nhóm lie và biểu diễn đối phụ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

Đoàn Công Thắng

NHÓM LIE VÀ BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, chúng tôi xin chân thành cảm ơn chân thành đến Thầy Cô
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận
tình giảng dạy chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Anh Vũ,
người thầy đã gợi mở hương nghiên cứu, hướng giải quyết vấn đề một cách
khoa học, đọc và chỉnh sửa tỉ mỉ cho luận văn của tôi.
Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô phòng sau đại học đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành chương trình học.
Tôi xin chân thành cảm ơn NCS Dương Quang Hòa đã giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, quý thầy cô, đồng nghiệp
Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai tỉnh Bến Tre đã tạo điều kiện thuận lợi

cho tôi đi học.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bạn bè,
những người luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tp HCM, ngày 7 tháng 6 năm 2012

Đoàn Công Thắng


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................... 2
BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................... 7
1.1.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi ........................................................... 7
1.1.1.
Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô ............................................................. 7
1.1.2.
Các ví dụ ........................................................................................................ 8
1.1.3.
Tích các đa tạp khả vi .................................................................................... 8
1.1.4.
Ánh xạ khả vi ................................................................................................. 9
1.1.5.
Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm ............................................. 9
1.1.6.
Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi ...................................................... 10
1.2.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie .............................................................. 12

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ ........................................................................................... 12
1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie ............................................ 13
1.2.3 Nhóm Lie thương .............................................................................................. 15
1.3.
Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .............................................................. 15
1.3.1.
Định nghĩa .................................................................................................... 15
1.3.2.
Các ví dụ ...................................................................................................... 16
1.3.3.
Đồng cấu đại số Lie ..................................................................................... 17
1.3.4.
Biểu diễn chính quy của đại số Lie .............................................................. 18
1.3.5.
Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh .................................................. 19
1.4.
Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie ............................................................... 21
1.4.1.
Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho .......................................... 21
1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie ................................... 22
1.4.3
Ánh xạ mũ exponent .................................................................................... 22
Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE .................................................................................. 24
2.1
Khái niệm cơ bản về biểu diễn............................................................................. 24
2.2
Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số ........................ 25
2.2.1
K-biểu diễn của một nhóm Lie .................................................................... 25
2.2.2

Các MD-nhóm và MD-đại số ...................................................................... 32
2.3
Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................................ 33
Chương 3. MÔ TẢ K-QUỸ ĐẠO CỦA MỘT LỚP CON CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN ............................................................................................................ 37
3.1 Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều .................................. 37
3.2
Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương
ứng với các MD5-đại số đã xét ........................................................................................ 41
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 49


BẢNG KÍ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
 : trường số phức.

C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
 : trường số thực.

TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.

Ω F : quỹ đạo Kirillove qua F.

MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn. Cụ thể là cho trước một nhóm Lie
G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một
đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillove đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu lý thuyết
biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu
diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ
các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillove chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,
việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Đó cũng là lý do chúng tôi chọn đề tài: “ Nhóm Lie và biểu diễn đối
phụ hợp”
Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần
kết luận. Cụ thể
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và lý do chọn đề tài .
Chương 1: Nều lại kiến thức cơ bản về đa tạp khả vi, nhóm Lie, đại số
Lie, các ví dụ minh họa về nhóm Lie, đại số Lie, sự liên hệ
giữa nhóm Lie và đại số Lie.


Chương 2 : Biểu diễn nhóm Lie
Chương 3: Mô tả các K-quỹ đạo của một lớp con các MD-5 nhóm liên

thông đơn liên.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được
tiếp tục nghiên cứu.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem danh mục các ký hiệu).


Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả
nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu chính
là nhóm Lie và đại số Lie.
1.1.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về đa tạp khả vi

1.1.1. Cấu trúc khả vi trên không gian tôpô
Định nghĩa 1.1.1 Cho M là không gian topo Hausdorff. Một bản đồ trên M là
một cặp (V , ϕ ) , trong đó V là một mở của M, ϕ :V → V / là phép đồng phôi từ V
lên tập mở V / của  n .
Nếu (V , ϕ ) là một bản đồ trên M thì mỗi x ∈ V , ϕ ( x)∈V / , ϕ ( x)= ( x1 ,..., x n )∈ n .
Các số xi gọi là tọa độ địa phương của x
Nếu có một họ các bản đồ {(Vi , ϕi )}i∈I của M mà {Vi }i∈I là phủ mở của M
thì họ đó gọi là một atlat.
Định nghĩa 1.1.2 Cho M là không gian topo Hausdorff. Atlat {(Vi , ϕi )}i∈I của
M gọi là atlat khả vi của M nếu với hai bản đồ tùy ý của atlat (V1 , ϕ1 ), (V2 , ϕ2 )
mà V1  V2 ≠ φ , ϕ1 : V1 → V1/ , ϕ2 : V2 → V2/ thì ánh xạ ϕ2ϕ1−1 ϕ (V V ) : ϕ (V1  V2 ) → V2/ là
1

1

2

ánh xạ khả vi.
Trên tập các atlat khả vi của không gian topo M ta cho một quan hệ hai ngôi.
Cho A
=

(U i , ϕi )}i∈I , B
{=

{(V ,ϕ )}
j

j

j∈J

là hai atlat khả vi của M. Ta bảo A  B nếu

A  B là atlat khả vi của M. Quan hệ nàu là quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.1.3 Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương xác định
như trên gọi là một cấu trúc khả vi trên M


Định nghĩa 1.1.4 Không gian topo Hausdorff M cùng với một cấu trúc khả
vi được xác định bởi một atlat {(Vi , ϕi )}i∈I trong đó ϕi : Vi → Vi / ⊂  n gọi là đa
tạp khả vi n chiều, dim M = n.
1.1.2. Các ví dụ
Ví dụ 1.1.1 Trên  n cho atlat khả vi gồm một bản đồ A = {( n , id )} . Khi đó

 n là một đa tạp khả vi n chiều. Cấu trúc khả vi này là cấu trúc khả vi chính

tắc trên  n
Ví dụ 1.1.2 Trên  n cho atlat khả vi gồm một bản đồ {( n , ϕ )} , ϕ :  →  xác
định bởi ϕ ( x) = x3 . Khi đó  là một đa tạp khả vi một chiều.
Ví dụ 1.1.3 Cho M là đa tạp khả vi với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I , N là một tập mở

{

}

của M. Khi đó N là đa tạp khả vi với atlat A N = (U i  N , ϕi U  N )
i

i∈I

. N còn gọi

là đa tạp mở con của M.
Ví dụ 1.1.4 Gọi Mat (n, ) là tập các ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Có
một song ánh từ Mat (n, ) đến  n . Vì mỗi ma trận vuông có n 2 phần tử. Do
2

đó cấu trúc khả vi trên Mat (n, ) như trên  n . Ánh xạ ϕ : Mat (n, ) →  biến
2

A  det A

là ánh xạ liên tục vì đó là ánh xạ đa thức. Do đó

GL(n, ) = Mat (n, ) \ ϕ −1 (0) là tập mở trong Mat (n, ) . Vậy GL(n, ) là đa tạp

khả vi với cấu trúc khả vi trên Mat (n, ) .
1.1.3. Tích các đa tạp khả vi
Định nghĩa 1.1.5 Cho đa tạp khả vi M với atlat A = {(U i , ϕi )}i∈I và đa tạp khả
vi N với atlat khả vi B = {(V j ,ψ j } j∈J . Trên không gian Hausdorff M × N xét
atlat khả vi A × B= {(U i × V j , ϕi ×ψ j )}i∈I , j∈J thì M × N gọi là đa tạp tích của hai đa
tạp M và N. Trong đó ϕi ×ψ j : U i × V j → ϕi (U i ) ×ψ j (V j ) biến ( x, y ) → (ϕi ( x),ψ j ( y )) .


Nếu M là đa tạp khả vi m chiều, N là đa tạp khả vi n chiều thì M × N là đa tạp
khả vi m + n chiều
Ví dụ 1.1.5
•  n ×  m là đa tạp khả vi m+n chiều.
• Hình trụ  × S 1 là đa tạp khả vi 2 chiều.
2
• Xuyến T =
S 1 × S 1 là đa tạp khả vi 2 chiều.

1.1.4. Ánh xạ khả vi
Định nghĩa 1.1.6 Cho M và N lần lượt là những đa tạp khả vi m chiều và n
chiều. Ánh xạ f : M → N gọi là ánh xạ khả vi nếu f là ánh xạ liên tục và mọi
bản đồ (U , ϕ ) của M, bản đồ (V ,ψ ) của N mà U  f −1 (V ) ≠ φ thì ánh xạ ψ  fϕ −1
từ tập mở ϕ (U  f −1 (V )) của  m vào  n là ánh xạ khả vi.
Định nghĩa 1.1.7 Nếu ánh xạ f : M → N là ánh xạ khả vi và có ánh xạ ngược
f −1 : N → M là khả vi thì f gọi là vi phôi.

1.1.5. Không gian vectơ tiếp xúc với M tại một điểm
Giả sử M là đa tạp khả vi n chiều với atlat khả vi A = {(U i , ϕi )}i∈I . Giả sử
=

J

 (U × 
i

n

) là hợp rời của các không gian tôpô U i ×  n với tôpô tổng.

i∈I

Trong J ta cho quan hệ hai ngôi như sau: Với
 x = y
( x, v) ∈ U i ×  n , ( y, w) ∈ V j ×  n ; ( x, v)  ( y, w) ⇔ 
−1
 D(ϕ j ϕi )(ϕi ( x))(v) = w

Quan hệ trên là quan hệ tương đương. Không gian thương TM = J /  là một
không gian tôpô Hausdorff. Ta xác định ánh xạ ∏ = ∏ M : TM → M , ∏(vx ) = x .
Nếu ( x, v) ∈ J thì lớp tương đương của nó lí hiệu là vx . Giả sử vx , wx ∈ TM sao
cho vx là lớp của ( x, v) , wx là lớp của ( x, w) ∈ J . Khí đó lớp của ( x, v + w) không
phụ thuộc vào cách chọn đại diện vx và wx và ta kí hiệu là vx + wx


Với mỗi số thực α và với vx ∈ TM ta xác định α x ∈ TM là lớp tương đương của
∏ −1 ( x) ⊂ TM là một không gian vectơ. Ta nói
( x, α v) . Như vậy, mổi x ∈ M , TM =
Tx M là không gian tiếp xúc của M tại x . Mỗi phần tử của Tx M gọi là vectơ

tiếp xúc của M tại x mà ta kí hiệu là X.

Định nghĩa 1.1.8 Cho M 1 , M 2 là hai đa tạp khả vi và f : M 1 → M 2 là ánh xạ
khả vi. Xét ánh xạ

Tx f : Tx M 1 → T f ( x ) M 2 , X  (Tx f )( X )

xác định bởi

[(Tx f )( X )]ϕ =: X (ϕ f ), ∀ϕ : M 1 →  là ánh xạ khả vi. Khi đó Tx f là ánh xạ tuyến

tính và ta xác định ánh xạ f∗ : TM 1 → TM 2 , X  f∗ X với ( f∗ X )ϕ := X (ϕ f ) . Ánh
xạ f∗ gọi là ánh xạ tiếp xúc của f .
Ví dụ 1.1.6 Cho f : M →  n là ánh xạ khả vi, cấu trúc khả vi trên  n là cấu
trúc khả vi chính tắc. Khi đó f∗ :TM → T  n = n ×  n được cho bởi công thức
f∗ (vx ) = ( f ( x), D( fϕi−1 )(ϕi )( x)(v) trong đó (U i , ϕi ) là một bản đồ của M và x ∈ U i .

Như vậy, tồn tại ánh xạ df : TM → =
 n sao cho f ∗ ( f ( x), df (vx )), vx ∈ Tx M . Ánh
xạ df còn gọi là ánh xạ vi phân của f .
Tính chất của ánh xạ tiếp xúc
Mệnh đề 1.1.1 Cho

M1 , M 2 , M 3

là những đa

tạp khả vi và

f : M 1 → M 2 , g : M 2 → M 3 là hai ánh xạ khả vi. Khi đó g f : M 1 → M 3 là ánh xạ

khả vi và ( g f )∗ = g∗ f∗ .

Mệnh đề 1.1.2

Cho M là đa tạp khả vi, f : M → , g : M →  là hai ánh xạ

khả vi. Khi đó ( fg )( x) = f ( x) g ( x) là ánh xạ khả vi, với vx ∈ Tx ( M ) , ta có
=
d ( fg )(vx ) f ( x)dg (vx ) + df (vx )d ( x)

1.1.6. Trường vectơ tiếp xúc của đa tạp khả vi
Trường vectơ


Định nghĩa 1.1.9 Cho M là đa tạp khả vi. Ánh xạ khả vi X : M → TM sao cho
∏X =
id được gọi là trường vectơ tiếp xúc của M. Như vậy trường véctơ tiếp

xúc M đặt tương ứng mỗi x ∈ X một vectơ X ( x) ∈ Tx M . Kí hiệu X ( x) = X x và
X(M) tập các trường vectơ tiếp xúc M
Định nghĩa 1.1.10 Với X ∈ X(M), f ∈ C ∞ ( M , ) ta xác định X ( f ) ∈ C ∞ ( M , )
theo công thức X ( f ) = df ( X ) . Như vậy x ∈ M thì X ( f )( x) = df ( X x ) .Trường
vectơ có thể xem là ánh xạ X : C ∞ ( M , ) → C ∞ ( M , ) thỏa :
1. X là ánh xạ tuyến tính,
2. X=
( fg ) fX ( g ) + X ( f ) g .
Biểu diễn địa phương của trường vectơ
Cho ánh xạ X : M → TM có tính chất ∏ X =
id . Giả sử (U , ϕ ) là một bản đồ địa
^

phương của M, ϕ : U → U / ⊂  m . Ta có ϕ : ∏ −1 (U ) → U / ×  m là một bản đồ trên

TM .

Giả

sử 
Xϕ :U / → m

là

ánh

xạ

duy

nhất

có

tính

chất

X ϕ ( x / )), x / ∈ U / . Khi đó X là trường vectơ khi và chỉ khi 
X ϕ là
ϕ X ϕ −1 ( x / ) ( x / , 
=

ánh xạ khả vi.
Định nghĩa 1.1.11 Ánh xạ 

X ϕ : U / →  m được gọi là biểu diễn địa phương của
X trong bản đồ (U , ϕ ) . Với f ∈ C ∞ ( M , ) , ta có

X ( f=
)ϕ −1 ( x / ) df=
( X ( x)) D( f ϕ −1 )( x / ) 
X ϕ ( x / ), x / ∈ U /

Mệnh đề 1.1.3 Cho X : M → TM sao cho ∏ X =
id . Nếu f ∈ C ∞ ( M , ) .Ánh xạ
df ( X ) : M →  là khả vi thì X là khả vi.

Mệnh đề 1.1.4

Cho

D : C ∞ ( M , ) → C ∞ ( M , )

tuyến tính và thỏa

D( fg=
) fD( g ) + D( f ) g , ∀f , g ∈ C ∞ ( M , ) . Khi đó có duy nhất X ∈ X(M), sao

cho X ( f ) = D( f ) .


Cho X , Y ∈

X(M), xác định ánh xạ D : C ∞ ( M , ) → C ∞ ( M , ) thỏa mãn

=
D( f ) X (Y ( f )) − Y ( X ( f )). Khi đó có duy nhất một trường vectơ trên M mà ta

kí hiệu là [X,Y] mà [ X , Y ]( f ) = D( f ) .
Định nghĩa 1.1.11 Trường vectơ [ X , Y ] gọi là móc Lie của hai trường vectơ
X ,Y

1.2.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.2.1 Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện
sau thỏa mãn:
(i)

G là một nhóm.

(ii)

G là đa tạp thực khả vi.

(iii)

Phép toán nhóm G x G → G , (x,y)  xy −1 khả vi.

Theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin tồn tại duy nhất cấu trúc khả vi
lớp C ∞ trên G tương thích với cấu trúc nhóm và cấu trúc topô trên G tức là
biến G thành đa tạp vi phân lớp C ∞ . Do đó khi nghiên cứu nhóm Lie, ta
không quan tâm đến lớp khả vi, luôn có thể giả thiết là lớp C ∞ . Nhóm Lie G

được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Chiều của nhóm Lie G
chính là chiều của đa tạp khả vi G.
Ví dụ 1.2.1 (  n , + ) là nhóm Aben đồng thời là đa tạp vi phân lớp C ∞ , n chiều
với cấu trúc khả vi chính tắc, hơn nữa ánh xạ  n ×  n →  n biến ( x, y )  x − y là
ánh xạ trơn. Vậy (  n , + ) là nhóm Lie giao hoán n chiều.
Ví dụ 1.2.2 Cho GLn () :=
{A =
(aij ) n aij ∈ , i, j =
1,..., n, A khả nghịch },
( GLn () ,.) là nhóm nhân không giao hoán. Khi đó ta chứng minh GLn () là đa
tạp vi phân n 2 chiều và hơn nữa GLn () × GLn () → GLn () biến A × B → AB −1
là ánh xạ trơn.


Thật vậy, gọi Matn () là tập các ma trận vuông cấp n. Xét ánh xạ
id : Matn () →  n biến (aij ) n  (a11 ,..., a1n , a21 ,..., ann ) . Rõ ràng id là đồng
2

phôi nên có thể đồng nhất Matn () với  n .
2

Xét ánh xạ det : Matn () ≡  n →  biến A  det A . Biểu thức biểu diễn của
2

det A

là một đa thức bậc

≤n

nên khả vi lớp

C ∞ . Ta có

GLn () = det −1 (∗ ) ⊂ Matn () ≡  n . Vì vậy GLn () là đa tạp con mở của
2

Matn () , hơn nữa là đa tạp vi phân với cấu trúc khả vi cảm sinh từ cấu trúc

khả vi trên Matn () ≡  n . Do đó GLn () là đa tạp vi phân n 2 chiều.
2

∀A, B ∈ GLn () : det(
=
AB −1 ) det A.det B −1 ≠ 0. Do đó AB −1 ∈ GLn () . Vậy
GLn () là một nhóm.

Xét ánh xạ GLn () × GLn () → GLn () biến A × B → AB −1 . Có thể xem đây
là ánh xạ gồm 2n 2 biến. Đây là ánh xạ khả vi. Tổng hợp những điều trên ta có
GLn () là nhóm Lie n 2 chiều.

Ví dụ 1.2.3 O(n=
) : { A ∈ GLn () A là ma trận trực giao tức là A−1 = AT } . Nó
là nhóm con của nhóm GLn () và là nhóm trực giao cấp n (tức là
det A = 1 hoặc det A = −1 ). Khi đó O(n) là một nhóm Lie.

Ví dụ 1.2.4 Cho Aff  := {(a, b) ∈  2 a ≠ 0} = ∗ ×  . Trên Aff ta định nghĩa
phép nhân như sau: (a, b)(c,=
d ) (ac, ad + b), ∀(a, b)(c, d ) ∈ Aff () . Khi đó
Aff với phép nhân vừa định nghĩa lập thành một nhóm không giao hoán, đồng

thời Aff () cũng là một nhóm Lie.
1.2.2 Nhóm Lie con. Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie
Định nghĩa 1.2.2 Nhóm Lie con


Cho G là một nhóm Lie, H ⊂ G . Ta gọi H là nhóm Lie con của nhóm Lie G
nếu:
• H là nhóm Lie con của nhóm (G, . ),
• H là đa tạp con của đa tạp G
Nhóm

H ⊂G

được gọi

là nhóm con chuẩn tắc

của

G nếu

x −1.h.x ∈ H , ∀x ∈ G, ∀h ∈ H .

Nhận xét 1.2.1 Mọi nhóm Lie con H của G đều là đóng trong G.
Ví dụ 1.2.5 O(n) là nhóm Lie con của nhóm con của nhóm GLn () .
Định nghĩa 1.2.3 Đồng cấu và đẳng cấu nhóm Lie
Cho G1 , G2 là hai nhóm Lie, xét ánh xạ f : G1 → G2 . Ta gọi f là đồng cấu
nhóm Lie nếu:
•

f là đồng cấu nhóm,

•

f là ánh xạ khả vi.

Đặc biệt nếu f là đẳng cấu nhóm và f là vi phôi trên đa tạp thì f là đẳng
cấu nhóm Lie
Tính chất 1.2.1 Cho f : G1 → G2 là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó
• Kerf là nhóm con chuẩn tắc của G1 .
• Im f là nhóm con của nhóm Lie G2 .
Ví dụ 1.2.6 Xét nhóm G :={ϕ :  → , x  ϕ ( x) =ax + b, a ≠ 0} . Dễ thấy
(G,.) là một nhóm, hơn nữa G cũng là một nhóm Lie. Xét f : Aff  → 

biến (a, b)  f (a, b) := ϕa ,b . Ta chỉ ra rằng f là một đẳng cấu nhóm Lie.
Trước tiên f là đẳng cấu nhóm vì f là song ánh và vì
•

f (a, b)(=
c, d ) f (ac, ad=
+ b) ϕac ,ad +b

•

f (a, b). =
f (c, d ) ϕ=
ϕac ,ad +b
a ,b .ϕ c ,d

Vậy f là đồng cấu.


Ta có thể xem f như là ánh xạ Aff  → ∗ ×  là ánh xạ đồng nhất. Vì vậy f
là vi phôi.
Ví dụ 1.2.7 Xét nhóm GLn () và ∗ cùng với ánh xạ det : GLn () → ∗ biến
A  det A (đa thức n 2 biến). Khi đó det là một đồng cấu nhóm Lie. ( Kerf là

tập những ma trận có định thức bằng 1)
1.2.3 Nhóm Lie thương
Cho G là một nhóm Lie có số chiều n, H là một nhóm Lie con đóng của G có
số chiều là k. Khi đó một lớp con không gian G / H=: {=
g gH g ∈ H } có cấu
trúc tự nhiên của một đa tạp có số chiều n-k sao cho ánh xạ chính tắc
p : G → G / H là không gian phân thớ với thớ đồng phôi đến H. Nếu H là

nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc thì G / H có cấu trúc của nhóm Lie.
Định lý 1.2.1 Cho f : G1 → G2 là một đồng cấu nhóm Lie. Khi đó Kerf là
nhóm Lie con đóng, chuẩn tắc của G1 và ta luôn có f : G1 / Kerf → Im f biến
g  f ( g ) là đẳng cấu và sơ đồ giao hoán sau đây:

1.3.

Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie

1.3.1. Định nghĩa
Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K
hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một
phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie) có tính chất song tuyến tính,
phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi:

[[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ∀x,y,z ∈ G.
Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.


Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều
của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng
cặp vectơ thuộc cơ sở {e1 , e2 ,..., en } đã chọn trước trên G như sau:
ei=
, e j 

n

∑c
k =1

k
ij

, 1 ≤ i
Các hệ số cijk , 1 ≤ iKhi trường K là trường số thực  thì G được gọi là đại số Lie thực.
Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu
không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.
1.3.2. Các ví dụ
Ví dụ 1.3.1 Không gian  n với móc Lie [ x, y ] ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là
một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường thì được gọi là đại số Lie
giao hoán.
Ví dụ 1.3.1 Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie
thực 3-chiều.

Ví dụ 1.3.1 Cho

A là một đại số kết hợp trên trường K. Với mọi cặp

( x, y ) ∈ A , ta định nghĩa [ x, y=]

xy − yx , khi đó

A

trở thành một đại số Lie.

Đại số Lie Mat(n,K) các ma trận vuông cấp n trên K là một đại số Lie với
móc Lie [ A, B ] = AB − BA ;∀A, B ∈ Mat (n, K ) .
Ví dụ 1.3.1 Xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên K-không gian vectơ
V. Khi đó, End(V) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như sau:
, B]
[ A=

A B − B  A

Ví dụ 1.3.1 Cho

A là một đại số trên trường K. Toán tử tuyến tính

ϕ : A → A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:


ϕ=
( x. y ) ϕ ( x ) . y − x.ϕ ( y )

Kí hiệu Der ( A ) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên

A . Khi đó

Der ( A )

trở thành 1 đại số trên K với phép hợp thành là phép nhân ánh xạ. Der ( A ) sẽ
trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là:

[ϕ=
1 , ϕ2 ]

ϕ1  ϕ2 − ϕ2  ϕ1

Der ( A ) gọi là đại số Lie các toán tử vi phân trên .

1.3.3. Đồng cấu đại số Lie
Cho G 1 và G 2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ Ktuyến tính ϕ : G1 → G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là:
=
ϕ ([ x, y ]) [ϕ ( x),ϕ ( y )]

( ∀x, y ∈ G1 )

Một đồng cấu đại số Lie là đơn, toàn,song ánh thì gọi là đơn, toàn, đẳng
cấu đại số Lie
Ví dụ 1.3.6 Xét G là một K-đại số Lie. Chọn a ∈ G tùy ý và cố định lại.
Xét

ánh

xạ ad : G → G biến

x  ad a ( x) := [a, x] .

Ta

sẽ

kiểm

tra

ad a ∈ Der G, ∀a ∈ G .(Ta chỉ cần kiểm tra nó thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi).

Thật vậy, ∀a ∈ G
ad a ([b, c]) =
[a,[b, c]] =
[[c, a], b] + [[a, b], c] =
−[ad a (c), b] + [ad a (b), c]
= [ad a (b), c] + [b, ad a (c)]

Vậy ad a ∈ Der G
Xét ánh xạ ad : G → Der G biến a  ad (a ) := ad a .Ta kiểm tra rằng ad là
đồng cấu đại số Lie (cần kiểm tra nó là ánh xạ tuyến tính đồng thời bảo toàn
móc Lie). Thật vậy
• ad là ánh xạ tuyến tính.


∀λ , µ ∈ ; a, b, c ∈ G . Ta có ad (λ a + µb) =

ad λ a + µb
ad λ a + µb (c) =
[λ a + µb, c] =
λ[a, c] + µ[b, c] =
λ ad a (c) + µ ad a (c)

• ad bảo toàn móc Lie tức là ad ([a, b]) = [ad a , adb ]
o ad ([a, b])(c) =
[[a, b], c] =
−[[b, c], a] − [[c, a], b] =
[ a,[b, c]] + [b,[c, a]]

=
[ad
(ad a .adb )(c) − (adb .ad c )(c)
a , ad b ](c )

o

= ad a ([b, c]) − adb ([a, c])
= [a,[b, c]] − [b,[a, c]]
= [a,[b, c]] + [b,[c, a ]]

Vậy ad là đồng cấu đại số Lie
Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ : G 1 
→ End(V) (End(V) là đại số Lie các
toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V) được gọi là biểu diễn tuyến tính
của G 1 trong không gian vectơ V. Đôi khi người ta dùng thuật ngữ "biểu
diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính".
Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp.

Định lý 1.1 (định lý Ado)
Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính
khớp hữu hạn chiều.
1.3.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie
Z ( G ) := {x ∈ G [ x, y ] = 0, ∀y ∈ G} là tâm của đại số Lie G

Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈ G, kí hiệu ad x là toán tử trong
Der ( G ) được xác định bởi: ad=
x ( y)

[ x, y ] ; ∀y ∈ G.


Khi đó ad x là một ánh xạ tuyến tính từ G → G và ta thu được biểu diễn
tuyến tính của G trong chính G như sau:
ad : G → End ( G )
x  ad x

Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn
này là Ker (ad ) = { x ∈ G / ad x ≡ 0} chính là tâm của G. Biểu diễn ad được
gọi là biểu diễn tuyến tính của G trong chính nó.
Ví dụ 1.3.1 : Xét đại số Lie G =  3 với móc Lie là tích có hướng thông
thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau:
c −b 
0

ad =  −c 0
a 
 b −a 0 




Tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách
khác, đại số Lie G =  3 với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu
với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.
1.3.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh
Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G. Ta bảo
M là đại số con của G nếu [ M , M ] ⊂ M .
Ta bảo M là ideal của G nếu [ G , M ] ⊂ M . Trong đó ký hiệu:
=
[M , M ]

M ] {[ x, y ] | x ∈ G , y ∈ M }
{[ x, y ] | x, y ∈ M } , [ G , =

.

Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số
Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên.
Cho G là K-đại số Lie. Đặt :


G1 = [ G , G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1]
G 1 = [ G , G ] = G1, G 2 = [ G 1 , G ], ..., G n = [ G n-1 , G ]

(n≥2)

Mệnh đề1.3.1:
(i)

G k, G k là các ideal của G ( k = 1,2,3,………)

(ii)

G ⊃ G1 ⊃ G 2 ⊃ …… ⊃ G n ⊃ ……






G ⊃ G 1 ⊃ G 2 ⊃ …… ⊃ G n ⊃ ……
(iii)

Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho:
G n = G n+1 = …… = G ∞
k.h

k.h

G n = G n+1 = …… = G ∞
Đại số Lie G gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G gọi là lũy linh nếu

G∞

= {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số
Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.
Ví dụ1.3.8:
T (n, K )=

{ A= ( a ) ∈ Mat (n, K ) / a =
ij

ij

}

0,1 ≤ j < i ≤ n (đại số các ma trận

tam giác trên) là một đại số Lie giải được.
T0 (n, K )=

{ A= ( a ) ∈ Mat (n, K ) / a =
ij

ij

}

0,1 ≤ j ≤ i ≤ n (đại số các ma trận

tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie
lũy linh.
Định lý 1.3.2 (Định lý Lie)
Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được
G

trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương

đương với biểu diễn tam giác trên, tức là=

ϕ ( x) T (n, K ), ∀x ∈ G.


Hệ quả 1.3.1
Nếu G là đại số Lie giải được thì G 1=[ G , G ] là đại số Lie lũy
linh.
Định lý 1.3.3 (Định lý Engel)
Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x ∈ G , ad x là toán tử lũy
linh ( tức là tồn tại n ∈  * sao cho ( ad x ) = 0 ).
n

1.4.

Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.4.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho
Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G
tạo điểm đơn vị e ∈ G . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G
trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

[ X ,Y ] = XY − YX , ∀X ,Y ∈ G
Tức

là:

[ X ,Y=
]f

X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ G , ∀f ∈ C ∞ ( G ) ,

trong

đó

C ∞ ( G ) là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.

Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được
gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G.
Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie
con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau:
Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó
(X + Y) g = X g + Y g , ∀g ∈ G
(λX) g = λX g

[ X ,Y=
]f

, λ ∈ R , ∀g ∈ G

X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ X ( G ) , ∀f ∈ C ∞ ( G )


Với mọi g ∈ G . Đặt L g : G → G, x  gx là phép tịnh tiến trái theo g,
R g : G → G, x  xg là phép tịnh tiến phải theo g, thì L g và R g là các
vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ L g* : T(G) → T(G),
R g* : T(G) → T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G.
Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu L g* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều
này đồng nghĩa với biểu thức : L g* (X) x = X gx
Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu R g* (X) = X ,
∀g ∈ G, tức là : R g* (X) x = X xg

Gọi G = { X ∈ X(G) / X là trường vectơ bất biến trái }, thì G là đại số
Lie con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G, G ≅ T e (G) .
1.4.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie
Mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có
định lý sau:
Định lý 1.4.1:
(i)

Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie
~

~

liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G .
(ii)

Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại
~

~
nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho G = G D .

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie
G của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).
1.4.3 Ánh xạ mũ exponent
Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G .
Mệnh đề 1.4.1 :
Với mỗi X ∈ G , tồn tại duy nhất nhóm con { x(t) / t∈ R} ⊂ G sao cho :
(i)

x(0) = e G .


(ii)

x(t+s) = x(t).x(s) ; ∀ t,s∈ R.

(iii)

x/(0) = X (= X e )

và được gọi là nhóm con 1-tham số xác định trên G.
Khi đó:
d.n

d.n

• exp (X) = x(1)∈ G, exp (tX) = x(t)∈ G
• exp : G → G, X  exp(X)
Định lý 1.4.2: (về tính chất của ánh xạ exp)
(i)

Ánh xạ exp là vi phôi địa phương

(ii)

Ánh xạ exp có tính tự nhiên :
Lie)
G 1 f(dong
cau

nhom

→ G 2

exp

exp

 → G 2
G 1   
f

f  exp = exp f*

*

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.
Hệ quả 1.4.1:
Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của
các các đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.


Chương 2. BIỂU DIỄN NHÓM LIE
2.1 Khái niệm cơ bản về biểu diễn
Định nghĩa 2.1.1
Một biểu diễn của một nhóm Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu
xạ ρ : G → GL(V )
Một biểu diễn của một đại số Lie G là một không gian vectơ cùng với một cấu
xạ ρ : G → G l (V)
Một cấu xạ giữa hai biểu diễn V,W của cùng một nhóm Lie G là một ánh xạ

tuyến tính f : V → W giao hoán với tác động của G: f ρ ( g ) = ρ ( g ) f . Tương
tự ta cũng có định nghĩa một cấu xạ của biểu diễn của một đại số Lie. A
Không gian của tất cả G-cấu xạ (tương ứng, G – cấu xạ) giữa V và W được kí
hiệu là HomG (V ,W ) (tương ứng, Hom G (V,W) ).
Định lý 2.1.1 (xem Kirillove định lý 4.3)
Cho G là nhóm Lie (thực hoặc phức) với đại số Lie G
1. Mỗi

biểu

diễn

ρ : G → GL(V )

xác

định

một

biểu

diễn

ρ∗ : G → G l (V), và mỗi cấu xạ giữa các biểu diễn của G tự nó là cấu
xạ giữa các biểu diễn của G.
2. Nếu G liên thông, đơn liên, thì tương ứng ρ  ρ∗ cho ta một phép
tương đương giữa phạm trù các phép biểu diễn của G với phạm trù các
phép biểu diễn của G. Thực vậy, mỗi phép biểu diễn của G có thể
nâng lên một cách duy nhất thành biểu diễn của G, và HomG (V ,W ) =

Hom G (V,W) ).


2.2 Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số
2.2.1 K-biểu diễn của một nhóm Lie
Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên
G bởi Ad : G 
→ Aut G được định nghĩa như sau:
Ad ( g ) = ( Lg .Rg −1 )* : G 
→ G, ∀g ∈ G

Trong đó Lg (tương ứng Rg ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của
−1

G theo phần tử g ∈ G (tương ứng, g −1 ∈ G ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn
phụ hợp của G trong G.
Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn
Ad cảm sinh ra tác động K : G 
→ Aut G* của G lên G* theo cách sau đây:
< K (g )F , X > =

< F , Ad ( g −1 ) X >, ∀X ∈ G, ∀F ∈ G*, ∀g ∈ G

giá trị của dạng tuyến

Ở đây ta ký hiệu < F , X > , F ∈ G*, X ∈ G là

tính F ∈ G* tại trường vectơ (bất biến trái) X ∈ G. Tác động K được gọi là Kbiểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với Kbiểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G* ).
Nếu G thể hiện như là đại số Lie các trường vectơ bất biến trái trên G, G* thể
hiện như là không gian các dạng bất biến trái trên G. Khi đó K-biểu diễn của

nhóm G t/động lên G* nhờ phép tịnh tiến phải.
K ( g )=
w Rg* w, ∀g ∈ G, ∀w ∈ G *

Thật vậy, ∀g ∈ G, ∀X =
Rg )  ( Lg ) w
∈ G , K ( g ) w (=
*

*

−1

=
K ( g ) w, X

w,=
Ad ( g −1 ) X

( )( )

w, Rg =
Lg −1 X
*

*

(R )

*

g

( )

=
w, Rg X
*

w , hay
Rg* w, X . ■