Sự dao động của hệ phương trình vi phân có đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

VÕ VĂN CƯỜNG

SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2003



LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
• Thầy Hướng Dẫn:
Phó Giáo sư - Tiến sĩ : Lê Hoàn Hóa.
Khoa Toán-Tin học
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
• Thầy Phản Biện 1:
Tiến sĩ : Nguyễn Anh Tuấn.
Khoa Toán-Tin học
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh.
• Thầy Phản Biện 2:
Tiến sĩ : Nguyễn Thành Long.
Khoa Toán-Tin học
Trường Đại học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
• Người Thực Hiện:
Võ Văn Cường.
Trường Cao Đẳng Sư phạm Kiên Giang.

LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ Hồ CHÍ MINH


LỜI CẢM ƠN

Xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Lê Hoàn Hóa, khoa Toán-Tin học Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh. Người đã dạy dỗ, động viên, giúp đỡ tôi học tập trong thời gian học cao học
và đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quí báu đọc,
góp ý và phản biện cho luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quí thầy cô trong khoa Toán-Tin học hai trường, Trường Đại học SP
Tp.HCM và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Tp.HCM đã tận tình dạy dỗ và
truyền đạt kiến thức cho tôi.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiên khoa Toán-Tin học, Phòng Quản lý
KHSĐH Trường Đại học SP Tp.HCM đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại
trường.
Xin chân thành cảm ơn BGH và Hội đồng Giáo viên Trường CĐSP Kiên Giang, những người đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn hữu và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh 2003.
Võ Văn Cường.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................................... 4

MỤC LỤC ......................................................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU .......................................................................................... 6
MỞ ĐẦU............................................................................................................................ 7
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM
DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ LỆCH ................. 9
1.1. Lý thuyết cơ bản về sự tồn tại nghiệm duy nhất. ........................................................................ 9
1.2. Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm. ................................................................................... 18
1.3. Biến đổi Laplace. ........................................................................................................................ 20
1.4. Một số kết quả về sự dao động của phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng................ 22

Chương 2 : SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI SỐ
LỆCH ............................................................................................................................... 26
2.1. Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính autonomous. ............ 27
2.2. Điều kiện tường minh cho dao động và không dao động của hệ tuyến tính autonomous. .... 30
2.3. Điều kiện đủ cho sự dao động của hệ phương trình tuyến tính non autonomous.................. 40
2.4. Sự dao động của hệ phương trình vi phân đối số lệch Logistic. .............................................. 45

Chương 3: SỰ DAO ĐỘNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA
CÓ ĐỐI SÔ LỆCH ......................................................................................................... 56
3.1. Điều kiện cần và đủ cho sự dao động của hệ phương trình vi phân trung hòa...................... 56
3.2. Điều kiện tường minh cho sự dao động của hệ phương trình trung hòa............................... 59

KẾT LUẬN ..................................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 66


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU


MỞ ĐẦU

Lý thuyết dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch được nghiên cứu rầm rộ
trong những năm 80 trở lại đây. Càng ngày người ta càng thấy nó có nhiều ứng dụng trong thực tế. Đặc
biệt trong các lĩnh vực: Vật lý, Sinh học, Sinh lý học, Sinh thái học.
Đóng góp nhiều cho lĩnh vực này phải kể đến là Gyori, Ferreira, Arino, Gopalsamy và Ladas.
Các tác giả nghiên cứu sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng bắt
đầu từ hệ phương trình vi phân có đối số lệch tuyến tính trên cơ sở phương trình đặc trưng của nó. Từ
đó với các hệ phương trình cụ thể trong thực tế sẽ được xét dựa vào hệ phương trình tuyến tính hóa của
nó (linearized equation). Chính sự thú vị theo hướng nghiên cứu này đã thu hút chúng tôi nghiên cứu
hệ phương trình vi phân có đối số lệch theo hướng đó. Tuy nhiên ở cấp độ của một luận văn Thạc sĩ và
ở trình độ còn nhiều hạn chế của tác giả, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu sự dao động nghiệm
của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous và hệ phương trình vi phân trung hòa
trên cơ sở phương trình đặc trưng của nó. Từ đó chúng tôi xây dựng các điều kiện cần cũng như các
điều kiện đủ cho lớp các hệ phương trình cụ thể. Hơn nữa chúng tôi còn xét đến sự dao động nghiệm
của hệ non_autonomous tức là hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính có hệ số và lệch là các
hàm số. Đặc biệt trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu đến sự dao động nghiệm của hệ phương trình
vi phân đối số lệch Logistic, một dạng của bài toán sinh học, sinh lý học, sinh thái học mà việc xét tính
dao động, không dao động của nó thông qua hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính hoa của nó.
Luận văn được trình bày trong ba chương:
Chương 1, Đây là chương cơ sở của luận văn, chúng tôi trình bày ở đây:
• Các khái niệm và định lý cơ bản về tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân có đối số lệch.
• Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm.
• Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace.
• Một số kết quả về dao động nghiệm của phương trình vi phân đối số lệch vô hướng cần cho hai
chương sau.
Chương 2, Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Trong phần này chúng tôi trình bày
các khái niệm nghiệm dao động, điều kiện cần và đủ cho sự dao động nghiệm của hệ phương trình vi
phân đối số lệch tuyến tính autonomous. Từ đó từng bước xây dựng các điều kiện cần cũng như các
điều kiện đủ cho từng lớp hệ phương trình cụ thể. Các điều kiện cần cho sự dao động của hệ tuyến tính

non_autonomous. Sự dao động nghiệm của hệ phương trình Logistic, một trong những ứng dụng quan
trọng của hệ phương trình vi phân đối số lệch.
Chương 3, Ở chương này chúng tôi trình bày đến sự dao động nghiệm của hệ phương trình đối số
lệch tuyến tính tổng quát hơn, đó là hệ phương trình vi phân trung hòa. Trên cơ sở phương trình đặc
trưng, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của hệ dao động rồi từ đó thiết lập
các điều kiện tường minh cho sự dao động nghiệm của chứng.
Để thực hiện luận văn, chúng tôi đã tham khảo các tài liệu liên quan [1], [2], [3], [4], [5] được liệt
kê trong tài liệu tham khảo.


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ SỰ TỒN TẠI
NGHIỆM DUY NHẤT CUA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ ĐỐI
SỐ LỆCH

1.1. Lý thuyết cơ bản về sự tồn tại nghiệm duy nhất.
Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch

x (t ) + f (t, x (t ), x (t − t 1 (t )),..., x (t − t n (t ))) =
0

(1.1.1)

trong đó

t 0 ∈ , m ∈ * ,
f ∈ C[[τ 0 , ∞) ×  m ×  m × ... ×  m ,  m ] vµ τ i ∈ C[[τ 0 , ∞),  + ], i =
1,2,..., n,

lim[τ − τ i (τ)] =∞,i =1,2,...,n.

(1.1.3)

τ →∞

Với mỗi điểm đầu

t0 ≥ t 0

(1.1.2)

ta định nghĩa

{

}

=
t−1 t−=
(t ) min inf{t − t i (t )}
1 0
1≤i≤ n

t ≥t0

(1.1.4)

Ta có t -1 phụ thuộc vào t i (t) và t 0 . Đoạn [t -1 ,t 0 ] được gọi là đoạn đầu kết hợp với điểm đầu t 0 và
hệ (1.1.1).
Cùng với hệ (1.1.1) và điểm đầu t 0 ta có điều kiện đầu
x(t)=φ(t),t -1 ≤ t ≤ t 0

trong đó

(1.1.5)

φ : [t−1 , t0 ] →  m gọi là hàm ban đầu.

Định nghĩa 1.1.1.
a. Hàm x được gọi là nghiệm của hệ (1.1.1) trên tập I, trong đó I là một trong các tập [t 0 ,T),
[t 0 ,T] hoặc [t 0 ,∞) với t0 ≤ t0 < T , nếu x :[t−1 , t0 ] ∪ I →  m liên tục và khả vi liên tục trên I và thỏa mãn
hệ (1.1.1) trên I.


b. Hàm x được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) trên tập I, trong đó I là
một trong các tập [t 0 ,T), [t 0 ,T] hoặc [t 0 ,∞), nếu x là nghiệm của hệ (1.1.1) trên I và thỏa mãn (1.1.5).
c. Hàm x được gọi là một nghiệm của hệ (1.1.1) nếu với t 0 ≥ t 0 , x là nghiệm của hệ (1.1.1) trên
[t 0 ,∞).
d. Hàm x được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) nếu x là nghiệm của
hệ (1.1.1) trên [t 0 ,∞) và thỏa (1.1.5).
Bổ đề 1.1.1. (Bất đẳng thức Gronwall) Xét
=
I [t0 , T ) ⊂  và giả sử
t

u (t ) ≤ c+ ∫ν ( s )u ( s )ds, t ∈ I
t0

trong đó

c ∈  + vµ u,ν ∈ C[ I ,  + ]

thì

t

u(t ) ≤ c exp  ∫ν (s )ds  , t ∈ I
t

0


Định lý 1.1.1. Xét hệ (1.1.1) với điều kiện (1.1.2), (1.1.3) và giả sử tồn tại p ∈ C[[t 0 , ∞),  + ] với

t ≥ t 0 và với mọi xi , i ∈  m , i =
1,2,..., n hàm f thỏa mản điều kiện Lipschitz
n

f (t, x0 , x1 ,..., xn ) − f (t, yyy
0 , 1 ,..., n ) ≤ p(t )∑ xi − yi

(1.1.6)

i =0

và với t ≥ t 0 , φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước thì bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) có duy nhất
nghiệm trên [t 0 ,∞).
Chứng minh: Trên tập các hàm liên tục  :[t−1 , ∞) →  m ta xét phép biến đổi T như sau:
), −1 ≤ ≤ 0
φ (ττττ

τ

( Tyτ
)( ) = 
φ
(
τφ
)
+
≥ 0
1 (s )),..., y(s − n (s )))ds, ττ
 0 ∫ (s, y(s ), y(s − ττ
τ0

ta có Ty là hàm liên tục trên [t -1 ,∞). Xét dãy hàm:

φ (t ), t−1 ≤ t < t0
x0 (t ) = 
φ (t0 ), t ≥ t0


và

0,1,2,...
=
xl +1 Tx
=
l ,l
Từ (1.1.6) và bằng phương pháp xấp xỉ Picard ta có

(t − t0 )l
xl +1 (t ) − xl (t ) ≤ M (t )

víi t ≥ t−1 vµ l =
0,1,2,...
l!
trong đó M (t ) =

max p(s ) . Bằng tiêu chuẩn Weierstrass thì
t0 ≤s ≤t

x (t=
) lim xl (t=
)
l →∞

tồn tại với

∞

∑[ x
l =0

l +1

(t ) − xl (t )] + x0 (t )

t ≥ t−1 và x là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.1) và (1.1.5) trên [t 0 ,∞).

Giả sử x và y là hai nghiệm của (1.1.1) và (1.1.5) trên [t 0 ,∞) thì x(t) = y(t) với t−1

≤ t ≤ t0 . Đặt

=
u(t ) max x (s ) − y(s )
t0 ≤s ≤t

ta có
t

u(t ) ≤ (n + 1)∫ p(s )u(s )ds, t ≥ t0
t0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall với c = 0 ta có u(t) = 0 với t ≥ t 0 . Do đó
□

x(t) = y(t) với t≥t 0 .
Hệ quả 1.1.1. Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính non_autonomous
n

x (t ) + P0 (t ) x (t ) + ∑ Pi (t )c(t − t i (t )) =
0
i =1

trong đó

t 0 ∈ , m ∈ * ,
Pi ∈ C[[t 0 , ∞),  m×m ], i =
1,2,..., n,

(1.1.7)

t i ∈ C[[t 0 , ∞),  + ] vµ lim[t − t i (t)] =∞, i =1,2,..., n.
t →∞

Lấy

t0 ≥ t 0 vµ φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước thì bài toán giá trị đầu (1.1.7) và (1.1.5) có

nghiệm duy nhất trên [t 0 ,∞).
Hệ quả 1.1.2. Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous
n

x (t ) + P0 x (t ) + ∑ Px
0
i (t − t i ) =

(1.1.8)

i =1

trong đó

m×m
 + , i 1,2,..., n với
Pi ∈ =
, i 0,1,2..., n;τ i ∈=

mỗi

t0 ∈  và

với mỗi

φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] , trong đó t−1= t0 − max{t 1 ,t 2 ,...,t n} thì bài toán giá trị đầu (1.1.8) và
(1.1.5) có nghiệm duy nhất trên [t 0 ,∞).
Ta thấy rằng khi hàm f nêu trong (1.1.1) không phụ thuộc vào x(t) và khi

t i (t ) > 0, i =
1,2,..., n thì ta có thể thu được định lý về tồn tại nghiệm của (1.1.1) mà không cần đến
điều kiện Lipschitz. Để làm được điều đó ta dùng đến một phương pháp, gọi là phương pháp từng bước
(method of steps). Định lý này nói đến sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tổng
quát hơn, gọi là hệ phương trình vi phân trung hòa đối số lệch.

d
 x (t ) + g ( t, x ( t − t 1 (t ) ) ,..., x ( t − t 1 (t ) ) ) 

dt 

(1.1.9)

+ f ( t, x ( t − σ 1 (t ) ) ,..., x ( t − σ n (t ) ) ) =
0
trong đó

t 0 ∈ , m ∈ * ,
g ∈ C[[t 0 , ∞) ×  m ×  m × ... ×  m ×  m ],

(1.1.10)

f ∈ C[[t 0 , ∞) ×  m ×  m × ... ×  m ×  m ],

(1.1.11)

Cho i=1,2,...,l ; j=1,2,...,n thì

t i ∈ C[[t 0 , ∞),(0, ∞)],σ j ∈ C[[t 0 , ∞),(0, ∞)]
lim[t − t i (t )] = lim[t − σ j (t )] = 0
t →∞

t →∞

(1.1.12)


Lấy

t0 ≥ t 0

xét

{ {

} {

}}

t−1 =
min min inf {t − t i (t )} ,min inf {t − σ i (t )}
1≤i ≤l

t ≥t0

1≤ j ≤ n

t ≥t0

(1.1.13)

Cùng với (1.1.9) ta có điều kiện đầu liên kết với nó là

=
x (t ) φ (t ), t−1 ≤ t ≤ t0
trong đó

(1.1.14)

φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] là hàm cho trước.

Định nghĩa 1.1.2
a. Hàm x được gọi là nghiêm của hệ (1.1.9) trên I, trong đó I là một trong các tập [t 0 ,T), [t 0 ,T]
hoặc [t 0 ,∞) với t 0

≤ t0 < T ,

nếu

x :[t−1 , t0 ] ∪ I →  m liên

tục và x(t) + g(t,x(t - t 1 (t)),...,x(t-

t l (t))) khả vi liên tục trên I và X thỏa mãn hệ (1.1.9) trên I.

b. Hàm x được gọi là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) trên tập I, trong đó I là
một trong các tập [t 0 ,T), [t 0 ,T] hoặc [t 0 ,∞), nếu x là nghiệm của hệ (1.1.9) trên I và thỏa mãn (1.1.14).
c. Hàm x được gọi là một nghiệm của hệ (1.1.9) nếu với t0

≥ t 0 , x là nghiệm của hệ (1.1.9) trên

[t 0 ,∞).
d. Hàm x được gọi là một nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) nếu x là nghiệm của
hệ (1.1.9) trên [t 0 ,∞) và thỏa (1.1.14).
Chú ý 1.1.1. Trong suốt luận văn này, khi chúng ta nói về lý thuyết dao động, một nghiệm của hệ
phương trình vi phân đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.1c. Tương tự, một nghiệm của hệ
phương trình vi phân trung hòa đối số lệch sẽ được hiểu theo định nghĩa 1.1.2c. Tức là, chúng là một
nghiêm trên [t 0 ,∞) với t0

≥ t 0 .

Định lý 1.1.2. Giả sử rằng (1.1.10), (1.1.11) và (1.1.12) là được thỏa. Lấy

t0 ≥ t 0 và

φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước thì bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất trên
[t 0 ,∞), trong đó t -1 được định nghĩa bởi (1.1.13).


Chứng minh: Lấy T >t 0 là số cố định cho trước. Ta chỉ cần chứng minh bài toán giá trị đầu
(1.1.9) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất trên [t 0 , T]. Đặt

{

}

δ = min min min t i (t ),min min σ j (t )
Theo (1.1.12) thì δ > 0, đặt
mọi k=0,1,2,...,N và

1≤i ≤l t0 ≤t ≤ T

1≤ j ≤ n t0 ≤t ≤ T

(1.1.15)

T − t0
 T − t0 
là phần nguyên lớn nhất của
. Khi đó với
N=

δ
δ



t ∈ [t0 + kδ , t0 + (k + 1)δ ] ta

có

t − t i (t ) ≤ t0 + kδ ,1 ≤ i ≤ l

t -σ j (t ) ≤ t0 + kδ ,1 ≤ j ≤ n .
Đặt

φ (t ), t−1 ≤ t ≤ t0 .
x=
0 (t )
Với t 0 ≤ t≤ t 0 + δ thì bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) trở thành

d
 x (t ) + g ( t, x0 ( t − t 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − t 1 (t ) ) ) 

dt 

+ f ( t, x0 ( t − σ 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − σ n (t ) ) ) =
0
x ( t0 ) = x0 ( t0 )

Với
Và có nghiệm duy nhất

x1 (t ) =
−g ( t, x0 ( t − t 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − t l (t ) ) ) + x0 (t0 )
+ g ( t0 , x0 ( t0 − t 1 (t0 ) ) ,..., x0 ( t0 − t l (t0 ) ) )
t

− ∫ f ( s, x0 ( s − dd
1 (s ) ) ,..., x0 ( s − n (t ) ) )ds
t0

Rõ ràng hàm

x 1 (t ) định nghĩa bởi

và


 x (t ), t−1 ≤ t ≤ t0
x 1 (t ) =  0
 x1 (t ), t0 < t ≤ t0 + δ
Thỏa mãn bài toán giá trị đầu (1.1.9) và (1.1.14) trên

[t0 , t0 + δ ] . Cứ tiếp tục lý luận như trên

[t0 + δ , t0 + 2δ ] ,...và sau N bước ta thu được điều phải chứng minh.
Định lý có thể mở rộng cho hệ phương trình

d
 x (t ) + g ( t, x0 ( t − t 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − t 1 (t ) ) ) 

dt 

(1.1.16)

+ f ( t, x0 ( t − σ 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − σ n (t ) ) ) =
0
trong đó g, t i và δ j thỏa mãn điều kiện (1.1.10) và (1.1.12), f thỏa mãn điều kiện sau:
(H): f ∈ C[[t 0 , ∞) ×  m × ... ×  m ,  m ] và với mỗi tập compact D ⊂ [t 0 , ∞) ×  ( n+1)×m có một
hằng số K = K(D) > 0 sao cho

f (t, x0 , x1 ,..., xn ) − f (t, y0 , x1 ,..., xn ) ≤ K x0 − y0
với mọi (t, x0 , x1 ,..., x n ),(t, y0 , x1 ,..., x n ) ∈ D.
Định lý 1.1.3. Giả sử điều kiện (1.1.10), (1.1.12) và giả thiết (H) được thỏa. Lấy

φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước, trong đó t -1

t0 ≥ t 0 và

được định nghĩa bởi (1.1.13) thì bài toán giá trị đầu

(1.1.16) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất trên [t 0 ,∞).
Chứng minh: Lấy T >t 0 là một số cố định cho trước và δ được định nghĩa bởi (1.1.15). Đặt

φ (t ), t−1 ≤ t ≤ t0
x=
0 (t )
Khi đó cho

t0 ≤ t ≤ t0 + δ bài toán giá trị đầu (1.1.16) và (1.1.14) trở thành

x (t ) =
−g ( t, x0 ( t − t 1 (t ) ) ,..., x0 ( t − t l (t ) ) ) + x0 (t0 )
+ g ( t0 , x0 ( t0 − t 1 (t0 ) ) ,..., x0 ( t0 − t l (t0 ) ) )


t

− ∫ f ( s, x (s ), x0 ( s − dd
1 (s ) ) ,..., x0 ( s − n (s ) ) )ds
t0

Theo giả thiết (H), phương trình tích phân trên có nghiệm duy nhất x 1 (t) trên [0,δ]. Rõ ràng hàm

 x (t ), t−1 ≤ t ≤ t0
x 1 (t ) =  0
 x1 (t ), t0 < t ≤ t0 + δ
là nghiệm duy nhất của bài toán giá trị đầu (1.1.16) và (1.1.14) trên [t0 , t0
trên trên đoạn

+ δ ] . Lập luận như

[t0 + δ , t0 + 2δ ] và cứ như thế, ta thu được điều phải chứng minh. □

Hệ quả 1.1.3. Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính non_autonomous
l
n
d

0 (1.1.17)
x (t ) + ∑ Pi (t ) x ( t − t i (t ) )  + Q0 (t ) x (t ) + ∑ Qj (t ) x ( t − σ j (t ) ) =
dt 
i 1=
j 1


Trong đó

t 0 ∈ , m ∈ *
Pi ∈ C[[t 0 , ∞),  m×m ], i =
1,2,..., l
Q ∈ C[[t 0 , ∞),  m×m ], j =
0,1,2,..., n
j

và lệch ti và δj thỏa mãn điều kiện (1.1.12). Lấy

t0 ≥ t 0 và φ ∈ C[[t−1 , t0 ],  m ] cho trước,

trong đó t -1 định nghĩa bởi (1.1.13), thì bài toán giá trị đầu (1.1.17) và (1.1.14) có nghiệm duy nhất
trên [t 0 ,∞) .
Hệ quả 1.1.4. Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous
l
n
d

0
x (t ) + ∑ Px
i (t − t i )  + Q0 x (t ) + ∑ Q j x (t − σ i ) =
dt 
i 1=
j 1
=


trong đó

Pi , Qj ∈  m×m ;τ i ,δ i ∈ (0,=
∞), i 1,2,...,
=
l; j 0,1,..., n

(1.1.18)

t0 ∈ 

Với

và

mỗi φ ∈ C[[t−1 , t0 ], 

với

t−1= t0 − max{t 1 ,t 2 ,...,t l ,σ 1 ,σ 2 ,...,σ n}khi

m

],

trong

đó

đó, bài toán giá trị đầu (1.1.18) và (1.1.14) có

nghiệm duy nhất trên [t0 , ∞) .
Định lý 1.1.4. Xét hệ phương trình vi phân đối số lệch logistic
m


Ni (t=
i 1,2,..., m

) Ni (t )  ai − ∑ bij N j (t − t )  ,=
j =1



(1.1.19)

τ ∈ (0, ∞) vµ a i , bij ∈ , i, j =
1,2,..., m

(1.1.20)

trong đó

Điều kiện đầu của hệ (1.1.19)

Ni (t=
) φ (t ), −t ≤ t ≤ 0 trong ®ã φi ∈ C[[−t ,0,  + ] và

φi (0) > 0 cho i=1,2,...,m
Khi

đó

bài

toán

giá

trị

đầu

(1.1.19)

và

(1.1.21)
(1.1.21)

có

nghiệm

duy

nhất

N (t ) = [N1 (t ), N2 (t ),..., Nm (t )]T cho t ≥ 0 và thỏa N i (t)>0 cho t ≥ 0 và i =1,2,...,m.
Chứng minh: Bởi áp dụng phương pháp từng bước. Lấy δ = t, khi đó trên đoạn [0,δ] bài toán giá
trị đầu (1.1.19) và (1.1.21) trở thành

Ni (t )= Ni (t ) fi (t ), Ni (0)= fi (0) > 0, i= 1,2,..., m
trong đó
m

1,2,..., m
fi (t ) =ai − ∑ bijf j (t − t ), i =
j =1

Rõ ràng f i ,i = 1,2,...,m khả tích địa phương. Do đó nghiệm duy nhất của (1.1.22) là
t

=
Ni (t ) fd
i (0)exp ∫ fi (s )ds,0 ≤ t ≤
0

Ta có N i (t) > 0, 0 ≤ t ≤ δ, i=1,2,...,m.

(1.1.22)


Chứng minh tương tự trên [δ, 2δ] và cứ như thế ta có điều phải chứng minh.
1.2. Tính bị chặn theo hàm mũ của nghiệm.
Trong phần này chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch
tuyến tính autonomous
l
n
d

0
i (t − t i )  + Q0 x (t ) + ∑ Q j x (t − σ i ) =
 x (t ) + ∑ Px
dt
=
i 1=
j 1




(1.2.1)

bị chặn theo hàm mũ. Tức là, nếu x(t) là một nghiệm của (1.2.1) trên [0,∞) thì tồn tại các hằng số
dương M, α sao cho:

x (t ) ≤ Meα t , t ≥ 0

(1.2.2)

Kết quả này được sử dụng nhiều về sau trong việc thiết lập điều kiện cần và đủ cho sự dao động
tất cả các nghiệm của phương trình cũng như hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính
autonomous. Rõ ràng nếu x(t) thỏa (1.2.2), thì biến đổi Laplace X(s) của nó xác định bởi
∞

X (s ) = ∫ e − st x (t )dt
0

tồn tại với Re s > α.
Định lý 1.2.1. Giả sử các hệ số P i và Q j của hệ (1.2.1) là các ma trận thực cấp

m × m và τ i ,σ j

là các số thực dương. Lấy x(t) là một nghiệm của hệ (1.2.1) trên [0,∞) thì tồn tại các hằng số dương
M,α sao cho (1.2.2) đúng.
Chứng minh: Đặt

=min{ 1 , 2 ,..., l} .
r = max{τττ

1 , 2 ,..., l , δ 1 , δ 2 ,..., δ n} vµ ττττ

tích phân hai vế của (1.2.1) từ 0 đến t ta được
n


x (t ) = x0 − ∑ Px
t
t
Q
x
s
Q
x
s
s
(
)
(
)
(
)
−
−
+
−
∑
 0
i
i

j
j ds, t ≥ 0
∫
=i 1 =
j 1

0
t

l

trong đó
l

x0 =
x (0) + ∑ Px
i ( −τ i )
i =1

Lấy


Đặt

u(t ) = max x (s ) víi t ≥ -r, c = x0 + u(0)
- r ≤s ≤t

l

n

∑P

A=

vµ B = 1 + ∑ Qj

i
=i 1 =j 0

thì u(t) là hàm liên tục không giảm và
n

x (t ) ≤ x0 + ∑ Pi x (t − t i ) + ∫  Q0 x (s ) + ∑ Qj x (t − s j )
i 1=
j 1
0
t

l


ds


t

≤ x0 + Au(t − t ) + B ∫ u(s )ds, t ≥ 0
0

Do đó
t

u(t ) ≤ c + Au(t − t ) + B ∫ u(s )ds, t ≥ 0

(1.2.3)

0

. Khi A = 0 thì theo bổ đề 1.1.1 ta có
u(t) ≤ ceBt
. Khi A ≠ 0, đặt F(λ) = λAe-λt +B - λ ta có
F(0)F(∞) = 5(-∞)<0.
Vậy tồn tại α > 0 sao cho F(α) = 0. Lấy e > 0 và đặt

{

}

C=
max (e + c)(1 − Ae −aτa
)−1 , max e − s [u(s ) + e ]
e
− r ≤ s ≤0

Ta cần chứng minh rằng

u(t ) < Ce eα t , t ≥ −r

(1.2.4)

Rõ ràng theo cách đặt C e thì (1.2.4) đúng khi -r ≤ t ≤ 0. Giả sử tồn tại t 1 > 0 sao cho

u(t ) < Ce eα t , −r ≤ t < t1 vµ u(t1 ) =Ce eα t1

(1.2.5)


Từ (1.2.3) ta có
α ( t1 −t )

u(t1 ) < c + ACe e

t1

+ B ∫ Ce eα s ds
0

B 

 −αt B  α t1
=−
 c α Ce  + Ce  Ae + α  e





(1.2.6)

B 

α t1
=−
c
 α Ce  + Ce e


B
Ae −ατ => 0 và do đó

Từ định nghĩa của α ta có 1 −

c−

B

α

Ce ≤ c −

=
−
Vậy từ (1.2.6) thì
ý nên từ (1.2.4) thì

α

B

e +c

α α 1 − Ae −ατ


B

c
α α 1 − Ae −ατ

c
( B − α + α Ae −ατ ) =
0
−ατ
α (1 − Ae )

u(t1 ) < Ce eα t1 vô lý! Vậy ta đã chứng minh được (1.2.4) là đúng. Do e là tuy

u(t ) ≤ Meα t với t ≥ 0, trong đó

{

}

=
M max c(1 − Aeaτa
)−1 , max e − s u(s )
Vậy từ định nghĩa u(t) ta có

− r ≤ s ≤0

x (t ) ≤ u(t ), t ≥ 0 nªn x (t ) ≤ Meα t , ≥ 0 . □

1.3. Biến đổi Laplace.
Trong hai chương sau chúng ta sẽ áp dụng biến đổi Laplace để thu được điều kiện cần và đủ cho
sự dao động của tất cả các nghiệm của hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính autonomous theo
nghiệm phương trình đặc trưng của nó. Trong phần này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất
cơ bản của biến đổi Laplace mà sẽ cần cho công việc như đã nói ở trên.
Lấy

x :[0, ∞) →  là một hàm giá trị thực. Biến đổi Laplace của x(t) ký hiệu L[x(t)] hay X(s)

xác định bởi


∞

X (s ) = ∫ e − st x (t )dt

(1.3.1)

0

X(s) được định nghĩa cho tất cả các giá trị của biến phức s mà tích phân suy rộng trong (1.3.1)
hội tụ theo nghĩa
R

lim ∫ e − st x (t )dt
R→∞

0

tồn tại và hữu hạn.
Tích phân trong (1.3.1) xảy ra một trong ba trường hợp sau:
1) Nó hội tụ cho ∀s ∈  .
2) Nó phân kỳ cho ∀s ∈  .
Tồn tại
mà Res

σ 0 ∈  sao cho (1.3.1) hội tụ với ∀s ∈  mà Res > s 0 và phân kỳ với ∀s ∈ 

> s0 .

Khi 3) đúng thì
X(s) là

σ 0 được gọi là hoành độ hội tụ của X(s). Khi 1) đúng ta nói hoành độ hội tụ của

σ 0 = −∞ . Khi 2) đúng ta nói hoành độ hội tụ của X(s) là σ 0 = ∞ .

Bổ đề sau cho ta điều kiện đủ cho sự tồn tại của biến đổi Laplace.
Bổ đề 1.3.1. Lấy x ∈ C[[0, ∞],  ]và giả sử rằng tồn tại các hằng số dương M và α sao cho

x (t ) ≤ Meα t , t ≥ 0

(1.3.2)

thì bán kính hội tụ σ 0 của biến đổi Laplace X(s) của x(t) thỏa

σ0 ≤ α
Hơn nữa, X(s) tồn tại và là hàm giải tích theo s mà Res

> s0 .

Bổ đề sau cho ta biến đổi Laplace của hàm x(t - t) và đạo hàm x(t) theo biến đổi Laplace của
x(t). Bổ đề 1.3.2.


a) Lấy

x ∈ C[[−τ , ∞], ] và σ 0 ≤ ∞ là hoành độ hội tụ biến đổi Laplace X(s) của x(t), thì

biến đổi Laplace của x(t-t) có cùng hoành độ hội tụ và

L[ x (t − t=
)]

∞

∫e

− st

x (t − t =
)dt e

− st

X (s ) + e

− st

b) Lấy

∫t e

− st

x (t )dt

(1.3.3)

−

0

cho mọi s mà Res

0

> s0 .

x ∈ C1[[0, ∞], ] và σ 0 ≤ ∞ là hoành độ hội tụ biến đổi Laplace X(s)

của x(t), thì biến đổi Laplace của x(t) có cùng hoành độ hội tụ và
∞

L[=
x (t )]

∫e

− st

x=
(t )dt xX (s ) − x (0)

0

cho mọi s mà Res
Định lý 1.3.1. Lấy

> s0 .
x ∈ C[[0, ∞],  + ] và giả sử rằng hoành độ hội tụ của biến đổi Laplace

X(s) của x(t) là hữu hạn, thì X(s) có một điểm kỳ dị s

= s0 .

1.4. Một số kết quả về sự dao động của phương trình tuyến tính đổi số lệch vô hướng.
Trong mục này chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả về sự dao động nghiệm của phương trình
tuyến tính đối số lệch. Kết quả này sẽ được dùng để thiết lập một số tính chất về dao động nghiệm của
hệ phương trình vi phân đối số lệch tuyến tính. Mục đích chính của chúng ta trong luận văn này là
nghiên cứu về lý thuyết dao động của hệ phương trình nên các kết quả trong phần này chúng ta sẽ
không chứng minh mà chỉ trình bày các kết quả. Trước khi đi vào các tính chất cụ thể ta xét định nghĩa.
Định nghĩa 1.4.1. Lấy x ∈ C[[ a, ∞],  ] , hàm x được gọi là dao động nếu x có các không điểm
lớn tuy ý. Tức là, với mọi b > a thì tồn tại c > b sao cho x(c) = 0.
Ngược lại X được gọi là không dao động. Tức là, x không dao động nếu tồn tại b > a sao cho
x(t)≠0 với mọi t > b.

Khi x liên tục, nếu không dao động thì nó phải thực sự dương hay thực sự âm. Tức là, tồn tại

T ∈  sao cho x(t) là luôn dương hoặc luôn âm cho t ≥ T.


Trong phương trình vi phân tuyến tính, đối của một nghiệm, cũng là một nghiệm của nó. Do đó
một phương trình vi phân tuyến tính có một nghiệm không dao động thì nghiệm đó là thức sự dương
hoặc thực sự âm. Tức là dương hay âm với t đủ lớn.
Xét phương trình vi phân đối số lệch vô hướng tuyến tính autonomous
n

x (t ) + ∑ pi x (t − t i ) = 0, t ≥ t0

(1.4.1)

i =1

phương trình đặc trưng tương ứng là
n

λ + ∑ pi eλτ =
0
i

(1.4.2)

i =1

Định lý 1.4.1. Giả sử

pi ∈ ,τ i ∈  + , i =
1,2,...n,
thì các mệnh đề sau là tương đương
a) Mọi nghiệm của phương trình (1.4.1) dao động.
b) Phương trình đặc trưng (1.4.2) không có nghiệm thực.
Định lý 1.4.2. Giả sử

pi ,τ i ∈  + , i =
1,2,...n,
Khi đó mỗi điều kiện sau là đủ cho mọi nghiệm của phương trình (1.4.1) dao động
n

a)

1
e

(1.4.3)


  n  1
 ∏ pi   ∑τ i  > e
 i =1   i =1 

(1.4.4)

∑ pτ

i i

i =1

n

b)

>
1
n

Định lý 1.4.3. Xét phương trình

x (t ) + px (t − t ) =
0
trong đó

(1.4.5)


p,τ ∈ 
Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
(a)

Mọi nghiệm của phương trình (1.4.5) dao động.

pτ >

(b)

1

e

(1.4.6)

Định lý 1.4.4. Xét phương trình vi phân đối số lệch

x (t ) + px (t − t ) − qx (t − σ ) =
0

(1.4.7)

Trong đó

p, q,τ ,σ ∈  +

(1.4.8)

p > q vµ τ ≥ σ

(1.4.9)

Khi đó

là điều kiện cần cho mọi nghiệm của phương trình (1.4.6) dao động. Trong khi

1
> [1 − q( − σ )]
p > q,τ ≥ σ , q(τ − σ ) ≤ 1 vµ ( p − q )ττ
e

(1.4.10)

là điều kiện đủ cho mọi nghiệm của (1.4.6) dao động.
Định lý 1.4.5. Xét phương trình vi phân đối số lệch non_autonomous
n

x (t ) + ∑ pi (t ) x (t − t i ) = 0, t ≥ t0

(1.4.11)

i =1

trong đó với i = 1,2,...,n,

qi ∈ C[[t0 , ∞),  + ],t i ≥ 0 vµ lim qi (t ) =
qi
t →∞

(1.4.12)

a) Nếu mọi nghiệm của phương trình
n

y(t ) + ∑ qi y(t − t i ) =
0
i =1

dao động thì mọi nghiệm của phương trình (1.4.11) dao động.

(1-4.13)

b) Nếu thêm giả thiết rằng với t đủ lớn,

1,2,..., n
qi (t ) ≤ qi , i =

(1.4.14)

thì mọi nghiệm của phương trình (1.4.11) dao động nếu và chỉ nếu mọi nghiệm của phương trình
(1.4.13) dao động.
Hệ quả 1.4.1. Giả sử rằng

qi ∈ (0, ∞) vµ τ i ∈ [0, ∞) víi i=1,2,...,n

(1.4.15)

Khi đó nếu bất phương trình
n

x (t ) + ∑ qi x (t − t i ) ≤ 0
i =1

có một nghiệm dương thì phương trình
n

y(t ) + ∑ qi y(t − t i ) =
0
i =1

cũng có một nghiệm dương.
Định lý 1.4.6. Xét phương trình vô hướng non_autonomous
n

y(t ) + ∑ qi (t)y ( t − t i (t) ) =
0, t ≥ t0
i =1

trong đó

qi ,t i ∈ C[[t0 , ∞),  + ],lim[t − t (t )] =∞, i =1,2,..., n.
t →∞

Khi đó bất phương trình vi phân
n

x (t ) + ∑ qi (t) x ( t − t i (t) ) ≤ 0, t ≥ t0
i =1

có nghiệm dương nếu và chỉ nếu phương trình (1.4.16) có nghiệm dương .

(1.4.16)