bài tập và đáp án hình học không gian

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Các
điểm M , N lần lượt nằm trên các cạnh AB , AD sao cho MB  MA ,
AD  4NA . Biết SA  a , MN vuông góc với SM và tam giác SMC cân

tại S . Tính theo a thể tích khối chóp S.MNCD và khoảng cách giữa hai
đường thằng SA và MC .
Nguyễn Xuân Nam
Cách 1: Phương pháp thuần túy
Ta có ABCD là hình vuông,

S

suy ra NM  MC .
NM  SM  NM  SMC .

Gọi H là trung điểm của
MC  SH  MC ,

suy

ra

SH   ABCD .

Ta có

T

A
N

a 5
MC  MB2  BC 2 
2

a 5
;
 MH  BH 
4

M

B
H

K
D

C

E

  cos HMB
  MB  5 ,
cos MBH
MC
5

  13a
suy ra AH 2  AB2  BH 2  2 AB.BH.cos MBH
16

 SH  SA2  AH 2 

2

a 3
.
4

Diện tích tứ giác MNDC là: SMNDC  SABCD  SAMN  SMBC 

11 2
a (đvdt).
16

1
11 3 3
Thể tích khối chóp S.MNCD là: VS. MNDC  SH.SMNDC 
a (đvtt).
3
192
Gọi E là trung điểm của CD , suy ra AE  CM

 dSA, MC  dH , SEA .
Kẻ HK  AE  AE  SHK .
Kẻ HT  SK  HT  dH , SEA .


1
a2 1
5a

Ta có SAMEC  SABCD   HK  MC  AE  HK.MC  HK 
.
2
2 2
5

Suy ra HT 

HK.SH
HK 2  SH 2



93
a.
31

Cách 2: Phương pháp tọa độ không gian
Ta có ABCD là hình vuông, suy ra NM  MC .
NM  SM  NM  SMC .

Gọi H là trung điểm của MC  SH  MC , suy ra SH   ABCD .
a 5
a 5
;
 MH  BH 
2
4
  cos HMB
  MB  1 .

cos MBH
MC
5

Ta có MC  MB2  BC 2 

  13a
Suy ra AH 2  AB2  BH 2  2 AB.BH.cos MBH
16

2

a 3
.
4
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
 SH  SA2  AH 2 

z

hình vẽ.
M  O0; 0; 0 ,

Ox  MN ,

S

Oy  MC , Oz  HS .
Chọn
khi

đó
a1,
 5
 5

5 
A 
;
; 0 , N 
; 0; 0 ,

 5
 4
10 


 2 5 3 5 
5 
;
; 0
C 0;
; 0  , D 




2
5
10





3 
và S0; 0;
.

4 

Ta có
VS. MNDC  VS. MNC  VS.NDC .

A

M

B

N

x

D

H

C
y

 
3 
SM  0; 0; 
,

4 

  5
3 
SN  
; 0; 
,
 4
4 

  2 5 3 5
3 
SD  
;
;
,
 5
10
4 

 
5
3 
SC  0;
;

.

2
4 
  
15 
Ta lại có SM , SN   0; 
; 0 


 
16


  
SM , SN  .SC  5 3  5 3 a3 (đvtt)


32
32

(do ta chọn a  1 ).
   3 15
3 15
Ta lại có SN , SD  
;
;

  40
80

3 

8 

  
SN , SD .SC  3 6  3 6 a3


32
32

(đvtt) (do ta chọn a  1 ).
Do đó VS. MNDC  VS. MNC  VS.NDC 

1
6

  
SM , SN  .SC  1


6

  
SN , SD .SC



1 5 3 3 1 3 6 3

 .
a  .
a  ?????
6 32
6 32
 
5
5
3 
Đường thẳng SA có vecto chỉ phương là: uSA  
;
;
.
 5 10 4 

 
5 
Đường thẳng MC có vecto chỉ phương là: uMC  0;
; 0 .


2


Khoảng cách giữa đường thẳng SA và MC là:
  
u , u  .MA
 SA MC 
d SA , MC     


u , u 
 SA MC 







 15 . 5  0. 5    1 .0

 
 8  5



 10   2 

93
93

a (do chọn a  1 ).
31
31

2


 15   0 2   1 
 

 8 
 2


2