Toán rời rạc bài 3 tập hợp

Module #3 - Sets

University of Florida
Dept. of Computer & Information Science & Engineering

COT 3100
Applications of Discrete Structures
Dr. Michael P. Frank

Slides for a Course Based on the Text
Discrete Mathematics & Its Applications
(5th Edition)
by Kenneth H. Rosen

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

1


Module #3 - Sets

Bài #3:
Lý thuyết tập hợp
Rosen 5th ed., §§1.6-1.7
~43 slides, ~2 lectures

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

2


Module #3 - Sets

Gii thiu lý thuyt tp hp (Đ1.6)
ã Tập hợp là kiểu cấu trúc mới, thể hiện họ khơng
sắp xếp (nhóm) của khơng hay nhiều hơn các đối
tượng khác nhau.
• Lý thuyết tập hợp nghiên cứu các phép tốn trên
chúng, các quan hệ giữa chúng và các tính chất về
tập hợp.
• Tập hợp có mặt khắp nơi trong các hệ thống phần
mềm máy tính.
• Mọi thứ trong tốn học có thể định nghĩa dưới
dạng lý thuyết tập hợp sử dụng logic vị từ.
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

3


Module #3 - Sets

Lý thuyết tập hợp ngây thơ
• Tiền đề cơ sở: Mọi họ hay lớp các đối tượng mà chúng ta
có thể mơ tả đều tạo thành tập hợp.
• Nhưng lý thuyết thu được về mặt logic là khơng tương

thích!
– Điều đó có nghĩa là tồn tại mệnh đề p của lý thuyết tập hợp ngây
thơ sao cho bạn có thể chứng minh rằng cả p và ¬p có thể suy
diễn logic từ các tiên đề của lý thuyết đã cho!
∴ Hội của các tiên đề là mâu thuẫn!
– Lý thuyết như vậy về cơ bản không thú vị, vì mọi khẳng định có
thể dễ dàng chứng minh mâu thuẫn!

• Lý thuyết tập hợp có triết lý hơn sẽ loại bỏ vấn đề này.

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

4


Module #3 - Sets

Khái niệm cơ bản về tập hợp
• Để ký hiệu tập hợp ta dùng các biến S, T, U, …
• Ta có thể định nghĩa tập hợp S bằng cách viết liệt
kê mọi phần tử của nó trong ngoặc móc:
– {a, b, c} là tập có 3 đối tượng ký hiệu bởi a, b, c.

• Định nghĩa xây dựng tập: Với mọi mệnh đề P(x)
trên vũ trụ khẳng định nào đó, {x|P(x)} là tập các
đối tượng x mà thoả P(x).

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

5


Module #3 - Sets

Các tính chất cơ bản của tập hợp
• Tập hợp về bản chất là khơng sắp thứ tự:
– Không quan trọng đối tượng a, b, và c ký hiệu
cái gì,
{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} =
{b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.
• Mọi phần tử là khác nhau (khơng bằng nhau); liệt
kê lặp khơng có ý nghĩa!
– Nếu a=b, thì {a, b, c} = {a, c} = {b, c} =
{a, a, b, a, b, c, c, c, c}.
– Tập này chứa (nhiều nhất) 2 phần tử!
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

6


Module #3 - Sets

Định nghĩa sự bằng nhau của tập hợp
• Hai tập hợp được nói là bằng nhau nếu và chỉ nếu

chúng chứa chính xác cùng các phần tử như nhau.
• Khơng quan trọng, tập hợp được định nghĩa và ký
hiệu như thế nào.
• Chẳng hạn: Tập hợp {1, 2, 3, 4} =
{x | x là số nguyên trong đó x>0 và x<5 } =
{x | x là số ngun dương bình phương của nó là
>0 và <25}

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

7


Module #3 - Sets

Tập vơ hạn
• Về khái niệm, tập có thể vơ hạn
• Một số ký hiệu cho các tập vô hạn đặc biệt:
N = {0, 1, 2, …} The Natural numbers.
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} The Zntegers.
R = The “Real” numbers, such as
374.1828471929498181917281943125…
• “Các chữ đậm hoặc chữ hai nét (ℕ,ℤ,ℝ) cũng
được sử dụng cho các tập hợp trên.
• Các tập vơ hạn cũng có các kích thước khác nhau!
12/03/15

More on this after module #4 (functions).

(c)2001-2003, Michae

8


Module #3 - Sets

Venn Diagrams
John Venn
1834-1923

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

9


Module #3 - Sets

Quan hệ chính của tập hợp: phần tử
của hay thuộc
• x∈S (“x thuộc S”) là mệnh đề khẳng định đối
tựơng x là phần tử của tập S (∈lement or member
of set S).
– e.g. 3∈N, “a”∈{x | x là chữ trong bảng chữ cái}
– Có thể định nghĩa bằng nhau của tập hợp qua quan hệ
thuộc (∈ relation):
∀S,T: S=T ↔ (∀x: x∈S ↔ x∈T)
“Hai tập bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng các

phần tử.”

• x∉S :≡ ¬(x∈S)
12/03/15

“x không thuộc S”

(c)2001-2003, Michae

10


Module #3 - Sets

Tập rỗng - The Empty Set
∀ ∅ (“null”, “the empty set”) là tập duy nhất mà
không chứa phần tử nào cả.
∀ ∅ = {} = {x|False}
• Khơng quan trọng miền biến thiên là gì,
ta có tiên đề ¬∃x: x∈∅.

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

11


Module #3 - Sets

Quan hệ tập con và tập cha
• S⊆T (“S là tập con của T”) có nghĩa là mọi phần tử
của S cũng là phần tử của T.
• S⊆T ⇔ ∀x (x∈S → x∈T)
∀ ∅⊆S, S⊆S.
• S⊇T (“S là tập cha của T”) nghĩa là T⊆S.
• Lưu ý S=T ST ST.
ã
ơ(ST), tc l x(xS xT)

S / T

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

12


Module #3 - Sets

Tập con và tập cha thực sự
• S⊂T (“S là tập con thực sự của T”) nghĩa là S⊆T
nhưng
. Tương
T ⊆ Stự đối với S⊃T.

/

Example:

{1,2} ⊂
{1,2,3}

S

T

Venn Diagram equivalent of S⊂T
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

13


Module #3 - Sets

Các tập hợp cũng là các đối tượng!
• Các đối tượng mà là các phần tử của tập hợp cũng
có thể bản thân là các tập hợp.
• E.g. let S={x | x ⊆ {1,2,3}}
then S={∅,
{1}, {2}, {3},
{1,2}, {1,3}, {2,3},
{1,2,3}}
• Note that 1 ≠ {1} ≠ {{1}} !!!!
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

14


Module #3 - Sets

Lực lượng và tính hữu hạn
• |S| (đọc là lực lượng của S”) là số đo S có bao
nhiêu phần tử.
• E.g., |∅|=0, |{1,2,3}| = 3, |{a,b}| = 2,
|{{1,2,3},{4,5}}| = ____
• If |S|∈N, thì ta nói S là hữu hạn.
Ngược lại, ta nói S là vơ hạn.
• Nêu một số tập hợp vô hạn mà ta đã biết?

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

15


Module #3 - Sets

Phép toán tập mũ (tập các tập con)
Power Set Operation
• Tập mũ P(S) của tập S là tập tất cả các tập con của S.
P(S) :≡ {x | x⊆S}.
• E.g. P({a,b}) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}.
• Đơi khi P(S) được viết dạng 2S.
Đối với tập hữu hạn S, |P(S)| = 2|S|.

• Do đó ∀S:|P(S)|>|S|, e.g. |P(N)| > |N|.
Có kích thước khác nhau cho các tập vơ hạn!

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

16


Module #3 - Sets

Tng kt các ký hiệu tập hợp
ã Các đối tợng x, y, z; Tp hp S, T, U.
ã Lit kê {a, b, c} và tập xây {x|P(x)}.
Phép thuộc, và tập rỗng .
ã Quan hệ tập hợp =, , , , , , etc.
ã Sơ đồ Venn.
ã Lực lợng |S| và tập vô hạn N, Z, R.
• TËp mị P(S).

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

17


Module #3 - Sets

Mô tả ngây thơ tập hợp
không tương thích
• Có một số mơ tả tập hợp một cách ngây thơ mà
dẫn đến cấu trúc không định nghĩa được.
– (Hay cịn gọi là khơng tương thích với chính nó.)

•
•
•

Về mặt tốn học các tập hợp này khơng thể tồn tại.
E.g. let S = {x | x∉x }. Is S∈S?
Như vậy lý thuyết tập hợp tương thích phải hạn
chế ngơn ngữ mơ tả tập hợp.
• Trong lớp này chúng ta không quan tâm đến vấn
đề này!

12/03/15

Bertrand Russell
1872-1970

(c)2001-2003, Michae

18


Module #3 - Sets

Bộ n phần tử có thứ tự

• Cũng giống như tập hợp, nhưng khác là có thể lặp
và thứ tự tạo ra sự khác biệt.
• Với mỗi n∈N, bộ n có thứ tự hay dãy hay danh
sách có độ dài n được viết là
(a1, a2, …, an).
Phần tử thứ nhất là a1, ….
• Lưu ý rằng (1, 2) ≠ (2, 1) ≠ (2, 1, 1).
Contrast wit
sets’ {}

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

19


Module #3 - Sets

Tích Đề các của tập hợp
• Đối với các tập A, B, tích Đề các của chúng
B : {(a, b) | aA bB }.
ã E.g. {a,b}ì{1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}
• Đối với các tập hữu hạn A, B, |AìB|=|A||B|.
ã Tớch cỏc khụng giao hoỏn: i.e., ơAB:
AìB=BìA.
ã M rộng A1 × A2 × … × An...

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

René Descartes
(1596-1650)
20


Module #3 - Sets

Ơn lại 1.6
•
•
•

Tập hợp S, T, U… Các tập đặc biệt N, Z, R.
Ký hiệu tập hợp {a,b,...}, {x|P(x)}…
Các phép toán quan hệ trên tập hợp x∈S, S⊆T,
S⊇T, S=T, S⊂T, S⊃T. (Chúng tạo thành mệnh đề)
• Tập hữu hạn và tập vơ hạn.
• Các phép tốn tập hp |S|, P(S), SìT.
ã Tip theo Đ1.5: v cỏc phộp toán tập hợp: ∪, ∩, −.

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

21

Module #3 - Sets

Bt u t Đ1.7: Phộp hp
ã i với hai tập A, B, hợp của chúng (∪ nion) A∪B là
tập chứa mọi phần tử mà thuộc hoặc A, hoặc (“∨”) B
(tất nhiên hoặc cả hai).
• Về hình thức, ∀A,B: A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B}.
• Vậy A∪B là tập cha của cả hai tập A và B (mà là
nhỏ nhất trong các tập cha như vậy):
∀A, B: (A∪B ⊇ A) ∧ (A∪B ⊇ B)

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

22


Module #3 - Sets

Ví dụ phép hợp - Union Examples
• {a,b,c}∪{2,3} = {a,b,c,2,3}
• {2,3,5}∪{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7}
Think “The United
States of America
includes every
person who worked
in any U.S. state last
year.” (This is how
the IRS sees it...)

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

23


Module #3 - Sets

Phép Giao - Intersection Operator
• Đối với hai tập hợp A, B, giao của chúng
(intersection) A∩B là tập chứa mọi phần tử mà
đồng thời thuộc A và (“∧”) thuộc B.
• Về hình thức, ∀A,B: A∩B={x | x∈A ∧ x∈B}.
• Vậy A∩B là tập con của cả A và B (trên thực tế
là tập con lớn nhất như vậy):
∀A, B: (A∩B ⊆ A) ∧ (A∩B ⊆ B)

12/03/15

(c)2001-2003, Michae

24


Module #3 - Sets

Intersection Examples
• {a,b,c}∩{2,3} = ___∅
• {2,4,6}∩{3,4,5} = ______

{4}
Think “The
intersection of
University Ave. and
W 13th St. is just
that part of the road
surface that lies on
both streets.”
12/03/15

(c)2001-2003, Michae

25