nhiệt động lực học của plasma ở trạng thái kết tinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
0

PHAN CÔNG THÀNH

NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA
PLASMA
Ở TRẠNG THÁI KẾT TINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

0

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

PHAN CÔNG THÀNH

NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA
PLASMA
Ở TRẠNG THÁI KẾT TINH
Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN
VÀ NĂNG LƯỢNG CAO
Mã số: 60 44 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐỖ XUÂN HỘI

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


LỜI CẢM ƠN
Với lòng kính trọng và biết ơn tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân
thành tới:
Phòng Khoa học công nghệ và sau đại học, khoa Vật lý trường Đại học Sư
phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn này.
Các thầy đã giúp tôi tiếp cận kiến thức khoa học trong suốt quá trình học tập.

Tiến sĩ Đỗ Xuân Hội, người thầy kính mến đã nhiệt tình hướng dẫn tôi
trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi thực sự đã học tập được nhiều
điều bổ ích trong quá trình làm việc với thầy.
Vợ và con gái yêu quý đã luôn động viên và dành cho tôi những tình cảm
yêu quý nhất.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 24 tháng 9 năm 2011
Học viên thực hiện

Phan Công Thành
report fake


MỤC LỤC
Phần A. MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 6
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................................... 6
2. Mục đích đề tài nghiên cứu .......................................................................................... 6

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................ 7
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu .................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................................... 7
6. Cấu trúc luận văn ........................................................................................................... 8

Phần B. NỘI DUNG LUẬN VĂN.............................................................................. 9
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................................... 9
1.1.
Mô hình plasma một thành phần............................................................................ 9
1.2.
Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm .......................................... 10
1.2.1.Thế màn chắn ...................................................................................................... 10
1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm .................................................................................... 10
1.2.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom........... 15

Chương 2. THẾ MÀN CHẮN TRONG MÔI TRƯỜNG ......................................... 17
2.1. Lịch sử ...................................................................................................................... 17
2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma................................................................................. 17
2.1.2. Phương pháp tham số hóa cực trị địa phương [1] .............................................. 17
2.1.3. Phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch dùng phần mềm tính toán ..... 19
2.2. Tìm thế màn chắn nhờ phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch ................. 20
2.2.1. Tìm lại thế màn chắn cho OCP ứng với một số giá trị tham số tương liên ....... 20
2.2.1.1. Quy trình xác định biểu thức thế màn chắn ................................................ 20
2.2.1.2. Bậc của thế màn chắn ................................................................................. 22
2.2.1.3. Đánh giá sai số của biểu thức hàm phân bố xuyên tâm thu được ............... 22
2.2.2. Ngoại suy thế màn chắn với Γ >160 .................................................................. 30
2.2.2.1. Lịch sử ........................................................................................................ 30
2.2.2.2. Ngoại suy thế màn chắn trong công trình này ............................................ 32
2.2.2.3. Đánh giá độ tin cậy của công thức 2.11 và số liệu bảng 2.8 xác định thế
màn chắn .................................................................................................................. 42

2.2.2.3.1. Đánh giá sai số của hàm phân bố xuyên tâm ....................................... 42
2.2.2.3.2. Đánh giá định tính mối tương quan giữa các thế màn chắn ngoại suy và
dữ liệu mô phỏng Monte Carlo ............................................................................ 45
2.2.2.3.3. Đánh giá định tính mối tương quan tại cực đại thứ nhất của hàm phân
bố xuyên tâm ........................................................................................................ 47
2.3. Tính tuyến tính của thế màn chắn ............................................................................. 49

TÓM TẮT CHƯƠNG 2 ............................................................................................ 59
Chương 3. NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA PLASMA ........................................... 63
3.1. Các đại lượng nhiệt động học trong plasma OCP [4] ............................................... 63
3.2. Thế màn chắn trong mạng tinh thể lập phương tâm khối ......................................... 65
3.3. Mối tương quan giữa thế màn chắn của plasma lưu chất và thế màn chắn trong
mạng tinh thể lập phương tâm khối ................................................................................. 67
3.4. Điểm kết tinh của plasma OCP ................................................................................. 69
3.5. Nội năng và nhiệt dung riêng của plasma OCP ........................................................ 73
3.5.1. Nội năng của plasma .......................................................................................... 73
3.5.2. Nhiệt dung đẳng tích của plasma ....................................................................... 74
3.5.3. Phần dư nội năng cho một ion u ........................................................................ 75


KẾT LUẬN ............................................................................................................... 76
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................... 77


Phần A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Những nghiên cứu trong vật lý về vật chất ở trạng thái plasma, tạo những
kiến thức nền tảng cho việc xây dựng công nghệ tổng hợp hạt nhân có điều khiển,
đang là những nghiên cứu có tính thời sự cao trên thế giới nhằm hướng đến làm chủ
nguồn năng lượng từ phản ứng tổng hợp hạt nhân. Đồng thời, những kiến thức về

plasma cũng quan trọng trong vật lý thiên văn khi nghiên cứu sao lùn trắng và sao
nơtron.
Ở Việt Nam, việc nghiên cứu và phổ biến kiến thức về vật lý plasma chưa
nhiều. Do vậy việc tìm hiểu và nghiên cứu về trạng thái thứ tư này của vật chất là
không phải là công việc ít ý nghĩa.
Một cản trở lớn là mặc dù phần lớn vật chất trong vũ trụ này tồn tại ở trạng
thái iôn hóa hoàn toàn của plasma nhưng việc tạo ra các phản ứng tổng hợp hạt
nhân trong plasma trong các phòng thí nghiệm trên Trái đất hiện nay không phải là
điều dễ dàng. Do vậy, nhiều thông số của plasma thu được là nhờ tính toán mô
phỏng trên máy tính, rồi thông qua việc xử lý các số liệu thực nghiệm ảo đó, các
nhà nghiên cứu rút ra những quy luật chi phối loại vật chất này. Một điều may mắn
cho những nghiên cứu từ Việt Nam là có thể tiếp cận các số liệu mô phỏng đó cũng
như những kết quả nghiên cứu được cập nhật trên thế giới.
Về plasma OCP liên kết mạnh ở trạng thái cân bằng lưu chất - tinh thể,
những nghiên cứu trước đây chỉ ra rằng quá trình kết tinh bắt đầu xảy ra khi hệ số
tương liên Γ =172 , tuy nhiên những kết quả gần đây cho thấy hệ số tương liên
tương ứng phải là 175. Do nguyên nhân đó, tồn tại nhu cầu xác định các đặc trưng
nhiệt động lực của plasma trong trạng thái chuyển pha ứng với Γ =175 . Đồng thời,
các giá trị của thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm tại điểm chuyển pha, cũng
như một số tính chất của các hàm nhiệt động lực cũng cần được xác định.Vì vậy, đề
tài ”Nhiệt động lực học của plasma ở trạng thái kết tinh” được lựa chọn để
nghiên cứu trong khuôn khổ luận văn này.
2. Mục đích đề tài nghiên cứu


Đề tài này được nghiên cứu nhằm đưa ra một biểu thức giải tích cho thế màn
chắn trong plasma ở trạng thái kết tinh ứng với hệ số tương liên Γ =175 và đề xuất
các hệ thức biểu thị các đặc trưng nhiệt động lực của hệ plasma này.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

- Plasma một thành phần (OCP - One Component Plasma) cổ điển ở trạng
thái cân bằng lưu chất - tinh thể.
3.2. Phạm vi nghiên cứu:
- Thế màn chắn trong plasma OCP ở trạng thái cân bằng lưu chất - tinh thể.
- Một số đặc trưng nhiệt động lực của hệ plasma ở trạng thái kết tinh.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
4.1. Ý nghĩa khoa học
- Đề tài này dựa trên dữ liệu mô phỏng Monte Carlo – MC – của hàm phân
bố xuyên tâm của một số plasma OCP đậm đặc để tìm thế màn chắn của các plasma
đậm đặc khác, đặc biệt là khai triển phương pháp ngoại suy thế màn chắn của các
plasma có tham số tương liên lớn nhằm mục đích so sánh với các giá trị đề nghị của
các công trình đã có [10, 5].
- Trình bày rõ hơn một số khái niệm cơ bản của nhiệt động lực học của
plasma nhờ các biểu thức giải tích trong công trình [9].
4.2. Ý nghĩa thực tiễn
Đề tài này có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành vật lý
có học Vật lý Thống kê, để có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương
tác hệ nhiều hạt, cũng nhằm cung cấp một tư liệu nghiên cứu hữu ích cho những
nghiên cứu về trạng thái plasma đậm đặc của vật chất.
Với bản thân người thực hiện đề tài, tôi có cơ hội học tập phương pháp
nghiên cứu khoa học, học cách xử lí dữ liệu, và tìm hiểu thêm về chương trình
Mathematica dùng để xử lý dữ liệu Monte Carlo.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp lý thuyết:


- Nghiên cứu lý thuyết về thế màn chắn và định lí Widom để xây dựng biểu
thức của thế màn chắn với độ chính xác cao.
- Dùng phần mềm Mathematica xử lý các số liệu mô phỏng Monte Carlo.
6. Cấu trúc luận văn

Chương 1. Các khái niệm cơ bản
Trình bày mô hình plasma một thành phần, khái niệm thế màn chắn và hàm
phân bố xuyên tâm trong plasma. Thế màn chắn trong tinh thể lập phương tâm khối.
Chương 2. Thế màn chắn trong môi trường plasma đậm đặc
Dựa trên dữ liệu mô phỏng Monte Carlo – MC – của hàm phân bố xuyên tâm
của một số plasma OCP đậm đặc để tìm các biểu thức thế màn chắn của các plasma
này với độ chính xác cao. Trên cơ sở đó xây dựng công thức xác định thế màn chắn
cho mọi plasma lưu chất có tham số tương liên Γ > 20. Từ đó, ta sẽ suy ra được thế
màn chắn của plasma ở trạng thái kết tinh.
Chương 3. Các đặc trưng nhiệt động lực học
Dựa vào các biểu thức fit hàm năng lượng tự do trong công trình [9], tìm các
đặc trưng nhiệt động lực học của plasma OCP như nội năng, áp suất, nhiệt dung đẳng
áp.
Kết luận chung của luận văn.


Phần B. NỘI DUNG LUẬN VĂN
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Những khái niệm cơ bản trong vật lý plasma được trình bày trong chương
này chủ yếu dựa theo từ tài liệu [4].
1.1. Mô hình plasma một thành phần
Plasma một thành phần cổ điển ở trạng thái cân bằng gồm các ion điện tích
dương chuyển động trong biển electron coi như phân bố liên tục có số hạt ion N,
thể tích V của bình chứa và nhiệt độ T xác định.
Các plasma thường được phân loại ra làm plasma liên kết mạnh hoặc plasma
liên kết yếu tùy theo tỷ số giữa thế năng tương tác Coulomb với năng lượng chuyển
động nhiệt. Việc phân loại này được định lượng bằng cách đưa vào các khái niệm
khối cầu ion và tham số tương liên như sau:
Xét một ion bất kì của plasma, có điện tích Ze, và tạo ra một khối cầu chứa
các điện tích âm vừa đủ để trung hòa điện tích dương của ion trên. Như vậy, nếu

gọi ρ =

N
là mật độ ion của khối plasma đang xét, a là bán kính của khối cầu ion
V

 4πρ 
được tính a = 

 3 

−1/3

. Trong vật lý plasma, năng lượng chuyển động nhiệt được

quy ước bằng kT . Tham số tương liên của plasma được định nghĩa Γ =

( Ze) 2
là tỉ
akT

số giữa năng lượng tương tác Coulomb trung bình và năng lượng chuyển động
nhiệt trung bình.
Khi Γ >> 1 , tức năng lượng Coulomb rất lớn hơn chuyển động nhiệt, trạng
thái plasma gần với trạng thái rắn. Ngược lại, nếu Γ << 1 , chuyển động nhiệt hỗn
loạn chiếm ưu thế, plasma ở trạng thái của khí lý tưởng. Còn khi Γ có giá trị trung
gian, plasma có tính chất của lưu chất. Giá trị của tham số tương liên tại đó xảy ra
sự chuyển pha lưu chất – tinh thể nhận được sự quan tâm của nhiều công trình
nghiên cứu về plasma. Các giá trị từng được công bố lần lượt là Γ =172 [11],
Γ =175 [12], Γ =178 [9] – trong đó giá trị Γ=175±0.4 [12] được thừa nhận là giá trị

chính xác nhất hiện nay. Trong luận văn này, một trong các nhiệm vụ được đặt ra là
xác định thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm ở các giá trị trên.
1.2. Khái niệm thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm
1.2.1.Thế màn chắn
Đối với hệ nhiều hạt, để tính thế năng tương tác hiệu dụng giữa hai ion nào
đó của hệ, ta phải tính đến tác dụng của môi trường xung quanh, tác dụng này được
đặc trưng bởi một đại lượng gọi là thế màn chắn, kí hiệu H(R) với R là khoảng cách
liên ion. Hai ion này sẽ chuyển động trong trường thế hiệu dụng:
U=
( R)

( Ze )
R

2

− H ( R) ,

(1.1)

( Ze ) , ta viết :
R
hoặc nếu tính theo đơn vị r = và
a
a
2

U (r )=

1
− H (r ) .
r

(1.2)

1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm
Hàm phân bố xuyên tâm cho biết tương tác giữa một ion và các ion lân cận,
được định nghĩa dưới đây.
Nếu gọi u(r ij ) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong N ion của
plasma, thế năng toàn phần của hệ là
N
 

U ≡ U(r1 , r2 ,..., rn ) =
∑ u(rij )

(1.3)

i< j





Xác suất tìm thấy ion 1 trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion 2 trong





dr2 tại vị trí r2 ,…, ion N ở trong drN tại vị trí rN không phụ thuộc vận tốc mỗi hạt

là
1 − βU   
e dr1dr2 ...drN
Q

(1.4)

với Q là tích phân cấu hình: Q = ∫
V

1 − βU   
e dr1dr2 ...drN
Q






Xác suất để ion 1 được tìm thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , hạt








2 trong dr2 tại vị trí r2 ,…hạt n trong drn tại vị trí rn là

   1

   
P ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =  ∫ e − βU drn +1...drN  dr1...drn ;
Q V


P(

n)







1



( r1 ,..., rn ) = ∫ e− βU drn+1...drN
Q

(1.5)

V









Ta gọi ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn là xác suất để có một ion nào đó (không nhất thiết




là ion 1) được tìm thấy trong thể tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 , ion khác thứ hai








trong dr2 tại vị trí r2 …ion khác thứ n trong drn tại vị trí rn .










N!
1

   
×  ∫ e − βU drn +1...drN  dr1...drn
( N − n)! Q V




=
ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr
1 ...drn

N!


P ( n ) ( r1 ,..., rn ) .
( N − n)!

ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) =



(1.6)



Từ định nghĩa trên thì ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một trong những ion của hệ




được tìm thấy trong thể tích nguyên tố dr1 và vì mọi điểm r1 trong thể tích V tương






đương nhau ( ρ (1) ( r1 ) dr1 độc lập với r1 ) nên:
1
N

1)
ρ (1) dr=
ρ (=
= ρ
1
∫
VV
V
 

(1.7)

 



Ta có ρ ( 2) ( r1 , r2 ) dr1dr2 là xác suất để một ion ở trong dr1 và một ion khác ở


trong dr2 , và do ρ ( 2) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r 12 giữa hai ion nên:
 

ρ ( 2) ( r1 , r2 ) = ρ ( 2) ( r12 )

và
 

( )  
dr ∫ ρ ( ) ( r )=
dr
∫ ρ ( r , r ) dr=
2

2

1

V

2

1

2

12

12

N ( N − 1) .

(1.8)

V

Vì sự phân bố các ion trong plasma là hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất để ion


thứ i nằm trong dri , i=1,2,3,…,n là:

 
dr1 dr2 drn
1

  
n
n
...
= P ( ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn và P ( ) = n
V
V V
V

nên (1.6) trở thành:
N!
N!
1
.
=
ρn n
n
V ( N − n)!
N ( N − n)!

=
ρ (n)



(1.9)



Ta thấy ρ (1) ( r1 ) dr1 là xác suất để một ion của hệ được tìm thấy trong thể




tích nguyên tố dr1 tại vị trí r1 . Nếu xác suất này độc lập với xác suất tìm thấy ion




thứ hai trong thể tích nguyên tố dr2 tại vị trí r2 ,…, với xác suất tìm thấy ion thứ n






trong drn tại vị trí rn thì ta có xác suất để 1 ion ở trong dr1 , một ion khác ở trong


dr2 ,…, một ion khác thứ n ở trong drn là:




















ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) dr1...drn =  ρ (1) ( r1 ) dr1   ρ (1) ( r2 ) dr2  ...  ρ (1) ( rn ) drn 

(1.10)

Ngược lại khi có sự tương quan giữa một ion này và một ion khác tức là n




xác suất trên không độc lập với nhau, vậy ta sẽ đưa vào hàm g ( n ) ( r1 ,..., rn ) vì hàm




này cho biết mức độ mà ρ ( n ) lệch khỏi giá trị của nó khi các xác suất ρ (1) ( ri ) dri độc
lập với nhau. Hàm g ( n ) được định nghĩa như sau:














ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ (1) ( r1 ) ρ (1) ( r2 ) ...ρ (1) ( rn ) g ( n ) ( r1 ,..., rn )

(1.11)



Mọi điểm ri trong thể tích V đều tương đương nhau trong plasma lưu chất,






ρ (1) ( r1 )= ρ (1) ( r2 )= ...= ρ (1) ( rn )= ρ

tức là:
(1.11) được viết lại:









ρ ( n ) ( r1 ,..., rn ) = ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn )

với ρ =

(1.12)

N
là mật độ ion trong plasma.
V

Từ (1.6) và (1.12) ta rút ra mối quan hệ giữa P(n) và g(n) như sau:




ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =

N!


P ( n ) ( r1 ,..., rn )
( N − n)!

(1.13)

thế kết quả của ρ n từ (1.10) ta có:




ρ n g ( n ) ( r1 ,..., rn ) =

∫e

N! V
( N − n)!

−

U
kT



drn +1...drN
Q

.

(1.14)


Bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là vấn đề liên quan tới
việc mở rộng các vạch quang phổ, đều cần nghiên cứu việc có hay không sự tương
tác giữa các ion với các ion lân cận gần nhất. Hay nói cách khác, cần biết xác suất
để hai ion, ký hiệu 1 và 2, có điện tích Z, cách nhau khoảng r 12 bất chấp sự có mặt
 



của các ion ở các vị trí ri , xác suất này là ρ ( 2) ( r1 , r2 ) .

Từ (1.14) ta có:
 

ρ 2 g ( 2) ( r1 , r2 ) =

∫e

−

N! V
( N − 2)!

U
kT

 
dr3 ...drN
Q

.

(1.15)

Cuối cùng ta thu được hàm phân bố xuyên tâm:
ρ 2 g ( r12 ) =

U
N ( N − 1) − kT
 
e

dr3 ...drN
∫
Q
V

(1.16)

với N đủ lớn.
U
V 2 − kT
 
g ( r12 ) =
e dr3 ...drN .
∫
QV

(1.17)

 
Bằng cách chuẩn hoá xác suất g(r2 − r1 )d3 r12 / V ta có được:

 
-βu
g(r2 -r1 ) = e 12

(1.18)

Sự hiểu biết giá trị hàm phân bố xuyên tâm đóng vai trò quan trọng trong
việc khảo sát thống kê của plasma, vì một phần là hàm này (cùng với trung bình
phần dư của năng lượng tự do) là đại lượng được tính toán trực tiếp từ phương pháp

Monte Carlo, các tính chất nhiệt động lực đều có thể tính được từ những tích phân
tính trên hàm g(r) này.
Hình 1.1 cho ta hình ảnh minh họa cho hàm phân bố xuyên tâm ở chất vô
định hình [17], ta có thể thấy tính chất phân bố các hạt qua sự biến thiên của hàm
phân bố xuyên tâm g(r) theo r thu được nhờ phương pháp tán xạ neutron hay tán xạ
tia X. Các mô phỏng Monte Carlo (MC) đối với mô hình plasma OCP cũng cho
những kết quả tương tự, có thể thấy trên Hình 1.2 [14], qua đây ta cũng nhận thấy
rằng hàm phân bố xuyên tâm g(r) giảm nhanh theo r và tăng theo Г của biên độ cực


đại đầu tiên, điều này có ý nghĩa rằng đối với những plasma có tham số tương liên
lớn, sự ổn định của các vị trí của các ion kế cận càng lớn, plasma có tính chất gần
vật rắn hơn. Cực đại đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm g max tại khoảng cách liên

Hàm phân bố
xuyên tâm

ion r max là các thông số quan trọng của plasma.

Hình 1.1 Đồ thị và mô hình hàm phân bố xuyên tâm của chất vô định hình.

Γ=160

Γ=80
Γ=40
Γ=20
Γ=10

Γ=1
Γ=3.17

Γ=5

Hình 1.2. Đồ thị dao động của g(r) với Γ =1,3.17,5, 10, 20, 40, 80, 160
cho bởi mô phỏng MC.


1.2.3. Liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm. Định lí Widom
Khi tính đến ảnh hưởng môi trường xung quanh trong plasma ta phải thay
thế u 12 trong biểu thức (1.18) bằng thế năng hiệu dụng
U=
( R)

( Ze )
R

2

− H ( R)

(1.19)

khi đó (1.18) trở thành:

g( R) = e -βU ( R ) .

(1.20)

Hay ta có thể viết liên hệ giữa thế màn chắn và hàm phân bố xuyên tâm như
sau:
 1


g=
(r ) exp  −Γ  − H (r )  

 r

(1.21)

suy ra:

H (r )=

1 ln g (r )
.
+
r
Γ

(1.22)

Vào năm 1963, Widom đã xác định dạng của thế màn chắn trong lưu chất,
được gọi là định lí Widom [13]:
“Trong lưu chất hay trong tinh thể, thế màn chắn là hàm chẵn, theo khoảng
cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ, được biểu thị
bởi một đa thức luân phiên đổi dấu”.
Dạng triển khai của thế màn chắn theo định lý Widom:
H (r ) = h0 − h1r 2 + h2 r 4 − ... + ( −1) hi r 2i
i

(1.23)

hay
H (=
r)

∑ ( −1) h r
i

i ≥0

i

2i

.

(1.24)

Các hệ số h i có vài đặc điểm sau:
 h0 = lim H ( r ) là số khuếch đại của phản ứng tổng hợp hai hạt nhân.
r →0

 Hệ số h 1 đã được Jancovici dùng vật lý thống kê xác định giá trị chính xác
và được đặt tên là hệ số Jancovici với h 1 = 0.25 [15].


 Các hệ số còn lại phụ thuộc vào plasma là liên kết mạnh hay liên kết yếu,
tức là ở trạng thái tinh thể hay lưu chất.
Các đặc điểm trên giúp ích cho ta rất nhiều trong việc tìm lại biểu thức giải
tích của thế màn chắn từ các số liệu thực nghiệm Monte Carlo.

Chương 2. THẾ MÀN CHẮN TRONG MÔI TRƯỜNG
PLASMA ĐẬM ĐẶC
Chương này gồm hai phần:
• điểm lại các công trình mô phỏng plasma và các công trình tìm biểu thức
thế màn chắn từ dữ liệu plasma.
• tìm lại biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao hơn để ngoại suy thế
màn chắn của plasma ở trạng thái kết tinh.
2.1. Lịch sử
2.1.1. Mô phỏng MC cho plasma
Sau đây là một số công trình thực hiện mô phỏng MC cho plasma:
• S. G. Brush, H. L. Sahlin, and E. Teller (1966).
• J. P. Hansen (1973).
• G. S. Stringfellow, H. E. DeWitt, and W. L. Slattery (1990).
• S. Ogata, H. Iyetomi, and S. Ichimaru (1991).
• H. E. DeWitt, W. L. Slattery, and G. Chabrier (1996) [14] – Dữ liệu dùng
để tính toán trong luận văn này là từ công trình này.
• H. E. DeWitt and W. Slattery (1998).
• L. R. Gasques et al (2005).
• B. Militzer, E. L. Pollock (2005), sử dụng phương pháp tích phân lộ trình
(path integral Mone Carlo – PIMC).
• A.I. Chugunov, H.E. DeWitt (2009), cho plasma hỗn hợp hai thành phần
(binary ionic mixtures – BIM).
Để tìm lại biểu thức của thế màn chắn từ giá trị số thu được bằng mô phỏng
Monte Carlo, có 2 phương pháp được áp dụng:
i. Phương pháp tham số hóa cực trị địa phương. [1]
ii. Phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch dùng các phần mềm máy
tính. [2], [3]
2.1.2. Phương pháp tham số hóa cực trị địa phương [1]

Trong phương pháp tham số hóa cực trị địa phương, thế màn chắn H(r) được
khai triển Taylor quanh rmax , là vị trí cực đại đầu tiên của hàm phân bố xuyên tâm

g r , g max theo công thức:
H (=
r)

1
rmax

1  d i H (r ) 
i
+δ + Σ 
 ( r − rmax )
i
i i!
 dr  rmax

δ=

với

(2.1)

1
ln g max
Γ

(2.2)

ta có thể viết biểu thức sau cho thế lực trung bình

V (r )=

1
− H (r )
r

(2.3)
2

3

4




1 
1 
1 
−δ + s2 1 −
V (r ) =
 + s3 1 −
 + s4  1 −
 + ....
 rmax 
 rmax 

 rmax 

(2.4)

tức là ta có thể xem V (r ) như là sự phân tích giếng thế đầu tiên ra làm thành phần
điều hòa và các thành phần phi điều hòa có bậc càng lúc càng lớn. Các hệ số si như
vậy được xem là các hằng số lực hồi phục.
Với Γ ∈ [5,160] , H(r) được khai triển thành đa thức bậc 12 và trong khoảng
liên ion rút gọn r ∈ [ 0, 2.72] (1)

H (=
r)

6

∑ (−1) h r
i

i =0
5

2i

(2.5)

i

hi = 10 −i ∑ aki (ln Γ )

k

(2.6)

k =0

Bảng 2.1 Hệ số ak của hệ thức (2.6).
i
a0

h0
0.93941272

h2
5.2320204

h3
3.8536724

h4
-3.9702897

h5
-5.913674

a1

0.15020451

-1.9219209

-2.1983999

3.6624614

4.688165

a2

-0.05213467 0.74824566

1.3351093

-0.0349498

0.41317297
0.01824933 1.2781992

a3

0.00722811 -0.12299562 -0.34885803

-0.4072925

-0.60623817

a4

-0.00029535 0.00714097

0.09171445

0.03991139

h6
-0.8109614

0.59130661
0.14227674 0.10430798


-9.84e-06

a5

4.63e-05

-0.00159617

-0.00604225

-0.0098322

0.00645724

Phương pháp tham số hóa cực trị địa phương cho biểu thức giải tích của hàm
phân bố xuyên tâm với sai số dưới 2×10-3 khi so với giá trị số Monte Carlo.
Thực ra, như phân tích ở mục 2.2.1.2 khoảng cách liên ion rút gọn tương

(1)

thích khoảng từ 1.1 đến 2.7
2.1.3. Phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch dùng phần mềm tính
toán
Với sự phát triển của các phần mềm hỗ trợ tính toán(2), việc tìm biểu thức
giải tích tương thích với dữ liệu số cho trước đã trở nên đơn giản hơn nhiều so với
phương pháp tham số hóa cực trị địa phương, tất cả công việc cần làm là nhập dữ
liệu số và câu lệnh tương ứng vào máy tính và máy tính sẽ đề nghị một biểu thức
tương hợp với dữ liệu số.
Công trình [2] và [3] đã áp dụng phương pháp này, tuy nhiên biểu thức thế
màn chắn được đề xuất có hệ số h 1 lệch khá xa so với hệ số Jancovici bằng 0.25,
điều này đồng thời dẫn đến hệ quả là sai số được ghi nhận của hàm phân bố xuyên
tâm thu được so với dữ liệu MC là lớn từ 2.5×10-3 đến 6.5×10-3 ứng với các tham số
tương liên khác nhau. Các hệ số thế màn chắn trong công thức (2.5) thu được trong
công trình [2] cho trong bảng 2.2.
Bảng 2.2. Các hệ số thế màn chắn trong công trình [2, 5]
Γ

h0

10h 1

102h 2

103h 3

104h 4

105h 5

106h 6

5

1.08391437

2.6946603

4.977341

7.074274

8.32420

6.4736

2.1851

10

1.09623968

2.6690265

4.825305

7.944035

0.124757

12.324

4.9656

20

1.09624268

2.6136473

4.206459

5.042091

5.57620

4.3830

1.4823

40

1.09010925

2.5710546

3.922861

3.924224

3.36560

2.3034

0.73980

80

1.08282686

2.5378261

3.724963

3.098720

1.76860

0.90140

0.28070

160

1.07707476

2.525907

3.666006

2.738017

0.998900

0.23070

0.07110


Trong luận văn này, một số cải tiến đối với phương pháp tối thiểu hóa bình
phương độ lệch được áp dụng để thu biểu thức thế màn chắn với độ chính xác cao
hơn các công trình trước đây (hình 2.2).
(2):

Các ngôn ngữ Matlab, Maple, Mathematica đã được sử dụng.

2.2. Tìm thế màn chắn nhờ phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch
2.2.1. Tìm lại thế màn chắn cho OCP ứng với một số giá trị tham số tương liên
2.2.1.1. Quy trình xác định biểu thức thế màn chắn
Dùng phương pháp tối thiểu hóa bình phương độ lệch, fit biểu thức thế màn
chắn từ các giá trị số của thế màn chắn tính theo dữ liệu MC ứng với các tham số
tương liên Γ =1;  3.17;  5; 10; 20; 40; 80; 160 nhờ phần mềm Mathematica. Biểu

thức thế màn chắn phải thỏa các tiêu chí:
- Định lý Widom.
- Hệ số Jancovici.
- Sai số thấp khi so với dữ liệu MTCL (thực tế cho thấy khi hai tiêu chí
trước được thỏa mãn thì yêu cầu sai số cũng được thỏa mãn).
Việc xác định thế màn chắn được thực hiện theo quy trình có lưu đồ cho trên
hình 2.2.
Ta thấy rằng khác với phương pháp tham số hóa trật tự địa phương vốn dựa

trên định lý Widom và hệ số Jancovici để khai triển thì trong phương pháp tối thiểu
hóa bình phương độ lệch chúng ta phải tìm đa thức thế màn chắn thỏa định lý
Widom và hệ số Jancovici. Do đó, tối thiểu hóa bình phương độ lệch để tìm thế
màn chắn có thể xem là phép chứng minh quy nạp cho định lý Widom và hệ số
Jancovici.


Giá trị số Monte
Carlo của hàm phân
bố xuyên tâm
Giá trị số của thế màn
chắn – TMC –

Fit tìm biểu thức TMC
theo đa thức dạng
6

H = ∑ ( −1) hi r
i

Loại một điểm trong
bộ giá trị TMC

2i

i =0

Biểu thức
H thỏa định lý
Widom

S

Đ
S

0.249 < h1 < 0.251
Đ
S

h1 ≈ 0.25  10−6

0.25 < h1 < 0.251

S

Đ

Đ

Ghi nhận h1 = h11

GHI NHẬN BIỂU
THỨC THU

Ghi nhận h1 = h12

Tìm trọng số t thỏa: th12 + (1 − t )h11 =
0.25

Tìm TMC trung bình=
: H tH ( h12 ) + (1 − t ) H ( h11 )

Hình 2.2. Quy trình fit tìm thế màn chắn.


2.2.1.2. Bậc của thế màn chắn
Trong quy trình này bậc của thế màn chắn được lựa chọn sao cho hệ số
khuyếch đại h0 được giữ không đổi khi tăng bậc của đa thức, đồng thời với việc
thỏa mãn các tiêu chuẩn Widom và Jancovici.
Bảng 2.3. Các hệ số thế màn chắn ứng với hệ số tương liên Γ =160 fit bằng
Mathematica trong luận văn này
h0

h1

h2

h3

h4

h5

h6

1.07462996

0.2498942

0.0354907

0.0024762

6.686E-05

1.07402648

0.2488919

0.0348969

0.0023169

4.717E-05

-9.09E-07 (*)

1.07457853

0.2500000

0.0357402

0.0026311

0.0001083

5.04E-06

2.29E-07

1.07457853

0.2500000

0.0357402

0.0026311

0.0001083

5.04E-06

2.29E-07

h7

8.08E-13

(*) không thỏa định lý Widom
Bảng 2.3 chỉ ra bậc của thế màn chắn nên chọn bằng 12 là phù hợp với
Γ=160. Điều này cũng đúng với các tham số tương liên khác. Ta lưu ý rằng phương
pháp tham số hóa cực trị địa phương [1] cũng đề xuất bậc của thế màn chắn là 12.
2.2.1.3. Đánh giá sai số của biểu thức hàm phân bố xuyên tâm thu được
Các công trình trước đây đều đánh giá sai số đối với hàm phân bố xuyên tâm
bởi sai số tuyệt đối ∆ g a =1000(g fit -g MC ). Cách đánh giá này phù hợp tốt với các giá
trị của g lớn hơn 10-3. Nếu cả g fit và g MC đều nhỏ hơn 10-3 thì ∆ g a rất nhỏ nhưng
sai số tỉ đối lại khá lớn. Chúng tôi đề xuất cách đánh giá tỉ đối ∆ g r =1000(1g fit /g MC ).
Các đồ thị hình 2.3, 2.4 cho thấy với r < 1.5 , sai số tuyệt đối không phải là

đánh giá tốt với hàm phân bố xuyên tâm. Hình 2.5, 2.6 chỉ ra với Γ=160 thì trong
khoảng r ∈ (1.5, 2.7) đánh giá sai số tuyệt đối hay tương đối đều áp dụng một cách
hữu hiệu.
Trong công trình này, để tiện so sánh với các kết quả từ các công trình trước,
chúng tôi áp dụng cách tính sai số tuyệt đối trên khoảng áp dụng hợp lý sau khi đã
so sánh với sai số tỉ đối.


Γ=160
200
0
1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

-200

-400
s ai s ố tuyệt đối

-600

s ai s ố tỉ đối

-800
-1000
r

Hình 2.3. Sai số tuyệt đối và tỉ đối với Γ=160.
Γ=160 - kết quả từ công trình 1
200
0
1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

-200
-400
sai số tuyệt đối

-600

sai số tỉ đối
-800
-1000
r

Hình 2.4. Sai số tuyệt đối và tỉ đối với Γ=160 - kết quả từ công trình [1].
1
sai số tuyệt đối

0.8

sai số tỉ đối

0.6
0.4
0.2
0
-0.2

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

-0.4
-0.6
-0.8

Hình 2.5. Khoảng áp dụng hợp lý cả sai số tuyệt đối và tỉ đối với Γ=160,
=
r 1.5 ÷ 2.7
kết quả từ công trình 1
2
1.5

sai số tuyệt đối
sai số tỉ đối

1
0.5
0
1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

-0.5
-1
-1.5

Hình 2.6. Khoảng áp dụng hợp lý cả sai số tuyệt đối và tỉ đối với Γ=160
– kết quả từ công trình [1], =
r 1.5 ÷ 2.7

2.7


2.2.1.4. Kết quả thu được
Bảng 2.4 chỉ ra các hệ số thế màn chắn thu được từ các tính toán của luận
văn này. Các số liệu thu được trong bảng 2.4 thỏa mãn định lý Widom và hệ số
Jancovici.
Bảng 2.4. Các hệ số thế màn chắn thu được .
Γ

h0

10h 1

1

0.9398

2.49999997

3.17

1.052720435

5

103h 3

104h 4

105h 5

6.72814397

14.07334218

19.76818196

15.81103621

5.32444504

2.50000000

3.95512311

3.29365929

1.11452982

1.074451980

2.50000000

3.59005255

2.52542680

0.88548351

0.62615106

0.44785592

10

1.087820610

2.50000005

3.54326653

3.20047994

3.34030120

3.54755254

1.65016650

20

1.089190262

2.500007(*)

3.51967025

3.02450713

2.50013212

2.05173727

0.79097283

40

1.085364578

2.500000000

3.51480100

2.75290800

1.57651000

0.91200000

0.30600000

80

1.079751445

2.50000000

3.55162522

2.73277476

1.42661077

0.82185439

0.32068040

1.074578527

2.50000011

3.57402220

2.63111500

1.08302000

0.50413717

0.22851037

160
(*)

102h 2

106h 6

fit trực tiếp từ dữ liệu MC, không qua các trọng số, khi thay h 1 =0.25 thay vì

0.2500007 sai số vẫn trong mức cho phép.
Các kết quả thu được bằng phương pháp tham số hóa cực trị địa phương [1]
có độ chính xác cao nhất trong các công trình trước đây cũng được đưa vào để tiện
so sánh.
Bảng 2.5. Các hệ số thế màn chắn thu được từ phương pháp
tham số hóa cực trị địa phương [1].
Г

h0

102h 2

103h 3

104h 4

105h 5

106h 6

5

1.074159029

3.61264

2.57000

0.685837

10

1.088160733

3.47595

2.63000

1.49230

0.940000

0.310000

20

1.089672817

3.46910

2.70000

1.66661

1.08262

0.368121

40

1.085480991

3.50414

2.70033

1.47507

0.826635

0.280421

80

1.079918164

3.53650

2.63999

1.19066

0.543165

0.194995

160 1.074675519

3.56593

2.58598

0.977058

0.386852

0.177987

Mối liên hệ giữa các hệ số h i trong các bảng 2.2 [2], 2.4 và 2.5 [1] được
phân tích trong phần sau của luận văn - các hình từ 2.27 đến 2.33. Ta có nhận xét

rằng phương pháp tối thiểu hóa độ lệch ở đây có thể áp dụng được cho các plasma
có hệ số tương liên Γ<5 trong khi phương pháp tham số hóa cực trị địa phương chỉ
có tác dụng với các plasma có hệ số tương liên từ 5 trở lên.
Chúng tôi cũng đã đánh giá các kết quả thu được từ bảng 2.4 với các kết quả
từ các công trình [3, 6]. Vì các đa thức xấp xỉ thế màn chắn trong [3, 6] có bậc 8
trong khi luận văn này sử dụng các đa thức bậc 12, phần đóng góp của các số hạng
cùng bậc trong các đa thức xấp xỉ thế màn chắn giữa 2 công trình là khác nhau, do
đó chúng tôi không so sánh với các hệ số của các công trình [3, 6]. Công trình [3, 6]
cũng ghi nhận sai số 1000(g(r) – g MC (r)) lớn nhất thu được cho các tham số tương
liên Γ =1;  3.17;  5; 10; 20; 40; 80; 160 là từ 5.10-3 đến 9.10-3 so với sai số tương
ứng thu được từ luận văn này là nhỏ dưới 10-3. Ta thấy các kết quả thu được từ luận
văn này chính xác hơn nhiều so với [3, 6].
Các hình 2.7, 2.8, 2.9, 2.11, 2.13, 2.15, 2.17 dưới đây và hình 2.5 đã đề cập ở
trên trình bày sai số giữa giá trị hàm phân bố g(r), thu được từ biểu thức (1.21) với
thế màn chắn tính từ bảng 2.3 và giá trị số MC của hàm phân bố g MC (r), trục tung
có giá trị 1000(g(r) – g MC (r)), trục hoành là khoảng cách liên ion rút gọn r.
Một cách tương ứng, các hình 2.6, 2.10, 2.12, 2.14, 2.16, 2.18 trình bày sai
số thu được từ công trình [1] với thế màn chắn tính từ bảng 2.4.
Ta cũng chú ý rằng, trong các ứng dụng của hàm phân bố xuyên tâm thì giá
trị cực đại thứ nhất được khai thác nhiều nhất, cực đại này đạt được tại r max thuộc
khoảng (1.65, 1.75), nên sai số trong khoảng này càng thấp càng tốt.
sai số tuyệt đối với Γ=1

103(g(r)-gMC(r))
1.00
0.80
0.60
0.40

0.20

r

0.00
-0.20 1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

-0.40
-0.60
-0.80

Hình 2.7. Đồ thị sai số tuyệt đối 103(g(r)-g MC (r)) đối với giá trị Γ =1

2.7