếp theo sau của 0 cũng thuộc X, tức là 1∈ X , như vậy ta
cũng suy luận số tiếp theo sau của 1 cũng thuộc X, tức là 2 ∈ X ,... bằng cách
lập luận tương tự ta cũng có 3 ∈ X , 4 ∈ X ,...nhưng chúng ta không thể lập
luận như thế đến vô hạn lần được.
Tiên đề (i) cho thấy N ≠ ∅ , vì 0 ∈ N. Tiên đề (ii) tồn tại số liền sau
của số 0 và số đó là duy nhất, là số 1. Lại theo tiên đề (ii) tồn tại số liền sau
duy nhất của số 1, là số 2,…khi đó chúng ta thấy hình ảnh của tập hợp số tự
nhiên là N ={0; 1; 2; 3;…}.

I.3 Các hình thức của nguyên lý quy nạp toán học
I.3.1 Hình thức cổ điển của phương pháp quy nạp toán học
Chúng tôi gọi là hình thức cổ điển vì nó không khác biệt nhiều so với nguyên
lý quy nạp mà Pascal đã sử dụng.
Cho một khẳng định A(n) xác định với n ∈ N. Khi đó:
 A(0)
⇒ ∀n ∈ N , A(n)

 A(k ) ⇒ A(k + 1)

Tổng quát
Cho p là một số nguyên dương và A(n) là một mệnh đề xác định với
n ∈ N, n ≥ p.
Nếu:
i. A(p) là đúng và
ii. Nếu A(k) đúng thì A(k+1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k ≥ p
thì A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p.
Nguyên lý này được viết dưới dạng
A(p)

(mệnh đề cơ sở)

A(k) ⇒ A(k+1), k ≥ p

(mệnh đề quy nạp)

A(n), ∀ n ≥ p

(mệnh đề kết luận)

Chú ý Nguyên lý quy nạp dạng cổ điển tương đương với tính sắp thứ tự tốt.
(Chứng minh xem phần phụ lục 2)