Bài tập và đáp án HKI Toán 10./.

NỘI DUNG BÀI TẬP VÀ ĐÁP ÁN MÔN TOÁN -LỚP 10
CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO –THPT
Câu 1. (Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút.)
Giải phương trình :
3x 4 2 3x+ = −
.
Đáp án Điểm
*
3x 4 2 3x (1)
Pt
3x 4 3x 2(2)
+ = −

⇔

+ = −

*
1
x
3
Vn

=

⇔


.
0.5đ
0.5đ

Câu 2 . ( Mức độ: C; 1,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho hệ phương trình :
mx 2y 1
(I)
x (m 1)y m
+ =


+ − =

.
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.Tìm các giá trị của
m để nghiệm duy nhất (x;y) là các số nguyên
Đáp án Điểm
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện :
D 0≠
.
* Tính
2
D m m 2= − −
và giải được
m 1≠ −
và
m 2≠
.
Tìm m để nghiệm duy nhất là các số nguyên
* Khi
m 1≠ −
và

m 2≠
thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x ; y) với
1
x
m 2
−
=
−
và
m 1
y
m 2
−
=
−
.
* Nghiệm duy nhất nguyên khi và chỉ khi
m 2 1− = ±

m 1
m 3
=

⇔

=

0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.5đ
Câu 3. ( Mức độ: C; 2 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Cho phương trình :
2
mx 2(m - 2)x m 3 0 (1).+ + − =
a/ Giải và biện luận phương trình (1) theo m.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho :
1 2
2 1
x x
3
x x
+ =
.
Câu Đáp án Điểm
3a
* Khi m = 0 thì (1) trở thành :
3
4x 3 0 x
4
−
− − = ⇔ =
.
* Khi
m 0≠
thì (1) là phương trình bậc hai có
4 m∆ = −

.
+ Nếu m > 4 thì phương trình (1) vô nghiệm.
+ Nếu
m 4≤
thì phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
Kết luận :
+ m = 0 :
3
S
4
−
=
.
+ m > 4 :
S
= ∅
.
+
m 4≤
và
m 0
≠

: Phương trình (1) có hai nghiệm :
1 2
2 m 4 m
x
m
,
− ± −
=
.
0.25đ



0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5đ
3b
* Khi
m 4≤
và
m 0
≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x x,
.
*
( )
2

1 2
1 2 1 2
2 1
x x
3 x x 5x x 0
x x
+ = ⇔ + − =
.





0.25đ
THPT NGỌC HỒI
Tổ Toán
* Thay vào và tính được
1 65
m
2
− ±
=
: thoả mãn điều kiện
m 4≤
và
m 0
≠
.
0.25đ
Câu 4. ( Mức độ: C; 2,5 điểm ; Thời gian: 15 phút. )

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC với
A(1; 2),B(5; 2),C(3;2)− −
. Tìm toạ độ trọng
tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ∆ABC.
Câu Đáp án Điểm
4
Toạ độ trọng tâm G :
9
G 1
2
;
 
−
 ÷
 
.
Toạ độ trực tâm H :
*
AH BC 0 2 x 1 4 y 2 0
2 x 5 4 y 2 0
BH AC 0
. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

= − − + + =



⇔
 
− + + =
= 


.
* H (3 ; - 1 ).
Toạ độ tâm đường trong ngoại tiếp I :
*
2 2
2 2
AI BI 8x 24
4x 8y 8
AI CI

= =


⇔
 
+ =
=



.
*
1
I 3

2
;
 
 ÷
 
.
0.75đ
0.75đ
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Câu 5. ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Cho hai tập hợp: A=[1; 4);
{ }
/ 3B x R x= ∈ ≤
.Hãy xác định các tập hợp:
, \A B A B∩
?
2. Tìm hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx +6 biết đồ thị của nó có đỉnh I(2,-2) và trục đối xứng
là x= 2.
Câu Đáp án Điểm
5.1
(1.0
đ)
A=[1; 4);
{ }
/ 3B x R x= ∈ ≤
= [-3,3]

1;3A B
 
∩ =
 

\ (3;4)A B =
0.5đ
0.5đ
5.2
(2.0
đ)
-Thay tọa độ đỉnh I(2;-2), ta có hệ phương trình:

4a 2 4
2
2a
b
b

+ = −


−
=


4a 2 4
4a 0
b

b

+ = −
⇔

+ =

Giải hệ ta được:
1
4
a
b

=

= −

.
Vậy hàm số cần tìm là y = x
2
– 4x +6 .
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Câu 6. ( Mức độ: C; 3 điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Cho hệ phương trình:
x 2 1
( 1)
m y

x m y m

+ =

+ − =

. Hãy xác định các tham số thực m để
hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Cho phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
. Tìm tham số thực m để phương trình
có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
2 1
3
x x
x x
+ =
.
Câu Đáp án Điểm
6.1
(1.5
đ)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
* Điều kiện :

D 0≠
.
* Tính
2
D m m 2= − −
và giải được
m 1≠ −
và
m 2≠
.
Vậy với
m 1≠ −
và
m 2≠
thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
(x ; y) với
1
x
m 2
−
=
−
và
m 1
y
m 2
−
=
−
.

0.75đ
0.25đ
0.5đ
6.2
(1.5
đ)
Phương trình:
2 2
2 x+m -m=0x m−
có hai ngiệm phân biệt khi
' 0∆ >

0m
⇔ >
TheoYCBT thì:
+
+ = ⇔ =
⇔ + − =
2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2
1 2 1 2
3 3
.x
( ) 5x x 0
x x x x
x x x
x x

2 2 2
(2 ) 5( ) 0 5 0
0( )
5
m m m m m
m L
m
⇔ − − = ⇔ − + =

=
⇔

=

Vậy với m=5 thì thỏa YCBT
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Câu 7. ( Mức độ: B; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥
.
Câu Đáp án Điểm
7

(1.0
đ)
, , 0x y z∀ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
3 . .x y z x y z+ + ≥
(1)
1 1 1
, , 0 ; ; 0x y z
x y z
∀ > ⇒ >
. Áp dụng BĐT Cô si cho ba số, ta được:

3
1 1 1 1 1 1
3 . .
x y z x y z
+ + ≥
(2)
Nhân BĐT (1) & (2) vế theo vế, ta được:
1 1 1
( )( ) 9x y z
x y z
+ + + + ≥
. đpcm
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Câu 8. (Mức độ: B; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ:
2 , 5 , 3 2 .OA i j OB i j OC i j= − = − = +
uuur r r uuur r r uuur r r
Tìm
tọa độ trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC.
2. Cho
4
sin (0 )
5 2
π
α α
= < <
. Tính giá trị biểu thức:
1 tan
1 tan
P
α
α
+
=
−
.
3.
Câu Đáp án Điểm
8.1
(1.0
đ)
Tọa độ các điểm A(1;-2), B(5;-1), C(3;2).
Toạ độ trọng tâm G :

1
G 3
3
 
−
 ÷
 
;
.
Toạ độ trực tâm H : Gọi (x;y) là tọa độ của H.
*
AH BC 0 2 x 1 3 y 2 0
2 x 5 4 y 1 0
BH AC 0

= − − + + =


⇔
 
− + + =
=



. ( ) ( )
( ) ( )
.
uuuur uuur
uuuur uuur

.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
*
25 2
( ; )
7 7
H −
.
8.2
(1.0
đ)
Ta có:
4
sin
5
α
=
. Tìm được
3 4
cos ; tan
5 3
α α
= =
Thay vào biểu thức:
4
1
1 tan

3
7
4
1 tan
1
3
P
α
α
+
+
= = = −
−
−
.
0.5đ
0.5đ
Câu 9. (Mức độ: D ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b,c. Chứng minh rằng:
c
C
b
B
a
A
abc
cba coscoscos
2
222
++=

++
.
Câu Đáp án Điểm
9
(1.0
đ)
Ta có

( )
CABCCAABBCABCABCAB
CABCAB
.2.2.2
222
2
+++++=
++
0.5đ
c
C
b
B
a
A
abc
cba
CabAcbBaccba
CABCCAABBCABcba
coscoscos
2
cos.2cos2cos.2

.2.2.2
222
222
222
++=
++
⇔
++=++⇔
++=++⇔
0.5đ
Câu 10. (Mức độ: C ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
2
- 2x – 3.
b) Tìm m để phương trình: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Câu Đáp án Điểm
10a,
10b,
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x
2
- 2x – 3
*Tập xác định : D =
¡
*Đồ thị là parabol có đỉnh I:
2
1

2 2.1
1 2.1 3 4
4
I
I
b
x
a
y
a
−

= − = − =



∆

= − = − − = −


, nhận đường thẳng
x = 1 làm trục đối xứng.
*Vì a = 1 > 0 nên hàm số nghịch biến trong (-∞;1),đồng biến trong (1;+∞)
BBT x -∞ 1 +∞
0,5đ
0,5đ
+∞ +∞
y
- 4

*Đồ thị (C ) đi qua các điểm: (-1;0),(0;- 3), (2;-3),(3;0)
(Đồ thị vẽ đúng 0,5 đ)
Tìm m để phương trình: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 có bốn nghiệm phân biệt
Ta có: x
2
-
2x
- m + 1 = 0 ⇔ x
2
-2
x
-3 = m – 4 (1)
*Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của đồ thị (C
1
) : y = x
2
-2
x
-3 với đường thẳng d: y = m- 4
*Vì hàm số y = x
2
-2
x
-3 là hàm số chẵn nên nên đồ thị (C
1
) được suy ra từ đồ thị (C ) bằng cách giữ

nguyên phần đồ thị (C ) ứng với x≥ 0 và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy
* Để pt (1) có bốn nghiệm phân biệt thì: - 4< m – 4< -3 ⇔ 0 < m< 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 11.(Mức độ: D ; 2điểm ; Thời gian: 15 phút. )
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2
x m y m
x m y m m
− + = − +


− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm
nguyên.
Đáp án Điểm
Tìm m để hệ phương trình :
2 2
2 ( 1) 1
2
x m y m
x m y m m
− + = − +



− = − −

có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
* D =
2
2
2 -m-1
2 1 ( 1)(2 1)
1 -m
m m m m= − + + = − − +
D
x
=
3 2 3 2
2 2
1 -m-1
3 2 2 (2 1)
2 -m
m
m m m m m m m
m m
− +
= − − − − = − +
− −
D
y
=
2
2
2 -m+1

2 4 1 ( 1)(2 1)
1 -m 2
m m m m m
m
= − − + − = + +
−
*D = -(m-1)(2m+1) ≠ 0⇔ m≠ 1 và m ≠ -
1
2
thì hệ pt có nghiệm (x;y) duy nhất:
x =
2 2
2
1 1
x
D
m
D m m
= = +
− −

y =
1 2
1
( 1) 1
y
D
m
D m m
+

= = − −
− − −
* Để x
∈ ¢
,y
∈ ¢
thì : m- 1 = ± 1, m- 1= ± 2.Suy ra : x∈ { 2;0;3;- 1}
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
Câu 12. (Mức độ: C ; 1điểm ; Thời gian: 10 phút. )
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
Đáp án Điểm
Bằng cách đặt ẩn phụ,giải phương trình sau: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3
* Ta có: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 3⇔(x-1)(x – 4)(x-2)(x-3) – 3 = 0
⇔(x
2
- 4x +4)(x
2
- 4x +6) – 3 = 0 (1)
0,25đ
0,25đ